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Revista la Granja 1

  1. 1. Reseña bibliográfica / Review L GRANJA A L A PRECIPITACIÓN INTENSA VISTA DESDE LA CRITICALIDAD AUTO - ORGANIZANDA Y LAS TRANSICIONES DE FASE CONTINUAS : UN NUEVO ENFOQUE DE ESTUDIO I NTENSE PRECIPITATION SINCE AUTO - ORGANIZED CRITICALITY AND CONTINUOUS PHASE TRANSITIONS : A NEW APPROACH Sheila Serrano1,2 y Leonardo Basile11 Maestría en Física, Departamento de Física, Escuela Politécnica Nacional, Ladrón de Guevara E11-253, Telf: (593-2) 2507144,Quito, Ecuador.2 Centro de Investigación en Modelamiento Ambiental, Universidad Politécnica Salesiana, Av. 12 de Octubre N24-22 y Wilson,Telf. (593-2) 3962800, Quito, Ecuador.Autor para correspondencia: leonardo.basile@epn.edu.ec Manuscrito recibido el 18 de abril de 2012. Aceptado, tras revisión, el 17 de junio de 2012. Resumen La criticalidad auto-organizada, en inglés Self-Organized Criticality (SOC) es un modelo teórico reciente que describe a los sistemascomplejo y ocurre generalmente cerca de las transiciones de fase continuas. Según esta teoría, un parámetro de orden se incrementasiguiendo una ley de potencia cuando un parámetro de sintonización pasa por un valor crítico; al acoplarse estos parámetros, elpunto crítico se convierte en un atractor y resulta una SOC. Asimismo, la escala del parámetro de orden diverge. Aunque esteconcepto ha sido aplicado a campos muy diversos, que van desde la geofísica hasta la economía, los fenómenos climáticos aún sesiguen considerando como sistemas caóticos cuyo comportamiento, marcado por el cuasi-equilibrio de Arakawa y Schubert (1974),está lejos de la auto-organización. Bajo este contexto, la presente revisión busca dar un formulismo efectivo a los fenómenos queinvolucran las precipitaciones intensas, utilizando la teoría de la SOC y las transiciones de fase. Así, se argumenta que al llegar a unvalor crítico de vapor de agua (el parámetro de sintonización) se genera una transición de fase continua fuera del equilibrio hacia unrégimen de convección y precipitación intensas (el parámetro de orden), con regiones de correlación con magnitudes de decenas acientos de kilómetros (Peters y Neelin, 2006b). Así se logra una relación de potencia entre la precipitación intensa y los datos el vaporde agua.Palabras claves: Criticalidad auto-organizada, transiciones de fase continuas, precipitación intensa. Abstract The self-organized criticality (SOC) is a recent proposed theoretical model for complex systems. Critical phenomena occur nearphase transitions. According to this theory, when an ordered parameter increases as a power law, a tuning parameter crosses a criticalvalue. When these parameters couple, the critical point becomes an attractor and the result is a SOC phenomenon. As a characteristic,their scale diverge. Although this concept has been applied in many different processes, ranging from geophysics to economy; in me-teorology the physical process is still being considered as chaotic systems. In this case the behavior, marked by the quasi-equilibrium(Arakawa y Schubert, 1974) is far from being self-organized, with uncertainties that grow exponentially. In this context, the present re-view aims to propose an effective formalism to intense precipitation phenomena using SOC and continuous phase transitions theory.We suggested that the achievement of a critical value of water vapor (parameter tuning) generates a continuous phase transition thatyields into a regime of strong convection and precipitation (the order parameter), with correlated regions of hundreds of kilometers(Peters y Neelin, 2006b) that follow a power law relation between intense precipitation and water vapor data.Keywords: Self-organized criticality, continuous phase transitions, intense precipitation.Forma sugerida de citar: Serrano, S. y L. Basile 2012. La precipitación intensa vista desde la criticalidad auto- organizanda y las transiciones de fase continuas: un nuevo enfoque de estudio. La Gran- ja. Vol. 15(1): 5-18. ISSN: 1390-3799.L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. Ac 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador. 5
  2. 2. Reseña bibliográfica / Review Sheila Serrano y Leonardo Basile1. Introducción 4 y 5 se los relacionará a las nociones de compleji- dad, adaptabilidad, entropía y negentropía.La criticalidad autoorganizada (SOC por sus siglasen inglés, Self Organized Criticality), describe comograndes sistemas dinámicos tienden a un estado crí- 2. Conceptos fundamentalestico. Estos sistemas, llamados complejos contienenmuchas partes, relativamente independientes, alta- 2.1 El experimento de la pila de arenamente interconectadas e interactivas; de las cuales serequiere un gran número para generar sistemas au- El ejemplo canónico de criticalidad es la pila de are-toorganizados, replicantes, adaptativos con memo- na, como lo explica Bak (1996) en su libro tituladoria y capacidad de aprendizaje. Estos sistemas, gra- How nature works: the science of self-organized critica-cias al proceso de autoorganización se hacen más or- lity (Ver Figura 1).denados y con más información que otros sistemas El experimento consiste en un sistema construi-–caóticos fuera o cercanos al equilibrio termodiná- do por la lenta adición de partículas de arena so-mico (Cowan et al., 1994). Así, la SOC es una de las bre un pequeño montón (parte a de la Figura 1). Alteorías de la complejidad, ciencia que engloba la teo- ir añadiendo arena la pendiente de la pila se incre-ría de los sistemas adaptativos complejos, la diná- menta hacia un valor crítico y en este punto se gene-mica no lineal, la teoría de los sistemas dinámicos, ran avalanchas de todos los tamaños. Al principio,la teoría del no-equilibrio y el caos. La SOC fue pro- cuando la pila era plana, era factible realizar unapuesta por Bak, Tang y Wiesenfeld en 1987, trabajo descripción aislada de cada avalancha, sin embargo,que se ha convertido en uno de los más citados de en el estado crítico, la descripción de las avalanchastodos los tiempos (Reynoso, 2007). debe considerarse holísticamente, ya que interaccio- Por otro lado, el comportamiento del tiempo y nes vinculan a partes más alejadas del sistema, y endel clima se ha caracterizado por su naturaleza caó- este caso sólo una descripción de la pila de arenatica e impredecible, ya que al ser la atmósfera un como un todo se puede aplicar. Este paradigma hafluido, su dinámica responde a una serie de ecua- sido estudiado por varios autores con simulacionesciones no lineales que no tienen una solución ana- numéricas computacionales a través del modelo dellítica (Steward, 1997). Sin embargo, existe evidencia los “automatones de la pila de arena”.científica de que para el caso de las precipitaciones Este modelo es bastante simple, e inicia definien-lluviosas, estos eventos se aproximen más a siste- do una grilla bidimensional sobre unos límites espe-ma crítico que a uno caótico y que por lo tanto exhi- cíficos. A continuación, se define una variable enteraban un nivel de organización e información superior Z que representa la altura o la pendiente de la pila.