Volatility models and their applications in Finance (4/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-4

Volatilitat i Correlació
Gerard Albà
Xavier Noguerola
FME UPC – febrer 2014

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
1. Introducció
2. Volatilitat
2.1 Volatilitat històrica.
2.2 Volatilitat implícita.
2.3 Volatilitat implícita vs real.
Sessió Pràctica 1:

Gregues. Gestió del risc d’una opció.
Gestió d’un llibre de derivats.
Informació de mercat sobre volatilitat.

2.4 Models de volatilitat.
2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH.
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Volatilitat.
Local, Volatilitat Estocàstica i Jump diffusion
2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat.
2


3. Correlació
3.1 Introducció. Covariància i correlació.
3.2 Correlació històrica i implícita.
3.3 Models de correlació.
3.4 Trading de correlació.
3.5 Inconvenients de la correlació.
3.6 Altres mesures de dependència. Exemple: Opció Composite.
3.7 Efectes de la correlació en la valoració i càlcul de gregues.
3.8 Inconvenients en l’ús de paràmetres no observables. Provisions.

3


• La correlació és una mesura de la dependència lineal entre
vàries variables aleatòries.
• La correlació s’aplica en la valoració d’opcions multi-asset
(cistelles i/o models híbrids), la gestió de carteres i en l’anàlisi
de riscos.
• S’utilitza per descriure i modelitzar la dependència (lineal)
entre actius (equities, bons, tipus d’interès, tipus de canvi,
índexs d’inflació, commodities,...).

4


• Covariància entre dues variables aleatòries X i Y:

[

Cov( X , Y ) = E ( X − µ X )(Y − µY )

]

• Coeficient de correlació lineal: és una normalització de la
covariància (aquesta no està acotada), que permet comparar
grau de dependència entre diversos parells de v.a

ρ XY

Cov ( X , Y )
=
σ X ⋅σ Y
5


3.1 Introducció. Covariància i correlació. Propietats.
• Linealitat del coeficient de correlació:

ρ (αX + β , γY + δ ) = sgn(αγ ) ρ ( X , Y )
Conseqüències:
– Correlació invariant per splits d’accions.
– Correlació invariant per pagaments de dividends.

• Correlació no invariant respecte transformacions no lineals:

ρ (T ( X ), T (Y ) ) ≠ ρ ( X , Y )
Conseqüència:
– Correlació de rendibilitats diferent a correlació logaritmes
rendibilitats.
6


3.1 Introducció. Covariància i correlació. Coeficient beta.
• Beta entre dos actius:

β XY

ρ XY ⋅σ X Cov( X , Y )
=
=
σY
Var (Y )

• Correspon a la pendent de la regressió lineal de la variable X
respecte la variable Y.
• El coeficient beta és útil pel càlcul de ratis de cobertura per un
actiu mitjançant un altre instrument financer (similar a la
delta en les opcions).
• També s’utilitza com a indicador del nivell de risc en alguns
models de valoració d’actius com el CAPM (Capital Asset
Pricing Model).
7


3.1 Introducció. Covariància i correlació. Exemples.
• El càlcul de la volatilitat d’una cistella d’actius es fa mitjançant
les volatilitats individuals i les covariàncies/correlacions:

N

∑w w ρ σ σ

σP =
=

i , j =1
N

∑

i , j =1,i ≠ j

i

j

ij

i

j

=
N

wi w j Cov(ri , rj ) + ∑ w σ
i =1

2
i

2
i

8


•

L’estructura de dependència dins d’una cistella d’actius ha de ser tal
que la matriu de correlacions sigui semi-definida positiva:

M = (ρ ij )

xT ⋅ M ⋅ x ≥ 0 ∀ x ∈ ℜ n
•

Altrament, es podria construir una cartera amb ponderacions de
manera que la cistella tingués variància negativa!!

