matematica

1. Piramida triunghiulara, tetraedrul: descriere si
reprezentareAsa cum am promis intr-un articol , o sa discutam si despre piramida triunghiulara si
tetraedru.
Dupa cum am invatat la piramida patrulatera baza este un paralelogram (baza poate fi patrat, romb, dreptunghi), in
cazul piramidei triunghiulare baza asa cum v-ati dat seama este un triunghi (echilatera, isoscel, dreptunghic), iar
daca piramida este triunghiular regulata, baza este triunghi echilateral, iar pentru piramida patrulater regulata baza
este patrat.Def: Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite varfuri.
Reprezentare
Dupa cum am vorbit si la piramida patrulatera, vorbim si despre elementele componente:
-muchiile bazei: AB, AC, BC
-muchiile laterale: VA, VB, VB
-planul bazei (ABC)
-fetele laterale
Aceleasi componente le avem si pentru piramida triunghiular regulata.
Diferenta dintre piramida triunghiular regulata si tetraedru este ca: tetraedrul are toate muchiile congruente,
adica si muchiile bazei si muchiile laterale sunt congruente, deci fetele laterale si fetele bazei sunt
triunghiuri
echilaterale, iar la
piramida
triunghiular regulata
baza este triunghi
echilateral, iar fetele
laterale sunt
triunghiuri isoscele,
muchiile laterale sunt
congruente.
La fel ca si la piramida
patrulater regulata,
piramida triunghiular regulata are si ea: apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea.
Def: Apotema piramidei triunghiulare este distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei
Apotema bazei piramidei triunghiulare este distanta de la centrul cercului circumscris bazei triunghiului
echilateral la o muchie a bazei a sa .
Inaltimea intr-o piramida triunghiular regulata este distanta de la varful piramidei la punctul de intersectie al
mediatoarelor (centrul cercului circumscris).
Problema
1) Piramida regulata VABC are baza triunghiular echilateral cu aria de . Daca , aflati
aria triunghiului VAB.
Ip:
VABC piramida triunghiular regulata

2. Cl:
Dem:
Cum baza piramidei este triunghi echilateral si mai stim si aria sa, aflam latura triunghiului echilteral din aria
triunghiului ABC, astfel stim din clasa a VII-a ca aria intr-un triunghi echilateral este ,iar pentru triunghiul
din problema
noastra cm, in
prima parte pentru a
afla latura triunghiului
echilateral am folosit
proprietatea
fundamentala a
proportiilor ( intr-o
proportie produsul
mezilor este egal cu
produsul extremilor).
Dupa ce am aflat
latura bazei piramidei
si stim ca baza este
triunghi echilateral rezulta ca piramida este triunghiular regulata , deci fetele laterale sunt triunghiuri isoscele,
stiind isoscel, constrim inaltimea VD, pentru a putea aplica
Teorema sau functiile trigonometrice, stim ca AD=6 cm, deoarece intr-un triunghiului
isoscel medianele, mediatoarele, inaltimile corespunzatoare bazei coincid, deci la noi VD este si mediana, de
unde aflam AD.
Daca aplicam Teorema nu putem sa aflam nimic deoarece nu stim nici ipotenuza, nici cateta
care se opune unghiului de , deci aplicam functiile trigonometrice
cm.
Baza o stim, ca sa aflam aria trebuie sa mai aflam si inaltimea, astfel stiind VA, aplicam Teorema lui
Pitagora pentru a afla inamtimea sau Teorema , noi o sa aplicam Teorema ,
iar voi incercati cu teorema lui Pitagora deci cm.
Deci aria triunghiului VAB este:
cm.
Deci imprtant la aceste probleme sunt notiunile pe care le-am invatat pana acum.

3. Piramida regulata
Despre piramida regulata am discutat, dar astazi o sa invatam sa calculam Aria laterala, Aria totala si
Volumul unei piramide regulate. Astfel incepem prin a defini Piramida regulata:
Piramida reguata are baza poligon regulat, iar proiectia ortogonala a varfului V pe planul bazei este centrul O al
poligonului de baza.
Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt congruente.
Segmentul determinat de varful piramidei si mijlocul unei muchii a bazei se numeste apotema piramidei.
Orice apotema a piramidei este perpendiculara pe muchia respectiva a bazei.
Baza piramidei
triunghiulara regulata
este triunghi
echilateral.
se
numeste apotema
piramidei
se
numeste apotema
bazei
VO=h se numeste lungimea inaltimea piramidei.
AB- lungimea muchiei bazei piramidei
se numeste perimetrul bazei
se numeste aria laterala
se numeste aria bazei
se numeste aria totala a piramidei.
Scriem mai inati formulele standard pentru orice piramida, astfel avem:
Mai putem afla si apotema piramidei, daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul VOM, astfel obtinem
.
In cazul in care piramida este triunghiulara formulele devin
sau
.
Aplicatie
O piramida patrulater regulata are , iar sectiunea diagonale este echivalenta cu baza.
Calculati
a) lungimea inaltimii piramidei
b)
Demonstratie

4. Stim din ipoteza ca sectiunea diagonala este echivalenta cu baza, adica
b)
Observam ca VB este muchia comuna celor doua plane, deci ducem perpendiculara din A pe VB si perpendiculara
din C pe VB, astfel gasim
In triunghiul VCO dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora
.
Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora
Acum ca sa aflam CT aplicam de doua ori formula ariei o data considerand baza BC, iar apoi considerand baza
VB, iar apoi le egalam
.
La fel gasim si AT, deci gasim ca triunghiul ATC ete isoscel si ca sa aplicam functiile trigonometrice trebuie sa
avem triunghi dreptunghic astfel ducem inaltimea din T pe baza AC, astfel aplicam in triunghiul ATE Teorema lui
Pitagora .
Ducem si perpendiculara din A pe TC si
aplicam formula ariei de doua ori in triunghiul ATC si le egalam
Acum putem aplica
.

