5. Cap´ıtulo 1
S´eries
Esse texto ainda n˜ao se encontra na sua vers˜ao final, sendo, por enquanto, cons-
titu´ıdo apenas de anota¸c˜oes informais. Sugest˜oes para melhoria do texto, corre¸c˜oes da
parte matem´atica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
1.1 Nota¸c˜oes
Usaremos o ∆ para simbolizar o operador que faz a diferen¸ca de termos consecutivos
de uma fun¸c˜ao
∆f(x) := f(x + 1) − f(x).
A nota¸c˜ao Q para denotar o operador que faz o quociente,
Qf(x) =
f(x + 1)
f(x)
.
1.2 Defini¸c˜ao e conceitos b´asicos
Vamos definir o somat´orio como
s∑
k=s
f(k) = f(s) ∀ s ∈ Z
b∑
k=a
f(k) =
p
∑
k=a
f(k) +
b∑
k=p+1
f(k) ∀ b, a, p ∈ Z.
4
6. CAP´ITULO 1. S´ERIES 5
Perceba que n˜ao colocamos limita¸c˜ao em b, a e p inteiros , na defini¸c˜ao acima podemos
ter b < a. Em especial tomando p = a − 1 na identidade acima segue que
b∑
k=a
f(k) =
a−1∑
k=a
f(k) +
b∑
k=a
f(k)
logo deve valer
a−1∑
k=a
f(k) = 0 que ´e chamada de soma vazia .
Defini¸c˜ao 1 (S´erie). Sejam a ∈ Z, A um conjunto indutivo que contenha a ,
f(k) : A → R uma fun¸c˜ao . Chamamos de s´erie o limite do somat´orio
lim s(n) = lim
n∑
k=a
f(k) :=
∞∑
k=a
f(k)
, caso o limite exista, onde
s(n) =
n∑
k=a
f(k).
Se existir o limite de s(n) com lim s(n) = s diremos que a s´erie ´e convergente e sua soma
´e s.
Se o limite lim s(n) n˜ao existir diremos que a s´erie diverge. A soma finita s(n) =
n∑
k=a
f(k) ´e chamada reduzida de ordem n ou n−´esima soma parcial da s´erie
∞∑
k=a
f(k) . Se
a s´erie ´e divergente, pode acontecer de lim s(n) = ∞, lim s(n) = −∞ ou a soma oscilar1
.
Se (sn) converge diremos que
∞∑
k=a
f(k) converge caso (sn) seja divergente diremos que
∞∑
k=a
f(k) diverge , apesar de
∞∑
k=a
f(k) ser um n´umero real, caso haja convergˆencia e n˜ao
haver n´umero associado a
∞∑
k=a
f(k) caso haja divergˆencia, tal uso ´e feito apenas no sentido
de nota¸c˜ao . Caso a s´erie seja convergente dizemos tamb´em que (f(k)) ´e som´avel .
Propriedade 1. Toda sequˆencia (xn) de n´umeros reais pode ser considerada como a
sequˆencia das reduzidas de uma s´erie.
Demonstra¸c˜ao. Supondo
xn =
n∑
k=1
ak
1
Quando (s(n)) diverge e lims(n) ̸= ∞ e lims(n) ̸= −∞.
7. CAP´ITULO 1. S´ERIES 6
aplicando ∆ segue
∆xn = an+1
e para n = 1, x1 =
1∑
k=1
ak = a1, se n = 0 temos x0 =
0∑
k=1
ak = 0 por ser uma soma vazia
n∑
k=1
ak =
n−1∑
k=0
ak+1 =
n−1∑
k=0
∆xk = xk
n
1
= xn − x0 = xn.
Se ∆xn = an+1 n˜ao implica que an = ∆xn−1, pois a primeira vale para n ≥ 0 natural
a segunda n˜ao vale para n = 0.
Exemplo 1. Encontrar o erro na manipula¸c˜ao
0 = 0 + 0 · · · =
= (1 − 1) + (1 − 1) + · · · =
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1
logo 1 = 0.
Come¸camos com uma s´erie
∞∑
k=1
ak onde cada ak = 0 = 1 − 1, isto ´e, a soma dos
elementos da sequˆencia (0, 0, · · · ) ent˜ao at´e a segunda linha tudo est´a correto, por´em na
terceira linha tratamos o termo da s´erie somada como os termos da sequˆencia (1, −1 +
1, −1 + 1, · · · ) que ´e uma s´erie diferente da s´erie inicial
1.2.1 Mudan¸ca de vari´avel em s´eries
Propriedade 2 (Mudan¸ca de vari´avel em s´eries). Por mudan¸ca de vari´avel temos que
se g(n) =
n∑
k=a
f(k) ent˜ao g(n) =
n+t∑
k=a+t
f(k−t) com lim n = ∞ temos tamb´em lim n+t = ∞
logo
lim
n∑
k=a
f(k) = lim
n+t∑
k=a+t
f(k − t) =
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a+t
f(k − t).
Logo se temos uma s´erie
∞∑
k=a
f(k) podemos somar t aos limites (t + ∞ = ∞, t + a),
subtraindo t do argumento da fun¸c˜ao
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a+t
f(k − t).
8. CAP´ITULO 1. S´ERIES 7
Propriedade 3 (Produto por −1). Por propriedade de somat´orios se g(n) =
n∑
k=a
f(k)
ent˜ao g(n) =
−a∑
k=−n
f(−k) com lim n = ∞ temos lim −n = −∞ e
lim
n∑
k=a
f(k) = lim
−a∑
k=−n
f(−k) =
∞∑
k=a
f(k) =
−a∑
k=−∞
f(−k).
∞∑
k=a
f(k) =
−a∑
k=−∞
f(−k).
Propriedade 4. Sejam
∞∑
k=a
f(k) e c um n´umero real diferente de zero ent˜ao
∞∑
k=a
f(k)
´e convergente sse
∞∑
k=a
cf(k) ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao. Se g(n) =
n∑
k=a
f(k) ´e convergente, existe o limite lim g(n) , vale
tamb´em c.g(n) = c
n∑
k=a
f(k) =
n∑
k=a
c.f(k) e existe o limite lim c.g(n) = c lim g(n) impli-
cando que a s´erie
∞∑
k=a
cf(k) = c
∞∑
k=a
f(k) ´e convergente.
Se h(n) =
n∑
k=a
cf(k) = cg(n) ent˜ao g(n) =
n∑
k=a
f(k), sendo h(n) convergente, ent˜ao
lim h(n) = d para algum d real e vale lim
h(n)
c
= lim g(n) como c ̸= 0 tem-se lim g(n) =
lim h(n)
c
=
d
c
que existe de onde segue que lim g(n) =
∞∑
k=a
f(k) ´e convergente.
Propriedade 5. Sejam
∞∑
k=as
fs(k) convergente pra toda express˜ao fs(k), gs(n) =
n∑
k=as
fs(k) , as n´umeros inteiros e cs n´umeros reais, para todo s ∈ [1, p]N , ent˜ao
p
∑
s=1
cs
∞∑
k=as
fs(k)
converge.
Demonstra¸c˜ao. Considerando a soma
p
∑
s=1
csgs(n) como os limites lim gs(n) exis-
tem e pela propriedade de soma de limites segue que existe o limite:
lim
p
∑
s=1
csgs(n) =
p
∑
s=1
cs lim gs(n) =
p
∑
s=1
∞∑
k=as
fs(k).
9. CAP´ITULO 1. S´ERIES 8
1.2.2 Condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries
Propriedade 6 (Condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries). Se s(n) =
n∑
k=a
ak
converge ent˜ao lim ak = 0.
Demonstra¸c˜ao. Temos que se lim a(n) = s e tamb´em lim s(n + 1) = s e
s(n + 1) − s(n) =
n+1∑
k=a
ak −
n∑
k=a
ak = an+1
logo
lim s(n + 1) − s(n) = lim an+1 = lim s(n + 1) − lim s(n) = s − s
assim lim an+1 = 0, lim an = 0.
Essa ´e uma condi¸c˜ao necess´aria por´em n˜ao suficiente para convergˆencia de s´eries.
Corol´ario 1. Se f(k) n˜ao tende a zero a s´erie n˜ao pode convergir. Esse crit´erio ´e
´util para provar que algumas s´eries divergem. Veremos depois que esse crit´erio n˜ao ´e
suficiente, pois existem s´eries em que o termo somado tende a zero mas a s´erie diverge,
como ´e o caso da s´erie harmˆonica.
Propriedade 7. Se
∞∑
k=1
ak ´e convergente ent˜ao
∞∑
k=1
a2k + a2k−1 ´e convergente e tem
mesma soma que a primeira s´erie.
Demonstra¸c˜ao.
Seja sn =
n∑
k=1
ak, ela converge, ent˜ao s2n =
2n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
a2k +
n∑
k=1
a2k−1 =
n∑
k=1
a2k +
a2k−1 tamb´em converge e tende ao mesmo limite de sn.
Exemplo 2. A s´erie
∞∑
k=1
a2k + a2k−1 pode convergir por´em
∞∑
k=1
ak, como ´e o caso de
tomar ak = (−1)k
a s´erie
∞∑
k=1
(−1)k
n˜ao converge pois lim(−1)k
̸= 0, por´em a2k + a2k−1 =
1 − 1 = 0 e a primeira s´erie converge.
Propriedade 8. A s´erie
∞∑
k=a
f(k) converge ⇔ a s´erie
∞∑
k=b
f(k) converge. Esta propri-
edade nos diz que o estado de convergˆencia da s´erie n˜ao ´e alterado pela redu¸c˜ao ou adi¸c˜ao
de um n´umero finito de termos, isto ´e, podemos alterar o limite inferior do somat´orio por
outro n´umero real e a convergˆencia da s´erie n˜ao se altera.
10. CAP´ITULO 1. S´ERIES 9
Demonstra¸c˜ao.Tomamos g(n) =
n∑
k=a
f(k) e h(n) =
n∑
k=b
f(k). Se b = a n˜ao temos
nada a mostrar, pois as s´eries ser˜ao iguais. Se b > a tem-se
g(n) =
n∑
k=a
f(k) =
b−1∑
k=a
f(k) +
n∑
k=b
f(k) =
b−1∑
k=a
f(k) + h(n)
g(n) −
b−1∑
k=a
f(k) = h(n)
supondo g(n) convergente e tomando o limite n → ∞ temos que no lado esquerdo te-
mos uma s´erie convergente e no lado direito a s´erie tamb´em ser´a convergente, se h(n) ´e
convergente, usamos que
g(n) =
b−1∑
k=a
f(k) + h(n)
tomando o limite tem-se que h(n) convergente implica g(n) convergente. Se a > b usamos
o mesmo procedimento
h(n) =
n∑
k=b
f(k) =
a−1∑
k=b
f(k) +
n∑
k=a
f(k) =
a−1∑
k=b
f(k) + g(n). (1.1)
h(n) −
a−1∑
k=b
f(k) = g(n) (1.2)
se g(n) converge usamos 1.1 se h(n) converge usamos 1.2.
Como o limite inferior do somat´orio n˜ao altera na convergˆencia, iremos em alguns
momentos denotar a s´erie sem o limite inferior, da seguinte maneira
∞∑
k
f(k) =
∞∑
f(k)
Exemplo 3 (S´erie geom´etrica). Vamos estudar a convergˆencia da s´erie
∞∑
k=0
ak
.
Se a = 1 temos a soma
n∑
k=0
1 = n + 1, lim
n∑
k=0
1 = ∞.
Se a ̸= 1 temos
n−1∑
k=0
ak
=
ak
a − 1
n
0
=
an
− 1
a − 1
11. CAP´ITULO 1. S´ERIES 10
quando a > 1 o limite lim an
= ∞, com a < −1 a sequˆencia alterna valores tomando
valores positivos para valores pares de n e negativos para valores ´ımpares de n, por´em
com valor absoluto crescente, o limite n˜ao existe nesse caso. Caso a = −1 o resultado da
soma finita ´e
n−1∑
k=0
(−1)k
=
(−1)n
− 1
−2
a sequˆencia alterna entre valor 0 para n par e 1 para n ´ımpar. Se |a| < 1 tem-se que
lim an
= 0 e o resultado da s´erie ´e
∞∑
k=0
ak
= lim
an
− 1
a − 1
=
−1
a − 1
=
1
1 − a
.
Podemos usar tamb´em a condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries. Temos que
ter lim an
= 0 , isto s´o acontece quando |a| < 1, ent˜ao estes s˜ao os ´unicos valores de a
para os quais a s´erie ´e convergente.
Exemplo 4. A s´erie
∞∑
k=0
a2
(1 + a2)k
converge com qualquer a ∈ R. Vale que 1 ≤ a2
+1 ∀ a ∈ R logo 0 <
1
1 + a2
≤ 1, portanto
a s´erie converge por ser s´erie geom´etrica. Sabemos que
∞∑
k=0
bk
=
1
1 − b
, substituindo
b =
1
a2 + 1
, chegamos no resultado
∞∑
k=0
1
(1 + a2)k
=
a2
+ 1
a2
⇒
∞∑
k=0
a2
(1 + a2)k
= a2
+ 1.
Exemplo 5. Mostrar que a s´erie
∞∑
n=a
(−1)n
an
n!
onde an =
n∏
k=1
2k diverge. Vamos chegar primeiro numa express˜ao para o termo geral
an =
n∏
k=1
2k =
n∏
k=1
2
n∏
k=1
k = 2n
.n!
12. CAP´ITULO 1. S´ERIES 11
logo a s´erie ´e
∞∑
n=a
(−1)n
2n
n!
n!
=
∞∑
n=a
(−1)n
2n
sendo bn = (−1)n
2n
o limite lim bn = lim(−1)n
2n
̸= 0 o limite n˜ao existe pois a sub-
sequˆencia b2n = 22n
tem limite +∞ e a subsequˆencia b2n+1 = −22n+1
tem limite −∞.
Exemplo 6. Dadas as s´eries
∞∑
k=1
ak e
∞∑
k=1
bk com an =
√
n + 1−
√
n , bn = log(1+
1
n
)
, mostre que lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-´esimas reduzidas sn e tn
destas s´eries e mostre que lim sn = lim tn = +∞.
sn =
n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
√
k + 1 −
√
k =
n∑
k=1
∆
√
k =
√
k
n+1
1
=
√
n + 1 − 1
logo lim sn = ∞
tn =
n∑
k=1
log(1+
1
k
) =
n∑
k=1
log(k+1)−log(k) =
n∑
k=1
∆log(k) = log(k)
n+1
1
= log(n+1)−log(1) = log(n+1)
logo lim tn = +∞. O limite dos termos das s´eries
an =
√
n + 1 −
√
n =
1
√
n + 1 +
√
n
lim an = 0
bn = log(1 +
1
n
)
0 < log(1 +
1
n
) =
log[(1 + 1
n
)n
]
n
≤
(1 + 1
n
)n
n
como lim(1+
1
n
)n
= e ent˜ao tal sequˆencia ´e limitada, logo lim
(1 + 1
n
)n
n
= 0 de onde segue
por teorema do sandu´ıche que lim log(1 +
1
n
) = 0. Usamos que log(n) < n. Assim temos
duas s´erie cujos termos gerais tendem a zero, por´em as s´eries divergem, esse exemplo
mostra que a condi¸c˜ao de lim f(k) = 0 em uma s´erie
∞∑
k=b
f(k) ser satisfeita n˜ao garante
que a s´erie ser´a convergente, a condi¸c˜ao ´e apenas uma condi¸c˜ao necess´aria.
Propriedade 9. Seja (ak) sequˆencia com ak ≥ 0 ∀ k ou ak ≤ 0 ∀ k. Nessas condi¸c˜oes
a s´erie
∞∑
k=a
ak converge ⇔ s(n) =
n∑
k=a
ak forma uma sequˆencia limitada.
13. CAP´ITULO 1. S´ERIES 12
Demonstra¸c˜ao. ⇒). Seja s(n) limitada com ak ≥ 0 ∀ k , temos que
s(n + 1) − s(n) = an+1 ≥ 0 ⇒ s(n + 1) ≥ s(n)
assim s(n) ´e uma sequˆencia crescente limitada superiormente, portanto ´e convergente. Se
ak ≤ 0 temos
s(n + 1) − s(n) = an+1 ≤ 0 ⇒ s(n + 1) ≤ s(n)
logo s(n) sendo limitada inferiormente e decrescente ´e convergente.
⇐).
Agora se a s´erie ´e convergente ent˜ao s(n) ´e limitada , pois toda sequˆencia convergente
´e limitada.
Defini¸c˜ao 2. Quando temos ak ≥ 0 e s(n) =
n∑
k=a
ak ´e limitada superiormente temos
que a s´erie
∞∑
k=a
ak converge, ent˜ao neste caso escrevemos
∞∑
k=a
ak < ∞ para simbolizar que
a s´erie
∞∑
k=a
ak com ak ≥ 0 ´e convergente.
