Cálculo técnico para mecânica

Cálculo
Técnico
Aplicado à
Mecânica

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Cálculo
Técnico
Aplicado à
Mecânica
Técnico em eletromecânica – PRONATEC
Sesi Senai SAMA
Cícera Ribeiro Barros
Coordenadora pedagógica
Luciano Jorge Menezes
Coordenador técnico
Josué Teixeira de Moura
Diretor unidade SESI SENAI SAMA

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Sumário
Introdução....................................................................................................................................2
Conceitos Básicos .......................................................................................................................3
Operações e expressões numéricas ........................................................................................6
Unidades de medida ..................................................................................................................11
Múltiplos e submúltiplos.............................................................................................................16
Cálculo RPM e Velocidade de corte ..........................................................................................17
Transmissões.............................................................................................................................18
Polias – Relação simples .......................................................................................................18
Relações múltiplas .................................................................................................................22
Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas.....................................................24
Cálculo trigonométrico ...............................................................................................................37
Área e Perímetro de Figuras Planas..........................................................................................40
Área dos Polígonos..............................................................................................................44
Finalizando.................................................................................................................................54

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Introdução
Diariamente, docentes e alunos se utilizam das informações contidas nos
materiais didáticos para transformá-los em conhecimentos, ampliar suas experiências,
embasar e enriquecer sua vida profissional. O material didático torna-se, então,
importante elemento no processo ensino-aprendizagem.
Compreende-se que quando o professor se apropria, desenvolve e adapta o
material didático e o utiliza adaptando ao contexto dos alunos a aula resulta mais
produtiva para o professor e para o aluno. Por isso, ao planejar, o docente observa
possibilidades de uso destes, quer seja um filme, uma maquete, um jogo, ou mesmo um
livro e, vai combinando estes em ação educativa visando o desenvolvimento de seus
alunos e de seu próprio estilo de pedagogia.
No contexto educativo é fundamental estabelecer a estreita correlação entre os
materiais didáticos, a criatividade e os objetivos educacionais. Nesta direção percebe-se
que há muito ainda o que se fazer no que se refere a constituição de maior correlação
entre o sistema de ensino, dimensão macro, possibilita e adota materiais didáticos
padronizados e o contexto da sala de aula, sua dimensão micro.
Gleito Kunde
Instrutor de educação profissional

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Conceitos Básicos
Os conjuntos numéricos são uma forma de classificar os números segundo algumas
características básicas, como propriedades e complexidade. Classificando os números você
pode compreender melhor suas aplicações na Mecânica.
Conjunto dos Números Naturais, N
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Os Números Naturais foram os primeiros utilizados pelo homem, empregados na
contagem de alimentos, utensílios e pessoas. Sua forma primitiva não permite obter respostas
negativas neste conjunto de cálculos, tais como 3 - 5 e 3 ÷ 5. Por isso, surgiram outros
conjuntos numéricos que você conhecerá a seguir.
Conjunto dos Números Inteiros, Z
Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}
Estes números surgiram com a necessidade dos comerciantes e dos bancos em
representar dívidas e saldos negativos. Com este conjunto você pode efetuar o seguinte
cálculo, 3 - 5 = - 2.
Conjunto dos Números Racionais, Q
Racional é todo número que pode ser escrito na forma de fração, a/b sendo a e b
Números Naturais e b diferente de zero.
Q = { ( a ) / b | a , b ε Ν e b ≠ 0 }
Acompanhe a seguir alguns exemplos:
... _ 3 , _ 1 , 0 , 2 , 10 , 11 ... 1 2 5 1 3 2 { Q = }
Os Números Racionais têm seu correspondente decimal. Veja abaixo os números
decimais correspondentes aos Racionais mostrados no exemplo anterior:
Q = {...; - 3 ; - 0,5 ; 0 ; 2 ; 3,333... ; 5,5 ; ...}
O Conjunto dos Números Racionais surgiu com a necessidade do homem de representar
divisões não exatas, tais como, 3 ÷ 5 = 3 . 5
Conjunto dos Números Reais, R
O Conjunto dos Números Reais engloba os Números Racionais, que você conheceu
anteriormente, e todos os outros números que não podem ser escritos na forma de fração, os
chamados Irracionais:

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Irracionais = {...; - sen (34o) ; √2 ; log 70 ; ...} = {...; - 0,559... ; 1,414... ; 1,845... ; ...}
R = ... ; - 3 ; - sen ( 34° ) ; _ 1 ; 0 ; Ѵ2; log 70 ; 2 ; 10 ; 11 ; ... 2 3 2{}
Uma forma interessante de apresentar os Números Reais é por meio da Reta Real.
Acompanhe a figura a seguir. :
Figura 1 - Reta Real - 3 -2 -1 0 1 2 3Ѵ2 e πR
Nessa imagem você tem a noção de sequência dos Números Reais, cada ponto da reta
representa um número e vice-versa. Para qualquer número da reta, têm-se os números
maiores que ele à direita e os menores à esquerda.
Outra maneira de visualizar o Conjunto dos Números Reais é utilizando o Diagrama de
Venn, conheça-o a seguir:
Por meio do Diagrama de Venn você
pode observar que os Naturais estão
contidos nos Inteiros, que por sua vez
estão contidos nos Racionais e os
Reais englobam todos os Conjuntos.
Figura 2 –Diagrama de Venn. R IR Q Z N

