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El siguiente material, elaborado por docentes del Departamento deMatemática, está dirigido a los alumnos aspirantes a ingr...
INDICE TEMÁTICO1. Números....................................................................................................
6.1.1.3. Producto de polinomios..................................................................100                6.1.1....
SIMBOLOSN = {1, 2, 3, …}                  el conjunto de los números naturalesN0 = N ∪ {0}                      el conjunt...
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Números                                    1. NÚMEROS    A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conj...
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Curso de Apoyo en Matemática2)   El número - 15 es menor que 3, es decir, -15 < 3 .a) ¿Es (-15)2 menor que 32 ?           ...
Números10)a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14.b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492.11) Tengo cie...
Curso de Apoyo en Matemática1.3. Números Racionales                                        Como mencionamos anteriormente,...
NúmerosLos números racionales se expresan en diferentes formas.    Ejemplo:El número racional tres cuartos puede expresars...
Curso de Apoyo en Matemática      FORMA                                                    EJEMPLO                        ...
Números     3 2 4 4 1 3 3                                                 2 -7 5 1  4 2 1 b)    : - ⋅ + - :             ...
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NúmerosTodos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales.El conjunto de los números rea...
Curso de Apoyo en Matemática                                                                                             7...
Números                                                Además se satisfacen las siguientes propiedades:       -3<4 ⇔-3+1<4...
Curso de Apoyo en Matemática                                                                    355c)       2 y       3   ...
Números                                                         Definimos                                                 ...
Curso de Apoyo en MatemáticaEl siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de s                 ...
Números     ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE39) Calcular las siguientes potencias:                                              ...
Curso de Apoyo en Matemática48) Simplificar las siguientes expresiones:                                                   ...
Números                                                    2                       2                                      ...
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Números60) Sabemos que i2 = -1. Por lo tanto i3 = i2 .i = -i, y también se tiene que i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1.Teniendo esto...
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  1. 1. FACULTAD DE INGENIERÍAUniversidad Nacional de la Patagonia San Juan BoscoCurso de Apoyoen Matemática Departamento de Matemática http://www.ing.unp.edu.ar/matematica
  2. 2. El siguiente material, elaborado por docentes del Departamento deMatemática, está dirigido a los alumnos aspirantes a ingresar a la Facultad deIngeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco. El mismo tiene como objetivo orientar al alumno en el estudio de lastemáticas que se evalúan en el examen de ingreso a la Facultad, y aportar unanutrida cantidad de ejemplos y ejercicios que permitan el desarrollo de lashabilidades y destrezas necesarias para abordar el estudio de las áreas básicasde la Ingeniería, Informática y Matemática. Bienvenidos a la Facultad de Ingeniería y mucha suerte. Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería
  3. 3. INDICE TEMÁTICO1. Números.....................................................................................................................1 1.1. Números naturales.............................................................................................2 1.2. Números enteros.................................................................................................3 1.3. Números racionales ............................................................................................8 1.4. Números reales..................................................................................................12 1.4.1. Orden en R..............................................................................................14 1.4.2. Potenciación y radicación en R.............................................................16 1.5. Números complejos ...........................................................................................21 1.5.1. Operaciones en C....................................................................................232. Ecuaciones lineales o de primer grado....................................................................263. Recta real..................................................................................................................36 3.1. Intervalos reales.................................................................................................36 3.2. Valor absoluto o módulo de un número real...................................................41 3.3. Inecuaciones lineales..........................................................................................444. Función lineal y ecuación de la recta.......................................................................49 4.1. Función................................................................................................................49 4.2. Función lineal y ecuación de la recta................................................................56 4.2.1. Función lineal...........................................................................................56 4.2.2. Pendiente de una recta............................................................................57 4.2.3. Función de proporcionalidad.................................................................61 4.2.4. Ecuación de la recta ................................................................................62 4.3. Sistemas de ecuaciones.......................................................................................68 4.4. Rectas perpendiculares......................................................................................73 4.5. Función