1.2.3 Crit´erio de compara¸c˜ao
Propriedade 10 (Crit´erio de compara¸c˜ao). Sejam
∞∑
k=a
ak e
∞∑
k=a
bk s´eries de termos
n˜ao negativos. Se existem c > 0 e n0 ∈ N tais que ak ≤ cbk para todo k ≥ n0 ent˜ao :
1. A convergˆencia de
∞∑
k=a
bk implica a convergˆencia de
∞∑
k=a
ak .
2. A divergˆencia de
∞∑
k=a
ak implica a divergˆencia de
∞∑
k=a
bk.
Demonstra¸c˜ao.
1. De ak ≤ cbk segue
n∑
k=n0
ak
s(n)
≤ c
n∑
k=n0
bk
:=p(n)
se
n∑
k=a
bk converge ent˜ao
n∑
k=n0
bk converge de onde segue que s(n) ´e limitada supe-
riormente e como ´e crescente s(n) converge implicando a convergˆencia de
∞∑
k=a
bk
.
14. CAP´ITULO 1. S´ERIES 13
2. Agora se s(n) diverge, como ´e crescente seu limite ´e infinito , pois ela ´e ilimitada
superiormente, de c.p(n) ≥ s(n), p(n) ≥
s(n)
c
ent˜ao p(n) tamb´em ´e ilimitada su-
periormente e ainda por ser crescente tem limite infinito, logo a s´erie associada
p(n) =
n∑
k=n0
bk tende a infinito.
Exemplo 7. Mostrar que
∞∑
k=1
kk
= ∞.
De 1 < k elevamos a k, 1 < kk
aplicamos a soma
n∑
k=1
n =
n∑
k=1
1 <
n∑
k=1
kk
por compara¸c˜ao (como s˜ao s´eries de termos positivos) segue que
∞∑
k=1
kk
= ∞.
Exemplo 8. Se 0 < c e 1 < |a| ent˜ao
∑ 1
c + ak
converge.
Vale
1
c + ak
<
1
ak
e a segunda s´erie converge, logo por compara¸c˜ao a primeira converge.
Vamos usar o seguinte pequeno resultado em certas demonstra¸c˜oes.
Propriedade 11. Sejam (xn) e (yn) sequˆencias, se ∆xn = ∆yn para todo n, ent˜ao
xn = yn + c para alguma constante c.
Demonstra¸c˜ao. Aplicamos o somat´orio
n−1∑
k=1
em cada lado na igualdade ∆xk =
∆yk e usamos a soma telesc´opica, de onde segue
xn − x1 = yn − y1 ⇒ xn = yn + x1 − y1
=c
.
Corol´ario 2. Se ∆xn = ∆yn ∀ n e existe t ∈ N tal que xt = yt ent˜ao xn = yn para
todo n. Tal propriedade vale pois xn = yn + c, tomando n = t segue xt = yt + c que
implica c = 0, logo xn = yn para todo n.
Propriedade 12. Seja n > 0 ∈ N ent˜ao
n−1∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
2n−1∑
k=1
f(k).
15. CAP´ITULO 1. S´ERIES 14
Demonstra¸c˜ao.[1-Soma telesc´opica]
n−1∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
n−1∑
s=0
[
2s+1−1∑
k=0
f(k) −
2s−1∑
k=0
f(k)
g(s)
] =
n−1∑
s=0
∆g(s) = g(n) − g(0)
=0
=
2n−1∑
k=1
f(k).
Demonstra¸c˜ao.[2] Para n = 1
0∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
2−1∑
k=20
f(k) =
21−1∑
k=1
f(k)
Temos que
∆
n−1∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
2n+1−1∑
k=2n
f(k)
e
∆
2n−1∑
k=1
f(k) =
2n+1−1∑
k=1
f(k) −
2n−1∑
k=1
1
kr
=
2n+1−1∑
k=2n
f(k) +
2n−1∑
k=1
f(k) −
2n−1∑
k=1
f(k) =
2n+1−1∑
k=2n
f(k).
logo est´a provada a igualdade.
1.2.4 Crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy
Propriedade 13 (Crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy). Seja (xn) uma sequˆencia
decrescente de termos positivos ent˜ao
∑
xk converge ⇔
∑
2k
.x2k converge.
Demonstra¸c˜ao. Usaremos a identidade
n−1∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
2n−1∑
k=1
f(k).
⇒).
Vamos provar que se
∑
xk converge ent˜ao
∑
2k
.x2k converge, usando a contraposi-
tiva, que ´e equivalente logicamente, vamos mostrar que se
∑
2k
.x2k diverge ent˜ao
∑
xk
diverge.
Como xk ´e decrescente ent˜ao vale
2s
x2s+1 =
2s+1−1∑
k=2s
x2s+1 ≤
2s+1−1∑
k=2s
xk
16. CAP´ITULO 1. S´ERIES 15
aplicando
n−1∑
s=0
segue
1
2
n−1∑
s=0
2s+1
x2s+1 ≤
2n−1∑
k=1
xk
logo se
∑
2s
x2s diverge ent˜ao
∑
xk diverge.
⇐).
Vamos provar que se
∑
2k
.x2k converge ent˜ao ent˜ao
∑
xk converge, de maneira
direta. Usando que
2s+1−1∑
k=2s
xk ≤
2s+1−1∑
k=2s
x2s = 2s
x2s
aplicando
n−1∑
s=0
segue que
2n−1∑
k=1
xk ≤
n−1∑
s=0
2s
x2s
da´ı se
∑
2s
x2s converge ent˜ao
∑
xk converge .
Exemplo 9. A s´erie
∞∑
k=3
1
[ln(k)]s
diverge para qualquer valor real de s. Se s ≤ 0 o resultado vale pois temos s´erie com
soma de [ln(k)]−s
que n˜ao converge para zero, se s > 0 temos que ln(k + 1) > ln(k) logo
[ln(k + 1)]s
> [ln(k)]s
e da´ı
1
[ln(k)]s
>
1
[ln(k + 1)]s
ent˜ao a sequˆencia ´e decrescente de termos positivos e podemos aplica o crit´erio de con-
densa¸c˜ao de Cauchy
∞∑
k=3
2k
[k]s[ln(2)]s
tal s´erie diverge, pois o termo geral n˜ao tende a zero.
1.2.5 S´eries do tipo
∞∑
k=1
1
kp
e divergˆencia da s´erie harmˆonica.
Propriedade 14. A s´erie
∞∑
k=1
1
kp
converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
17. CAP´ITULO 1. S´ERIES 16
Demonstra¸c˜ao. Pelo crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy a s´erie
∞∑
k=1
1
kp
converge,
se e somente se,
∞∑
k=1
2k
2kp
=
∞∑
k=1
2k(1−p)
, tal s´erie geom´etrica converge se 1 − p < 0, isto ´e,
p > 1 e diverge caso 1 − p ≥ 0 ⇒ p ≤ 1.
Exemplo 10. Estudar a convergˆencia da s´erie
∞∑
k=1
(
√
k + 1 −
√
k)p
.
Primeiro racionalizamos o termo somado
√
k + 1 −
√
k =
(
√
k + 1 −
√
k)(
√
k + 1 +
√
k)
√
k + 1 +
√
k
=
k + 1 − k
√
k + 1 +
√
k
=
1
√
k + 1 +
√
k
,
√
k ≤
√
k + 1 ⇒ 2
√
k ≤
√
k + 1 +
√
k ⇒
1
√
k + 1 +
√
k
≤
1
2
√
k
,
elevando a p segue que
(
1
√
k + 1 +
√
k
)p
≤
1
2pk
p
2
por compara¸c˜ao se
p
2
> 1 ⇔ p > 2, a s´erie converge . De maneira similar
1
2p(k + 1)
p
2
≤ (
1
√
k + 1 +
√
k
)p
,
por compara¸c˜ao diverge caso
p
2
≤ 1.
Exemplo 11 (IME-1964). Estude a convergˆencia das s´eries.
1.
∞∑
k=1
1
3
√
k
.
2.
∞∑
k=1
1
ek
.
3.
∞∑
k=1
ln(k)
k
.
1. A primeira s´erie diverge pois
∞∑
k=1
1
k
1
3
´e uma s´erie do tipo
∞∑
k=1
1
kp
, com p =
1
3
< 1,
que vimos ser divergente.
18. CAP´ITULO 1. S´ERIES 17
2. A s´erie
∞∑
k=1
1
ek
, converge por ser s´erie geom´etrica com 0 <
1
e
< 1.
3. A s´erie
∞∑
k=1
ln(k)
k
diverge pois para k grande vale ln(k) > 1, da´ı
ln(k)
k
>
1
k
, como
∞∑
k=1
1
k
diverge, ent˜ao por compara¸c˜ao
∞∑
k=1
ln(k)
k
tamb´em diverge.
Exemplo 12. Calcular o limite
lim
n→∞
n∑
k=0
1
(n + k)r
para r > 1 real. Escrevemos o somat´orio como
n∑
k=0
1
(n + k)r
=
2n∑
k=n
1
(k)r
=
2n∑
k=1
1
(k)r
−
n−1∑
k=1
1
(k)r
com r > 1 cada uma das s´eries lim
n−1∑
k=1
1
(k)r
= s e lim
2n∑
k=1
1
(k)r
= s convergem e para o
mesmo valor, como a diferen¸ca dos limites ´e o limite da diferen¸ca em sequˆencias conver-
gentes, segue que
lim
n→∞
n∑
k=0
1
(n + k)r
= lim(
2n∑
k=1
1
(k)r
−
n−1∑
k=1
1
(k)r
) = lim
2n∑
k=1
1
(k)r
− lim
n−1∑
k=1
1
(k)r
= s − s = 0.
Propriedade 15. Se ak ≥ 0 ∀k ∈ N e (a′
k) ´e uma subsequˆencia de (ak) ent˜ao
∞∑
k=c
ak < ∞ implica que
∞∑
k=c
a′
k < ∞.
Demonstra¸c˜ao. Seja N1 o conjunto dos ´ındices da subsequˆencia (a′
k), definimos
ck = ak se k ∈ N1 e ck = 0 se k /∈ N1 para todo k natural, ent˜ao temos que ck ≤ ak pois
caso k ∈ N1 temos ck = ak caso k /∈ N1 ck = 0 ≤ ak logo em qualquer caso vale ck ≤ ak,
tomando a soma em ambos lados temos
g(n) =
n∑
k=c
ck ≤
n∑
k=c
ak < ∞
logo a soma dos termos da subsequˆencia g(n) ´e limitada superiormente e temos tamb´em
∆g(n) = cn+1 ≥ 0 pois se cn+1 = 0 vale cn+1 ≥ 0 e se cn+1 = an+1 e por propriedade da
19. CAP´ITULO 1. S´ERIES 18
sequˆencia (an) temos an+1 ≥ 0 de onde segue cn+1 = an+1 ≥ 0, ent˜ao a sequˆencia g(n) ´e
limitada superiormente e n˜ao-decrescente logo convergente e vale
∞∑
k=c
ck < ∞.
Mostramos ent˜ao que se (an) ´e uma sequˆencia tal que an ≥ 0 e a s´erie dos seus termos
converge ent˜ao dada qualquer subsequˆencia de de (a′
n) de (an) ent˜ao a s´erie dos termos
dessa subsequˆencia tamb´em converge.
1.2.6 Divergˆencia da s´erie harmˆonica.
Exemplo 13 (S´erie Harmˆonica). Os n´umeros harmˆonicos s˜ao definidos como
Hn =
n∑
k=1
1
k
temos que lim
1
n
= 0 satisfaz a condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries mas vamos
mostrar que a s´erie
lim Hn =
∞∑
k=1
1
k
= ∞
, isto ´e, a s´erie diverge.
Suponha que a s´erie harmˆonica seja convergente, denotando lim Hn = H Sejam N1 o
subconjunto de N dos´ındices pares e N2 o conjunto dos n´umeros´ımpares. Se Hn converge
temos que a s´erie sobre suas subsequˆencias tamb´em converge, sendo ent˜ao
n∑
k=1
1
2k − 1
= tn,
∞∑
k=1
1
2k − 1
= t
n∑
k=1
1
2k
= sn,
∞∑
k=1
1
2k
= s =
1
2
∞∑
k=1
1
k
=
H
2
temos H2n = sn + tn tomando o limite lim H2n = H = lim(sn + tn) = s + t , como s =
H
2
segue que t =
H
2
pois a soma deve ser H, desse modo a diferen¸ca t − s = 0, mas
tn − sn =
n∑
k=1
1
2k − 1
−
n∑
k=1
1
2k
=
n∑
k=1
1
(2k)(2k − 1)
=
1
2
+
n∑
k=2
1
(2k)(2k − 1)
> 0
logo
lim tn − sn = t − s > 0
de onde segue t > s que ´e absurdo. Pode-se mostrar que lim tn − sn = ln(2).
20. CAP´ITULO 1. S´ERIES 19
Exemplo 14. Na s´erie harmˆonica percebemos que
1
3
+
1
4
>
2
4
=
1
2
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
>
4
8
=
1
2
1
9
+
1
10
+
1
11
+
1
12
+
1
13
+
1
14
+
1
15
+
1
16
>
8
16
=
1
2
podemos continuar agrupando os termos das somas dessa maneira, vendo que a soma dos
termos harmˆonicos n˜ao s˜ao limitados superiormente.
Usando o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy
∞∑
k=1
2k
2k
=
∑
1 diverge.
1.2.7 Divergˆencia de
∞∑
k=1
1
kp
com p < 1.
Corol´ario 3.
∞∑
k=1
1
kp
diverge se p < 1. Para p < 1 vale kp
< k e da´ı
1
k
<
1
kp
, da´ı por
compara¸c˜ao como
∞∑
k=1
1
k
diverge isso implica que
∞∑
k=1
1
kp
tamb´em diverge.
Exemplo 15. A s´erie
∞∑
k=0
k
√
12
k + 3
diverge, pois vale que
k
√
12
k + 3
>
1
k + 3
, onde a s´erie
da segunda diverge.
Propriedade 16. A s´erie
∞∑
k=2
1
k(ln(k) + c)r
diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1. c ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao.
Usamos o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy
∑ 2k
2k(ln(2k) + c)r
=
∑ 1
(k ln(2) + c)r
que diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1 .
Corol´ario 4. A seguinte s´erie converge
∞∑
k=2
1
[ln(k)]k
.
21. CAP´ITULO 1. S´ERIES 20
Como ln(k) > 2 para k suficientemente grande , tem-se [ln(k)]k
> 2k
⇒
1
[ln(k)]k
<
1
2k
,
logo por crit´erio de compara¸c˜ao
∞∑
k=2
1
[ln(k)]k
converge .
Exemplo 16. Estudar a convergˆencia da s´erie
∞∑
k=1
1
kHk
Hn =
n∑
k=1
1
k
.
podemos mostrar que Hn ≤ 1 + ln(n) da´ı nHn ≤ n(1 + ln(n))
1
n(ln(n) + 1)
≤
1
nHn
,
logo a primeira diverge por crit´erio de compara¸c˜ao .
Exemplo 17. A s´erie
∞∑
k=2
1
k ln(k)(ln(ln k))r
diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1.
Aplicamos o m´etodo de condensa¸c˜ao de cauchy
∞∑
k=2
2k
2k ln(2k)(ln(ln 2k))r
=
∞∑
k=2
1
k ln(2)(ln(k) + ln((ln 2)))r
que converge se r > 1 e diverge se r ≤ 1.
Exemplo 18. Provar que a s´erie
∑ ln(n)
n2
converge. Pelo crit´erio de condensa¸c˜ao
de Cauchy temos que
∑ 2n
ln(2n
)
2n.2n
=
∑ n ln(2)
2n
tal s´erie converge, logo a primeira tamb´em converge.
Exemplo 19. Mostrar que a s´erie
∞∑
k=1
1
k2
converge, usando o crit´erio de compara¸c˜ao.
Come¸caremos com o somat´orio
n∑
k=2
1
k(k − 1)
= −
n∑
k=2
1
k
−
1
k − 1
= −
1
k − 1
n+1
2
== −
1
n
+ 1 =
n − 1
n
22. CAP´ITULO 1. S´ERIES 21
onde usamos soma telesc´opica
b∑
k=a
∆f(k)
=f(k+1)−f(k)
= f(b + 1) − f(a) = f(k)
b+1
a
, ∆f(k) =
f(k+1)−f(k) ´e apenas uma nota¸c˜ao para essa diferen¸ca. Tomando o limite na express˜ao
acima
lim −
1
n
+ 1 = 1 =
∞∑
k=2
1
k(k − 1)
.
Vamos mostrar com esse resultado que a s´erie
∞∑
k=1
1
k2
converge , temos que para k > 1
1
k(k − 1)
>
1
k2
pois
k2
> k2
− k
k > 0
e k > 1 por an´alise de sinal , logo aplicando o somat´orio
∞∑
k=2
1
k(k − 1)
>
∞∑
k=2
1
k2
somando 1 em ambos lados e usando o resultado da s´erie que foi calculada
2 > 1 +
∞∑
k=2
1
k2
=
∞∑
k=1
1
k2
.