•

La condició es pot verificar mitjançant la descomposició de Txoleski:

M = AT ⋅ A
amb A triangular inferior amb la diagonal formada per elements
positius. Si la descomposició no és possible la M no és semi-definida
positiva.
9


Distribució Normal Multivariant

X = [X 1 ,  , X n ] ~ N n (µ , Σ )
T

µ = [µ1 ,, µ n ]T
Σ ∈ ℜn x n

•

Distribució multivariant amb distribucions univariants marginals
normals per les variables aleatòries individuals X 1 ,  X n

•

Funció de densitat conjunta:

f X ( x1 ,  xn ) =
•

1

(2π ) 2 Σ
n

1

e

−

1
( x − µ )T Σ −1 ( x − µ )
2

2

Permet calcular preus d’opcions europees sobre cistelles de
diversos actius: Best-of, Worst-of calls, puts,... en un entorn tipus
Black-Scholes.
10


Distribució Normal Bivariant
• Funció de densitat conjunta:
2
 σx

Σ=
 ρσ xσ y

f ( x, y ) =

1
2πσ xσ y 1 − ρ

2

e

ρσ xσ y 

2
σy 


1
−
2 1− ρ 2

(

(

2

 (x−µx ) + y−µ y
2
 σ2
σy
x


)


)2 − 2 ρ( x − µ x )( y − µ y ) 

σ xσ y




11


• La correlació històrica ρ n de les rendibilitats u i v de dues
variables de mercat S1 i S2 a l’instant n es pot calcular a partir
d’una mostra d’m observacions anteriors mitjançant
l’estimador:

ρn =

Covn (u , v)

σ u ,nσ v ,n

amb

σ u2,n

1 m 2
= ∑ un −i
m i =1

σ v2,n

1 m 2
= ∑ vn − i
m i =1

1 m
Covn (u , v) = ∑ un −i ⋅ vn −i
m i =1
12


3.2 Correlació històrica i implícita. Estimadors.
• Per a mostres petites (m<10) existeixen estimadors útils:
– Estimador estadístic aproximat no esbiaixat de Fisher:

 1− ρ 2 
ˆ

ρ F = ρ 1 + 
  2m  

 
– Estimador estadístic aproximat no esbiaixat de Olkin i Pratt:

ˆ
ρ OP

  1− ρ 2 

= ρ 1 + 
 2(m − 3)  



 
13


3.2 Correlació històrica i implícita. Intervals de confiança.
• Mitjançant la transformada de Fisher es poden obtenir
intervals de confiança per al valor de la correlació:
– Transformada de Fisher:

Z=

1 1+ ρ 
ln

2 1− ρ 



– La distribució de Z és aproximadament normal, amb variància:
2
σZ =

1
n−3

– Interval de confiança:

tanh(tanh −1 ( ρ ) −

1
1
t ) < ρ < tanh(tanh −1 ( ρ ) +
t)
n−3
n−3
 c +1
t = Φ −1 

 2 

amb Φ funció distribució normal i c nivell de significació o confiança.
14


Exemple.
• ρ=58%, n=52

1  1 + 0.58 
Z = ln
 = 0.6625
2  1 − 0.58 

2
σZ =

1
= 0.0204
52 − 3

• Interval 95% de confiança (1.96 σ ):
0.6625 − ( 0.0204 ⋅1.96) < Z < 0.6625 + ( 0.0204 ⋅1.96)

tanh(0.3826) < ρ < tanh(0.9424)

0.3826 < Z < 0.9424

36.49% < ρ < 73.63%
15


Exemple.
• Observem que l’interval de confiança no és simètric:

ρ − 21.51% < ρ < ρ + 15.63%
• Si l’aproximació ρ és gran en valor absolut, es té major
certesa en l’interval (degut a que la correlació està acotada
superior i inferiorment).

• Per exemple, una correlació històrica estimada en 0 amb
dades setmanals durant tres anys (n=3 x 52), dóna un
interval de confiança amb una amplada del 16%.

16


Freqüència del mostreig i correlació sincronitzada.
•

Sovint es calcula covariància usant dades de tancament, que no
són del mateix instant (no sincronització degut a diferents horaris
de cotització).

•

En general, d’aquesta manera es subestima la correlació. Es pot
veure que per estimar la correlació sincronitzada usant dades no
sincronitzades és preferible que usar dades amb menor
freqüència d’observació (tancaments setmanals o mensuals enlloc
de diaris).