valor absoluto.......................................................................................745. Ecuaciones y funciones cuadráticas.........................................................................75 5.1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado....................................................76 5.2. Funciones cuadráticas........................................................................................826. Ecuaciones polinómicas y racionales.......................................................................98 6.1. Polinomios...........................................................................................................98 6.1.1. Operaciones con polinomios....................................................................99 6.1.1.1. Suma de polinomios..........................................................................99 6.1.1.2. Resta de polinomios..........................................................................99
  4. 4. 6.1.1.3. Producto de polinomios..................................................................100 6.1.1.4. División de polinomios....................................................................100 6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas...............................102 6.1.3. Divisibilidad de polinomios...................................................................103 6.1.4. Regla de Ruffini......................................................................................104 6.1.5. Factorización de polinomios..................................................................105 6.2. Expresiones racionales......................................................................................108 6.2.1. Operaciones con expresiones racionales...............................................110 6.2.1.1. Suma y resta.....................................................................................110 6.2.1.2. Producto ...........................................................................................112 6.2.1.3. División ............................................................................................112 6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales...................1137. Exponenciales y logaritmos.....................................................................................119 7.1. Función exponencial.........................................................................................120 7.1.1. Ecuaciones exponenciales......................................................................123 7.2. Función logarítmica. Logaritmos....................................................................125 7.2.1. Propiedades de los logaritmos...............................................................127 7.2.2. Cambio de base.......................................................................................128 7.3. Ecuaciones exponenciales y ecuaciones logarítmicas.....................................1308. Funciones trigonométricas de ángulos...................................................................134 8.1. Ángulos...............................................................................................................134 8.1.1. Sistemas de medición de ángulos ..........................................................136 8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo.........................................................139 8.3. Triángulos rectángulos......................................................................................142 8.4. Signos de las funciones trigonométricas...........................................................144 8.5. Relaciones entre las funciones trigonométricas...............................................145 8.6. Funciones trigonométricas inversas de un ángulo...........................................147 8.7. Identidades trigonométricas...............................................................................155 8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α - β.........................................155 8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble.............................................155 8.7.3. Teoremas del seno y del coseno................................................................1559. Números complejos en forma polar...........................................................................157Soluciones...........................................................................................................................164
  5. 5. SIMBOLOSN = {1, 2, 3, …} el conjunto de los números naturalesN0 = N ∪ {0} el conjunto { 0, 1, 2, 3, …}N- el conjunto { -1, -2, -3, -4, …}Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, el conjunto de los números enteros…}Q el conjunto de los números racionalesR el conjunto de los números realesC el conjunto de los números complejosx∈A x pertenece al conjunto Ax∉A x no pertenece al conjunto AA⊂B el conjunto A está incluido en el conjunto BA⊄B el conjunto A no está incluido en el conjunto BA∪B conjunto A unión B, formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto BA∩B conjunto A intersección B, formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B∅ conjunto vacío= igual≠ distinto≅ es aproximadamente igual a< es menor que> es mayor que≤ es menor o igual que≥ es mayor o igual que(a, b) el intervalo abierto de extremos a y b[a, b] el intervalo cerrado de extremos a y b(a, b] el intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha, de extremos a y b[a, b) el intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda, de extremos a y b∞ infinito
  6. 6. Dom f dominio de la función fIm f imagen de la función fa valor absoluto de a, que vale a si a ≥ 0, y vale – a en otro caso.an n-ésima potencia de ana raíz n-ésima de aab a divide a bsen α seno del ángulo αcos α coseno del ángulo αtg α tangente del ángulo αarc sen α arco seno del ángulo αarc cos α arco coseno del ángulo αarc tg α arco tangente del ángulo αrad radianesi número complejo que simboliza a la unidad imaginariae número cuyo valor aproximado es 2,7182818π número cuyo valor aproximado es 3,1415926z módulo del número complejo z∀ cuantificador que se lee “para todo”∃ cuantificador que se lee “existe”∧ conectivo lógico que se lee “y”∨ conectivo lógico que se lee “o”⇔ conectivo lógico que se lee “si y sólo si”⇒ conectivo lógico que se lee “implica”loga b logaritmo en base a de blog b logaritmo en base 10 de b, o logaritmo decimal de bln b logaritmo en base e de b, o logaritmo natural de b