(Peters y Neelin, 2006b). Si se incrementa Z en algún punto (por la adición de De esta manera, la presente investigación reali- arena) y no se ha superado un valor crítico, se puedezará una revisión general al concepto de criticalidad seguir aumentando Z. Si se ha logrado el valor crí-autoorganizada, y otros conceptos de los sistemas tico, hay que reducir Z en cuatro unidades y enviarcomplejos y la física estadística, planteándolos como una unidad a los cuatro vecinos más cercanos. Poruna alternativa de análisis a los fenómenos climáti- otro lado, si Z excede el valor crítico en alguno decos en general, y de manera particular para el caso los sitios vecinos es necesario repetir el experimen-de la lluvia intensa, fenómenos regularmente estu- to hasta que la “avalancha” se detenga para que endiados sólo desde la dinámica de fluidos. ningún lugar se supere el valor crítico de Z. Des- Los conceptos fundamentales se expondrán en la pués, se continúa con la adición de arena para gene-sección 2, abarcando el experimento canónico de la rar más avalanchas (Bak y Sneppen, 1993).pila de arena, los conceptos de criticalidad autoorga- Cuando las avalanchas se dan en los límites de lanizada, leyes de potencia, ruido 1/ f , y los exponen- grilla, existirán unidades de Z que saldrán del siste-tes que aparecen en estas distribuciones “sin esca- ma. Éstas serán las avalanchas de las cuales se regis-la”, además de las nociones de transiciones de fase. trará su magnitud. Al registrar la magnitud de lasEn la sección 3 se verá cómo aplicar los conceptos avalanchas en un intervalo de tiempo, se obtendráde criticalidad y transiciones de fase al estudio de la una gráfica como la que se muestra en la Figura 1.b.precipitación lluviosa, mientras que en las secciones Esta errática gráfica es denominada ruido uno sobre L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. A6 c 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador.
  3. 3. La precipitación intensa vista desde la criticalidad auto-organizanda y las transiciones de fase continuas: un nuevo enfoque de estudiof (1/ f ), y es muy diferente al ruido blanco, ya que 2.2 Distribuciones “sin escala” y leyesse encuentran descritas magnitudes de todos los ta- de potenciamaños. Si se quisiera determinar el tamaño de una ava- lancha típica, se podría generar un histograma que cuente el número de avalanchas en función de su tamaño y se obtendría una gráfica como la que se presenta en la Figura 1.c. La gráfica está en escala doble logarítmica e indica que los tamaños más pe- queños de las avalanchas son los más frecuentes y que las avalanchas más grandes o catastróficas son las menos frecuentes. Se dice entonces que este ti- po de eventos siguen una “ley de potencias”, ya que están determinadas por una ecuación del tipo N ( E) = Eb (2) donde E es el tamaño de la avalancha, N ( E) la fre- cuencia, y b es un exponente negativo. En general, comportamientos con las caracterís- ticas de la pila de arena aparecen por doquier en la naturaleza, Raup (1986) ha mostrado que la evolu- ción biológica es intermitente con largos períodos estáticos interrumpidos abruptamente por eventos de extinción. Hay muchos eventos pequeños y muy pocos eventos de gran magnitud: como la extinción de los dinosaurios hace 50 millones de años, la gran extinción Pérmica hace 200 millones de años, y la ex- plosión Cámbrica hace 550 millones de años. La dis- tribución de estos eventos también es similar a la ley de Gutenberg-Richer (Olami et al., 1992) que deter- mina la energía liberada en los terremotos. Asimis- mo, Mandelbrot (1982) observó que la distribución de las fluctuaciones de los precios del algodón y las acciones ferroviarias no es gausiana sino que obede- ce una ley de potencias. Se hace evidente entonces, que el mecanismo que genera eventos de grandes magnitudes o “catastróficos” es el mismo que gene-Figura 1. a) Modelo de la pila de arena desarrollado por ra eventos de menor magnitud, y que no es necesa-Bak, Chen y Wiesenfeld; b) serie de tiempo que muestra rio ningún cataclismo externo para producirlos (Pu-la magnitud o tamaño de las avalanchas generadas en el yeyo, 2011; Bak y Sneppen, 1993; Adami, 1955; Kronmodelo; c) distribución de las Magnitudes en una escala y Grund, 2009; Sekar, 2007).doble logarítmica, en la que se aprecia la ley de potencia. Una distribución en ley de potencia también es Adaptado de Bak (1996). conocida como distribución “sin escala”, debido a que la ley de potencia es la única distribución que es la misma en cualquiera que sea la escala donde se Se lo puede representar como una señal com- la analice (Newman, 2005).puesta de todas las frecuencias descrita por la fun- Para entender este concepto, supongamos queción una distribución de frecuencias f ( x ), de una canti- 1/ f φ (1) dad x, satisface una condición de la forma:donde el exponente está en el rango de 0,6 < φ < 2. f (cx ) = g(c) f ( x ) (3)L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. Ac 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador. 7
  4. 4. Reseña bibliográfica / Review Sheila Serrano y Leonardo Basilepara cualquier valor c. Así, si se incrementa la escala ferromagnetismo– que al alcanzar un valor deter-de los valores de x por una constante c, el compor- minado, genera la criticalidad. Pero como el mismotamiento de la distribución f ( x ), permanecerá inal- Bak (1994) menciona, “en los fenómenos naturales,terado, excepto por una constante multiplicativa ge- no hay quien se encargue de sintonizar estos pará-neral. metros, entonces cómo se origina la criticalidad?” Por ejemplo, podemos decir que una avalancha Para entender estos comportamientos, en 1991,de 20 g es 10 veces menos frecuente que una avalan- Bak y Chen propusieron que los sistemas dinámi-cha de 2 g. Si aumentamos la escala de la magnitud cos alimentados lentamente, con muchos grados dede la avalancha en un factor de 10, la proporción se libertad, se organizan naturalmente hacia un esta-mantendrá: es decir, que una avalancha de 200 g se- do crítico, caracterizado por tener