Conjuntos numéricos divisíveis

Conjuntos
• Conjunto: A noção de conjunto é a mesma da linguagem
corrente, ou seja, conjunto é sinônimo de coleção,
agrupamento, classe, etc. Cada unidade de um conjunto
recebe o nome de elemento (Um conjunto é representado
por letras maiúsculas A, B, C, etc.).
• Elemento: Os objetos que constituem determinado
conjunto são chamados de elementos do conjunto (Os
elementos são representados por letras minúsculas a, b, c,
etc.).
Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com

Conjuntos
• Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A
escrevendo-se x  A. SE x não pertence ao conjunto A,
escrevemos x  A.

A

•1
•2

•3
•4

Se x = 3, então x  A

• A = {1, 2, 3, 4} e x=3  x  A


Conjuntos
• Representação dos conjuntos
• Por enumeração: Podemos representar um conjunto
enumerando seus elementos
Exemplo: O conjunto dos números pares positivos
menores do que 10: {2, 4, 6, 8}
• Por propriedade: Quando todos os elementos de um
conjunto A, e somente eles, satisfazem a uma certa
propriedade, podemos descrever o conjunto A
especificando essa propriedade. Para isso, usamos o
símbolo | (lê-se: “tal que”)

Conjuntos
•Por propriedade: Exemplos:
A = {x | x é impar e menor do que 10} = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {0, 5, 10, 15, 20, ...} = {xN | x é múltiplo de 5} = {xN
| x = 5.i , i=0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
M = {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {x N | 2 < x < 9}
Lembrete:
x > 1 equivale a valores maiores do que 1, não incluindo o número 1 {2, 3, 4, 5,
...} ;
x  1 equivale a valores maiores do que 1, incluindo o número 1 {1, 2, 3, 4, 5, ...
};


Conjuntos
• Representação dos conjuntos
•Por diagrama: Para a visualização geométrica dos
conjuntos usam-se os chamados diagramas de Venn. O
diagrama de Venn do conjunto A = {1, 2, 3, 4} é
mostrado abaixo:

A

•1
•2

•3
•4

(Diagrama de Venn)

• Conjunto Vazio: É o conjunto que não possui elemento
algum. É representado por .

Conjuntos
Operações de Conjuntos

•A  B

•AB
A

B

A

B

•AB

•AB

A
A

B

B
AB


Conjuntos
• Sunconjunto: Se A e B são dois conjuntos, pode ocorrer
que todo elemento de A seja também de B. Dizemos que A
é subconjunto de B, ou que A é parte de B ou, ainda, que A
está contido em B. Indicamos por AB.
•A  B = {x| x  A  xB}
Exemplo: A = {0, 2, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, 2, 4, 8}
Temos: AB, C  B, AC, CA
 Todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A  AA
 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:
A  A


Conjuntos
• Intersecção: Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua
intersecção é o conjunto dos elementos que pertencem
simultaneamente a A e B.
A  B = {x| xA e xB}
• Exemplos:
A = {a, b, c} e B = {b, c, d}  A  B = {b, c}
a

A

b
c

d

B

C = {1, 3, 5} e D = {2, 4, 6}  C  D = 
E = {1, 5, 10, 15} e W = {5, 15, 25, 35}  E  W = {5, 15}

Conjuntos
•União: Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua união é
o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B.
AB = {x| xA ou xB}

•Exemplos:
A = {a, b, c} e B = {b, c, d}  A  B = {a, b, c, d}
a

A

b
c

b
c

d

B

C = {1, 3, 5} e D = {2, 4, 6}  C  D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {1, 5} e W = {15, 25}  E  W = {1, 5, 15, 25}

Conjuntos
• Diferença: A diferença A – B é o conjunto dos elementos
de A que não pertencem a B.
A - B = {x| xA e xB}