  7. 7. Números 1. NÚMEROS A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordandocómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad esen cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debebrindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por unmomento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero ysirva de apoyo para futuras unidades.A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, lascuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se hanmarcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias. La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Boscoposee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia.La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura de 61 metros sobre el nivel del maren el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 5482/10 Km2 , con unacosta de aproximadamente 36 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera delDepartamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población esde 143.628 personas (datos provisorios del Censo 2001, para el aglomerado Comodoro Rivadavia- Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un 21 % provienen de otros lugares de la Argentina yun 12,3 % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos turísticos es el parque eólico,emplazado en el cerro Arenales con una altura de 400 metros sobre el nivel del mar. La ciudadtambién cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el extremo dela Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 180 mts. de eslora, con un calado máximode 30 pies (10 mts.). Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricasexpresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, alleer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. Acontinuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática. Página 1
  8. 8. Curso de Apoyo en Matemática1.1. Números NaturalesLos números naturales también A los números que utilizamos para contar la cantidad desirven para ordenar. Así, decimos elementos de un conjunto no vacío se los denominaque la Tierra es el tercer planeta a números naturales. Designamos con N al conjunto departir del Sol, que ésta es la primer dichos números.unidad del Módulo del Ingreso,etc. N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }.Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos, si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N.Observemos que... Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números 1-1= 0 ∉N naturales es un número natural. Así, 1 - 2 = -1 ∉ N 3– 1=2 ∈ N si a , b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N.Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue: 1 2 3Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevoconjunto que denotamos con N0 = N ∪ {0}. 0 1 2 3Observemos que... Por otro lado, si reemplazamos cada elemento d conjunto de elw a ∈ N si y sólo si - a ∈ N-w N ∩ N- = ∅, es decir, no existe los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de 1 un número que pertenezca al escribimos -1, en lugar de 2 escribimos -2, y así siguiendo, conjunto N y al conjunto N- obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con simultáneamente. Recordemos - que el símbolo ∅ denota al N = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...} = {- a / a ∈ N } “conjunto vacío”.Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta: -3 -2 -1 0 1 2 3El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próxima sección.Página 2
  9. 9. Números1.2. Números Enteros Definimos al conjunto de los números enteros como N Z - Z = N ∪ {0} ∪ N. De inmediato resulta que todo número natural es un número entero. Para pensar…. ü ¿Existe un número entero que sea menor o igual que t dos o los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?Puede serle útil representar en la recta ü ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos numérica los números indicados y 2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?. analizar allí la situación. ü ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?. ¿Qué puede afirmarse sobre l cantidad de enteros que existen a entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?. Observemos que... -2 ∈ Z implica - (-2) = 2 ∈ Z w b ∈ Z implica - b ∈ Z 4, -5 ∈ Z implica 4 + (-5) = -1 ∈ Z w a, b ∈ Z implica a + b ∈ Z w a, b ∈ Z implica a - b ∈ Z, 4, -5 ∈ Z implica 4 - (-5) = 9 ∈ Z pues: a - b = a + (- b); como - b ∈ Z ; por lo anterior resulta a + (- b) ∈ Z . 4, -5 ∈ Z implica 4 . (-5) = -20 ∈ Z w a, b ∈ Z implica a . b ∈ Z ¿Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas dimensiones son las máximas permitidas para ingresar el puerto local? Retoma la lectura del artículo al Recuerda que... principio de esta unidad. 1 pie = 30 cm. Observemos que... 7 : 2 = 3,5 ∉ Z no siempre la división de dos números enteros es un número entero Página 3
  10. 10. Curso de Apoyo en Matemática 7 2 a b Al realizar una división entre dos números enteros puede que el 1 3 r q resto sea distinto de cero. Algoritmo de la Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. Existen enteros únicos q, r tales que división b = a . q + r con 0 ≤ r <  a  Recordemos que… |2|=2 |a| denota al “valor absoluto” del número a. |-2 | = 2 En la Unidad 3 trataremos este tema con mayor profundidad. Ejemplos: a) Para b = 84, a = 45 resultan q = 1, r = 39, pues 84 = 45 . 1 + 39 b) Para b = 84, a = - 45 resultan q = - 1, r = 39, pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39 El resto de la división entre c) Para b = - 84, a = 45 resultan q = - 2, r = 6, dos n úmeros enteros pues - 84 = 45 . (- 2) + 6 nunca puede ser negativo. d) Para b = - 84, a = - 45 resultan q = 2, r = 6, pues - 84 = (- 45) . 2 + 6 Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b Divisibilidad (o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que a es divisor de b ). Ejemplos: 6 = 2 . 3 + 0, de modo que r = 0 a) 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3 y así 2 divide a 6 12 = 5 . 2 + 2, de modo que r = 2 b) 5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que y así 5 no divide a 12 multiplicado por 5 dé 12. Un número entero a es primo si tiene exactamente cuatro 2 , 11 , 463 son números primos divisores: 1, -1, a y - a.Página 4