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Os números decimais não são um conjunto numérico, mas uma forma de escrever os
números. Este sistema é a evolução natural do sistema numérico indo-arábico. Trata-se de um
sistema posicional, onde o algarismo vale não só por si, mas também pela sua posição.
No número acima foi utilizado apenas o algarismo 8, porém em cada posição ele indica
uma quantidade diferente. O 1º vale 80.000, o 2º vale 8.000 e assim por diante até o último que
vale 0,008. O único que vale 8 é o que está imediatamente à esquerda da vírgula. Sendo
assim, cada número é uma soma, confira a seguir:
O Sistema Internacional de Medidas utiliza a vírgula para separar a unidade do décimo e
o ponto para separar a unidade de milhar da centena. Nos países de língua inglesa, que não
utilizam o Sistema Internacional de Medidas, essa notação é exatamente ao contrário, devido a
isso as calculadoras vêm com ponto no lugar da vírgula para separar a unidade do décimo.
Assim, as operações com os números decimais são facilmente resolvidas com
calculadoras, porém é importante tomar cuidado principalmente com a vírgula, pois como
colocado, nas calculadoras a vírgula deve ser representada por ponto e os pontos não são
representados.

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Operações e expressões numéricas
As operações com números decimais e com Números Naturais são básicas e possíveis
de se resolver com o auxílio de calculadoras científicas e comuns. Portanto, o próximo passo
de estudos são as operações no Conjunto dos Números Inteiros.
Adição de Números Inteiros
Quando dois números tiverem o mesmo sinal, soma-se os valores absolutos
conservando o sinal. Acompanhe os exemplos:
Quando os dois tiverem sinais opostos, subtrai-se um do outro mantendo o sinal do
maior valor absoluto. Observe os exemplos:
Subtração de Números Inteiros
Para efetuar a subtração entre Números Inteiros, basta inverter o sinal do subtraendo e
efetuar uma adição. Confira os exemplos a seguir:
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
A multiplicação e a divisão no Conjunto dos Números Inteiros possuem as mesmas
regras de sinais. Observe os exemplos:

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As regras de sinais aplicadas aos Inteiros também valem para todo o Conjunto dos Números
Reais.
Potenciação
Potenciação nada mais é do que a simplificação de uma série de multiplicações de
fatores iguais, como você pode observar nos exemplos a seguir:
Na potenciação se utiliza uma notação da seguinte forma:
Observe a seguir algumas características desta operação:

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Nesta operação, dizemos que a base de uma potência é negativa quando ela está entre
parênteses, caso contrário, quem está negativa é a potência.
Potências de Base negativa
Para iniciarmos este tema, que tal resolver as seguintes potências?
Você pôde observar nos resultados que quando o expoente é par o resultado é positivo, e
quando o expoente é ímpar o resultado tem o mesmo sinal da base.
Potências de Expoente Negativo
Quando uma potência possui expoente negativo,
inverte-se a base (troca-se de posição o numerador e o
denominador), como nos exemplos a seguir:

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Quando o expoente é zero e a base diferente de zero, o resultado é sempre 1. Veja
alguns exemplos:
Radiciação
Você pode dizer que a potenciação possui duas operações inversas, uma é a radiciação
e a outra é o logaritmo, veja o esquema apresentado a seguir:
O logaritmo é a operação que determina o expoente de uma potência. Entretanto, esta
operação não será estudada nesta apostila, o objeto de estudo desta seção será a radiciação
que possui grande aplicação na área de Mecânica.
Confira a seguir os entes das raízes:

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Após conhecer os entes das raízes, vamos aos exemplos:
Vale destacar que algumas raízes não possuem resultado no Conjunto dos Números
Reais, os casos são:
• índice par e radicando negativo:
• índice zero, 0:

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Unidades de medida
Por muito tempo, o mundo usou medidas imprecisas, como aquelas baseadas no corpo
humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso acabou gerando muitos problemas,
principalmente no comércio, devido à falta de um padrão para determinar quantidades de
produtos.
Para resolver o problema, o Governo Republicano Francês, em 1789, pediu à Academia
de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante natural".
Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Este sistema adotou, inicialmente, três unidades
básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.
O sistema métrico decimal acabou sendo substituído pelo Sistema Internacional de
Unidades (SI), mais complexo e sofisticado. No Brasil, o SI foi adotado em 1962 e ratificado
pela Resolução nº 12 de 1998 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade
Industrial (Conmetro), tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional.
Logo abaixo, você conhecerá as grandezas e suas unidades de medida. À direita da
tabela, verá o símbolo da unidade e suas equilavências. No pé da página, confira os principais
prefixos do sistema internacional.
Principais Unidades SI
Grandeza Nome Plural Símbolo
Comprimento Metro Metros m
Área metro quadrado metros quadrados m²
Volume metro cúbico metros cúbicos m³
ângulo plano Radiano Radianos rad
Tempo Segundo Segundos s
Freqüência Hertz Hertz Hz
Velocidade metro por segundo metros por segundo m/s
Aceleração
metro por segundo metros por segundo
m/s²

