1. Interpretación de
gráficos
LF 100 Lic. Marlon
Recarte
1

2. Al hacer un grafico se deben tomar en cuanta ciertas
cosas
1. Los gráficos se hacen en papel milimetrado
2. Seleccionar una escala adecuada para ambos ejes
x variable independiente
y variable dependiente
3. Los gráficos deben quedar en el centro del papel
3. Se deberán colocar nombre a los ejes y además
las unidades de las variables en los ejes (m, seg,
m/s etc.)
2

3. 3

4. Existen muchas relaciones entre variables,
algunos ejemplos son:
1.Relación lineal
Es aquella cuya grafica es una línea recta
4

5. Relación lineal
En este tipo, la relación entre las variables es:
Donde al número m se le conoce como pendiente
y a b se le conoce como intercepto en el eje y
¿Cómo se obtiene m y b?
5

6. b es el punto sobre el cual la gráfica corta al eje y
b
6

7. Δy = y2-y1
θ
Δx = x2-x1
Lo anterior indica que para encontrar la pendiente se
necesitan 2 puntos sobre la recta o el ángulo de esta con el
eje horizontal
7

8. 2.Relación cuadrática
También es conocida como parábola, la relación
entre las variables tiene la forma
b
b es el intercepto en el eje y , k es una constante
8

9. 3.Relación inversa
También es conocida como hipérbola, la relación
entre las variable tiene la forma
Esta grafica no tiene intercepto en el eje y
9

10. Ajuste de
curvas
10

11. Supongamos que tenemos una serie de mediciones
Deseamos determinar la relación entre variables que
mejor se ajusta a los datos.
11

12. Al graficar
12

13. Supongamos que una relación lineal es la que mejor
se ajusta a los datos .
Obviamente una recta no pasará por todos los
puntos, por lo que debemos seleccionar una recta
que pase por la mayor cantidad de puntos tal que los
errores (separación entre el punto y la recta) sean
mínimos, aunque el criterio mas fuerte debe ser el de
minimizar el error.
13

14. Tracemos varias rectas y veamos la separación entre la
recta y los puntos que no están en la recta (errores)
Primer ajuste
14

15. Segundo ajuste
15

16. Tercer ajuste
16

17. Cuarto ajuste
17

18. Quinto ajuste
18

20. ¿Cuál de los ajustes es mejor?
Eso dependerá de la visualización de la
persona, pero vemos que los mejores
ajustes son el primero y el cuarto.
20

21. Debemos tener claro que al calcular la pendiente se
deben tomar los puntos que estén en la recta, es
decir que no se consideran los puntos que no pasan
por la misma, estos puntos se deben encerrar
(puntos error)
21

22. La misma idea se debe seguir en el caso que la
relación no sea lineal, Que la curva toque la mayor
cantidad de puntos y que el error sea lo mas
pequeño posible
22

23. Ecuaciones empíricas
Una ecuación empírica se encuentra a partir de
datos experimentales observados. Usualmente la
ecuación empírica se puede encontrar examinado la
grafica.
Cuando la grafica de la ecuación empírica es una
línea recta es sencillo determinar las constantes de
la ecuación, es decir el intercepto y la pendiente
23

24. Pero en el caso de una curva de la forma
Es fácil determinar el intercepto pero hasta el
momento no tenemos una forma de determinar k, no
podemos usar la formula de pendiente porque esta
es solo para relaciones lineales, entonces ¿Cómo
podemos determinar k?
24

25. La formula de pendiente es valida solo para
relaciones lineales entonces podríamos utilizar
dicha formula si transformáramos la relación no
lineal en una relación lineal
25

26. Muchas ecuaciones no lineales se pueden
transformar en lineales al cambiar las variables
con las cuales se grafican, ha esto se le conoce
como linealización
Relación no lineal, variables x,y
Relación lineal, nuevas variables x*,y*
Lo que debemos aprender, es como seleccionar
las nuevas variables a fin de linealizar gráficos
26

27. Linealizar:
Método para obtener una relación lineal a partir de
una relación no lineal, y consiste en una correcta
selección de variables independientes dependientes
o ambas a fin de obtener la forma:
y* y x* son variables
27

28. Supongamos que queremos linealizar una relación
cuadrática (nota: tenemos la tabla de datos)
Debemos seleccionar nuevas variables para que la
ecuación anterior tenga la forma:
Lo mas sensato es mantener a y como variable
dependiente y considerar a x2 como variable
independiente, por lo que para linealizar
deberíamos graficar:
28

29. Veamos ejemplos de selección de variables
29

30. 30

31. intercepto pendiente
31

32. Veamos un ejemplo
Determinar la ecuación empírica de la siguiente lista de datos.
x 1 2 3 4
y 0.25 1 2.25 4
Al graficar
32

33. Si prolongamos la grafica observamos que el intercepto en el
eje y es cero, es decir b=0 además asumamos que es una
relación cuadrática
33

34. x 1 2 3 4
y 0.25 1 2.25 4
Considerando a x2 como variable independiente
x2 1 4 9 16
y 0,25 1 2,25 4
34