Exemplo 20. Exemplo de sequˆencia x(n) que diverge, por´em, ∆x(n) converge
para zero. Sabemos que uma condi¸c˜ao necess´aria mas n˜ao suficiente para convergˆencia
de uma s´erie
∞∑
k=1
f(k) e que lim f(k) = 0, por´em n˜ao ´e suficiente pois existem s´eries em
que lim f(k) = 0 e a s´erie diverge, um exemplo desse tipo de s´erie ´e a s´erie harmˆonica, se
temos lim f(k) = 0 e a sequˆencias x(n) =
n∑
k=1
f(k) diverge, temos que ∆x(n) = f(n + 1)
cujo limite lim∆x(n) = f(n + 1) = 0 , no caso especial x(n) =
n∑
k=1
1
k
diverge, por´em
∆x(n) =
1
n + 1
converge para zero.
Propriedade 17. Seja
g(n) =
n∑
k=a
f(k)
ent˜ao limf(k) = 0 equivale a lim∆g(n) = 0.
23. CAP´ITULO 1. S´ERIES 22
Demonstra¸c˜ao. Temos que ∆g(n) = f(n + 1) logo se limf(k) = 0 temos
lim∆g(n) = 0 e se lim∆g(n) = 0 implica limf(k) = 0 .
Propriedade 18. Sejam
∞∑
n=u
an e
∞∑
n=s
bn s´eries de termos positivos. Se
∞∑
n=s
bn = ∞ e
existe n0 ∈ N tal que
an+1
an
≥
bn+1
bn
para todo n > n0 ent˜ao
∞∑
n=u
an = ∞.
Demonstra¸c˜ao.
an+1
an
≥
bn+1
bn
, Qak ≥ Qbk tomando o produt´orio com k variando
de k = n0 + 1 at´e n − 1 na desigualdade em ambos lados segue
n−1∏
k=n0+1
Qak =
an
an0+1
≥
n−1∏
k=n0+1
Qbk =
bn
bn0+1
, an ≥
an0+1
bn0+1
bn
pois temos termos positivos, tomando a s´erie temos
∞∑
n=n0+1
an ≥
an0
bn0
∞∑
n=n0+1
bn = ∞
logo a s´erie tende ao infinito por compara¸c˜ao.
Exemplo 21. Mostre que a sequˆencia definida por
f(n) =
n∑
k=1
1
k + n
converge para um n´umero em [0, 1]. Primeiro vamos mostrar que a sequˆencia ´e crescente
f(n + 1) − f(n) =
n+1∑
k=1
1
k + n + 1
−
n∑
k=1
1
k + n
=
1
2(n + 1)
+
n∑
k=1
1
k + n + 1
−
n∑
k=1
1
k + n
=
=
1
2(n + 1)
+
n∑
k=1
(
1
k + n + 1
−
1
k + n
)
=
1
2(n + 1)
+
n∑
k=1
∆
1
k + n
=
=
1
2(n + 1)
+
1
2n + 1
−
1
n + 1
=
1
2n + 1
−
1
2(n + 1)
mas temos
1
2n + 1
−
1
2(n + 1)
> 0 pois
1
2n + 1
>
1
2(n + 1)
, 2n + 2 > 2n + 1, 2 > 1 agora
vamos mostrar que a s´erie ´e limitada superiormente por 1 temos
1
n
>
1
k + n
24. CAP´ITULO 1. S´ERIES 23
k + n > n
pois nosso valor k ´e maior que zero, tomando o somat´orio em ambos lados com k em [1, n]
temos
n∑
k=1
1
n
= n
1
n
= 1 >
n∑
k=1
1
k + n
assim a s´erie ´e limitada superiormente , crescente e limitada inferiormente pelo seu pri-
meiro termo
1∑
k=1
1
k + 1
=
1
2
logo a sequˆencia assume valores no intervalo [0, 1]. O limite dessa sequˆencia ´e ln(2),
podemos mostrar isso transformando o limite numa integral2
podemos usar tamb´em a
fun¸c˜ao digamma
∆ψ(k + n) =
1
k + n
n∑
k=1
∆ψ(k + n) = ψ(2n + 1) − ψ(n + 1) =
n∑
k=1
1
k + n
= H2n − Hn =
2n∑
k=1
(−1)k+1
k
tendo limite3
ln(2).
Exemplo 22. Mostre que a s´erie
∞∑
k=0
1
kk
´e convergente.
Para k > 2 vale kk
> k2
da´ı
1
kk
<
1
k2
, da convergˆencia de
∑ 1
k2
segue a convergˆencia
de
∞∑
k=0
1
kk
.
Exemplo 23. A s´erie
∞∑
k=0
1
kln(k)
´e convergente pois para k grande temos ln(k) > 2
da´ı segue
1
kln(k)
<
1
k2
.
1.2.8 S´eries de fun¸c˜oes racionais
Vamos estudar convergˆencia de s´eries do tipo
∑ p(x)
g(x)
onde p(x) e g(x) ̸= 0 s˜ao
polinˆomios.
2
Resolvido no texto s´eries 2
3
Resolvido em fun¸c˜oes especiais
25. CAP´ITULO 1. S´ERIES 24
Propriedade 19. Sejam polinˆomios
p
∑
k=0
akxk
,
p+1
∑
k=0
bkxk
e c >
bp+1
ap
com c > 0, ent˜ao
existe x0 ∈ R tal que x > x0 implica
1
cx
<
p∑
k=0
akxk
p+1∑
k=0
bkxk
Exemplo 24. Estudar a convergˆencia da s´erie
∞∑
n=1
n∏
s=1
(p + s)
(q + s)
com p, q reais em [0, ∞)
Para q ≤ p temos q + s ≤ p + s ⇒ 1 ≤
p + s
q + s
logo 1 ≤
n∏
s=1
(p + s)
(q + s)
= an portanto an
n˜ao converge para zero e a s´erie n˜ao pode convergir .
Suponha agora p < q, existe t real tal que p + t = q o termo an se escreve como
n∏
s=1
(p + s)
(p + t + s)
.
Vamos analisar os casos de t ≤ 1 e 2 ≤ t, no primeiro
p + t + s ≤ p + s + 1 ⇒
p + s
p + s + 1
≤
p + s
p + t + s
aplicando
n∏
s=1
na desigualdade acima temos um produto telesc´opico
n∏
s=1
p + s
p + s + 1
=
p + 1
p + n + 1
≤
n∏
s=1
p + s
p + t + s
por compara¸c˜ao com s´erie harmˆonica a soma de an diverge nesse caso . Sendo agora
2 ≤ t
2 ≤ t ⇒ p + s + 2 ≤ p + s + t ⇒
p + s
p + s + t
≤
p + s
p + s + 2
aplicando
n∏
s=1
, novamente temos um produto telesc´opico
n∏
s=1
p + s
p + s + t
≤
n∏
s=1
p + s
p + s + 2
=
2∏
s=1
p + s
p + s + n
=
(p + 1)(p + 2)
(p + 1 + n)(p + 2 + n)
logo por crit´erio de compara¸c˜ao a soma de an converge .
26. CAP´ITULO 1. S´ERIES 25
1.2.9 Crit´erio de Cauchy para s´eries
Propriedade 20 (Crit´erio de Cauchy para s´eries). Tem-se que uma sequˆencia ´e
convergente em R ⇔ ela ´e de Cauchy, logo se definimos s(n) =
n∑
k=a
ak temos que a s´erie
´e convergente ⇔ para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 e para todo p ∈ N vale
|s(n + p) − s(n)| < ε temos que
s(n + p) − s(n) =
n+p
∑
k=a
ak −
n∑
k=a
ak =
n+p
∑
k=n+1
ak +
n∑
k=a
ak −
n∑
k=a
ak =
=
n+p
∑
k=n+1
ak
logo temos que ter
|
n+p
∑
k=n+1
ak| < ε
Propriedade 21. Se f(k) ≥ 0 para k ∈ [a, ∞)Z, a ∈ Z ent˜ao a s´erie
∞∑
k=a
f(k) ´e
convergente ou diverge para +∞.
Demonstra¸c˜ao. Definindo g(n) =
n∑
k=a
f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≥ 0 logo
g(n) ´e uma sequˆencia n˜ao decrescente, se g(n) for limitada ent˜ao g(n) converge implicando
que a s´erie converge, se g(n) n˜ao for limitada, por ser n˜ao decrescente ela diverge para
+∞, implicando que a s´erie diverge para +∞.
Da mesma maneira tem-se
Propriedade 22. Se4
f(k) ≤ 0 para k ∈ [a, ∞)Z, a ∈ Z ent˜ao a s´erie
∞∑
k=a
f(k) ´e
convergente ou diverge para −∞.
Demonstra¸c˜ao. Definindo g(n) =
n∑
k=a
f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≤ 0 logo
g(n) ´e uma sequˆencia n˜ao crescente, se g(n) for limitada ent˜ao g(n) converge implicando
que a s´erie converge, se g(n) n˜ao for limitada, por ser n˜ao crescente ela diverge para −∞,
implicando que a s´erie diverge para −∞.
4
A demonstra¸c˜ao ´e a mesma que da propriedade anterior, apenas mudando ≥ por ≤, +∞ por −∞ e
n˜ao decrescente por n˜ao crescente
27. CAP´ITULO 1. S´ERIES 26
Propriedade 23.
∞∑
k=a
b converge ⇔ b = 0.
Demonstra¸c˜ao. Seja g(n) =
n∑
k=a
b, Se b = 0 temos g(n) =
n∑
k=a
0 = 0 assim temos
que s´erie ´e o limite da sequˆencia constante 0, lim g(n) = 0 =
∞∑
k=a
0. Se
∞∑
k=a
b converge, pela
condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia temos que ter lim b = 0, como b ´e constante, por
propriedade de limites tem-se lim b = b lim 1 = b = 0 logo b tem que ser zero para que a
s´erie seja convergente
∞∑
k=a
0 = 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + · · · = 0.
Se b ̸= 0 ent˜ao a s´erie diverge para +∞ ou −∞ pois ∆g(n) = b, se b > 0 tem-se que a s´erie ´e
crescente e divergente logo seu limite ´e +∞ se b < 0 segue que ∆g(n) < 0 logo decrescente
e divergente assim seu limite ´e −∞. As reduzidas s˜ao dadas por
n∑
k=a
b = b(n + 1 − a), se
b < 0 ∞∑
k=a
b = b + b + b + b + · · · = −∞
se b > 0 ∞∑
k=a
b = b + b + b + b + · · · = +∞.
Propriedade 24 (A s´erie harmˆonica diverge para +∞.). Seja 2n ≥ k (n, k naturais
maiores que zero), ent˜ao
1
k
≥
1
2n
tomando a soma em [n + 1, 2n]
2n∑
k=n+1
1
k
≥
2n∑
k=n+1
1
2n
=
n
2n
=
1
2
assim o crit´erio de Cauchy, n˜ao ´e v´alido para s´erie harmˆonica, pois tomando ε =
1
2
e
p = n n˜ao temos
|
2n∑
k=n+1
1
k
| <
1
2
28. CAP´ITULO 1. S´ERIES 27
para n suficientemente grande, pois vale para qualquer n
2n∑
k=n+1
1
k
≥
1
2
sendo g(n) =
n∑
k=1
1
k
temos ∆g(n) =
1
n + 1
> 0 logo a s´erie ´e crescente. Sendo crescente e
divergente ent˜ao ela tem limite +∞. Com a s´erie harmˆonica temos um exemplo de s´erie
cujo termo somado tem limite 0 por´em a s´erie diverge lim
1
n
= 0.
1.3 S´eries absolutamente convergentes
Defini¸c˜ao 3 (S´eries absolutamente convergentes). Uma s´erie
∞∑
k=a
ak ´e dita absoluta-
mente convergente se
∞∑
k=a
|ak| ´e convergente.
Defini¸c˜ao 4 (S´erie condicionalmente convergente). Uma s´erie
∞∑
k=a
ak ´e condicional-
mente convergente se
∞∑
k=a
ak converge por´em
∞∑
k=a
|ak| diverge.
1.3.1 Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente
⋆ Teorema 1 (Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente). Se s(n) =
n∑
k=b
|ak|
converge ent˜ao
n∑
k=b
ak converge.
Demonstra¸c˜ao. Se
n∑
k=b
|ak| converge, podemos usar o crit´erio de Cauchy, que
garante que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N, tal que para n > n0 e p ∈ N vale
|
n+p
∑
k=n+1
|ak| | =
n+p
∑
k=n+1
|ak| < ε
mas vale a desigualdade
|
n+p
∑
k=n+1
ak| ≤
n+p
∑
k=n+1
|ak| < ε
logo
n∑
k=b
ak ´e uma sequˆencia de Cauchy, portanto converge.
29. CAP´ITULO 1. S´ERIES 28
Demonstra¸c˜ao.[2] Temos5
que ak ≤ |ak| e tamb´em −ak ≤ |ak| logo dessa ´ultima
0 ≤ ak +|ak| que por sua vez ´e menor que 2|ak|, como 2
∞∑
k=0
|ak| converge ent˜ao
∞∑
k=0
ak +|ak|
tamb´em converge por compara¸c˜ao, da´ı
∞∑
k=0
ak + |ak| −
∞∑
k=0
|ak| =
∞∑
k=0
ak
converge por ser soma de s´eries convergentes.
Daremos uma outra demonstra¸c˜ao dessa propriedade usando o conceito de parte po-
sitiva e negativa de uma s´erie.
1.3.2 Parte negativa e positiva de uma s´erie
Defini¸c˜ao 5 (Parte negativa e positiva de uma s´erie). Seja
∑
ak uma s´erie, para
cada k definimos a parte positiva pk da seguinte maneira
pk =
ak se ak ≥ 0
0 se ak < 0
Definimos a parte negativa qk como
qk =
−ak se ak ≤ 0
0 se ak > 0
Propriedade 25. Valem
1. an = pn − qn
2. |an| = pn + qn.
Demonstra¸c˜ao.
1. Se an ≥ 0 ent˜ao qn = 0, an = pn, se an < 0 ent˜ao pn = 0 e an = −qn.
2. Se an ≥ 0 ent˜ao |an| = an = pn pois qn = 0. Se an < 0 ent˜ao |an| = −an = qn pois
pn = 0.
5
Solu¸c˜ao de Diogenes Mota
30. CAP´ITULO 1. S´ERIES 29
Corol´ario 5. Vale que pn ≤ |an| e qn ≤ |an|, pois segue da rela¸c˜ao |an| = pn + qn e do
fato de ambos serem n˜ao negativos.
Corol´ario 6. Se
∑
|an| ´e convergente ent˜ao
∑
an ´e convergente. Vale que pn ≤
|an| e qn ≤ |an|, da´ı
∑
pn e
∑
qn s˜ao convergentes por crit´erio de compara¸c˜ao, da´ı
∑
(pn − qn) =
∑
pn −
∑
qn ´e convergente logo
∑
an ´e convergente.
Propriedade 26. Se uma s´erie
∑
an ´e condicionalmente convergente ent˜ao
∑
pn =
∞ =
∑
qn.
Demonstra¸c˜ao. Vale que
n∑
k=b
ak =
n∑
k=b
pk −
n∑
k=b
qk se
∑
pn fosse convergente,
ent˜ao
∑
qn tamb´em o seria, logo
∑
|an| =
∑
pn +
∑
qn seria convergente o que
contradiz a hip´otese.
Corol´ario 7. Seja
∞∑
k=b
ak uma s´erie absolutamente convergente ent˜ao
∞∑
k=b
ak(−1)yk
´e
convergente onde (yk) ´e uma sequˆencia qualquer de n´umeros naturais. A propriedade vale
pois
∞∑
k=b
|ak(−1)yk
| =
∞∑
k=b
|ak| ent˜ao
∞∑
k=b
ak(−1)yk
´e absolutamente convergente portanto
convergente.
Esse resultado diz que se tomamos uma s´erie absolutamente convergente e trocamos
os sinais dos termos da s´erie de maneira arbitr´aria ent˜ao ainda assim a s´erie continua
sendo convergente.
Exemplo 25. Analisar a convergˆencia da s´erie
∞∑
k=1
senka
kr
onde r > 1, real. Vale sempre |senka| ≤ 1, da´ı
|senka|
kr
≤
1
kr
por compara¸c˜ao temos
∞∑
k=1
|senka|
kr
≤
∞∑
k=1
1
kr
a s´erie da direita converge, logo a s´erie
∞∑
k=1
senka
kr
´e absolutamente convergente, e conver-
gente. O mesmo argumento pode ser feito para mostrar que
∞∑
k=1
coska
kr
31. CAP´ITULO 1. S´ERIES 30
´e absolutamente convergente.
Corol´ario 8. Seja
∞∑
k=d
bk uma s´erie convergente, com bk ≥ 0 para todo k ∈ Z. Se
existem c > 0 e n0 ∈ N tais que |ak| ≤ c.bk para todo k > n0, ent˜ao a s´erie
∞∑
k=d
ak
´e absolutamente convergente. Tal propriedade vale pois podemos aplicar o crit´erio de
compara¸c˜ao de s´eries para concluir que
∞∑
k=d
|ak| converge, logo
∞∑
k=d
ak ser´a absolutamente
convergente.
