Fisica pa.ingenieria y ciencias slusher

FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS

DARE A. WELLS es profesor emérito de Física en la Universidad de
Cincinnati (Ohio). Obtuvo su doctorado en esa universidad, y entre las
obras que ha publicado figuran unos veinte ensayos sobre espectrosco-
pia y oscilaciones pequeñas, así como la dinámica de Lagrange y el
tratamiento de los sistemas electromecánicos con los métodos de
Lagrange. Es el creador de una forma general de la "función P", que
sirve para determinar las fuerzas generalizadas de disipación. El pro-
fesor Wells es autor también de Lagrangian Dynamics, un título más
de la serie Schaum.
HAROLD S. SLUSHER es profesor asistente de Física en la Univer-
sidad de Texas (El Paso) y profesor de Ciencias Astronómicas en la
Gradúate School del Institute for Creation Research, en San Diego
(California). Slusher posee un doctorado en Ciencias de la Indiana
Christian University y otro en Filosofía de la Columbia Pacific Uni-
versity. Entre las investigaciones que ha publicado conviene mencionar
las monografías dedicadas a la cosmogonía, cosmología y geocronología.

SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM
TEORÍA Y PROBLEMAS
DE
FÍSICA
PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
●
Dare A. Wells, Ph.D.
Emeritus Professor of Physics
Universtty of Cincinnati
Harold S. Slusher, D.Sc, Ph.D.
Assistant Professor of Physics
University of Texas at El Paso
TRADUCCIÓN
Antonio Ortíz Herrera
Profesor de Física y Matemáticas
REVISIÓN TÉCNICA
Miguel Irán Alcérreca Sánchez
Licenciado en Física y en Matemáticas
Escueta Súpertor de Ftsica y Matemáticas, IPN
Investigador del
Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares
McGRAW-HILL
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • GUATEMALA • LISBOA • MADRID
NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO
AUCKLAND • HAMBURGO • JOHANNESBURGO • LONDRES • MONTREAL
NUEVA DELHI • PARÍS • SAN FRANCISCO • SINGAPUR
ST. LOUIS • SIDNEY • TOKIO • TORONTO.

FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 1984, respecto a la primera edición en español por
LIBROS McGRAW-HILL DE MÉXICO, S. A. de C. V.
Atlacomulco 499-501, Fracc. Industrial Sn. Andrés Atoto
53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 465
ISBN 968-451-605-3
Traducido de la primera edición en inglés de
SCHAUM'S OUTLINE OF PHYSICS FOR ENGINEERING AND SCIENCE
Copyright © 1983, by McGraw-Hill Book Inc., U. S. A.
ISBN 0-07-069254-8
1234567890 I.P.-85 8012346795
Impreso en México Printed in México
Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 1985
en Impresora Publi-Mex, S. A.
Calzada San Lorenzo 279 Local 32
Col. Estrella
Delegación Iztapalapa
09800 México, D.F.
Se tiraron 4 600 ejemplares

Prefacio
Los principios fundamentales de la Física, junto con algunas ramas de las
Matemáticas, constituyen el pilar sobre el que descansan esa disciplina y todas
las especialidades de la Ingeniería. Este libro se propone ante todo ayudar al
estudiante de Ciencias e Ingeniería a conseguir, en poco tiempo y sin mucho
esfuerzo, un buen conocimiento de los principios y métodos básicos.
Al preparar la obra nos hemos guiado por el siguiente criterio: un ejemplo
específico y adecuado, resuelto en forma pormenorizada, constituye el mejor
medio de ilustrar los principios de la Física y los procedimientos de las Mate-
máticas. El problema resuelto es una manera muy didáctica de (por decirlo así)
"explicar la explicación" de un libro de texto o de una lección. Es además un
medio sumamente eficaz para despertar el interés de los alumnos por esa
ciencia básica, no pocas veces sembrada de dificultades. Y esta opinión la
comparten muchos de ellos.
Así pues, todos los capítulos (menos el primero en el cual se resumen
las nociones esenciales) comienzan con una sucinta exposición de los principios
de la Física y de sus nexos con las Matemáticas, como suele hacerse en esta
clase de libros. Viene después un extenso conjunto de ejemplos, cuidadosa-
mente seleccionados y graduados según su dificultad, que se resuelven paso
a paso. Por últímo, para facilitar la autoevaluación se incluyen problemas espe-
cíficos con su respuesta respectiva.
Un sincero testimonio de gratitud a nuestros ex alumnos cuyo interés y
desinterés, deficiencias y aciertos nos estimularon mucho en la elaboración de
esta obra y en la selección de los contenidos.
DARE A. WELLS
HABOLD S. SLUSHER

Contenido
Capítulo 1 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS ......................................... 1
Métodos vectoriales, unidades, análisis dimensional
1.1 Escalares y vectores. 1.2 Representación gráfica de vectores. 1.3
Componentes de vectores. 1.4 Vectores unitarios. 1.5 Multiplicación
vectorial. 1.6 Entidades físicas. 1.7 Análisis dimensional de unidades
en ecuaciones físicas.
Capítulo 2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
CON ACELERACIÓN CONSTANTE . ....................................................... 13
2.1 Definiciones de velocidad y aceleración. 2.2 Movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado.
Capítulo 3 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA
PARTÍCULA CON ACELERACIÓN CONSTANTE ................................ 21
Capítulo 4 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO: INTRODUCCIÓN .
4.1 Leyes de Newtoh del movimiento. 4.2 Masa y peso. 4.3 Sis-
temas de referencia. 4.4 Procedimiento para calcular las fuerzas y ace-
leraciones.
31
Capítulo 5 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO,
PROBLEMAS MAS AVANZADOS…………………………… ........…..
5.1 Centro de masa. 5.2 Sistemas de partículas que interactúan.
. Fuerzas de fricción. 5.4 Movimiento circular uniforme.
5.3
39
Capítulo6 CANTIDAD DE MOVIMIENTO
IMPULSO Y MOVIMIENTO RELATIVO .................................................. 51
6.1 Cantidad de movimiento lineal. 6.2 Impulso. 6.3 Conservación de la
cantidad de movimiento lineal. 6.4 Movimiento relativo.
Capítulo 7 MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN UN PLANO ........................ ............... 61
7.1 (Rapidez) velocidad angular constante. 7.2 Movimiento angular con
velocidad variable. 7.3 Movimiento a lo largo de una curva plana en
general.
Capítulo 8 TRABAJO, ENERGÍA CINÉTICA Y POTENCIA ...................................... 73
8.1 Trabajo. 8.2 Energía. 8.3 Principio de equivalencia entre la energía
y el trabajo. 8.4 Potencia.

Viii
Capítulo 9
Capítulo 10
Capítulo 11
Capítulo 12
Capítulo 13
Capítulo 14
Capítulo 15
Capítulo 16
Capítulo 17
Capítulo 18
CONTENIDO
ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA . . . 83
9.1 Fuerzas conservativas. 9.2 Energía potencial. 9.3 Conservación
de la energía.
ESTÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS ................................................ 91
10.1 Momento de torsión (torca). 10.2 Condiciones del equilibrio.
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO .............................................. 105
11.1 Momento de inercia. 11.2 Teoremas relativos a los momentos de
inercia. 11.3 Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento.
11.4 Momentos de torsión y aceleración angular.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR ............................................ 115
12.1 Cantidad de movimiento angular. 12.2 Principio del momento an-
gular. 12.3 Conservación del momento angular.
GRAVITACIÓN..................................................................................................... 123
13.1 Campo gravitacional. 13.2 Fuerza gravitacional. 13.3 Energía
potencial gravitacional. 13.4 Leyes de Kepler. Órbitas. 13.5 Ley de
Causs.
ELASTICIDAD Y MOVIMIENTO ARMÓNICO......................................... 135
14.1 Elasticidad y la ley de Hooke. 14.2 Movimiento armónico simple.
14.3 Ecuaciones para el MAS. 14.4 Movimiento armónico amortiguado.
14.5 Energía potencial del movimiento armónico simple. 14.6 Movimiento
de un péndulo simple.
ESTÁTICA DE FLUIDOS ............................................................................... 145
15.1 Presión en un fluido. 15.2 Principio de Pascal. 15.3 Densidad.
15.4 Leyes de la estática de fluidos.
DINÁMICA DE FLUIDOS ............................................................................. 153
16.1 Algunas propiedades del flujo de un fluido. 16.2 La ecuación de
continuidad. 16.3 Ecuación de Bernoulli.
GASES, MOVIMIENTO TÉRMICO Y LA PRIMERA
LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................. 161
17.1 Ecuación de estado. 17.2 Movimiento térmico. 17.3 La primera
ley de termodinámica.
PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA ..................................... 171
18.1 Dilatación térmica. 18.2 Capacidad calórica. 18.3 Transferencia
de calor.

CONTENIDO ix
Capítulo 19 ENTROPÍA Y LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA . . . . 179
19.1 Procesos reversibles. 19.2 Entropía. 19.3 Miqümas térmicas y
refrigeradores. 19.4 Otros enunciados de la segunda ley de la termo-
dinámica.
Capítulo 20 FENÓMENOS ONDULATORIOS................................................................... 189
20.1 Función de onda. 20.2 Ondas sobre una cuerda extendida. 20.3
La onda sinusoidal. 20.4 Principio de la superposición dé ondas. 20.5
Ondas estacionarias.
Capítulo 21 ONDAS SONORAS ............……………………………………………………. 199
21.1 Velocidad del sonido. 21.2 Intensidad y volumen de las ondas sonó-
ras. 21.3 El efecto Doppler.
Capítulo 22 CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB ........................................ 207
22.1 Carga eléctrica. 22.2 Fuerza entre cargad puntuales.
Capítulo 23 EL CAMPO ELÉCTRICO FORMADO POR CARGAS EN REPOSO .. 217
23.1 Definición general de E. 23.2 Principio de superposición para £.
Capítulo 24 FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS .......................... ……………... 225
24.1 Flujo eléctrico. 24.2 Ley de Gauss.
Capítulo 25 POTENCIAL ELÉCTRICO .................... …………………………………….. 231
25.1 Energía potencial eléctrica. 25.2 Potencial eiéetrioo o voltaje. 25.3
Principio de superposición para ф. 25.4 Él electrón-volt.
Capítulo 26 CORRIENTE ELÉCTRICA, RESISTENCIA Y POTENCIA.................... 241
26.1 Corriente y densidad de corriente. 28.2 Ley de Ohm; resistencia.
26.3 Coeficiente de temperatura de la resistencia. 20.4 Fuentes de ener-
gía eléctrica. 26.5 Potencia eléctrica.
Capítulo 27 LEYES DE KIRCHHOFF DE CIRCUITOS RESISTIVOS ................. 251
27.1 Pasos preliminares. 27.2 Ley de Kirehhoff para corrientes. 27.3
Ley de Kirehhoff para circuitos cerrados, 27.4 Aplicación de las dos leyes.
Capítulo 28 FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CARGAS
EN MOVIMIENTO ............................................................................................ 257
28.1 El campo magnético. 28.2 Fuerza sobre un alambre que transporta
corriente. 28.3 Flujo magnético.
Capítulo 29 FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO , , . . . . . . , . . . . . . . . , , . . . .............. 271
29.1 Campo magnético sobre una carga en movimiento. 29.2 Campo mag-
nético sobre un filamento de corriente. 29.3 Ley circuital de Ampére.

x CONTENIDO
Capítulo 30 LEY DE FARADAY DE LA FUERZA
ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................. 281
30.1 FEM inducida. 30.2 Ley de Lenz.
Capítulo 31 INDUCTANCIA ................................................................................................... 291
31.1 Autoinductancia de una bobina. 31.2 Inductancia mutua de dos
bobinas.
Capítulo 32 CAMPOS MAGNÉTICOS EN MEDIOS MATERIALES 299
32.1 Los tres vectores magnéticos. 32.2 Susceptibilidad magnética; per-
meabilidad. 32.3 Circuitos magnéticos. 32.4 Densidad de energía.
Capítulo 33 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS
CIRCUITOS ELÉCTRICOS SIMPLES ....................................................... 305
33.1 El circuito en serie R-L-C. 33.2 Analogías electromecánicas.
Capítulo 34 SOLUCIONES ESTACIONARIAS PARA CIRCUITOS SIMPLES CA .. 313
34.1 Circuito en serie. 34.2 Circuito en paralelo.
Capítulo 35 REFLEXIÓN, REFRACCIÓN Y POLARIZACIÓN DE LA LUZ............ 323
35.1 Leyes de la reflexión y la refracción. 35.2 Polarización. 35.3 In-
tensidad de la luz polarizada.
Capítulo 36 ÓPTICA GEOMÉTRICA .................................................................................. 331
36.1 Fórmula gaussiana de las lentes; fórmula de la amplificación. 36.2
Trazo de rayos.
Capítulo 37 INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN DE LA LUZ .................................. 339
37.1 Interferencia. 37.2 Difracción.
Capítulo 38 RELATIVIDAD ESPECIAL 349
38.1 Los dos postulados básicos. 38.2 Consecuencias de los postulados.
Capítulo 39 FOTONES.............................................................................................................. 357
39.1 Naturaleza dual de la luz. 39.2 Efecto fotoeléctrico. 39.3 Dis-
persión de Compton. 39.4 Aniquilación de pares, producción de pares.
Capítulo 40 EL ÁTOMO DE BOHR ................................................................................. 363
40.1 Introducción. 40.2 Energía clásica del átomo. 40.3 Postulados
del modelo de Bohr. 40.4 Niveles de energía. 40.5 Espectros ató-
micos.
Capítulo 41 EL NÚCLEO........................................................................................................ 371
41.1 Energía de amarre de los núcleos estables. 41.2 Desintegración
radiactiva. 41.3 Reacciones nucleares.
ÍNDICE ................................................................................................................ 379