35. La ecuación empírica es
Y=ƒ(x2) es una relación lineal por lo k será igual a la pendiente
del gráfico linealizado
Si seleccionamos dos puntos sobre el grafico linealizado
35

36. x2 1 4 9 16
y 0,25 1 2,25 4
36

37. La ecuación empírica es
Y=ƒ(x2) es una relación lineal por lo k será igual a la pendiente
del gráfico linealizado
Si seleccionamos dos puntos sobre el grafico linealizado
Por la tanto
37

38. Otro ejemplo
Determinar la ecuación empírica de la siguiente lista de datos.
x 0.2 0.5 1.1 1.4 1.9 2
y 1.39 1.91 2.60 2.87 3.26 3.33
Graficando
Si prolongamos la grafica vemos que el intercepto b es igual a 0.5
38

39. La forma de la ecuación empírica es
Para linealizar se debe seleccionar a xn como variable
independiente y graficar
El problema es que no sabemos el valor de n, pero sabemos
que al seleccionar el n correcto la grafica resultante
debería ser lineal
Veamos lo siguiente
39

40. 40

41. 41

42. 42

43. 43

44. Vemos que la grafica es lineal para
y = ƒ(x0.5)
Por lo que con seguridad podemos decir que n=0.5
Entonces k es igual a la pendiente del grafico linealizado
44

45. El problema de esto es que tendríamos que probar
varios “n” hasta que la grafica sea una línea recta,
lo cual es un poco complicado porque n es un
numero real y sabemos que hay infinitos números
reales, aunque algunas veces nos darán
sugerencias. Debemos entonces utilizar un método
que nos ahorre todo esto, aunque cuando
conocemos el “n” debemos hacerlo como se
explico.
45

46. Si tenemos una ecuación empírica
Sabemos que con la grafica y=ƒ(x) lo único que podemos
encontrar es el valor de b (ya que no conocemos n), entonces
b es conocido, si despejamos
Aplicando logaritmo base 10
Usando propiedades de logaritmos
46

47. Notemos que tiene la forma
Por lo que debemos seleccionar a log(y-b) como variable
dependiente y a log(x) como variable independiente y
graficar
Además la pendiente de este grafico es igual al valor de n y
el intercepto es igual a log(k)
47

48. Resolvamos el ejemplo anterior ahora por este método
x 0.2 0.5 1.1 1.4 1.9 2
y 1.39 1.91 2.60 2.87 3.26 3.33
Recordando que b=0.5
log(x) -0.699 -0.301 0.041 0.146 0.279 0.301
log(y-b) -0.048 0.151 0.322 0.374 0.440 0.452
48

49. log(x) -0.699 -0.301 0.041 0.146 0.279 0.301
log(y-b) -0.048 0.151 0.322 0.374 0.440 0.452
49

50. Entonces
El intercepto en el eje y es 0.3 por lo tanto
Log(k)=0.3
K=100.3 = 1.995 ≈ 2
Que son los mismos resultados que habíamos obtenido.
50

51. Notemos que se deben hacer evaluaciones
de logaritmos las cuales pueden llevar algo
de tiempo, podemos evitar esto usando un
papel especial que esta en escala
logarítmica, dicho papel se conoce como
papel LOG-LOG
51

52. 52

53. De la hoja anterior podemos ver que la escala de
los ejes es diferente a la de papel milimetrado
normal, esto es por que, es una escala en
potencias de 10
10n 10n+ 10n+
1 2
ciclo ciclo
53

54. Por ejemplo, si iniciamos con 100 =1
100 2 3 5 101 2 3 4 102
0 0 0
Cada línea representa Cada línea representa un
un valor de 1 unidad es valor de 10 unidades es
decir 2,3,4 hasta 10 decir 20,30,40 hasta 100
54

55. Por ejemplo, si iniciamos con 10-2 =0.01
0.0 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 1
1 2 3
Cada línea representa Cada línea representa
un valor de 0.01 es un valor de 0.1es decir
decir 0.02, 0.03, 0.04 0.2, 0.3 hasta 1
hasta 0.1
55

56. La escala en el otro eje se nombra de manera similar.
Según los datos que tengamos nombraremos la
escala y graficamos y-b=ƒ(x)
56

57. 57

58. Resolvamos el ejemplo que hicimos por el método log(y-b) =ƒ(log(x))
x 0.2 0.5 1.1 1.4 1.9 2
Y-0.5 0.89 1.41 2.10 2.37 2.76 2.83
3
2
1
0.1
0.1 1 2 10 58

59. Recordando la formula
El valor de n seria la pendiente del grafico, pero hay
una pequeña variante
59

60. 3
2
d2
1
d1
0.1
0.1 1 2 10
60

61. Las distancias d1 y d2 las encontramos
midiendo su dimensión con la regla
61

62. Si evaluamos en x=1
Quiere decir que k lo encontramos proyectando la
grafica en el eje y-b cuando x=1
62

63. 3
2
1
0.1
1 2 10
Obtenemos que k=2
63

64. ¿Qué pasa si el “1” no esta en nuestro eje?
Para este caso se deben hacer un cambio de
escalas en los valores a graficar, ejemplo si están
en centímetros pasar a metros, o ...
64

65. 65

66. 66

67. Gracias por su atención