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Prefacio a la séPtima           reimpresión en inglés                                                    con éxito al meno...
Prefacio a la segunda edición            en inglés                    i                                                   ...
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PROPOSITO                                                                  tnás importantes          tarcasdcl macs-      ...
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  1. 1. .qrt {¡ rllas tVltrH e o q u í u r r p e q u e ñ o t e s o r op o r o l o s m o e s l r o s¡ , e s t u d i o n t e s e m c t e m ó t i c o sp o r o l o s o f i c i o - d ,n c r d o sy e n g e n e r o l , p o r o t o d o o q u e l q u eo u i e r c ¡s o b e r c ó m o r e s c l v e r p r o b l e m o s .. É s u m o r n e n i ei n t e r e s o n l ep o r q u e ¡ o d e m i ¡ s d e i sospecto nuevo que preseniode los motenró-t i c o s ,s u p r o c e s o d e i n v e n c i ó n ,c o m o c i e n c i ce x p e r i m e n t o ie i n d u c t i v o ,p r o p o r c i o n o n d on ol o s o i u c i ó n e s t e r e o f i p o d od e l o s p r o b l e m o s ,s i n o l o s p r o c e d i m i e n t o s r i g i n o l e sd e c ó m o s e ol l e g ó o s u s o l u c i ó n d o l o s c o m i n o sp o r o r e s o l - ,v e r p r o b l e m o se n c u o n l o t o l e s y d i s p o n e l o se l e m e n t o sd e l p e n s o m i e n t o e t o l m o n e r o q u e di n s i i n t i v o m e n t o c t ú e n c u o n d o s e o r e s e n t eu n ep r o b l e . n op o r r e s o l v e r . .o E () o E o í) .; c, 968-24-00r¿ sttill ilt IVIATT]VIATICAS
  2. 2. Cómo planteary resolverproblemas G. Polyc [v n EDII ITORIAL TRI :ILLAS México, Arl Argentina,España, - Colomb¡a. a, Puerto rco,Ven€ Rico.venezuela
  3. 3. Prefacio a la Primera edición en inglés Un gran descubrirnientoresuelveun gran problema, Pero en la solu ción de todo problema, hay un cierto descubrimiento.El problema qug ie planteapuede ser modesto;p"to, si pone a prueba la curiosidadque induce a poner en juego las facultadesinventivas, si se resuelvepor propios me- dios, se puede experimentar el encanto del descubrimientoy el goce del triunfo. Experienciasde estetipo, a una edad conveniente,pueden deter- minar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella impe-Traducción recedera la mente y en el carácter. enhof. tulün Zugazagoitia Por ello, un profesor de matemáticastiene una gran oportunidad Si Tttutode estaobra en inglés: dedicasu tiempr a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, mataúrHow to solveit dÉiirrton UniversitY hessU s A en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabui desaprove-@c. rolya chandosu oportunidad. Pero si, por el contrario, Pone a prueba la curiosi- I isión áutorizada esPañol en i problemasadecuados susconocimientos, ai b sesuraoediciónen ínglés publicaila AchorBooks Por l dad de susalumnosplanteándoles a y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes,podrá I¿ oresentación disposición coniunto y en despertarles gusto por el pensamientoindependientey proporcionarles sot w P B.LE!, RoTlúo"i:ilíii ÉtnvnsNinanl npot:.d" ry4 -. el ;;;;r"p;l"i detediton ."tt1.?::: sistema ciertosrecursos para ello. mediante ;;:d;- ;r; ;"p*ducida o trasiitida -ninsítn tbne o método,electónico iiáiiló fcluy o el endo, fotocoptudo Un estudiantecuyosestudiosincluyan cierto grado de matemáticas y.almacenamEnto Iagrabación cualquiuitt-iio a ""uieracbn del edito¡ o también una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro in por consentímiento escríto Tr"iiio*ru"), está,si ve las matemáticas como una materia de la que tiene que presentar -aiñii.- resenados lengtu española De¡echos eáit"ri¿I en :ti.nílóllilusco Trittas, A de C V" Anava 385, S cot PedroMar* 1 un exatnenfinal y de la cual no volverá a ocuparseuna vez pasado éste. La oportunidad puede perderse incluso si el estudiantetiene un talento ;A;;.h;;:l;-i,ó;,:2, Miembro la Cómara irrá;tt de 03340MéxicoD F Nacíorulde l¿ I I natural para las matemáticas, que é1,como cualquier otro, debe descu- ya núm I58 brir sus capacidades sus aficiones; no puede saber si le gusta el pastel y l" Edítoriat. Reg I frambuesas nunca lo ha probado. Puede descubrir,sin embargo, que si himera edíción español, ";;;;;;;;;n",,en /9ó5 (ISBN-9-68-24-00643) I de Ie76 te-7s tfzottizztgz¿ iiiaiifiilibú-tbac, tba¡Ie84 1e*sIe86 Ie87 v I un problema de matemáticas puede ser tanto o más divertido <1ue cfu- un Deci i f moqu nta reimpresión, e{111i89 I cigratna., que un vigoroso trabajo intelectual puede ser un ejercicio tan o agradable como un ágil juego de tenis. Habiendo gustado del placer de las matemátrcas, no las olvidará fácilmente,presentándose y^ entoncesuna Impreso en México 5 hínteil ín Mexíco