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Massa Quilograma quilogramas kg
massa específica
quilograma por
metro cúbico
quilogramas por
metro cúbico
kg/m³
Vazão
metro cúbico
por segundo
metros cúbicos
por segundo
m³/s
quantidade de matéria Mol mols mol
Força Newton newtons N
Pressão Pascal pascals Pa
trabalho, energia
quantidade de calor
Joule joules J
potência, fluxo de energia Watt watts W
corrente elétrica Ampère ampères A
carga elétrica Coulomb coulombs C
tensão elétrica Volt volts V
resistência elétrica Ohm ohms
Condutância Siemens siemens S
Capacitância Farad farads F
temperatura Celsius grau Celsius graus Celsius ºC
temp. termodinâmica Kelvin kelvins K
intensidade luminosa Candela candelas cd
fluxo luminoso Lúmen lúmens lm
Iluminamento Lux lux lx

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Algumas Unidades em uso com o SI, sem restrição de prazo
Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência
volume litro Litros l ou L 0,001 m³
ângulo plano grau Graus º p/180 rad
ângulo plano minuto Minutos ´ p/10 800 rad
ângulo plano segundo segundos ´´ p/648 000 rad
Massa tonelada toneladas t 1 000 kg
Tempo minuto Minutos min 60 s
Tempo hora Horas h 3 600 s
velocidade
angular
rotação
por minuto
rotações
por minuto
rpm p/30 rad/s
Algumas Unidades fora do SI, admitidas temporariamente
Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência
Pressão atmosfera atmosferas atm 101 325 Pa
Pressão Bar Bars bar Pa
Pressão
milímetro
de mercúrio
milímetros
de mercúrio
mmHg
133,322 Pa
aprox.
quantidade
de calor
caloria Calorias cal 4,186 8 J
Área Hectare Hectares ha m²
Força
quilograma-
força
quilogramas-
força
kgf 9,806 65 N

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comprimento
milha
marítima
milhas
marítimas
1 852 m
velocidade Nó Nós (1852/3600)m/s
Principais prefixos das Unidades SI
Nome Símbolo Fator de multiplição da unidade
tera T = 1 000 000 000 000
giga G = 1 000 000 000
mega M = 1 000 000
quilo K 10³ = 1000
hecto H 10² = 100
deca Da 10
Unidade
deci D = 0,1
centi C = 0,01
mili M = 0,001
micro µ = 0,000 001
nano N = 0,000 000 001
pico P = 0,000 000 000 001
Massa
1 QUILOGRAMA
(kg) 1000 g
1 TONELADA (T) 1000 kg

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1 QUILATE 0,205 g
1 ONÇA (oz) 28,352 g
1 LIBRA (lb) 16 oz
1 LIBRA (lb) 453,6 g
1 ARROBA 32,38 lb
1 ARROBA 14,687 kg
Distância
1 METRO 10O cm
1 QUILÔMETRO
(km) 1000 m
1 POLEGADA 2,54 cm
1 PÉ 30,48 cm
1 JARDA 0,914 m
1 MILHA 1,6093 km
1 MILHA MARÍTIMA 1,853 km
1 BRAÇA 2,2 m
Área
1 M² 10000 cm²
1 CM² 100 mm²
1 ARE (A) 100 m²
1 HECTARE (HA) 100 A
1 HECTARE (HA) 10000 m²
1 ACRE 4064 m²
1 ALQUEIRE
PAULISTA 24200 m²
1 ALQUEIRE
MINEIRO 48400 m²

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Múltiplos e submúltiplos
A unidade principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa
unidade deixa de ser prática. Se quisermos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por
outro lado, se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande".
Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de
comprimento.
No Sistema Internacional de Medidas (SI) são usados múltiplos e divisões do metro:
Múltiplo Nome Símbolo Submúltiplo Nome Símbolo
100
Metro m 100
metro M
10¹ decâmetro dam 10−1
decímetro DM
10² hectômetro hm 10−2
centímetro Cm
103
quilômetro / km 10−3
milímetro Mm
106
megametro Mm 10−6
micrometro µm
109
Giametro Gm 10−9
nanometro Nm
1012
Terametro Tm 10−12
picometro PM
1015
petametro Pm 10−15
femtômetro/fentómetro4
FM
1018
Exametro Em 10−18
attometro/atometro4
AM
1021
zettametro/zetametro Zm 10−21 zeptômetro /
/ zeptómetro4 Zm
1024
iotametro Ym 10−24 yoctômetro /
/ ioctómetro4 ym