•

RiskMetrics calcula la correlació sincronitzada a partir de dades de
rendibilitats no sincronitzades segons l’expressió:

ρU ,V ,t =
•

Cov (U t , Vt −1 ) + Cov (U t −1 , Vt ) + Cov (U t , Vt )

σ U ,t σ V ,t

PROBLEMA: La matriu de variàncies-covariàncies segons aquest
mètode pot resultar no definida positiva. I les correlacions poden
ser no acotades per 1.
17


Tendència temporal de la correlació.
• Degut a la major globalització dels mercats financers i de les
interaccions entre ells, les últimes dècades s’observa un
augment de la correlació entre índexs de renda variable (no
així amb les volatilitats).

18


• Degut a la falta de derivats sobre correlació en mercats
organitzats, normalment la correlació implícita es calcula a
partir dels preus de mercat d’opcions sobre cistella d’actius o
índex

σB =

N

∑

i , j =1,i ≠ j

N

wi w jσ iσ j ρ ij + ∑ wi2σ i2
i =1

• Vàries maneres:

– Correlació mitjana igual per tots els parells.
– Matriu de correlacions històrica més una pertorbació (igual per
tots els parells) o un cert percentil de la correlació històrica.
19


• Si es suposa una mateixa correlació implícita per a tots els
parells, s’obté l’expressió:

ρI =

2
σ B − ∑iωiσ i2

(∑ ω σ ) − ∑ ω σ
2

i i

i

2
i i

2
i

• Si la correlació està suficientment allunyada de 0 (>0.20) i si
el nombre de membres de la cistella (o índex) és
suficientment elevat (>20), es pot usar l’expressió
aproximada:
2
σB
ρI ≈
2
(∑iωiσ i )

O equivalentment:

σ B ≈ ρ I ⋅ volatilitat mitjana ponderada components
20


3.2 Correlació històrica i implícita. Skew de correlació.
• Igual que amb les volatilitats, la correlació depèn del nivell de
l’actiu subjacent, i no només del temps a venciment de
l’opció.
• A més, també s’observa un augment de correlacions en
mercats baixistes i disminució en mercats alcistes.

21


3.3 Models de correlació.
• Models economètrics similars als utilitzats per a la volatilitat
(EWMA, GARCH) són utilitzats per l’estimació del nivell de
correlació.
• En general, els models apliquen diferents pesos a
observacions (major pes a les més recents) per a estimar
variàncies i covariàncies futures.
• Degut a la seva complexitat (falta d’opcions de correlació en
mercats organitzats que permetin la seva calibració, gran
quantitat de parells de correlació que incrementen la quantitat
de paràmetres...), els models continus són menys utilitzats
per a la correlació.

22


3.3 Models de correlació. Model EWMA.

σ u2,n
σ v2,n
Covu ,v ,n
− 1 ≤ λu , λv , λu ,v ≤ 1

2
=
λuσ u2,n −1 + (1 − λu )un −1
2
=
λvσ v2,n −1 + (1 − λv )vn −1
= λu ,v Covu ,v ,n −1 + (1 − λu ,v )un −1vn −1

• Uns valors de λ elevats impliquen reacció més lenta a dades
actuals, mentre que un λ baix implica major sensibilitat.
• Per prediccions, s’usa un λ elevat per a llarg termini, i un λ
baix per a curt termini.
• RiskMetrics usa λ=0.94 per VaR.
23


3.3 Models de correlació. Model GARCH (Generalized
Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity)
• L’EWMA n’és un cas particular.
• Incorpora variància i covariància mitjanes a llarg termini (Vu,
Vv, Vu,v) i la possibilitat de reversió a la mitjana.
2
σ u ,n
2
σ v,n

=

Covu ,v, n
αi + βi + γ i

=
=1

=

2
2
γ uVu + α u u n −1 + β uσ u ,n −1
2
2
γ vVv + α v vn −1 + β vσ v,n −1
γ u ,vVu ,v + α u ,v u n −1vn −1 + β u ,v Covu ,v,n −1

• A diferència del GARCH per a volatilitats, el mercat no
acostuma a usar GARCH per correlacions degut a la dificultat
en calibrar paràmetres i a que no s’observa amb tanta
claredat la reversió a la mitjana.
24