  4. 4. prelacio t6 a la prinrera edición Prelacio a ht printert eúiaióubuenaoportunidad para qqe las matemáticas adquieranun sentido para estudiode los métodosde solución.Estaclasede estudio,llamadoheuri¡-é1,ya seancomo un pasatiempo o como herramienta de su profesión, fico por algunosautores, bien no estáde moda en nuestros si días,tiene osu profesión misma o la ambición de su vida. un largo pasadoy qoizi un cierto futuro. El autor recuerdael tiempo en que él era estudiante,un estudianteun Estudiandolos métodos de solución de-,p,roblemas, percibimosotratanto ambicioso,con deseos penetrar un poco en las matemáticas en la facetade las matemáticas. efecto,las matemáticas En presentan caras: dos de y física.Asistíaa conferencias, libros, tratandode asimilarlas soluciones leía por un lado son la cienciarigurosa de Euclides,pero también son algo más. Las matemáticas presentadas la maneraeuclideana a aParecen comoy los hechospresentados, pero siempre se presentabauna interrogante quelo perturbaba sin cesar: "sí, la solución dada al problema parece ser una cienciasistemática, deductiva;pero las matemáticas vía de forma- encorrecta,pero ¿cómo posible descub¡ir sorución? esteexperimentó es ciónaparecen como una cienciaexperimental,inductiva. Ambos aspectos tal sí,al parecer es cotrecto, tal parece que es un hecho; pero, son tan viejos como las matemáticas mismas.Pero el segundoes nuevoen ¿cómo puedendescubrirsetales hechos?;¿y cómo puedo yo por mí mismo inventar o cierto aspecto;en efecto, las matemáticas statu nascendl,en el Proceso indescubrirtales cosas?"Hoy en día er autor enseñamatemáticas una de ser inventadas,nunca han sido presentadas estudiante, inclusoal al ni enuniversidad.Piensao desea que algunosde sus más aventajados maestro,ni al púbiico en general. alumnos La heurística tiene múltiples ¡amificaciones:los matemáticos, losseplanteenpreguntas similaresy tnta de satisfacer curiosidad. su Tratandode comprenderno sólo Ia solución de este o de aquel problema, sino logistas,los psicólogos,los pedagogos incluso los filósofos pueden recla- e mar varias de sus paftes como pertenecientes su dominio especial. a Eltambién los motivos y el procedimiento de la solución, y tratando dehacer comprender dichos motivos y procedimientos, ha autor, consciente la posibilidad de críticas provenientesde los más de sido lle- diversos mediosy muy al tanto de suslimitaciones, permite hacerobser- sevado finalmente a escribirel presente libro. Deseaque resultede utilidad var que tiene cierta experierrcia la solución de problemasy en la ense- ena aquellosmaestros que quieren desarrollar aptitudesde sus alumnos las ñanza de matemáticas diversosniveles. enpara resolver problemas,y pare-aquellosalumnos ansiososde desarrollar El tema es tratadomás ampliamente un extensolibro que el autor ensuspropias aptitudes. estáen caminode terminar. Pese que el presente a libro pone especial atencióna los requerimientosde los estudiantes maestrosde matemáticas, y debería de despertarel Uniaersidadde Stanford,tTosto le, 1944,interésde todos aq.uellos interesados los caminosy mediosde la inven- ención y del descubrimiento. Tal interés puede ser mayor que el queuno puede sospechar sin reflexión previa. El espaciodedicado en losperiódicosy revistas a los crucigramasy otros acertijos parecedemostrarque el público dedica un cierto tiempo a resolver problemas sin ningúninteréspráctico.Detrás del deseode resolvereste o aquel problema queno aporta ventajamaterial alguna, debe haber una honda curiosidad,undeseo cornprender caminos medios,los motivosy procedimientos de los y dela solución. Las páginasque siguen, escritasen forma un tanto concisay, en lamedidade lo posible,en forma sencilla,estánbasadas un serio y largo en
  5. 5. Prefacio a la séPtima reimpresión en inglés con éxito al menosen Ahora puedo decir gustoso.qut l:-,:Tplido Los dos a la primeraparte, una Promesa daia en el prefacio ."di:iól; Ptauibtevolúmenestnduction;;; ;;;;8i i no*t*atics v Pafteytlof obra MathematicsandPlaasibleReas-lnferenceque constitulei ,* ,*ñit,e oningcontinúanlatíneadetpensamientoadoptadaenelpresentelZxrich, dSorto 30, 1954
  6. 6. Prefacio a la segunda edición en inglés i de algunas mejoras una En esta segunda edición se incluye, además Solucionestu*" .".t" farte : Ptoblemas,pugrcrencias, - Al tiempo qo" ,"-Pi"p^t;É" impresión de esta edición apareció N/; cf Time 18un estudio (Edacation)l iesting. Seruite,,Princeton, per- algunasobservacionesde junio, L9t6) qot J putttt"h" formulado en la materia pero ya etltinentes;no eran,tr"u^rpara los entendidos " tiempo que se ror*.ri",t"fuo tf público en seneral: las matemáti- popular del plan de cas tienen el dudoso honoi de sei el tema ,í.not estudios. . Futuros maestrosPasan Por las . escuelaselementalesaPren- la escuelaelemental a il;; " detestar las matemátito Regresana enseñara nuevasgeneraciones detestarlas" - a amplia difusión ilP.;" qoe li presente edición, destinada a mis aparte de ser convenzaa algunos de sus lectoresde que las rnatemáticas científico-pueden ,rrr.*irro ,reiesarioa la ingenieriay it conocimiento actividadesintelectuales ser divertidasy a la vez abrií un Panorama las en del más amPlio nivel. Zuicb, ianio 30, 1956
  7. 7. índice de contenido Prefacios,5 if..".10" I. Comprender el problema Para resolver un Problema se necesita: del Pün, IV Examinar la II. Concebir un Plan, III . solución obtenida, l7*? Introducción,21 Prlmerr¡ Portet Enel solón decloses Fropósit<> l. AYudar al alumno,25 25 intelectuales operaciones 2. Prcguntu,"ton""daciones 3. La generalidad,26 +. Seniidocomún,26 y prácttca27 5. Maestroy ul"-"o Imitación principales Divisionesprincipales preguntas 6. Cuatro fases,28 del 28 7. ComPrcnsión Problema B. EjemPlo,29 9. Ct"clPción de un Plan 30 10. EjcmPlo,3l I l. Ejecucióndel PIan,33 12. EjemPlo,34 13. Visión retrosPectiva 35 14. EjcmPlo,35 15. diversos Planteos, 38 39 16. El métodó de inteirogar deI maestro 40 17. BuenasY malasPreguntas
