GUIA Nº3 CALCULO I INGENIERIA
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21) Si f(x) = x2
encontrar una función “g” para la cual (fog)(x) = 4x2
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  1. 1. GUIA Nº3 CALCULO I INGENIERIA I.- Desigualdades, inecuaciones y Ax. del supremo. 1) Determinar que cantidad es mayor, justificando claramente la respuesta: α a) 3 ó 3 b) { }1,1 23 −∈++ + Rxxxóx c) + ∈+ Rbabaóab ,,23 332 2) Demostrar que: a) Rbaab ba ∈∀≥ + ,, 2 22 b) Si a,b 2≥+⇒∈ + a b b aR c) Si a < b b ba a < + <⇒ 2 d) Si a,b baba baR + >+⇒≠∈ + 211 , e) Si a,b 4433 baabbaR +<+⇒∈ + 3) Sean a , b + ∈ R . Determinar qué condición debe cumplir “m”, en función de “a” y “b”, para que se cumpla: (m-1)a ≤ b < ma. 4) Determinar el conjunto solución en R: a) 2x - 4 < 6x + 1 b) 2 < 4 – 5x < 3 c) 0 2 1 3 2 <+ x d) 4 35 < x R:( )       + ∞∪∞− , 3 20 0, e) 3 2 4 3 2 xx −<− f) 7 2 3 4 −>− xx R: ( )+ ∞∪      −∞− ,0 2 1 , g) 3 1 4 3 53 xx x − +<− R:       ∞− 31 64 , h) 0 32 1 > +x i) 1 1 2 ≤ − x R: ( ] ( )+ ∞∪−∞−= ,11,S j) 5 12 2 < − + x x R:       + ∞∪      ∞− , 9 7 2 1 , k) 0 3 5 > −x l) 2 1 13 32 ≤ − − x x R:       = 5, 3 1 S m) 3(x – 2) – 2 > 2(x – 1) + 3 n) 2 1 2 3 4 1 −< − − + x xx 5) Determinar el conjunto solución en R: a) 0 1 1 2 > + x b) 0 3 1 2 < + x c) 01522 ≤−− xx d) 0232 >++ xx e) 0321 2 ≥−− xx f) 2 23 xx >− g) 0 4 65 2 2 < + +− x xx R: ( )3,2 1
  2. 2. h) 0 6 44 2 2 > −− ++ xx xx R:( ) ( )+ ∞∪−∞− ,32, i) 0 )3( 168 2 23 ≤ − +− x xxx R: ( ]0,∞−=S j) 2 )1( 21 − + ≤ x x x R: ( ) { }1, 4 1 0, −      + ∞∪∞−=S k) 1 12 ≥ + x x R: + ℜ l) 13 + ≤ − x x x x R: ( ) [ )3,01, ∪−∞−=S m) 0 4 65 2 2 < + +− x xx n) 4x(x – 1)≤ -1 ñ) 4x(x + 1) < -1 6)Determinar el conjunto solución: a) 4 3 3 ≤−x R:       4 15 , 4 9 b) 3 3 2 ≥−x R:       + ∞∪      −∞−= , 3 11 3 7 ,S c) 842 >−x d) 443 +≤− xx ) R:[ ]4,0 e) 8215 −≥+ xx R: ℜ f) 6652 >+− xx g) 2232 ≤+− xx h) 1342 >+x R:( ) ( )+ ∞∪−∞− ,33, i) 0 9 1 2 > −x j) 1 2 1 < − + x x R:       ∞− 2 1 , k) 0 1 3 2 2 > + − x xx R: { }3,0−ℜ l) 212 >−+− xx m) xx 429 ≥− R:       + ∞∪      ∞− , 2 5 2 1 , n) 01624 ≤−−+ xx R: ( ] [ )+ ∞∪∞−= ,204,S ñ) 31223 ++−≤+ xxx R:ℜ o) 2323 <+− x R:( ) ( )1,12,4 −∪−− p) xx 832 −=− R:       9 5 , 7 1 q) 321 =+− xx R:       ± 2 211 r) 7352 −=+ xx R:       26, 5 16 s) 4 72 53 = + − x x R:       − − 11 23 , 5 33 t) xxx <−− 123 u) xxxx +−≤+++ 531 R:       − 2 1 , 2 9 v) xxx +−≤+ 53 R: [ ] [ )+ ∞∪−= ,82,8S 7) Determinar el conjunto de valores reales que hace cierta la expresión: a) Rx ∈− 162 R: ( ] [ )+ ∞∪−∞−= ,44,S 2
