Matematica basica 2 vectores y matrices ricardo figueroa. g.

MATEMÁTICA BÁSICA 2
VECTORES Y MATRICES
C O N N Ú M E R O S C O M P L E J O S
QUINTA EDICIÓN
2005
© Impreso en:
Ediciones
Jr. Loreto 1696 Breña Telefax: 423-8469
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R A Z Ó N S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C IA
D O M IC IL IO : Jr. Loreto 1696 Breña
Prohibida su reproducción por cualquier medio,
total o parcialmente, sin el previo permiso escrito
del autor.
0 3 3 X 0 3
Dada la gran acogida que le dispensaron los estudiantes a
la ediciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta
nueva edición ampliada a nueve capítulos, en la que se han hecho
las m odificaciones necesarias con el propósito de hacer m ás
asequible su lectura, pues la obra proporciona una excelente
preparación para el estudio de cursos superiores com o el Análisis
Matemático y sobre todo, el Algebra Lineal.
El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene
conocim ientos del Algebra y la Geometría elemental E s asi que
en el primer capítulo se desarrolla la relación que existe entre
estos d os grandes cam pos de la matemática, esto es, el estudio
de la técnica de los vectores en el plano (sistema bidimensional).
En este capitulo, antes de definir un vector bidimensional, se
presenta el espacio numérico bidimensional denotado por R J En
los capítulos 2 y 3 se estudian, por separado, las rectas en el
plano y su s aplicaciones, respectivamente En el capítulo 4 el
sistem a bidimensional se extiende al tridimensional, el cual se
denota por R : Los capítulos 5 y 6 proporcionan una introducción
vectorial a la geometría analítica sólida al estudiar rectas y planos
en R 3 En el capítulo 7 se introduce el estudio de los núm eros
complejos, que si bien es cierto, tienen gran sem ejanza con los
vectores en R no se debe confundir con estos dos conjuntos de
pares ordenados que tienen naturaleza cualitativamente
diferentes En el capitulo 8 se hace referencia al estudio de las
matrices de acuerdo con su dim ensión o tamaño y su s
aplicaciones a la solución de ecuaciones lineales. Finalmente, en
el capítulo 9 se expone la teoría de los determinantes de particular
importancia en la teoría de las matrices y su s num erosas
aplicaciones
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IN Prólogo
C on este libro se tiene la intensión de desarrollar la
capacidad del estudiante y crea en él hábitos de rutina
matemática; esto es, la exposición teórica e s acom pañada de
num erosos ejemplos ilustrativos y ejercicios con su s respuestas
dadas al final del libro, los cuales, indudablemente, ayudarán al
estudiante a adquirir destreza y afirmar el dom inio de la materia.
Por ello, se recomienda que los ejercicios propuestos se resuelvan
sistemáticamente, toda vez que su solución obedece a un criterio
de aprendizaje progresivo.
Mi reconocimiento a todos los am igos profesores que
tuvieron la gentileza de hacerme llegar su s sugerencias y
o b se rv a c io n e s a las e dicio n es prelim inares. S u s críticas
constructivas hicieron posible corregir, mejorar y ampliar esta
n u e va edición. A s í m ism o d e se o e x p re sa r un e sp e cia l
reconocimiento a E d ic io n e s R F G cuyo personal no ha escatim ado
esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publicación
del texto.