  8. 8. t4 indice de contenido Inüce de contenido l5 Otrqs ejemplos Figuras,93 I B. Problemade construcción.4l .Futuro matemático,El, 96 19. Problemade demostracióÁ, 4Z rlGencraliz. ación,97 20. Problemade rapidez de variación.46 Ñgu empleado ustedtodoslosdatos?,98 Í1" uq"i un problcma relacionado con el suyo y que ustedha resuelto i ya,100 Segundo porfe lHeurística, l0l 1 l|Heurísticamoderna, I 02 CCómoresolver un probtemos ,{Indi.iosde progrcso,105 un dlólogo jlnducción e inducciónmatemática, l4I Familiarizarsecon el problema, lL..to. inteligente, I l9 5l { Leibnir, GottfriedWilhelm, 120 Trabajar para una *é¡o, comprensión, 5l En buscade una ideaútil. 5l Lema, 120 Ej.ecución plan, 52 del !¿Lo ha vistoya antes?, 120 v lslon retrospectiva,53 1 Llevar al caboel plan, l2l $Mire bien la incógnita,I 24 {Notación. l28 Tercero porte Pappus,133 Breve dlccionorlo de heurístico f Parad<rja invcntor, l38 dcl { I Particu"larizacitin,3B I {Pedantcríay macstría,143 { Afición a los problemas, 57 Plantco dc l¿rccuacicir-r,143 :Analogía,57 Podría cnunciarcl problcmaen formadilercntc?, 146 g BolzanoBernardo, 64 ¡)Podría dcclucirdc los datosalgún elementoútil?, 146 J Brillante idea. 65 ¡Por qué las demostracioncs?, l48 iProblema auxiliar, I 53 $#itT-f;X problema se que rctacione eI suyr?,66 con l Profesor matemáticas tradicional,El, l58 de Contradicio.ioi6Z qProg.esoylogro, l58 Corolario.6T por resolver,problemaspor demostrar, l6l i*Problemas , ¿-Cuál la incógn ita?,67 es Problemas rutina, 163 de I Definición.G7 Problemasprácticos, I 63$Descartes,René,73 ¿Puedecomprobar el resultado?, 167 y recomponerel problema, 73 encontrar el resultadoen lorma diferente?,169fleycom.non:I ¿Puede:ü Uetermlnación, esperanza, éxiios,B0 i,iPuedeutilizarseel resultado?, 7l I lDragnóstico,Bl { Razonamiento heurístico, 73 I Dibujeuna figura.82 Distinguir lai-diversas Razonamientorcgrcsivo, 174 partesde la condición,B2 Elementos Reducciónal absurdo y demostraciónindirecta,179 auxiliares.€i2 Enigmas, Redundante,l86 B5 posiblesatislacer condición?, Reglasde enseñanza,IBG ¿Es la B7 Examende dimensiones. Reglasde cstilo, I 86 B7 Reglas dcscubrimiento, del l86 Examincsu hipótesis, 89 Sabiduríadc los proverbios.I B7
  9. 9. , 1 6 I¡tdice de contenído Simetría, ao t Si no puederesolvcreI problema propuesto,190 Favaresolver, , Términosantiguos nuevos,190 y {Trabajosubconsciente, 192 un probilennaj +Variacióndcl problcma, 193 se necesnta: Cuortq poÉe problemqs, sugerencios, soluciones Problemas,20l t GomPrender el Problema Sugerencias,204 Soluciones.20T ll Goncebir un Plan Determinor lo reloción entre los dotos y lo incógnito. De no encontrorseuno reloción inmedioto, puede consideror problemosouxiliqres Obtener finolmente un Plqn de solución l t/ Examinar !a soluciÓn ot¡üenida
  10. 10. GomPrender el Problema . a ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuálesson los datos? para determina¡ la in- a ¿cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente iógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante?¿Contradicto¡ia? Gonceblr un Plan visto el mismo ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿O fa problema planteado en forma ligeramente diferente? le ¿Conoceun problema relacionado con éste? ¿Conocealgún teorema,que pueda ser útit? Mire atentamente la incógnita y trate de recotdar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. He aquí un problema ¡elacionado al suyo y que se ha ¡esuelto ya ¿Po d¡ía usted ulilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su rnétodo? ¿Le haúa a usted falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utiliza¡lo? forma? ¿Podría Planteaflo en fo¡- ¿Podría enunciar el problema en otfa ma dife¡ente nuevamente? Refiérase a las definiciones si no puede resolve¡ el problema propuesto, trate de ¡esolver primero algún problem¿ similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un taáto más accesible?¿Un problema más general? ¿Un ptoblema más particular? ¿Un problemz aailogo? ¿Puede resolver una Parte del pro- ilema? Coniid.re sólo una parte de la condición; desca¡tela otra parte; qué forma ¿en qué medida la incógnita queda ahora dete¡minada? ¿En puede variar? ¿Puede usted deduci¡ algún elemento útil de los datos? para determinar la ¿Pueae pensar en algunos ot¡os datos apropiados incógniti? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los áatoq o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita v los nuevos datos estén más ce¡canos ent¡e sí? o ¿Ha empleado todos Ios datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha ionsiderádo usted tod¿s las nociones esencialesconcernientes problema? al E¡ecuclón del plan o Al ejecutar su plan?e la solución, compruebe cada uno de los pasos o ¿Puéde usted ver cla¡amente que el paso es co¡recto? ¿Puede usted de- mostrarlo? Vlslón retrosPectiva verificar el razonamiento? e ¿Puede usted verificar. el resultado? ¿Puede o ;Puede obtener el resultado en fo¡ma dife¡ente? ¿Puede verlo de golpe? -Prrcle r¡sted emolea¡ el resultado o el método en algún otro problema?