• Realitzar trades de correlació és una mica menys directe que
amb el cas de la volatilitat, degut a la menor quantitat de
productes en mercats organitzats disponibles.
• La major part dels trades de correlació són OTC o productes
sintètics elaborats a partir d’opcions vanilla.
• Els principals instruments per a negociar la correlació són:
– Correlation Swaps: Similar als Variance swaps però per a
correlació.
– Trades de dispersió: Productes similars als swaps de correlació
però per a cistelles d’actius. Es tracta d’un producte lligat a
l’evolució de la correlació així com al de la volatilitat.
– Productes sintètics: Productes formats per combinacions
d’opcions vanilla i/o subjacent que permeten apostar a una certa
visió de mercat sobre la correlació.
25


• En el mercat existeixen diferents interessats en negociar
correlació:

– Inversors: En mercats baixistes augmenta la correlació, reduint
els beneficis de la diversificació. En mercats alcistes, es redueix la
correlació, reduint el benefici potencial de la cartera. En certa
manera, l’inversor està curt de correlació i pot tenir interès en
operar amb productes de correlació.
– Hedge Funds: La correlació permet dur a terme estratègies no
direccionals i/o arbitratges.
– Traders de derivats: Molts productes per inversors individuals
comercialitzats (opcions sobre cistelles) provoquen que els llibres
de derivats tinguin exposició a la correlació.
– Trading de dispersió: Qualsevol trader que tingui una certa
visió de mercat sobre l’evolució futura de la correlació pot usar els
trades de dispersió per dur a terme la seva visió.
– Arbitratges: A vegades la correlació implícita d’una cistella és
més gran que 1. Això proporciona una oportunitat d’arbitratge
(comprar opcions sobre els components individuals de la cistella
ponderant segons pes en cistella i vendre opció sobre la cistella).
26


3.4 Trading de correlació. Riscos en la negociació.
• A més dels riscos que implica especular sobre qualsevol actiu
de mercat, fer-ho sobre la correlació té alguns riscos afegits:

– La correlació es mou amb la volatilitat: La major part de
factors que afecten a la volatilitat també afecten a la correlació.
Això fa que en productes en que suposadament la volatilitat no hi
té cap efecte, quan aquesta canviï, el valor del producte també ho
faci.
– Canvis de les condicions de mercat: Tot i l’estreta relació entre
la volatilitat i la correlació a vegades la correlació canvia sense
que ho faci l’entorn de volatilitat (com s’ha observat les darreres
èpoques amb l’increment de correlació entre tots els mercats).
– Risc mark-to-market: Si un producte de correlació es cancel·la
abans de venciment existeix el risc de que sigui difícil acordar un
preu per a l’operació degut a la poca liquiditat del mercat de
correlació.
– Risc de reconstitució: Quan un producte es basa en les
ponderacions d’un cert índex existeix el risc de que els
components o pesos de l’índex canviïn durant la vida del
producte.
27


3.5 Inconvenients de la correlació.

• Si la variància d’X o Y no és finita, la correlació no està
definida (inconvenient en fat-tails: mercats emergents,
situacions de crash de mercat,...).
• Correlació zero no implica independència de les v.a (Sí que és
cert pel cas normal multivariant).
• La correlació no és invariant per transformacions no lineals.

28


3.6 Altres mesures de dependència.
• La correlació no és l’única manera de mesurar dependència
estocàstica entre actius, n’existeixen d’altres.
• Algunes alternatives a l’ús del coeficient de correlació de
Pearson són:
– Coeficients no paramètrics (Correlació de rangs. Útils quan
les v.a. no segueixen una distribució normal):
• Spearman Rank-Order Correlation
• Kendall’s Tau

– Còpules:

• Còpula de Gauss
• Còpula de Gumbel
• Còpula de Frank

29


3.6 Altres mesures de dependència. Exemple: Opció
Composite mitjançant Còpula Gaussiana.
•

Les còpules són procediments per a crear l’estructura de probabilitats
conjuntes de diverses variables aleatòries a partir de les distribucions
marginals de cada una.