El autor
V
Q
CONTENIDO
V E C T O R E S EN E L PLANO 1
1.1 C oordenadas rectangulares 1
1.2 R J com o espacio vectorial 5
1.3 Representación geométrica de un vector en el plano 9
1.4 Magnitud y dirección de un vector en el plano 12
1.5 Adición de vectores en el plano 16
1.5.1 Representación gráfica de la sum a de vectores en el plano 17
1.6 Multiplicación de un escalar por un vector 20
1.7 Vectores paralelos 29
1.8 Producto escalar de vectores 36
1.9 Angulo entre dos vectores 51
1.10 Descom posición de vectores 59
1 .1 1 Proyección orotogonal 66
1.12 Area del paralelogramo y del triángulo 82
1.13 Dependencia e independencia lineal de vectores 90
1.14 Los vectores y la geometría elemental 106
1.15 Los vectores y la física 116
G R EC TA S EN E L PLANO 125
2.1 Recta que pasa por dos puntos 125
2.2 Segm entos de recta 127
2.3 División de un segm ento en una razón dada 129
2.4 Puntos que están sobre una recta 133
2.5 Pendiente de una recta 137
2.6 Forma general de la ecuación de una recta 148
2.7 Forma punto pendiente 150
2.8 Forma pendiente y ordenada al origen 151
2.9 Forma abscisa y ordenada al origen 151
2.10 Forma simétrica 152

Contenido
A PLICA CIO N ES DE LA R EC TA 163
3.1 Distancia de un punto a una recta dada 163
3.2 Intersección de rectas 171
3.3 Angulo entre d os rectas 180
V EC T O R E S EN E L ESPA CIO 193
4.1 El espacio tridimensional 193
4.2 Vectores en el espacio 194
4.3 Dirección de un vector en el espacio 199
4.4 Producto escalar de dos vectores en elespacio 202
4.4.1 Angulo entre d os vectores en R 1 204
4.5 Proyección ortogonal y com ponentes 212
4.6 Com binación lineal de vectores en R ' 218
4.7 El producto vectorial 223
4.8 El producto mixto de vectores 238
4.8.1 Propiedades del producto mixto de vectores 239
4.8.2 Interpretación geométrica del producto mixto 240
R EC TA S EN E L ESPA CIO 249
5.1 Ecuación vectorial de una recta en el espacio 249
5.2 Posiciones relativas de vectores en el espacio 254
5.3 Aplicaciones de la recta en el espacio 262
PLANOS EN E L ESPACIO 269
6.1 Ecuación vectorial de un plano 269
6.2 Distancia de un punto a un plano 277
6.3 Intersecciones de planos 281
6.4 Familia de planos que pasan por la intersección
de dos planos 285
6.5 Intersecciones de rectas y planos 290
LO S NUM EROS C O M PLEJO S ___________________________301
7.1 El conjunto de los números complejos 301
Contenido VII
7.2 R com o subconjunto de C 308
7.3 Forma cartesiana de un número complejo 309
7.4 Representación geométrica de los núm eros complejos 311
7.4.1 Representación gráfica de la sum a y diferencia 311
7.5 Módulo de un número complejo 312
7.5.1 Propiedades del módulo de un número complejo 323
7.6 La raíz cuadrada de un número complejo 328
7.7 Lugares geom étricos en C 332
7.7.1 La línea recta 332
7.7.2 La circunferencia 333
7.7.3 La parábola 334
7.7.4 La elipse 336
7.7.5 La hipérbola 337
7.8 Forma polar de un número complejo 345
7.9 Potenciación de núm eros complejos 351
7.10 Radicación de núm eros complejos 355
7.10.1 Ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos 357
7.10.2 R aíce s primitivas de la unidad 354
7.11 La exponencial compleja 361
M ATRICES___________________________________ 379
8.1 Introducción 379
8.2 Definición 379
8.3 Orden de una matriz 380
8.4 Igualdad de matrices 381
8.5 Tipos de matrices 382
8.6 Sum a de matrices 383
8.7 Producto de un escalar por una matriz 385
8.8 Multiplicación de matrices 387
8.9 Propiedades de la multiplicación de matrices 392
8.10 Matrices cuadradas especiales 404
8.10.1 Matrices simétricas 404
8.10.2 Matriz antisimétrica 405
8.10.3 Matriz identidad 406
8.10.4 Matriz diagonal 409
8.10.5 Matriz escalar 409
8.10.6 Matriz triangular superior 410
8.10.7 Matriz triangular inferior 410
8.10.8 Matriz periódica 410
8.10.9 Matriz transpuesta 414
8.10.10 Matriz hermitiana 416

vni Contenido