  11. 11. Números Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en Máximo común sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es el producto de los factores primos comunes, con el menor divisor exponente. Se denota mcd (a , b). Ejemplo: Si a = 72 y b = 84 resultaRecordemos que... 72 2 84 2 36 2 42 2para realizar la descomp osición de un 18 2 21 3 número en factores primos comenzamos dividiendo, de ser 9 3 7 7 posible, por los números primos 3 3 1 2, 3, 5, 7, 11, … 1 hasta obtener el número 1. La segunda columna obtenida 72 = 23 . 32 84 = 22 . 3 . presenta la descomposición del número en factores primos. mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12, o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84. Si se descomponen dos números enteros positivos a y b Mínimo común en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre a y b es el producto de los factores primos comunes múltiplo y no comunes con el mayor exponente. Se denota mcm (a , b) Ejemplo: 72 2 84 2 Tomando los números del ejemplo anterior resulta 36 2 42 2 18 2 21 3 9 3 7 7 mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504 3 3 1 1 o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84. 72 = 23 32 84 = 22 3 7 Actividades de Aprendizaje1) Efectuar las siguientes operaciones: Ejercicios complementariosa) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1) e) 42 : 2 - 1 - 82 : 2 – 1c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3) f) 32 : 2 - 1 - 32 : 2d) 22 - 42 : 8 + 25 g) 3-1 . 3 - 30 + 1 - 25 Página 5
  12. 12. Curso de Apoyo en Matemática2) El número - 15 es menor que 3, es decir, -15 < 3 .a) ¿Es (-15)2 menor que 32 ? b) ¿Es (-15)3 menor que 33 ?3) El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 .a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ?b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ?4) Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F). Dar un contraejemplo en caso de ser falso.a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2 ∈ Z entonces z ∈ Z.c) Si 2 z ∈ Z entonces z ∈ Z. d) Si z2 = 1 entonces z ∈ Z.5)a) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados?b) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos?6) Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?.7) Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16 y que x es positivo.a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes: § x.y.x.y § (-1) x . y § x.x.y § ( - x )( - y )( - x )b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes: § (-1)(-x )y= § x y:(-4)= § -2xy= § x y:4= § 3xy=8) p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar con ≤ o ≥ según corresponda:a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 qc) - p ..... – q d) p . a ..... q . a , siendo a ≥ 09)a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 7, hallar a y b.b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número a?Página 6
  13. 13. Números10)a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14.b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492.11) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto.Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos.Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno.a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo?b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo?12) En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada 4años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente,gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?.13) Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente.a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres simultáneamente, en un número entero de días?.b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?.14) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda.a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 b) ∃ b ∈ Z, b + 0 = 0c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 d) ∃ t ∈ Z, t - 2 ≥ 1e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a w ∀ a, b ∈ Z, a + b ∈ Z, esdecir, “Para cada par de números enterosa y b, su suma a + b es un númeroentero. ” Recordemos que... w ∀ z ∈ N, z ∈ Z, es decir, “Todo El símbolo ∀ se lee “para todo”, así,número natural z, es un número entero”. ∀ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a continuación se verifica w ∀ a ∈ Z, ∃ (- a)∈Z, a + (-a) = 0, “para todos los números enteros”es decir, “Para todo número entero a,existe el número entero (-a), llamado El símbolo ∃ se lee “existe”, así,opuesto de a tal que a + (-a) = 0 ” ∃ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a w Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. continuación se verifica “al menos para algún número entero”∃ q, r ∈ Z únicos, tales que b = a . q +r con 0 ≤ r < a. (Recordar elAlgoritmo de la división) Página 7
  14. 14. Curso de Apoyo en Matemática1.3. Números Racionales Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que a : b se lee “a dividido b” si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z . Ejemplo: 1 1:2= ∉Z. 2 Llamamos número racional a todo número que se puede Pueden usar los racionales, n por ejemplo, para indicar expresar como fracción donde n y m son enteros y la quinta parte de x como m x m ≠ 0. Con Q denotamos la totalidad de los números 5 racionales. Observemos que... Z Q w Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z m escribimos m = ∈ Q . Es decir Z ⊂ Q . 1 1 1 w La recíproca es falsa, por ejemplo, ∈ Q pero ∉ Z. 2 2 Si u , v ∈ Q entonces: La suma, la diferencia y el producto w u+v∈Q de dos números racionales es un w u- v∈Q número racional. w u.v∈Q El inverso de cualquier número 1 racional no nulo es un número w Si u ≠ 0 entonces ∈Q u racional.Recordemos que... no existe un número entero Para pensar….que sea menor o igual que todos losdemás, ni tampoco uno que sea ü ¿Existe un número racional que sea menor o igual quemayor o igual que cualquier otro todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?entero. 2 3 ü Hallar un número racional entre y . Hallar unAdemás, no podemos encontrar un 3 7número entero entre dos enteros 7 8consecutivos, pero sí podemos número racional entre y . ¿Puede hallarse más de unhallar una cantidad finita de enteros 3 3entre dos números enteros no número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?.consecutivos.Página 8
  15. 15. NúmerosLos números racionales se expresan en diferentes formas. Ejemplo:El número racional tres cuartos puede expresarse como: 3 -3 6 9 75 = = = = = 0,75 = 0,750 = .... 4 -4 8 12 100 forma fraccionaria forma decimal Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico. Ejemplos: 1 = 0,5 es decimal exacto 2 1 ) = 0,333..... = 0,3 período 3 3 86 ∩ = 7,81818181... = 7, 81 período 81 11 29 ) = 4,83333... = 4,83 período 3 6Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial: Parte Parte entera decimal ) 5 4 , 8 3 Parte periódica Parte no periódicaA continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria. Página 9