  11. 11. lntroducc¡ón Las consideraciones expuestas el libro hacen referenciay constittt- en yen el desarrollode la precedente lista de preguntasy sugerencias titulada "Para que de ella resolver un problema. . ." Toda pregunta o sugerencia se cite aparecerá impresa en cafiiad y cuando nos refiramos a ella lo hare- "la "nuestra mos simplemente como lista" o lista". En las páginas que siguen se discutirá el propósito de la lista, se ilustrará su uso práctico por medio de ejemplos y se explicarán las no- cionesfundamentalesy las operaciones intelectuales. modo de explicación A preliminar se puede decir que si se hace uso correcto de ella, y se plan- tean asimismo dichas preguntas y sugerenciasen forma adecuada,és- tas pueden ayudar a ¡esolver el problema. Asimismo si se plantean estas preguntasadecuadamente los alumnos y se les hacen estassugestiones, a se les podrá ayudar a resolversus problemas.(,- El libro consta de cuatro partes. "En La primera, titulada: el salón de clases",contieneveinte seccio- nes. Cada sección estará enumeradacon tipo negro, como por ejemplo "sección 4". "propósito" De la sección1 a la 5 se discutiráen términosgenerales el "divisiones de nuestra lista. De la 6 ala 17 se exponencuáles son las prin- "principales cipales"y las preguntas"de la lista, y se discutiráel primer "otros ejemplopráctico.En las secciones 19 y 2O se incluyen 18, ejemplos". La segundaparte, que es muy breve, titulada: "Cómo resolverun pro- blema", aParece escritaen forma de diálogo. Un supuesto maestroresponde a las breves preguntas que le plantea un alumno un tanto idealizado también. "Breve La terceray más extensade las partes es un diccionario de "diccionario". Contiene heurística".Nos referiremosa él como el sesenta y siete artí,culosordenadosalfabéticamente.Por ejemplo, el significado del término HEURÍsrlcA (impreso en versalitaso pequeñas mayúsculas) se exponeen la página L01 en un artículo bajo dicho título. Cuando en el texto se haga referencia a uno de tales artículos, su título aparecerá impreso en versalitas. Ciertos párrafos de algunos artículos son más téc-
  12. 12. Int¡oducción nicos; éstosse hallarán encerradosen cbrchetes.Algunos artículos están estrechamente relacionadoscon la primera parte proporcionándoleilustra- .igl"f adicionales observaciones específicas. y más otros van un tanto más al¡á del objeto de la primera partg de lá que proporcionan explicaciones -srunfirrca más a fondo. Hay un artículo clave sobre rr,ronstN¡. En él se exponen las relacionesentre los diversos artículos, así como el plan fundamental del diccionario. contiene también indicacionesde cómo en- contrar información sobre detalles particulares de la lista. Nos parece Frnnneve necesariodestacar,dado _que los artículos del diccionario son ¿pffente- mente muy variados, el hecho de que existe en su eraboraciónun ptan general que encierra une cierta unidad. Hay algunos artículos un poco más extensos,si bien dedicadosa una concisaylistemática discusión de pertc algún tema general. otros contienen comentariosrnás específicos, mien- tras que otros abordanreferenciashistóricas,citas e incluso chistes. El diccionariono debe leersecon premura. con frecuenciasu contexto En el salón es concisoy otras un tanto sutil. El lector podrá recurrir a él para infor- marse.sobre un punto en particular. si dichos puntos proviáen de su exPenencra con sus propios problemaso con los de sus alumnos, su lec- de tura tiene todaslas probabilidadesde ser de provecho. La cuaüaparte lleva por título: "probrerñas,sugerencias, Planteaalgunosproblemaspara un lector más ambicioso.A cadaproblema soluciones". clases le sigue (a distanciaconveniente) una "sugerencia"q,re puede revelar el camino del resultado,el cual es explicadoen la "solucióni. En repetidasocasionesnos hemos referido al "alumno" y al ..maes- tlo" I seguiremoshaciéndolo una y otra vez. Es convenienteaclarar que al referirnos al "alumno", hablamosen términos generalesde cualquier Personaque esté estudiando matemáticas, sean de bachillerato, ya de ya grado universitario. Al igual, el "maestro" puede ser un maestro de ba- chillerato o de universidad, o cualquier pers.onainteresadaen.la técnica de la enseñanza las matemáticas. autor adopta unas vecesel pun- de El to de vista del alumno, otras el del maestro (este último principalmenteen la primera parte).rsin embargo,la mayor parte de las veces(eqpecialmente en la terceraparte)adoptael punto de vista de una llersona,ni alumno ni maestro,ansiosade resolverun problema que se le ha planteado.I,
  13. 13. PROPOSITO tnás importantes tarcasdcl macs- ,.1.. Ayudar al alumno Una de las tro es ayudar a sus J;;;t iu" n.^ fácil ñequicre tiempo práctica dedicación buenosPrinciPios Y E l e s t u d i a n t e d e b e a d q u i r i r e n s u t r a b a j o p e r s o n a l l a msina m p l i a e problema,s ayudaá riencia posible..p"ro"i1l*i"^¿.i" ri"ni. " su bor otra parte si el r"i" alquna o casl sln nrnguna pued-e qte. n: Progrese debe máestrole ayuda dt-?i"áo, nada se- deia aí alumno El- maestro le ti demasiado potó dt suerteque le deie asumlr avudarle, pero no -".i" ina paritrozonable del trabaio S i e l e s t u d i a n t e , , o e s t á e n c o n d i c i o n e s d e l r a c e r g r a n c o sfin, lel a e para tal a e m debernantenerle ;;;; al la ilusión del trabajo pers-onal. sin imponérsele i".r* á.¡e ayudaral alumno discretamente en forma natural El maes- Lo meior es,sin;;;tg" tudar al alurnno desdeel punto de vista del alumnp; ) tro deberáponerse"n " Ltg", ver una Pregunta, ;;;á;ápr.ndeilo qo"i" PasaPor la mente y plantear al pr-opio- alant.rto o indicar "tg,rn .