8.10 .11 Matriz inversa 417
8.10 .12 Inversa de una matriz triangular 419
8.11 Transform aciones elementales 427
8.11.1 Transform ación elemental fila 0 columna 427
8.11.2 Matriz escalonada 428
8.11.3 Matrices equivalentes 429
8.11.4 R ango de una matriz 430
8.11.5 Matrices elementales 431
8.11.6 Inversa de una matriz por el método de las matrices
elementales (Método de G a u ss - Jordán) 434
8.12 Sistem as de ecuaciones lineales 440
8.13 R a n go de un sistem a de ecuaciones lineales 449
8.14 Sistem as hom ogéneos de ecuaciones lineales 456
□
D ETERM IN AN TES 465
9.1 Definición 465
9.2 Propiedades de los determinantes 466
9.3 Existencia de los determinantes 473
9.3.1 M enor de una componente 474
9.3.2 Cofactor de una componente 475
9.4 Cálculo de determinantes de cualquier orden 479
9.5 Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 499
9.5.1 Regla de Sarrus 499
9.5.2 Cálculo de determinates mediante la reducción a la forma
escalonada 501
9.5.3 Propiedades multiplicativas 511
9.5.4 R ango de una matriz 516
9.5.5 Adjunta de una matriz 523
9.5.6 Inversa de una matriz 525
9.5.7 Matrices no singulares 538
9.5.8 Resolución de sistem as de ecuaciones en dos variables 543
9.5.9 Resolución de sistem as de ecuaciones de tres variables 544
R e sp u e sta s a los ejercicios p ro p u e sto s 552
Bibliografía 572
A] VECTORES
Eíl El PUMO
' o — ^
(l.1 j C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S____________________
El propósito de esta sección e s el de definir el concepto de par ordenado de
elementos, introducir una notación para representar tales pares y definir y estudiar
operaciones algebraicas sobre pares ordenados de núm eros reales. Em pecem os
entonces a definir el producto cartesiano de dos conjuntos.
DEFINICION 1.1 El producto cartesiano de dos conjuntos
Si A y B son dos conjuntos dados, entonces el producto car
tesiano de A y B , denotado por A x B , es el conjunto de todas las posibles
parejas ordenadas {a ,b) para las cuales la primera componente es un elemento
de A y la se gu n da componente es un elemento de B. En sím bolos escribim os :
A x B = { (a , b)a e A , b e B }
V _________________________________
Por ejemplo , s i A = { 2 , 3 , 5 } y B = { a , & } , entonces
A x B = { (2 , a) , (2 , b ), (3 . a ) , (3 , b) , (5 , a ) , (5, b ) }
El producto cartesiano con el que trataremos en este libro es R x R, denota
do mediante R 2, que se define com o el conjunto infinito de parejas ordenadas de
núm eros reales. En sím bolos :
R x R = { (x , y) | x e R . y e R }
A sí com o el conjunto R de los núm eros reales es representado geométricamente por
una recta real, el conjunto R 2 se representa geométricamente mediante un plano
llamado plano real.

Capítulo I: Vectores en el plano
El plano real consta de dos rectas perpendiculares entre si, llam ados ejes de
coordenadas, y su punto de intersección O se llama origen de coordenadas. Las
cuatro regiones en los que los ejes de coordenadas dividen al plano se llaman cua
drantes, y se num eran I , II, III y IV com o se muestra en la Figura 1.1.
Las distancias desde O a los puntos sobre los ejes son distancias dirigidas,
es decir positivas a la derecha y negativas a la izquierda sobre el eje X y positivas
hacia arriba y negativas hacia abajo sobre el eje Y. La Figura 1.1 muestra los signos
de los com ponentes de cada par (x , y) en los cuatro cuadrantes.
f
Y i
1 1
i
I
(+.+)
o(
III
F A
IV
(+. -)
V
c
Y i
y y
-
k ¡
1
1
h________ u b s c i s iJ ________ ^ f • >')
1
1
¡ i
o
V
X
J
FIGURA 1.1 FIGURA 1.2
Establezcam os ahora una correspondencia biunívoca entre los puntos Pdel
plano y los elementos (x , y) de R :. El asociar a cada par ordenado (x , y) un punto P
se lleva a cabo com o sigue :
1. Por el punto que corresponda al número x sobre el eje horizontal (eje de absci
sa s) se traza una recta paralela al eje vertical.