  16. 16. Curso de Apoyo en Matemática FORMA EJEMPLO OBSERVACIÓN DECIMAL En el numerador aparece la parte decimal, 75 y en el denominador tenemo s Exactas 0,75 = 100 el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tengo. ∩ 25 En el numerador aparece la parte periódica, Puras 0,2525... = 0, 25 = mientras que en el denominador tenemos 99 tantos números 9 como cifras tiene el período. Periódicas ∩ En el numerador aparece la diferencia entre 0,75454…= 0,7 54 = la parte decimal y la parte decimal no periódica, mientras que en el 754 - 7 747 Mixtas = = denominador tenemos tantos números 9 990 990 como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. Más ejemplos: FORMA EJEMPLO DECIMAL 15 0,015 = 1000 Exactas 223 2,23 = 100 ) 3 0,333... = 0,3 = Puras 9 ∩ 28 127 1,282828... = 1, 28 = 1 + = 99 99 Periódicas ) 83 - 8 75 0,8333... = 0,83 = = 90 90 ∩ Mixtas 754 - 7 747 12627 12,75454... = 12,7 54 = 12 + = 12 + = 990 990 990 ) 124 - 12 112 4612 5,12444... = 5,124 = 5 + = 5+ = 900 900 900 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE15) Calcular: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 5  3 1  10  1 3  d) ⋅  -  - ⋅  -  3 5 1 4 3 1a) - - +  + . -      9  4 2 3  2 5  8  3 2  11  4 5 Página 10
  17. 17. Números 3 2 4 4 1 3 3 2 -7 5 1  4 2 1 b) : - ⋅ + - : e) + - + :-  + - 5 3 5 3 3 4 7 3 2 6 4  3 3 6 c)  + 2 -7 5 1  4 2 1  - + :- + -   3 2 6 4  3 3 6 16) Escribir en forma decimal y fraccionaria:a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos17)a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. b) ¿De qué número es 850 el 52%?. 11 1218) Dadas las fracciones y ?. ¿Cuál es mayor? 12 1319) Expresar en forma fraccionaria y resolver: 2 2  1   1  0,09 + + 0,7  -  0,7 - a) (1,2 + 1,8) 2 - 6 b)  2   5 1,5 (1,5 - 0,3)2 - 0,24 3 - 0 ,25 2 ) ) ) )c) 0 ,09 : 0 ,3 - 0 ,12 : 0,3 - 0,05 . 2 + 0 ,5 . 3,3 - 0,1 ) ) ( ) ) ) 4 + 0,3 - 1,5 . 0,19 - 0,3 d) ( ) ) 0,32 - 0,2 1 ) 120) En un colegio, de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la lengua más 3elegida?21) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es elmás rápido?22) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarándespués?23) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200litros de agua después de helarse?. 24 4 124) Una aleación está compuesta por de cobre, de estaño y de cinc. ¿Cuántos 29 29 29kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?.25) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál esel denominador de la fracción?. Justifique su respuesta.26) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María 2toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma . Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del 5cordel?. Página 11
  18. 18. Curso de Apoyo en Matemática 9 227) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los de la edad de su padre y Carlos los . 20 5¿Cuál es el mayor?.28) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada aconcurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió lamitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió?1.4 Números Reales A los números reales que no se los puede expresar en forma de fracción, se los denomina números irracionales. Es decir, un número irracional expresado en forma decimal no El número π aparece al calcular la es exacto ni periódico. longitud de una circunferencia y el área de un círculo.El número e se presenta en procesos de crecimiento de una población Ejemplos:animal o vegetal, y en problemas de desintegración radiactiva. a) 0,1234567891011... Seguramente habrás visto en el La parte decimal de este número irracional es la sucesión detendido de cables eléctricos que los cables entre un poste y otro los números naturales. determinan una curva en cuya ecuación también está presente el b) π ≅ 3,141592654 número e. El símbolo ≅ indica que se esto representa una Otro número irracional muy famoso, aproximación del número irracional π . Notemos que también existen otras aproximaciones para este número; por 1+ 5 ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc. 2 llamado el número de oro, se obtiene c) e ≅ 2,71 si realizas, por ejemplo, el cociente Representa una aproximación del número irracional e. Al entre las longitudes del lado menor y el lado mayor de las hojas tamaño A4 efectuar cálculos en los que intervienen los números que comúnmente se utilizan en irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3 y 5) de fotocopiadora, o realizando el mismo cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅cálculo con los lados de una tarjeta de 2,718 o bien e ≅ 2,71828. crédito. ¿No te parece curioso? Q R La unión del conjunto Q de números racionales y Números el conjunto de los números irracionales es el N Z irracionales conjunto R de los números reales.Página 12
  19. 19. NúmerosTodos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales.El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número realle corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real.A esta recta la llamamos recta real.No siempre somos capaces de representar exactamente a un número real, sin embargo siempre esposible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal.Observemos que... Ejemplos: no existe un número real que sea 5 La representación de los números 2 ; - 3 ; 0,2 ; - y 2 mayor o igual a todos los demás, ni 4uno que sea menor o igual que todos es la que sigue: los demás. Además, entre dos números reales 5dados cualesquiera existen infinitos − 4 2 números racionales, e infinitos -3 0.2 números irracionales. -2 -1 0 1 2 1 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE29) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional. 3a) b) 0,494949... c) 3,75 5d) 0,141144111444... e) 3,2222... f) 0,437537537...g) 0,101001000100001... h) 730) Escribir:a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,231) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no:a) 3,2222........ b) 0,101001000100001.........c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112..........32) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla: Página 13