Corol´ario 9. Se para todo k > n0, tem-se |ak| ≤ c.bk
onde 0 < b < 1 e c > 0, ent˜ao a
s´erie
∞∑
k=d
ak ´e absolutamente convergente. Pois a s´erie
∞∑
k=d
bk
´e convergente pela condi¸c˜ao
0 < b < 1.
Propriedade 27. Sejam an ≥ 0 e
∑
an convergente, ent˜ao
∑
anxn
´e absolutamente
convergente ∀ x ∈ [−1, 1].
Demonstra¸c˜ao. Com x ∈ [−1, 1] vale |x| ≤ 1 da´ı
∑
|anxn
| =
∑
an|x|n
≤
∑
an
logo
∑
anxn
´e absolutamente convergente.
Propriedade 28. Se
∑
an ´e convergente com an ≥ 0 e x ∈ R arbitr´ario ent˜ao
∑
ansen(nx) e
∑
ancos(nx) s˜ao absolutamente convergentes.
Demonstra¸c˜ao. Vale que
∑
|ansen(nx)| =
∑
an|sen(nx)| ≤
∑
an
∑
|ancos(nx)| =
∑
an|cos(nx)| ≤
∑
an
logo ambas s´eries convergem absolutamente.
Propriedade 29. Se
∑
ak ´e absolutamente convergente e lim bn = 0 ent˜ao cn =
n∑
k=1
akbn−k → 0.
32. CAP´ITULO 1. S´ERIES 31
Demonstra¸c˜ao. Existe B > 0 tal que |bn| < B, ∀ n ∈ N. Vale
∞∑
k=1
|ak| = A.
Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |bn| <
ε
2A
e por
n∑
k=1
|ak| ser de cauchy
vale |
n∑
k=n0+1
ak| <
ε
2B
ent˜ao para n > 2n0 (n − n0 > n0) segue que
|
n∑
k=1
akbn−k| ≤
n∑
k=1
|ak||bn−k| =
n0∑
k=1
|ak||bn−k| +
n∑
k=n0+1
|ak||bn−k| ≤
≤
n0∑
k=1
|ak|
ε
2A
+
n∑
k=n0+1
|ak|B ≤
Aε
2A
+
εB
2B
≤
ε
2
+
ε
2
= ε
isso implica que lim cn = 0.
Propriedade 30. Seja
∑
an uma s´erie qualquer, denotamos
S = {
∑
k∈A
ak, tal que A ´e qualquer conjunto finito de ´ındices de (ak)}.
∑
ak ´e absolutamente convergente ⇔ S ´e limitado.
Demonstra¸c˜ao. ⇒ Se
∑
ak ´e absolutamente convergente ent˜ao a soma dos
termos positivos ´e no m´aximo p =
∑
pk e a soma dos termos negativos ´e no m´aximo
−q = −
∑
qk, logo S ´e um conjunto limitado, pois qualquer outra combina¸c˜ao de soma
de termos positivos e negativos do conjunto deve estar entre esses dois valores. ⇐. Se
S ´e limitado ent˜ao
∑
pn e
∑
qn s˜ao limitados e por isso convergentes pois determinam
sequˆencias n˜ao-decrescentes limitadas superiormente, da´ı segue que
∑
|an| =
∑
pn +
∑
qn ´e convergente.
1.3.3 Teste da raiz-Cauchy
Propriedade 31 (Teste da raiz). Se existe b tal que k
√
|ak| ≤ b < 1 para todo k > n0
ent˜ao
∞∑
k=d
ak ´e absolutamente convergente. Se lim sup k
√
|ak| = b < 1 temos essa condi¸c˜ao,
pois o lim sup ´e o maior dos valores de aderˆencia da sequˆencia, se houvesse uma infinidade
de valores da raiz em que k
√
|ak| > b ter´ıamos o lim sup maior que b, ent˜ao temos apenas
um n´umero finito de ´ındices em que a condi¸c˜ao colocada n˜ao vale.
33. CAP´ITULO 1. S´ERIES 32
Demonstra¸c˜ao. Temos |ak| ≤ bk
para k > n0, logo por crit´erio de compara¸c˜ao
segue o resultado, pois ≤ b < 1 ent˜ao a s´erie
∑
bk
converge e da´ı tamb´em
∑
|ak| por
crit´erio de compara¸c˜ao .
Corol´ario 10 (Teste da Raiz de Cauchy). Se lim n
√
|an| < 1 ent˜ao
∞∑
k=d
ak ´e absolu-
tamente convergente. Pois se lim n
√
|an| < 1 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica
n
√
|an| < 1.
Se lim n
√
|an| > 1 ent˜ao a s´erie
∑
ak diverge, pois existe n0 ∈ N tal que para k > n0
tem-se 1 < t < a − ε < k
√
|ak| < a + ε logo tn
< |ak| o que implica que lim ak ̸= 0 ent˜ao a
s´erie
∑
ak diverge .
Se lim n
√
|an| = 1 ent˜ao o teste ´e inconclusivo. Por exemplo
∑ 1
k2
converge e
∑ 1
k
diverge .
Propriedade 32. Se |an|
1
n > 1 para uma infinidade de indices n ent˜ao lim an ̸= 0 e
a s´erie
∑
an diverge. A mesma observa¸c˜ao vale se usamos o conceito de lim sup, isto ´e,
se lim sup |an|
1
n = α > 1.
Demonstra¸c˜ao. Se lim an = 0 ent˜ao existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se
|an| <
1
2
, se |an|
1
n ≥ 1 para uma infinidade de indices n, ent˜ao existe um ´ındice n1 > n0
tal que |an1 |
1
n1 ≥ 1 logo |an1 | ≥ 1 o que entra em contradi¸c˜ao com a suposi¸c˜ao de que
lim an = 0 ent˜ao tal propriedade n˜ao vale, de onde segue que a s´erie
∑
an diverge, pois
se ela fosse convergente ent˜ao ter´ıamos lim an = 0.
Propriedade 33. A s´erie
∞∑
k=d
kp
ak
converge quando |a| < 1 e diverge quando |a| ≥ 1, onde p ≥ 0 .
Demonstra¸c˜ao. Aplicamos o teste da raiz lim n
√
|npan| = |a|(lim n
√
n)p
= |a|
quando |a| < 1 ela ent˜ao converge, se |a| ≥ 1 tem-se que o limite lim np
an
̸= 0 ent˜ao a
s´erie diverge.
Corol´ario 11. Seja g(k) um polinˆomio e |a| < 1, ent˜ao
∞∑
k=d
g(k)ak
34. CAP´ITULO 1. S´ERIES 33
converge absolutamente.
Exemplo 26. A s´erie
∞∑
k=1
ak
ln k converge absolutamente quando |a| < 1 pois
|a|k
ln k ≤ |a|k
k
por compara¸c˜ao a s´erie converge.
Exemplo 27. A s´erie
∞∑
n=2
1
(ln n)n
converge pois lim n
√
1
(ln n)n
= lim
1
ln n
= 0 < 1,
logo a s´erie converge.
Exemplo 28. Estude a convergˆencia da s´erie
∞∑
k=1
(
k
k + 1
)k2
.
Aplicamos o teste da raiz
((
k
k + 1
)k2 )1
k
=
(
k
k + 1
)k
=
1
(1 + 1
k
)k
→
1
e
< 1
pois e > 1 logo a s´erie converge .
1.3.4 Teste da raz˜ao-D’ Alembert
⋆ Teorema 2 (Teste da raz˜ao). Sejam
∞∑
k=d
ak uma s´erie de termos n˜ao-nulos e
∞∑
k=d
bk
uma s´erie convergente com bk > 0 para todo k natural. Se existe n0 ∈ N tal que
|ak+1|
|ak|
≤
bk+1
bk
para todo k ≥ n0 ent˜ao
∞∑
k=d
ak ´e absolutamente convergente. O mesmo resulta se consi-
deramos o conceito de lim sup, assim como fizemos no teste da raiz.
Demonstra¸c˜ao. Podemos escrever a desigualdade como
Q|ak| ≤ Qbk,
35. CAP´ITULO 1. S´ERIES 34
onde Qbk =
bk+1
bk
, aplicando o produt´orio em ambos lados com k ≥ n0 at´e n−1 tem-se
por produto telesc´opico
n−1∏
k=n0
Q|ak| =
|an|
|an0 |
≤
n−1∏
k=n0
Qbk =
bn
bn0
logo vale
|an| ≤ c.bn
onde c =
|an0 |
bn0
> 0. Ent˜ao por crit´erio de compara¸c˜ao
∞∑
k=d
ak ´e absolutamente convergente.
Corol´ario 12. Se existe uma constante c tal que 0 < c < 1 tomamos bk = ck
e temos
a s´erie
∞∑
k=d
ck
convergente e ainda
ck+1
ck
= c. Se vale
|ak+1|
|ak|
≤ c para todo k ≥ n0 ent˜ao
∞∑
k=d
ak ´e absolutamente convergente pela propriedade anterior.
Corol´ario 13 (Teste da raz˜ao de D’Alembert). Se lim
|an+1|
|an|
< 1 ent˜ao a s´erie
∞∑
k=d
ak
´e absolutamente convergente. Pois se vale lim
|an+1|
|an|
< 1 existe n0 tal que para n > n0
tem-se
|an+1|
|an|
< 1.
Se lim
|an+1|
|an|
> 1 ent˜ao a s´erie diverge, pois para k > n0 tem-se
1 < t < a + ε <
|ak+1|
|ak|
aplicando
n∏
n0+1
tem-se
tn−n0
|xn0+1| < |xn+1|
logo (xn) n˜ao converge para zero, logo a s´erie
∑
xk diverge.
Caso lim
|xn+1|
|xn|
= 1 ent˜ao o teste ´e inconclusivo. Nesse caso a s´erie pode divergir,
como em
∑
1, pode convergir como
∑ 1
k2
.
Propriedade 34. Se an ̸= 0∀ n ∈ N e existe n0 ∈ N tal que para n ≥ n0 tem-se
|an+1|
|an|
≥ 1 ent˜ao
∑
an diverge.
36. CAP´ITULO 1. S´ERIES 35
Demonstra¸c˜ao. Para k > n0 vale
|ak+1|
|ak|
≥ 1 da´ı aplicando
n∏
k=n0
de ambos lados,
segue por produto telesc´opico que
|an+1|
an0
≥ 1 ⇒ |an+1| ≥ |an0 | > 0
logo n˜ao vale que lim an = 0, portanto a s´erie
∑
an diverge.
Propriedade 35. Para qualquer sequˆencia (cn), cn > 0, vale que
lim sup(cn)
1
n ≤ lim sup
cn+1
cn
.
Demonstra¸c˜ao. Seja α = lim sup
cn+1
cn
, finito, tomamos b > α qualquer, existe
n0 suficientemente grande tal que
ck+1
ck
≤ b para k ≥ n0 tomamos o produto
n0+p−1
∏
k=n0
em ambos lados pro produto telesc´opico (os termos se anulam no primeiro termo do
produt´orio) temos
cn0 + p
n
≤ bp
cn0
cn ≤ cn0 b−n0
bn
da´ı tomando a raiz n-´esima
n
√
cn ≤ n
√
cn0 b−n0
→1
b
logo
lim sup n
√
cn ≤ b
vale para qualquer b > α logo
lim sup n
√
cn ≤ α.
Corol´ario 14. Se o teste da raz˜ao implica convergˆencia ent˜ao o crit´erio da raiz tamb´em
lim sup(cn)
1
n ≤ lim sup
cn+1
cn
< 1
se o crit´erio da raiz implica divergˆencia ent˜ao o crit´erio da raz˜ao tamb´em
1 < lim sup(cn)
1
n ≤ lim sup
cn+1
cn
.
37. CAP´ITULO 1. S´ERIES 36
Exemplo 29. A s´erie
∞∑
k=1
ak = a + b + a2
+ b2
+ a3
+ b3
+ a4
+ b4
+ · · · definida
como a2k = bk
e a2k−1 = ak
onde 0 < a < b < 1 converge. O teste de d’Alembert ´e
inconclusivo pois ∀ k
a2k
a2k−1
= (
b
a
)k
> 1 pois de a < b segue 1 <
b
a
. O teste de Cauchy
funciona pois para ´ındices pares
2n
√
bn =
√
b < 1 e para ´ındices ´ımpares 2n−1
√
an < 1, logo
vale para todo n, n
√
|an| < 1 e o teste de Cauchy implica que
∑
an converge. No caso do
teste de d’Alembert, caso fosse a = b seguiria que
a2k
a2k−1
= (
b
a
)k
= 1, por´em a s´erie s´eria
convergente pois
2n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
a2k +
n∑
k=1
a2k−1 =
n∑
k=1
ak
+
n∑
k=1
bk
sendo que a sequˆencia das reduzidas ´e convergente logo a s´erie ´e convergente, em especial
esse argumento vale para a = b =
1
2
.
Propriedade 36. A s´erie
∞∑
k=0
xk
k!
converge absolutamente para qualquer x ∈ R dado.
Demonstra¸c˜ao. Se x = 0 a s´erie trunca , se n˜ao pelo teste da raz˜ao tomamos
xn =
xn
n!
e da´ı
xn+1
xn
=
xn+1
(n + 1)!
n!
xn
=
x
n + 1
cujo limite ´e 0, logo a s´erie converge absolutamente pelo crit´erio da raz˜ao.
Corol´ario 15. No texto de sequˆencias tomamos limites da raz˜ao de algumas sequˆencias
que nos permitem concluir que
∞∑
n=0
an
.n!np
nn
converge se 0 < a < e, no caso especial de p = 0 e a = 1 tem-se que
∞∑
n=0
n!
nn
converge, tamb´em converge
∞∑
n=0
np
an
n!
e se a > 1
∞∑
n=0
np
an
.
38. CAP´ITULO 1. S´ERIES 37
Corol´ario 16. Por compara¸c˜ao com
∞∑
n=0
n!
nn
conclu´ımos que
∞∑
n=0
1
nn
converge.
Propriedade 37. A sequˆencia de termo (
ln(n + 1)
(n + 1)
)n
´e limitada.
Demonstra¸c˜ao.
Para n ≥ 3 vale (
n + 1
n
)n
< n da´ı (n + 1)n
< nn+1
tomando o logaritmo n ln(n + 1) <
(n + 1) ln(n) logo
ln(n + 1)
ln(n)
<
n + 1
n
elevando `a n segue que (
ln(n + 1)
(n + 1)
)n
< (
n + 1
n
)n
,
sendo menor que uma sequˆencia limitada segue que ela ´e limitada.
Exemplo 30. Mostrar que
∑
(
ln(n)
n
)n
´e convergente.
Pelo crit´erio de D’Alembert, temos
(
ln(n + 1)
(n + 1)
)n+1
(
(n)
ln(n)
)n
=
ln(n + 1)
n + 1
(
ln(n + 1)
(n + 1)
)n
(
n
n + 1
)n
o primeiro limite tende a zero, a segunda express˜ao ´e limitada e o terceiro limite converge,
ent˜ao tal express˜ao tende a zero.
Pelo crit´erio de Cauchy,
n
√
(
ln(n)
n
)n =
ln(n)
n
→ 0 logo a s´erie converge.
Exemplo 31. Estudamos os valores x reais com os quais as s´eries a seguir convergem.
1.
∑
nk
xn
. n
√
nk|x|n =
n
√
nk|x| → |x| ent˜ao a s´erie converge com |x| < 1, ela n˜ao
converge se x = 1 ou x = −1 pois nesses casos o limite do termo somado n˜ao tende
a zero.
2.
∑
nn
xn
. n
√
nn|x|n = n|x| → ∞ se x ̸= 0 ela s´o converge para x = 0.
3.
∑ xn
nn
.
n
√
|x|n
nn
=
|x|
n
→ 0, logo ela converge independente do valor de x.
4.
∑
n!xn
. n
√
n!|x|n =
n
√
n!|x| → 0, logo ela s´o converge com x = 0.
5.
∑ xn
n2
.
n
√
|x|n
n2
→ |x|, ent˜ao ´e garantida a convergˆencia com |x| < 1 , com x = 1
ela converge e com x = −1 tamb´em, pois ´e absolutamente convergente.
39. CAP´ITULO 1. S´ERIES 38
1.3.5 Crit´erio de Dirichlet
Propriedade 38 (Crit´erio de Dirichlet). Sejam s(n) =
n∑
k=1
ak uma sequˆencia limitada,
(bn) uma sequˆencia decrescente de n´umeros positivos com lim bn = 0, ent˜ao a s´erie
∞∑
k=1
akbk
´e convergente.
Demonstra¸c˜ao.
Estamos denotando
X ∆f(k) = f(k + 1) − f(k),
X g(k)
]n+1
1
= g(n + 1) − g(1)
X s(0) =
0∑
k=1
ak = 0 chamado de soma vazia.
Usaremos a identidade chamada de soma por partes (de simples demonstra¸c˜ao)
n∑
k=1
f(k)∆g(k) = f(k)g(k)
]n+1
1
−
n∑
k=1
g(k + 1)∆f(k).