  3. 3. b) Rxx ∈−− 352 2 R: [ )+ ∞∪      −∞−= ,3 2 1 ,S c) 11522 +>−− xxx ) R: ( ] [ )+ ∞∪−∞−= ,53,S d) R x x ∈ − − 1 12 ;R:( )+ ∞,1 e e) 0232 >−−− xx R:       = 2, 2 3 S f f) 321 2 ≤−− x R: [ ] [ ]3,11,3 ∪−−=S g g) Rxx ∉−− 762 R: ( )7,1−=S h) R x ∈ + 6 2 8) Determinar los valores de ”m” para que las raíces de la ecuación: 1 1 12 32 + − = − − m m x xx sean reales y distintas. R: { }1−−ℜ∈m 9) En el caso que existan, determinar: supremo, ínfimo, elemento máximo y elemento mínimo de los siguientes conjuntos: a) A ={ }41/ ≤≤−∈ xRx b) B ={ }034/ 2 <+−∈ xxRx c) C ={ }054/ 2 >−+∈ xxRx d) F = (3,8) 10) Sea A =       ∈ −+ =∈ Nn n xRx n , )1(1 / . Determinar, si es que existen: a) 2 cotas inferiores b) 2 cotas superiores c) Sup. A d) Elemento mínimo e) Elemento máximo f) Inf. A 11) ¿Tiene máximo el conjunto S =       ∈− + Zn n , 1 1 ?. 12) El supremo de T =       ∈− Nn n , 2 1 3 1 es................. II.- Funciones reales de una variable real. 1) Sea f una función real de variable real de variable real definida por 56)( 2 −−= xxxf . Determinar ( ) )(,7, 5 1 ,)5( bffff       − 3
  4. 4. 2) Sea f una función real de variable real de variable real definida por x x xf − + = 3 2 )( . Determinar )12(,)3(,)(,)5( +−− yggxgg . 3) Sea f una función de ZZ → , definida por 1 42 )( − − = x x xf . En caso que existan, encontrar la imagen de los siguientes números: 2;3;1;2;0 − . 4) Sea f una función real definida por x x xf + − = 1 1 )( .Determinar si los siguientes números tiene imagen: 25,2;8;2;1;3;0 y−−− . ¿Cuál de los elementos del dominio de f tiene como imagen a –1 .? 5) ¿Cuál de los valores del dominio de la función real definida por 64)( 2 +−= xxxf , tiene por imagen a 6 . 6) Sea { } { }96// 22 −≤∈=≤∈= xxRxByxxRxA . Determinar A y B por extensión. Defina una función de A en B y de B en A. 7) Determinar dominio y recorrido y esbozar el gráfico de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 +4x-3 R: [ )+ ∞−=ℜ= ,7; recfdomf b) g(x) = 2 1 + + x x R: { } { }1;2 −ℜ=−−ℜ= recgdomg c) f(x) = )9)(1( −− xx R: ( ) { }0;9,1 ∪ℜ=−ℜ= + recfdomf d) g(x) = 86 8147 2 23 ++ +++ xx xxx R: { } { }1,3;4,2 −−−ℜ=−−−ℜ= recgdomg e) h(z) = 1 1 2 +z R: ( ]1,0; =ℜ= rechdomh f) f(x) = 2 xx x − R: { } { }1,0;1,0 −ℜ=−ℜ= recfdomf g) f(x) = 1−x x R: ( ) [ )+ ∞=+ ∞= ,2;,1 recfdomf h) g(x) = x x 1− R: [ )       =+ ∞= 2 1 ,0;,1 recgdomg i) m(x) = 1−x R: [ )+ ∞−=ℜ= ,1; recmdomm j) f(x) = x - 2−x R: ( ]2,; ∞−=ℜ= recfdomf 4