5. Trunchiul de piramida regulata
Dupa ce am invatat sa calculam aria laterala, aria totala si volumul unei piramide
a venit vremea sa invatam sa calculam aria laterala, aria totala si volumul la
trunchiul de piramida regulata.
Astfel prin sectionarea unei piramide triunghiulare VABC cu planul (A’B'C’) paralel
cu planul bazei (ABC) se obtine o piramida VA’B'C’ asemenea cu piramida VABC.
Poliedrul obtinut prin indepartarea piramidei VA’B'C’ se numeste trunchiul de
piramida triunghiular.
In cazul in care piramida initiala este regulata, trunchiul obtinut se numeste triunchi
de piramida regulata.
Astfel pentru a calcula aria laterala intr-un trunchi de piramida regulata aplicam
formula
unde este perimetrul bazei mici al trunchiului de piramida
este perimetrul bazei mari a trunchiului de piramida
Observati ca acum avem doua baze, baza mare si baza mica, a trunchiului de
piramida regulata.
este apotema triunchiului (reprezinta distanta dintre muchiile celor doua baze).
Acum unde este aria bazei mici al trunchiului de piramida care
se poate afla fie cu formulele pe care le stim in functie de ce baza avem, fie cu
urmatoarea formula: , unde este lungimea apotemei bazei mici este
aria bazei mari a trunchiului de piramida, care se poate afla fie cu formulele pe care le

6. stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula:
, unde este lungimea apotemei bazei mari
Acum sa enuntam formula pentru volumul unui trunchi de piramida :
unde h= inaltimea in trunchiul de piramida
Iar apotema trunchiului putem sa o aflam cu formula:
Prezentam o problema prin care aplicam notiunile prezentate mai sus:
Un trunchi de piramida patrulatera regulata provine din piramida P si
are . Calculati:
a) lungimea laturii bazei mari
b) apotema trunchiului
c) aria laterala
d) Volumul piramidei intiale
Demonstratie:

7. Stim volumul
Deci
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea, deci calculam
Acum
Iar
Si cum lungimea unui segment nu poate fi mai mica ca 0 rezulta ca L=12 cm.
b) Din formulele de mai sus
In cazul figurii de mai sus MM’ este apotema trunchiului dar sa aflam
Iar
Acum putem afla apotema trunchiului
c)
Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei mari

8. Astfel
d) volumul piramidei
Dar noi nu stim inaltimea piramidei ,astfel avem:
Astfel au loc relatiile
Din primele doua relatii obtinem
Astfel
Astfel
Probleme rezolvate cu piramide Aria laterala Aria totala si
volumul
Prezentam mai multe probleme rezolvate cu piramide, cu aria laterala,aria totala si volumul, dar si distanta de la
un punct la un plan, sinusul unghiului a doua plane:
1) Un tetraedru regulat ABCD, are AB=6 cm. Calculati:
a) Aria totala a tetraedrului
b) Volumul tetraedrului
c)
d)
Demonstratie:
Calculam aria laterala
a tetraedrului
Acum calculam
apotema piramidei:
Stim ca fetele laterale
ale unui tetraedru
regulat sunt triunghiuri
echilaterale, deci

9. apotema piramidei este si inaltime in triunghiul ACD, si stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral
este .
Deci
Si astfel aria laterala este
cm.
Acum aflam aria bazei, stim ca baza este triunghi echilateral, deci
cm.
Iar aria totala este
.
Acum sa aflam volumul Tetraedrului
Dar mai intai aflam inaltimea tetraedrului, stim apotema piramidei, acum aflam apotema bazei
Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui
Pitagora ,
.
b)Acum sa aflam distanta de la punctul B la planul ACD, astfel
Stim ca distanta de la un punct la un plan este proiectia punctului din punctul dat pe plan.
Observam ca
Acum sa afla lungimea segmentului BN.
Stim ca AB=6 cm, , deoarece la fel ca si AM, BM este inaltime in triunghiul echilateral
BCD.
Deci observam ca triunghiul BCD este isoscel si astfel ca sa afla lungimea segmentului BM, calculam de doua ori
aria triunghiului AMB, odata considerand baza AM, iar apoi considerand baza BM.
Acum aflam
Acum daca egalam cele doua arii gasim ca
.
d)
Masura unghiului a doua plane
Observam ca AC este muchia comuna celor doua plane si astfel ducem perpendiculara din B pe AC si din D pe
AC si astfel gasim ca
Si astfel gasim
Acum trebuie sa aflam

10. ce valoare are sinusul unghiului.
Observam ca BP si PD sunt inaltimi in triunghiurile echilaterale BAC si DAC, astfel gasim ca
Stim ca BD=6 cm
Deci triunghiul BPD este isoscel.
Acum, ca sa aflam sinusul unghiului, trebuie sa avem triunghi dreptunghic, deci trebuie sa ducem perpendiculara
din B pe DP, si astfel gasim sinusul unghiului:
Fie
,
Dar ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa stim BQ
Astfel ducem o noua perpendiculara din P pe BD, adica
Acum calculam PF
.
Stim ca BF=3 deoarece (intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea corespunzatoare
bazei coincide), deci BF este si mediana.
Acum putem afla
Acum calculam si aria
Egalam cele doua arii si gasim:
Deci gasim ca
Acum putem aplica functiile trigonometrice
.
Astfel
Aria laterala a unui
tetraedru regulat este
.
Aria totala
.
.
Stim ca tetraedrul regulat este un caz particular de pirmida.
Tetraedrul regulat are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale, dar si baza este tot triunghi echilateral.