Temos que s(0) =
0∑
k=1
ak = 0 por ser soma vazia e s(n − 1) =
n−1∑
k=1
ak logo
∆s(n − 1) = s(n) − s(n − 1) =
n∑
k=1
ak −
n−1∑
k=1
ak = an
isto ´e, ∆Sk−1 = ak, vamos usar a regra de soma por partes
n∑
k=1
f(k)∆g(k) = f(k)g(k)
n+1
1
−
n∑
k=1
g(k + 1)∆f(k)
tomando g(k) = sk−1 e f(k) = bk segue
n∑
k=1
bk∆sk−1 =
n∑
k=1
bkak = bksk−1
n+1
1
−
n∑
k=1
sk∆bk = bn+1sn − b1s0
=0
−
n∑
k=1
sk∆bk =
40. CAP´ITULO 1. S´ERIES 39
= bn+1sn −
n∑
k=1
sk∆bk = bn+1sn +
n∑
k=1
sk(−∆bk).
Perceba que lim bn+1sn = 0 pois sn ´e limitada e lim bn = 0. Como bk ´e decrescente vale
∆bk = bk+1 − bk ≤ 0 ⇒ −∆bk ≥ 0 e a s´erie
∞∑
k=1
sk(−∆bk) ´e absolutamente convergente
pois, como sk ´e limitada vale |sk| ≤ c > 0 e
n∑
k=1
|sk||(−∆bk)| =
n∑
k=1
|sk|(−∆bk) ≤
n∑
k=1
c(−∆bk) = −c(bn+1 − b1)
logo por compara¸c˜ao
n∑
k=1
sk(−∆bk) ´e absolutamente convergente, implicando que a s´erie
∞∑
k=1
akbk ´e convergente.
Corol´ario 17. Sejam s(n) =
n∑
k=1
ak uma sequˆencia limitada, (bn) uma sequˆencia
crescente de n´umeros negativos com lim bn = 0, ent˜ao a s´erie
∞∑
k=1
akbk
´e convergente.
Pois tomando
∞∑
k=1
ak(−bk),
(−bk) ´e uma sequˆencia de n´umeros positivos e como vale bk+1 ≥ bk ent˜ao −bk ≥ −bk+1
e (−bk) ´e decrescente e converge para zero, ent˜ao podemos aplicar o crit´erio de Dirichlet
para concluir que −s =
∞∑
k=1
ak(−bk) logo tamb´em converge s =
∞∑
k=1
akbk.
Exemplo 32. Dado x fixo, as s´eries
∞∑
k=1
senxk
k
e
∞∑
k=1
coskx
k
convergem.
Pois
n∑
k=1
sen(xk) =
−cos(xn + x
2
) + cos(x
2
)
2sen(x
2
)
,
n∑
k=1
cos(xk) =
sen(xn + x
2
) − sen(x
2
)
2sen(x
2
)
41. CAP´ITULO 1. S´ERIES 40
s˜ao limitadas e xk =
1
k
´e decrescente, pois ∆xk =
−1
k(k + 1)
< 0 com lim xn = 0.
Propriedade 39. Sejam u0 > 0 , (an) positiva
un+1 = un +
an
un
.
un ´e convergente ⇔
∑
an ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao.
Primeiro observamos que (un) ´e positiva pois un+1 = un +
an
un
, por indu¸c˜ao, segue pois
u0 > 0 e an > 0
⇒).
Usamos o crit´erio de Dirichlet. De un+1 = un +
an
un
temos
∞∑
k=0
ak =
∞∑
k=0
uk∆uk
queremos mostrar que a ´ultima converge. Suponha que c = lim un ent˜ao zn = c − un ´e
sequˆencia positiva decrescente e lim ∆un = 0 ent˜ao a s´erie
∞∑
k=0
(c − uk)∆uk = lim
n∑
k=0
c∆uk
converge
−
n∑
k=0
uk∆uk
converge, pois
n−1∑
k=0
∆uk = un − u0 ´e limitado (pois converge), logo aplicamos o crit´erio de
Dirichlet. Portanto
∞∑
k=0
uk∆uk =
∞∑
k=0
ak converge.
⇐). (Solu¸c˜ao de Alexandre Cezar) Suponha que
∞∑
k=0
ak converge, vamos mostrar que
(un) converge, j´a sabemos que tal sequˆencia ´e crescente, vamos mostrar que ´e limitada.
Suponha que n˜ao seja limitada, ent˜ao existe n0 > 0 tal que un > 1 para n ≥ n0
un − u0 =
n−1∑
k=n0
∆uk =
n−1∑
k=n0
ak
uk
≤
n−1∑
k=n0
ak <
∞∑
k=n0
ak
o que ´e absurdo pois un seria ilimitada e limitada.
Propriedade 40 (Crit´erio de Abel). Se
∞∑
k=1
ak ´e convergente e (bn) ´e uma sequˆencia
decrescente de n´umeros positivos ent˜ao a s´erie
∞∑
k=1
akbk ´e convergente.
42. CAP´ITULO 1. S´ERIES 41
Demonstra¸c˜ao.
A sequˆencia (bn) ´e limitada inferiormente por zero, sendo decrescente ela converge,
seja ent˜ao c seu limite, lim bn = c, lim bn − c = 0. (bn − c) ´e uma sequˆencia decrescente
com limite 0, temos ent˜ao que a s´erie
∞∑
ak(bk − c) ´e convergente e vale
n∑
k=1
ak(bk − c) =
n∑
k=1
akbk − c
n∑
k=1
ak ⇒
n∑
k=1
ak(bk − c) + c
n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
akbk
pela ´ultima identidade vemos que
∞∑
k=1
akbk ´e convergente.
1.3.6 Crit´erio de Leibniz
Propriedade 41 (Crit´erio de Leibniz). Se (bn) ´e uma sequˆencia decrescente com
lim bn = 0 ent˜ao a s´erie
∞∑
k=1
(−1)k
bk ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao.[1] Se (bn) ´e uma sequˆencia decrescente com lim bn = 0 ent˜ao (bn)
n˜ao o admite termo negativo, pois caso bn0 < 0 ent˜ao para n > n0 tem-se bn ≤ bn0 < 0
e o limite da sequˆencia n˜ao poderia ser zero. Se existe n0 tal que bn0 = 0 ent˜ao para
todos n > n0 tem que valer bn = 0, pois ela n˜ao admite termo negativo, ent˜ao n˜ao pode
decrescer ainda mais, nesse caso a soma ser´a uma soma finita, ent˜ao resta apenas o caso de
bn > 0 para todo n, nesse caso temos uma sequˆencia decrescente de termos positivos com
limite zero e
n∑
k=1
(−1)k
´e limitada, ent˜ao pelo crit´erio de Dirichlet a s´erie ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao.[2] Seja sn =
n∑
k=1
(−1)k+1
bk ent˜ao
s2n+2 =
2n+2∑
k=1
(−1)k+1
bk =
2n∑
k=1
(−1)k+1
bk − b2n+2 + b2n+1 = s2n + b2n+1 − b2n+2
como (bn) ´e n˜ao-crescente tem-se que b2n+1 − b2n+2 ≥ 0, da´ı s2n+2 − s2n ≥ 0, implicando
que (s2n) ´e n˜ao-decrescente. Da mesma maneira
s2n+1 =
2n+1∑
k=1
(−1)k+1
bk =
2n−1∑
k=1
(−1)k+1
bk + b2n+1 − b2n = s2n−1 + b2n+1 − b2n,
43. CAP´ITULO 1. S´ERIES 42
dessa vez como (bn) ´e n˜ao-crescente, segue que b2n+1 − b2n ≤ 0 logo s2n+1 − s2n−1 ≤ 0 e a
sequˆencia (s2n−1) ´e n˜ao-crescente.
Ambas sequˆencias s˜ao limitadas pois
s2n =
2n∑
k=1
(−1)k+1
bk =
2n−1∑
k=1
(−1)k+1
bk − b2n = s2n−1 − b2n
logo s2n−1 − s2n = bn ≥ 0 ⇒ s2n−1 ≥ s2n,
s1 ≥ s2n−1 ≥ s2n ≥ s2,
as reduzidas de ordem par e ´ımpar s˜ao mon´otonas e limitadas logo convergentes lim s2n =
L1, lim s2n−1 = L2, pela identidade s2n−1 − s2n = bn e lim bn = 0 segue na passagem de
limite que
lim s2n−1 − s2n = lim bn = 0 = L2 − L1
logo L1 = L2 e a s´erie ´e convergente.
Propriedade 42. Seja (xn) uma sequˆencia n˜ao-crescente com lim xn = 0 ent˜ao a
s´erie obtida somando p termos com sinais positivos da sequˆencia (xn) alternando com p
termos negativos alternadamente ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao. A s´erie pode ser escrita como
∞∑
t=1
(−1)t+1
p
∑
k=1
xk+(t−1)p
=yt
=
∞∑
t=1
(−1)t+1
yt
Vamos mostrar que essa s´erie satisfaz os crit´erio de Leibniz. Como lim xn = 0 ent˜ao o
limite de qualquer subsequˆencia de (xn) tamb´em tende a zero, logo lim
t→∞
xk+(t−1)p = 0
, para todo k fixo, tem-se lim yt = lim
p
∑
k=1
xk+(t−1)p = 0. Agora vamos mostrar que a
sequˆencia (yt) ´e n˜ao-crescente, como (xn) ´e n˜ao-crescente temos que xk+tp ≤ xk+(t−1)p
para todo k, aplicando
p
∑
k=1
tem-se
yt+1 =
p
∑
k=1
xk+tp ≤
p
∑
k=1
xk+(t−1)p = yt
da´ı yt ´e n˜ao-crescente, logo vale o crit´erio de Leibniz, implicando que
∞∑
t=1
(−1)t+1
p
∑
k=1
xk+(t−1)p
´e convergente.
44. CAP´ITULO 1. S´ERIES 43
Exemplo 33. A s´erie obtida somando p termos com sinais positivos da sequˆencia
(xn) = (
1
n
) alternando com p termos negativos alternadamente ´e convergente, pois lim xn =
0 e xn ´e decrescente.
Exemplo 34. Mostrar que a s´erie
∞∑
k=1
(−1)k
(k2
+ 1)
k3 + 1
converge condicionalmente.
Tomando ak =
k2
+ 1
k3 + 1
mostramos que
ak > ak+1,
k2
+ 1
k3 + 1
>
k2
+ 2k + 2
k3 + 3k2 + 3k + 2
k5
+ 3k4
+ 4k3
+ 5k2
+ 3k + 2 > k5
+ 2k4
+ 2k3
+ k2
+ 2k + 2, k4
+ 2k3
+ 4k2
+ k > 0
e temos lim
(k2
+ 1)
k3 + 1
= 0 logo a s´erie
∞∑
k=1
(−1)k
(k2
+ 1)
k3 + 1
converge pelo crit´erio de Leibniz.
Vamos mostrar agora que
∞∑
k=1
(k2
+ 1)
k3 + 1
diverge,
(k2
+ 1)
k3 + 1
≥
1
k
, k3
+ k > k3
+ 1, k ≥ 1
logo temos
∞∑
k=1
(k2
+ 1)
k3 + 1
>
∞∑
k=1
1
k
logo a s´erie diverge por compara¸c˜ao.
Exemplo 35. A s´erie
∞∑
k=1
(−1)k
√
k
converge por crit´erio de Leibniz, pois lim
1
√
n
= 0
e como
√
n + 1 >
√
n segue que
1
√
n
>
1
√
n + 1
e da´ı
1
√
n
−
1
√
n + 1
> 0 a sequˆencia
´e decrescente, podemos aplica o crit´erio de Leibniz. Observe tamb´em que a s´erie dada
pelo quadrado do termo geral diverge pois o termo geral ´e
(−1)2n
√
n
2 =
1
n
termo da s´erie
harmˆonica que diverge.
Propriedade 43. Se
∞∑
k=0
xk e
∞∑
k=0
yk convergem e (xk), (yk) s˜ao sequˆencias de termos
n˜ao negativos, ent˜ao
∞∑
k=0
xk.yk converge.
45. CAP´ITULO 1. S´ERIES 44
Demonstra¸c˜ao. Sendo f(n) =
n∑
k=0
xk.yk, vale ∆f(n) = xn+1.yn+1 ≥ 0, logo a
sequˆencia das somas parciais ´e crescente. Vale ainda que a sequˆencia ´e limitada superior-
mente pois
n∑
k=0
xk.yk ≤ (
n∑
k=0
xk)(
n∑
k=0
yk).
Exemplo 36. A s´erie
∞∑ (−1)k
k + 1
converge , pelo crit´erio de Leibniz temos que
lim
1
n + 1
= 0 e (
1
n + 1
) ´e decrescente. Observamos tamb´em que essa s´erie ´e condicional-
mente convergente pois
∞∑ 1
k + 1
diverge, pela s´erie harmˆonica.
Exemplo 37. A s´erie
∞∑
k=2
(−1)k
k ln(k)
converge condicionalmente .
Pois
1
k ln(k)
→ 0, a sequˆencia ´e decrescente, logo usamos o crit´erio de Leibniz, que
implica a s´erie alternada
∞∑
k=2
(−1)k
k ln(k)
convergir . Tal s´erie n˜ao converge em m´odulo6
, isto
´e,
∞∑
k=2
1
k ln(k)
diverge , portanto
∞∑
k=2
(−1)k
k ln(k)
´e condicionalmente convergente .
Exemplo 38. A s´erie
∞∑
k=1
(−1)k
√
k3 − 6
converge. Pois sequˆencia de termo xn =
1
√
n3 − 6
´e decrescente
1
√
n3 − 6
>
1
√
(n + 1)3 − 6
⇔ (n + 1)3
− 6 > n3
− 6
que vale e temos lim xn = 0. Logo pelo crit´erio de Leibniz a s´erie converge.
Propriedade 44. Seja (xn) tal que xn ̸= 0 para todo n e lim xn = ∞ ent˜ao
∞∑
k=1
∆xk =
∞∑
k=1
xk+1 − xk
6
Vimos como aplica¸c˜ao do crit´erio de Cauchy
46. CAP´ITULO 1. S´ERIES 45
diverge e
∞∑
k=1
∆
1
xk
=
∞∑
k=1
1
xk+1
−
1
xk+1
converge.
Demonstra¸c˜ao. A primeira s´erie tem reduzida
n∑
k=1
∆xk = xk
n+1
1
= xn+1 − x1
tomando o limite
lim
n∑
k=1
∆xk = lim xn+1 − x1 = ∞
logo a s´erie diverge.
A segunda s´erie tem reduzida
n∑
k=1
∆
1
xk
=
1
xk
n+1
1
=
1
xn+1
−
1
x1
e tomando o limite mostramos que converge para −
1
x1
.
Exemplo 39. Seja a s´erie
∞∑
k=1
ak(−1)k+1
=
2
3
−
1
3
+
2
4
−
1
4
+
2
5
−
1
5
+
2
6
−
1
6
+· · · onde
a2k =
1
k + 2
e a2k−1 =
2
2 + k
ent˜ao lim ak = 0 e tem termos alternados, por´em diverge.
Por que ela n˜ao contradiz o teorema de Leibniz? Tal sequˆencia n˜ao satisfaz a propriedade
de ser n˜ao-crescente, pois a2k+1 > a2k,
2
2 + k + 1
>
1
2 + k
.
Tal s´erie realmente diverge pois
2n∑
k=1
ak(−1)k+1
=
n∑
k=1
a2k−1 −
n∑
k=1
a2k =
n∑
k=1
2
2 + k
−
1
2 + k
=
n∑
k=1
1
k + 2
que diverge pela divergˆencia da s´erie harmˆonica (perceba acima que separamos os termos
pares dos ´ımpares na soma).
Exemplo 40. Uma s´erie
∑
an pode ser convergente e quando seus termos s˜ao
multiplicados por uma sequˆencia limitada (xn) a s´erie
∑
anxn, pode divergir, como ´e o
caso da s´erie
∑ (−1)n
n
com termos multiplicados pela sequˆencia limitada de termo (−1)n
,
gerando a s´erie
∑ 1
n
que ´e divergente. (xn) pode ser convergente e ainda assim
∑
anxn
47. CAP´ITULO 1. S´ERIES 46
divergir como ´e o caso de
∑ (−1)n
√
n
que converge pelo crit´erio de Leibniz e tomando
xn =
(−1)n
√
n
∑ (−1)n
√
n
(−1)n
√
n
=
∑ 1
n
diverge.
Propriedade 45. Se (xn) ´e limitada e
∑
an ´e absolutamente convergente ent˜ao
∑
anxn ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao. Existe m ∈ R tal que |xn| < m ∀ n ∈ N da´ı |xnan| ≤ m|an| da´ı
segue por compara¸c˜ao que
∑
|xnan| ´e convergente logo
∑
xn.an converge.
1.3.7 Crit´erio de Kummer
Propriedade 46 (Crit´erio de Kummer , parte I). Sejam (xn) com xn > 0 ∀ n ∈ N.