  20. 20. Curso de Apoyo en Matemática 7 10 8 Número 7 -2,08 1,1212212221... -2,2424... 6 − 25 −4 2NaturalEnteroRacionalIrracionalReal33) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar.a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero.c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional.34) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproximada: 1 3a) -5 b) c) - 3 7d) 5 d) p e) 2,5Observemos que... al efectuar las representaciones de estos números, los mismos están ordenados en la recta numérica.Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos.1.4.1. Orden en R a ≤ b se lee: Si en R definimos la relación de orden que indicamos ≤ “≤ ” a es menor o igual que b observamos que: Dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de Siempre podemos comparar dos las siguientes situaciones: números reales cualesquiera. a<b ; b<a ; a=b Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica.Página 14
  21. 21. Números Además se satisfacen las siguientes propiedades: -3<4 ⇔-3+1<4+1 w ∀ a , b ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c -3<4 y 2>0⇒-3.2<4.2 w ∀ a , b, c ∈ R, a < b y c > 0 ⇒ a . c < b . c - 3 < 4 y- 2 < 0 ⇒ - 3 . (- 2) > 4 . (-2) w ∀ a , b, c ∈ R, a < b y c<0 ⇒ a.c > b.c El símbolo ⇔ se lee “sí y sólo si” El símbolo ⇒ se lee “implica” ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE35) Completar con > ó < según corresponda: 1 1 1a) - 2 < 0 y >0 ⇒ -2. ..... 0 . 4 4 4 5 7 5 7b) > y -1<0 ⇒ . (- 1) ..... . (- 1) 2 3 2 3c) 1,4 < 2 ⇔ 1,4 + 0,01 ...... 2 + 0,01 - 7 .  -  ..... (- 6) .  -  1 1 1d) - 7 < - 6 y - <0 ⇒     2  2  236) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda: a b a ........b a ....... b a(-3) ........b(-3) 2 2 8 2 8 2 8>2 > 8 (-3) < 2 (-3) 2 2 -6 -10 -4 8 0 437) Si a y b son reales positivos y además a < b y b > 1, ¿cuál de las siguientes proposicioneses falsa?. Justificar dando un contraejemplo. 1a) a b > 0 b) b2 > a c) >0 a−b 1d) >0 e) b + a > 1 b+a38) Escribir un número comprendido entre los siguientes: 1 2a) y b) 1,4142 y 1,4143 3 5 Página 15
  22. 22. Curso de Apoyo en Matemática 355c) 2 y 3 d) π y 1131.4.2 Potenciación y Radicación en R Recordemos que... an = 1.4243 a a . a .... a Potenciación n veces donde a es un número real al que denominaremos base y n es un número natural que llamaremos exponente. Ejemplo: 4  2  2  2  2  2 16 −  = −  . −  .−  .−  =  3  3  3  3  3 81 Extensión de la Por convención se tiene, para a ≠ 0 que definición de potenciación a0 = 1 y a-n= 1 a exponentes e nteros an Ejemplo: 1 1 5-3 = = 3 125 5Algunas propiedades importantes que debemos recordar son: • Producto de potencias con am . an = am+n 22 . 23 = 25 x4 . x -2 = x2 la misma base. -n • Cociente de potencias con am : an = am 23 : 23 = 20 = 1 x4 : x -2 = x6 la misma base. • Potencia de una potencia. (am )n = am.m (3 -5 )3 = 3 -15 (x-2 ) -1 = x2 • Potencia de un producto. (a . b)n = an . bn(2 . 5) -2 = 2 -2 5-2 (x . y2 )3 = x3 y6 • Potencia de un cociente. (a : b)n = an : bn(2 : 5)-2 = 2-2 : 5-2 (x : y2 )3 = x3 : y6Página 16
  23. 23. Números Definimos n a =b si bn = a Radicac ión donde: n es un número natural. n a se lee raíz n-ésima de a . Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando. Observemos que ... 3 - 27 = -3 pues (-3)3 = - 27 para que la definición tenga sentido, 4 81 = 3 pues 34 = 81 w si n es impar, a puede ser cualquier número real,No tiene sentido considerar - 4 enel conjunto R, dado que no existe un w si n es par, a debe ser un número real positivo.número real tal que elevado alcuadrado nos dé por resultado - 4. 1 La raíz n-ésima de un número suele también denotarse 5 6 = 65 como potencia 1 7 n 3 7 a = an . 3 = 33 Además 1 p n 5 = 52 a p = a n si a ≥ 0 .Observemos que... Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, ya que pueden presentarse casos como el siguiente: (-3)4/2 = (- 3) 4 pero (-3)4/2 = ((- 3)1/2 )4 = ( -3 )4 no tiene sentido en el conjunto R. También se satisfacen las siguientes propiedades: 1 2 2 < 3 ⇒ 2-1 > 3-1 ⇒ > 3 3 w a > 0 , b > 0 y a < b ⇒ a -1 > b -1 −1 −1 3 2 3  2- < - ⇒   > − 2 3 2  3 w a < 0 , b < 0 y a < b ⇒ a -1 > b -1 2 3 ⇒ − >− 3 2 Página 17
  24. 24. Curso de Apoyo en MatemáticaEl siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de s uma, producto,potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste.OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q RSuma 1. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c × × × × 2. Conmutativa a+b = b+a × × × × 3. Elemento neutro 0 × × × 4. Elemento opuesto de a -a × × ×Producto 5. Asociativa (a . b) . c = a . (b . c) × × × × 6. Conmutativa a.b = b.a × × × × 7. Elemento neutro 1 × × × × 1 8. Elemento inverso de a (a ≠ 0) × × aSuma-Producto 9. Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c × × × × 1. Producto de potencias con la × × × ×Potencias am . an = am+n misma base 2. Cociente de potencias con la -n × × × × am : an = am misma base 3. Potencia de una potencia (am )n = am.m × × × × × × × × n n n 4. Potencia de un producto (a . b) = a . b 5. Potencia de un cociente (a : b)n = an : bn × × × ×Raíces 1. Producto de radicales con el n n n × × × × mismo índice a . b = a .b 2. Cociente de radicales con el n n n × × × × a : b = a :b mismo índice 3. Raíz de una raíz m n a = n.m a × × × × 4. Potencia de un radical (n a )m = n am × × × ×Observaciones:• En el conjunto de los números naturales no existe elemento neutro para la suma. Además ningúnnúmero natural posee elemento opuesto.• Excepto el 1, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo.• Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las expresiones involucradas tengansentido.En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice queR es un cuerpo, y está ordenado por la relación de orden ≤ .Página 18
  25. 25. Números ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE39) Calcular las siguientes potencias: E JERCICIOS COMPLEMENTARIOS 3 0 −3 −1a)  -   1 g)   1 2 3   b)     h)    5  5  2  10 c) 2-2 d) (- 3)-2 i) - 125 j) (- 1)25e) (- 3)2 f) 105 k) - 12325 l) (0,1)-240) Calcular las siguientes expresiones: E JERCICIOS COMPLEMENTARIOS 2 5 2 5a) x . x b) (- x) . x e) (- x)2 . (- x)5 f) (- x)3 : (- x)5 - -c) x 5 : x 5 d) x -3 : x -6 g) x 3 : x 4 h) (- x)3 : x 541) Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am = ma ?. Justificar.42) Escribir como radicales los siguientes números: 21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/343) Expresar como potencia fraccionaria 1 1a) b) x :3 x c) x ⋅3 x ⋅5 x2 d) 5 x x44) Simplificar, si es posible: 4 8a) 32 b) 54 c) 9 27 d) 5 102445) Extraer factores del radicando:a) 8 b) 18 c) 32 d) 5046) Calcular usando propiedades: E JERCICIOS COMPLEMENTARIOSa) 2 ⋅ 32 b) 15 : 3 g) 2 ⋅ 15 h) 3 32 : 3 2c) 3 3⋅3 9 d) 3 8:3 2 i) 3 2 :3 5 j) 8:4 2e) 2 : 3 32 f) 3: 4 k) 2 ⋅ 8 0 ,5 l) 3 9 :6 347) Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones:a) 2 + 8 + 18 - 32 b) 5 + 45 + 180 - 80 3 3c) 24 - 5 6 + 486 d) 54 - 16 2 2 2 2e) 3 -5 - 5 50 + 9 9 3 25 Página 19
