Exposé de ma doctorante Cindie Andrieu effectué à l'IFSTTAR (BRON) en 2013. Ces travaux portent sur la modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence adapté à l’infrastructure. Cette thèse est lauréate ex-aequo du "Prix de la chaire Abertis France" décerné par le concessionnaire autoroutier espagnol Abertis, l'école des Ponts ParisTech et l'IFSTTAR. Ce prix récompense des travaux dans le domaine de la gestion des infrastructures de transport.

1. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de
référence adapté à l’infrastructure
Cindie Andrieu
Directeur de thèse : X. Bressaud (Université Paul Sabatier, Institut de
Mathématiques de Toulouse)
Encadrant IFSTTAR : G. Saint Pierre (IFSTTAR, LIVIC)
Séminaire SERRES, Bron, 21-22 mars 2013
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 1 / 43

2. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 2 / 43

3. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Gestion de la vitesse
La connaissance de la vitesse réelle pratiquée sur nos routes est
essentielle pour :
Situer les points noirs du réseau
Améliorer la connaissance des temps de parcours
Connaître les effets de modification de l’infrastructure (ajout
de dos d’ânes, rond-point, ...)
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 3 / 43

4. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Objet d’étude
Profils spatiaux de vitesse = vitesse vs position
Objectif : Construire un profil de vitesse de référence
"profil moyen"
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 4 / 43

5. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Profil de vitesse de référence
A quoi ça sert ?
Fournir une vitesse de consigne aux systèmes d’aides à la conduite
embarqués (Intelligent Speed Adaptation Systems) et aux véhicules
"intelligents" (ex : Google Car).
Informer les gestionnaires d’infrastructure de l’impact d’une modification
de l’infrastructure (ajout de ronds-points, de ralentisseurs).
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 5 / 43

6. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Profil de vitesse de référence
A quoi ça sert ?
Fournir une vitesse de consigne aux systèmes d’aides à la conduite
embarqués (Intelligent Speed Adaptation Systems) et aux véhicules
"intelligents" (ex : Google Car).
Informer les gestionnaires d’infrastructure de l’impact d’une modification
de l’infrastructure (ajout de ronds-points, de ralentisseurs).
Profils de vitesse de référence actuels ?
Vitesse de conception (basée sur la géométrie de la route).
Inconvénient : nécessite une information très précise de la géométrie de la
route (pente, devers, ...).
V85 (vitesse en dessous de laquelle circulent 85% des véhicules libres).
Inconvénient : fournit plutôt une borne supérieure (vitesse sécuritaire à ne
pas dépasser) sans tenir compte des conditions de conduite (ex : météo,
état des feux).
Limitation de vitesse.
Inconvénient : c’est une borne supérieure.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 5 / 43

7. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Moyen de collecte des données
Véhicules traceurs = capteurs mobiles
Mesures continues de la vitesse et de la position tout au long du
trajet.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 6 / 43

8. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Moyen de collecte des données
Véhicules traceurs = capteurs mobiles
Mesures continues de la vitesse et de la position tout au long du
trajet.
Actuellement : flottes privées (taxis, bus, ...).
Non représentatif de l’usage réel du réseau. Instrumentation lourde.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 6 / 43

9. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Moyen de collecte des données
Véhicules traceurs = capteurs mobiles
Mesures continues de la vitesse et de la position tout au long du
trajet.
Actuellement : flottes privées (taxis, bus, ...).
Non représentatif de l’usage réel du réseau. Instrumentation lourde.
Futur proche : Toute personne équipée d’un smartphone.
Instrumentation légère.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 6 / 43

10. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Objectifs
Utiliser les mesures répétées de vitesses réellement pratiquées issues
de véhicules traceurs.
Développer une méthodologie statistique permettant d’extraire
divers profils de vitesse de référence, chacun étant adapté à une
situation de conduite (feu rouge ou vert, trafic libre ou contraint, ...)
Approche statistique fondée sur le comportement longitudinal
adopté par les utilisateurs de la route
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 7 / 43

11. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Objectifs
Utiliser les mesures répétées de vitesses réellement pratiquées issues
de véhicules traceurs.
Développer une méthodologie statistique permettant d’extraire
divers profils de vitesse de référence, chacun étant adapté à une
situation de conduite (feu rouge ou vert, trafic libre ou contraint, ...)
Approche statistique fondée sur le comportement longitudinal
adopté par les utilisateurs de la route
En pratique : profil spatial de vitesse = succession de mesures horodatées
de position et de vitesse.
Originalité de notre approche : Traiter les profils de vitesse comme des
fonctions et non comme des vecteurs de Rn
(Functional Data Analysis).
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 7 / 43

12. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 8 / 43

13. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Quand les données sont des courbes
Données de nature continue (courbes, images...) dans de
nombreux domaines. Ex : chimiométrie, météorologie,
traitement d’images, ...
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 9 / 43

14. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Quand les données sont des courbes
Données de nature continue (courbes, images...) dans de
nombreux domaines. Ex : chimiométrie, météorologie,
traitement d’images, ...
En pratique, observations en un nombre fini de points de
discrétisation ⇒ utilisation de méthodes statistiques
multivariées usuelles ?
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 9 / 43

15. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Quand les données sont des courbes
Données de nature continue (courbes, images...) dans de
nombreux domaines. Ex : chimiométrie, météorologie,
traitement d’images, ...
En pratique, observations en un nombre fini de points de
discrétisation ⇒ utilisation de méthodes statistiques
multivariées usuelles ?
Méthodes classiques inadéquates lorsque la fréquence
d’échantillonnage est élevée :
fléau de la dimension ;
Forte corrélation entre les points de discrétisation d’une même
courbe.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 9 / 43

16. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Quand les données sont des courbes
Données de nature continue (courbes, images...) dans de
nombreux domaines. Ex : chimiométrie, météorologie,
traitement d’images, ...
En pratique, observations en un nombre fini de points de
discrétisation ⇒ utilisation de méthodes statistiques
multivariées usuelles ?
Méthodes classiques inadéquates lorsque la fréquence
d’échantillonnage est élevée :
fléau de la dimension ;
Forte corrélation entre les points de discrétisation d’une même
courbe.
Solution : Traiter les données comme des fonctions et non
comme des vecteurs de Rn.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 9 / 43

17. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Avantages de l’AFD
Permet de prendre en compte la structure sous-jacente
fonctionnelle des données : dérivées, intégrales, déphasage de
deux courbes, ...
Développement de méthodes classiques adaptées aux données
fonctionnelles : modèles linéaires, ACP, analyse discriminante,
classification ...
Développement de méthodes spécifiques : recalage de courbes.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 10 / 43

18. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 11 / 43

19. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Lien entre vitesse, position et temps
En pratique : profil spatial de vitesse = succession de mesures horodatées
de position et de vitesse.
Conséquence : Un profil spatial de vitesse peut être manipulé dans les
trois espaces suivants :
Figure: Lien entre les trois espaces : [position × temps], [vitesse × temps] et
[vitesse × position].
Principale difficulté : Assurer la correspondance entre vitesse et position
(et implicitement temps) afin de préserver les caractéristiques
dynamiques d’un profil de vitesse valide.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 12 / 43

20. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Définition de l’espace ESSP
Définition
Soit xf ∈ R+. Alors l’espace des profils de vitesse spatiaux est
défini de la façon suivante :
ESSP = {vS : [0, xf ] −→ R+ tel qu’il existe un réel positif T et une
fonction C2 croissante F : [0, T] −→ [0, xf ] avec F(0) = 0 tels que
vS (x) = F (F−1(x)), x ∈ [0, xf ]}
où F−1
est l’inverse généralisée de F défini par
F−1
(x) = inf {t ∈ [0, T], F(t) = x}.
Figure: Diagramme fonctionnel.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 13 / 43

21. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Propriétés de l’espace ESSP
Propriétés
Positivité
Continuité
Sous certaines hypothèses (faibles), non dérivabilité en tout point de
H0 = {x ∈ [0, xf ], vS (x) = 0}.
Figure: Point de rebroussement de 1ère
espèce.
La somme de deux profils spatiaux de vitesse n’est pas toujours un
profil spatial de vitesse (cas où l’un s’annule en x0 mais pas l’autre).
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 14 / 43

22. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 15 / 43

23. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Introduction
Données : mesures bruitées (yi , xi ), i = 1, . . . , n, de la position et de la
vitesse du véhicule issues de capteurs.
Objectif : Estimer au mieux le vrai profil vS par un estimateur vS .
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 16 / 43

24. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Introduction
Données : mesures bruitées (yi , xi ), i = 1, . . . , n, de la position et de la
vitesse du véhicule issues de capteurs.
Objectif : Estimer au mieux le vrai profil vS par un estimateur vS .
Modélisation : Modèle de régression non paramétrique :
yi = vS (xi ) + εi , i = 1, . . . , n
où les εi sont les erreurs non corrélés entre elles, de moyenne 0 et de
variance σ2
et vS est la fonction de régression que l’on cherche à estimer.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 16 / 43

25. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Introduction
Données : mesures bruitées (yi , xi ), i = 1, . . . , n, de la position et de la
vitesse du véhicule issues de capteurs.
Objectif : Estimer au mieux le vrai profil vS par un estimateur vS .
Modélisation : Modèle de régression non paramétrique :
yi = vS (xi ) + εi , i = 1, . . . , n
où les εi sont les erreurs non corrélés entre elles, de moyenne 0 et de
variance σ2
et vS est la fonction de régression que l’on cherche à estimer.
Contrainte : L’estimateur vS doit appartenir à l’espace ESSP des profils
spatiaux de vitesse ⇒ Non dérivabilité en tout point de
H0 = {x ∈ [0, xf ], vS (x) = 0}
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 16 / 43

26. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Changement d’espace d’étude
Figure: Lien entre les trois espaces : [position × temps], [vitesse × temps] et
[vitesse × position].
Principe : On se place dans l’espace [position × temps] et l’on cherche à
estimer la fonction F représentant la distance parcourue au cours du temps.
Modèle de régression non paramétrique :
yi = F(ti ) + εi , i = 1, . . . , n
où les yi sont les "observations" bruitées de la distance parcourue (obtenues
avec l’un des deux estimateurs de position), les εi sont les erreurs non corrélés
entre elles, de moyenne 0 et de variance σ2
et F(t) est la fonction de régression
que l’on cherche à estimer.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 17 / 43

27. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Changement d’espace d’étude
Figure: Lien entre les trois espaces : [position × temps], [vitesse × temps] et
[vitesse × position].
Principe : On se place dans l’espace [position × temps] et l’on cherche à
estimer la fonction F représentant la distance parcourue au cours du temps.
Modèle de régression non paramétrique :
yi = F(ti ) + εi , i = 1, . . . , n
Avantage : La seule contrainte sur l’estimateur F est une contrainte de monoto-
nie.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 17 / 43

28. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Changement d’espace d’étude
Figure: Lien entre les trois espaces : [position × temps], [vitesse × temps] et
[vitesse × position].
Principe : On se place dans l’espace [position × temps] et l’on cherche à
estimer la fonction F représentant la distance parcourue au cours du temps.
Modèle de régression non paramétrique :
yi = F(ti ) + εi , i = 1, . . . , n
On en déduit une estimation du profil spatial de vitesse par :
vS (x) = F (F−1
(x))
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 17 / 43

29. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 18 / 43

30. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Construction des fonctions
Principe : Décomposition de la fonction F dans une base de fonctions :
F(t) =
K
k=1
ck φk (t)
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 19 / 43

31. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Construction des fonctions
Principe : Décomposition de la fonction F dans une base de fonctions :
F(t) =
K
k=1
ck φk (t)
Exemples de base de fonctions :
monômes (fonctions polynomiales)
base de Fourier (fonctions périodiques)
splines (polynômes par morceaux)
ondelettes, . . .
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 19 / 43

32. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Construction des fonctions
Principe : Décomposition de la fonction F dans une base de fonctions :
F(t) =
K
k=1
ck φk (t)
Exemples de base de fonctions :
monômes (fonctions polynomiales)
base de Fourier (fonctions périodiques)
splines (polynômes par morceaux)
ondelettes, . . .
Intérêt :
expression explicite de F ;
cadre d’étude de dim. finie (même si F ∈ espace de dim. infinie) ;
réduction de la dimension (généralement K n) ;
possibilité d’effectuer des opérations fonctionnelles telles que la
dérivée.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 19 / 43

33. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Méthode de régularisation : lissage avec pénalité
Principe : Contrôler la régularité de la fonction par l’ajout d’une
pénalité.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 20 / 43

34. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Méthode de régularisation : lissage avec pénalité
Principe : Contrôler la régularité de la fonction par l’ajout d’une
pénalité.
Minimisation du critère des moindres carrés pénalisés :
PENSSEλ =
n
i=1
(yi − F(ti ))2
Fidélité aux donnés
+λ
T
0
(F(m)
(t))2
dt
Régularité
où λ est le paramètre de lissage qui contrôle le compromis
biais-variance.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 20 / 43

35. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Méthode de régularisation : lissage avec pénalité
Principe : Contrôler la régularité de la fonction par l’ajout d’une
pénalité.
Minimisation du critère des moindres carrés pénalisés :
PENSSEλ =
n
i=1
(yi − F(ti ))2
Fidélité aux donnés
+λ
T
0
(F(m)
(t))2
dt
Régularité
où λ est le paramètre de lissage qui contrôle le compromis
biais-variance.
Choix du paramètre λ :
Méthodes de sélection automatique (CV, GCV) ;
Sélection "à la main".
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 20 / 43

36. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Existence et unicité des splines de lissage
On suppose que F appartient à l’espace de Sobolev :
W m
[0, T] = {f : f , f , . . . , f (m−1)
absolument continues
et f (m)
∈ L2[0, T]}
Alors dans cet espace, il existe une unique fonction F qui minimise
n
i=1
(yi − F(ti ))2
+ λ
T
0
(F(m)
(t))2
dt
Cette fonction est une spline polynomiale naturelle d’ordre 2m
ayant pour noeuds les points d’échantillonnage t1, . . . , tn.
Remarque : Généralement, m = 2 : spline cubique.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 21 / 43

37. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 22 / 43

38. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Splines de lissage : utilisation de la théorie des RKHS
Lissage à partir d’observations sur f et f’ :
yi = f (ti ) + εi , i = 1, . . . , n
yi = f (ti ) + εi , i = 1, . . . , n
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 23 / 43

39. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Splines de lissage : utilisation de la théorie des RKHS
Lissage à partir d’observations sur f et f’ :
yi = f (ti ) + εi , i = 1, . . . , n
yi = f (ti ) + εi , i = 1, . . . , n
Critère à minimiser dans l’espace de Sobolev H = W m
[0, T] :
1
n
{
n
i=1
wi (yi −f (ti ))2
+
n
i=1
(1−wi )(yi −f (ti ))2
}+λ
T
0
(f (m)
(t))2
dt (1)
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 23 / 43

40. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Splines de lissage : utilisation de la théorie des RKHS
Lissage à partir d’observations sur f et f’ :
yi = f (ti ) + εi , i = 1, . . . , n
yi = f (ti ) + εi , i = 1, . . . , n
Critère à minimiser dans l’espace de Sobolev H = W m
[0, T] :
1
n
{
n
i=1
wi (yi −f (ti ))2
+
n
i=1
(1−wi )(yi −f (ti ))2
}+λ
T
0
(f (m)
(t))2
dt (1)
On décompose H = H0 H1 où H0 = vect{φν, ν = 1, . . . , m} (e.v. de
dim. finie) et H1 est un RKHS de noyau R1(s, t).
D’après le th. de Kimeldorf et Wahba, le critère (1) admet un unique
minimum donné par :
f (t) =
m
ν=1
dνφν(t) +
n
i=1
ci R1(ti , t) +
n
i=1
ci
∂
∂s
R1(s, t)|s=ti
où les coefficients dν, ci et ci sont estimés à partir des observations.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 23 / 43

41. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 24 / 43

42. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Lissage monotone : méthode de J. Ramsay (1998)
Principe : Se ramener à un problème de lissage sans contraintes.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 25 / 43

43. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Lissage monotone : méthode de J. Ramsay (1998)
Principe : Se ramener à un problème de lissage sans contraintes.
Idée : Toute fonction f strict. monotone vérifie l’équation
différentielle suivante :
D2
f (t) = w(t)Df (t)
où w(t) est une fonction sans contraintes.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 25 / 43

44. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Lissage monotone : méthode de J. Ramsay (1998)
Principe : Se ramener à un problème de lissage sans contraintes.
Idée : Toute fonction f strict. monotone vérifie l’équation
différentielle suivante :
D2
f (t) = w(t)Df (t)
où w(t) est une fonction sans contraintes.
Par conséquent, toute fonction f strict. monotone peut s’écrire sous
la forme (sol. de l’ODE) :
f (t) = β0 + β1
t
0
exp[
u
0
w(v)dv]du
Le problème revient alors à estimer la fonction w(t) (non
contrainte) et les constantes β0 et β1.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 25 / 43

45. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 26 / 43

46. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Données brutes : Section de 1500m avec un stop et un feu.
q
0 50 100 150 200
050010001500
Distance as function of time (42 curves)
Raw data (odometer)
Time (sec)
Distance(m)
q
0 50 100 150 200
020406080
Speed as function of time (42 curves)
Raw data (speed Bus CAN)
Time (sec)
Speed(km/h)
q
0 500 1000 1500
020406080
Speed as function of Distance (42 curves)
Raw data (speed Bus CAN vs odometer)
Distance (m)
Speed(km/h)
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 27 / 43

47. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Lissage avec obs. sur la dérivée puis lissage monotone.
q
0 50 100 150 200
050010001500
Distance as function of time (42 curves)
Smoothing spline (quintic) using derivative info and monotonization
Time (sec)
Distance(m)
q
0 50 100 150 200
020406080
Speed as function of time (42 curves)
Smoothing spline (quintic) using derivative info and monotonization
Time (sec)
Speed(km/h)
q
0 500 1000 1500
020406080
Speed as function of Distance (42 curves)
Smoothing spline (quintic) using derivative info and monotonization
Distance (m)
Speed(km/h)
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 28 / 43

48. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Profils moyens : cas feu rouge / feu vert
0 500 1000 1500
020406080
Speed as function of Distance (25 curves + mean curve)
Red light case
Distance (m)
Speed(km/h)
mean curve
0 500 1000 1500
020406080
Speed as function of Distance (17 curves + mean curve)
Green light case
Distance (m)
Speed(km/h)
mean curve
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 29 / 43

49. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 30 / 43

50. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Recalage des courbes : alignement à partir de landmarks
Def : landmarks = ensemble de points caractéristiques d’une courbe
(ex : position de maxima, de minima, de points d’inflexion).
Principe : déterminer des transformations qui mettent en
correspondance les landmarks qui sont communs à l’ensemble des
courbes devant être recalés.
Exemple de 2 courbes : On suppose que l’on dispose de deux
ensembles de N landmarks (τ1,1, . . . , τ1,N) et (τ2,1, . . . , τ2,N)
obtenus à partir de la forme des courbes f1 et f2.
On cherche alors une application u, strictement croissante, telle que
pour tout i = 1, . . . , N : τ2,i = u(τ1,i )
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 31 / 43

51. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Profils moyens après recalage : cas feu rouge / feu vert
0 500 1000 1500
020406080
Speed as function of Distance : registered curves (25 curves + mean curve)
Red light case
Distance (m)
Speed(km/h)
mean curve
0 500 1000 1500
020406080
Speed as function of Distance : registered curves (17 curves + mean curve)
Green light case
Distance (m)
Speed(km/h)
mean curve
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 32 / 43

52. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 33 / 43

53. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Boxplots classiques
qq
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
qq
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
qqq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
qq
qqqq
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqqqq
q
qqqqqqqqq
0 500 1000 1500
020406080
Pointwise Boxplots (25 curves − distance sampling : 10m)
Red light case
Distance (m)
Speed(km/h)
q
q
q
q
qqq
q
qqqqqq
q
qqqqq
q
q
q
q
qqq qqqqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
0 500 1000 1500
020406080
Pointwise Boxplots (17 curves − distance sampling : 10m)
Green light case
Distance (m)
Speed(km/h)
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 34 / 43

54. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Functional Boxplots (Sun and Genton, 2011)
Idée : Etendre la notion classique de boxplots au cas fonctionnel.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 35 / 43

55. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Functional Boxplots (Sun and Genton, 2011)
Idée : Etendre la notion classique de boxplots au cas fonctionnel.
Principe : Ordonner les courbes par leur "profondeur".
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 35 / 43

56. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Functional Boxplots (Sun and Genton, 2011)
Idée : Etendre la notion classique de boxplots au cas fonctionnel.
Principe : Ordonner les courbes par leur "profondeur".
Exemples de profondeur :
Band depth : BD(f ) = nombre de bandes contenant la courbe
f par rapport au nombre total de bandes.
Modified Band depth : MBD(f ) = prend en compte le % de
temps que f appartient à chaque bande. (Si f appartient
entièrement à chaque bande, alors MBD(f ) = BD(f ))
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 35 / 43

57. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Functional Boxplots (Sun and Genton, 2011)
Idée : Etendre la notion classique de boxplots au cas fonctionnel.
Principe : Ordonner les courbes par leur "profondeur".
Exemples de profondeur :
Band depth : BD(f ) = nombre de bandes contenant la courbe
f par rapport au nombre total de bandes.
Modified Band depth : MBD(f ) = prend en compte le % de
temps que f appartient à chaque bande. (Si f appartient
entièrement à chaque bande, alors MBD(f ) = BD(f ))
La médiane est la courbe ayant la plus grande valeur de profondeur.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 35 / 43

58. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Functional Boxplots
0 500 1000 1500
020406080
Enhanced functional boxplot with Modified Band Depth (25 curves)
Red light case
Distance (m)
Speed(km/h)
25% central region 50% central region 75% central region
0 500 1000 1500
020406080
Enhanced functional boxplot with Modified Band Depth (17 curves)
Green light case
Distance (m)
Speed(km/h)
25% central region 50% central region 75% central region
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 36 / 43

59. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Exemples de profils de vitesse de référence
0 500 1000 1500
020406080
Examples of reference speed profiles (case red light)
dist_eval
median_mbd_redlight.vec*3.6
mean median (MBD) V85
0 500 1000 1500
020406080
Examples of reference speed profiles (case green light)
dist_eval
median_mbd_greenlight.vec*3.6
mean median (MDB) V85
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 37 / 43

60. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Functional boxplots : application à l’éco-conduite
0 500 1000 1500
020406080
Enhanced Functional boxplot with Modified Band Depth (14 curves)
Normal driving − Red light case
Distance (m)
Speed(km/h)
25% central region 50% central region 75% central region
0 500 1000 1500
020406080
Enhanced Functional boxplot with Modified Band Depth (11 curves)
Eco driving − Red light case
Distance (m)
Speed(km/h)
25% central region 50% central region 75% central region
0 500 1000 1500
020406080
Enhanced Functional boxplot with Modified Band Depth (7 curves)
Normal driving − Green light case
Distance (m)
Speed(km/h)
25% central region 50% central region 75% central region
0 500 1000 1500
020406080
Enhanced Functional boxplot with Modified Band Depth (10 curves)
Eco driving − Green light case
Distance (m)
Speed(km/h)
25% central region 50% central region 75% central region
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 38 / 43

61. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Plan
1 Introduction
Contexte
Objectifs
2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)
3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse
Définition
Propriétés
4 Lissage sous contraintes
Changement d’espace d’étude
Des données brutes aux fonctions : l’étape de lissage
1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse
2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie
5 Application
Des données brutes aux courbes
Recalage de courbes
Enveloppes de vitesses
6 Conclusion
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 39 / 43

62. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Conclusion
Application de l’Analyse des Données Fonctionnelles aux profils
de vitesse :
permet de garder le caractère fonctionnel sous-jacent des
données ;
facilite le calcul des dérivées et intégrales ;
utilisation de méthodes spécifiques : recalage de courbes.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 40 / 43

63. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Conclusion
Application de l’Analyse des Données Fonctionnelles aux profils
de vitesse :
permet de garder le caractère fonctionnel sous-jacent des
données ;
facilite le calcul des dérivées et intégrales ;
utilisation de méthodes spécifiques : recalage de courbes.
Développement de méthodes de lissage appropiées aux profils
de vitesse :
splines de lissage (permet de contrôler le degré de lissage avec
un unique paramètre) ;
généralisation des splines de lissage au cas où l’on dispose
d’observations sur f et sa dérivée f ;
lissage sous contraintes de monotonie.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 40 / 43

64. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Perspectives
Exemples d’application de la construction d’enveloppes de vitesse :
développement d’un système ISA basé sur les vitesses
pratiquées ;
étude de l’impact (sécuritaire, environnemental) d’une
modification de l’infrastructure ;
enrichissement des cartes numériques (détection d’éléments de
l’infrastructure).
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 41 / 43

65. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Merci de votre attention
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 42 / 43

66. Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion
Bibliographie
Ramsay, J.O. and Silverman, B.W. (2005)
Functional Data Analysis, Second Edition.
Springer Series in Statistics.
Berlinet, A. and Thomas-Agnan, C. (2004)
Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics.
Kluwer Academic.
Wang Y. (2011)
Smoothing Splines : Methods and Applications.
Chapman and Hall/CRC
Ramsay, J. (1998)
Estimating smooth monotone fonctions.
Journal of the Royal Statistical Society : Series B, vol. 60(2), pp. 365-375.
Sun, Y. and Genton, M. G. (2011)
Functional boxplots.
Journal of Computational and Graphical Statistics 20 : 316-334.
Andrieu, C. and Saint Pierre, G. and Bressaud, X. (2012)
Modélisation fonctionnelle et lissage sous contraintes d’un profil spatial de vitesse.
44ème Journées de Statistique, Bruxelles, Belgique.
Andrieu, C. and Saint Pierre, G. and Bressaud, X. (2013)
Estimation of space-speed profiles : A functional approach using smoothing splines.
IV2013, Gold Coast, Australia.
Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 43 / 43