Definindo
f(n) = xn
an
an+1
− xn+1
com an > 0 ∀ n. Se existe m ∈ N tal que f(n) > α > 0, ∀ n > m, n, m ∈ N ent˜ao
∞∑
k=1
ak
converge.
Demonstra¸c˜ao. Seja n > m ent˜ao vale
xn
an
an+1
− xn+1 > α
como an+1 > 0 podemos multiplicar sem alterar a desigualdade
xnan − xn+1an+1 > αan+1 ⇔ −∆(xnan) > αan+1
aplicando a soma com n variando de m + 1 at´e m + p a desigualdade continua v´alida
−
m+p
∑
n=m+1
∆(xnan) = xm+1am+1 − xm+p+1am+p+1 > α
m+p
∑
n=m+1
an+1 = α
m+p+1
∑
n=m+2
an
por xm+p+1am+p+1 ser positivo segue
α
m+p+1
∑
n=m+2
an < xm+1am+1 ⇔
m+p+1
∑
n=m+2
an <
xm+1am+1
α
e
m+p+1
∑
n=m+2
an =
m+p+1
∑
n=1
an −
m+1∑
n=1
an
48. CAP´ITULO 1. S´ERIES 47
logo
m+p+1
∑
n=1
an −
m+1∑
n=1
an <
xm+1am+1
α
⇔
m+p+1
∑
n=1
an <
m+1∑
n=1
an +
xm+1am+1
α
:= K
por m ser fixo, a s´erie dos termos ak ´e limitada superiormente e por ser soma de termo
positivos ela converge.
Propriedade 47 (Crit´erio de Kummer, parte II). Se existe m ∈ N tal que n > m
implica f(n) ≤ 0 e
∞∑
k=1
1
xk
diverge, ent˜ao
∞∑
k=1
ak diverge.
Demonstra¸c˜ao. Para k > m Vale
xk
ak
ak+1
− xk+1 ≤ 0 ⇔ xkak − xk+1ak+1 = −∆(xkak) ≤ 0
tomando a soma de k = m + 1 at´e n − 1 segue
−
n−1∑
k=m+1
∆xkak ≤ 0 ⇔ xm+1am+1
=c
≤ xnan ⇔
c
xn
≤ an ⇒
∞∑
n
c
xn
≤
∞∑
n
an
a s´erie
∞∑
n
an diverge por compara¸c˜ao com a s´erie divergente
∞∑
n
c
xn
.
Corol´ario 18. Se lim f(n) > 0 ent˜ao a s´erie
∞∑
k
ak converge. Pois vai existir m ∈ N
tal que n > m implica f(n) > 0.
Exemplo 41. A s´erie
∞∑
n=1
n∏
s=1
p + s
q + s
com q, p positivos, converge se q − p > 1 e diverge se q − p ≤ 1.
Com an =
n∏
s=1
p + s
q + s
temos
an
an+1
=
q + n + 1
p + n + 1
, tomando xn = p+n+1 > 0, conclu´ımos
que
n∑
k=1
1
xk
diverge pela s´erie harmˆonica e temos ainda que
(p + n + 1)
q + n + 1
p + n + 1
− p − n − 2 = q + n + 1 − p − n − 2 = q − p − 1
que n˜ao depende de n logo a s´erie converge para q − p − 1 > 0 ⇒ q − p > 1 e diverge para
q − p − 1 ≤ 0 ⇒ q − p ≤ 1.
49. CAP´ITULO 1. S´ERIES 48
Defini¸c˜ao 6 (Crit´erio de Raabe). O crit´erio de Raabe para convergˆencia de s´eries ´e
obtido por meio do crit´erio de Kummer, tomando xn = n. Resumindo o crit´erio:
∞∑
k=1
ak
converge se existem α > 0 e m ∈ N tal que vale
n
an
an+1
− n − 1 = n(
an
an+1
− 1) − 1 > α
para n > m, em especial se
lim n(
an
an+1
− 1) − 1 = l > 0 ⇔ lim n(
an
an+1
− 1) = s > 1
como
∞∑
k=1
1
k
diverge, ent˜ao se
n(
an
an+1
− 1) < 1
para n > m ent˜ao
∞∑
k=1
ak diverge o mesmo com limite
lim n(
an
an+1
− 1) = l < 1
ent˜ao a s´erie diverge.
1.4 Comutatividade
Defini¸c˜ao 7 (S´erie comutativamente convergente). Uma s´erie
∑
an ´e dita ser co-
mutativamente convergente quando para qualquer bije¸c˜ao f : N → N ( sendo bn = af(n)),
a s´erie
∑
bn ´e convergente.
A defini¸c˜ao de s´erie comutativamente convergente tamb´em funciona para s´eries do tipo
∞∑
k=b+1
a′
k, pois nesse caso escrevemos a s´erie como
∞∑
k=1
a′
k+b
ak
.
Corol´ario 19. Para que
∑
an seja comutativamente convergente ´e necess´ario que
∑
an seja convergente, pois f(n) = n ´e uma bije¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 8 (S´eries incondicionalmente convergentes). ´E uma s´erie que ´e comutati-
vamente convergente e toda reordena¸c˜ao converge para o mesmo limite.
50. CAP´ITULO 1. S´ERIES 49
Propriedade 48. Se
∑
|an| converge ent˜ao
∑
an ´e comutativamente convergente
e tem-se
∑
an =
∑
bn onde (bn) ´e qualquer reordena¸c˜ao dos termos de (an), (ela ´e
incondicionalmente convergente.)
Demonstra¸c˜ao. Seja
∑
akn ,com soma parcial s′
n, um rearranjo da s´erie
∑
an.
Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que m, n ≥ n0 implica
m∑
k=n
|ak| ≤
ε
2
.
Escolhemos p suficientemente grande tal que {1, · · · , n0} ´e subconjunto da reordena¸c˜ao
{k1, · · · , kp}. Se n > p + n0 os n´umeros de {a1, · · · , an0 } ser˜ao cancelados na diferen¸ca
sn − s′
n pois
s′
n =
n0∑
s=1
as +
n∑
ks>n0
aks
sn =
n0∑
s=1
as +
n∑
k=n0+1
ak
logo tomando a diferen¸ca
|sn − s′
n| = |
n∑
k=n0+1
ak +
n∑
ks>n0
aks | ≤
n∑
ks>n0
|aks | +
n∑
k=n0+1
|ak| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Logo sn e s′
n convergem para o mesmo limite.
⋆ Teorema 3 (Riemann). Se uma s´erie
∑
an ´e condicionalmente convergente (n˜ao
converge absolutamente) ent˜ao para qualquer c real, existe f : N → N bije¸c˜ao tal que
∑
af(n) = c, isto ´e, se uma s´erie ´e condicionalmente convergente ent˜ao existe uma reor-
dena¸c˜ao dos termos de
∑
an tal que o resultado da s´erie resulte em c.
Demonstra¸c˜ao. Como
∑
pn = ∞ ent˜ao podemos somar uma quantidade sufi-
ciente de termos positivos da s´erie tal que a soma resulte em s1 tal que c < s1, da mesma
maneira como
∑
qn = ∞ podemos somar uma quantidade suficiente de termos negativos
tais que a soma total resulte em s2 tal que s2 < c < s1. Como lim an = 0 conforme n
cresce os termos ficam cada vez menores , por isso podemos somar novamente uma quan-
tidade finita de termos positivos tais que a soma total resulte em s3 com s2 < c < s3 < s1
, seguindo esse processo criamos uma reordena¸c˜ao da soma dos termos de
∑
an tais que
∑
af(n) = c
51. CAP´ITULO 1. S´ERIES 50
Propriedade 49. Se uma s´erie ´e condicionalmente convergente ent˜ao existem al-
tera¸c˜oes na ordem da soma dos seus termos de modo a tornar a s´erie +∞ ou −∞.
Demonstra¸c˜ao. Como vale
∑
qn = ∞ podemos somar uma quantidade suficiente
de termos negativos da s´erie tal que a soma resulte em −s1 e qn seja arbitrariamente
pequeno, da´ı como
∑
pn = ∞ somamos um n´umero suficiente de termos positivos para
que o resultado seja s2
>0
+ A
>0
> 0, como qn ´e pequeno somamos um n´umero suficiente tal
que o resultado seja s3 tal que A < s3 < s2 + A, novamente somamos uma quantidade de
termos positivos tal que o resultado seja s4 = s2 +2A, somamos agora os termos negativos
tal que o resultado seja s5 com 2A < s5 < s2 + 2A, continuamos o processo, sendo que
para n suficientemente grande vale sn > p.A, onde p ´e natural e A > 0, logo a soma
diverge para infinito. Para que a s´erie seja divergente para −∞ tomamos procedimento
semelhante, por´em come¸cando a somar termos positivos at´e que pn seja pequeno e depois
come¸camos a somar os termos negativos.
Corol´ario 20. Somente as s´eries absolutamente convergentes s˜ao comutativamente
convergentes. Se uma s´erie ´e comutativamente convergente ent˜ao ela ´e absolutamente
convergente e incondicionalmente convergente. Se qualquer rearranjo da s´erie converge
ela ´e absolutamente convergente e todos rearranjos convergem para mesma soma.
Exemplo 42. Reordene os termos da s´erie
∞∑
k=1
(−1)k
k
de modo que sua soma se
torne zero.
Demonstrar que (hip´otese)
−1
n
< s(2n) =
n∑
k=1
1
2k − 1
−
4n∑
k=1
1
2k
< 0 < s2n−1 =
n∑
k=1
1
2k − 1
−
4n−4∑
k=1
1
2k
<
1
n
da´ı lim sn = 0 , sn ´e uma reordena¸c˜ao da s´erie
∑ (−1)k
k
.
Defini¸c˜ao 9 (Sequˆencia som´avel). Uma sequˆencia (an) ´e som´avel com soma s quando
X ∀ ε > 0, existe J0 ⊂ N tal que ∀ J ⊂ N finito com J0 ⊂ J tem-se |
∑
k∈J
ak − s| < ε.
Propriedade 50. Se (an) ´e som´avel ent˜ao para toda bije¸c˜ao f : N → N, (bn) dada
por bn = af(n) ´e som´avel com a mesma soma.
52. CAP´ITULO 1. S´ERIES 51
Demonstra¸c˜ao. Como (an) ´e som´avel ent˜ao dado ε > 0 existe j1 ⊂ N finito tal
que ∀ A j ⊂ N com J1 ⊂ j tem-se
|
∑
k∈j
ak − s| < ε.
Tomamos j0 ⊂ N tal que f(j0) = j1, da´ı f(j0) = j1 ⊂ j. Se j0 ⊂ j ent˜ao f(j0) = j1 ⊂
f(j) que implica
|
∑
k∈f(j)
ak − s| = |
∑
k∈j
af(k) − s| = |
∑
k∈j
bk − s| < ε
Propriedade 51. (an) ´e som´avel com soma s ⇔ a s´erie
∑
an ´e absolutamente
convergente e vale
∑
an = s.
Demonstra¸c˜ao. Adotaremos a nota¸c˜ao sj =
∑
k∈j
ak, lembrando que j ´e um
conjunto finito.
⇒ Vamos mostrar que o conjunto das somas finitas ´e limitado e da´ı a s´erie ir´a convergir
absolutamente , por resultado j´a demonstrado.
Dado ε = 1 existe j0 ∈ N finito tal que ∀ j com j0 ⊂ j ⇒ |s − sj| < 1. Denotaremos
a =
∑
k∈j0
|ak|. Seja A ⊂ N um conjunto finito arbitr´ario, por identidade de conjuntos vale
A ∪ j0 = (j0 A) ∪ A sendo que essa uni˜ao ´e disjunta, da´ı tomando a soma sobre esses
conjuntos finitos segue
∑
k∈A∪j0
ak =
∑
k∈j0A
ak +
∑
k∈A
ak ⇒
∑
k∈A
ak =
∑
k∈A∪j0
ak −
∑
k∈j0A
ak
sA = sA∪j0 − sj0A
pois em geral se A e B s˜ao conjuntos disjuntos vale que7
∑
k∈A∪B
ak =
∑
k∈A
ak +
∑
k∈B
ak. Disso
segue que |s − sA| = |s − sA∪j0 + sj0A| < |s − sA∪j0 | + |sj0A| < 1 + a pois j0 ⊂ A ∪ j0
logo |s − sA∪j0 | < 1 pela condi¸c˜ao de ser som´avel . conclu´ımos ent˜ao que o conjunto das
somas finitas de
∑
ak ´e limitado, ent˜ao tal s´erie converge absolutamente.
⇐. Supondo agora que a s´erie
∑
an seja absolutamente convergente com
∑
an =
∑
pn
u
−
∑
qn
v
= u − v = s. Tomando uj =
∑
k∈J
pk, vj =
∑
k∈J
qk temos sj = uj − vj.
Pela convergˆencia absoluta de
∑
an, dado ε > 0 arbitr´ario existe n0 ∈ N tal que, sendo
7
Isso pode ser tomado como parte da defini¸c˜ao de soma sobre conjuntos finitos
53. CAP´ITULO 1. S´ERIES 52
j0 = In0 = {1, · · · , n0}, j0 ⊂ j ⇒ |u − uj| <
ε
2
, |v − vj| <
ε
2
pela defini¸c˜ao de limite
aplicada as somas, da´ı j0 ⊂ j ⇒
|s − sj| = |uj − vj − (u − v)| ≤ |u − uj| + |v − vj| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
da´ı a sequˆencia ´e som´avel.
Exemplo 43. Dar o exemplo de uma sequˆencia (xn) tal que lim ∆xn = 0 e xn seja
divergente por´em limitada. Tomamos x1 = 0, x2 = 1, temos um passo h = 1, tomamos
agora o passo h =
−1
2
, x3 =
1
2
, x4 = 0, tomamos agora o passo h =
1
4
e somamos at´e
chegar em 1 novamente, continuamos o processo dividindo sempre o passo por 2 e fazendo
a sequˆencia alternar entre 0 e 1. A sequˆencia constru´ıda dessa forma ´e divergente, pois
possui subsequˆencias convergindo para valores distintos, ´e limitada pois est´a sempre em
[0, 1] e a sequˆencia das diferen¸cas tende a zero |xn+1 − xn|.
1.5 Soma sobre um conjunto infinito arbitr´ario
Defini¸c˜ao 10. Sejam A ⊂ R , f : A → R, tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ A e o
conjunto
S = {
∑
k∈ F
f(k) |F ⊂ A | F ´e finito}.
se S ´e limitado superiormente definimos
∑
k∈A
f(k) = sup S
se n˜ao
∑
k∈A
f(k) = ∞
nesse caso dizemos que a s´erie diverge.
54. CAP´ITULO 1. S´ERIES 53
1.6 S´eries em espa¸cos vetoriais normados
Seja E um espa¸co vetorial normado.
Defini¸c˜ao 11 (S´erie em espa¸co vetorial normado). Seja (xn) em E, definimos a s´erie
∞∑
k=1
xk como
∞∑
k=1
xk := lim
n∑
k=1
xk
quando tal limite existe, dizemos que a s´erie ´e convergente , caso contr´ario dizemos que ´e
divergente.
Propriedade 52. Se
∞∑
k=1
xk converge, ent˜ao lim xn = 0.
1.7 Soma de Ces`aro
Defini¸c˜ao 12 (M´edia de Ces`aro). Dada uma sequˆencia (xn) definimos a m´edia de
Ces`aro de (xn) como a sequˆencia (yn) dada por
yn =
1
n
n∑
k=1
xk
yn ´e a m´edia aritm´etica dos n primeiros elementos de (xn)
A seguir provaremos resultados dos quais a seguinte propriedade segue como corol´ario
Se lim xn = a ent˜ao lim yn = a, isto ´e, a opera¸c˜ao de tomar a m´edia de Ces`aro preserva
sequˆencias convergentes e seus limites.
Defini¸c˜ao 13 (Ces`aro som´avel). Se lim
n∑
k=1
xk
n
= L ent˜ao a sequˆencia (xn) ´e dita
Ces`aro som´avel e associamos a essa sequˆencia o valor L como soma de Ces`aro . Dizemos
que (xn) ´e (C, 1) som´avel para L, nesse caso escrevemos
lim xn = L (C, 1).
lim xn = L (C, 1) ⇔ lim
n∑
k=1
xk
n
= L.
55. CAP´ITULO 1. S´ERIES 54
Toda sequˆencia convergente ´e Ces`aro som´avel, por´em existem sequˆencias n˜ao conver-
gentes que s˜ao Ces`aro som´avel .
⋆ Teorema 4 (Teorema de Stolz-Ces`aro). Dada uma sequˆencia (xn) e uma sequˆencia
(yn) crescente com
lim yn = ∞
e lim
∆xn
∆yn
= a ent˜ao lim
xn
yn
= a.
Essa propriedade ´e o an´alogo do teorema de L’Hospital para sequˆencias. Lembrando
que estamos denotando ∆ como o operador que faz ∆xn = xn+1 − xn, toma a diferen¸ca
de tais n´umeros consecutivos na sequˆencia.
Demonstra¸c˜ao.