  5. 5. k) u(x) = 1 1 −x R: { } + ℜ=−ℜ= recudomu ;1 l) f(x) = 3−x R: { }0; ∪ℜ=ℜ= + recfdomf m) r(p) =    <− ≥+ 1,1 1,12 2 2 psip psip R: ( ] [ )+ ∞∪∞−=ℜ= ,31,; recrdomr n) s(t)= [ ) ( ]     ∈− ∈ −−∈− 4,2,12 )2,0(,0 1,4,1 tsit tsi tsit R: [ ) ( ) ( ] [ ) { } ( ]7,302,5;4,22,01,4 ∪∪−−=∪∪−−= recsdoms ñ) f(x) =      ≥− <≤ <+ 1, 10, ,1 2 xsix xsix oxsix R: ℜ=ℜ= recfdomf ; o) g(x) =       ≥ <≤−+ −< 2, 22,1 2,1 3 xsix xsix xsi x R: [ )+ ∞∪      −=ℜ= ,83, 2 1 ; recgdomg p) h(x) = [ ] [ ]   ≥+ <− 0,1 0,1 xsix xsix R: + =ℜ= Zrechdomh ; q) f(x) = [ ]    ∞∈− −∈− ),2(,113 2,1,12 xsix xsix R: [ ) ( ) [ ]3,119,;,1 −∪−∞−=+ ∞−= recfdomf 8) Sea f una función tal que f(x+3) = x2 -1. Demostrar que: a) 3,1 3 )1()2( ≠+= − −+ aa a faf b) 2, 2 )2()2( ≠= − −+ aa a faf 9) Si g(a) = )()·(1 )()( mindet, 2 2 agag agag arer a a −+ −+ − + R: 2 2 4 4 a a − + 10) Analizar la biyectividad de las funciones dadas. En los casos en que esta característica no se de, establecer, si es posible, las restricciones para que así ocurra: a) f: [ ) xxxfR 255)(/0,1 2 +−−=→− b) h: R 1)(/ 2 −=→ pphR c) f: [ ) ( ] 1 1 )(/0,1,1 − + =∞−→− x x xf d) g: [ ) [ ) 2 1 1 )(/,11,0 y yg − =∞→ 5
  6. 6. e) h: R-{ } 2 2 1 1 )(/1,1 x x xhR − + =→− f) w: R 2 0 321)(/ uuuwR −−=→+ g) m: R x x xm + =−→ 1 )(/)1,1( h) f: R ( ]      ∞∈ ∞−∈− =→ ),0(, 1 0,, )(/ 2 x x xx xfR Respuestas nº10 a)es biyectiva siempre que el conjunto de llegada sea( ]25,55 −− b)es biyectiva siempre que −+ ℜℜ= 00 ódomh y el conjunto de llegada sea , [ )+ ∞− ,1 c)es biyectiva d) es biyectiva e)es biyectiva siempre que { } { }11 00 −−ℜ−ℜ= −+ ódomh y el conjunto de llegada sea ( ) [ )+ ∞∪−∞− ,11, f)es biyectiva siempre que el conjunto de llegada sea ( ]1,∞− g) y h) es biyectiva 11) Sea f: A→ B una función real biyectiva tal que f(x) = 2 1 1 x− . Determinar “A” y “B” (maximales) para que f sea biyectiva. R: { } { } ( ) [ )+ ∞∪∞−=−−ℜ−ℜ= −+ ,10,11 00 ByóA 12) Considerar la función f(x) = ( ]      ∞∈− −∈+ −∞−∈−−− ),1(,1 )0,3(,3 3,,862 xx xx xxx Analizar la posibilidad de que ella sea biyectiva, determinando primero su recorrido. R: f no es inyectiva. 13) La función “signo de x” está definida como: sgn: R      <− = > =→ 0,1 0,0 0,1 )sgn(/ xsi xsi xsi xZ Al respecto, contestar: a. ¿ Es Rxxxx ∈∀= ),·sgn( ?. b. ¿ Es la función sgn biyectiva ?. c. Si no lo fuera, ¿existe posibilidad de efectuar restricciones para que así ocurra?. R: a) si b) no c) no 6