2. Por el punto que corresponda al núm ero y sobre el eje vertical (eje de ordena
das) se traza una recta paralela al eje horizontal.
3. Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las coordenadas (x , y).
P se llama “la gráfica de (x , y)” o simplemente “el punto (x , y)”.
O bsérvese que todo P del plano determina un par (x , y) de núm eros reales, que son
su abscisa y su ordenada, y recíprocamente, todo par (x , y) determina un punto P
(Figura 1.2). Este medio de establecer una correspondencia uno a uno (biunívoca)
se llama sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.
Debido a que existe esta correspondencia uno a uno, si dos pares ordenados co
rresponden al m ism o punto, los pares deben ser iguales. Tenem os entonces la si
guiente definición.
Sección 1.1: Coordenadas rectangulares 3
DEFINICION 1.2 Igualdad de pares ordenados
v_
La igualdad de pares (a , b) y (c , d) se define con
{a ,b )-{ c ,d) <=> a =c y b =d
Ejemplo 1 ^ Para qué valor o valores de x se tiene que
(2x2 - 7 x + 1 . 3x - 1) = (-2 , 8)
Solución. De la Definición 1.2 , se sigue que :
(2x: - 7x + 1 = -2) a (3x - 1 = 8)
de donde : (2x3- 7x + 3 = 0) a (3x - 9 = 0) <=> (x = 3 ó x = 1/2) a (x = 3)
El número que buscam os es la solución com ún , esto es, x = 3 ■
Ejemplo 2 J Hallar los elementos del conjunto
A = { (x , y) I (2x2 + 7x , 4 y 2 - 19y) = (x , -12) }
Solución. Se g ú n la Definición 1.2, se debe cumplir que :
(2x: + 7x = x) a (4y: - 19y = -12)
<=> (2x2+ 6x = 0) a (4y: - 19y + 12 = 0) <=> (x = 0 óx = -3) a (y = 3/4 ó y = 4)
Por lo tanto : A = { (0 , 3/4) , (0 . 4). (-3 , 3/4) , ( - 3 , 4 ) } ■
Una propiedad importante que debe recordarse es que si se emplea una
m ism a escala en am bos ejes coordenados, entonces la distancia que separa a dos
puntos A ( x ,, y,) y B (x ,, y :) en el plano es. por definición, la longitud del segm ento de
recta que los une. El siguiente teorema establece una fórmula de la distancia en
términos de las coordenadas de los dos puntos.
TEOREMA 1.1 Fórmula de la distancia
D ado s dos puntos A (x ( , y,) y B (x ., y,) en el plano, la distancia
entre los d os puntos viene dada por la fórmula
d ( A , B) = V(x, - x,): + (y, - y, ):
.________________________________________________________________
Demostración. La demostración se basa en el teorema de Pitágoras. En efecto, en
el triángulo rectángulo A C B de la Figura 1.3
I A"B I -’ = I Á C I - + IC B I
= I x 2- x, 1 2+ 1y, - y ,|2
y de aquí obtenem os :
d{A , B) = V(x, - x,)- + (y, - y ,)2

4 Capitulo 1: Vectores en el plano
E j e m p lo 3 ) Dem uestre que el triángulo A B C con vértices A (1 , -3), B (3 , 2)
y C(-2 , 4) es un triángulo isósceles.
Demostración. La fórmula de la distancia da
I A B I = V(3 - 1): + (2 + 3)-’ = Í29
IB C | = V(3 + 2)’ + (2 - 4)- = V29
I A C j = V(1 + 2): + (-3 - 4)- = V58
Dado que I A B I = j B C I , queda probado que el triángulo A B C e s isósceles.
Com o I A B I -’ + I B C 12= IA C 1 2 , la recíproca del teorema de Pitágoras implica ade
m ás que A B C e s un triángulo rectángulo. ■
EJERCICIOS : Grupo 1
En los ejercicios 1 - 6, determine para qué núm eros reales la ecuación e s válida. Si
no existe solución, indíquelo.