avalanchas de to-rá 10 veces menos frecuente que una de 20 g. Y una dos los tamaños y obedeciendo una frecuencia ende 2000 g será 10 veces menos frecuente que una de ley de potencia. El estado crítico es un atractor, ya200 g y así sucesivamente. Es decir que la distribu- que el sistema tiende irremediablemente a él sin im-ción de las frecuencias no depende de la escala con portar las condiciones iniciales: en el caso de la pi-la que sea tomada la magnitud del evento. la de arena, si la pendiente de la pila es pequeña – Eventos de la naturaleza que no poseen una estado subcrítico–, irá acumulando más arena; si esescala determinada, son considerados fractales; y muy grande –estado supercrítico– se generarán ava-sus propiedades reproducen la misma estructura lanchas. Tanto los apilamientos subcríticos como losdel universo, los paisajes montañosos, la biología, supercríticos se ven pues, espontáneamente arras-las nubes y las cuencas hidrográficas, entre muchas trados hacia el estado crítico. Así, a diferencia de laotras estructuras. Y aunque se han hecho esfuerzos física en equilibrio, en donde el estado crítico es unpor caracterizarlos geométricamente, aún no es cla- caso excepcional, en la física del no equilibrio, la cri-ro su origen dinámico (Turcotte, 1985). ticalidad es el estado típico de la materia. Sin embargo cabe la pregunta: ¿se mantiene la criticalidad si se cambia algún parámetro en el sis-2.3 La criticalidad autoorganizada tema? La respuesta es sí, no importa si se cambia la arena seca por húmeda o si se construyen barre-Todos los sistemas de la naturaleza descritos an- ras para evitar las avalanchas; si se alimenta alea-teriormente son grandes, dinámicos y con muchas toriamente a la pila o de una manera determinadapartes que se encuentran en interacción. Son tam- sobre un solo punto, el sistema siempre evoluciona-bién disipativos, en donde existe un suministro rá hacia su propio estado crítico. Se presenta apa-constante de energía de una fuente externa: el mo- rentemente una paradoja: el sistema es inestable envimiento de las placas tectónicas en el caso de los muchas de sus distintas localidades, pero el estadoterremotos, el empuje en el caso de la turbulencia, crítico es absolutamente robusto (Ibañez, 2007). Poralimento y energía en biología, etc. Esta energía es una parte, ciertos rasgos locales cambian continua-eventualmente usada o disipada en algún punto del mente a causa de las avalanchas. Por otra, algunassistema. propiedades estadísticas, como la distribución por tamaños de las avalanchas, no se alteran en el tiem- Desde la teoría, el punto exacto en el que un sis- po (Lucas, 1999).tema no manifiesta una escala típica (la escala diver-ge, sistema sin escala), es conocido como punto crí-tico de una transición de fase. Más específicamente 2.4 Significado de los exponentes en lasde una transición de fase continua (ya que también leyes de potencia y el ruido 1/ fexisten otros tipos de transiciones, como se verá enel apartado 2.4). Todo lo que ocurre en la vecindad Claramente los exponentes que aparecen en las le-de una transición de fase continua es conocido como yes de potencia y en el ruido 1/ f deben tener un sig-fenómeno crítico, del cual, las distribuciones en ley nificado físico interesante, mismo que se hace evi-de potencia son un ejemplo (Newman, 2005). dente al abordar el modelo de Olami, Christensen y Lo común es que este punto crítico esté de- Feder, propuesto en 1992; basado en el modelo ca-terminado por algún parámetro móvil de sinto- nónico de la pila de arena pero aplicado al caso denización –como la temperatura para el caso del los terremotos. L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. A8 c 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador.
  5. 5. La precipitación intensa vista desde la criticalidad auto-organizanda y las transiciones de fase continuas: un nuevo enfoque de estudio Para simular la corteza terrestre, este modelo vida de una avalancha, con pesos:considera bloques bidimensionales conectados porresortes –en el que el tamaño del bloque no repre- Λ(t) = Σs2 P(s = s, T = t) (5)senta una escala de longitud intrínseca del sistema–.Sobre cada bloque (i, j) actúa una fuerza Fi,j que se donde P(S, T ) es la probabilidad de que una ava-incrementa uniformemente por un monto infinitesi- lancha de tamaño S tenga una duración de T (T enmal por unidad de tiempo, simulando así una acu- unidades de tiempo). Se ha mostrado que si Λ tienemulación de energía por el movimiento de las placas un comportamiento en potencia Λ(t) = tu , entoncestectónicas. Eventualmente, la fuerza en un sitio (i, j) la potencia espectral será:excederá un valor crítico Fc de ruptura. Esta rupturase simulará repartiendo toda la fuerza que se encon- S( f ) = f −(u+1), para − 1 < u < 1. (6)traba en el sitio (i, j) sobre cada uno de sus cuatrovecinos (i, j ± 1) y (i ± 1, j), de la siguiente manera: Así el exponente de f , phi estará determinado por la duración de los fenómenos de disipación de energía (avalanchas), según la relación: φ = −(u − 1). Fi,j → 0 Fi,j ≥ Fc =⇒ (4) En la naturaleza se han reportado exponentes de Fnn → Fnn + αFij 1/ f con valores que están en el intervalo 0.6-2.0. Sin embargo, hay que recalcar que estos exponentes de-donde nn denota el conjunto de sitios de los vecinos penden de los parámetros del modelo, y que por lode (i, j). tanto no son universales. Estos hechos muestran que Estas ecuaciones, completamente deterministas, los eventos críticos carecen también de escala tem-representan la transferencia de la fuerza hacia los poral.bloques vecinos, que causará que se vuelvan ines-tables y se dé a lugar una reacción en cadena. Estareacción en cadena es el terremoto. Cuando el terre- 2.5 Transiciones de fasemoto se detiene el sistema se mantiene quieto hastaque la fuerza en otro punto exceda el valor crítico, y En general, transición de fase es la transformaciónun nuevo evento inicie, una y otra vez. de un estado de la materia con propiedades físicas homogéneas (fase) a otro con propiedades diferen- En este caso, el valor de α está directamente rela- tes. Antiguamente, se pensaba que los estados decionado con los parámetros de elasticidad de la cor- la materia eran tres: sólido, líquido y gaseoso (des-teza terrestre. Para el valor de α = 1/4, se puede de- pués se agrega el estado de plasma), sin embargo, elcir que la fuerza se conserva i.e., el monto de fuerza número de estados de la materia que la ciencia ac-en el sitio (i, j), iguala al monto total de fuerza que tual ha descubierto se ha multiplicado enormemen-ganan los cuatro