1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 11
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
INCLINACION DE UNA RECTA
La inclinación de una línea recta es el ángulo (positivo o negativo) formado por la línea recta,
con el semieje positivo de las X.
PENDIENTE DE UNA LINEA RECTA (m)
Es la tangente del ángulo de inclinación . Es decir:
m = tang m: pendiente.
.tang: tangente
: ángulo de inclinación.
.m= = : Diferencia de ordenadas.
: Diferencia de abscisas.
La pendiente de una línea recta que pasa por dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), está definida por:
.m = tang = =
.tang =m=
.tang =m=
.tang =m=

2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 12
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
La pendiente m de una recta puede ser: Nula, Positiva, Indeterminada y Negativa.
Ejemplo:
Hallar la pendiente m, y el Angulo de inclinación de rectas, formadas por las siguientes pare-
jas de puntos.
1. P1(-8,-4) y P2(5,9)
2. P1(10,-3) y P2(14,-7)
3. P1(-11,4) y P2(-11,10)
4. P1(8,6) y P2(14,6)
Solución:
1.
. m = tang =
= =
= =1
Ahora tang =1
-1 -1
tan tang = .tang (1)
-1
= .tang (1)
= 45º

3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 13
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
2.
. m = tang =
= =
= =-1
Ahora tang = -1
-1 -1
tan tang = .tang (-1)
-1
= .tang (-1)
= -45º
3.
. m = tang =
. m = tang =
=
=
Ahora tang =
-1 -1
tan tang = .tang ( )
-1
= .tang ( )
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, = 90º
4.
. m = tang =
= =
= =0
Ahora tang =0
-1 -1
tan tang = .tang (0)
-1
= .tang (0)
= 0º

4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 14
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
TALLER
Hallar la pendiente m, y el Angulo de inclinación de rectas, formadas por las siguientes pare-
jas de puntos.
1. P1(-2,-4) y P2(1,3)
2. P1(3,-3) y P2(4,-7)
3. P1(-1,4) y P2(1,-10)
4. P1(4,6) y P2(7,3)
5. P1(-3,5) y P2(4,-6)
LA LINEA RECTA
La línea recta es una ecuación lineal o de primer grado con dos variables x, y, cuya represen-
tación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta.
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA
Las diferentes formas de la Ecuación de la Línea Recta son:
1. Punto Pendiente Y –Y1 = m(X- X1)
2. Pendiente e Intercepto: Y = mX + b
3. Dos Puntos o Cartesiana:
4. Reducida:
5. General AX + BY + C= 0
1.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: Punto Pendiente.
La ecuación de la línea recta, que pasa por el punto P1(X1,Y1) y que tiene pendiente m, está
definida por la siguiente expresión:
.tang =m=
.tang =m=
. m=
Y – Y1 = m(X – X1) donde: {
Para graficar la línea recta Punto Pendiente, en el plano cartesiano debe tenerse en cuenta
que:
m=
Dónde:
: Se desplaza hacia arriba.
: Se desplaza hacia abajo.
: Se desplaza a la derecha
: Se desplaza a la izquierda

5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 15
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P1 (2,1) y cuya pendiente es igual
a m= 5/3. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.
Datos:
P1 (2,1) entonces X1 = 2; Y1= 1
.m = 5/3
Por definición de Línea Recta: Punto Pendiente se tiene que:
Y – Y1 = m(X – X1)
Remplazamos: Y – 1 = 5/3(X –2)
3Y -3 = 5(X – 2)
3Y – 3 = 5X -10
3Y -5X – 3 +10 = 0
3Y – 5X + 7 = 0
El grafico de la línea recta 3Y – 5X + 7 = 0, en el plano cartesiano es:
Ubicamos en el plano cartesiano el punto P1 (2,1). Como m= = entonces, a
partir del punto P1 (2,1), nos desplazamos hacia arriba 5 unidades, hasta encontrar el punto
P2 (2,6) y a partir de este punto nos desplazamos hacia la derecha 3 unidades, hasta encontrar
el punto P3 (5,6).
Por lo tanto el grafico de la línea recta 3y – 5x + 7 = 0, es la línea que resulta de unir los pun-
tos P1, y P3.

6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 16
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P1 (-2,1) y cuya pendiente es
igual a m= -5/3. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.
Datos:
P1 (-2,1) entonces X1 = -2; Y1= 1
.m = -5/3
Por definición de Línea Recta: Punto Pendiente se tiene que:
Y – Y1 = m(X – X1)
Remplazamos: Y – 1 = -5/3(X – (- 2))
Y – 1 = -5/3(X+2)
3Y -3 = -5(X + 2)
3Y – 3 = -5X -10
3Y + 5X – 3 +10 = 0
3Y + 5X + 7 = 0
El grafico de la línea recta 3Y + 5X + 7 = 0, en el plano cartesiano seria:
Ubicamos en el plano cartesiano el punto P1 (-2,1). Como m= = entonces, a
partir del punto P1 (-2,1), nos desplazamos hacia abajo 5 unidades, hasta encontrar el punto
P2 (-2,-4) y a partir de este punto nos desplazamos hacia la derecha 3 unidades, hasta encon-
trar el punto P3 (1,-4).
Por lo tanto, el grafico de la línea recta 3y – 5x + 7 = 0, es la línea que resulta de unir los pun-
tos P1, y P3.