1 . (x - 2y , 2x + y) = (-1 , 3) 4. (x2 + 2x , 2 x 2 + 3x) = (-1 , -1 )
2. (2x + 3y , x + 4y) = (3 ,-1 ) 5. (x2 - y 2 , 4) = (12 , xy * y 2)
3. (x2 - 2x , x2 - x) = (3 , 6) 6. (x2 - xy , 3) = (12 , xy - y 2)
7. Hallar los elementos del conjunto
S = {(x , y) I (x2 + 2xy , 3 x2 + 2 y 2) = (16 , 4xy + 6)}
S = {(x , y) I (x3- y3, 6) = (19 , x2y - xy2)}
Sección 1.2: R: como espacio vectorial 5
9. Se a n los pares ordenados A = (2x + y - 3 , 5y - x - 8) y B = (x + 3y - 11 , 2x +
3y + 4); si A = B, encontrar el valor de S = 4x + 5y
10 . Determ ínese gráficamente las coordenadas del punto I de intersección de la
recta que pasa por A(2 , 3) y B (-1 , 4) y la recta que p asa por C(-1 , 0) y D(-2 , 3).
11. Hallar x de modo que la distancia de A(2 , -1) a B(x , 2) sea 5.
12. Dem uestre que los puntos A(-4 , 4), B (-2 , -4) y C (6 , -2) son los vértices de un
triángulo isósceles.
13. Probar que los puntos A(4 , 0), B(2 , 1) y C(-1 , -5) son vértices de un triángulo
rectángulo.
14. U sar la fórmula de la distancia para determinar que los puntos A(-2 , -5), B(1 , -1)
y C(4 , 3) están sobre una recta.
15. Dem uestre que M ^ t, es punto medio del segm ento cuyos extre
m os son los puntos A(a , b) y B(c , d)
I^ T ) R 2 C O M O E SP A C IO V E C T O R IA L ________________________
Tom ando al conjunto R de núm eros reales hem os construido el producto
cartesiano R x R, al cual sim bolizam os por
R- = { (x , y) I x e R , y € R }
Un hecho de fundamental importancia en este conjunto es que podem os
definir en él dos operaciones entre su s elementos sim ilares a la adición y multiplica
ción de núm eros reales. Este hecho hace que tal conjunto tenga una estructura
algebraica llamada espacio vectorial y que, por tanto, nos podam os referir a él no
solo com o el “el conjunto R 2”, sino com o el “espacio R :”. Las operaciones que defini
m os en R 2son :
DEFINICION 1.3 Adición de pares ordenados de números reales
Si A = (a, , a:) y B = (bl , b2) son dos pares ordenados en R 2,
definimos su suma como
A + B = (tf, + 6, , az , b2)
A la operación que a cada par le hace corresponder su sum a la llamaremos
adición de pares ordenados.
Por ejemplo, si A = (3 , 5) y B(l , -8), entonces :
A + B = ( 3 + l , 5 + (-8)) = (4 , -3)

6 Capítulo I: Vectores en el plano
DEFINICION 1.4 Multiplicación de un número real por un par ordenado
Si A = (at , a,) e s un elemento de R 2 , y r es un número real
(llamado escalar), definimos su producto com o
rA = (ra ,, rtí,)
A la operación que hace corresponder a cada número real y cada par ordenado
su producto escalar la llamaremos multiplicación de un número real por un par
ordenado.
Por ejemplo, si A = (-2 , 6) y r = 3/2 , entonces :
r A = y (-2 , 6) = ( y (2), y (6)) =(-1,9)
O bsérvese que, según estas definiciones, tanto la sum a de pares com o la
multiplicación de un escalar por un par ordenado, son nuevam ente elementos de R 2.
Por ello se dice que estas operaciones son cerradas en R 2.
Estas dos operaciones gozan de propiedades m uy importantes que se indi
can en el siguiente teorema.
TEOREMA 1.2 Propiedades de los pares ordenados
D ados los pares ordenados A, B, C e R 2y los escalares r, s e R, se
cumplen las siguientes propiedades para la adición de pares ordenados y la multipli
cación de escalares por pares ordenados.