sitios vecinos. Sin embargo, se ha te, hablando estrictamente: los magnetos son un di-encontrado que la criticalidad prevalece para valo- ferente estado de la materia, así como los metalesres de α menores que 0.05, es decir donde sólo existe son diferentes de los aislantes. Los superconducto-una conservación del 20 % (Bak, 1994), hecho que se res y los superfluidos son interesantes nuevos esta-espera de sistemas disipativos. dos, así como existe una familia completa de dife- Por otro lado, el exponente b de la Ecuación 2, co- rentes estados de la materia correspondientes a losrrespondiente a la pendiente de la ley de potencias cristales líquidos –como los que se usan en los relo-que se muestra en la Figura 1c. está relacionado con jes digitales–, en donde se han identificado 200 tiposα, de la forma: b = 1 − α. Es decir que la pendiente diferentes, sin mencionar a los quasicristales. Hayb depende del grado de disipación de la energía en estados desordenados de la materia como los spinesel sistema, y por lo tanto no existirá criticalidad para de vidrios y los estados fraccionarios del efecto Hallel caso de sistemas conservativos. cuántico, como los quarks, y otros estados desarro- Abordando el segundo punto de discusión, el llados desde la física de partículas. En fin, actual-ruido 1/ f , se ha mencionado que éste puede ser mente se cuentan 500 estados de la materia (Sethna,pensado como la superposición de avalanchas que 2010).ocurren en un estado de SOC. Para ilustrar este he- Pero, qué es lo que distingue un estado de la ma-cho, Chistensen et al., analizan en 1991 el tiempo de teria de otro? En realidad, se ha determinado que siL GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. Ac 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador. 9
  6. 6. Reseña bibliográfica / Review Sheila Serrano y Leonardo Basiledos materiales tienen diferente simetría, se los pue- tado turbulento. En este estado se generan vórticesde considerar en diferentes fases. Por ejemplo, si se con un amplio rango de escalas de longitud. Mien-analiza un cubo y una esfera, claramente se ve que tras que la energía se disipa localmente dentro dela esfera es más simétrica que el cubo, ya que ésta una pequeña escala de longitud llamada longitudpuede ser rotada en cualquier ángulo y permane- de Kolmogorov, con dimensiones fractales cercanascer invariante, es decir, que mantiene una invarian- a cero (Mandelbrot, 1982).cia rotacional. Mientras que el cuadrado únicamente Al igual que los ejemplos abordados anterior-puede ser rotado 90o , 180o y 270o respecto a los tres mente: pila de arena y terremotos, el fenómeno deejes que pasan a través de sus caras. Se puede girar la turbulencia en un fluido tiene un comportamientopor 120o o 240o respecto a las esquinas y por 180o si similar, aunque sus escalas de tiempo y espacio di-se rota alrededor del eje que pasa desde el centro a fieren enormemente. En ambos casos la energía en-través de cualquiera de los 12 bordes del cubo. Así, tra al sistema de una manera lenta y uniforme y loel cubo y la esfera poseen diferente simetría, como abandona localmente, tal como menciona Kagan, enla pueden presentar dos estados de la materia dife- su libro Sismicidad: turbulencia en Sólidos.rentes. De esta manera, se hace evidente la validez de Cada fase estará determinada por una propie- pensar en un proceso SOC, como uno turbulento.dad física importante la cual está determinada por Generalmente, la turbulencia en un fluido estaba de-un parámetro de orden. Al ocurrir una transición de terminada por las ecuaciones dinámicas no linealesfase, será este parámetro de orden el que definirá de Navier Stokes, utilizadas ampliamente en la in-cuantitativamente esta transición. vestigaciones de los comportamientos atmosféricos Asimismo, en la coexistencia cada fase tiene sus (Palacios et al., 2009). Sin embargo, la naturaleza nopropiedades termodinámicas bien definidas (como analítica de las soluciones de estas ecuaciones ha-temperatura y la presión constantes), pero estas fa- cían ver a los fenómenos atmosféricos como caóti-ses son sistemas abiertos que acumulan y disipan cos (Steward, 1997). Generándose así esfuerzos paramateria y/o energía, por lo que de debe cumplirse desarrollar técnicas computacionales que a través deque los potenciales químicos de cada fase deben ser métodos numéricos y una amplia red de monitoreoiguales. Esto significa que tanto el potencial químico meteorológico han podido generar avances en la in-µ como la energía libre de Gibbs G deben cambiar vestigación de los comportamientos climáticos, peroal ocurrir una transición de fase. Las transiciones sin un modelo teórico que realmente pueda eviden-se clasifican según la continuidad de las derivadas ciar la verdadera naturaleza del sistema atmosféri-del potencial de Gibbs: cuando hay cambios de es- co.tado discontinuos (primeras derivadas de G discon- Años atrás, en 1974 Arakawa y Schubert, conci-tinuas), tenemos una transición de fase de primer ben al sistema atmosférico como uno de acumula-orden y los estados correspondientes a cada fase se ción de energía generada por los procesos de evapo-hallan en regiones separadas del espacio de confi- ración del agua, seguido por procesos de disipaciónguraciones termodinámicas; cuando los cambios de de la misma representados por las precipitaciones.estado son continuos (derivadas superiores discon- De esta manera, y desde un punto de vista estadís-tinuas), nos encontramos con transiciones de fase tico, se evidenciaría un equilibrio entre los procesoscontinuas o de orden superior, también denomina- de acumulación y disipación de energía –aunque endas fenómenos críticos. realidad el sistema está fuera del concepto conocido del equilibrio termodinámico–, por lo que se ha de-3. Estudios sobre la precipitación nominado a estos sistemas como de cuasi-equilibrio (QE). Sin embargo, a pesar de que contar con un mo- lluviosa delo de esta naturaleza fue valioso, la lluvia seguía siendo considerada parte de un sistema dinámico3.1 Criticalidad en la precipitación llu- que tendía irremediablemente al caos y escapaba de viosa las predicciones, sobretodo cuando se trataba de la precipitación intensa (Palacios y Serrano, 2011).Un fluido, como la atmósfera, al cual se le impo-ne una diferencia de velocidad v, sobre una escala En el año 2002 se hicieron interesantes estudiosde longitud L, experimenta una transición a un es- experimentales para relacionar a la teoría de la SOC L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. A10 c 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador.