•

Donat un vector aleatori ( X 1 ,..., X n ), suposem que només coneixem les
funcions de distribució marginals FX 1 ,..., FX n i necessitem la funció de
densitat conjunta FX1 ,... X n .

•

La funció de distribució conjunta (en principi desconeguda) s’aproxima
amb l’anomenada funció de Còpula C.

•

Podríem dir que bàsicament, una funció de Còpula és una funció de
distribució en [0,1]n amb marginals uniformes en [0,1] .

30


•

Suposem que volem valorar una opció call Composite amb payoff en
temps T:

g (ST , X T ) = max(ST ⋅ X T − K ,0)

amb S el preu del subjacent, X el tipus de canvi i K l’Strike de l’opció.
•

Sabem que el preu del derivat és

DF ⋅ Ε[g (ST , X T )]
•

Mitjançant una còpula tenim:

∂ ∂
C (u , v ) dudv
Ε[g (ST , X T )] = ∫ ∫ g F (u ), F (v )
0 0
∂u ∂v
1

1

(

−1
S

−1
X

)

31


•

Amb la còpula Gaussiana tenim:

ϕ X ,Y , ρ (Φ −1 (u ), Φ −1 (v ))
∂ ∂
C (u , v ) =
ϕ (Φ −1 (u ))⋅ ϕ (Φ −1 (v ))
∂u ∂v
on Φ és la funció de probabilitat acumulada de la normal estàndard,
ϕés la funció de densitat de la normal estàndard i ϕ X ,Y ,ρ és la funció
de densitat de la normal estàndard bivariant amb correlació ρ , definida
per:


1
x 2 + y 2 − 2 ρxy
exp −
 2 1− ρ 2

ϕ X ,Y , ρ (x, y ) =
2π 1 − ρ 2

(

(
)

)




32


3.7 Efectes de la correlació en la valoració i càlcul de
gregues.
• Quan es té un derivat sobre una cistella d’actius és necessari
considerar la correlació entre ells. Això fa que a més dels
paràmetres usuals de les opcions (volatilitat, tipus d’interès,
dividends,...) s’hagi de considerar l’efecte de la correlació.
• Existiran productes en els que la correlació tindrà poca
importància però n’hi haurà d’altres en els que serà l’element
més determinant del preu (com la volatilitat en les opcions
plain vanilla sobre un actiu).
• A més, la presència de correlació provoca que apareguin
noves gregues (correlation vega, gregues creuades,...) que
hauran de ser tingudes en compte en la cobertura.
33


gregues. Exemple: Opció digital.
•
•

En una opció digital sobre un sol subjacent, el principal factor que
determina el seu preu és la volatilitat i l’skew de volatilitat.
Quan es tracta d’una digital sobre una cistella d’actius (paga el cupó si
tots els subjacents estan per sobre (opció call) o per sota (opció put)
de l’strike) la correlació entre ells hi juga un paper determinant.
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Prima d’una opció digital sobre una cistella de 3 subjacents segons el valor de la correlació

34


gregues. Exemple: Opció digital.
• A més de la sensibilitat a la correlació, pel fet de tenir una
cistella d’actius com a subjacent, el nombre de gregues es
multiplica:
– 3 deltes (una per cada actiu).
– 3 gammes directes (les usuals)
– 3 gammes creuades (sensibilitat de cada delta quan canvien els
altres actius).
– 3 vegues (una per cada actiu).
– ...

• Això fa que la gestió d’un llibre de correlació sigui molt
complicat pel fet de disposar d’un major nombre de
magnituds a controlar i per la dificultat de gestionar la
cobertura de la correlació.
35


3.8 Inconvenients en l’ús de paràmetres no observables.
Provisions o FVA.
• Com hem vist amb la correlació, sovint es treballa amb
paràmetres que són difícils d’obtenir a partir de dades de
mercat (i per tant no són estimables sota la condició de no
arbitratge).
• Per intentar tractar aquests casos es poden prendre diferents
solucions segons la situació:
– Fixar el paràmetre a mà a partir de les visions d’un equip amb
suficient criteri i experiència.
– Modelitzar el paràmetre (estimar-lo a partir de dades històriques).
– Estimar-ho a partir d’altres paràmetres sí observables....