A, :Si A, B e R : ■=* (A + B) e R 2 (Clausura)
A 2 :Si A, B e R : => A + B = B + A (Conmutatividad)
A 3 :Si A, B, C € R 2 <=> (A + B) + C = A + (B + C) (Asociatividad)
A 4 :Propiedad del elemento identidad para laadición de pares
3 ! 0 e R 2|A + 0 = 0 + A = A , V A e R : (0 = (0 ,0))
A s : Propiedad del elemento inverso para la adición de pares
3 ! - A 6 R 2 1A + (-A) = (-A) + A = 9 , V A e R 2
M, : Si r g R y A e R 2 <=> r A e R 2 (Clausura)
M 2 : 3 l e R I l A = A , V A e R 2 (Existencia del elemento neutro)
D, :r (A + B) = r A + r B , V r e R , V A , B e R 2 (Ley distributiva)
D 2 :(r + s)A = rA + sA , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva)
D 3 :r(sA) = (rs)A , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva)
S e deja al lector la demostración de cada una de estas propiedades haciendo uso
de las propiedades respectivas de los núm eros reales.
Sección 1.2: R: como espacio vectorial 7
DEFINICION 1.5 El espacio vectorial
El espacio vectorial V es un conjunto de elementos, llamados
vectores, junto con un conjunto de elementos, llam ados escalares, con dos ope
raciones llam adas adición vectorial y multiplicación cscalaraes que para cada
par de vectores A y B en V y para todo escalar r, un vector A + B y un vector iA
están definidos de tal forma que las propiedades del Teorem a 1.2 se satisfacen.
El Teorem a 1.2 nos demuestra que el conjunto R 2 e s un espacio vectorial
sobre R. denotado por V,. Por tanto a los pares representados por ( x , y) también los
llam aremos vectores.
DEFINICION 1.6 Vectores en el plano
Un vector en el plano es un par ordenado de núm eros reales
de la forma <x . y), donde x e y son las componentes del vector.
Para denotar vectores se utilizan letras en negritas tales com o A, B, C, a, b,
—) —)
c, v, x, y, z. En la escritura a m ano se usan los sím bolos com o A , a , de tal forma que
un vector A de com ponentes escalares x e y se escribirá A = (x , y), para distinguirlo
del punto A(x , y). Para denotar los núm eros o escalares, se usarán letras m inúscu
las tales com o a, b, c, r, s, t, x, y, z, com o contraste con los vectores.
Dado dos vectores en V,, A = (x, , y,> y B = ( x , , y , ) , podem os definir
1. Si A = B <=> (x, = x,) a (y, = y,) (Igualdad de vectores)
2. A + B = (x, + x , , y, + y,) (Definición 1.3)
3. r A = (r x, , r x,) (Definición 1.4)
Ejemplo 1 ] Si A = (-2 , 3) y B = (4 , -1), hallar el vector V = 2A + 3B
Solución. Si V = 2(-2 , 3) + 3(4 , - 1) <=> V = (-4 , 6) + (12 , -3) (Def. 1.4)
= ( - 4 + 1 2 , 6 - 3 ) (Def. 1.3)
= (8 , 3) ■
1 Ejemplo 2 j Hallar el vector x en la ecuación
2(-1 , 2) + 3x = (4 , -5)
Solución. Su p on ga m os que x = (x, , x,), entonces en la ecuación dada :

8 Capítulo l: Vectores en el plano
2<-l , 2) + 3<X, . x2> = (4 , -5)
=> (-2 , 4) + <3x, , 3x,) = <4 , -5) (Def. 1.4)
«=* <-2 + 3x, , 4 + 3x,) = <4 , -5) (Def. 1.3)
Por la igualdad de vectores : -f - + ^x i - 4 ^ x i - -
*- 4 + 3x, = -5 <=> x, = -3
Por tanto, el vector buscado es : x = (2 , -3) ■