• Exemplos:
A = {a, b, c, d} e B = {a, b}  A - B = {c, d}
C = {a, b, c, d} e D = {a, b, e}  C - D = {c, d}
F = {a, b, c, d} e J = {e, f}  F - J = {a, b, c, d}
B

a
b

c
d

C
A

d
c

a
b

F
e

D

d a
c b

e
f

J


Conjuntos
• Número de elementos da reunião entre conjuntos: Seja
n(A) e n(B) números de elementos do conjunto A e B,
respectivamente. Temos a seguinte propriedade válida para
todo conjunto A e B:
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)
• Exemplo:
A = {a, b, c}  n(A) = 3
B = {b, c, d, e}  n(B) = 4
A  B = {b, c}  n(A  B ) = 2
A  B = {a, b, c, d, e}  n(A  B) = 5

a

A

b
c

d
e

n(A) + n(B) – n(AB) = 3 + 4 – 2 = 5 = n(AB)

B

Conjuntos
Exercício: Se o conjunto A tem 30 elementos, o conjunto B
tem 50 elementos e há 10 elementos que pertencem a A e
B simultaneamente, quantos elementos pertencem:
a) Somente a A (e não a B) ?
b) Somente a B (e não a A) ?
c) Quantos elementos possuem os dois conjuntos juntos ?


Conjuntos


Conjuntos Numéricos

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos Naturais

N* = {1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto N – {0}


 Par: Um número é par quando dividido por 2 apresenta
resto zero (ou resulta em um número inteiro) 16  2 = 8
(resto 0)
 Ímpar: Um número é ímpar quando dividido por 2
apresenta resto diferente de zero (ou resulta em um
número não inteiro) 15  2 = 7 (resto 1) (=7,5)
 Divisíveis por 2: todo número par é divisível por 2
12, 18 e 20 são pares  são divisíveis por 2

 Divisíveis por 3: todo número que a soma dos valores
absolutos dos algarismos é um número divisível por 3
174 = 1+7+4 = 12, que é divisível por 3
171 = 1+7+1 = 9, que é divisível por 3
 Divisíveis por 4: todo número em que os últimos 2
algarismos forem divisíveis por 4 ou terminarem em 00
100 é divisível por 4, porque termina em 00
712 é divisível por 4, porque 12 é divisível por 4
 Divisíveis por 5: todo número terminado em 5 ou 0
175 é divisível por 5, porque termina com 5

 Divisíveis por 6: todo número divisível por 2 e 3
simultaneamente
216 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e 3
 Divisíveis por 7: Todo número que obedece o seguinte
procedimento: Seja o número 1113. Retiramos o algarismo
da unidade, duplicamos ele subtraímos do número
restante. Repetimos isto até encontrar um número
suficiente pequeno que possamos reconhecer, que é
divisível por 7: 1113  111-6 = 105  105/7=15  1113 é divisível por 7
59325  5932-10=5922  592–4 = 588  58 – 16 = 42 / 7 = 6  59325 é divisível por 7

Divisíveis por 8: Quando terminado por 000 ou quando
os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8
1328 é divisível por 8, porque 328 é divisível por 8
 Divisíveis por 9: Quando a soma dos algarismos do
número é divisível por 9
3243+2+4 = 9 que é divisível por 9 324 é divisível por 9

 Divisíveis por 10: Quando termina em 0

 Divisíveis por 11: Seja um número formado por n
algarismos  temos que se a soma dos algarismos nas
posições ímpares menos a soma dos algarismos nas
posições pares forem divisíveis por 11 o número também
será divisível por 11;
39827  3+8+7-(9+2) = 18 – 11 = 7 Não é divisível por 11
12349  1+3+9-(2+4) = 13 – 6 = 7 Não é divisível por 11
90728  9+7+8-(0+2) = 25 – 3 = 22 É divisível por 11


Exercícios


 Seja D(a) o conjunto dos divisores de a;
D(5) = {1, 5}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(13) = {1, 13}
 Números Primos: Número divisível pela unidade e por
ele mesmo. Exemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... 
Podemos reconhecê-los fazendo divisões pelos sucessivos
primos 2, 3, 7,... até encontrar um quociente menor que o
divisor e resto diferente de zero


