Ikeph7 2014-1015

池袋物理学勉強会(7)
高橋康
量子力学を学ぶための解析力学入門
第３章正準形式の理論
@gm3d2
Oct. 15, 2014
池袋バイナリ勉強会会場

第2章でのハミルトン形式
● 運動エネルギーT、ポテンシャルV
…既知と仮定
● 運動量をによって定義
● ハミルトニアンH(pp, qq)を
H = T + V によって定義

運動量の定義が自明でない
場合への拡張
● Lagrangian を出発点とする
● 一般化運動量 p
(3.1)
● ハミルトニアンH(qq,, pp)
(3.2)
● は(3.1)を解いて(qq,, pp)で表すものとする

この定義からHamiltonの
運動方程式を導く
● Hamiltonianの変化分は独立変数q、pにより
(3.5)
と表せる
● 係数は偏微分の定義そのもの
δqの係数が、δpの係数が

Hの変化分の計算
● 今Hはで定義されているので
δq、δpで表すべき
だが結果的に
消えるのでその
必要もない
(3.6) pの定義から0

正準運動方程式
● 上記の比較から、それぞれ
(3.7)
これにEuler-Lagrange方程式
とpの定義を用いると
(3.9)

例１調和振動子
● Lagrangianから出発
(3.10)
一般化運動量pとHamiltonian
(3.11)

例１調和振動子 (2)
● 運動方程式
(3.13)
pを消去

例2 中心力を受ける質点
● Lagrangian
(3.14)
● 一般化運動量pとHamiltonian H
(3.15, 3.16)

例2 (2) 極座標による解析
● Lagrangian
　　　　　　　(1.17)
● 一般化運動量p
(3.18)

例2 (3) Hamiltonian
● Hamiltonian
　　　　　　　
(3.19)
● 運動方程式(r成分)
(3.20a,b)

例2 (4) 運動方程式
● 運動方程式(θ成分)
　　　　　　　
(3.20c)
● 運動方程式(φ成分)
(φはサイクリック座標) (3.20d)

例3 電磁場中の粒子
● 電場と磁場を考慮に入れた運動方程式
　　　　　　　
(3.22)
● e: 粒子の電荷、E: 電場、H: 磁場
● ここでは電磁場は運動方程式に従って決定される量で
はなく、あらかじめ空間、時間依存性が与えられた既
知の場とする→外場(external field)

電磁ポテンシャル
● スカラーポテンシャルA0
　　　　　　　
静電ポテンシャル、空間電位
● ベクトルポテンシャルA
電場と磁場が両方Aから決まる
空間を伝搬する「電磁波」を表現できる
（時間に依存しない成分は静磁場を表す）

Hamiltonian
● これから運動方程式が出ることを確認

pを消去
粒子の場所が変化することにより
粒子の感じる電磁場の変化
電磁場が陽に時間依存する分

i=1としてみると
　　　　　　　: j = i の項は消える

まとめると
Hamiltonianから運動方程式が導出できた

自由粒子との比較
と変更した式になっている
minimal electromagnetic interaction
→「ゲージ理論」につながる観察

演習問題 1
(3.7b)より
よってqがサイクリック座標であれば右辺が
０、左辺も０となる

演習問題 3
: 一般化座標
● Mの非対称成分は消える→Mは対称行列と仮定

演習問題 3 (2)
をHに代入

演習問題 5(スキップ)
● Hamilton-Jacobiの方程式と呼ばれる
● 今の段階では考え方が面倒な割に意味が
はっきりしないのでパス
● 正準変換についてやってから改めて

演習問題 6
● L'とLの差がqの関数W(q)の時間微分

演習問題 7
● 一般論として、外場が絡んでくると保存する
かどうかは外場次第
● 例　　　　　　　
注: 当初A0の空間依存性を
忘れてHが時間保存しないと
していたがu_1rohさんの
指摘により修正

演習問題 7 (2)
正準方程式から
　　　　　　　
が成り立つので、これより
● この例ではHamiltonianは保存
● (μは定数)などとす
るとHは保存しなくなる

演習問題 7 (3)
● 電磁場を外場でなく、それ自身のLagrangian
やHamiltonianで定義される力学変数として扱
えば粒子と電磁場の全Hamiltonianは時間に対
して保存する
● 特殊相対論のところで電磁気学もあわせて扱
うことにする

Legendre変換
● 変数(x, y)の関数f(x, y)があるとき、これの偏
微分係数を考える
● 独立変数を(x, y)としているので、これの意味
は正確にはと書くべき
● 変数xの代わりにを用い、(p, y)を独立
変数としたら？

Legendre変換 (2)
● (p, y)を変数とすると、fの偏微分係数に影響
が出る
● は仕方ないとして、もとは違っ
てしまう
● fに調整を施してを定義し、
　　　　　とできないか？

Legendre変換 (3)
● と定義すればよい
確認:
よって
キャンセル

Legendre変換 (4)
● f(x, y) - xpでなく、xp - f(x, y)としてもよい
● Hamiltonianはxp - f、熱力学ではf - xp方式
● その分符号がひっくり返る箇所がある
● いずれの定義でも、2回Legendre変換を行う
と元のfに戻る

Legendre変換 (5)
● ただ変数をxからpに変えるだけなら勝手な(p,
y)の関数g(p, y)を考えてもよかった
● 物理的には、変換に関係しなかったyについ
ての偏微分係数が保存されることが重要
● つまり一変数でLegendre変換を使ってもあま
り意味がない

Legendre変換 (6)
● yは変換に使わなかった変数…
● yはxやpで偏微分する際に変化しないもの…
● ということは…
● LやHに含まれる任意のパラメータをyと見立
ててもよい（定数でさえも）！

Legendre変換 (7)
● 調和振動子で試す
どんな複雑な系でも同様！

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