^*ito pur-pnáUst-ocarrítsele operacionei intelectuales Al tra- 2. Preguntas, "to*""d"tiones el eiectliva natural sin imponérsele y tar de ayudar "l ^";;;]ot" camino unÍr y e indicar el mismo maestropuede f*t i" tlma pregunta Itut:t la prcgunta: otravez.Así, en i";;;;l* io6lt*ut tenemos5"." misma cambiar el vocabulárioy hacer la ¿Citátes Ia incógnit)ip;E-oi deter- preguntaen diferenü iot"t ¿Quése requiere?; ¿quéquiereusted encuentie? propósito.de El estas pre- il,"il;]o;Js. l. pidea ustedque A vecessc sobrela incógnita. guntases concenrrail" ^t.".i." del al,,rmno Mire atenta- más natural sugiriendo:. ábti"rr. el mismo ,*J,"áo á" modo mentelaincógnita,Preguntasysugerenciastieneneimismofin;ti provocarla misma operación intelectual inte¡esante juntar I.agruPnr las ¡rre- el Nos h" p"r"cialt]u. poaii^ ser particularmente útiles en la discusiónde problemas guntasy ,ug.r.,,.i^s contienepreguntasy sugeren- :;;-i;r"l,rrí.,os. r" iirt" que presentamos c i a s d e e s e t i p o , c u i d a d o s a m e n f e e l e g i d a s y c l alai f i c a d a s ; pdeepro- en s iesolución u d e n menteútites a "dil..;;;;n"¡ logimUlien solas lo suficiente como Parapoder discerni blemas. et lecto, Jr:;;i;lista si "ttrá" sugerida se dará ct"ñto que la susodich detrásde ro ,"gt*iiit 25
  14. 14. rl, lnitacíón y próctica En el mlón ile clases Maesa¡o y alumna. Cuando el profesor lista menciona,indirectamente,las operaciones intelectualerparticularmen- 5. Maestro y alumno Imitación y práctica de la lista puedepro- te titiles para la ¡olución de problema¡. Dichas operaciones ¡,rn mencio- - ,. hacea susalumnosuna Preguntao una sugerencia en altmno a resclver-el nado en el orden másprobablede su aparición. Donerse fines. Primeio,?l ^yod" al dos P¡oblema que 3. La generalidad es una de lai características importantes de las ilJi¿;. ü;;,:i á.r;or"i 1^ habilidad del atumno de tal modo pr,eguntas sugerencias contiene nuestralista. Tómenie las preguntas: y que puedaresolíer por sí mismo problemas ulteriores y sugerencias la lista em- de. ¿Cuál es la incógnita?; ¿caálesson los datos?;¿caál es la condiciónl Esas La experienciamuestra q; t"t preguntas af alomno Tienen dos ca- preguntas son aplicablesen general, podemos planteadas eficazmenteen pr"ra"t "ii"fi^a"-",,ü, ttig*n ton fl"ttt"ttcia provie- toda clasede problemas.su uso no estárestringiáo a un dete¡minadotema. racterísticas comunesLi sJntido común y la qeneralizaci6:l Como to" fá"ttcia de un modo natural; Y1 s9a un problema algebraicoo geométrico,matemáticoo no, teórico o nen del sentido.o-t", "-p""tt^" ayudansin práctico, un problema serio o una mera adivinanza,,las preguntastienen un se le podrían ocurrir "i pttifi" alumno Como son generales oni d;ección general pero dejando al alumno mu- sentido y ayudan a escla¡ecer problema. el ;;í.;;;;dl."tdo De hecho, existeuna restricción, pero que nada tiene que ver con el chá por hacer. :,-rL^-^^ antesé c ^ 6 + ó . están estre- tema del problema.ciertas preguntasylugeréncias de la listaion aplicables Sin embargo, Ios dos resultadosque mencionábamos con éxito el pro- exclusivamente los "problemas de determinación" y no a los "pr-oblemas a .tr"rn."t" ligaios. E., el.cto, si el alumno l9g.t?..t:t?luet irlUiti¿a¿ en la resolución de de demostración". blema en cuestión, está dáarrollando su si estamos presenciade un problema de esteúltimo género debemos en problemas. Conviene,pues no olvidar que nuestras Preguntas generales son emplear preguntas diferentes. (véase "pRoBLEMAspoR REsoLvER, pRo- y aplicablesu ,r.r*",o,o casosSi el alumno emplea la misma Pregunta ella y a ella recurrirá BLEMAS poR DEMosrnnn,página 161.) variasveces.o. oo.rr-r"rol ado, sin duda se fliaríen Si se hace esa misma pregunta 4. sentido común. Las preguntasy sugerenci¿s nuestra lista son de cuando se encuentre tn ttn caso similar la idea exacta Mediante tal generales, pero pese a su generalizaciln, son naturales,sencillas,obvias y varias veces acabari ál-ot" po deducir , proceden del más simple sentido común. Tómese la sugerenci Mire ta ¿.it", ¿**É riri ?amanera correcta emplear la pregunta y seráentonces de a: y. tr!, de pensm en un problemd qae le sea aáitiar y que rengd .,r*áo realmente la habrá asimilado lcógyita f de nuestralista al la misma. fcó.gnlta o_anAlelrzeiante.Esta sirgerencia ".otsé,¡J hacerlo i" El alumno puede llegar a retener ciertas-Pt"gtt": que usted h¿ría de todas formas, aun sin consejo,si estádecidido a resolver gr"d; ;;; iiil¡*.".t" ? rya1 de-hacerse sí miimo la pregunta indicada a su problema. ¿Tiene usted quiere procurarsealgún alimento y en eI momento adecuadoi a" efectuar con toda naturalidad la operación frar-n-brel piensa en las formas habituales de procurársilo. intelectualcorrespondiente Bste alumno habrá logrado con toda seguridad ¿Tiene ui problema de nuestratista ¿Cómopuede el maestroob- constr"ccióngeométricaT Quiere construir un triángulo y pienia en las for- ;ñ;;ñ; pto"án.!"tú: {t mas habitualesde construir un triángulo. ¿Tiene un probiema cualquiera? tener este excelenteresultado? --..rr-""rerproblemasesunacuestióndehabilidadp.rácticacomoPo Quiere encontraruna cierta incógnitá y piinsa en lasformas habituálesde adquieremediantela imitación encontraruna incógnita de ese tipo o una incógnita similar. Obrando así, .i.rpr",-.i "r¿rr. La habilidadprácticase de nadar imitamos los movimientosde pies y manos usted está en la línea de la sugerencia mencionád" en nuestralista. y está i ti irertrc". Al tratar finalmente también sobre el buen camino: la sugerenciaes buena, le sugiere un ca- que hacen las personasque logran así mantenersea flote y n"az,t mino a seguir que le llevará con frecuenciaal éxito. pttci.^ttJo la natación. Al tratar de resolver pro- l;;#;;;l en casos TodSs las preguntas y sugerencias nuestra rista son naturales,sen- de ffi;l;; q.r" obr.*", e imitar lo que otras pesonas hacen ... problemas eiercitándolos al resolverlos. cillas, obvias y no- proceden más que der sentido común, pero expresan ;;ñ,;r;y Lí apreodemos dicho sentido común en términos generales.sugiéren unaciertacoñducta El profesorque desee desarrollar sus alumnosla aptitud para-resol- en que debepresentarse forma natural en la mente de cualquieraque tenga en "".;;JCl"."t. ¿1,U. hacerles interesarse ellos y darlesel mayor número en un cierto sentido común y un serio deseode resolverel problema q,r. r.i. t"tiUi. á. **io," ¿t imitación y ptictica Si el maestroquiere desarro el proceso tnénüt que corresponde las preguntas a y ha propuesto.P:to la personaque procedeasí, en general no se preocup¿ í#;;,* "f*""r como vengan al por hacer.explícito claramentesu-comportamiento no es capaz hacerib. o dé *g.;;;; de nuestra Iista,debe emplearlastantas veces Nuestralista trata precisamente haterlo explícito. de casode un rnoctonatural. Ádemás,cüando el maestro resuelveun proble-