Cjcmplo 3 J Hallar todos los núm eros reales r y 4 tales que
r (4 , -6) + 4 (5 , -2) = <7 , 6>
Solución. <4r , -6r) + <54 , -2ó> = <7 , 6> (Def. 1.4)
<4r + 54 , -6r - 24> = <7 , 6> (Def. 1.3)
Por la igualdad de vectores : -f 4r + 54 _ 7
l -6r * 24 = 6
Resolviendo el sistem a obtenem os los núm eros : r = - 2 , 4 = 3 ■
EJER C IC IO S: Grupo 2
1. D ados A = (3 , -4), B = (8 , -1) y C = (-2 , 5), hallar el vector V. s i :
a) V = 3 A - 2 B + C c) V = 2 (A - B) + 3C
b) V = 4 A + 1 ( B - C ) d) V = 2(A + C ) + 1 ( B - 2 C )
2. Hallar el vector X en las siguientes ecuaciones :
a) 3 <0 , -2) + 2 X - 5 <1 , 3) = (-3 , -5>
b) <15 , -12) + 2[ (-6 , 5) + X] = 4(1 ,-2)
c) 2 X - 3 <1 , -2) = 5 <-1 , 3) - X
3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los núm eros reales r y s
a) r <-2 , 3) - s (8 , 1) = <16 , 15) c)r <-2 , 3) + s <4 , -6) =<0 , 2)
b) r <5 , 1) + s <-3 , 5) = <-2 , 8) d) r <4, 3) + s <-1 ,2) = <2 , -26)
4. Si <1 , 5) + 2x = <7 , -3), hallar r y t , tales que (-3 , 2) = r x + t<2 , -4)
5. Si A = <n , m ), B = <1 , -2), C = <-1 , -3) y m A + n B - C = <0 , m2) , hallar el valor
de 3m + 2n
6. Si A = (m , n ) . B = <2 , -3) y C = <-1 , 1), hallar m y n para que se cumpla
m A + nB + C = 2n<1 , 0)
Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano 9
7. Si A = <2 , 3 ), B = <3 , -2) y C = <4 , -1), resolver la ecuación
2A - 3( — (B - 3C) + ^ X ] = l x + 3C
2 4 4
V = { <m , n) e R : I <12m - 1 |, 12m + 1 |) = <5 , 9)}
9. D ado s los vectores A = <3x - 5 , x - 2y + 2) y B = (x - y - 2 , 3 - 2 y ) , hallar x e y
tales que 3 A = 4 B
10. Si A = <2m - 3n , 4n - m) y B = <2 , -3), hallar los valores de m y n que hacen que
A = 5B.
1-3 ) REPRESEN TACION GEO M ETRICA DE UN V EC TO R EN EL PLANO
Geométricamente, cualquier par de puntos distintos S y T en el plano deter
minan un segmento de recia orientado ST de S a T. Si representam os este segm ento
de recta por un vector V = <x , y ) , mediante una flecha, éste se llama vector geomé
trico cuyo punto inicial es S (x ,, y,) y tiene com o punto final T(x + x, , y + y t). De este
m odo un vector V e R : puede interpretarse com o una traslación descrita por un par
de núm eros reales (x , y ) , la primera componente indica un desplazam iento paralelo
al eje X y la segunda componente un desplazamiento paralelo al eje Y. La Figura 1.5
ilustra seis representaciones del vector V = <x , y). En cada caso , V traslada el punto
(x^, y ) en el punto (xt + x , y + y). Si am bos puntos , el inicial y el final son el origen
, entonces a V se le llama vector cero y se denota mediante O = <0 , 0).
r
Yi
■N
J * -
>
j

>
■y'U A
A
.Vi
T Ji'
r
s( J w
V Vy
O
A
V I T /
>
>
k
p,
v —
p S
0
V

FIGURA 1.5 FIG URA 1.6
El segm ento de recta dirigido O P que va del origen al punto P(x , y) es una
representación ordinaria del vector V = (x , y) y se dice que la flecha o vector tiene
posición ordinaria o estandar. Por esta razón, el vector V se llama vector de posición
o radio vector del punto P(x , y).