Cálculo RPM e Velocidade de corte
O cálculo da rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de
corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variando
apenas a rotação, à medida que se varia o diâmetro usinado.
Fórmulas:
Onde:
N = RPM
Vc = Velocidade de corte
D = Diâmetro usinado
N= Números de Rotações por minuto ( RPM)
Obs:
Quanto maior o diâmetro menor o rpm, e quanto menor o diâmetro maior o rpm.
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Cálculo RPM e Velocidade de corte
rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de
corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variando
apenas a rotação, à medida que se varia o diâmetro usinado.
= Números de Rotações por minuto ( RPM)
rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de
corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variando-se

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Transmissões
São órgãos que servem para transmitir um movimento de rotação, lineares e
excêntricos. Nesta unidade iremos estudar apenas os cálculos relacionados à transmissão por
correias planas, correias trapezoidais, engrenagens e rodas de fricção.
Polias – Relação simples
Em nossos exemplos vamos utilizar cálculos para os sistemas de polias, porém para
realizar os cálculos das engrenagens utiliza-se o mesmo raciocínio com a quantidade de
dentes das engrenagens. Nos moto-redutores esse cálculo é feito pelo fabricante e indicado
em sua placa juntamente com outros dados.

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CALCULANDO
A velocidade final fornecida por um conjunto transmissor depende da relação do
diâmetro das polias. Polias com o mesmo diâmetro transmitem para máquina a mesma
velocidade.
Polias de diâmetros diferentes transmitem velocidade maior ou menor à máquina. No
caso onde a polia motora (polia que fornece o movimento) é maior que a movida (polia que
recebe o movimento) a velocidade transmitida para a máquina será maior.
Quando a polia motora é menor que a polia movida, a velocidade será menor, ou seja,
haverá menor rotação na saída do sistema.

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Matematicamente utiliza-se a seguinte expressão para mostrar essa relação:
R=
Onde, n1 é a rotação (rpm) da polia motora, n2 a rotação da polia movida, D2 o diâmetro
da polia movida e D1 o diâmetro da polia motora.
Dada a fórmula, vamos partir para um exemplo pratico utilizando uma furadeira de
bancada, onde a velocidade do motor é fixa e o objetivo é obter velocidades diferentes na
broca.
Vamos aplicar a fórmula para o cálculo da rotação de saída quando a correia estiver em
todas as posições?

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Encontrando o D2 ( Diâmetro da polia movida).
Um motor munido de uma polia de 180 milímetros gira a 800 RPM. Ele aciona um
compressor que faz 200 RPM, pergunta-se:
a) O diâmetro da polia do compressor;
b) A relação de transmissão;
c) O diâmetro exato da polia do compressor, se a correia tiver um deslizamento de 5%
( o deslizamento das correias planas varia de 2 a 5%).
Encontrando o D1 ( diâmetro da polia motora)
Duas polias estão na relação de transmissão i de 3,5/1, a polia acionadora tem um
diâmetro de 120 milímetros, ela aciona uma
serra circular girando a 180 RPM ( figura 8)
a) Qual é o diâmetro da polia montada
na serra circular?
b) Qual é o numero de rotações por
minuto da polia acionadora?

22
Relações múltiplas
Nesse caso utiliza-se a mesma fórmula para o cálculo, porém deve-se realizar o cálculo
por estágios, com o cuidado de observar qual é a polia motora e a movida. Observe que entre
os dois estágios encontra-se a polia movida do primeiro estágio e acoplada a ela a polia motora
do segundo.
Aplicando a fórmula já conhecida para calcular a rotação na saída do sistema na figura
acima:
Primeiro estágio
Calculando:
Para o cálculo do segundo estágio utiliza-se a mesma fórmula e como a polia motora do
segundo estágio está acoplada na polia movida do primeiro então n2=n1. Portanto o valor de
n1 do segundo estágio é 400rpm.
Calculando:

23
Portanto, a velocidade final do sistema é 100rpm.
Fórmula direta:
No sistema de transmissão por quatro polias representado abaixo, o eixo motor
desenvolve 1000 rpm. Os diâmetros das polias medem: D1 =150 mm, D 2 =300 mm, D3 =80
mm e D4 =400 mm. Determine a RPM final do sistema.

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Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas
O problema
Vamos supor que você seja dono de uma pequena empresa mecânica e alguém lhe
encomende 10.000 peças de fixação, que deverão ser fabricadas por dobramento de chapas
de aço. O seu provável cliente, além de querer uma amostra do produto que você fabrica,
certamente também desejará saber quanto isso vai custar.
Um dos itens do orçamento que você terá de fazer corresponde ao custo da matéria-
prima necessária para a fabricação das peças.
Para obter esta resposta, você terá de calcular o comprimento de cada peça antes de
elas serem dobradas, já que você vai trabalhar com chapas.
Como resolverá este problema?
Peças dobradas
Calcular o comprimento das peças antes que sejam dobradas, não é um problema tão
difícil de ser resolvido. Basta apenas empregar conhecimentos de Matemática referentes ao
cálculo de perímetro.
Recordar é aprender
Perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica plana.
Analise o desenho abaixo e pense em um modo de resolver o problema.