Como lim
∆xn
∆yn
= a ent˜ao para todo
ε
3
> 0 existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se
|
∆xk
∆yk
− a| <
ε
3
,
e yn > 0 (pois tende ao infinito), como (yn) ´e crescente vale ∆yk > 0, logo podemos
multiplicar por ele em ambos lados da desigualdade sem alterar
|∆xk − a∆yk| <
ε
3
∆yk,
aplicando a soma
n−1∑
k=n0+1
em ambos lados e usando desigualdade triangular do tipo |
∑
xk| ≤
∑
|xk|, segue que
|
n−1∑
k=n0+1
∆xk − a
n−1∑
k=n0+1
∆yk| <
ε
3
n−1∑
k=n0+1
∆yk,
usando a soma telesc´opica tem-se
|xn − xn0+1 − ayn + ayn0+1)| <
ε
3
(yn − yn0+1),
agora como yn > 0 dividimos por esse termo de ambos lados
|
xn
yn
−
xn0+1
yn
− a + a
yn0+1
yn
)| <
ε
3
(1 −
yn0+1
yn
),
56. CAP´ITULO 1. S´ERIES 55
somando agora |
xn0+1
yn
| + | − a
yn0+1
yn
)| e usando a desigualdade triangular , temos
|
xn
yn
− a| <
ε
3
(1 −
yn0+1
yn
)
≤1
+|
xn0+1
yn
| + |a
yn0+1
yn
)|
tem-se que 1 −
yn0+1
yn
≤ 1 pois equivale a 0 ≤
yn0+1
yn
, que vale pois yn0+1 e yn s˜ao
positivos, como yn → ∞, podemos tomar para n suficientemente grande que |
xn0+1
yn
| <
ε
3
e tamb´em |a
yn0+1
yn
)| <
ε
3
, usando tais desigualdades, tem-se finalmente que
|
xn
yn
− a| ≤
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε
portanto
xn
yn
→ a.
Propriedade 53. Se limzn = a e (wn) ´e uma sequˆencia de n´umeros positivos com
lim
n∑
k=1
wk = ∞ ent˜ao lim
n∑
k=1
wkzk
n∑
k=1
wk
= a.
Demonstra¸c˜ao. Tomamos xn =
n∑
k=1
wk.zk e yn =
n∑
k=1
wk ent˜ao ∆xn = wn+1.zn+1
, ∆yn = wn+1 > 0 ent˜ao yn ´e crescente e lim yn = ∞, temos tamb´em que
∆xn
∆yn
=
wn+1zn+1
wn+1
= zn+1 cujo limite existe e vale a ent˜ao nessas condi¸c˜oes vale
lim
xn
yn
= lim
n∑
k=1
wk.zk
n∑
k=1
wk
= a.
Corol´ario 21. Tomando wn = 1 ent˜ao
n∑
k=1
wk = n e seu limite ´e infinito, tomando
uma sequˆencia (zn) tal que lim zn = a ent˜ao segue que
lim
n∑
k=1
zk
n
= a
, isto ´e, se lim zn = a ent˜ao lim
n∑
k=1
zk
n
= a.
Provamos ent˜ao que se lim xn = a ent˜ao lim xn = a (C, 1).
57. CAP´ITULO 1. S´ERIES 56
Exemplo 44. Tomando zn =
1
n
tem-se lim zn = 0 e da´ı
lim
n∑
k=1
1
k
n
= 0 = lim
Hn
n
.
Exemplo 45. Tomando zn = a
1
n com a > 0 tem-se lim zn = 1 e da´ı
lim
n∑
k=1
a
1
k
n
= 1.
Propriedade 54 (Stolz-Ces`aro para limite infinito). Seja (bn) crescente e ilimitada .
Se lim
∆an
∆bn
= ∞ ent˜ao lim
an
bn
= ∞
Demonstra¸c˜ao. Para qualquer A > 0 existe n0 ∈ N tal que k > n0 implica
∆ak
∆bk
> A,
como ∆bk > 0 e bk > 0, logo tem-se
∆ak > A∆bk,
aplicando
n∑
k=n0+1
segue por soma telesc´opica
an+1 − an0+1 > A.(bn+1 − bn0+1)
an+1 > an0+1 + A.(bn+1 − bn0+1)
an+1
bn+1
>
an0+1
bn+1
+ A.(1 −
bn0+1
bn+1
) > A
para n grande, da´ı
lim
an
bn
= ∞.
Exemplo 46. A reciproca da propriedade nem sempre vale, yn = n, xn = (−1)n
vale lim
xn
yn
= lim
(−1)n
n
= 0 e lim
∆xn
∆yn
= lim
(−2)(−1)n
1
n˜ao existe.
Propriedade 55. Se lim an = ∞ e an > 0∀ n ∈ N ent˜ao lim
n∑
k=1
ak
n
= ∞.
58. CAP´ITULO 1. S´ERIES 57
Demonstra¸c˜ao. Essa prova vale mesmo se (an) n˜ao tem a restri¸c˜ao de an > 0
. Aplicamos o teorema de Stolz-Ces`aro para limite infinito . an =
n∑
k=1
ak , bn = n ´e
crescente e ilimitada e vale ∆
n∑
k=1
ak = an+1 , ∆n = 1 logo
lim
∆an
∆n
= lim an+1 = ∞
ent˜ao lim
n∑
k=1
ak
n
= ∞.
Corol´ario 22. Esse resultado diz que se lim xn = ∞ ent˜ao lim xn = ∞ ∈ (C, 1)
Demonstra¸c˜ao.[2]
∀ A > 0 ∃ n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se an > 2A ent˜ao para n > 2n0 ( que
implica
n − n0
n
>
1
2
) vale
n∑
k=1
ak
n
≥
n∑
k=n0+1
2A
n
= 2A
n − n0
n
≥
2A
2
= A
logo
lim
n∑
k=1
ak
n
= ∞.
Corol´ario 23. Se lim xn = ∞ e n˜ao vale xn > 0 ∀ n ∈ N ent˜ao a propriedade
tamb´em vale pois existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se xn > 0 , da´ı
n∑
k=1
ak
n
=
n0∑
k=1
ak
n
+
n∑
k=n0+1
ak
n
=
n0∑
k=1
ak
n
+
n−n0∑
k=1
xk
ak+n0
n
assim se define uma nova sequˆencia (xn) que satisfaz as propriedades do resultado anterior
.
Propriedade 56.
lim ln(n + 1) − ln(n) = 0.
Demonstra¸c˜ao.
lim ln(
n + 1
n
) = lim ln(1 +
1
n
) = ln(1) = 0.
59. CAP´ITULO 1. S´ERIES 58
Propriedade 57.
lim
ln(n + 1)
n
= 0.
Demonstra¸c˜ao. Tomando yn = n e xn = ln(n + 1) vale que ∆yn = 1 > 0 e
lim yn = ∞, ∆xn = ln(
n + 1
n
) logo
lim
∆yn
∆xn
= lim ln(
n + 1
n
) = 0
logo lim
ln(n + 1)
n
= 0.
Exemplo 47. Calcule o limite
lim
n∑
k=1
k ln(k)
n2 ln(n)
.
Tomando xn =
n∑
k=1
k ln(k) e yn = n2
ln(n) vale lim yn = m∞ e ∆yn > 0, logo por
Stolz-Ces`aro podemos avaliar o limite
lim
(n + 1) ln(n + 1)
(n + 1)2 ln(n + 1) − n ln(n)
como para n grande ln(n + 1) ≈ ln(n)
lim
(n + 1) ln(n + 1)
(n + 1)2 ln(n + 1) − n ln(n)
= lim
(n + 1)
(n + 1)2 − n
= lim
(n + 1)
2n + 1
=
1
2
.
Logo
lim
n∑
k=1
k ln(k)
n2 ln(n)
= 1.
Propriedade 58. Se (xn) ´e limitada ent˜ao (xn) (C, 1) tamb´em ´e limitada, e no mesmo
intervalo .
Demonstra¸c˜ao. Existem c1, c2 tais que c2 < xk < c1, da´ı somamos em ambos
lados nc2 <
n∑
k=1
xk < nc1 dividindo por n segue
c2 <
n∑
k=1
xk
n
< c1.
60. CAP´ITULO 1. S´ERIES 59
1.7.1 S´erie de Grandi
Defini¸c˜ao 14 (S´erie de Grandi). A s´erie de Grandi ´e a s´erie
∞∑
k=0
(−1)k
.
Luigi Guido Grandi (1671 − 1742) foi um padre italiano , fil´osofo, matem´atico, e
engenheiro.
Corol´ario 24. A s´erie de Grandi ´e divergente, pois n˜ao existe lim(−1)n
.
Propriedade 59. A s´erie de Grandi ´e Ces´aro som´avel e possui soma de Ces´aro de
valor
1
2
.
Demonstra¸c˜ao.
n∑
k=0
(−1)k
=
(−1)n
2
+
1
2
da´ı n∑
k=1
(−1)k
2
+
1
2
=
n
2
+
(−1)n
+ 1
2
da´ı lim
n
2n
+
(−1)n
+ 1
2n
=
1
2
.
Propriedade 60. Suponha que vale L−ε <
n∑
k=1
xk
n
para k ≤ n, se vale L+ε(
m + n
m − n
) <
xk para k > n ent˜ao
L + ε <
m∑
k=1
xk
m
.
Demonstra¸c˜ao. Da desigualdade L+ε(
m + n
m − n
) < xk , aplicando
m∑
k=n+1
em ambos
lados tem-se
(m − n)L + ε(m + n) <
m∑
k=n+1
xk
da primeira identidade tem-se n(L − ε) <
m∑
k=1
xk somando as desigualdades segue
(m)(L + ε) <
m∑
k=1
xk
da´ı
L + ε <
m∑
k=1
xk
m
.
61. CAP´ITULO 1. S´ERIES 60
1.8 Sequˆencias (C, P) som´aveis
Defini¸c˜ao 15 (M´etodo regular de somabilidade). Um m´etodo de somabilidade M ´e
regular se lim xn = L ent˜ao lim xn = L existe em M .
Defini¸c˜ao 16 (Sequˆencias (C, P) som´aveis). Uma sequˆencia (xk) ´e dita (C, P)
som´avel se existe L tal que
lim
n∑
k=1
(n+p−1−k
n−k
)
xk
(n+p−1
n−1
) = L.
Propriedade 61. Se (xk) ´e (C, P) som´avel ent˜ao (xk) ´e (C, P + 1) som´avel .
Demonstra¸c˜ao.
1.9 S´eries de termos n˜ao-negativos
Nesta se¸c˜ao iremos estudar as s´eries de termos n˜ao-negativos, isto ´e,
∑
ak com ak ≥ 0.
Propriedade 62. Sejam as s´eries
∑
ak e
∑ ak
1 + ak
.
∑
ak converge ⇔
∑ ak
1 + ak
converge.
Demonstra¸c˜ao. ⇒.
∑
ak converge e vale
0 ≤ ak ⇒ 1 ≤ 1 + ak ⇒
1
1 + ak
≤ 1 ⇒
ak
1 + ak
≤ ak
pelo crit´erio de compara¸c˜ao segue que
∑ ak
1 + ak
converge.
⇐.
∑ ak
1 + ak
converge ent˜ao
lim
ak
1 + ak
= 0 ⇒ lim 1 −
1
ak + 1
= 0 ⇒ lim
1
ak + 1
= 1
da´ı por propriedade de limite lim ak + 1 = 1 ⇒ lim ak = 0 ent˜ao existe n0 tal que para
k > n0 tem-se ak ≤ 1
ak + 1 ≤ 2 ⇒
1
2
≤
1
ak + 1
⇒
ak
2
≤
ak
ak + 1
logo por compara¸c˜ao
∑
ak converge .
62. CAP´ITULO 1. S´ERIES 61
1.9.1 Crit´erio de compara¸c˜ao por limite para s´eries de termos
positivos
Propriedade 63. 1. Sejam duas s´eries
∑
ak e
∑
bk de termos positivos, se existe
lim
ak
bk
= a ̸= 0 ent˜ao
∑
ak converge ⇔
∑
bk converge .
2. Se lim
ak
bk
= 0 ent˜ao a convergˆencia de
∑
bk implica convergˆencia de
∑
ak.
Demonstra¸c˜ao.
1. Existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se
0 < t1 < a − ε <
ak
bk
< a + ε < t2
como bk > 0 tem-se
t1bk < ak < t2bk
aplicamos a soma
n∑
k=n0+1
, da´ı
t1
n∑
k=n0+1
bk <
n∑
k=n0+1
ak < t2
n∑
k=n0+1
bk
usando essa desigualdade temos por compara¸c˜ao que se
∑
bk converge ent˜ao
∑
ak
converge e se
∑
ak converge ent˜ao
∑
bk converge.
2. De maneira similar ao item anterior.
Existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se
0 ≤
ak
bk
< ε < t2
como bk > 0 tem-se
0 ≤ ak < t2bk
aplicamos a soma
n∑
k=n0+1
, da´ı
0 ≤
n∑
k=n0+1
ak < t2
n∑
k=n0+1
bk
usando essa desigualdade temos por compara¸c˜ao que se
∑
bk converge ent˜ao
∑
ak
converge.
63. CAP´ITULO 1. S´ERIES 62
Exemplo 48. A s´erie
∑
sen(
1
k
) diverge pois
∑ 1
k
diverge e
lim
k→∞
sen(1
k
)
1
k
= 1,
pois isso equivale tomando
1
k
= x que x → 0 ent˜ao ca´ı no limite fundamental
lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
Notamos que sen(
1
k
) ´e positivo pois a fun¸c˜ao ´e positiva no intervalo (0,
π
2
). Por isso
podemos aplicar o crit´erio .
Propriedade 64. Seja (ak) uma sequˆencia positiva.
n∑
k=1
ak converge ⇔
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
converge.
Demonstra¸c˜ao.
X Suponha que
n∑
k=1
ak converge, vamos mostrar que
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
tamb´em converge.
Temos que a1 ≤
k∑
j=1
aj, logo
1
k∑
j=1
aj
≤
1
a1
⇒
ak
k∑
j=1
aj
≤
ak
a1
,
somando, segue que
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
≤
n∑
k=1
ak
a1
,
portanto a convergˆencia de
n∑
k=1
ak implica a convergˆencia de
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
e a di-
vergˆencia de
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
implica divergˆencia de
n∑
k=1
ak.
64. CAP´ITULO 1. S´ERIES 63
X Agora vamos provar que a divergˆencia de
n∑
k=1
ak, implica a divergˆencia de
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
. Vamos denotar Sk =
k∑
j=1
aj. Temos que
m∑
k=n+1
ak
Sk
≥
m∑
k=n+1
ak
Sm
=
1
Sm
( m∑
k=1
ak −
n∑
k=1
ak
)
=
=
1
Sm
(Sm − Sn) = 1 −
Sn
Sm
,
como Sm → ∞ podemos concluir que
∞∑
k=n+1
ak
Sk
≥ 1,
para qualquer n, logo a sequˆencia n˜ao ´e de Cauchy e portanto n˜ao converge. Por fim
n˜ao podemos ter convergˆencia de
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
= Vn com divergˆencia de
n∑
k=1
ak = Sn,
pois a divergˆencia de Sn implica divergˆencia de Vn.
Propriedade 65. Valem as desigualdades
n∑
k=1
ak
k∑
t=1
at
≤
1
a1
n∑
k=1
ak,
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
j∑
t=1
at
≤
1
a1
n∑
k=1
ak.
Demonstra¸c˜ao. A primeira j´a provamos, na propriedade anterior, vamos provar
a segunda. Vamos denotar Tk =
k∑
j=1
j
∑
t=1
at. Vale que a1 ≤ Tk, o que implica
1
Tk
≤
1
a1
,
multiplicando por ak e somando, segue
n∑
k=1
ak
Tk
≤
1
a1
n∑
k=1
ak.
Disso segue, que se
n∑
k=1
ak converge, ent˜ao
n∑
k=1
ak
Tk
tamb´em converge, se
n∑
k=1
ak
Tk
diverge,
ent˜ao
n∑
k=1
ak tamb´em diverge.
65. CAP´ITULO 1. S´ERIES 64
Propriedade 66. Sejam (ak) sequˆencia de termos positivos e Sn =
n∑
k=1
ak, ent˜ao
∞∑
n=1
2an
(Sn)2
converge.
Demonstra¸c˜ao. Sn ´e uma sequˆencia crescente, da´ı ela converge para um n´umero
positivo ou tende a infinito, em qualquer dos casos o limite de
1
Sn
existe. Temos que
Sn−1 < Sn, da´ı Sn−1Sn < (Sn)2
e
1
(Sn)2
≤
1
Sn−1Sn
, multiplicando por an segue
an
(Sn)2
≤
an
Sn−1Sn
=
Sn − Sn−1
Sn−1Sn
=
1
Sn−1
−
1
Sn
= −∆
1
Sn−1
,
aplicando a soma neste ´ultimo termo, tem-se por soma telesc´opica
∞∑
n=1
an
Sn−1Sn
= −
∞∑
n=1
∆
1
Sn−1
=
1
S0
− lim
1
Sn−1
,
mas, como notamos, lim
1
Sn−1
existe, por isso a s´erie
∞∑
n=1
an
Sn−1Sn
converge e da´ı tamb´em
converge
∞∑
n=1
an
(Sn)2
por crit´erio de compara¸c˜ao.