Capítulo 1
Repaso de conocimientos básicos
Métodos vectoriales, unidades,
análisis dimensional
1.1. ESCALARES Y VECTORES
Las cantidades como tiempo, masa, densidad, trabajo y temperatura que tienen magnitud y
carecen de dirección se denominan escalares. Se denotan con letras cursivas como A, B, m, t, ρ, Q,
etcétera.
Otras como la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico que tienen magnitud y di-
rección, se denominan vectores. Se indican con letras negritas como A, B, F, E, etcétera. Se re-
quieren tres números para especificar un vector, y sólo se requiere uno para especificar un escalar.
1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES
Cualquier vector, como la fuerza F en la figura 1-1(a) o la velocidad v en la figura l-l(b), se
representa con una recta, La longitud de la recta, medida en las unidades convenientes(centíme-
tros, pulgadas), representa la magnitud del vector ; y los ángulos que éste forma (con los ejes
rectangulares X, Y, Z. por ejemplo), representan la dirección del vector.
EJEMPLO 1.1. La recta Oa de la figura 1-1 (a) representa una fuerza de 100 N que actúa sobre
el punto O. Aquí la líneatrazada en el plano XY forma un ángulo de 57°con Ob.Observese que
tanto la magnitud como la dirección F se representan con la recta Oa.
La recta Oa, trazada en el espacio tridimensional de la figura 1-1(b), representa la velocidad de
un proyectil que se desplaza a 100 m/s. La longitud de Oa (100 unidades) indica la magnitud de v
y θ1, θ2, θ3 proporcionan su dirección. Obsérvese que si los valores de cosθ1 y cosθ2 son dados, θ3 se
obtinene a partir de
cos θ3 = ± 1-cos
2
θ1-cos
2
θ2
Fig. 1-1N

2 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPÍTULO 1
Adición gráfica de vectores
En la figura 1-2, las fuerzas Ft y F2 actúan sobre el punto O. Las magnitudes y las direc-
ciones se trazaron a la escala que se muestra. Ahora, para "sumar" estos vectores (esto es, para
encontrar un único vector que sea completamente equivalente a los dos), se completa el parale-
logramo (líneas punteadas) y se traza la diagonal, Esta línea, medida en las unidades de F1 y
F2 representa la magnitud y la dirección del "vector suma" R que se escribe simbólicamente como
R = F1 + F2
EJEMPLO 1.2 Supóngase que un clavo está clavado en una tabla en el punto O de la figura 1-2.
Al tirar de dos cuerdas atadas al clavo se ejercen fuerzas de 75 y 100 N en las direcciones de Oa y
Ob. El clavo no "sentirá" la existencia de dos fuerzas, sino una sola fuerza R, cuya magnitud aproxi-
mada es de R = 152 N y que forma el ángulo α≈ 35°. Por supuesto, dados F1, F2, y θ, se pueden
calcular R y α, Pero únicamente nos interesan los métodos gráficos.
Flg. 1-2 Flg.1-3
EJEMPLO 1.3 Supóngase que el clavo del ejemplo 1.2 se reemplaza por un pequeño objeto que
puede moverse libremente y que tiene una masa m = 0.2 kg. ¿Cuál es la aceleración a en el instante en
que las fuerzas se aplican?
La fuerza neta y la aceleración se relacionan por R=ma. Por tanto, la magnitud de a es
α = 152 = 760 m/s2
0,2
y su dirección es la misma de R.
EJEMPLO 1.4 Si un aeroplano vuela con una velocidad de 152 m/s en la dirección Oc de la figura
1-2, equivale a que se desplazase simultáneamente en las direcciones Oa y Ob con velocidades de 75
y 100 m/s, respectivamente.
Sustracción gráfica
La sustracción de un vector significa que a éste se le invierte la dirección y se suma como
anteriormente se indicó.
EJEMPLO 1.5 Dados R y F1 en la figura 1-2, encuéntrese F2.
A partir de que R = F1 + F2, se encuentra que F2 = R — F1. Como se indica en la figura 1-3, se
invierte la dirección de F1 y se suma a R completando el paralelogramo para encontrar F2.
EJEMPLO 1.6 Una lancha cruza un río a lo largo de la recta AB en la figura 1-4. Como se indica,
la corriente del agua tiene una velocidad de 4 m/s. En aguas tranquilas la lancha viaja a una velocidad
υ2 = 6 m/s. ¿Cuál es su rapidez υ3 a lo largo de AB? ¿En qué dirección será empujada la lancha (¿cuál
es el valor de α?) y cuál es el tiempo entre A y B? (Observación: aquí se proporcionan la magnitud y
la dirección de v1, la magnitud de v2, la dirección de v3. y la magnitud y la dirección del segmento AB;
se deben encontrar α y la magnitud de v3,)

CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 3
Fig. 1-4
Una solución gráfica se obtiene de la siguiente manera. Trácese: (1) el río y la línea AB a una
escala conveniente; (2) un círculo con radio de 6 unidades y cuyo centro se localice en un punto O
de AB; (3) Oa de 4 unidades de longitud (esto es, − v1); ab, paralela a AB y que interseque el círculo en
b; (4) bcparalela a Oa. Luego se determinan el ángulo α y v3 =Oc. A partir de medidas aproximadas,
v3 = 3.0 m/s ya =s 35°. Puesto que
AB = (500)2
+ (866)2
= 1000 m
el tiempo entre A y B es 1000/3.0 = 333 s = 5.6 min.
1.3 COMPONENTES DE VECTORES
En la figura 1-5 las líneas punteadas perpendiculares que parten de P y que se dirigen hacia
X y Y determinan la dirección y magnitud de las componentes vectoriales Fx y Fy de F. Las magnitudes
de estas componentes, que son cantidades escalares, se escriben como Fx, Fy. Obsérvese que en la
figura 1-2, F1 y F2 son las componentes Vectoriales de R tomadas a lo largo de las líneas oblicuas
Oa y Ob, respectivamente. En la figura 1-6, Fx, Fy, Fz son las componentes vectoriales rectangulares
de F; las componentes escalares se escriben como Fx, Fy, Fz.
Y
Fig. 1-5
Cálculo de las magnitudes de las componentes
En la figura 1-5 es claro que
Fx = F cos θ Fy = F sen θ

4 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1
En la figura 1-6, las componentes de F están dadas por
Fx = F cos θ1 Fy = F cos θ2 Fz = F cos θ3
O, por razones de comodidad, escribiendo cos θ1 = ℓ, cos θ2 = m, cos θ3 = n,
FX = F ℓ Fy = Fm Fz = Fn
A las letras ℓ, m y n se les denomina cosenos directores de F. Y se puede mostrar que
ℓ2
+m2
+n2
=1
Fig. 1-6
EJEMPLO 1.7 (a) Supóngase que F,en la figura 1-5 tiene una magnitud de 300 N y θ = 30°. Entonces
Fx = 300 cos30°= 259.8 N Fy = 300 sen30°= 150 N
(b) Supóngase que F = 300 N y θ = 145° (aquí F se encuentra en el segundo cuadrante).
Fx = 300 cos 145° = (300) (-0.8192) = -245.75 N (en la dirección negativa de X)
Fy = 300 sen 145° = (300) (+0.5736) = 172.07 N
EJEMPLO 1.8 En la figura 1-6 F representa una fuerza de 200 N. Sea θ1 = 60°, θ2 = 40°. Entonces,
ℓ = 0.5 m = 0.766 n = (1- ℓ2
- m2
)1/2
= 0.404
(tomando en cuenta que Fz es positiva; de otra manera, n = − 0.404), y las componentes rectangulares
de F son:
Fx = (200) (0.5) = 100 N Fy = 153.2 N Fz = 80.8 N
Como una comprobación (1002
+ 153.22
+ 80.82
)1
/2
≈ 200. Obsérvese que θ = 66.17°.
Adición de componentes
Para sumar A y B en la figura 1-7, se escribe A + B = R. A R se le denomina resultante o
vector suma de A y B.
Las componentes de A y B son Ax = A cos α, Ay = A sen α, Bx = B cos ß, By = B sen β.
Ahora bien, A y B se pueden reemplazar por estas componentes, y R es un vector que tiene las
componentes rectangulares
Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By

Dado que Rx y Ry forman un ángulo recto
R = (R2
x + R2
y)½
= [(Ax + Bx )2
+ (Ay + By)2
]½
Los cosenos directores de R están dados por
ℓ = cos θ =
Ax + Bx
m=senθ=
Ay + By
n = 0
R R
Encontremos ahora el vector suma de, por ejemplo, tres Vectores, F1; F2, F3, trazados a partir
de O. Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, la magnitud de la resultante está dada
por
R = (F1x + F2x+ F3x)2
+ (F1y + F2y+ F3y)2
+ (F1z + F2z+ F3z)2
]½
donde F1x es la componente X de F1, etcétera. Los cosenos directores de R están dados por
ℓ= m = n =
La magnitud y la dirección de la resultante de cualquier número de vectores trazados a par-
tir de O se obtienen de la misma manera.
EJEMPLO 1.9 En la figura 1-7, sea A una fuerza de 50 N con α = 20° y B una fuerza de 80 N
con β = 60°. Encuéntrese el vector suma.
Ax= 50 cos 20° = 46.98 N Ay = 50 sen 20°= 17.1 N
Igualmente, Bx = 40 N, By = 69.28 N. Por tanto,
R= [(46.98 + 40)2
+ (17.1 + 69.28)2
]½
= 122.6 N
ℓ= =0.709 m = 0.705 n = 0
Obsérvese que
tan θ =
por lo cual θ ≈ 45°.
1.4 VECTORES UNITARIOS
Cualquier vector F se puede escribir así:
F = F e
donde F es la magnitud de F y e es un vector unitario (aquel cuya magnitud es 1) en la direc-
ción de F. Esto es, la magnitud de F está indicada por F y su dirección es la de e. F tiene uni-
dades (por ejemplo N, m/s), F tiene las mismas unidades; e es un vector adimensional.
Vectores unitarios a lo largo de los ejes rectangulares
En la figura 1-6, se introducen los vectores unitarios i, j, k a lo largo: de X, Y, Z, respectiva-
mente. Entonces, las componentes vectoriales de F se pueden escribir cómo Fxi, Fyj, Fzk. Dado
que F es la resultante de sus componentes vectoriales, se obtiene una expresión muy importante
F = Fxi + Fyj + FzK
En esta expresión, Fx = F cos θ1 = Fℓ, según se mostró anteriormente. También aquí la
magnitud y la dirección (esto es, los cosenos directores) se obtienen así:
F = (F2
x + F2
y+ F2
z)½
ℓ = m = n =
F1x + F2x + F3x
R
F1y + F2y + F3y
R
F1z + F2z + F3z
R
46.98 + 40
122.6
17.1 + 69.28
46.98 + 40
≈ 1
Fx
F
Fy
F
Fz
F

6 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPÍTULO 1
EJEMPLO 1.10 Refiriéndose al ejemplo 1.8 de la figura 1-6, donde
Fx = 100 N Fy = 153.2 N Fz = 80.8 N
el vector F se puede escribir como
F=100i+153.2J + 80.8k
con magnitud F= (1002
+ 153.22
+ 812
)1
/2
= 200 N y dirección
ℓ = = 0.5 m =0.766 n = 0.404
Estrictamente se debería haber escrito
F = (100 N)i-(153.2 N)j +(80.8 N)k o F= 100i+153.2j + 80.8k N
pero por razones de simplicidad, se omiten las unidades cuando se expresa un vector en términos
de sus componentes.
EJEMPLO 1.11. Las componentes rectangulares de un vector aceleración a son ax = 6, ay = 4, az = 9
m/s2
. Por tanto, en notación vectorial
a = 6i + 4j + 9k
La magnitud de a es a = (θ2
+ 42
+ 92
)1
/2
= 11.53 m/s2
, y los cosenos directores de a son
Expresión vectorial de un segmento de recta
La recta ab de la figura 1-8 está determinada por los puntos P1 y P2. Considerando el segmento
de recta entre P1 y P2 como un vector s, se puede escribir
s = (x2 – x1)i + (y2 - y,)j + (z2 – z1)k
con magnitud
y dirección ℓ =
s = [(x2 – x1)2 + (y2 - y,)2
+ (z2 – z1)½
]
Flg. 1-8
Un caso especial de esto es el llamado radio vector r, el segmento con origen en O y dirigi-
do hasta el punto P(x, y, z).
r = xi + y j + zk
con r - (x2
+ y2
+ z2
)1/2
y
ℓ =
x
m =
y
n =
z
r r r
m = n =ℓ =
100
200
6
11.53 11.53
4 9
11.53
x2 – x1
s
m =
y2 – y1
s
n =
z2 – z1
s

1.5 MULTIPLICACIÓN VECTORIAL
Se deben considerar tres tipos de multiplicación. El método y la utilidad de cada uno se hará
evidente a partir de los diversos ejemplos físicos y geométricos que se dan a continuación.
Multiplicación de un vector por un escalar
Un vector F se puede multiplicar por un escalar b. La cantidad bF es un vector que tiene
una magnitud b F (el valor absoluto de b multiplicado por la magnitud de F); la dirección de
bF es la de F o − F, según que h sea positivo o negativo.
EJEMPLO 1.12. Considérese el vector velocidad
v=16i + 30j + 24k m/s
con v = (162
+ 302
+ 242
)1
/2
= 41.62 m/s, cuya dirección está dada por ℓ = 16/41.62, etcétera.
Ahora multipliquemos v por 10: 10 v = 160i + 300j + 240k ≡ v1. Luego
v1 =[(160)2
+(300)2
+(240)2
]½
=(10)(41.62)=10υ
y los cosenos directores de v1, son
ℓ1 =
160
=
16
= ℓ
(10)(41.62) 4L62
lo cual muestra que v1 tiene la dirección de v.
El producto escalar o producto punto
El producto punto de dos vectores cualesquiera, como F1 y F2 en la figura 1-2, se escribe
F1 · F2 y se defne como el producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo que forman.
Esto es,
F1 • F2 = F1F2 cos θ
que es una cantidad escalar. En la figura 1-2, F1 = 75, F2 = 100, θ = 60°. Entonces,
F1 • F2 = (75)(100)(0.5) = 3750
Producto punto de los vectores unitarios a lo largo de X, Y, Z. Dado que i, j, k son mutua-
mente perpendiculares y de magnitud unitaria, por definición de producto punto se obtiene que
i · i = j · j = k · k = l
i · j = i · k = j · k = 0
Producto punto en términos de las componentes rectangulares. Escribiendo dos vectores cuales-
quiera como
F1 = F1xi + F1y j + F2zk F2 = F2xi + F2y j + F3yk
Su producto punto está dado por
F1 • F2 = (Flxi + F1yj + F1zk) • (F2xi + F2yj + F2zk)
El lado derecho se simplifica al aceptar la premisa de que se cumple la ley distributiva, y em-
pleando los valores de i · i, etcétera, encontrados anteriormente.
F1 • F2 = F1xF2x + F1yF2y + F1zF2z
Para mostrar que F1 • F2 es justo la cantidad F1F2 cos θ, en donde θ es; el ángulo entre F1 y F2,
al dividir y multiplicar el lado derecho por F1F2, se obtiene que
F1 • F2 =F1 F2 = F1 F2 (ℓ1 ℓ2 +m1 m2 + n1 n2 )
Ahora bien, la fórmula familiar para la adición en dos dimensiones
cos θ = cos (θ1 - θ2) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2= ℓ1 ℓ2 + m1m2
se extiende para tres dimensiones como eos θ = ℓ1 ℓ2 +m1 m2 + n1 n2 . Por eso lo anterior se
transforma en F1F2 cos θ, y por consiguiente este método de multiplicación está de acuerdo con la de-
finición de producto punto.
m1 = m n1 = n
F1 x F2 x + F1 y F2 y + F1 z F2 z
F1 F2 + F1 F2 + F1 F2