• A més d’això, a l’hora de valorar els derivats es poden usar
models en els que es pot no descriure bé el producte i per
tant, cometre cert error.
36


Provisions o FVA.
• En alguns casos, l’error que es pot arribar a cometre pot ser
mínim, però en d’altres pot arribar a ser bastant important. En
aquests casos es fa necessari considerar una quantitat que
s’assumeix com a pèrdua per tal de cobrir futures pèrdues
causades pel model. A aquestes quantitats de diners se les
anomena provisions o també Fair Value Adjustments
(FVA).
• Es poden considerar provisions per tot allò que es consideri
adequat “provisionar”:
–
–
–
–

Risc de model.
Risc de paràmetres.
Risc de liquiditat.
...

• La metodologia del càlcul de provisions ha de ser un valor de
consens amb tots els participant de mercat (departaments de
negoci i de riscos) ja que és un valor destinat a prevenir riscos
i que va directament a pèrdues.
37


Provisions o FVA. Exemple. Paràmetres de calibració.
•

Suposem que s’utilitza el model de volatilitat de Heston per a valorar
un producte i que per a fer més ràpida la calibració dels paràmetres
es fixa a 25% el valor mitjà de la volatilitat a llarg termini.

•

Suposem que es té un interval de confiança d’entre el 20% i el 30%
per a la volatilitat a llarg termini i històricament s’han observat uns
valors màxim i mínim de 15% i 35%.

•

Es creu que el nostre producte té una sensibilitat d’un -0,1% en prima
per cada +1% de canvi en la volatilitat a llarg termini.

•

Possibles provisions podrien ser:
–
–
–
–

0,1%*(30-25)=0,5% del nominal.
0,1%*(35-25)=1% del nominal.
Una quantitat fixada del 2%.
...
38


Provisions o FVA. Exemple. Paràmetres model valoració.
• Suposem un producte valorat amb un model que considera
correlacions entre el tipus d’interès a curt termini, a llarg
termini i un actiu de renda variable.
• Actualment s’està usant un valor fixat a mà per a cada
correlació igual a 0,95 entre tipus a curt i a llarg, 0,1 entre
tipus a curt i equity i -0,2 entre tipus a llarg i equity.
• En aquest cas, com que coneixem el rang en que es pot
moure la correlació, per molt conservador que es sigui, no
tindria sentit considerar provisions superiors a l’obtinguda en
el pitjor dels casos.

39


Provisions o FVA. Exemple. Risc de model.
• Suposem un producte que paga la revalorització asiàtica d’un
índex de commodities.
• Per tal de valorar el producte, l’entitat usa una aproximació de
la mitjana asiàtica en la que suposa que sota aquella
aproximació el subjacent segueix un moviment brownià i és
aplicable la fórmula de Black-Scholes, tot i que hi ha indicis
clars de que aquesta hipòtesi és més que dubtosa.
• En aquest cas la provisió podria obtenir-se a partir de la
comparació amb un altre model més “correcte” (volatilitat
local o volatilitat estocàstica) i aplicar una provisió igual (o
superior) al valor més conservador obtingut amb altres
models.
40


Provisions o FVA. Exemple. Risc de cobertura.
• Suposem una opció sobre una cistella. Degut a la dificultat a
cobrir la correlació el trader decideix realitzar la cobertura de
l’opció sense cobrir el risc de correlació ja que el preu de
venda és superior al preu del producte en el pitjor escenari de
correlació.
• Gràcies a que la correlació està acotada, en aquest cas la
provisió podria ser la totalitat de les pèrdues que es podrien
ocasionar si es complís el pitjor escenari de mercat per a la
correlació (no passaria el mateix amb la volatilitat).
• Això sí, s’hauria de veure les implicacions sobre la resta de
gregues (un valor erroni de correlació pertorba el resultat de
la cobertura.
41

Volatility models and their applications in Finance (4/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-4

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Volatility models and their applications in Finance (4/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-4

Similar a Volatility models and their applications in Finance (4/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-4 (8)

Más de Gerard Alba

Más de Gerard Alba (20)

Volatility models and their applications in Finance (4/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-4