  7. 7. 14) Dadas las siguientes funciones, trazar su gráfica y analizar su paridad, monotonía, periodicidad y acotamiento: a) f(x) = 3 - 2 x b) h(x) = x c) f(x) =    > ≤ 0, 0, 3 2 xx xx d) g(x) = 2 2 9 16 x x − − e) f(x) = 5 - [ ]x f) g(x) = 2 x g) f(x) = xx 22 − h) f(x) = x x i) f(x) = u xsenx 2)·(2 j) f(x) = x - [ ] [ ]3,3−enx k) f(x) =[ ] [ ]xx 22 − l) f(x) = [ ]x 1 m) f(x) = [ ]x x n) f(x) = x x 15) Sean f(x) = )( 2 1 xx aa − + y g(x) = )( 2 1 xx aa − − . Probar que: d. g(x+y) = f(x)·g(y) + g(x)·f(y) e. f(x+y) = f(x)·f(y) + g(x)·g(y) 16) Determinar las funciones pedidas y su respectivos dominios: a. f(x) = g fgfgfxxgyx ,·,;3)( −−= . b. f(x) = 2x – 1, x [ ]2,0∈ y g(x) = x , x [ ]4,1∈ ; . 11 , fgf g − c. f(x) = [ ] [ ]   ∈ ∈+ 5,3,3 2,0,12 x xx y g(x) = [ ] [ ]   ∈− ∈ 6,5,6 4,1, xx xx ; f + g, f·g, . g f Respuestas nº16 :a) ( ) ( )+ ∞=      − =      ,3; 3 g f dom x x x g f b) ( ) [ ]2,1 11 ; 12 1111 =      − − −=      − fg dom xx x fg c)( )( ) ( ) [ ] [ ]      =− ∈ ∈+ = 5;183 4,3;3 2,1;12 · xx xx xxx xgf 17) Sean f(x) =     −≥−− −<− 2,22 2,52 xsixx xsixx y g(x) =    −≤+ −>− 2,3 2,42 2 xsixx xsix . Determinar el valor de: a) f(5)+g(5) b) f(-1)·g(2) c) (f+g)(-1) 7
  8. 8. d) ( ) 3 1)( f g e) )0( )0( g f f) (f-g)(-2) g g) )1()4( −− gf h) f(0)+g(0) i) g(-2)·f(1) Respuestas nº17: c)( )( ) 11 −=−+ gf d) 3 10 3 1 −=            f g e) ( ) ( ) 2 1 0 0 −= g f 18) Para las funciones dadas, determinar el dominio y la expresión analítica de la función compuesta pedida: a) f(x) = -x 12 + , g(x) = 1−x ;fog, gof. R: ( ) { } ( )( ) 2 ;0 xxgofgofdom −== b) f(x) = x x22 + , g(x) = 2 1 2 +x ; fog, gof, fofog) R: ( ) ( )( ) ( )22 2 2 25 ; + + =ℜ= x x xfogfogdom c) f(x) =    >+ ≤ 0,2 ,2 xsix oxsi , g(x) =    > ≤− 1,4 1,1 xsix xsix ; gof. R:( )( )    >+ ≤ = 0;84 0;8 xsix xsi xgof d) f(x) =    ∈− −∈− )2,1(,1 )1,1(,1 2 xx xx , g(x) = [ ] ( ]    ∈− −∈ 3,1,3 1,1),·sgn(2 xx xxx ; fog, gof. R: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )        <<− ≤<−− <≤−− <<−+ = 22;4 21;1·sgn1 10;1·sgn1 01;2 2 222 2 xsix xsixx xsixx xsix xgof 19) Si f: [ ) R→∞,3 es tal que f(x) = 2 1 −x y g: R→     ∞, 2 1 es tal que h g(x) = x x 12 + , determinar gof. R: ( ) [ ] ( )( ) xxgofgofdom == ;4,3 20) Sean f(x) = x 2 +2 y g(x) = x + a funciones reales para las cuales existe fog y gof. Determinar si es que existe, el valor de “a” de modo que (fog)(3) = (gof)(a-1). R: 7 8 −=a 8