  26. 26. Curso de Apoyo en Matemática48) Simplificar las siguientes expresiones: 1 1 ( ) - 1  3 3a) 2⋅ 2 ⋅ 2 b) 5 . 3 5 :  . 5 25  c) 6 ⋅ 4 12 : 18 2 5  2  3 3 1 (2 ) 3 -2 ⋅ 32    - 100 2  d) e) ( ) 3 1 1 10 : 0,001 2 10 2 ⋅ 3349) Eliminar las raíces del denominador y simplificar: 3 1 2 x + ya) b) c) d) 3- 2 3- 2 2 2+ 5 x- y50) Resolver 161 / 4 ⋅ 27 1 / 3 64 2 / 3 − 27 1 / 3 − 1a) b) −1 4 1/ 2 1    11  −2    2/ 3 3/2 c)  8 − 3⋅9  donde a ≠ 0   1  −1 0    − ( 3a )   2 51) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultadocon dos decimales.52) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado contres decimales.53) El área de un cuadrado mide 50 cm2 . ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre sudiagonal?.54) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimalesexactos.55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105,420.56) Indicar el error cometido: 4 - 10 = 9 - 15 25 25 4 -10 + = 9 - 15 + 4 4Página 20
  27. 27. Números 2 2 5 5 5 5 22 – 2 . 2 . +   = 32 – 2 . 3 . +   2 2 2 2 2 2  5  5  2 -  = 3 -   2  2 5 5 2- =3- 2 2 2 = 357) Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificarla respuesta proponiendo un contraejemplo. E JERCICIOS COMPLEMENTARIOSa) a.0 = 0 f) a + (-b + c) = a - b + cb) (-a)(-b) = -(ab) g) a - (b + c) = a - b + c a a a h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1 , donde a ≠ 0c) = + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 b+c b c i) ∀ a ∈ R, (a-1 )-1 = a , donde a ≠ 0 b+c b c j) el cociente entre un número a y su opuestod) = + , siendo a ≠ 0 a a a es igual a (-1), donde a ≠ 0e) a (b - c) = ab - ac k) a (-b) = ab l) - (-a) = a1.5 Números ComplejosNo es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real.Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es -4. Es decir, no existea ∈ R tal que a2 = -4. El nombre de i a − 1 surgió en La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i 2 = -1,1777, y se debe al matemático Euler. también se suele escribir − 1 en lugar de i. Hasta entonces se trabajaba con A los números de la forma a + b i donde a y b son reales expresiones tales como − 4 , manipulándolas del mismo modo se les llama números complejos. Al conjunto formado por que a los números reales. dichos números se lo denota C. Re(2 – 3i) = 2 En un número complejo a + b i, con a, b ∈ R, a se llama parte real y se la denota con a = Re(a + b i), y b se llama Im(2 – 3i) = -3 parte imaginaria y se la denota con b = Im(a + b i). Página 21
  28. 28. Curso de Apoyo en Matemática Observemos que... para el número complejo a + b i, w si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es decir, es imaginario puro. No es cierto que w si b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por la parte imaginaria tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el de 2 + 4i sea 4i, conjunto C de los números complejos. sino que Im(2 + 4i) = 4. w la parte imaginaria está conformada solamente por b. Ejemplos: Los siguientes son complejosconjugados: A dos números complejos se les llama conjugados si tienen la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias.a) 3 + 2 i y 3 - 2 ib) - 5 + 3 i y -5- 3 I Observemos que... en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora, las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del radicando. Ejemplos: a) -4 = 4 . (-1) = 4 -1 = 2 i 4 b) (− 3) 2 = (− 3)4 =9 c) ( −3 )4 = ( 3 ⋅i )4 = ( 3 )4 ⋅ i 4 = 9 ⋅ 1 = 9Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas másadelante: x2 + 1 = 0 x2 + 4 = 0 x 2 - 6 x + 13 = 0 x 2 + 5 x + 11 = 0Página 22
  29. 29. Números Representación de 5 + 3 i El número complejo y a+bi 5+3i se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas 3 (a , b) . El eje de las abscisas se llama eje real, y el de las 2 ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número 1 complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del x 0 1 2 3 4 5 plano le corresponde un número complejo. Representación de 5 + 3 i y Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento su conjugado 5 – 3 i → orientado que llamamos vector y representamos por OP . Así y pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un 5+3i 3 vector. 2 y 1 P(a, b) 0 x 1 2 3 4 5 -1 -2 b -3 5-3i 0 a x1.5.1 Operaciones en C La suma y resta de números complejos se realiza sumando Suma y Resta o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí respectivamente. Ejemplos: Ahora resolveremos algunas operaciones: Re(2+3i) = 2 Re(8 – 5i) = 8 a) (2 + 3 i) + (8 - 5i) Re((2 + 3 i) + (8 - 5i)) = 10 (2 + 3 i) + (8 - 5i) = (2 + 8) + (3 + (- 5)) i Im(2 + 3i) = 3 Im(8 – 5i) = -5 = 10 - 2 i Im((2 + 3 i) + (8 – 5i)) = -2 b) (2 + 3 i) - (8 - 5i) (2 + 3 i) - (8 - 5i) = (2 - 8) + (3 - (- 5)) i = - 6 + 8 i Página 23
  30. 30. Curso de Apoyo en Matemática El producto de dos números complejos se realiza aplicando Producto la propiedad distributiva d producto respecto de la suma el y recordando que i 2 = -1. La división de dos números complejos se realiza División multiplicando dividendo y divisor por el complejo conjugado del divisor. Ejemplo: 20 + 30 i Resolveremos: 3+ i Multiplico dividendo y divisor 20 + 30 i (20 + 30 i ) . (3 - i ) 60 + 90 i - 20 i - 30 i 2 por el complejo conjugado del = = denominador. 3+ i (3 + i ) . (3 - i ) 9 -i 2 El complejo conjugado de 90 + 70 i 3 + i es 3 – i. = = 9+7i 10 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE58) Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica: (1 − 2i ) +  3 + 5i  + (− 7i) − (− 2) e) (− 1 + i) + (3 − 2i ) ⋅ (1 + 3i)a)   2  1 − 4i f)b)  + i  ⋅ (− 5 + 4i ) 2 1 2−i   3 2  g) 1 + 3 − (1 − i )(2 + i) 3 + 4i i 1+i 3−ic) 2−id) − 16 + − 25 − 1 + 4959) CalcularRecordemos que... Cuadrado de un binomio (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 { ( a) Re 2 (1 - i )3 + 3(- 2 + 4i ) 2 - 5 3 - 2)2 } (a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2  (1 - i ) (- 2 + i )  b) Im   Cubo de un binomio (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 + b 3  3 - 2i  (a - b)3 = a 3 - 3a 2 b + 3a b 2 - b 3Página 24