O que você viu na figura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são
iguais e correspondem à altura da peça. B, por sua vez, é a base. O que pode ser feito com
eles em termos de cálculo?
Você tem duas alternativas de solução:
a) Calcular o comprimento da p
b) Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).
Vamos ver se isso dá certo com a alternativa
Essa alternativa considera a linha média da chapa. Você sabe por quê?
É simples: se você usar as medid
Da mesma forma, se você usar as medidas internas, ela ficará menor. Assim, pela lógica, você
deve usar a linha média.
Tomando-se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida
interna mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:
50 + 2 x 3 =
50 + 6 = 56mm
Com esse valor, você obteve o comprimento da linha média da base da peça. Agora,
você tem de calcular a altura dos segmentos A e C.
Pelo desenho da figura da página
Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida
que procuramos.
30 - 3 = 27mm
25
igura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são
Você tem duas alternativas de solução:
Calcular o comprimento da peça pela linha média da chapa.
Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).
Vamos ver se isso dá certo com a alternativa a.
É simples: se você usar as medidas externas da peça, ela ficará maior que o necessário.
se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida
a mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:
você tem de calcular a altura dos segmentos A e C.
Pelo desenho da figura da página anterior, você viu que a altura da peça é 30 mm.
igura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são
Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).
as externas da peça, ela ficará maior que o necessário.
se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida
a mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:
anterior, você viu que a altura da peça é 30 mm.

26
Com isso, obtemos as três medidas: A = 27mm, B = 56mm e C = 27mm. O comprimento
é obtido pela soma das três medidas.
27 + 56 + 27 = 110mm
Portanto, a chapa de que você necessita deve ter 110mm de comprimento.
Tente você também
Agora vamos treinar um pouco esse tipo de cálculo.
Exercício 1
A alternativa b é um método prático. Calcule o comprimento do material necessário para
a peça que mostramos em nossa explicação, usando essa alternativa. Você deverá obter o
mesmo resultado.
Solução: 30 x 2 + 50 = ................ + 50 =
Peças curvadas circulares
Vamos supor agora que, em vez de peças dobradas, a sua encomenda seja para a
produção de anéis de aço.
Mais uma vez, você terá de utilizar o perímetro. É preciso considerar, também, a
maneira como os materiais se comportam ao sofrer deformações.
Os anéis que você tem de fabricar serão curvados a partir de perfis planos. Por isso,
não é possível calcular a quantidade de material necessário nem pelo diâmetro interno nem
pelo diâmetro externo do anel. Você sabe por quê?
Se você pudesse pôr um pedaço de aço no microscópio, veria que ele é formado de
cristais arrumados de forma geométrica.

Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação, como, por exemplo, quando
são curvados, esses cristais mudam de forma, alongando
menos o que acontece com a palma de su
ou se contrairá, dependendo do movimento que você fizer.
No caso de anéis, por causa dessa deformação, o diâmetro interno não pode ser usado
como referência para o cálculo, porque a peça ficará
Pelo mesmo motivo, o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a
peça ficará maior do que o especificado.
O que se usa, para fins de cálculo, é o que chamamos de
deformação quando a peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.
Mas como se determina a posição da linha neutra? É, parece que teremos mais um
pequeno problema aqui.
Em grandes empresas, essa linha é determinada por meio do que chamamos, em
Mecânica, de um ensaio, isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o
auxílio de equipamentos apropriados.
No entanto, “sua” empresa é muito pequena e não possui esse tipo de equipamento. O
que você poderá fazer para encontrar a linha ne
A solução é fazer um cálculo aproximado pelo diâmetro médio do anel. Para achar essa
média, você precisa apenas somar os valores do diâmetro externo e do diâmetro interno do
anel e dividir o resultado por 2. Vamos ten
Suponha que o desenho que você recebeu seja o seguinte.
27
são curvados, esses cristais mudam de forma, alongando-se ou comprimindo
menos o que acontece com a palma de sua mão se você abri-la ou fechá
ou se contrairá, dependendo do movimento que você fizer.
como referência para o cálculo, porque a peça ficará menor do que o tamanho especificado.
do que o especificado.
O que se usa, para fins de cálculo, é o que chamamos de linha neutra
peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.
, isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o
auxílio de equipamentos apropriados.
que você poderá fazer para encontrar a linha neutra do material e realizar a tarefa?
anel e dividir o resultado por 2. Vamos tentar?
Suponha que o desenho que você recebeu seja o seguinte.
se ou comprimindo-se. É mais ou
la ou fechá-la. A pele se esticará
o que o tamanho especificado.
linha neutra, que não sofre
peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.
, isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o
utra do material e realizar a tarefa?