  9. 9. 21) Si f(x) = x2 encontrar una función “g” para la cual (fog)(x) = 4x2 -12x+9. R: 32)( −= xxg 22) Determinar, si es que existe, en cada caso, la función “f” y su dominio correspondiente, de modo que: a) g(x) = 1-x2 y (fog)(x) = 2 1 x− R: ( ) [ )+ ∞== ,0; domfxxf b) g(x) = 2x+3 y (fog)(x) = 4x2 +12x+9. R: ( ) ℜ== domfxxf ;2 23)Analizar la existencia de la función inversa de las funciones dadas, efectuando las restricciones necesarias cuando corresponda. Obtener la expresión analítica de ella en aquellos casos en que exista: a) f(x) = x b) f(x) = x2 c) f(x) = 2 x d) f(x) = 1−x e) f(x) = e x f) f(x) = x x 26 1 − − g) f(x) = 2 1 1 x+ h) f(x) = x x −1 i) f(x) = 2 12 + − x x j) f(x) = 2 1 x− k) f(x) =     < ≥ 1, 2 1,2 xsi x xsix l) g(x) =    −>− −≤− 2,4 2,4 2 2 xsix xsix m) f(x) = [ ]1,2,2 2 −∈−− xxx n) f(x) = 1 1 3 −x Respuestas nº23: a)es biyectiva si [ ) [ ) ( ) 21 ;,0,0: xxff =+ ∞→+ ∞ − b)no es biyectiva lo será si, ( ) ( ) xxffóxxff −=ℜ→ℜ=ℜ→ℜ −+−−++ 1 00 1 00 ;:;: d)es biyectiva si, [ ) [ ) ( ) ( )21 1;,1,0: +=+ ∞−→+ ∞ − xxff g)es biyectiva si, ( ] ( ) ( ] ( ) x x xffó x x xff − −=→ℜ − =→ℜ −−−+ 1 ;1,0: 1 ;1,0: 1 0 1 0 h)es biyectiva si , ( )      ≤≤∨> − <≤−∨−< += 2 1 01; 1 0 2 1 1; 1 xxsi x x xxsi x x xf ; ( ) [ ) ( ) ( ) [ ]     ∪−∞−∈ + + ∞∪−∈ −=− 1,01,; 1 ,10,1; 11 xsi x x xsi x x xf 9
  10. 10. k)es biyectiva si conjunto de llegada es: [ )+ ∞∪      ∞− ,2 2 1 , ; ( )      < ≥ =− 2 1 ;2 2; 21 xsix xsi x xf m)es biyectiva si, ( ) 2 491 2 3 ,0 2 1 ,2: 2 1 x xfyf −−− =      →      −− − ; ó ( ) 2 491 2 3 ,01, 2 1 : 2 1 x xfyf −+− =      →      − − 24) Sea f: A [ ]1,9 −−→⊆ R / f(x) = . 3 43 x x − + a) Determinar A. R: ( ] [ )+ ∞∪−∞−= ,62,A b) ¿Es f inyectiva y sobreyectiva?. En caso de no serlo, hacer las restricciones necesarias para que lo sea. R: es inyectiva y es sobre si [ ) ( ]1,44,9 −−∪−−=B c)¿Cómo debe estar definida f para que sea invertible? R: ( ] [ ) [ ) ( ]1,44,9,62,: −−∪−−→+ ∞∪−∞−f d) En esas condiciones determinar f 1− . R: ( ) 4 331 + − =− x x xf 25) Sea g: R- { } R⇒− 1,1 / g(x) = 2 2 1 1 x x − + . a) ¿ Es g, así definida, biyectiva ?. b) Si no lo es, hacer las restricciones necesarias para que lo sea. c) Determinar la expresión analítica de g .1− R: c) ( ) ( ) [ ) ( ] { } ( ) 1 1 /10,,11,: 11 + − −=−−∞−→+ ∞∪−∞− −− x x xgxg ó ( ) ( ) [ ) [ ) { } ( ) 1 1 /1,0,11,: 11 + − =−+ ∞→+ ∞∪−∞− −− x x xgxg 10

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