  15. 15. I En cl salón ile cllr¿rec ú)jemplo¡ ma ar¡tel* clasc,dcbc "dranratizar"u¡r poco sus ideasy hacerse fácil y debe dedicarse un las mis- gerseadecuadamente, muy difícil ni muy ni maspreguntas que empleapara ayudara sus alumnos.Graciasa talescon- e interesante I áerto tiempo a exponerlode un modo natural sejos,el alumno descubrirá, duda, la manerade utilizar las sin preguntas Ante todo, "t "nunci,ao verbal <lel problema debe ser comPrendido y.sugerencias adquirirá así conocimientos al alurnno y más importantes qoe loste un E[ maestro puede comprobarlo,hastacicrto punto pidiéndole sirnplehechomatemático. .""".¡"Já, io .r^i deberápodei haceriin titubeos. alum- El il;pü"i partes la no deberátambién P;¿;-t;P"or las piinci¡rales iet evitar las pre- ry.ofterna vez-püede el maestro incóenita, datos,Ia condióiónRara ;;;í;,7¿;;t"rr-íi Ios esta condición? DIVISIONES PRINCIPALES, PREGUNTAS PRINCIPALES ¡*iil¡,ri, son datos?; )cuátes tos ¿cuát *;i;Í;." del.problemaatenta- á"U" .onii¿erar tas principalespartes 6. cuatro fases. Al tratar de cncontrarla soluciónpodcmoscambiar Si hay alguna figura rela- *.ni.,i.p.tia^, ,...J-y-U"1.a.tti;"s,ángulos repetidamente nuestropunto de vista, nuestromodo de cbnsiderar pro- destacar ella la incógnita en el cionada problema,¿á¡. hiUo¡o la figu-ray al que cámbiarde posiciónuna y otra vez. Nuestra concep- y los datoi. Es necesario dar nombres a dichos eletnentosy Por con- l,t.:i,I:r.mos cron del problema seráprobablemente tig"iiirrroducir poniendocuidadoen la apro- incompletaal empezara trabajir; una notaciónadecuada: nuestra visión será diferente cuando hayamoi avan|ado ,r los elemcntos po.o y cam- piadaelecció., to, ,[no,, tttl obligadoa considerar a" Para biará nuevamente cuandoestemos purá de lograr ra sorución. ^ los cualeslos signos ;;?;;h.- se, ele"gidos . ]Hay otra pregunta que puede A fi: de.agrupar en forma cómoda ias preguntasy se esPere una respuestade- sugerencias de plantearse este-orn""io, con tal d! qtte no en nuestralista, distinguiremos cuatrofasesdel trara;á. primero,í.n.,.o, q.r. conjeiura: ¿Esposiblesatis- liniti,ra,sino más hri* prouitional o una^rnera cornprencler problema, es decir, ve¡ claramentelo el que ," pid.. Segunáo, facerla condición? "Comprenderel tenemosqu_e captar las relacionesque existen entre loi diveños elelñentos, (En la exposiciónde la 2] parte,p.ág51 "Trabaiar "Familiarizarse" Problema" ver lo-que liga ala incógnitacon rbs datosa fin de encontrar ra idea de ra esteiividi¿o en dos partes: y Parauna meJor solucióny poder trazarun plan. Tercero, poner en ejecuciótt pran.cuar- er comprensión") to, uoluerarrásuna vez encontrada sorüción, ^r^..^^^ r^ r, ""lY:tlt:t^ n la sec- la reviárra y aisc,riirta. a. Ejempío. Ilustremosalgunosde.los puntos Cada una de estasfur:.r."r. importante.puede s,rcede, que a un alum_ ción anterior]To*.-", el siguienteproblema muy sencillo: Detetmtnar j: 1",::"r.1¡o,t casuatidad una idea excepcionalmente eladoi su longitud, .rt¿ attcbo :_ trillante y sal_ la d.iagonalde un prúírlipip"do re,ciangalar tandose todo el trabajopreparatorio, vayadirectarnente la solución.Tales a :! sil dltara golpesde suerteson desea6les, natr.rrarÁente, puedeilegarsea un re- pi,^r, poder discutir este problema.con pt*:.11 0"0"" pero ]::..:l:i:"t sultado,nodeseado, desafortunado, el arumriodeJcuida si .uuiq,ri.r" a" h, estarfamiliarizados con el tedrema de Pitágóras con algunasde.susapli- y cuatro fasessin.teneruna buenaidea. Es de temerse peor míts que llgeros co- lo si el alumno caciones en la geometríaplana, pero pueclenno tener se lanza a hacer cálculos o construcciones r-taber puede.confiar aquí en sin coitprendiio er pro nocimientos Ia geometiiua"tttpotio El maestro de blema. Generalmente inútil ocuparsF los detalles en el espacio. es de ,i no ,. han visto i. i.-,flri¿ad inüitiva del alumnocon las relaciones -- - las relacionés esenciales sin habeitrazadoun plan previo. se puedenevi- o concretándolo. efec- En ni_".rtro puedehacerinteresante problema el tar muchoserroressi el alum¡o terifca cad| pÁo alllevar al cabo rectangular-ttly^1:-ll"ntitn"t el plan. to, "i t^l¿n declase es un paraletepípedo "lnc- Los mejores resultados p..d.rre si él alumno no reexamina,no estimaáas; los alumnostienen quc dctcrminat ¡ued¡¡ ou.á.n ser medidas, reconsidera soluciónobtenida. maestroseñala lon- la la áir"i" ," t"ra" indírecto",la áiagonaldel salón.El un gestoy cla 7 comprensión del probrema. Es tonto el contestar una a y. la altura dei saún, indica la diagonalcon . qu. no secomprende. deplorabletrabajarparaun fin que no pregun- ;i;"d, ;i t".ho Es se desea. ciertavida;rlattgirraquelratrazadocnelpizarrón,rcfiriéndoserc¡ l_1 sln embergo, taleserroresse cometencon frecuencia, dentro y fnera de la menteal salón cleclase escnela. maestrodebe tratar de evitar que se proáur."r, El eml)ezr courosi{rrc: en su clase.El El diálogo entre ei maestro los alumnospuede y alumno el probrema.péro no-sóro debe comprenderro, 9:f. :o.*plender ;Cttál el Ia incógnita? sino tambiéndebedesear resolverlo. hay falta de comprensióno inte- si i-ílrá"git¿ dEta diagonal un ¡araielc¡rí¡edo dc rcctanglar de rés por parte del alumno, no siemprees su culpa; el problemadebe esco- ;Caálessou los d¡tos?