Com as medidas do diâmetro interno e do diâmetro externo do desenho, você faz a
soma:
100 + 80 = 180mm
O resultado obtido, você divide por 2:
180 ÷ 2 = 90mm
O diâmetro médio é, portanto,
Esse valor (90mm) corresponde aproximadamente ao diâmetro da circunferência
formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matéria
Como o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou men
perímetro da circunferência formada pela linha média, o que você tem de fazer agora é achar o
valor desse perímetro.
A fórmula para calcular o perímetro da circunferência é
circunferência e π é a constante igual a 3,14.
P = 90 x 3,14
P = 282,6mm
28
O resultado obtido, você divide por 2:
O diâmetro médio é, portanto, de 90mm.
formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matéria
Como o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou men
A fórmula para calcular o perímetro da circunferência é P = D . π, em que
é a constante igual a 3,14.
formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matéria-prima necessária.
Como o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou menos ao
, em que D é o diâmetro da

Como você pôde observar no desenho, para a realização do trabalho, terá de usar uma
chapa com 10mm de espessura. Por causa da deformação que ocorrerá no material quando
ele for curvado, muito provavelm
(282,6mm).
Nesses casos, a tendência é que o anel fique
empresa pequena, o procedimento é fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado
e fazer as correções necessárias.
Dica tecnológica
Quando se trabalha com uma chapa de até 1mm de espessura, não há necessidade de
correção nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material está bem próxima do
diâmetro médio do anel.
Tente você também
Vamos a mais um exercício para reforçar o que foi explicado
Exercício 2
Calcule o comprimento do material necessário para construir o anel correspondente ao
seguinte desenho:
Solução: P = Diâmetro médio . π
Diâmetro médio = 31
π = 3,14
29
ele for curvado, muito provavelmente haverá necessidade de correção na medida obtida
Nesses casos, a tendência é que o anel fique maior que o especificado. Em uma
ecessárias.
s um exercício para reforçar o que foi explicado
π
ente haverá necessidade de correção na medida obtida
que o especificado. Em uma

P =
Peças curvadas semicirculares
Você deve estar se perguntando o que deve fazer se as peças não apresentarem a
circunferência completa. Por exemplo, como seria o cálculo para descobrir o comprimento do
material para a peça que está no desenho a seguir?
O primeiro passo é analisar o desenho e descobrir quais os elementos geométricos
contidos na figura. Você deve ver nela duas semicircunferências e dois segmentos de reta.
Mas, se você está tendo dificuldade para “en
com o auxílio de linhas pontilhadas na figura abaixo.
30
Peças curvadas semicirculares
peça que está no desenho a seguir?
Mas, se você está tendo dificuldade para “enxergar” esses elementos, vamos mostrá
com o auxílio de linhas pontilhadas na figura abaixo.
xergar” esses elementos, vamos mostrá-los

31
Com as linhas pontilhadas dessa nova figura, formam-se duas circunferências
absolutamente iguais. Isso significa que você pode fazer seus cálculos baseado apenas nas
medidas de uma dessas circunferências.
Como você tem a medida do raio dessa circunferência, basta calcular o seu perímetro e
somar com o valor dos dois segmentos de reta.
Como estamos trabalhando com a medida do raio, lembre-se de que, para o cálculo do
perímetro, você terá de usar a fórmula P = 2 π R.
Vamos ao cálculo:
P = 2 π R
Substituindo os valores:
P = 2 x 3,14 x 10
P = 6, 28 x 10
P = 62,8mm
Por enquanto, temos apenas o valor das duas semicircunferências. Precisamos
adicionar o valor dos dois segmentos de reta.
62,8 + 30 + 30 = 122,8mm
Portanto, o comprimento do material necessário para a fabricação desse elo de corrente
é aproximadamente 122,8mm.
Tente você também

Releia essa parte da lição e faça o exercício a seguir.
Exercício 3
Calcule o comprimento
do material necessário
para confeccionar a
peça de fixação em
forma de “U”, cujo
desenho é mostrado a
seguir.
Solução:
Linha média: 6 / 2 =
Raio: 10 + 3 =
Perímetro da semicircunferência:
P = .........
Comprimento: 20 + 20 + ......... = .........
Outro exemplo.
Será que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de cálculo? Provavelmente, não.
Observe esta figura.
Nela temos um segmento de reta e uma circunferência que não está completa, ou seja,
um arco. Como resolver esse problema?
32
Releia essa parte da lição e faça o exercício a seguir.
Perímetro da semicircunferência:
x3,14=.R
2
R2
π=
π
.........
Comprimento: 20 + 20 + ......... = .........
um arco. Como resolver esse problema?