EJEMPLO 1.13. Sea F1 = 10i - 15j - 20k, F2 = 6i + 8j - 12k.
F1 • F2 = (10)(6)+ (-15)(8)+ (-20)(-12) = 180
Obsérvese ahora que F1 = (102
+ 152
+ 202
)1/2
= 26.93, F2 = 15.62. De aquí que el ángulo θ for-
mado por F1 y F2 está dado por
θ =64.66º
Desde luego, el mismo valor se puede obtener partiendo de cos θ = ℓ1 ℓ2+ m1 m2 + n1 n2 .
Proyección de cualquier vector a lo largo de una recta. La proyección del vector A = (Ax, Ay,
Az) a lo largo de la línea determinada por el radiovector r = (x, y, z) es Ar = A cos θ, en donde
θ es el ángulo formado por r y A, De la definición de producto punto,
A • r = (Ar cos θ) = Arr
Por tanto,
= Axℓ + Aym + Azn
donde ℓ, m, n son los cosenos directores de la línea considerada. La expresión de Ar es válida
aun cuando la línea no pase por el origen.
EJEMPLO 1.14. Encuéntrese la proyección de A = 10i + 8j - 6k a lo largo de r = 5i + 6j + 9k.
Aquí r = (52
+ 62
+ 92
)1
/2
= 11.92 y
Producto vectorial o producto cruz
El producto cruz de dos vectores, como F1 y F2 en la figura 1-9, se escribe F = F1 x F2, se
define como el vector F que tiene una magnitud
F = F1F2 sen θ
y una dirección igual a la dirección de avance de un tornillo de cuerda derecha cuando se atorni-
lla de F1 a F2 un ángulo θ; aquí se supone que el eje del tornillo es normal al plano determinado
por F1 y F2 (la regla del tornillo de cuerda derecha). O, si la punta de los dedos de la mano
derecha giran de F1 a F2, el pulgar extendido apuntará en la dirección de F (regla de la mano
derecha).
Obsérvese que de acuerdo con la regla de tornillo de cuerda derecha, F1 x F2 = – (F2 x F1)
Y
Producto Vectorial = A x B
Flg. 1-10Flg. 1-9

Producto cruz de los vectores unitarios. Dado que i, j, k son mutuamente perpendiculares y de
magnitud unitaria, se deduce de la definición de producto cruz que
i xi= j xj=k xk= 0
i xj =k j xk =i k xi = j
j x i = - k k xj = -l i xk = - j
Producto cruz en términos de las componentes rectangulares. Dados dos vectores, como los
de la figura 1-10,
A = Axi + Ayj+Azk B=Bxi+Byj+Bzk
su producto cruz es
C = A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byi + Bzk)
Aplicando la ley distributiva al lado derecho y utilizando los valores de i x i, etc., encontrados
anteriormente, se obtiene
C = A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k
De manera equivalente, A x B se puede expresar como un determinante,
lo cual se puede verificar al desarrollar el determinante con respecto al primer renglón. Obsér-
vese que las componentes X, Y, Z de C son
Cx = AyBz - AzBy Cy = (AzBx - AxBz) Cz = AxBy - AyBx
Por lo tanto, la magnitud de C es C = C
2
+ C
2
+ C
2
)1/2
y sus cosenos directores sonx y z
El vector C es, por supuesto, normal al plano de los vectores A y B.
EJEMPLO 1.15. Suponiendo que los vectores A y B.en la figura 1-11 están en el plano XY deter-
mínese la magnitud y dirección de C = A x B.
C = (200)(100) sen (55° - 15°)= 20000 sen 40°= 12 855.75
y por la regla de la mano derecha la dirección de C es la de +Z. Vectorialmente se puede escribir
C = 12 855.75k.
Fig. 1-11

EJEMPLO 1.16. En la figura 1-10, sea A = 20i – 10j + 30k y B = -6i + 15j - 25k. (a) Calcúlese
la magnitud de A y B. (b) Encuéntrense los cosenos directores de A. (c) Obténgase el producto vecto-
rial C = A x B. (d) Determínese la magnitud y dirección de C. (e) Calcúlese el ángulo θ formado
por A y B. (f) Obténganse los valores de los cosenos directores ℓ2, m2, n2 de B, así como de los ángulos
α21, α22, α23 formados por B y los ejes X, Y, y Z, respectivamente.
(a) A = (202
+ 102
+ 302
)1/2
= 37.42 B = 29.77
(b)
(c) Aplicando la fórmula de determinantes,
C = i[(-10)(-25) - (15)(30)] - j[(20)(-25) - (30)(-6)] + k[(20)(15) - (-10)(-6)]
= -200i + 320j + 240k = 200(-i + 1.6 j + 1.2k)
(d) La magnitud de C es
C = 200 (12
+ 1.62
+ 1.22
)1/2
= 447.21
Los cosenos directores son
Obsérvese que C = C(ℓ3i + m3j + n3k).
(e) C=AB sen θ
447.21 = (37.42)(29.77) sen θ
senθ=0.40145
θ = 23.67°
B = -6i + 15j – 25k = B(ℓ2i + m2j + n2k)
Entonces
Bℓ2 = -6 Bm2 = 15 Bn2 = -25
B = (62
+ 152
+ 252
)1/2
= 29.766
ℓ2 = -0.2016 m2 =0.5039 n2 = -0.8399
Los ángulos correspondientes son
α21=101.63° α22 = 59.74° α23 =147.13°
1.6 ENTIDADES FÍSICAS
He aquí las entidades o cantidades físicas que tienen importancia en el tratamiento de los
campos generales de la mecánica, la electricidad y el magnetismo: masa, longitud, tiempo, velo-
cidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, carga eléctrica, voltaje, y muchas más.
De todas éstas, cuatro y sólo cuatro, masa, longitud, tiempo, y corriente eléctrica (o carga,
como se verá más adelante), se consideran entidades básicas e independientes. Todas las otras se
definen por medio de relaciones sencillas de las básicas y se denominan cantidades derivadas.
Entidades básicas
De acuerdo con la práctica moderna, el Sistema Internacional de Unidades (SI) se utiliza en
todo el texto, excepto donde se indique lo contrario. En este sistema, los nombres, símbolos y
definiciones de las unidades correspondientes son:

Longitud: metro (m) = la longitud de 1 650 763.73 longitudes de onda en el vacío de cierta
línea espectral del kriptón-86.
Masa: kilogramo (kg) = la masa de un cilindro específico de platino-iridio que se conserva en
Sévres, Francia.
Tiempo: segundo (s) = la duración de 9192631770 periodos de oscilación de cierta línea espectral
del cesio-133.
Corriente eléctrica: ampere (A). Considérense dos alambres paralelos, finos y muy largos, situados
a 1 metro de distancia entre sí en el vacío, conectados en serie y que portan una corriente eléctrica
estacionaria I. Supóngase que I se ajusta hasta que la fuerza magnética por metro de longitud sobre
cada alambre sea exactamente 2 x 10-7
newtons. Este valor de I se define como un ampere.
Carga eléctrica: coulomb (C) se define como la cantidad de carga por segundo que pasa a
través de la sección transversal de un alambre en el cuál existe una corriente estacionaria de un
ampere. Éste es aproximadamente igual al valor de la carga total de 6.2419 x 1018
electrones.
Dado que coulombs = amperes x segundos, resulta claro que los amperes y los coulombs no
son independientes, por lo que aquí hay que hacer una elección; cada uno de ellos se puede
tratar como independiente. El otro debe entonces considerarse como cantidad derivada.
Longitud, masa, tiempo y corriente eléctrica (o carga) a menudo se denominan dimensiones físicas.
Para el tratamiento de temas relacionados con la temperatura, la luz y la intensidad luminosa y
la entidad molecular, la mole, las correspondientes unidades independientes se definen en los
capítulos siguientes.
Entidades derivadas
Una entidad derivada es la que se define en términos de dos o más entidades básicas. Ejemplos:
velocidad lineal = longitud/tiempo; aceleración = longitud/tiempo2
; fuerza = (masa x longi-
tud)/tiempo2
. Estas relaciones son válidas sin importar las unidades que se empleen.
Cuando se introducen unidades específicas, pueden obtenerse las correspondientes relaciones
dimensionales. Por ejemplo, utilizando unidades del SI,
De igual manera, comenzando con la definición fundamental de cualquier cantidad derivada,
se puede conocer la correspondiente expresión dimensional.
1.7 ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES EN ECUACIONES FÍSICAS
Una ecuación física expresa matemáticamente las relaciones que existen entre las cantidades
físicas. La importancia del análisis dimensional se deriva del hecho de que cada término por
separado en una ecuación física debe representar la misma entidad física; ambos deben ser di-
mensionalmente iguales. Si esto no sucede, la ecuación será errónea. Y para la correcta solución de
un problema, a lo largo del proceso de solución todos los términos se deben de expresar en las
mismas unidades básicas.
Velocidad: u =
ds
; u – d relación, u =
m
dt s
Aceleración: a =
du
; u – d relación, a =
m
dt S2
Fuerza: a = F =Ma; u – d relación, F =
Kg ● m
= │N│
S2
Trabajo: W = ∫ F ●
ds; u – d relación, W =│N ●
m│=
Kg ● m
= │J│.
S2

Para hacer una comprobación dimensional se reemplaza por m cada símbolo que representa
la longitud en metros; la masa en kilogramos, por kg; el tiempo en segundos, por s; la velocidad en
metros sobre segundo, por m/s; la aceleración en metros sobre segundos, por m/s2
; la fuerza
en newtons, por (kg • m)/s2
, etcétera. Después de reducir los términos, una ojeada basta para
saber si la ecuación es dimensionalmente correcta. Si existen constantes en la ecuación sus dimen-
siones deben conocerse a partir de consideraciones previas y ser tomadas en cuenta. Debe no-
tarse el hecho de que si una ecuación es dimensionalmente correcta esto no garantiza que la
ecuación sea intrínsecamente correcta. Diversos ejemplos relacionados con el análisis dimensio-
nal sé encuentran en los capítulos siguientes.

Capítulo 2
Movimiento rectilíneo de una partícula
con aceleración constante
2.1 DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
La velocidad promedio, υprom, es una cantidad escalar. Una partícula que recorre una distan-
cia s (por decir algo, de a a b en la figura 2-1) en un tiempo t, lo hace con una velocidad pro-
medio dada por
υprom = O s = υpromt (2.1)
Fig.2-1
La velocidad lineal instantánea, υ (una cantidad vectorial), se define como (Fig. 2-1)
v = lím
∆t→0
∆r
=
dr
∆t dt
O dado que r = xi + yj + zk ,
donde x, y, z, son las coordenadas rectangulares de la partícula en P1 en la figura 2-1; i, j, k son
vectores unitarios a lo largo de X, Y, Z; y para mayor comodidad dx/dt se escribe como x
etcétera. Obsérvese que v es tangente a la trayectoria en P1. Las unidades para v (asi como las
de υprom) son m/s.
Aceleración lineal instantánea, a (un vector) es el cambio instantáneo del vector velocidad v
con respecto al tiempo. Refiriéndose a la figura 2-2, la partícula en P1 tiene velocidad v1. En un
tiempo corto, ∆t, su velocidad en P2 es v2. El cambio en la velocidad es ∆v = v2 – v1, y la acele-
ración instantánea en P1 es
v = lím
∆t→0
∆v
=
dv
∆t dt
s
t

14 MOVIMIENTORECTILÍNEODEUNAPARTÍCULA [CAPÍTULO 2
Fig.2-2
O bien, a partir de (2.3) se puede escribir
(25)
Las unidades de a son m/s2
.
Desde la ecuación (2.2) hasta la (2.5), todas son expresiones generales de la velocidad lineal
y la aceleración lineal en un movimiento tridimensional. Y son, por supuesto, aplicables a ca-
sos especiales, como lo serían el movimiento a lo largo de una recta, el movimiento en un plano,
el movimiento sobre la superficie de una esfera, y otros de ese tipo.
2.2 MOVIMIENTO BECTIL1NEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Cuando a es constante en magnitud y dirección, y cuando el movimiento es a lo largo de la
línea de acción de a, se puede asignar una dirección positiva a lo largo de esta línea (ya sea en
la dirección de a o en la dirección de – a) y trabajar únicamente con números en lugar de vec-
tores. Se tienen así las siguientes relaciones:
(2.6)
donde υprom es la velocidad promedio en el intervalo de tiempo de 0 a t, y donde υ0 y s0 son la
velocidad y la distancia en t = 0.
En la mayor parte de los problemas se eligen los ejes de coordenadas de tal manera que s0 = 0.
Por lo tanto, para el movimento a lo largo de X, con la partícula inicialmente en el origen, (2.6)
se transforma en
Aceleración gravitacional. Todo cuerpo que cae libremente cerca de la superficie de la Tierra
experimenta una aceleración decreciente aproximadamente constante de g = 9.8 m/s2
.

CAPÍTULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 15
Problemas resueltos
2.1. La partícula que se muestra en la figura 2-3 se desplaza a lo largo de X con una aceleración
constante de – 4 m/s2
. Al pasar por el origen, en la dirección + de X, su velocidad es 20
m/s. En este problema el tiempo t se mide a partir del momento en el que la partícula se
encuentra por vez primera en el origen, (a) ¿En qué distancia x' y tiempo t', υ = 0? (b) ¿En
qué momento la partícula se encuentra en x = 15 m, y cuál es su velocidad en ese punto? (c)
¿Cuál es su velocidad en x= +25? ¿Én x = – 25 m? Trátese de encontrar la velocidad de la
partícula en x = 55 m.
(a) Aplicando
0 = 20+(–4)t′ o t' = 5s
Entonces
O a partir de que
0 = (20)2
+ 2(–4)x′ o x'=50m
(b)
Resolviendo esta ecuación cuadrática,
Por lo tanto t1 = 0.8167 s, t2 = 9.1833 s, donde t1 es el tiempo entre el origen y x = 15 m, y
t2 es el tiempo para ir desde O hasta más allá de x = 15 m y regresar a este punto. En x =
15 m,
y (t) = at3/2
– bt + c
Obsérvese que la rapidez es igual en ambos casos.
(c) En x = +25 m, υ2
= (20)2
+ 2(-4)(25) o υ =±14.1421 m/s
y en x = – 25m, υ2
= 202
+ 2(-4)(-25) o υ = – 24.4949 m/s
(¿Por qué se debe descartar la raíz υ = +24.4949?)
Suponiendo que x = 55 m, υ2
=202
+ 2(-4) (55), de donde υ = +√–40. Es de espe-
rarse el valor imaginario de υ dado que x nunca es mayor que 50 m.

16 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2
2.2. Un automóvil de retropropulsión parte del reposo en x= 0 y se mueve en la dirección + de
X con una aceleración constante de ¨x= 5 m/s2
durante 8 s hasta que se termina su com-
bustible. Y luego continúa con velocidad constante. ¿Qué distancia recorre el automóvil en
12 s?
La distancia a partir de O cuando el combustible se agota es de
2.3.
y en este punto v = (2ax1)1/2
= 50.5964 m/s. Por lo que la distancia recorrida en 12 s es
x2 = x1 + υ (12 - 8) = 160 + (50.5964)(4) = 362.38 m
Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, desde la
azotea de una torre que tiene una altura de 50 m (véase la figura 2-4). A su regreso no
pega contra la torre y cae hasta el suelo, (a) ¿Cuánto tiempo t1 transcurre desde el
instante en que la bola es lanzada hasta que pasa a la altura de la azotea de la torre?
¿Qué velocidad tiene en ese momento? (b) ¿Qué tiempo total t2 tarda la pelota en llegar
al suelo? ¿Con qué velocidad υ2 llega?
(a) En el sistema de coordenadas que se muestra en la figura 2-4, y = vot + 1
/2 at2
. Pero
en la azotea y = 0, y entonces
por lo cual t1 = 0, lo que indica el instante en el cual la pelota es lanzada, e igualmente
t1 = 4.0816 s, tiempo en que se eleva y regresa a la altura de la azotea. Entonces, dado que
υ = υ 0 + at,
υ 1 = 20 + (-9.8)(4.0816) = -20 m/s
que es el negativo de la velocidad inicial.
(b) o t2 =5.8315s
υ2 = 20 + (-9.8)(5.8315) = – 37.15 m/s
Fig. 2-4
2.4. Refiriéndose al problema 2.3 y la figura 2-4, (a) ¿cuál es la altura máxima, desde
el suelo, a la que llega la pelota? (b) Los puntos P1y P2 se encuentran a 15 y 30 m por debajo
de la azotea de la torre. ¿En qué intervalo la pelota viaja de P1 a P2? (c) Se necesita que,

CAPÍTULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 17
después de pasar por la azotea, la pelota llegué al suelo en 3 s. ¿Con qué velocidad debe
ser lanzada hacia arriba desde la azotea?
(a) Máxima altura desde el piso: h = ymáx + 50. Si se sabe que υ2
0+ 2a ymáx= 0,
Por tanto, h = 70.4082 m.
(b) Si t1 y t2 son los tiempos para arribar a P1 y P2 respectivamente,
-15 = 20 t1 - 4.9t2
1 y -30 = 20 t2 - 4.9 t2
2
Resolviendo, t1 = 4.723 s, t2 = 5.248 s, y el tiempo de Pt a P2 es t2 – t1 = 0.519 s.
(c) Si υi es la velocidad inicial deseada, entonces –υ1, es la velocidad que alcanza después de
pasar a la altura de la azotea (¿por qué?). Entonces, aplicando
para la caída de la azotea al suelo, se incluye que
-50= (-υi)(3)-4.9(3)2
o υi = 1.967 m/s
2.5. Una pelota que parte del reposo cae bajo la influencia de la gravedad durante 6 s, mo-
mento en el que atraviesa un vidrio plano horizontal rompiéndolo y perdiendo 2/3 de su
velocidad. Si luego llega al suelo en 2 s, encuéntrese la altura del vidrio por encima del
suelo.
Partiendo de v = vot +1
/2 at2
, la velocidad justo antes de golpear el vidrio es
v1 = 0- 4.9(6)2
= -176.4 m/s
y, por tanto, la velocidad después de pasar a través del vidrio es (l/3) υ1 = –58.8 m/s. Entonces
-h = (-58.8)(2) -4.9(2)2
h = 137.2 m
2.6. Un plano inclinado, como el de la figura 2-5, forma un ángulo θ con la horizontal. Un sur-
co OA hecho sobre el plano forma un ángulo α con OX. Un cilindro pequeño y liso se des-
liza libremente hacia abajo por el surco bajo la influencia de la gravedad, habiendo partido
del reposo en el punto (x0, y0). Obténgase: (o) su aceleración a lo largo del surco, (b) el tiempo
que le toma llegar a O, (c) su velocidad en O. Sea. θ = 30°, x0 = 3 m, y0 = 4 m.
Flg.2-5

18 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2
(a) La componente de g paralela a OY es g sen θ; de aquí que la componente a lo largo del
surco sea a = g sen θ sen α. De donde
a = (9.8) (0.5)(0.8) = 3.92 m/s2
.
(b)
donde Entonces
y sen θ = 0.5
o t = 1.597 s
(c) v = 0 + (3.92)(1.597) = 6.26 m/s
2.7. Una cuenta (véase la figura 2-6) se desliza libremente hacia abajo por un alambre liso
que une a los puntos P1 y P2 que se encuentran en un círculo vertical de radio R. Si la cuenta
parte del reposo en P1 el punto más alto del círculo, calcúlese (a) su velocidad υ al llegar a
P2; (b) el tiempo que tarda en llegar a P2 y muéstrese que este tiempo es el mismo para
cualquier cuerda trazada desde P1.
(a) La aceleración de la cuenta al descender por el alambre es g cos θ y la longitud del alambre
es 2R cos θ. Por tanto,
(b)
que es la misma sin importar en qué lugar del círculo se encuentre P2.
Flg.2-6 Flg.2-7
2.8. El cuerpo 1 de la figura 2-7 parte del reposo desde la cima de un plano inclinado liso y
en el mismo instante el cuerpo 2 es lanzado hacia arriba desde el pie del plano con una
velocidad tal que ambos cuerpos se encuentran a mitad de camino en el plano.
Determínense (a) la velocidad de lanzamiento y (b) la velocidad que tienen los cuerpos
al encontrarse.
(b)

CAPITULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 19
(a) En un tiempo común t, el cuerpo 1, recorre una distancia
y el cuerpo 2 recorre una distancia.
sumando estas dos ecuaciones obtenemos ℓ = v02 t o t = ℓ/ v02. Sustituyendo este valor de
en la primera ecuación y despejando v02, se obtiene
Problemas complementarios
2.9. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s desde la cornisa
de un acantilado que tiene una altura de 110 m. Despreciando la resistencia del aire, calcúlese el
tiempo que la piedra tarda en llegar a la base del acantilado. ¿Con qué velocidad llega?
Respuesta: 11.93 s; -76.89 m/s
2.10. Un protón en un campo eléctrico, uniforme se mueve en línea recta con aceleración constante.
A partir del reposo alcanza una velocidad de 1000 km/s en una distancia de 1 cm. (a) ¿Cuál
es su aceleración? (b) ¿Qué tiempo requiere para alcanzar dicha velocidad?
Respuesta: (a) 5 X 1013
m/s; (b) 2 x 10-8
s
2.11. Se hace que un objeto se desplace a lo largo del eje X de tal manera que su desplazamiento
está dado por
x = 30 + 20t – 15t2
donde x se expresa en m y t en s. (a) Encuéntrenle tas expresiones para la velocidad x
•
y la ace-
leración x¨. ¿La aceleración es constante? (b) ¿Cuáles son ía posición; inicial y la velocidad inicial
del objeto? (c) ¿En qué tiempo y a qué distancia del origen su velocidad es cero?(d) ¿En qué
momento y en qué lugar su velocidad es -50 m/s?
Respuestas: (a) x
•
= 20 – 30t; x¨ = -30 m/s2
= constante (c) t = 0.66667 s, x = 36.6667 m
(b) xo = 30 m, x
•
o = 20 m/s (d) t = 2.3333 s, x = -5 m
2.12. Un hombre corre con una velocidad de 4 m/s para alcanzar y abordar un autobús que se en
cuentra estacionado. Cuando el hombre se halla a 6 m de la puerta (en t = 0, el autobús avanza
y continúa con una aceleración constante de 1.2 m/s2
. (a) ¿Cuánto tardará el hombre en alcanzarla
puerta? (b) ¿Si al comienzo se encuentra a 10 m de la puerta podrá darle alcance corriendo
con la misma velocidad? Respuestas: (a) 4.387 s; (b) no
2.13. Una camioneta avanza con una velocidad constante de 21 m/s. El conductor ve un automóvil
detenido justo adelante a una distancia de 110 m. Después de un "tiempo de reacción" de ∆t,
acciona los frenos, los cuales dan a la camioneta una aceleración de –3 m/s2
. (a) ¿Cuál es el
máximo ∆t permisible para evitar el choque y qué distancia se moverá la camioneta antes de que
se accionen los frenos? (b) Suponiendo un tiempo de reacción de 1.4 s, ¿qué tan lejosdel
automóvil se detendrá la camioneta y en cuántos segundos a partir del momento en el que el
conductor ve por primera vez el automóvil? Respuestas: (a) 1.7381 s, 36.5 m; (b) 7.1 m, 8.4 s
ℓ
(0) t +
1
(g senθ)t2
2 2
ℓ
v02 t +
1
(- g senθ)t2
2 2

20 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 2
2.14. Una pelota parte del reposo desde la orilla de una hondonada profunda. Supóngase que la resisten-
cia del aire le proporciona una aceleración de – byú, donde y se mide positivamente hacia abajo.
(Esta aceleración negativa es proporcional a su rapidez, yú; la constante positiva b se encuentra
experimentalmente.) La pelota tiene una aceleración total de — byú+ g, y por tanto
yú = – byú + g (1)
que es la ecuación diferencial del movimiento, (a) Muéstrese por diferenciación y sustitución que
y = k (ebt
- l) + (g/b)t (2)
es una solución de ( 1 ) para un valor arbitrario de la constante k y que (2) da y = 0
para t = 0. (b) Muéstrese a partir de (2) que
yú = – kbebt
+ g/b (3)
Dado que en t = 0, yú = 0, pruébese que k = g/b2
. Muéstrese a partir de (3) que si i → ∞,
yú → g/b; esto es, la velocidad llega a un valor tal que la aceleración debida a la resistencia del
aire neutraliza la aceleración positiva de la gravedad, y entonces yú = 0. (c) Supóngase que
b = 0.1 s-1
, para encontrar la distancia a la que cae y la rapidez con la que llega después de
10 s. (d) Muéstrese que después de 1 minuto la pelota habrá llegado esencialmente a su velo-
cidad terminal de 98 m/s. Respuesta: (c) 360.522 m, 61.95 m/s
2.15. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el origen de los ejes (se considera a
Y + hacia arriba), con una velocidad inicial yú0. Suponiéndose, como en el problema 2.14, una
aceleración – bÿ debida a la resistencia del aire, se tiene que
ÿ = -byú – g (1)
Obsérvese que cuando yú cambia de signo, también lo hace — byú; de aquí que ( 1 ) sea válida para
el movimiento hacia abajo, al igual que para el movimiento hacia arriba, (a) Muéstrese que
y = k (ebt
- l) – (g/b)t (2)
es una solución de (1) para cualquier valor de k. (b) Muéstrese que yú = —kbebt
— g/b y, dado que yú
= yú0 en t = 0, demuestra que
(c) Suponiendo que b = 0.1 s-1
y que yú0 = 50 m/s, encuéntrense la altura y la rapidez para t
= 3 s. (d) ¿Qué tiempo tardará la pelota en llegar a su máxima altura y cuál es ésta?
(Indicación: ln 1.51 = 0.41211.) (e) Muéstrese que sin la resistencia del aire la pelota llegaría a
una altura máxima de 127.55 m en 5.10 s. (f) Sustituyendo en (2), compruébese que el tiempo
para subir y tocar tierra es de aproximadamente 8.9 s. Respuesta: (c) 89.59 m, 11.64 m/s; (d)
4.121 s, 96 m

Capítulo 3
Movimiento en un plano de una partícula
con aceleración constante
Las relaciones (2.1) a (2.5) son aplicables a los tipos más generales de movimiento de una
partícula (o de un punto), ya sea a lo largo de una línea, en un plano o en el espacio, y para el
cual la aceleración a puede ser constante. En el caso especial del movimiento en un plano con
aceleración constante, las expresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración se reducen a:
en las cuales x¨ y Ø son constantes cada una. Las magnitudes y direcciones de estos vectores es-
tán dadas por
donde β y α son los ángulos que forman v y X, y a y X.
Las expresiones de la velocidad v y el desplazamiento r (el vector de posición de la partícu-
la), en términos del tiempo t, se encuentran por integración y son:
en las cuales v0 y r0 son los valores de v y r en t = 0. Las componentes escalares de (3.5) y (3.6)
proporcionan un conjunto de relaciones de la forma de (2.6) para cada coordenada:
El hecho de que a tenga magnitud y dirección constantes no implica que el movimiento se
realice a lo largo de una recta. En general, la partícula se desplaza a lo largo de una parábola.
Esto es fácil de apreciarse al encontrar los ejes coordenados tales que uno de ellos, X por
ejemplo, sea paralelo a a y tal que la partícula se encuentre en el origen cuando t = 0. Entonces,
las primeras dos ecuaciones (3.7) se transforman en
Cuando se elimina t de éstas, el resultado es