  16. 16. Eiemplo 3l30 En cl salón de clases de pro- -La longitud, el anchoy la altura del paralelepípedo. La dificultad estribaen que hay por lo generaluna infinidad bf.-^, que se relacionande álguna rn""t"..ón el que nos ocuPaes decir -lntroduzcan ana notación adecuad.a. ¿Qué letra designaráa la in que tienen ciertospuntos en común con é1. ¿cómo escoger entre tantoscógnita? IJna sugerencia va a nos "lqrr.t o aquellosq.re pnedan ser realmenteútiles? la incógnitaTrate -y oermitir descubrir punto común esencial: un Mite bien -¿Qué letras quieren ustedeselegir para designara la longitud, al in- i-r-;;;;;;;-"18i prLbtema qae te seafamitiat y que ten84 ta rnisnza anchoy alaaltaraT -A, b, c. cófnita o una sirnilar. esté estrecha- -¿Cuál es la condición qae relacionaa, b y c conx? Si ltegamos a recordar algun probl ema y^ resuelto que -n es la diagonal del paralelepípedodel cuala, b y c son la longitud, mente relacionado .on ,ro"rñu pioblema actual, podemos considerarnos merecerlasa-el ancho y la altara. con suerte.Debemostratar de -",tttt tal suertey podemos biéndolaexplotar.He aquí an ptobkma relacionado con el sulo y y re- -- .-¿Es ésteun problema razonable? Quiero decir,¿essuficiente la con- saelto.¿Puede ustedhdcer uo d.eél?dición para determinar la incógnita? examinadas -Sí, lo es. Si conocemos b y c, conocemos paralelepípedo.Si el Las preguntasanteriores, bien comprendidas seriamente y d, ef - cofrectode las ideas;paralelepípedo está determinado, diagonal también lo está. su ayudanir.r.rit., vecesa prou*u, el eniadenamiento Nos hacefalta 9. Concepción de un plan. Tenemos un plan cuando sabemos,al Defono siempre.s eI c"slo, que no son fórmulasmágicas. ya divcrsosaspectos de "grosso il;;;r-L;til otro-pontodeiontacto y explorar losmenosa modo", qué cálculos, qué razonamientos construcciones o el problemahabremos de efectuar para determinar la incógnita. De la comprensión ,r,r"rtro problema.DJbemoscambiar,transformar o modificar cuestiones dedel problema ala. concepción plan, el camino puede ser largo y tor- del ;paed.eenunciarse problema,o ior*o diferente?Ciertas el talestuoso. De hecho,lo esencialen la solución de un problema es el concebir l;;; iiri" *gi.renmedios .rp..ífi.o. pJ.a variar el ptoblema, analogia,--ella idea de un plan. Esta idea puedetomar forma po.o u pocp o bien, des- .o-o l" generaÍrzaci1n, particu1ariztc.iói,el empleo_de-la la .oidi.ión, y así por el estilo.Todosestos detallespués de ensayosaparentementeinfructuosos y de un piriodo de duda, á.r."ttrr"""a parte d. í" no podemos,"O::-1:-":-ellos Unase puedetener de pronto una "idea brillante". Lo mejor que puedehacer son importantes, Peropor el momento otro problemaauxi-el maestro por su alumno es conducido a esa idea brillante áyudándole, modificación p.oÉti.na puedecondr-rcirñosalgún a.t a el-problema proptlestotrate de resol-pero sin imponérsele.Las preguntasy sugerencias las que vamos a ha- de -ou apropiado:Si no po,di resolaer l-iar pr;*tro atgtin priblema relacionado con élblar, tienen por objeto provocar tales ideas. que ya conocemos con- Al tratar de utilizar otros problernaso teoremas Para comprenderla posición del alumno, el maestrodebe pensaren posibles, experimentando con di-su propia experiencia, sus propiasdificultades éxitosen la resolución en y siderando diversastransfórmaciones lasde problemas. *rrorproblemasauxiliares,podemosdesviarnosyalejarnosdenues probleáa primitivo, ^t gt"áo de correr el riesgo- perderlo totalmente de Sabemos, claro está, que es difícil tener una buena idea si nuestros il;;;.-tq.i ,rn" úu.nupregunta nos puede conducir de nuevo a él: ¿Haconocimientosson pobres en la materia, y totalmente imposible si la des-conocemos por completo. Las buenasideas se basanen la experienciapa- )lptr:oao tádos losdatos?; hecboai9 de toda la condición? Lo. ¿la 8 Losada y en los conocimientosadquiridos previamente.un simple esfueizo Ejemplo. Volvamos al ejemplo considerado la sección en a com-de memoria no bastapara provocar una buenaidea, pero es imposible tener habíamos á"j"do en el momento en que los alumnoscomenzaban ese momentoalguna sin recordarciertos hechospertinentesa la cuestión.los materiales orender el óroblema y a manifestarun cierto interes.En id"u, t."." ur!""^, propias,ciertasiniciativ¿s. el maestro,des- Sipor sí solos no permiten la construcciónde una casa,pero es imposible ñil ningún indic.ioconstruir una casasin juntar los materialesnecesarios. Los materialesne- oués de observaratentamente clase,no puede descubrir li il;;;r,t*;; ,", alumnos,tiene que .noiuer dialogar con ellos. Debe acesarirrs para la solución de un problema de matemáticas son ciertos de- áiroon.rr. a repetir, modifióándolas ligeramentelas preguntasa las quetalles particulares de conocimientospreviamente adquiridos, tales como silencio ;;t;;;; *rpánaiáo los alumnos y afrontar muchas veces suproblemasresueltos, teoremasdemostrados. Por ello es con frecuenciaade-cuadoabordarun trabajo planteándose siguientepregunta:¿Conoce la á"r.orr..tt"ttte (figurado aquí por puntos suspensivos) al- *¿Conocen ai problema que st relacionea éste?gún problemarelacionado?