33
Como você já sabe, a primeira coisa a fazer é analisar a figura com cuidado para
verificar todas as medidas que você tem à sua disposição.
Nesse caso, você tem: a espessura do material (6mm), o comprimento do segmento de
reta (50mm), o raio interno do arco de circunferência (12mm) e o valor do ângulo
correspondente ao arco que se quer obter (340º).
O passo seguinte é calcular o raio da linha média. Esse valor é necessário para que
você calcule o perímetro da circunferência. As medidas que você vai usar para esse cálculo
são: o raio (12mm) e a metade da espessura do material (3mm). Esses dois valores são
somados e você terá:
12 + 3 = 15mm
Então, você calcula o perímetro da circunferência, aplicando a fórmula que já foi vista
nesta aula.
P = 2 x 3,14 x 15 = 94,20mm
Como você tem um arco e não toda a circunferência, o próximo passo é calcular quantos
milímetros do arco correspondem a 1 grau da circunferência.
Como a circunferência completa tem 360°, divide-se o valor do perímetro (94,20mm) por 360.
94,20 360 = 0,26166mm
Agora você tem de calcular a medida em milímetros do arco de 340º. Para chegar a
esse resultado, multiplica-se 0,26166mm, que é o valor correspondente para cada grau do
arco, por 340, que é o ângulo correspondente ao arco.
0,26166 x 340 = 88,96mm
Por último, você adiciona o valor do segmento de reta (50mm) ao valor do arco
(88,96mm).
50 + 88,96 = 138,96mm.

Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de peça é de
138,96mm.
Tente você também
As coisas parecem mais fáceis quando a g
como é fácil.
Exercício 4
Calcule o
comprimento do
material
necessário à
fabricação da
seguinte peça.
Solução:
Linha média: 6 /2 .......... =
Raio: 12 + .......... =
Perímetro =
............ ÷÷÷÷ 360º =
............ x ............ =
............ + ............ + ............ =
Teste o que você aprendeu
Se você estudou a lição com cuidado e fez os exercícios com atenção, não vai ter
dificuldade para resolver o desafio que preparamos para você.
34
As coisas parecem mais fáceis quando a gente as faz. Faça o exercício a seguir e veja
dificuldade para resolver o desafio que preparamos para você.
ente as faz. Faça o exercício a seguir e veja

Exercício 5
Calcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.
a)
b)
c)
Exercício 6
35
alcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.alcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.

Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.
a)
b)
36
Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.

37
Cálculo trigonométrico
A resolução de triângulos retângulos faz parte do cotidiano dos cálculos envolvidos em
usinagem mecânica, desenho técnico, programação CNC, processos etc.
Neste tópico, abordaremos a resolução de triângulos retângulos, abrangendo o
"Teorema de Pitágoras" e as funções básicas: seno, co-seno e tangente.
Lembramos que triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto (90
graus). Neste triângulo, o maior lado é chamado de Hipotenusa, enquanto os menores de
catetos (Oposto e Adjacente) a um determinado ângulo.
Teorema de Pitágoras
O "teorema de Pitágoras" trabalha apenas com os lados do triângulo não envolvendo os
ângulos.
Fórmula:
Desmembrando a Fórmula, teremos:
a) Aplicação de Seno

38
Seno: A função seno envolve o cateto oposto ao ângulo implicado (cateto que está à
frente do ângulo) e a hipotenusa. Assim temos:
b) Aplicação do co - seno
Co-seno: A função co-seno envolve o cateto adjacente ao ângulo implicado (cateto que
está do lado) e a hipotenusa. Assim temos:
c) Aplicação da tangente
Tangente: A função tangente envolve os dois catetos, não levando em consideração a
hipotenusa.
Assim temos:

39

40
Área e Perímetro de Figuras Planas
A geometria plana é a parte da matemática que estuda as relações entre as figuras
planas e as figuras que têm duas dimensões: comprimento e largura ou comprimento e altura.
Já a geometria espacial se preocupa com o estudo dos objetos no espaço, ou seja, estuda o
objeto envolvendo três dimensões: comprimento, largura e altura.
Polígonos
Seja (A, B, C, D, ...) n pontos de um plano, com n ≥ 3, onde três pontos
consecutivos estão em pontos distintos do plano, a união desses pontos com segmentos
de reta determina um polígono.
Observe a figura:
Em que: A, B, C e D são os vértices do polígono, e AB, BD, DC e CA são os segmentos
que formam os lados do polígono.
Superfície Poligonal
A superfície poligonal corresponde à reunião de um polígono com o seu interior. As
superfícies poligonais podem ser cônicas ou convexas.

41
Os polígonos são classificados de acordo com o seu número (n) de lados, dessa forma
eles recebem os nomes. Conheça a seguir as nomenclaturas dos polígonos.

42
Medida de Superfície – Área
Para medir uma superfície você deve compará-la com outra tomada como
unidade, na figura anterior foi utilizado um quadrado de 1 m de lado.
Unidade de área.
Aplicação 1
O retângulo ABCD tem 10 quadrados, se cada quadrado tem 1 m de lado, então a
medida da superfície ocupada por essa figura tem 10 m2.
Na Mecânica utiliza-se esse conhecimento para determinar a medida da superfície de
chapas. Por exemplo, a quantidade de chapas necessárias para confeccionar um baú da
carroceria de um caminhão.
A unidade fundamental é o metro quadrado, mas é comum na Mecânica trabalhar com
unidades menores, por exemplo, o mm2, que é um submúltiplo do metro. Já na construção civil
utiliza-se os múltiplos do metro, por exemplo, o km2. Acompanhe o quadro a seguir.