22 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3
que es la ecuación de una parábola (véase la figura 3-1). En el caso especial de que yú0 = 0, la
trayectoria es una recta: el eje X.
Problemas resueltos
3.1. Un proyectil (véase la figura 3-2) es disparado hacia arriba con una velocidad inicial v0 = 200
m/s a un ángulo θ = 60°. (a) Encuéntrese la posición y velocidad del proyectil 10 s des-
pués del disparo, (b) Calcúlese la altura máxima h y el tiempo en el que llega a esta
posición, (c) Obténgase el tiempo total de vuelo y el alcance R. Dedúzcase una expresión
general para R. (d) Escríbase una ecuación de la trayectoria, (e) ¿Cuál es la velocidad del
proyectil cuando se encuentra a una altura y = 1000 m?
Primero obsérvese que
La aceleración de la gravedad es g = 9.8 m/s2
en la dirección negativa del eje Y. Enton-
ces x¨ = 0, Ø = — 9.8 m/s2
.
(a) Aplicando (3.7),

CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA 23
La magnitud de la velocidad es v = [(100)2
+ (75.2)2
]1
/2
= 125.12 m/s; la dirección está
dada por
(b) Cuando y = h, yú = 0 = yú0 — gt. Entonces t = yo/g = 17.67 s, y
(c) AI pegar en el suelo, y = 0. Entonces
Luego R = xúot =. (100) (35.35) = 3535 m.
Como antes, el tiempo de vuelo es
Entonces
(d) Eliminando t de porque x = xúot se obtiene que
como ecuación de la trayectoria. Alternativamente, la trayectoria está dada por (3.8), con x
y y reemplazadas por – y y x, respectivamente.
(e) Por (3.7), xú 2
= xú 2
0 y yú2
= yú 2
0 - 2gyú. Por lo que v2
= xú 2
+ yú2
= v2
0 - 2gy = (200)2
- 2 (9.8)
(1000) = 2.04 X 104
/s2
ó v = 143 m/s. La dirección de la velocidad está dada por
o β = – 45.6°. (¿Por qué existen dos valores para el ángulo?)
3.2. Una pelota es arrojada hacia arriba desde la azotea de una torre de 35 m, véase figura 3-3,
con velocidad inicial v0 = 80 m/s a un ángulo θ = 25°. (a) Encuéntrense el tiempo que tarda
en llegar al piso y la distancia R desde P al punto de impacto, (b) Calcúlense la magnitud y
la dirección de la velocidad en el momento del impacto.
(a) En el punto de impacto, y = – 35 m y x = R. A partir de

t = 7.814 s. Entonces x = R = (80 cos 25°) (7.814) = 566.55 m.
(b) En el momento del impacto, y = 80 sen 25° - (9.8) (7.814) = - 42.77 m/s y xú - xú 0 =
80 cos 25° = 72.5 m/s. Entonces v = (42.772
+ 72.52
)1/2
= 84.18 m/s y
3.3. Un proyectil (véase la figura 3-4) es disparado hacia arriba con velocidad u0 a un ángulo
θ. (a) ¿En qué punto P(x, y) choca contra la azotea del edificio y en cuánto tiempo? (b) En-
cuéntrese la magnitud y la dirección de v en P. Sea θ = 35°, v0 = 40 m/s, α = 30°, y
h = 15m.
Primero obsérvese que
y, de la ecuación para la azotea,
(a) Eliminando t de y = yúot – 4.9t2
mediante x = xúot, se tiene que
para la trayectoria del proyectil. Igualando y en (1) a y en (2) y sustituyendo los valores
numéricos,
0.004564 x2
- 1.277558x + 15 = 0
por lo cual x = 12.28 m. Entonces y = h - (12.28) tan α = 7.90 m. El tiempo para chocar
contra la azotea está dado por
12.28=32.7661t o t= 0.375 s
(b) En P,
Entonces v = (xú 2
+ yú 2
)1
/2
= 38.0 m/s y tan β = yú /xú = 0.588, o β = 30.46°, donde β es el
ángulo que forma v con X en P.
3.4. En el problema 3.3 se puede ajustar el ángulo θ. Encuéntrese el valor de θ cuando el pro-
yectil choca con la azotea en un tiempo mínimo.
De nuevo

CAPÍTULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DÉ UÑA PARTÍCULA 25
Igualando estas dos expresiones para y y eliminando x al utilizar x = xúot = (v0 cos θ)t, se ob-
tiene la siguiente ecuación para el tiempo en el que el proyectil choca con la azotea:
o utilizando la fórmula de la adición, sen(θ + α) = sen θ cos α + cos θ sen α,
para un t mínimo, se debe tener dt/dθ=0. Derivando (1) con respecto a θ y estableciendo
dt/dθ=0, se obtiene
lo cual implica que (dado que tmín ≠ 0)
cos(θ + α) = 0 o θ = 90°¬ α
Este resultado significa que el proyectil debe ser apuntado en la dirección de la distancia
mínima, como si no existiera la aceleración de la gravedad. Sin embargo, la gravedad no puede
ignorarse en este problema. Si se trate de determinar el valor de tmín al sustituir θ + α = 90° en
(1) y resolver, se obtiene
que es complejo si v0 < √2gh cos α. En otras palabras, si v0 < √2gh cos α, el proyectil nunca
llegará a la azotea, por lo que tanto el valor de 8 como el concepto de tiempo mínimo dejan de
tener sentido.
3.5. Haciendo referencia a la figura 3-5, el proyectil se dispara con una, velocidad
inicial v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 23°. La camioneta se mueve a lo largo de X con una
velocidad constante de 15 m/s. En el instante en que él proyectil, se dispara, la parte tra-
sera de la camioneta se encuentra en x = 45 m. (a) Encuéntrese el tiempo necesario para
que el proyectil pegue contra la parte trasera de la camioneta si ésta es muy alta, (b) ¿Qué
pasaría si la camioneta tuviera únicamente 2 m de alto?
(a) En este caso, el proyectil golpea la parte trasera de la camioneta en el momento de alcan-
zarla, o sea cuando la distancia respecto a la parte trasera de la camioneta es,
x1 = 45+15t
y es igual a la distancia horizontal cubierta por el proyectil,

26 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 3
(b) En t = 2.61 s, cuando el proyectil alcanza la parte trasera de la camioneta, su altura es
o sea 27 cm por encima del techo de la camioneta. Dado que el proyectil se mueve más
rápido horizontalmente que la camioneta, es claro que después de esto aquél permanece
por delante de la parte posterior de la camioneta, y nunca la golpeará en esta parte.
El proyectil alcanzará (en el segundo intento) una altura de 2 m en un tiempo total
t2 dado por
esto es, 2.635 — 2.614 = 0.021 s después de alcanzar la parte trasera de la camioneta, por
lo que el proyectil pega contra el techo de la camioneta a una distancia de
(32.22 – 15)(0.021) = 0.36 m = 36 cm
desde la orilla posterior.
3.6. Con base en el problema 3.5(a) encuéntrese el valor de u0 cuando el proyectil golpea a la
camioneta en y = 3 m, si todas las demás condiciones permanecen iguales.
El tiempo necesario para alcanzar la parte trasera de la camioneta está dado por
Sustituyendo los valores numéricos de sen θ y cos θ, se obtiene la siguiente ecuación cuadrática
para v0:
Resolviendo, V0 = 25.27775 m/s.
3.7. Una partícula que se mueve en el plano YX tiene componentes X y Y de velocidad dadas por
xú = b1 + c1t yú = b2+c2t (1)
donde x y y se miden en metros y f en segundos, (a) ¿Cuáles son las unidades y dimensio-
nes de las constantes b1 y b2? ¿De c1 y c2? (b) Intégrense las relaciones anteriores para ob-
tener x y y como funciones del tiempo, (c) Denotando la aceleración total como a y la velo-
cidad total como v, encuéntrense las expresiones de la magnitud y la dirección de a y v.
(d) Escríbase v en términos de los vectores unitarios.
(a) Una ojeada a ( 1 ) muestra que b1 y b2 deben representar velocidades en metros por segundo
(m/s); dimensionalmente c1 y c2 deben ser |m/s2
| y, por tanto, aceleraciones.
(b)
donde x0, y0 son los valores de x y y en t = 0.
(c) Al diferenciar ( 1 ) con respecto a t, x¨ = c1, y¨ = c2. Entonces

CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA 27
donde a es el ángulo que forma a con X. Obsérvese que a es constante en magnitud y di-
rección. Para la velocidad,
donde β es el ángulo que forma v con X.
(d) v = (b1 + C1t)i + (b2+C2t)j
3.8. Refiérase a la figura 3-6. Un proyectil es disparado desde el origen con una velocidad
inicial v1 = 100 m/s a un ángulo θ1 = 30°. Otro proyectil se dispara en el mismo instante
desde un punto sobre X que se encuentra a una distancia x0 = 60 m desde el origen, con
una velocidad inicial v2 = 80 m/s a un ángulo θ2. Se desea que los dos proyectiles choquen
entre sí en algún punto P(x, y), (a) Determínese el valor necesario de θ2. (b) ¿En cuánto
tiempo y en qué punto chocarán? (c) Encuéntrense las componentes de la velocidad de
cada uno en el momento del impacto.
(a) Sean (x1, y1) (x2, y2) las coordenadas del primero y segundo proyectiles, respectivamente,
en cualquier tiempo t. Entonces
Para que choquen y1= y2 (e igualmente x1 = x2). Entonces

(c)
En realidad, yú 1 = yú 2 (¿por qué?); la diferencia aparente es un error de redondeo.
3.9. Una pelota, B1; es disparada hacia arriba desde el origen de X, Y con velocidad inicial
v1 = 100 m/s a un ángulo θ1 = 40°. Después de t = 10 s, como se puede fácilmente mos-
trar, la pelota se encuentra en el punto P(x1, y1), donde x1 = 766.0444 m, y1 = 152.7876 m.
Cierto tiempo después, otra pelota, B2, se dispara hacia arriba, también desde el origen,
con velocidad v2 a un ángulo θ2 = 35°. (a) Encuéntrese un valor de v2 tal que B2 pase por
el punto P(x1, y1). (b) Calcúlese cuándo debe ser disparada B2 para que las dos pelotas cho-
quen entre sí P(x1, y1).
(a) Sean P(x1, y1, t1) las coordenadas y el tiempo de B1 y (x2, y2, t2) las de B2. Dado que B2
debe pasar por el punto P(x1, y1).
por lo que v2 = 105.69313 m/s.
(b) Sustituyendo el valor de v2 en x2 = (v2 cos 35°)t2 = 766.0444, se encuentra que t2 = 8.84795 s.
Por tanto, con v2 = 105.69313 m/s y θ2 = 35°, B2 pasa por P(x1, y1)8.84795 s después de
que se dispara. Pero B1 llega a este punto 10 s después de ser disparada. Por tanto, si las dos
tienen que chocar, el disparo de B2 debe retrasarse 10 – 8.84795 = 1.152 s.
Problemas complementarios
3.10. Una pelota es lanzada verticalmente desde un punto situado en un lado de una colina que tiene
pendiente uniforme hacia arriba con un ángulo de 28°. Velocidad inicial de la pelota: v0 = 33 m/s,
a un ángulo θ = 65° (con respecto a la horizontal). ¿A qué distancia hacia arriba de la pendiente
caerá la pelota y en cuánto tiempo? Respuesta: 72.5 m; 4.59 s.
3.11. Un proyectil es disparado con una velocidad inicial v0 = 95 m/s a un ángulo θ = 50°. Después
de 5 s pega contra la cima de una colima. ¿Cuál es la elevación de la colima por encima del
punto de disparo? ¿A qué distancia horizontal del arma aterriza el proyectil?
Respuesta: 241.37 m; 305.32 m.
3.12. Rehágase el problema 3.4 en un sistema de coordenadas con ejes perpendiculares y paralelos a
la azotea. Muéstrese que la condición v2
0 ≥ 2gh cos2
a tiene una interpretación simple en este
sistema.
3.13. El movimiento de una partícula en el plano XY está dado por
x = 25 + 6t2
y = -50-20t + 8t2
(a) Encuéntrense los siguientes valores iniciales:
(b) Calcúlense la magnitud y dirección de a, la aceleración de la partícula.
(c) Obténgase una ecuación para la trayectoria de la partícula (encuéntrese y en función de x).

CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UÑA PARTÍCULA 29
3.14. En la figura 3-7 las partículas a de un pequeño trozo de material radiactivo pasan a través de la
rendija S hacia el espacio existente entre dos placas metálicas paralelas y muy grandes, A y B,
conectadas a una fuente de voltaje. En virtud del campo eléctrico uniforme entre las placas, cada
partícula tiene una aceleración constante s = 4 X 1013
m/s2
normal y hacia B. Si v0 = 6 X 106
m/s
y θ= 45°, determínense h y R. Respuesta: 22.5 cm; 90 cm
3.15. El arreglo en la figura 3-8 es el mismo de la figura 3-7, excepto porque las partículas α
entran en la rendija S desde dos fuentes, A1 y A2 a ángulos θ1 y θ2, respectivamente. v0 y a son las
mismas para ambos grupos. Sabiéndose que v0 = 6 X 106
m/s, a = 4 X 1013
m/s2
, θ1 = 45° +
1°, θ2 = 45° - 1o
, muéstrese que todas las partículas están "enfocadas" en un sólo punto P.
Encuéntrense los valores de R, h1, y h2 – h1
Respuesta: R = 89.945 cm; h1 = 23.285 cm; h2 – h1 = 2.114 cm
3.16. Una pelota es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial v0 = 15 m/s a un ángulo de 30° con
la horizontal. El lanzador se encuentra cerca de la cima de una colina que tiene una pendiente
hacia abajo con un ángulo de 20°. (a) ¿Cuándo chocará la pelota contra la pendiente? (b) ¿Qué
tan lejos cae hacia abajo de la pendiente? (c) ¿Con qué velocidad pega? (Especifíquense las com-
ponentes, horizontal y vertical.)
Respuestas: (a) 2.495 s después del lanzamiento
(b) 34.50 m, medidos hacia abajo
(c) xú = 13.824 m/s, yú = 16.96 m/s

3.17. Un bombardero (figura 3-9) vuela rasante a una velocidad v1 = 72 m/s a una altura de h = 100
m. Cuando se encuentra justo encima del origen deja caer la bomba B que choca contra la camio-
neta T, que se mueve a lo largo de un camino plano (el eje X) con velocidad constante v2. En
el momento en el que la bomba es liberada la camioneta está a una distancia x0 = 125 m de O.
Encuéntrense el valor de v2 y el tiempo de vuelo de B.
Respuesta: 44.33 m/s (casi 100 mph); 4.51754 s.
3.18. Una partícula se mueve en el plano XY y a lo largo de la trayectoria dada por y = 10 + 3x + 5x2
.
La componente X de la velocidad, xú = 4 m/s, es constante, y en t = 0, x = x0 = 6 m. (a) Expré-
sense y y x como funciones de t. (b) Encuéntrense y0 y yú0. (c) Encuéntrense Ø y x¨ , las compo-
nentes de la aceleración de la partícula.
Respuestas: (a) y = 208 + 252t + 80t2
, x = 4t + 6;
(b) 208 m, 252 m/s;
(c) ÿ = 160 m/s2
, x¨ = 0.
3.19. El movimiento de una partícula en el plano XY está dado por
x=10+12t-20t2
y =25+15t+30t2
(a) Encuéntrense los valores de x0, xúo; y0, yúo. (b) Calcúlense la magnitud y dirección de v0.
(c) Encuéntrense x¨ , Ø, y a. (d) ¿El movimiento es a lo largo de una recta?
3.20. Considérese que el movimiento de una partícula está dado por
x = 5+10t +17t2
+ 4t3
y= 8+9t + 20t2
-6t3
(a) Encuéntrense las expresiones de x¨ , Ø. (b) ¿Es éste un caso de movimiento con aceleración
constante, como en todos los problemas anteriores?
Respuestas: (a) x¨ = 34 + 24t, y = 40 – 36t;
(b) a no es constante porque sus componentes tampoco lo son.

Capítulo 4
Leyes de Newton del movimiento: introducción
4.1 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO
1a. Ley: Cualquier cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uni-
forme a menos que sea afectado por fuerzas externas y desequilibradas que cambien
dicho estado.
A partir de esta ley la fuerza se define como cualquier cosa que cambie o tienda a cambiar el
estado de movimiento de un objeto. Igualmente, la primera ley de Newton implícitamente define
los sistemas inerciales de coordenadas (véase la sección 4.3).
2a. Ley. Si sobre un cuerpo de masa m actúan varias fuerzas y a es su aceleración observada en
un sistema inercial de coordenadas, entonces
ΣF=ma
donde Σ F es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
En el caso especial de que la fuerza resultante sea cero, la segunda ley de Newton nos dice que
a = 0, lo cual implica que la velocidad del cuerpo es constante en magnitud y dirección.
3a. Ley: Si el cuerpo 1 ejerce una fuerza F2 sobre el cuerpo 2 y éste ejerce una fuerza F1 sobre
aquél, entonces estas fuerzas son iguales y opuestas sin importar que otras actúen sobre
los dos cuerpos:
F1 = -F2
De acuerdo con la tercera ley de Newton, ninguna fuerza ocurre por sí misma. Las fuerzas de
acción y reacción nunca están desequilibradas, debido a que son ejercidas sobre cuerpos
diferentes.
4.2 MASA Y PESO
La propiedad que un cuerpo tiene de resistir cualquier cambio en su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme recibe el nombre de inercia. La inercia de un cuerpo está rela-
cionada con lo que se podría llamar en términos poco estrictos, "cantidad de materia" que con-
tiene. Una medida cuantitativa de la inercia es la masa.
El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional ejercida sobre ese cuerpo, Un cuerpo de masa m
tiene un peso w = mg en un lugar donde la aceleración gravitacional es g.
4.3 SISTEMAS (MARCOS) DE REFERENCIA
Existen ciertos marcos de referencia, llamados sistemas inerciales, en relación con los cuales
cualquier partícula tiene un vector velocidad constante cuando está libre de fuerzas externas.
EJEMPLO 4.1. El sistema de referencia atribuido a las "estrellas fijas" generalmente se toma como un sistema
inercial. Cualquier otro es inercial si y sólo si su velocidad con respecto a este sistema específico es
constante.

32
En u
cualqui
donde d
que act
EJEMP
un sistem
denomi
fuerzas
4.4 PR
(1) D
(2) A
(3) T
nitudes
(4) E
objeto c
(5) S
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(6) A
4.1. U
a
a
t
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4.2. U
n
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L
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ma no inercia
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ROCEDIMIEN
Dibujar un e
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Trazar todas
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masa, y Σ F es
ton es válida f
actúa sobre la
cia, m), la cua
LERACIONES
aproximadam
un punto si i
os problemas
ogido.
kg durante 5
ntrense: (a) la
masa 2000 k
acelerada d
fuerza es
y se detiene
de la arena, s
n la arena (figu
ne el valor con
[CAPITULO
con respecto
(4
s la fuerza tot
formalmente
a partícula (se
al se suma a l
S
mente sus ma
idealizamos e
s prácticos un
5 s, haciéndo
a fuerza; (b)
kg y (c) la d
esde el repo
después de p
uponiendo q
ura 4-1):
nstante a1, dad
O 4
o a
4.1)
tal
en
le
las
ag-
el
n
ole
la
dis-
oso
pe-
que
do

CAFÍTULO
Entonc
La fue
4.3. Dos c
uno s
(inter
de la
intera
El sig
se pue
Estas
4.4. Los b
super
se eje
fuerz
(c) P
4]
ces ΣFy = Fr —
erza es positiv
carros están c
e pone en mo
racción), la ve
a interacción
acción de A
gno menos ind
ede establecer
son fuerzas p
bloques A y B
rficie lisa y h
erce sobre e
za del bloque
Por la tercera l
LEYES DE
— mg = ma1, o
Fr=
va, dado que se
colocados en
ovimiento de
elocidad del c
n fue de 0.02
y B.
dica que la fue
r como FB =
promedio que
B, con masa
horizontal co
l bloque A.
A sobre el b
ley de Newto
NEWTON D
o
m(g+a1)=(0
e opone al mo
forma tal que
manera que
carro A cambi
2 s y mA es
erza sobre A
+ 15 N, con
e actúan duran
s 4 kg y 6 k
omo se mues
(a) ¿Cuál es
bloque B? ¿C
on FB sobre A =
DEL MOVIM
0.5)(9.8+980)=
ovimiento, el c
e rueden sobr
ocurre una co
ia, según se m
0.5 kg, enc
(ejercida por
base en la te
nte el interval
kg, respectiva
stra en la figu
s la acelerac
Cuál es la del
12 N, hacia la
MIENTO
494.9N
cual es en la d
re un riel rect
olisión. Com
muestra en la f
cuéntrese la
B) es hacia la
rcera ley de N
lo ∆t.
amente, están
ura 4-3. Una
ión de los b
bloque B. so
a izquierda.
dirección de –Y
to y horizonta
o resultado d
figura 4-2. Si
fuerza prom
a izquierda. L
Newton del m
n en contacto
a fuerza exter
bloques? (b)
obre, el bloqu
33
Y.
al. Al menos
de la colisión
la duración
medio de la
La fuerza FB
movimiento.
o sobre una
rna de 20 N
¿Cuál es la
ue A?

34
4.5. U
a
p
d
a
a
s
y
y
4.6.
Una caja con
amarra a una
pequeña (véa
de 4 m de la
aplican a la
arranque, com
La caja s
sea más grand
y θ = 44.4°. A
y la distancia
Encuéntrese
en los casos
como la de a
En cada
sistema inerc
LEYES
n masa 4 kg
a cuerda que
ase la figura 4
polea y la c
cuerda un j
menzará la c
e despegará d
de que el pes
Ahora la altu
a con respecto
la fuerza F
que se muest
a, o hacia arr
caso se aplica
cial de la Tierr
S DE NEWT
g que reposa
e pasa sobre
4-4). La caja
cuerda forma
jalón consta
caja a despeg
de la superfici
o de la caja.
ura del jalón
o al punto de
ejercida por
tran en la fig
riba si a = 0.
a al hombre la
ra.
TON DEL MO
sobre una s
e una polea s
a se encuentra
a un ángulo
ante de 56 N
garse de la su
ie cuando la c
es h = 4 tan
arranque es d
el piso de un
gura 4-5. En e
a segunda ley
OVIMIENTO
superficie ho
sin fricción
a inicialment
de 30° con l
N. ¿En qué
uperficie?
componente v
30° = (4/√3)
d = 4 - 2.4 =
n elevador so
estos casos la
y de Newton, e
O
orizontal y s
y que tiene
te a una dista
la horizontal
punto, con
vertical del jal
) m. Por tanto
1.6 m.
obre los pies
a dirección p
el sistema de
[CAPITULO
sin fricción,
una masa m
ancia horizon
l. Dos homb
respecto al
ón en la cuerd
o,
de un homb
ositiva se tom
referencia es
O 4
, se
muy
ntal
bres
de
da
bre
ma
el

CAPÍTULO
4.7. Un pá
tierra
vista
E
miento
Por lo
fue so
4.8. Refié
desde
4]
ájaro que vue
X, Y (Fig. 4
por el pájaro
En el sistema d
o del gusano e
o que la aceler
oltado desde e
rase al probl
el suelo, (b)
LEYES DE
ela con una a
-6), deja cae
o?
de coordenada
es
ración del gus
el reposo). La
ema 4.7 y la
Verifíquese q
NEWTON D
aceleración c
r un gusano
as no inercial
ano es consta
a pendiente de
figura 4-6(a
que las dos d
DEL MOVIM
constante a0,
de su pico. ¿
X', Y' del páj
ante y su traye
e la recta con
a). Determíne
escripciones
MIENTO
, en relación
¿Cuál es la tr
aro (Fig. 4-6)
ectoria es una
n respecto a la
ese la trayect
de la trayecto
con el siste
ayectoria del
), la ecuación
recta (supon
a horizontal e
toria del gusa
oria sean equi
35
ma de la
l gusano,
de movi-
niendo que
es
ano vista
ivalentes.

36
4.9. U
d
e
s
4.10. L
d
f
t
(a) En el siste
inicial xú
tiempo s
y la traye
(b) Supóngase
avanzado
(x, y) y (x
La trayec
que es un
Un pequeño
desechado pa
empuje que a
supóngase qu
En la fig
La suma re
do. Por tanto,
Los objetos A
dible. Deben
figura 4-8. L
trese la tensi
LEYE
ema X, Y del s
= v0, donde v0
e le denota t
ectoria es una
e que en t = 0
o una distanci
x', y') del gusa
ctoria en el sis
na recta con p
dirigible des
ara que el dir
actúe hacia a
ue la fuerza
ura 4-7 las ec
sulta ser
,
A y B, cada u
moverse en u
Los objetos s
ión en la cuer
S DE NEWT
suelo el gusan
0 es la rapidez
= 0). De aqu
parábola.
0 los dos siste
ia vot + 1
/2aot2
ano en los dos
stema X', Y' s
pendiente g/a
sciende con u
rigible se elev
arriba sobre a
de empuje es
cuaciones de m
descendie
ascendie
uno con masa
un anillo sin
e sueltan del
rda justo des
TON DEL MO
no tiene una ac
del pájaro en
uí que
emas de coord
2
a lo largo de
s sistemas está
se obtiene sus
a0, como se en
una aceleraci
ve con la mis
aquél y que s
s la misma en
movimiento s
endo
ndo
m, están con
fricción en u
l reposo en l
spués de que
OVIMIENTO
celeración con
el momento e
denadas coinci
el eje X, de ta
án relacionada
stituyendo las
ncontró en el
ión a. ¿Qué c
sma acelerac
sea igual al p
n ambos caso
on
nectados por u
un plano vert
as posicione
se sueltan.
O
nstante Ø = -g
en que suelta e
iden. En el tie
l manera que
as por
expresiones
l problema 4.
cantidad de l
ión o? Existe
peso del aire
os.
la masa de
una cuerda lig
ical, como se
es que se mue
[CAPITULO
y una velocid
el gusano (a e
empo t, O' ha
las coordenad
(2) en (I):
7.
lastre debe s
e una fuerza
que desplaz
l lastre desech
gera e inexten
e muestra en
estran. Encué
O 4
dad
ste
(1)
abrá
das
(2)
er
de
za;
ha-
n-
la
én-

CAPITULO
E
maner
mism
fuerza
4.11. Un cu
posic
dond
fuerz
4.12. En la
F1 = 4
4.13. Poco
de 22
Respu
4.14. Para m
una fu
masa
O 4]
En el moment
ra que, como
a magnitud a
a horizontal d
uerpo con m
ión es
e α, β, γ son
za que actúa
a figura 4-9 s
4i N y F2 = 2
después de sa
5 N ejercida p
uesta: 674.64
medir la masa
uerza neta ho
de la caja? Re
LEYES DE
o en que se s
se observa, la
dado que de
de A y la fuer
masa m se mu
constantes, (
sobre él?
se muestra un
2j N. Calcúle
Proble
altar desde un
por el aire. En
N, hacia abaj
a de una caja,
orizontal de 1
espuesta: 50 k
E NEWTON D
sueltan, A deb
as dos acelera
otra manera l
rza vertical de
ueve a lo lar
(a) Calcúlese
n bloque con
ese la aceler
emas com
aeroplano, un
ncuéntrese la f
o.
ésta es empuj
50 N. Se obse
kg
DEL MOVIM
be moverse ho
ciones iniciale
la cuerda se e
e B, en las po
rgo de X de t
e la acelera
n masa de 4 k
ación del blo
mplement
n hombre de 9
fuerza resultan
jada a lo largo
erva que la ac
MIENTO
orizontalmente
es son tangenc
encogería. Po
osiciones que
tal manera q
ación del cu
kg sobre el c
oque.
tarios
91.8 kg siente
nte sobre el ho
o de una super
celeración es
e y B verticalm
ciales. Más aú
r tanto, la ecu
se indican, s
que en el tiem
uerpo, (b) ¿C
cual actúan d
una fuerza ha
ombre.
rficie lisa, eje
de 3 m/s2
. ¿C
37
mente de tal
ún, tienen la
uación de la
son
mpo t su
Cuál es la
dos fuerzas,
acia arriba
rciéndose
Cuál es la