  7. 7. La precipitación intensa vista desde la criticalidad auto-organizanda y las transiciones de fase continuas: un nuevo enfoque de estudiocon el fenómeno de la precipitación (Peters y Chris- De esta manera Peters et al. (2002) encuentrantensen, 2002; Peters et al., 2002). Se realizó un estu- que la distribución de las magnitudes de las preci-dio de la precipitación generada sobre el Mar Bálti- pitaciones registradas seguían una ley de potencia,co con datos de radar Doppler, aplicados sobre un tal como ocurría con el modelo de la pila de arenarango de altura que iba de los 50 a los 250 msnm (2). La relación que se encontró fue:durante todo el año 2001. Cabe indicar que se eli-gió realizar el trabajo sobre el mar debido a la poca N ( M) ∝ Mτ (7)variabilidad térmica del agua. donde N ( M ) se refiere al número de eventos produ- Los datos de radar utilizados tuvieron una gran cidos en el año estudiado, M la magnitud de la pre-precisión que llega incluso a detectar precipitacio- cipitación medida en mm, y τ se refiere al exponentenes de hasta 10-4 mm (se determinó como precipi- de la relación, que en este caso llegó a ser τ = 1,4.tación a cualquier masa de agua que caía con velo- De esta manera, se infiere que la precipitación es uncidad diferente de cero). Detectando de esta manera buen candidato a un sistema en SOC y que por lovirgas, es decir, precipitaciones tan pequeñas que se tanto dicho marco teórico puede ser considerado enevaporan antes de tocar el suelo. su estudio. Asimismo, la resolución temporal también fue Cabe indicar, que la misma ley de potencia fuealta: 1 min, lo cual permitió detectar la verdadera encontrada al determinar la distribución de frecuen-intensidad de la lluvia, por corta que esta fuera ya cias de la duración de los eventos lluviosos, encon-que no se ocultaba su verdadera magnitud, que ge- trándose en este caso, un un exponente de τ = 1,6.neralmente se perdía al promediarla en periodos de Asimismo al estudiar el tiempo de duración de lostiempo mayores. Los datos se presentan en la Figu- períodos de sequía (días sin precipitación) se obtu-ra 2. vo un exponente τ = 1,4. No menos relevantes son los estudios de Bunde et al. (2003) que muestran el comportamiento de la potencia entre las correlacio- nes de las variaciones de temperatura y sus tiempos de correlación, encontrando exponentes de 0,7. 4. Transiciones de fase y precipi- tación lluviosa La mayoría de tormentas ocurren en escalas de tiem- po relativamente cortas y se presentan como eventos extremos con tasas de lluvia que exceden los pro- medios climatológicos por varios órdenes de mag- nitud. Desde la aplicación de la dinámica de fluidos al estudio de la atmósfera, es un hecho conocido que el movimiento de las masas de aire húmedas se da principalmente por convección, y la precipitación - algunas veces intensa- que este movimiento ocasio- na es sensible a las variaciones del vapor de agua calculadas a lo largo de una columna vertical. Es-Figura 2. Distribución de las magnitudes de precipitación tos valores generalmente son estudiados en grandesen una escala doble logarítmica, sobre la cual se apreciaclaramente la ley de potencia. La flecha indica el pun- escalas de tiempo y espacio; hecho verificado tantoto de mínima resolución de un pluviómetro normal, ba- en observaciones reales, como las de Parsons et al.jo el cual, la precipitación puede considerarse como vir- (2000), y en modelos numéricos como en Grabows-ga. Adaptado de Peters y Christensen (2002) y Peters et al. ki (2003). (2002).L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. Ac 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador. 11
  8. 8. Reseña bibliográfica / Review Sheila Serrano y Leonardo Basile En este caso, el efecto del empuje del vapor de base de la mayoría de parametrizaciones convecti-agua sobre las nubes, arrastra el aire circundante vas en los modelos dinámicos a gran escala y me-generando un flujo turbulento. Así, la hipótesis de soescala, así como mucha de la teoría dinámica tro-Peters y Neelin (2006a) plantea que la transición a pical desarrollada hace más de dos décadas.la convección intensa, acompañada por el inicio dela precipitación intensa, muestra signos de ser unatransición de fase continua. Cabe indicar que las 4.1 Evidencia experimental de las transi-transiciones de fase que se dan en un fluido en con- ciones de fase en la precipitación llu-vección son completamente diferentes a las transi- viosaciones de fase discontinuas, típicas de los cambiosde estado, como la condensación que se da en las Con estos antecedentes, se presenta el trabajo ex-gotas de agua. perimental que realizaron Peters y Neeil desde el De esta manera, el modelo de Peters y Neelin 2006, tanto desde el punto de vista estadístico (Pe-considera a la atmósfera como una grilla tridimen- ters y Neelin, 2006b,a), como del climatológico (Nee-sional. Las reglas de conservación de partículas se lin et al., 2009).definen de tal manera de que en cada espacio de la Debido a que el valor de vapor de agua, w, de-red exista un número definido de partículas, las cua- pende principalmente de la temperatura, se deter-les podrán saltar al espacio vecino si dentro de su mina una cantidad de vapor de agua para un pro-propia región se excede un cierto umbral crítico de medio de temperaturas característico a una regióndensidad. Estas simples reglas generarán una tran- climática dada dentro de los trópicos, es decir, entresición de fase al llegar a este valor crítico; desde una las latitudes 20◦ N a 20◦ S, y sobre los océanos, de-fase con poca movilidad (en donde eventualmente bido a la gran inercia térmica que poseen. En total,el sistema llega a una configuración estable) hacia se definieron cuatro regiones climáticas correspon-una fase activa (en donde las configuraciones esta- dientes a los océanos: Pacífico oeste, Pacífico este,bles ya no son accesibles). El parámetro de sintoni- Atlántico e Índico.zación será entonces la densidad de partículas esta- Los datos de radar fueron recopilados delcionarias, y el parámetro de orden se identifica como TRMM (Tropical Rainfall Measuring Mission), quela densidad de sitios activos, como indican Marro y cuentan con una resolución espacial de 0,25◦ × 0,25◦Dickman (1999). (lo que equivale a 12,7km × 12,7km), qque puede Así, la SOC se describe como un atractor de la considerarse suficientemente alto a nivel espacial.transición de fase, ya que al estar abiertas las fronte- Temporalmente también se cuenta con una buenaras de la grilla, y asimilar una adición de partículas resolución ya que existen datos cada tres horas. Ca-muy lenta, el parámetro de sintonización se incre- be indicar que estos datos satelitales han sido vali-menta hacia el valor crítico de densidad, lo cual ge- dados y probados desde estaciones en tierra y en ai-nera una transición de fase hacia un estado activo re por la TSVO (por TRMM Satellite Validation Offi-que a su vez disipa a las partículas desembocando ce, en inglés) con el objetivo de verificar la fiabilidaden una disminución del parámetro de sintonización de los datos (Wolff et al., 2004).nuevamente hacia el estado crítico. De esta manera, se trabaja con el parámetro co- El modelo propuesto define al parámetro de or- nocido como columna de vapor de agua w (que seden como a la precipitación, mientras que el pará- refiere al volumen agua líquida por área, medidometro de sintonización queda determinado por la en mm)determinado como parámetro de sintoniza-cantidad de vapor de agua. Así, las avalanchas de ción, el promedio de la precipitación P (w) dada entodos los tamaños (lluvias), serán la característica mm/h, que está determinado como el parámetro dedel estado crítico, que resultan de la proximidad orden. Estas observaciones se promedian sobre cadapermanente del sistema alrededor de un punto crí- grilla y en las tres horas observadas, en cada regióntico (Pruessner y Peters, 2006). durante los cinco años investigados (el promedio se Esta conjetura coincide tanto con el concepto de representará por ).transición de fase, como con el de QE (Arakawa Así, en la Figura 3 se muestra el comportamien-y Schubert, 1974). Las pruebas observables de esta to del promedio de la precipitación P (w) dada encontinua proximidad a un estado de QE han sido la mm/h, en función del parámetro de sintonización w L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. A12 c 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador.