43
Representação e Leitura
As unidades de medidas de área variam de 100 em 100, em vez de escrever 54,3 dm2 é
conveniente escrever 54,30 dm2.
Quando ocorre a mudança de unidade, a vírgula se desloca duas casas para a direita ou
esquerda.

44
Área dos Polígonos
Área do Retângulo
Observe a figura a seguir, nela você tem um retângulo de 4 cm de altura e 9 cm de base,
cuja área é de 2 cm x 5 cm = 10 cm2.
Representa-se por A a área do retângulo, por b a base e por h a altura.
Área do Quadrado
O quadrado é um retângulo cuja base é igual à altura, assim a área pode ser encontrada
da mesma forma que o retângulo.

45
A área do quadrado A = 3.3, A = 9 cm2
Área do Paralelogramo
Você já ouviu falar de paralelogramo? Visualize atentamente as figuras a seguir.
Se você cortar o triângulo direito do paralelogramo e colocar sobre o lado oposto, ficará
com um retângulo. Para calcular a área do paralelogramo será utilizada a fórmula do retângulo.
Área do Triângulo
Observe na figura que a área do triângulo é metade da área do retângulo, assim a área
do retângulo é A = b.h. Para calcular a área do triângulo, basta dividir por dois a área do
retângulo. Veja a seguir.

46
Substituindo na fórmula as medidas da página anterior, que estão em cm, tem-se:
Área do Losango
Para calcular a área de um losango, deve-se partir da área de um retângulo, pois
conforme veremos na figura a seguir, o losango é formado por oito triângulos iguais.
Como a área do retângulo é A = b.h, conforme a figura acima, tem-se b = D e h = d.
A área do losango é:
Substituindo as medidas do desenho você terá:

47
Área do Trapézio
Dado um trapézio qualquer para determinar a área, estabeleça o seguinte: ajustar outro
trapézio igual ao primeiro em sentido inverso, nota-se dessa forma que temos um
paralelogramo.
Área do Polígono Regular
Seja um polígono regular com números de lado maior do que quatro, utilize o hexágono
conforme figura a seguir. O hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros iguais
(congruentes).

48
Observe que o paralelogramo contém 12 triângulos semelhantes dos quais 6 constituem
a área do hexágono.
Como a área do paralelogramo é dada por A = b.h, a área da figura é: A = 6.ℓ.apótema.
Para determinar a área do hexágono você deve dividir a área da figura por dois, o
hexágono corresponde exatamente à metade do paralelogramo da figura.
Assim você poderá calcular qualquer área de qualquer polígono regular desde que seja
dada a medida do lado e do apótema.
Aplicação 1
Dada uma chapa de aço em forma de octógono, determine a área da chapa.

49
Área do Círculo
Círculo é a região interna à circunferência. Para determinar a área do círculo você
deverá dividi-lo em 16 partes iguais (congruentes).
Observe que ao abrir a circunferência você obterá 32 partes congruentes, dos quais 16
constituem a área do círculo, usando a fórmula do paralelogramo terá:
A = b.h como b = C e h = r temos: A = C.r mas, C = 2π.r assim:
Aplicação 1
Determine a área de uma chapa de forma circular que apresenta um diâmetro de 232,5
mm de diâmetro.

50
Observe que o resultado em milímetro quadrado é um número grande, podendo ser
transformado, por exemplo, para cm2. Desta forma ficaria com:
Na Mecânica é comum arredondar esse valor, pode-se assim utilizar a área de 424,35
cm2.
Área da Coroa Circular
Denomina-se coroa circular a região da figura plana formada entre duas circunferências
concêntricas, conforme figura a seguir.

51
Acompanhe a seguir um resumo das fórmulas para cálculo das áreas
dos polígonos. Aproveite!

54
Finalizando
Procuramos apresentar nesta unidade curricular os elementos necessários para que
você possa utilizar os conhecimentos matemáticos de forma clara e objetiva. Os conteúdos
abordados são essenciais na sua vida profissional como técnico; frações, números decimais,
regra de três, porcentagem, cálculo de área e volume e muitos outros conhecimentos são
indispensáveis para que você se torne um profissional seguro e dedicado naquilo que faz.
Muitos desses conhecimentos você irá aperfeiçoar ao longo da sua vida profissional,
portanto, dedique-se, o sucesso só depende de você.
Pratique, faça as coisas com carinho e quando não conseguir resolver um problema de
qualquer área do conhecimento, peça ajuda, pois um profissional só se faz quando trabalha
junto com outras pessoas, ou seja, trabalha em equipe.
Um ótimo estudo!

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