38
4.15. U
f
a
4.16. U
y
f
4.17. L
e
c
(
418.
d
q
4.19. S
e
c
R
4.20. T
s
t
(
4.21. ¿
N
Un baúl de 40
fuerza que act
al vector velo
Una fuerza re
y a un cuerpo
fuerza si las d
La cabeza de
en un leño; la
contacto) es
(b) la distanci
Un cuerpo c
v
donde a, b, c s
que actúa sobr
Supóngase qu
en contacto so
calcúlese: (a)
Respuestas: (
Tres bloques
se muestra en
tienen una ace
(b) Calcúlese
¿Qué fuerza,
acelere, y (b)
N. Respuesta
LEYE
0 kg se desliz
túa sobre el b
cidad del baú
sultante de 20
o con masa m
dos masas mar
4 kg de un m
duración del i
de 0.0020 s.
ia que la estac
con masa m se
v1 = 20 - 4(0.816
son constante
re él? Respues
ue los bloque
obre una supe
la aceleración
(a) 0.75 m/s2
;
idénticos, ca
la figura 4-10
eleración de 4
la tensión en
además de F1
tenga una ace
as: (a) -4i -2
S DE NEWT
a por el suelo
baúl sea const
úl. Respuesta:
0 N proporcio
' una acelerac
rchan juntas?
martillo se mu
impacto (o el
Encuéntrense
ca penetra en
mueve a lo la
67) = +16.7332 m
s, (a) Calc
stas: (a) 3
/4at
es A y B tiene
erficie horizon
n del sistema,
; (b) 4.5 N o -
da uno con m
0. Supóngase
4 m/s2
bajo la
cada una de
1 y F2, se deb
eleración de 4
2j N; (b) -
TON DEL MO
o y se frena de
tante, encuént
20 N, opuest
ona a un cuerp
ción de 24 m/
Respuesta: 6
ueve a 6 m/s
tiempo en el q
e (a) el tie
el leño. Resp
argo de Y de ta
m/s v2
cúlese la acele
t -1
/2
; (b) 3
/4m
n masas de 2
ntal y lisa. S
(b) la fuerza q
-1.5 N.
masa de 0.6 kg
que yacen sob
acción de un
las cuerdas. R
e aplicar al c
4 m/s2
a lo larg
16i -2j N
OVIMIENTO
e 5 m/s a 2 m
trense la magn
ta a la velocid
po con masa m
/s2
. ¿Qué acel
m/s2
.
cuando golp
que se detiene
mpo promedi
uestas: (a) 1
al manera que
= 20 - 4(9.1833
eración del cu
mat -1
/2
kg y 6 kg, re
Si los empuja
que el bloque
g, están unido
bre una super
na fuerza F. (a
Respuestas:
cuerpo en la f
go de -X? Sup
O
m/s en 6 s. Sup
nitud y la dir
dad
m una acelera
leración prop
ea una estaca
e el martillo de
io de la fuerza
12 kN; (b) 6
en el tiempo
3) = -16.7332 m
uerpo, (b) ¿C
espectivamen
una fuerza ho
de 2 kg ejerc
os por cuerda
rficie lisa y ho
a) Encuéntrese
(a) 7.2 N; (b
figura 4-9 par
póngase que F
[CAPITULO
poniendo que
ección relativ
ción de 8 m/s
orcionará est
a para clavarl
espués de hace
a de impacto,
mm
t su posición e
m/s
uál es la fuerz
nte, y que está
orizontal de 6
e sobre el otro
s ligeras, com
orizontal, y qu
e el valor de F
b) 2.4 N, 4.8 N
ra que: (a) no
F1 = 4 N y F2 =
O 4
la
va
2
,
a
la
er
es
za
án
N,
o.
mo
ue
F.
N
o se
= 2

s
5
p
d
c
c
c
c
t
a
5
d
a
e
5
c
e
o
a
Le
En este c
se estudia pa
5.1 CENTR
El centro
posición rcm d
donde M = m
considerar qu
El centro
cuerpo se ha
centro de gra
coinciden en
todos los pro
actúa sobre s
5.2 SISTEM
En un sist
donde ΣFext e
acm es la ace
especificado
5.3 FUERZ
Cuando d
componente N
en contacto.
opone a la te
aproximadas
donde µk y µs
eyes de
apítulo, la s
ara varios sist
RO DÉ MASA
de masa de
dado por
m1 +m2 + ...
ue toda la ma
de gravedad
concentrado.
avedad sin te
un campo gr
oblemas. El p
su centro de g
MAS DE PAR
tema de part
s únicamente
eleración del
qué partícul
ZASDEFRIC
dos objetos e
N normal a la
A esta última
endencia de u
relacionan f
s son los coef
Newton
m
egunda ley d
temas físicos
A
e un sistema
+ mn. Él ce
asa está conc
d de un cuerp
. Un cuerpo r
ender a girar
ravitacional
peso de un cu
gravedad.
RTÍCULAS Q
tículas que in
e la suma vect
centro de m
las "están inc
CCIÓN
están en con
as superficie
a se le denom
una superfici
con N:
ficientes de f
n del mo
más avan
de Newton d
s, cada uno c
de partícula
ntro de masa
centrada, de a
po es el punto
rígido se pue
r. El centro d
uniforme y a
uerpo se pued
QUE INTER
nteractúan,
torial de las fu
masa. Al apli
cluidas en el
ntacto, la fue
s en contacto
mina fuerza d
e a deslizars
fricción cinét
ovimien
nzados
del movimien
con su propia
as con masas
a dé un cuer
acuerdo con
o en el cual s
de suspender
de gravedad
ambos se pue
de considerar
RACTÚAN
fuerzas extern
icar (5.2) a u
sistema y cu
erza ejercida
o y una comp
de fricción y
e sobre la ot
tica y estática
C
nto: pro
nto de una p
a función de f
m1; m2,..., m
po es el pun
(5.2).
se considera
r en cualquie
y el centro d
eden tratar co
r como una f
nas, M es la m
un sistema c
uáles están ex
por uno sob
ponente f, par
está dirigida
tra. Las sigui
a, respectivam
Capítu
oblemas
partícula,
fuerza F.
mn tiene un v
nto en el que
que el peso d
r orientación
de masa de u
omo idéntico
fuerza hacia a
masa total del
omplejo deb
xcluidas.
bre el otro t
ralela a las su
a de tal mane
ientes leyes e
mente.
ulo 5
s
vector de
se puede
de todo el
n desde su
un cuerpo
os en casi
abajo que
sistema y
be quedar
tiene una
uperficies
era que se
empíricas

40
La
entre
estátic
límite
esto ú
un poc
No
superf
simila
un poc
tanto e
que e
deform
fricció
5.4
Al
ley de
donde
partícu
dirigid
circula
5.1.
a fricción est
sí. Cuando u
ca inicialmen
e que la fricci
ltimo ocurre,
co más peque
o debería exis
ficies en con
ar se aplana u
co. Una fuerz
ella como la
existe cierto
mación. Los c
ón por desliz
MOVIMIEN
l aplicarse a u
e Newton se
e Σ F es la fue
ula, ω es la d
da hacia ade
ar, se denom
Localíces
LEYE
tática se pre
una fuerza cr
nte se increm
ión estática n
, la fuerza de f
eño que el va
stir una fricci
ntacto de un
un poco cuand
za de resistenc
superficie so
movimiento
coeficientes d
zamiento.
NTO CIRCUL
una partícula q
transforma e
erza radial re
de rotación de
entro (radial)
mina fuerza ce
se el centro d
ES DE NEW
senta entre d
reciente se a
menta para ev
no puede exc
fricción ciné
alor máximo
ón de rodami
objeto que r
do descansa s
cia, fricción d
obre la cual s
o relativo e
de la fricción
LAR UNIFO
que se mueve
en
esultante dirig
e la partícula
), que debe s
entrípeta. Vé
Proble
de masa del si
WTON DEL M
dos superfici
aplica a un o
vitar el movi
ceder, y el ob
tica permane
de la fricció
iento, dado q
rueda sobre o
sobre una sup
de rodamiento
e mueve se d
entre las sup
de rodamien
RME
e en un círcul
gida hacia el
y se mide en
ser aplicada p
éase la figura
emas resu
istema de tres
MOVIMIENT
ies que se en
objeto en rep
miento. Fina
bjeto comenz
ece casi const
n estática.
que no existe m
otro. En reali
perficie, con l
o, surge cuan
deben deform
perficies de
nto son mucho
lo con una vel
centro del cír
n radianes por
para mantene
5-1.
ueltos
s partículas (p
TO
ncuentran en
oso, la fuerz
almente alcan
zará a mover
tante en un va
movimiento r
idad, una rue
lo cual ella m
ndo la rueda g
mar continuam
contacto m
o más pequeñ
locidad const
rculo y v es la
r segundo (ra
er un cuerpo
pe se muestra
[CAPITUL
n reposo relat
za de la fricc
nza cierta fue
rse. Una vez
alor que suele
relativo entre
eda o un cue
misma se defo
gira, debido a
mente y debid
motivado por
ños que los d
tante, la segu
(
a velocidad d
ad/s). Esta fue
o en movimie
a en la figura
O 5
tivo
ción
erza
que
e ser
e las
erpo
rma
que
do a
r la
de la
unda
(5.4)
de la
erza
ento
5-2.

CAPITULO
5.2. Un blo
de una
de 120
veloci
el blo
bloque
(a) E
(b) La
Po
5.3. Dos cu
una po
la dist
distan
(a) La
5]
oque de 10 k
a cuerda. Lue
0 N. (a) Enc
idad del cen
que de 20 k
e de 10 kg?
scójase la dir
a diferenciaci
or tanto, desp
uerpos con m
olea fija y lis
tancia a que
ncias recorrid
as ecuacione
LEYES DE
kg y otro de
ego se empuj
cuéntrese la
ntro de masa
g tiene una v
rección +X co
ión de (5.1)
pués de 2 s,
masas de 10 y
sa, figura 5-
se mueven e
das por los c
es de las fuer
NEWTON D
20 kg se co
uja el bloque
aceleración
a después de
velocidad de
omo este. Ent
con respecto
y 12 kg se co
3(a). Encuén
n 3 s. (c) Si d
cuerpos en lo
rzas sobre c
DEL MOVIM
locan sobre
de 20 kg hac
del centro d
2 s es de 8
e 6 m/s hacia
tonces
o al tiempo re
onectan por m
ntrense (a) l
después de 3
os siguientes
ada cuerpo s
MIENTO
una mesa lis
cia el este co
de masa de l
m/s hacia el
a el este. ¿C
esulta ser
medio de una
as velocidad
3 s se corta la
s 6 s. Véase
son
sa y se unen
on una fuerza
os dos bloqu
l este. En es
Cuál es la ve
a cuerda que
des después d
a cuerda, cal
la figura 5-
41
n por medio
a horizontal
ues. (b) La
e momento
locidad del
(5.5)
pasa sobre
de 3 s y (b)
cúlense las
3(6).

42
5.4. U
s
e
q
c
t
Las dos a
ciones de
ecuacione
Dado que
El cuerpo
(b) La distan
(c) Si se cort
y v20 = 2.
Para el c
El cuerpo
antes de d
de detene
. Luego, e
La distan
Un cuerpo co
se ata una c
extremo de la
que se mueve
cuerpos 1, 2 y
Dado que
tanto,
Para cada cu
positiva:
LEYE
aceleraciones
e fuerzas la d
es sé obtiene
e la aceleraci
o 1 se mueve
ncia que reco
ta la cuerda, l
67 m/s; en ca
uerpo 1, la di
o 2 recorre hac
detenerse y lue
erse es
el cuerpo 2 rec
ncia total que
on masa m3 se
uerda delga
a mesa. Los o
en verticalm
y 3, y las ten
e las longitude
erpo se escrib
ES DE NEWT
son de igual
dirección del
ón es constan
v = v0
hacia abajo y
orre cada cuer
os cuerpos ca
da caso se tom
istancia en 6
cia arriba una
ego cae. El tiem
corre durante
recorre el cu
d = d'+
e mueve sobr
da e inelást
otros extremo
ente. Véase
siones de las
es de las cuerd
be la segunda
TON DEL M
magnitud per
movimiento s
nte, la rapidez
0+at = 0 + (0.89
y el cuerpo 2
rpo en 3 s e
aen libremente
ma la direcció
s es, entonce
distancia
mpo que el cu
5.73 s hacia
uerpo 2 es, ent
+d" = 0.4 + 159
e una mesa li
ica que pasa
os de las cuer
la figura 5-4
s cuerdas.
das son fijas, x
a ley de Newt
MOVIMIENTO
ro tienen direc
se toma como
z común desp
9)(3) = 2.67 m/k
se mueve hac
es
e con velocida
ón inicial del m
es
erpo 2 tarda en
abajo una dis
tonces
9.2 = 159.6 m
isa y horizon
a sobre una
rdas se atan a
4. Encuéntren
x + y2 = const
on y arbitrari
O
cciones opues
o positiva. Su
pués de 3 s es
k
cia arriba.
ades iniciales
movimiento c
n desplazarse h
stancia de
ntal. A cada u
polea lisa c
a cuerpos con
nse las acele
tante y y1 + y2
iamente se esc
[CAPÍTULO
tas. En las ec
umando esas d
v10 = 2.67 m/s
omo positiva.
hacia arriba an
uno de sus lad
colocada en
n masas m1 y m
eraciones de
2 = constante;
coge una dire
O 5
cua-
dos
s
.
ntes
dos
un
m2,
los
por
ección