  31. 31. Números60) Sabemos que i2 = -1. Por lo tanto i3 = i2 .i = -i, y también se tiene que i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1.Teniendo esto en cuenta, calcular i5 , i6 , i7 , i8 , i26 , i32 , i45 .61) Comprobar que 3 + 2i, y -3 - 2i son las raíces cuadradas de 5 + 12i.62) Representar en un mismo gráfico los números complejos z1 = 2 + 3i y z2 = 5 – 2i.Calcular z1 + z2 y graficar . Observar la relación geométrica entre z1 , z2 y z1 + z2 .63) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las expresiones de z + z y z. z .64) Calcular 3 + 4i a) Re   + (−2 + i ) 2   b) Re {(–2i)4 – (–1 – 6i)3 }  5 − 2i   − 8i   2  7 − 8i 3    c) Im     ( ) d) Im  7i   3    ( −4 + 2i ) 2        Página 25
  32. 32. Curso de Apoyo en Matemática 2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resolverecuaciones lineales por medio de propiedades vistas en la Unidad Nº 1. También resolveremosproblemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos deecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. En próximas unidadesanalizaremos cómo resolver ecuaciones de mayor grado.Comenzamos con la siguiente situación:En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco_ Piensa un número..._ Súmale 15 al número pensado..._ Multiplica por 3 el resultado..._ Al resultado réstale 9 ..._ Divide por 3..._ Resta 8..._ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:_ 32Instantáneamente el mago afirma con solvencia:_ El número que pensaste fue el 28.¿Cómo lo hizo?Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior pormedio de ecuaciones lineales con una incógnita.Página 26
  33. 33. Ecuaciones Lineales o de Primer GradoAnalicemos las siguientes igualdades: 3+4+2=7+2 Estas son igualdades numéricas, 3+2=5 ( x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y2 mientras que éstas son igualdades algebraicas o literales a2 – 1 = 0En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo encuenta si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos aestudiar las ecuaciones lineales. Igualdad algebraica Identidad Ecuación Se verifica para cualquier Se verifica para algunos valor dado a sus letras. valores dados a sus letras. Ejemplo Ejemplo a.( m – n2 ) = am – an2 2y – 3 = x + 5 Las letras que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas. Página 27
  34. 34. Curso de Apoyo en Matemática En el caso de las igualdades algebraicas, éstas se verifican siempre pues por ejemplo a.( m – n2 ) = am – an2 es la propiedad distributiva. Cualquier valor de a, m y n es solución. Por ejemplo para a = 2, m = 3, n = -1 tenemos 2(3 – (-1)2 ) = 2.3 - 2.(-1)2 Las soluciones de una ecuación son los valores que al 4 = 4. sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad. En el ejemplo 2y – 3 = x + 5, los valores y = 3, x = -2 son soluciones, pues 2.3 -3 = -2 + 5 mientras que y = 3, x = 4 no es solución pues 2.3 – 3 = 3 ≠ 4 + 5 = 9. Ecuación lineal Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas de exponente 1. Ejemplos. 1. 2x + 3 = 5Las primeras cuatro ecuaciones son 2. 3x – x = 2xejemplos de ecuaciones lineales o deprimer grado. 3. x+5=5Las ecuaciones 1, 2 y 3 tienen una 4. x + y = 24incógnita y la ecuación x + y = 4tiene dos incógnitas. 1. t 2 – 3t + 1 = 0 Para pensar…. 2. x . y = 24 Estas no son ecuaciones lineales. 3. cos x = 1 ¿Por qué? 4. 16 = 2xPágina 28
  35. 35. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Ejemplos: Resolvamos las siguientes ecuacionesa) 2 x + 3 = 5 Aplicando propiedades Se puede resolver ¨despejando¨. 2x +3 + (-3) = 5 2x = 5 - 3 2x = 2 2x = 2 1 1 5− 3 2x = 2 x= 2 2 2 x=1 x=1 Verificación: Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el 2x + 3 = 5 valor obtenido es la solución de la ecuación. Para ello, debemos 2.1+3=5 sustituir el valor hallado en la ecuación. 2+3=5 5=5 La ecuación 2x + 3 = 5 tiene solución única x = 1. b) x + y = 24 Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica para infinitas parejas de números. Por ejemplo: 1 + 23 = 24 x = 1, y = 23 -5 + 29 = 24 x = -5 , y = 29 24 + 0 = 24 x = 24 , y = 0 1 47 48 1 47 + = = 24 x= , y= 2 2 2 2 2c) 3x – x = 2x Para pensar.... 3x – x = 2x En este ejemplo observamos que 2x = 2x hemos obtenido 2x – 2x = 0 0.x = 0 ¿Cuántas soluciones tiene esta 0.x = 0 igualdad? Página 29
  36. 36. Curso de Apoyo en Matemáticad) x + 5 = x x+5=x Para pensar..... 5=x–x En este ejemplo obtenemos 5 = 0.x 5 = 0.x ¿Cuál es el número de soluciones de 5=0 esta igualdad? x + 1 3x − 9e) = 5 3 La solución es x +1 3x − 9 x= 4 = 5 3 que pertenece al conjunto de los números reales; 3(x + 1) = 5(3x - 9) por lo tanto esta ecuación tiene 3x + 3= 15x – 45 solución en R. 3 + 45 = 15x – 3x Atención 48 = 12x No olvides nunca verificar. x= 4 x x xf) + + = 578 4 6 18 x x xRecuerda que... + + = 578 4 6 18 para sumar o restar fracciones de distinto denominador, primero debes 9x + 6x + 2x hallar un múltiplo común entre los = 578 36 denominadores. Así, 36 es el mínimo común 17x = 20.808 múltiplo entre 4, 6 y 18. x = 1.224Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Para ello podemos tener encuenta los siguientes pasos: • lectura comprensiva del enunciado; • traducción al lenguaje simbólico;Pasos a tener en cuenta • expresión de la ecuación correspondiente; • resolución de la ecuación; • verificación del resultado obtenido.Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso.Volvemos al problema del mago del inicio de esta unidad.Página 30
  37. 37. Ecuaciones Lineales o de Primer GradoEn un espectáculo el mago realiza el siguiente truco._ Piensa un número..._ Súmale 15 al número pensado..._ Multiplica por 3 el resultado..._ Al resultado réstale 9 ..._ Divide por 3..._ Resta 8..._ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:_ 32Instantáneamente el mago afirma con solvencia:_ El número que pensaste fue el 28.¿Cómo lo hizo? • traducción al lenguaje Piensa un número → x simbólico Súmale 15 → x + 15 Multiplica por 3 el → 3(x + 15) resultado Al resultado réstale 9 → 3(x + 15) - 9 Divide por 3 → (3(x +15) - 9):3 Resta 8 → (3(x + 15) - 9):3 - 9 El espectador dice → 32 • expresión de la ecuación correspondiente (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32 • resolución de la ecuación (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32 x + 4 = 32 x= 28 • verificación del resultado (3.28 + 45 – 9):3 – 8 =32 obtenido Página 31
  38. 38. Curso de Apoyo en Matemática Ejemplo: De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y quedan aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito. • traducción al lenguaje simbólico capacidad del → x depósito un cuarto del → 1 contenido x 4 mitad del resto → 1 1  

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