  9. 9. La precipitación intensa vista desde la criticalidad auto-organizanda y las transiciones de fase continuas: un nuevo enfoque de estudiodado en mm. Aunque el comportamiento para cadaregión climática es bastante similar, la ley de poten-cia se hace más evidente al reescalar cada término.Esto se logra multiplicando al parámetro de orden i P (w)) por un factor de reescalamiento f P , y al pa-rámetro de sintonización w por f w i , en este caso elíndice i corresponde a cada región climática, tal co-mo se muestra en la Figura 4. Figura 4. Parámetro de orden reescalado (promedio de la precipitación P (w)) en función del parámetro de sinto- ninzación (vapor de agua w ), también reescalado para cada región climática estudiada en los trópicos. Es eviden- te que el comportamiento sigue una ley de potencia, mar- cada con la línea continua. Adaptado de Peters y Neelin (2006a). Un trabajo posterior elaborado en el 2009 por Neelin et al. (2009) hace un estudio a profundidadFigura 3. Parámetro de orden (promedio de la precipita-ción P (w)) en función del parámetro de sintoninzación de todas las variables importantes sobre estos siste-(vapor de agua w), para cada región climática estudiada mas climáticos; de este trabajo, es relevante destacaren los trópicos. Los datos se presentan sin reescalamiento. la no influencia de la temperatura sobre el compor- Adaptado de Peters y Neelin (2006a). tamiento de ley de potencia, ya que se sigue encon- trando un valor crítico y un exponente universal pa- ra diferentes temperaturas, tomadas a diferentes al- turas de la tropósfera. Asimismo, se hace un estudio Después del reescalamiento es evidente que los muy detallado de la dependencia del valor críticoparámetros de orden y sintonización siguen una ley del vapor de agua wc respecto a la temperatura, es-de potencia del tipo: tudio que se muestra en la Figura 5. Para visualizar el comportamiento de la ley de P (w) = a(w − wc )b . (8) potencia, nos referimos a la Figura 6, donde se muestra la precipitación promedio en función delDonde a y wc son constantes que dependen del sis- vapor de agua reducido: ∆w ≡ (w − wc )/wc , paratema climatológico estudiado, y b es un exponente cada uno de los cuatro océanos estudiados, en ununiversal. Cabe indicar que cada sistema estudiado gráfico doblemente logarítmico. En este caso, es es-tiene un propio wc , cuyos valores para el Pacífico pecialmente interesante que el exponente b es uni-oeste, el Pacífico este, el Océano Índico y el Atlántico versal, independiente de la región estudiada, e igualson respectivamente 66,2; 63,7; 66,8 y 61,8 mm (Pe- a 0,215. Cabe resaltar que la ley de potencia se ajus-ters y Neelin, 2006a). Este último hecho es evidente ta bastante bien, sin la necesidad de realizar un fineen la Figura 3 pero se pierde con el reescalamiento tunning, logrando virtualmente la misma pendien- ide w, al multipicarlo por el factor f w . El factor de te para cada océano estudiado, independientementereescalamiento f Pi reflejará la capacidad de cada re- de sus climatologías propias, con un error relativogión climática i de generar precipitación. de tan solo 0,02.L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. Ac 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador. 13
  10. 10. Reseña bibliográfica / Review Sheila Serrano y Leonardo Basile ma complejo: aquel que tiene información en todas las escalas de longitud y tiempo, i.e. la complejidad es la información integrada −Σp log p de un sistema sobre todos los posibles valores de tiempo o espacio. A través del formulismo de Zhang se ha determina- do que un sistema es más complejo en el punto crí- tico. Es decir, Complejidad es Criticalidad. Y la SOC se puede interpretar como el hecho de que la natu- raleza busca la máxima complejidad. Así, ¿qué será entonces la adaptabilidad de un sistema complejo? Ya que en un sistema dinámico determinista no existen los conceptos de “propósi- to”, “racionalidad”, y por lo tanto “aprendizaje” y “adaptabilidad”, la pregunta realmente debería ser cuáles son las características de los sistemas com-Figura 5. Columna de vapor de agua crítico wc en fun- plejos que un observador puede interpretar comoción de la temperatura troposférica, para cada uno de los adaptabilidad. océanos estudiados. Adaptado de Neelin et al. (2009). Así, lo que se observa como “adaptabilidad o re- silencia” de un sistema es su dinámica (avalanchas, terremotos, etc.) en función de los grados de libertad que lo forman como un sistema único, y que permi- ten que busque y se mantenga en un estado crítico (Bak y Sneppen, 1993). 6. Criticalidad, entropía y negen- tropía Bajo otro contexto, es válido indicar que la entropía ha sido un concepto básico para el estudio del cli- ma, como lo muestran los estudios de Peixoto et al.Figura 6. Escala doble logarítmica de la precipitación en (1991) donde se muestra que la energía del sistemafunción del vapor de agua reducido para los océanos Pa- climático proveniente de la radiación solar igualacífico oeste (verde), este (rojo), Atlántico (azul) e Índico casi exactamente al flujo de radiación de onda lar-(rosado). Las líneas continuas son para guía, se tiene unapendiente de 0,215, que se ajusta igualmente bien a cada ga que sale, mientras que los flujos de entropía que región. Adaptado de Peters y Neelin (2006a). salen son 22 veces más grandes que los flujos de en- tropía asociados con la radiación entrante. De esta manera, se afirma que el sistema, cumpliendo la se- gunda ley de la termodinámica, genera entropía de-5. Criticalidad, complejidad y bido a2010; Benjamin de al., 2004). irreversibles (Bleck et al., la conducción procesos et adaptabilidad Tan significativo como el concepto de la entro- pía es el de la negentropía, que ha nacido del desa-Si se quisiera definir a la complejidad, no se po- rrollo de la Teoría de la Información. En esta teoríadrían aplicar este concepto a un sistema en donde se propone a la Entropía de Información de Shan-todos los puntos son iguales a los demás (es decir non, la cual cuantifica el contenido de informaciónno se puede aplicar a sistemas aleatorios, en donde transportada por un mensaje en términos de la me-no existe correlación entre los puntos). Zhang et al. jor tasa de compresión sin pérdidas. Posteriormente,(2011) ha aportado una útil concepción de un siste- Brillouin en 1962, postula el principio de negentro- L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. A14 c 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador.
