Modelos estadísticos para ciencias de la computación Prof. Ana Tablar
Covarianza y Correlación <ul><li>X e Y son variables aleatorias de un experimento con medias E(X),  E(Y) y varianzas V(X) ...
La covarianza y la correlación miden cierta especie de dependencia entre las variable. Para comprender con profundidad est...
<ul><li>Propiedades </li></ul><ul><li>cov(X, Y) = E(XY)−E(X) E(Y). </li></ul><ul><li>cov(X, Y) = cov(Y, X). </li></ul><ul>...
Por la propiedad 1, vemos que  X e Y son incorreladas si y sólo si E(XY)=E(X) E(Y). En particular si X e Y son independien...
Transformaciones de Variables Consideremos un experimento aleatorio con medida de probabilidad P sobre un espacio muestral...
Transformada de variable con distribución discreta Si X tiene una distribución discreta con función de distribución p(x) y...
Si X tiene una distribución continua con función de densidad f(x) y T es numerable, Y tiene una distribución discreta con ...
Transformada de variable con distribución continua Cuando la función r es creciente (decreciente) estrictamente y tiene de...
En el caso que r es decreciente. Entonces,  F Y  (y)= P(Y ≤ y) = P(r(X) ≤ y) =P(X ≥ r -1 (y))= 1- F X (r -1 (y)). Luego, D...
Ejemplos y aplicaciones 1.  Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad  f X (x) e Y= aX+b, una transfor...
Sea X una variable aleatoria tal que {x: f X (x) > 0}= (a,b),  -∞ ≤ a < b ≤ ∞. Se verifica entonces que F X (a)=0, F X (b)...
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  1. 1. Modelos estadísticos para ciencias de la computación Prof. Ana Tablar
  2. 2. Covarianza y Correlación <ul><li>X e Y son variables aleatorias de un experimento con medias E(X), E(Y) y varianzas V(X) y V(Y), que asumimos finitas. La covarianza se define como </li></ul><ul><li>Cov(X,Y)=E{(X−EX) (Y−EY)} </li></ul><ul><li>Suponiendo que la varianza es positiva, la correlación de X e Y se define como </li></ul>La correlación es la versión re-escalada de la covarianza (observe que los dos parámetros tienen el mismo signo). Cuando el signo es positivo se dice que las variables están positivamente correlacionadas; cuando el signo es negativo se dice que las variables están negativamente correlacionadas. Si son iguales a 0, las variables se dicen incorreladas.
  3. 3. La covarianza y la correlación miden cierta especie de dependencia entre las variable. Para comprender con profundidad esta dependencia, comenzamos por resaltar que (E(X), E(Y)) es el centro de la distribución conjunta de (X,Y). Una línea vertical y otra horizontal a través de este punto separa ℝ 2 en cuatro cuadrantes. La variable aleatoria (X−E(X))(Y−E(Y)) es positiva sobre el primer y tercer cuadrantes y negativa en el segundo y cuarto cuadrante.
  4. 4. <ul><li>Propiedades </li></ul><ul><li>cov(X, Y) = E(XY)−E(X) E(Y). </li></ul><ul><li>cov(X, Y) = cov(Y, X). </li></ul><ul><li>cov(X, X) = var(X). </li></ul><ul><li>cov(a X + b Y, Z) =a cov(X, Z) +b cov(Y, Z). </li></ul><ul><li>, es decir la correlación es la covarianza de las variables estandarizadas. </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  5. 5. Por la propiedad 1, vemos que X e Y son incorreladas si y sólo si E(XY)=E(X) E(Y). En particular si X e Y son independientes entonces son incorreladas. Sin embargo, la recíproca no es válida como se muestra en el siguiente ejercicio: Ejercicio: Su pongamos que X está uniformemente distribuida sobre el intervalo [-a, a], con a>0, e Y=X 2 . Mostrar que X e Y son incorreladas aún cuando Y es una función de X (la forma más fuerte de dependencia). <ul><li>Propiedades </li></ul><ul><li>− 1 ≤ corr (X, Y) ≤ 1. </li></ul><ul><li>2. </li></ul><ul><li>3. corr (X, Y)=1 si y sólo si Y=b X + a con probabilidad 1 para alguna constante b > 0 y a. </li></ul><ul><li>4. corr (X, Y)=-1 si y sólo si Y=b X + a con probabilidad 1 para alguna constante b < 0 y a. </li></ul>
  6. 6. Transformaciones de Variables Consideremos un experimento aleatorio con medida de probabilidad P sobre un espacio muestral. Supongamos que tenemos una variable aleatoria para este experimento, que toma valores en S, y una función r de S en T. Luego Y=r(X) es una nueva variable aleatoria que toma valores en T. Si la distribución de X es conocida, nos preguntamos ¿cómo podemos hallar la distribución de Y? Es fácil demostrar que P(Y  B)=P(X  r -1 (B)) para todo B  T.
  7. 7. Transformada de variable con distribución discreta Si X tiene una distribución discreta con función de distribución p(x) y, en consecuencia, S es numerable, Y tiene una distribución discreta con función de distribución p’(y) dada por
  8. 8. Si X tiene una distribución continua con función de densidad f(x) y T es numerable, Y tiene una distribución discreta con función de distribución p’(y) dada por
  9. 9. Transformada de variable con distribución continua Cuando la función r es creciente (decreciente) estrictamente y tiene derivada continua, en un intervalo (a,b), se sabe que bajo estas condiciones r tiene función inversa r -1 , que también es creciente (decreciente) con derivada continua en el intervalo (r(a), r(b)). Llamaremos F Y y F X a la función de distribución acumulada de Y y de X, respectivamente. Supongamos primero que r es creciente. Entonces, F Y (y)= P(Y ≤ y) = P(r(X) ≤ y) =P(X ≤ r -1 (y))= F X (r -1 (y)). Luego, .
  10. 10. En el caso que r es decreciente. Entonces, F Y (y)= P(Y ≤ y) = P(r(X) ≤ y) =P(X ≥ r -1 (y))= 1- F X (r -1 (y)). Luego, Dado que Resulta así, que en ambos casos vale que para r(a) ≤ y ≤r(b) si r es creciente, o para r(a) ≤ y ≤ r(b)si r es decreciente. Para el caso más general en que el dominio de r se puede descomponer en intervalos en los cuales la función es creciente o decreciente y cumple con el resto de las condiciones, se puede resolver el problema aplicando el resultado anterior a cada intervalo por separado.
  11. 11. Ejemplos y aplicaciones 1. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f X (x) e Y= aX+b, una transformación lineal de X. Queremos obtener la función de densidad de Y, f Y (y). Como y , tenemos que
  12. 12. Sea X una variable aleatoria tal que {x: f X (x) > 0}= (a,b), -∞ ≤ a < b ≤ ∞. Se verifica entonces que F X (a)=0, F X (b)=1 y que F X es creciente en (a,b). Por lo tanto, está definida en el intervalo (0,1). Si consideramos la transformación Y=F X (X), entonces se verifica que Y se distribuye uniformemente en el intervalo (0,1). En efecto, sea 0 < y < 1 En consecuencia, puedo generar valores de una variable con distribución uniforme: y 1 ,y 2 ,… y obtener valores x 1 , x 2, …..de una variable con distribución F X , tomando Este resultado sirve para fundamentar las técnicas de simulación.

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