 Números Primos: Exemplo:
 O número 23 é primo ?
 23 2 = 11 resto 1
 23 3 = 7 resto 2
 23 5 = 4 resto 3  Como o quociente é menor que o
divisor e o resto diferente de zero, temos que o número é
primo.
 Quantidade de divisores de um número: Primeiro
decompomos um número em fatores primos, e
apresentamos na forma fatorada. Adicionamos 1 ao
expoente de cada fator e multiplicamos cada expoente

 Quantidade de divisores de um número:
Exemplo: Número de divisores de 100 e 60 ?
100 = 22.52  (2+1).(2+1) = 3.3 = 9 (O número 100
apresenta 9 divisores)
60 = 22.3.5  (2+1).(1+1).(1+1) = 3.2.2 = 12 (O número 60
apresenta 12 divisores)

99 = 32.11  (2+1).(1+1) = 3.2 = 6 (O número 99 apresenta
6 divisores)

 Máximo Divisor Comum (MDC): O M.D.C de dois
números, indicado por mdc(a,b), é o maior elemento do
conjunto D(a)  D(b) (se os dois números estiverem
fatorados em números primos, será o produto de fatores
comuns elevado ao menor expoente)
 Exemplo: mdc(20, 36) = mdc(22.5,22.32) = 22 = 4
mdc(8, 12) = mdc(23,22.3) = 22 = 4


 Mínimo Múltiplo Comum (MMC): o M.M.C de dois
números, indicado por mmc(a,b), é o produto de fatores
primos comuns e não comuns elevado ao maior expoente
 Exemplo: mmc(20, 36) = mmc(22.5,22.32) = 22.5.32 = 180
mmc(8, 12) = mmc(23,22.3) = 23.3 = 24
 Propriedades:
 Se a e b são primos entre si  mdc(a,b) = 1
 Se b é divisor de a então mdc(a,b) = b
 mmc(a,b).mdc(a,b) = a.b

Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, ...}

Conjunto dos Inteiros

Z* = {.., -3, -2, -1, 1, 2,
3, ...}

Conjunto Z – {0}

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}
Z- = {... -3, -2, -1}

Conjunto Z positivos
Conjunto Z negativos


Z+* = {1, 2, 3, ...}

Conjunto Z positivos – {0}

Q= {p/q | p  Z, q 
Z, q  0 }

Conjunto dos Racionais


Exemplos:
1,3 = 13/10

0,243 = 243/1000

3,17 = 317/100

0,222... = 2/9

1,444... = 13/9
1,444... = 1 + 0,444...

0,999... = 1

10 x 0,222... = 2,222...
- 0,222... - 0,222...

10 x 0,444... = 4,444...
- 0,444... - 0,444...

9 x 0,222... = 2

10 x 0,999... = 9,999...
- 0,999... - 0,999...
9 x 0,999... = 9

9 x 0,444... = 4

0,222... = 2/9

1,444...=1+4/9=
9/9+4/9 =13/9

0,999... = 9/9 = 1

0,5 = 1/2

0,75 = 3/4

1,25 = 5/4


I

Conjunto dos Irracionais

Exemplos:
 = 3,1415926...

= 1,414213...

e = 2,1782818....

= 1,73205...
log(101) = 2,00432...

= 1,6180339...


Conjunto dos Reais

N

Z

Q

I

R


Números Romanos
 Alguns valores inteiros são representados por letras romanas específicas:
Símbolo

Valor

I

1

V

5

X

10

L

50

C

100

D

500

M

1000

Para representar outros números são utilizadas as
seguintes regras:
• Algarismos de menor ou igual valor à direita são
somados ao algarismo de maior valor: XV = 10+5=15
• Algarismos de menor valor à esquerda são
subtraídos do maior valor: IV = 5-1=4
• Qualquer algarismo não pode ser repetidos lado a
lado por mais de 3 vezes: CCC = 300 e CD = 400

• 2013 = MMXIII = 1000+1000+10+3
• 2014 = MMXIV = 1000+1000+10+4

Números Romanos


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