  11. 11. La precipitación intensa vista desde la criticalidad auto-organizanda y las transiciones de fase continuas: un nuevo enfoque de estudiopía en información a través de su libro Science and sido abordada en esta revisión para el caso de la pre-Information Theory, en el cual postula que adquirir cipitación, sin olvidar la necesidad de complemen-o extraer información acerca de los microestados de tar el estudio del sistema climático con otros concep-un sistema, decrece la entropía, y como es necesa- tos termodinámicos desarrollados como es el casorio hacer trabajo para extraer la información, la en- de la entropía y la negentropía. Conceptos que hantropía decrece localmente, pero aumenta en alguna mostrado su gran capacidad descriptiva y predicti-otra parte, respetando así la Segunda Ley de la ter- va en el sistema atmosférico.modinámica (Roopun et al., 2008). Por otro lado, uno de los principales aportes de En fin, según Mahulikar y Herwing (2009), la ne- esta novel concepción radica en el modelamientogentropía termodinámica es el déficit específico de más adecuado y significativamente simple de la pre-entropía de un sub-sistema ordenado dinámicamen- cipitación P (w), que través de la ecuación (8), lle-te, relativo con su entorno. Así, Jaynes (1957) ha va- va a determinar que la lluvia intensa es un fenó-lidado la utilización del concepto de negentropía, no meno de naturaleza fractal.sólo en el estudio de sistemas climáticos sino en su Desde una comprensión más básica el hecho depronóstico, como lo muestra el trabajo de Liu et al. que la precipitación intensa dependa únicamente de(2011), en el que se reproduce con gran exactitud las sobrepasar cierto umbral wc , sin estar asociada di-trayectorias de los huracanes tropicales, como aque- rectamente con un parámetro temporal, podría della trayectoria con mayor negentropía. alguna forma dificultar en un futuro la predicción Estos conceptos desde sus fundamentos han es- de la ocurrencia de lluvias torrenciales, por ejem-tado ligados a los conceptos de auto-organización; plo. Sin embargo, aún cabe determinar si el paráme-fue Bernard en 1900, quien al calentar una capa fi- tro de sintonización w tiene alguna corresponden-na de un fluido en reposo y someterlo a una dife- cia más directa con escalas temporales que permitanrencia de temperatura, con un flujo característico de predecir su evolución en el tiempo, y de esta mane-calor, observó que pasado cierto valor crítico de di- ra generar de alguna forma sistemas de alerta a lasferencia de temperatura, el sistema llegaba a auto- precipitaciones intensas. Debido a que sí existe unorganizarse abruptamente, formando patrones re- monitoreo bastante completo del vapor de agua agulares de celdas convectivas de forma hexagonal. través de sistemas satelitales a escala planetaria.Sugirió entonces que todo sistema sometido a un Por otro lado, no hay que olvidar que el com-flujo de entropía negativo (flujo negentrópico) está portamiento de la precipitación intensa respecto aasociado a una auto-organización al pasar por un la temperatura es un hecho conocido: la cantidad devalor crítico. Tiempo después, en los años cuarenta, vapor de agua en un volumen depende de la tempe-Schrödinger propuso en su monografía What is Li- ratura; de la termodinámica se desprende que mien-fe?, que la existencia de la vida dependía de un con- tras mayor sea la temperatura mayor cantidad detinuo aumento de la negentropía de los alrededores, vapor de agua puede contener un sistema. Por es-y que este flujo era completamente significante para ta razón, los investigadores en sus primeros traba-el sistema, ya que éste le permitía lograr su nivel de jos, que van del 2004 al 2006: Bretherton et al. (2003);auto-organización Peters y Neelin (2006a); Pruessner y Peters (2006), escogieron sistemas sobre océanos cuyas climatolo- gías se caracterizan por tener las variaciones míni-7. Conclusiones y Recomendacio- mas de temperatura. nes Sin embargo, y para apoyar la robustez de la SOC, se muestra que la temperatura no influye en laAbordando los resultados desde el punto de vista transición de fase a la precipitación intensa siguien-meteorológico, se sugiere que las anteriores concep- do una ley de potencia, aún más se ha mostrado queciones de QE, base para la descripción dinámica y el exponente logrado b es universal. Y que lo queconvectiva de la precipitación, y por lo tanto ba- se ve afectado directamente por la temperatura esse de muchos programas computacionales de pre- el valor crítico wc , por lo tanto, se recomienda pro-dicción numérica, deben extenderse e incluir teorías bar este marco teórico para sistemas con variabili-que involucran los conceptos de criticalidad auto- dad térmica significativa, como los que se encuen-organizada y transiciones de fase, cuya utilidad ha tran sobre tierra Condom et al. (2011). En estos casosL GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. Ac 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador. 15
  12. 12. Reseña bibliográfica / Review Sheila Serrano y Leonardo Basileserá necesario precisar la dependencia lineal del va- Bretherton, C., M. Peters y L. Back. 2003. Relations-lor de wc respecto a la temperatura, así como el pará- hips between Water Vapor Path and Precipita-metro a que determina la capacidad de cada sistema tion over the Tropical Oceans. Journal of Climate,climático de lograr precipitaciones intensas. 17. En conclusión, esta recopilación plantea un no- Bretherton, C., M. Peters y L. E. Back. 2004. Rela-vel formalismo para el estudio de los fenómenos tionships between water vapor path and preci-complejos, cuyos resultados respecto a la SOC y la pitation over the tropical oceans. Journal Clim.,teoría de las transiciones de fase indican que nos en- 17.contramos más cerca del entendimiento de este fe-nómeno. Bunde, A., J. Eichner, R. Govindan, S. Halvin, E. Koscienly-Bunde, D. Rybski y D. Vjushin. 2003. Power-Law persistence in the Atmosp-8. Agradecimientos here Analysis and Applications. Nonextensi- ve Entropy-Interdisciplinary Applications, NewLos autores agradecen a Marco Bayas, Enrique Pala- York Oxford University Press, 17.cios, Marcos Villacís y Nicolás Vásquez por sus va- Chistensen, K., H. J. Jensen y H. C. Fogedby. 