7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 17
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
TALLER
Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P1 (2, -2) y cuya pendiente es
igual a:
A) .m = -4/3. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.
B) m= -5/4. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.
C) m= 2. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.
D) m= -3. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.
E) m= -5. Graficar la línea recta en el plano cartesiano.
2.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: Pendiente e Intercepto.
La ecuación de la línea recta de pendiente m, y que corta al eje Y, en el punto P (0, b) tiene la
forma de: Y =mX + b donde:
.m: Pendiente
.b: Punto de intercepción o de corte de la línea recta con el eje Y
Los puntos P y P1 que pertenecen a la línea recta Y =mX + b, tienen como coordenadas
P (0, b) y P1 ( .
Donde b es el intercepto o punto de corte de la línea recta con el eje Y
Ejemplo:
Determinar la pendiente m, la intercepción de la línea recta con el eje Y (de las ordenadas) y
dibujarla en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones lineales.
1.- Y = -2
2.- Y = +5

8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 18
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
Solución:
1.- Dada la ecuación Y = – 2 al compararla con la ecuación de la línea recta Pendiente in-
tercepto Y = mX + b, se deduce que:
m= =
.b = -2 al remplazar en los puntos P y P1 tenemos:
P (0, b) = P (0, -2)
P1 ( = P1 ( = P1(2,1)
2.- Dada la ecuación Y = + 5 al compararla con la ecuación de la línea recta Pendiente
intercepto Y = mX + b, se deduce que:
m= =
.b = +5 al remplazar en los puntos P y P1 tenemos:
P (0, b) = P (0, 5)
P1 ( = P1 ( = P1(2,0)

9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 19
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
TALLER:
Encontrar los valores de la pendiente m, la intercepción de la línea recta con el eje Y (de las
ordenadas) y dibujarla en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones lineales.
1.- Y = -1
2.- Y = +1
3.- Y= 4x + 3
4.- Y = -5x – 2
5.- Y = -6x + 3
3.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: Dos Puntos o Cartesiana
La ecuación de la línea recta que pasa por DOS PUNTOS P 1(x1,y1) y p2(x2,y2) está definida por
la siguiente expresión:
Y: Variable dependiente
X: Variable independiente
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por los siguientes pares de puntos:
a) P1(2,3) y P2(-1.4)
b) P1(-7,-2) y P2(-2.-5)
Solución:
a) La ecuación de la línea recta que pasa por dos puntos tiene la forma de:

10. Luis Gonzalo Revelo Pabón 20
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
Dados los dos puntos: P1(2,3) y P2(-1.4) se deduce que los valores de las abscisas y ordena-
das son: x1 = 2 ; y1 = 3
.x2 = -1; y2 = 4.
Al remplazar la anterior información en la ecuación anterior se obtiene:
3(Y-3) = -1(X-2)
3Y – 9 = -X +2
3Y + X = 2 + 9
3Y + X = 11
b) La ecuación de la línea recta que pasa por dos puntos tiene la forma de:
a) Dados los dos puntos: P1(-7,-2) y P2(-2.-5) se deduce que los valores de las abscisas y
ordenadas son: x1 = 7 ; y1 = -2
.x2 = -2; y2 = -5.
Al remplazar la anterior información en la ecuación anterior se obtiene:
5(Y+2) = 3(X-7)
5Y + 10 = 3X - 21
5Y -3X = -21 -10
5Y -3 X = -31
TALLER
Hallar la ecuación de la línea recta, que pasa por los siguientes pares de puntos:
a) P1(4,3) y P2(3.5)
b) P1(-6,5) y P2(-3.-1)
c) P1(4,-1) y P2(2.-4)
d) P1(0,3) y P2(-2.0)
e) P1(2,-3) y P2(0.-4)
4.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: Reducida.
La ecuación de la línea recta que corta al eje X en el punto P1(a,0) y al eje Y en el punto
P2(0,b), tiene la forma de:
Para manejar esta ecuación se debe tener en cuenta estos aspectos:

11. Luis Gonzalo Revelo Pabón 21
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⏟ ⏟
La grafica de la línea recta es la siguiente:
Ejemplo:
Dibujar en el plano cartesiano y determinar la intercepción de la línea recta con los ejes X,Y
dadas las siguientes ecuaciones de líneas rectas:
1.- 3x -2y -4 =0
2.- -5x + 10y + 20 =0
Solución:
1.- 3x -2y -4 =0
3x – 2y = 4
1 paso: El término independiente es UNO positivo, para ello dividimos todos los términos entre
4 así:

12. Luis Gonzalo Revelo Pabón 22
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
2 paso: Los numeradores de X,Y son UNOS, para ello dividimos al primer término entre 3 y al
segundo término entre 2 así:
Por lo tanto, la ecuación de la línea recta corta al eje X en el punto (4/3,0) y al eje Y en el punto
(0,-2).
2.- -5x + 10y + 20 =0
-5x + 10y = -20
1 paso: El término independiente es UNO POSITIVO, para ello dividimos todos los términos
entre -20 así:

13. Luis Gonzalo Revelo Pabón 23
Dpto. de Matemáticas - Goretti1
2 paso: Los numeradores de X, Y son UNOS, para ello dividimos al primer término entre 5 y al
segundo término entre 10 así:
Por lo tanto, la ecuación de la línea recta corta al eje X en el punto (4,0) y al eje Y en el punto
(0,-2).
TALLER
Dibujar en el plano cartesiano y determinar la intercepción de la línea recta con los ejes X,Y
dadas las siguientes ecuaciones de líneas rectas:
1.- 8x -12y - 4 =0
2.- -15x + 5y + 20 =0
3. 4x - 12y + 16 =0
4.- -9x + 1y - 9 =0
5.- -6x + 12y - 24 =0

14. Luis Gonzalo Revelo Pabón 24
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5.- ECUACION DE LA LINEA RECTA: General
La ecuación General de la línea recta tiene la forma de: Ax + By + C = 0, donde A; B; y C son
números enteros o fraccionarios ( ) positivos o negativos, y al transformarla se convierte
en el caso anterior