Propriedade 67. Seja (ak) sequˆencia em (0, 1). Ent˜ao
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
j∑
t=1
at
converge.
Demonstra¸c˜ao. Sejam Tn =
n∑
j=1
j
∑
t=1
at , Sn =
n∑
k=1
ak. Primeiro, vamos mostrar
que
(Sn)2
2
≤ Tn, isto ´e,
( n∑
k=1
ak
)2
2
≤
n∑
j=1
j
∑
t=1
at.
Por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 1, temos
a2
1
2
≤ a1 ⇔ a1 ≤ 2,
logo vale, pois a1 < 1. Suponha validade para n, vamos provar para n + 1. Usando
hip´otese da indu¸c˜ao e que (Sn+1)2
= (Sn + an+1)2
= (Sn)2
+ 2an+1Sn + (an+1)2
, segue que
(Sn+1)2
2
=
(Sn)2
2
+ an+1Sn +
(an+1)2
2
≤ Tn + Sn + an+1 =
66. CAP´ITULO 1. S´ERIES 65
= Tn + Sn+1 =
n∑
j=1
j
∑
t=1
at +
n+1∑
k=1
ak =
n+1∑
j=1
j
∑
t=1
at = Tn+1,
como quer´ıamos mostrar.
Agora, de
(Sn)2
2
≤ Tn, segue que
1
Tn
≤
2
(Sn)2
, multiplicando por an e somando de
ambos lados, temos que
∞∑
n=1
an
Tn
≤
∞∑
n=1
2an
(Sn)2
,
essa ´ultima s´erie converge pela propriedade anterior, logo por compara¸c˜ao
∞∑
n=1
an
Tn
con-
verge.
Exemplo 49. Pode valer que
∑
ak converge, valendo lim
ak
bk
= 0 e
∑
bk n˜ao
converge, tome por exemplo ak =
1
k2
, bk =
1
k
,
∑
bk n˜ao converge, lim
ak
bk
= lim
k
k2
=
lim
1
k
= 0 e
∑
ak converge, logo a rec´ıproca do item 2 da propriedade anterior n˜ao vale.
Exemplo 50. Se
∑
ak de termos positivos converge ent˜ao
∑
sen(ak) tamb´em
converge, pois da primeira convergˆencia temos lim ak = 0 da´ı para k grande vale que
sen(ak) > 0 e vale lim
sen(ak)
ak
= 1 ent˜ao
∑
sen(ak) converge.
Podemos ainda resolver sem esse crit´erio, pois se 0 < |x| <
π
2
tem-se sen(x) < x, da´ı
com
0 ≥ sen(ak) < ak
e por compara¸c˜ao a primeira converge.
Propriedade 68. Seja (an) uma sequˆencia n˜ao-crescente de n´umeros reais positivos.
Se
∑
ak converge ent˜ao lim nan = 0.
Demonstra¸c˜ao. Usaremos o crit´erio de Cauchy . Existe n0 ∈ N tal que para
n + 1 > n0 vale
2na2n
2
= na2n ≤
2n∑
k=n+1
ak < ε
logo lim 2na2n = 0. Agora mostramos que a subsequˆencia dos ´ımpares tamb´em tende a
zero. Vale a2n+1 ≤ a2n da´ı 0 < (2n + 1)a2n+1 ≤ 2na2n + a2n por teorema do sandu´ıche
segue o resultado. Como as subsequˆencias pares e ´ımpares de (nan) tendem a zero, ent˜ao
a sequˆencia tende a zero.
67. CAP´ITULO 1. S´ERIES 66
Corol´ario 25. A s´erie harmˆonica
∑ 1
k
diverge, pois (
1
n
) ´e decrescente e vale lim
n
n
=
1 ̸= 0.
Propriedade 69. Seja (xk) uma sequˆencia de n´umeros n˜ao negativos com a s´erie
∑
xk convergente ent˜ao
∑
x2
k ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao.[1] Como
∑
ak ´e convergente, vale lim ak = 0 e da´ı para k > n0
vale xk < 1 que implica x2
k ≤ xk logo por compara¸c˜ao
∑
x2
k converge.
Demonstra¸c˜ao.[2] Como temos xk ≥ 0 segue tamb´em x2
k ≥ 0, sendo ent˜ao
s(n) =
n∑
k=b
x2
k temos ∆s(n) = x2
n+1 ≥ 0, logo s(n) ´e n˜ao decrescente, se mostrarmos que
a s´erie ´e limitada superiormente teremos uma sequˆencia que ´e limitada e mon´otona logo
convergente. Temos que s(n) ´e limitada superiormente da seguinte maneira
n∑
k=b
x2
k ≤ (
n∑
k=b
xk)(
n∑
k=b
xk)
logo a s´erie ´e convergente.
Corol´ario 26. Se
∑
ak ´e absolutamente convergente ent˜ao
∑
a2
k converge, usamos o
resultado anterior com xk = |ak|, ent˜ao a convergˆencia de
∑
|ak| implica a convergˆencia
de
∑
|ak|2
=
∑
a2
k.
Exemplo 51. Se n˜ao vale xk > 0 ent˜ao podemos ter
∑
xk convergente e
∑
x2
k
divergente, pois
∑ (−1)k
√
k
converge e
∑ 1
k
diverge.
Propriedade 70. Se
∑
ak, ak > 0 converge ent˜ao a s´erie
∑ √
ak
k
tamb´em converge
.
Demonstra¸c˜ao. Usando a desigualdade de Cauchy
(
n∑
k=1
xkyk)2
≤ (
n∑
k=1
x2
k)(
n∑
k=1
y2
k)
com yk =
1
k
e xk =
√
ak tem-se
(
n∑
k=1
√
ak
k
)2
≤ (
n∑
k=1
ak)(
n∑
k=1
1
k2
)
68. CAP´ITULO 1. S´ERIES 67
logo
n∑
k=1
√
ak
k
≤ (
n∑
k=1
ak)(
n∑
k=1
1
k2
)
a s´erie ´e limitada superiormente, sendo crescente, ela converge .
Corol´ario 27. Se
∑
x2
k, converge ent˜ao a s´erie
∑ xk
k
tamb´em converge, basta usar
o resultado anterior com ak = x2
k.
Propriedade 71. Se
∑
x2
n e
∑
y2
n convergem ent˜ao
∑
xn.yn converge absoluta-
mente.
Demonstra¸c˜ao. Usando a desigualdade de Cauchy
(
n∑
k=1
|xk||yk|)2
≤ (
n∑
k=1
|xk|2
)(
n∑
k=1
|yk|2
) = (
n∑
k=1
x2
k)(
n∑
k=1
y2
k)
logo por crit´erio de compara¸c˜ao segue que
∑
xn.yn converge absolutamente.
1.10 Representa¸c˜ao decimal
Defini¸c˜ao 17 (Representa¸c˜ao numa base b). Dado um n´umero natural b > 1, a
representa¸c˜ao de um n´umero real x na forma
x =
n∑
k=−∞
bk
ak
onde ak ∈ {0, · · · , b − 1}, ´e chamada de representa¸c˜ao na base b do n´umero x . Cada ak
´e chamado de algarismo e k de seu ´ındice.
Caso x =
n∑
k=−∞
bk
ak denotaremos tamb´em
x = (an · · · a0, a−1 · · · a−t · · · )b
que vamos denotar em nota¸c˜ao compacta
x = (ak)n
(k=−∞, b).
69. CAP´ITULO 1. S´ERIES 68
Caso de um n´umero natural
x = (ak)n
(b) = (a0, · · · , an)b
o ´ındice b para simbolizar a base, o expoente n para simbolizar que k varia de 0 at´e n.
Propriedade 72. Todo n´umero m ∈ N pode ser representado numa base a.
Demonstra¸c˜ao.
Pelo teorema de divis˜ao euclidiana, se tomarmos n´umeros f(0) = m e a ̸= 0 naturais,
teremos n´umeros f(1) e R(0) determinados univocamente, tais que f(0) = af(1) + R(0)
com 0 ≤ R(0) < a. Onde f(1) ´e o quociente, R(0) ´e o resto da divis˜ao de f(0) por a.
Podemos assim definir uma sequˆencia
f(n) = af(n + 1) + R(n)
onde R(n) ´e sempre o resto da divis˜ao de f(n) por a, logo R(n) ∈ {0, · · · , a−1}, f(n+1)
´e o quociente. esse tipo de recorrˆencia podemos encontrar a f´ormula geral .
Vamos resolver ent˜ao essa recorrˆencia. Tomamos f(n) = h(n)
1
an
, substituindo temos
f(n)
a
−
R(n)
a
= f(n + 1)
h(n)
an+1
−
R(n)
a
=
h(n + 1)
an+1
−
R(n)
a
an+1
= −an
R(n) = ∆h(n)
aplicando o somat´orio em ambos termos, variando de k = 0 at´e n − 1 temos
n−1∑
k=0
∆h(k) = h(n) − h(0) = −
n−1∑
k=0
ak
R(k)
h(n) = h(0) −
n−1∑
k=0
ak
R(k)
logo temos
f(n)an
= h(0) −
n−1∑
k=0
ak
R(k)
70. CAP´ITULO 1. S´ERIES 69
tomando n = 0 temos
f(0) = h(0)
logo
f(n)an
+
n−1∑
k=0
ak
R(k) = f(0)
se f(n) = R(n), podemos juntar ao limite superior do somat´orio, ficando com
f(0) =
n∑
k=0
ak
R(k)
Este resultado permite ver o mˆetodo para expressar um n´umero em termo de potˆencias
de a que ´e chamado de base.
Defini¸c˜ao 18. Um algarismos `a esquerda de um algarismo at dado de
m∑
k=−∞
bk
s˜ao os algarismos ak com k > t, caso existam . Algarismos `a direita de at s˜ao os algarismos,
ak com k < t, caso existam . Dados dois algarismos at e aw distintos, w > t, os algarismos
entre esses dois s˜ao os algarismos ak com t < k < w, caso w = t + 1 ent˜ao n˜ao existe
algarismo entre at e aw.
Defini¸c˜ao 19 (Representa¸c˜ao decimal de n´umero natural). Um n´umero natural pode
ser representado da forma
n∑
k=0
ak10k
.
Defini¸c˜ao 20 (Representa¸c˜ao decimal de um n´umero real). Seja dada uma sequˆencia
(ak)∞
0 = (a0, a1, a2, · · · ) onde a0 ´e um inteiro qualquer e ak com k > 0 pertence ao conjunto
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Um n´umero real na forma decimal ´e representado por
a0, a1a2a3 · · ·
onde cada ak ´e chamado de d´ıgito do n´umero na forma decimal .
71. CAP´ITULO 1. S´ERIES 70
Para dar sentido `a a0, a1a2a3 · · · como n´umero real, definimos
a0, a1a2a3 · · · =
∞∑
k=0
ak
10k
= a0 +
∞∑
k=1
ak
10k
O sistema decimal para representar n´umeros naturais ´e variante do sistema sexagesimal
utilizado pelos babilˆonios h´a cerca de 1700 anos antes de Cristo, ele foi desenvolvido na
China e na ´India. Por neste sistema, todo n´umero ser representado por uma sequˆencia
formada pelos algarismos
0, 1, , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
sendo em n´umero de 10, o sistema ´e portanto chamado de decimal .
O sistema decimal tamb´em ´e dito posicional, pois cada algarismo, al´em de seu va-
lor intr´ınseco, possui um peso que lhe ´e atribu´ıdo em fun¸c˜ao de sua posi¸c˜ao dentro da
sequˆencia. Esse peso ´e uma potˆencia de 10 e varia como exposto acima.
Agora vamos mostrar que essa s´erie da representa¸c˜ao decimal sempre converge , logo
a0, a1a2a3 · · · representa um ´unico n´umero real.
Propriedade 73. Cada decimal representa um ´unico n´umero real.
Demonstra¸c˜ao.
∞∑
k=1
ak
10k
´e uma s´erie de n´umeros positivos limitada superiormente
pela s´erie
∞∑
k=1
9
10k
que converge para 1 ent˜ao
∞∑
k=1
ak
10k
converge para um n´umero real
pelo crit´erio de compara¸c˜ao . O crit´erio de compara¸c˜ao usa que uma sequˆencia limitada
superiormente e crescente converge para o supremo do conjunto, ent˜ao essa demonstra¸c˜ao
em geral necessita que o corpo em que estamos trabalhando seja completo, por exemplo,
nem toda representa¸c˜ao decimal converge para um n´umero racional.
Com isso conclu´ımos que a0, a1a2a3 · · · =
∞∑
k=0
ak
10k
= a0 +
∞∑
k=1
ak
10k
= c ´e um n´umero
real .
Pela unicidade de limite o n´umero real que a0, a1a2a3 · · · representa ´e ´unico .
Cada a0, a1a2a3 · · · representa um e apenas um n´umero real.
Corol´ario 28.
0, 9999 · · · = 1
72. CAP´ITULO 1. S´ERIES 71
pois pela defini¸c˜ao de representa¸c˜ao decimal
0, 99 · · · = 0 +
∞∑
k=1
9
10k
= 1
No caso mostramos que uma representa¸c˜ao decimal para 1 pode ser dada por a0 = 0
e ak = 9 para todo k > 0 ent˜ao associamos 0, 9999 · · · ao n´umero 1 .
Perceba que o n´umero 1 tem pelos menos duas representa¸c˜oes decimais, pois 1 tamb´em
tem a representa¸c˜ao
1, 00 · · ·
pois
1, 00 · · · = 1 +
∞∑
k=1
0
10k
= 1.
Corol´ario 29. Em geral a0, 0000 · · · = a0 e (a0 − 1), 9999 · · · = a0
pois
(a0 − 1), 9999 · · · = a0 − 1 +
∞∑
k=0
9
10k
= a0 − 1 + 1 = a0.
Conclu´ımos ent˜ao que todo n´umero inteiro a0 possui pelo menos duas representa¸c˜oes
decimais
a0, 0000 · · · e (a0 − 1), 99 · · · .
Exemplo 52.
0, 999 · · · = 1
1, 999 · · · = 2.
Defini¸c˜ao 21 (Representa¸c˜oes decimais distintas). Duas representa¸c˜oes decimais
a0, a1a2a3 · · · e b0, b1b2b3 · · · s˜ao ditas distintas quando as sequˆencias associadas (a0, a1, a2, · · · )
e (b0, b1, b2, · · · ) s˜ao distintas .
Corol´ario 30. N´umeros reais podem ter duas representa¸c˜oes decimais distintas.
73. CAP´ITULO 1. S´ERIES 72
Considere B o conjunto das sequˆencias (a0, a1, a2, · · · ) associadas a uma representa¸c˜ao
decimal, temos uma fun¸c˜ao f que associa a cada elemento de B a um n´umero real, definida
como
f(a0, a1, a2, · · · ) =
∞∑
k=0
ak
10k
por´em f n˜ao ´e injetiva, pois existem sequˆencias x1 e x2 distintas tais que f(x1) = f(x2).
Podemos mostrar que f ´e sobrejetora, isto ´e, para cada x real existe uma sequˆencia x1 tal
que f(x1) = x.
Defini¸c˜ao 22 (D´ızima peri´odica). Uma representa¸c˜ao decimal a0, a1a2 · · · ´e dita ser
uma d´ızima peri´odica quando a sequˆencia dos d´ıgitos (ak) ´e peri´odica a partir de algum
k = n.
Defini¸c˜ao 23 (D´ızima peri´odica simples ou D´ızima simples). Uma d´ızima peri´odica,
´e dita ser simples, quando a sequˆencia dos d´ıgitos (ak) ´e peri´odica a partir de k = 1.
Defini¸c˜ao 24 (D´ızima peri´odica composta ou D´ızima composta). Uma d´ızima
peri´odica, ´e dita ser composta, quando a sequˆencia dos d´ıgitos (ak) ´e peri´odica a par-
tir de k > 1.
Em R se considera a adi¸c˜ao usual + e o produto usual ×, que fazem de R um corpo,
al´em disso se considera o limite com a norma do m´odulo
lim xn = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε
Se usamos outra maneira de medir distˆancia ao inv´es do m´odulo, n˜ao se est´a traba-
lhando em R de maneira usual, seria algo como dizer, 1 + 1 n˜ao ´e 2 pois estamos usando
uma ”adi¸c˜ao”diferente, como por exemplo uma definida assim a +s b = (a + b).2 da´ı
1 +s 1 = (1 + 1)2 = 4.
Em R usando adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e norma usual, definindo a expans˜ao decimal como
s´erie tem-se
0, 999 · · · = 1.
Uma coloca¸c˜ao comum de alguns estudantes ´e que 0, 999 · · · n˜ao ´e 1 e sim tende a 1, o
que n˜ao ´e verdade, pois 0, 999 · · · n˜ao ´e uma sequˆencia dessa forma n˜ao faz sentido dizer