1991.liosos aportes en la discusión de los temas técnicos Dynamical and Spatial Aspects of Sandpile Ce-y teóricos de esta investigación. lluar Automata. J. Stat. Phys., 63: 653–681. Condom, T., P. Rua y J. C. Espinoza. 2011. Correc-Referencias tion of TRMM 3B43 monthly precipitation data over the montainous areas of Peru during the pe-Adami, C. 1955. Self-organized criticality in living riod 1998-2007. The European Physical Journal B, systems. Physical Letters A, 203(1): 29–32. 82: 83–89.Arakawa, A. y W. Schubert. 1974. Interaction of Cowan, G., D. Pines y D. Meltzer. 1994. Complexity: a cumulus cloud ensemble with the large-scale Methaphors, Models and Reality. SFI Studies in environment, part I. . Journal Atmospheric Scien- the Sciences of Complexity. Addison Wesley. ce, 31: 674–701. Grabowski. 2003. MJO-like coherent structu-Bak, P. 1996. How Nature Works: The science of res: Sensitivity simulations using the cloud- self-organized criticality. Copernicus. resolving convection parameterization (CRCP). Journal of Atmospheric Sciences, 60: 847–864.Bak, P. y K. Chen. 1991. Self-organized criticallity. Science Amercian, 246(1). Ibañez, J. 2007. Física de Fractales, Geosfera, Edafosfera y Biosfera (La Criticalidad Auto-Bak, P. y K. Sneppen. 1993. Punctuated equilibrium Organizada). MI+D. and criticality in a simple model of evolution. Physical Review Letters, 71(24): 4083–4086. Jaynes, E. 1957. Information theory and statistical mechanics. Phys. Rev., 105: 620–630.Bak, P., C. Tang y K. Wiesenfeld. 1987. Self- organized criticality. Physical Review A, 38(1): Kagan, Y. 1992. Seismicity: Turbulence of solids. 364–374. Nonlinear Sci. Today, 2: 1–13.Benjamin, Grell, Brown, Smirnova y R. Bleck. 2004. Kron, T. y T. Grund. 2009. Society as a Selforga- Mesoscale weather prediction with the RUC nized Critical System. Cybernetics and Human hybrid isentropic-terrain-following coordinate Knowing, 16: 65–82. model. Mon. Weather Rev., 132: 473–494. Liu, Y., C. Liu y D. Wang. 2011. Understanding At-Bleck, Benjamin, Lee y MacDonald. 2010. On the use mospheric Behaviour in Terms of Entropy: A Re- of an adaptive, hybrid-isentropic vertical coor- view of Applications of the Second Law of Ther- dinate in global atmospheric modeling. Mon. modynamics to Meteorology. Entropy, 13: 211– Weather Rev., 138: 2188–2210. 240. L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. A16 c 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador.
  13. 13. La precipitación intensa vista desde la criticalidad auto-organizanda y las transiciones de fase continuas: un nuevo enfoque de estudioLucas, C. 1999. Self-Organizing Systems. Usenet Peters, O. y K. Christensen. 2002. Rain: Relaxations group comp.theory.self-org-sys. in the sky. Physical Review E.Mandelbrot, B. 1982. The Fractal Geometry of Na- Peters, O., C. Hertlein y K. Christensen. 2002. Com- ture. W.H. Freeman, San Francisco. plexity view of rainfall. Physical Review Letters, 88(1).Marro, J. y R. Dickman. 1999. Nonequilibrium Phase Transitions in Lattice Models. Cambridge Peters, O. y D. Neelin. 2006a. Critical phenomena Univiversity Press, Cambridge. in atmospheric precipitation-Supplementary In- formation. nature physics.Neelin, D., O. Peters y K. Hales. 2009. The transi- tion to strong convection. Journal of Atmosphe- Peters, O. y J. D. Neelin. 2006b. Critical phenomena ric Science. in atmospheric precipitation. Nature physics, 2: 393–396.Neelin, D., O. Peters, J. Lin, K. Hales y C. Holloway. 2008. Rethinking convective quasi-equilibrium: Privman, V., P. Hohenberg y Aharony. 1991. A. in observational constraints for stochastic convec- Phase Transitions and Critical Phenomena. Aca- tive schemes in climate models. Philosophical demic, New York, 14: 1–134. Transactions of the Royal Society A, 366: 2579– 2602. Pruessner, G. y O. Peters. 2006. Self-organized cri- ticality and absorbing states: Lessons from theNewman, M. 2005. Power laws, Pareto distribu- Ising model. Physical Review E, 73(025106). tions and Zipf’s law. Contemporary Physics, 46(1). Puyeyo, S. 2011. Self organised criticality and the response of wildland fires to climate change. Cli-Olami, Z., H. J. Feder y K. Christensen. 1992. Self- matic Change, 82: 131–161. organized criticallity in a continuous, noncon- servative cellular automaton modeling earth- Ramirez, R. 2000. Autocriticalidad de los incendios quakes. Phys. Rev. Lett., 68: 1464–1247. forestales. Tesis Doctoral, Universidad Nacional de Estudios a Distancia.Palacios, E. y S. Serrano. 2011. Validación de los Modelos de Cambio Climático hidrostáticos y Raup, M. D. 1986. Bilogical extinction in earth his- no hidrostáticos sobre la climatología de Ecua- tory. Science, 251: 1530–1532. dor en las variables de precipitación y tempera- Reynoso, C. 2007. Complejidad y el Caos: Una ex- turas extremas. La Granja, 13. ploración antropológica. Universidad de Buenos Aires.Palacios, E., S. Serrano y P. Núñez. 2009. Estudio de la climatología ecuatorial andina con métodos Roopun, Kramer, Carracedo, Kaiser, Davies, Traub, numéricos: pronósticos de tiempo, validaciones Kopell y Whittington. 2008. Temporal interac- y recosntrucción de la atmósfera. La Granja, 10. tions between cortical rhythms. Front. Neurosci., 2: 145–154.Paltridge, G. 1975. Global dynamics and climate: a system of minimum entropy exchange. Quart. J. Sekar, I. 2007. Realization of soc behavior in a dc Roy. Meteorol. Soc., 101: 475–484. glow discharge plasma. Physics Letters A, 360: 717–721.Parsons, D. B., K. Yoneyama y J. Redelsperger. 2000. The evolution of the tropical western Pacific Sethna, J. 2010. Entropy, order parameters and ocean-atmosphere system following the arrival Complexity. Clarendon, Oxford. of a dry intrusion. Meteorological Society, 126: 517–548. Steward, I. 1997. Does God play dice? Penguin Books.Peixoto, J., A. Oort, M. de Almeida y A. Tome. 1991. Entropy budget of atmosphere. Journal Geophys. Turcotte, D. L. 1985. Collapse of loaded fractal Res., 96: 10981–10988. trees. Nature, 313: 671.L GRANJA, Revista de ciencias de la vida, 15(1) 2012: 5-18. Ac 2012, Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador. 17
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