  17. 17. 32 En el sal.in ¡le cl,nses Eiecución tlel Plan 33 - . . . , -¿Quieren que aParezca triángulo en la figura? un -Coltsideren la incógnifa. ¿Cottocenalgún problema que tauiese la -¿Q"¿ clasede tiiángulo quierenque aparezca? ^.ni.rma incógnita? _)T-od"uía no p.redá detérminarla diagonal?. eqbargo, decían Sin ustedeJ sabían.ó*o ".r.orrtrarel lado de un triángulo. Entonces, que Zqué -!usn6. ¿Cuáles la incógnita? van a hacer? -La diagonal de un paralelepípedo. -¿Podríanencontrarladiagonalsifueseelladodeuntriángulo? -¿Conocen algún problema qr/e tuuieseIA tnisma incógnita? apa- cuando finalmente,con su ayuda,los alumnoshan logrado hacer -No. Nunca se nos ha planteadoun problema acerca la diagonal de recerel elementoau"iiiar decisivo (el triángulo rectángulorayadoen lade un ¡raralelepípedo. fig. r ), el maestrodebe asegurarse ven la continuacióndel razona- que -¿Conocen algún problema qile tuaieseun4 incógnita sintilar? mlentoantesde animarlosa lanzarse cálculosreales en -creo que era una buena idea el trazar esetriángulo. Ahora tienen -Miren, la diagonales un segmento recta. de ¿No han resueltouste- un triángulo,pero ¿tienenustedes incógnita? lades algún problemacuya incógnita fuesela longitud de un ,segmento de -r; incógnita es la hipotenusadel triángulo; podemosdeterminarlarecta? -Sí, claro, ya hemos resueltoproblemasde ese tipo. Por ejemplo, con la ayudadel teoremade Pitágoras. -Si, si seconocen longitud de los otros dos lados,pero ¿lasconocen lacuandohemcsterúdoque determinarel lado de un triángulo rectángulo. ustedes? -Mry bien. He abí un. problema qile se relacion,rcon el propue.rÍoy -Una de las longitudeses dada: c En cuantoa la otra, no creo queque yd ban resuelto.¿Puedenutilizarlo? seamuy difícil determinarla.¡claro! El otro lado es la hipotenusa otrode triángulorectángulo. -Han tenido suertede acordarse un problemaanálogoa ésteque de -Perfecto. Ahora veo que tienen un plannos ocupay que ya han resuelto. gustaríautilizarlo?;¿podrínninh.odu- ¿Les 1I. Ejecución del plan. Poner en pie un plan, concebirla idea de lacir algún eletnentoauxiliar qae le"rpernútieseentplearlo? solución, álo rro tiene nlda de fácil. Hace falta, para lograrlo, el concurso de toda.una serie de circunstancias: conocimientos adquiridos,buenos ya -_Veamos,el problemadel que sehan acordado concierne iriángulo. un hábitosde pensamiento, concentración, lo qu9 es más, buena suerteEs y algún triángulo en vuestrafigura? ¿Hay mucho más fácil llevar al cabo el plan. Para ello lo que se requiere sobre Esperemos que esta última alusión sealo suficientemente clara como todo es paciencia.para hacernacerla idea de la solución,la cual consiste introducir un en Nos debemos asegurar de que El pian proporcionauna línea gene-raltriángulo rectángulo(rayadoen la fig. 1) cuyairipotenusa la diagonal es los detalles.tt.u¡^tt bien en esalínea Nos hace falta, pues,examinarlosqge se busca.Sin embargo,el profesordebe prever el casoen que dicha hasta que todo estéperfectamente detallesuno tras otro, pacientemente,alusiónno.logresacudir torpor de susalumnos; el tieneque estaidispues- oscuro donde podría disimularseun claro, sin que quede ningún rincónto, entonces, emplear a toda una seriede alusionescadavez más explícitas. error. si el alumno ha concebidorealmenteun plan, el. maestropuede dis- frutar un momentode una paz relativa.Et peligro estribatn.9Y: el alumno olvide su plan, lo q.uep.r.á.ocurrir fácilmentesi lo ha recibidodel exte- rior y lo ha aceptado pór provenir de su maestro. Pero si él mismo ha tra- bajaáoen el plan, u,rnq.,.,tn tanto ayudado, li ha concebido y la idea final entoncesno la peiderá tan fácilmente.No obstante, el con satisfacción, profesordebeinsistir en que el alumno ue.rif iqae cadapaio Podemosasegurarnos de la exactitud de un P.fs9de nuestro Íazona- "pó, "demostración formal" mientoy^ ,.^ intuición" o por medio de una Podemos concentrarnos sobreel punto en cuestión hastaque lo veamos tan

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