CAPITUL
Ahor
figur
tamb
5.5. En el
una m
bles.
aB, a
encu
Calcu
E
Al su
se ob
5.6. Un c
vertic
cuerp
unifo
¿Cuá
E
El jal
LO 5]
ra se tienen ci
A partir de la
ra 5-4 se deb
bién a3 debe se
l sistema de p
masa de 1 kg
Encuéntrese
Denótense yA
ac son. las acel
Siguiendo la c
uentra en el ce
ulando la segu
Existe sólo un
T
ustituir m = 1
btiene
uerpo con m
cal y se com
po se encuen
ormemente m
ál es la veloc
En el tiempo
lón en la cade
LEYES D
nco ecuacione
a ecuación de l
e invertir; en
er invertida.
poleas que se
cada una. D
e la tensión e
A, yB, yc, las p
eraciones en e
cuerda desde e
entro de B, se
unda derivada
na cuerda y, p
T+mg-2T= ma
kg y resolve
masa de 400 k
ienza a jalar
ntra en reposo
más pequeño
cidad del cue
t, sea y la al
ena es, entonc
DE NEV^TON
es de las cinco
las aceleracio
n tanto que si
e muestra en
y E son pole
en la cuerda
osiciones de
el tiempo t:
el extremo que
obtiene
a con respecto
aA + a
por tanto, una
aA T+
er las cuatro e
kg se suspend
hada arriba
o y el jalón d
a razón de 3
erpo cuando
ltura (en metr
ces
T= (6
N DEL MOV
o incógnitas a1
nes se observ
i m2 > m1, a1
la figura 5-5
eas fijas. Las
y la acelerac
los centros de
e se encuentra e
o al tiempo de
aB + 2ac = 0
tensión T. La
mg-2T=maB
cuaciones par
de, del extrem
verticalment
de la cadena "
360 g (N) por
ha sido alza
ros) del cuerp
6000-360y)g
VIMIENTO
1, a2, a3, T1, T
a que si m1 >
se ¿debe inv
5 las poleas m
cuerdas son
ción de las po
e las poleas A
en el centro de
e, esta ecuació
as ecuaciones
B mg-2
ra las cuatro i
mo inferior d
te (véase la f
"es de 6000 g
r cada metro
ado a 10 m?
po por encim
T2. Resolviend
m2, la direcci
vertir; en este
móviles A, B
verticales e
oleas.
A, B, C en el t
e A hasta el ex
ón, se obtiene
de fuerza son
2T= maC
incógnitas aA,
de una caden
figura 5 6). A
g (N). El jaló
que se alza
ma de su posic
43
do,
ión de a2 en la
e último caso
B, C tienen
inextensi-
tiempo t; aA,
tremo que se
e
n
, aB, ac, T,
na ligera y
Al inicio el
ón se hace
al cuerpo.
ción inicial.
a
o

44
y
Es
ig
Se
0
Lu
in
ne
5.7. En
B
Pe
D
la segunda le
sta ecuación s
gualdad 2ÿ =
ea V la veloc
La elecció
≤ y ≤ 10, la
uego, dado qu
ntervalo de int
egativa.
n la figura 5-
. El coeficien
Si el bloqu
ero el movimi
Dado que el va
LEYES
ey de Newton
T-40
se puede trans
d(v2
)/dy. Ento
idad a la altur
ón del signo
a fuerza neta
ue el cuerpo p
tegración, la d
7 encuéntres
nte de fricció
ue no cae, la fu
iento horizont
alor máximo
S DE NEWT
n da
0g = 400ÿ
sformar en un
onces
ra de 10 m. E
+ para V
(5600 - 360
parte del repo
dirección del
se la acelerac
ón estática en
uerza de fricci
tal del bloque
de f/N es µs,
ON DEL MO
o (5
na para y = v
Entonces, inte
V (movimien
y)g, es positi
oso, V será po
movimiento s
ción que requ
ntre el bloqu
ión f se debe e
e está dado po
se debe tener
OVIMIENTO
5600 - 360y)g =
(la velocida
grando
nto hacia arri
iva y, por tan
ositiva. Como
se debe invert
uiere el carro
e y el carro e
equilibrar con
or N = ma. Po
r que a ≥ g/µ
O
= 400ÿ
ad del cuerpo
iba) debe ser
nto, la acelera
o la fuerza ca
tir y la veloci
para evitar q
es µs.
n el peso del b
r tanto,
s si el bloque
[CAPITULO
o) al utiliza
r comprobada
ación también
mbia de signo
dad final deb
que caiga el b
loque: f = mg
e no cae.
5
arse la
a. Para
n lo es.
o en el
bió ser
bloque
.

C
5
CAPITULO 5
5.8. Un pla
Si de
9.2 m/
µk = 0
la mes
que el
(o) E
El
(b) En
a
5.9. Si al s
las fu
E
Por ta
5]
ato de comid
repente se t
/s2
[Fig. 5-8
.75. Encuént
sa al plato, c
mantel cubr
En la figura 5
l plato se desl
n el momento
la misma dist
istema que se
erzas sobre l
En la figura 5-9
anto, las fuerz
LEYES DE N
da está sobre
ira del mant
(a)]. El coef
rense (a) la a
cuando el ext
e exactamen
5-8(b), la ecu
iza, dado que
o en que el bo
tancia del bor
e muestra en
a esfera, sup
9(b), ΣFver ==
as que actúan
NEWTON D
e un mantel,
tel en sentid
ficiente de f
aceleración; (
tremo del ma
nte la cubierta
uación dé fue
x¨p es menor q
rde del mante
rde de la mesa
la figura 5-9
oniendo que
= R1 cos 30° -
n son
DEL MOVIM
con su cent
do vertical c
fricción ciné
(b) la velocid
antel pasa ba
a de la mesa.
rza para el p
que 9.2 m/s2
.
el se encuentr
a:
9(a) se le pro
no hay fricc
w = maver= 0
MIENTO
tro a 0.3 m d
on una acel
tica entre el
dad; (c) la dis
ajo el centro
.
lato es
a en el centro
porciona una
ión.
y Σ Fhor = R2
del borde de
eración con
l mantel y el
stancia del ex
del plato. Su
,
o del plato, am
a aceleración
– R1 sen 30°
45
la mesa
stante de
l plato es
xtremo de
upóngase
mbos están
n, obténgase
= ma.

46
5.10. E
p
l
D
c
e
n la figura 5-
parte de este ú
a cual se des
Después de q
cuando única
el bloque 3 ti
En la fig
Resolviendo
segunda ecua
x = 1
/2at2
, est
En el in
+ (ℓ/16), do
LEYE
-10(a) el blo
último. Supó
plaza y que e
que el sistema
amente la cua
ienen masas
gura 5-10(b)
simultáneame
ación, a2 = (g
to es,
stante en el qu
onde ℓ es la lo
ES DE NEWT
que 1 tiene u
óngase que no
el coeficiente
a es liberado,
arta parte del
iguales.
las ecuacione
ente la primer
/4)µk. Luego,
ue la cuarta p
ongitud del bl
TON DEL M
un cuarto de l
o existe fricc
e de fricción
, encuéntrese
bloque 1 per
es de movimi
ra y la tercera e
los desplazam
arte del bloqu
loque 2. Por t
MOVIMIENT
la longitud de
ión entre el b
cinética entre
e la distancia
rmanece sobr
ento son
ecuaciones se
mientos de lo
ue 1 permanec
anto,
TO
el bloque 2 y
bloque 2 y la
e los dos bloq
que ha recor
re el bloque
obtiene a1 = (
s bloques 1 y
ce sobre el blo
[CAPITULO
y pesa una cu
superficie so
ques es µk =
rrido el bloqu
2. El bloque
(g/2)(l – µk); d
2 están dados
oque 2, x2 + ℓ
O 5
uarta
obre
0.2.
ue 2
1 y
de la
s por
= x1

CAPITULO
5.11. Dos
5-ll(a
la m
dond
suelo
A
Enton
y, fin
5.12. El pl
Mué
dond
parti
y
O 5]
cuerpos, con
a). Si la masa
esa. Supónga
En la figura 5
de N y f son
o sobre la mes
A partir de es
nces,
nalmente,
lano inclinado
éstrese que el
de µs = tan θ
Si el bloque n
ir de éstas,
LEYES DE
n masas m1 y
a de la mesa c
ase que la me
5-11 (b) las e
las componen
sa.
stas dos ecuac
o que se mue
bloque se de
es el coefici
no se desliza d
E NEWTON
m2, se libera
con cubierta l
esa no se mu
ecuaciones de
ntes vertical y
ciones,
stra en la figu
eslizará sobre
a> g
ente de fricc
debe tener la
N DEL MOVI
an desde la po
lisa es m3, enc
eve.
e las fuerzas pa
y horizontal (d
ura 5-12 tiene
e el plano si
tan (θ – α)
ción estática d
misma aceler
IMIENTO
osición que s
cuéntrese la r
ara los cuerpo
de fricción) de
e una acelerac
de las superf
ración que el p
se muestra en
reacción del s
os son:
e la fuerza eje
ción hacia la
ficies en cont
plano. Por tan
47
n la figura
suelo sobre
ercida por el
derecha a.
tacto.
nto A

48
A
a
S
li
5.13. E
m
d
to
la
p
fr
li
fu
d
fi
P
C
ta
o
5.14. U
la
v
M
(l
t
e
Ahora bien, el
celeración a d
Si a > g tan(θ
izamiento se t
En el arreglo
masa de 0.9 k
del eje de rot
ornamesa, e
a figura 5-13
ara que los b
En este pr
ricción entre A
igero: B tende
uerza de fricc
dialmente haci
igura 5-13(c).
Las ecuac
Por sustracción
Con esto se ve
anto
o
Un tubo liso y
a figura 5-14
elocidad ℓω,
Muéstrese qu
l/ω)(ln 2) y
Dado que
anto, la aceler
el sistema no i
Cuando l
LEYES
valor máxim
debe satisfacer
– α), el bloqu
traduce en α ≤
o de la torna
kg, el bloqu
ación. El coe
es µs = 0.1.
3(a). Encuén
bloques comi
roblema todo
A y B. Dado q
erá a moverse
ción f entre l
a adentro sob
.
iones de las fu
n,
e que ω puede
y horizontal d
(a). Una part
en tanto que
ue la partícul
que nunca ll
e el tubo es l
ración, es pura
inercial que gi
a partícula se
S DE NEWTO
mo de f/N en a
r
ue se deslizará
≤ 0, lo cual d
mesa que se
e B tiene un
eficiente de f
Considérese
ntrese la rapi
iencen a desl
depende de
que B es más
radialmente h
las dos superf
re B y del mi
uerzas cuando
e incrementars
de longitud /'
tícula se colo
el tubo gira
la recorrerá l
legará a O en
iso, no existe
amente en dire
ira junto con e
e encuentra a
ON DEL MO
usencia de de
á. (Obsérvese
efine propiam
e muestra en
na masa de 1
fricción estát
que se om
dez angular
lizarse.
la conecta pr
masivo que A
hacia afuera, e
ficies se opon
smo modo ha
o no hay despl
se hasta que f
gira alrededo
oca en el extr
alrededor de
la mitad de l
n un tiempo
e una fuerza r
ección circular
el tubo, con lo
una distancia
OVIMIENTO
eslizamiento e
e que ante a =
mente al ángul
la figura 5-
1.7 kg y amb
tica entre los
miten la fricc
de rotación
redicción de
A, se extrapola
empujando A r
ndrá a su mov
acia afuera sob
lazamiento son
f y f′ alcancen
or de un eje v
remo del tub
l eje con velo
la longitud d
finito.
radial sobre
r. Esto lo sugie
que "nos desh
a r de O en el
[
es µs = tan θ
= 0, la condici
lo θ.)
-13, el bloqu
bos se encue
s bloques y e
ión y la masa
de la tornam
la dirección d
a al caso en e
radialmente ha
vimiento relat
bre A, como s
n, entonces
n sus valores m
vertical, como
o y se proyec
ocidad angula
del tubo dura
la partícula;
ere observar e
hacemos" de l
l sistema no i
[CAPITULO
θ. Por tanto, la
ión del no des
ue A tiene u
entran a 13 c
entre éstos y
a de la polea
mesa, necesar
de la fuerza d
el que A es mu
acia adentro. L
tivo; actuará r
se muestra en
máximos. Por
o se muestra
cta hacia O c
ar constante
ante un tiemp
la fuerza, y p
l movimiento
a fuerza circul
nercial [figur
5
a
s-
na
cm
la
en
ria
de
uy
La
ra-
la
lo
en
on
ω.
po
por
en
lar.
ra

5
5
CAPITULO
5-14(b)
señalad
Multipl
el signo
Cuando
Cuando
finito.
5.15. Muéstr
el lastre
5.16. Tres bl
cuerdas
del plan
5]
)], la única fue
da. La ecuació
licando por rú
o menos se to
o r = ℓ, t = 0,
o r = ℓ/2, t =
rese que la ace
e. Úsese este
loques con m
s sobre un pla
no sobre el blo
LEYES DE
erza sobre ella
ón (4.1) se t
dt = dr e inte
oma debido a q
, de donde c'
= (ln 2)/ω. C
Proble
eleración del c
hecho para v
masas 2, 4, y 6
ano inclinado
oque que se e
NEWTON D
a es la inercia]
transforma en
egrando,
que r decrece
= In ℓ y
Cuando r → 0,
mas com
centro de mag
verificar el val
6 kg, ordenad
o sin fricción
ncuentra más
DEL MOVIM
] ("fuerza cen
n
. Finalmente,
, t ∞ , y la par
mplementa
ga en el proble
lor de m que
dos de menor
de 60°. Se ap
alto, provoca
MIENTO
ntrífuga") mrω
rtícula no lleg
arios
ema 4.9 no ca
se encontró e
r a mayor se
plica una fuer
ando un movim
ω2
que tiene la
gará a O en un
ambia cuando
n el problema
conectan por
rza de 120 N
miento hacia a
49
a dirección
n tiempo
se desecha
a 4.9.
r medio de
a lo largo
arriba de

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