DEFINICION 1.7 Vector Localizado
Un vector localizado en R : e s una pareja de puntos P t y P,
que se indican con P P, para los cuales P, e s el punto inicial o de partida y P, es
el punto final o de llegada (Figura 1.6). S i una flecha tiene com o punto inicial a
p ,(x , . >',) Y a p2(xr ’ >'i) com o punto final, entones la flecha P,P, es una represen
tación geométrica del vector V = (x . y ) , donde :
<x J > = <; - 1 (1)
Si consideram os a P l y P, com o vectores de posición de los puntos ?! y P,
entonces, según la Definición 1.7 :
V = p p = p - p
12 *2 *1
de donde :
i'v + p, = «*.) (2)
Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final P, del vector V co
nociendo, desde luego, el punto inicial y las com ponentes del vector V.
I O B S E R V A C IO N 1.1 Un vector en R : puede ser considerado com o una función
cuyo dominio y rango e s el conjunto de puntos en el plano.
En efecto, si V es el vector que traslada el punto P, en el punto P, escribim os V(P,) =
—>
P,. A sí si P,(x, , y,) es el punto de partida y V = (x , y) e s el vector localizado PtP„
entonces
V (P.) = (x, + x , y, + y) = P2
i i
Dominio Rango
D ebem os notar que si V (P,) = P, <=> V = (0 , 0)
Cjemplo 1 ] Hallar V (P l). dados P, = (-2 , 1) y V = (3 , 4). Graficar P,P,
Solución. Se gú n la ecuación (2):
V (P,) = P, <=> P2= (x, + x , y, + y)
= (-2 + 3 , l + 4)
= d . 5 )
La gráfica de P,P, se muestra en la Figura 1.7
Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano 11
E j e m p lo 2 ^ | Hallar el vector localizado de P ,P 2 si P, = (5 , -2) y P 2= (2 , 3).
Interpretar geométricamente el resultado.
—)
Solución. Se g ú n la Definición 1.7 : V = P,P, = P, - P,
= < 2 ,3 > -< 5 ,-2 >
= ( 2 - 5 , 3 - (-2)) = (-3 , 5)
La gráfica de P,P, se muestra en la Figura 1.8, en ella se puede observar la equiva
lencia del vector localizado P,P: y del vector de posición V = P, - P, ■
E j e m p lo 3 ] Un vector que va de A(3 , 5) a B(x , y) representa al mismo
vector que va de B(x , y) a C (8 , 1). Hallar B(x , y)
Solución. Se a n : V = A B = B - A = <x , y) - (3 ,5) = (x - 3 , y - 5)
W = B C = C - B = <8 , 1> - (x ,y) = <8 - x , 1 - y>
r X - 3 = 8 - X <=> X = 11/2
Si V = W <=> <x - 3 , y - 5) = <8 - x , 1 - y> c=* |
Por tanto, el punto buscado es B (1 1/2 , 3)
y - 5 = 1 - y ■=> y = 3
Ejemplo 4 } En la Figura 1.9, se tiene :
O P = x3 y O Q = x2y . ,
Si b = (y3 + 19 , 6 + xy2) y a = b , hallar el valor de x + y.
—> —>
Solución. Las com ponentes del vector a son O P y O Q
■=> a = < x*, x2y)
r x’ = y J + 19 <=> xJ - y- = 19 (1)
L u e g o , si a = b <=> < , , , ,, ,
I x :y = 6 + xy- «=> x*y -xy- = 6 (2 )
Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : x =3 ,
y = 2 ó x = -2 , y = -3. D ado que en la Figura 1.9, O P y OQ
f
p
k
i
/
’o ^
/
A
f
c
FIGURA 1.9
son negativos, descartam os la primera alternativa. Por tanto : x + y = -5

En los ejercicios del 1 al 4, hallar V ( P , ) , dados V y P,. S i P 2 = V ( P , ) , graficar
P P11*2‘
1. V = (2 , 6) , P, = (1 ,3)
2. V = <-4 , 1 ), P, = (-2 , -3)
3. V.= (-3 , 5 ), P, = (-5 , -2)
4. V = <5 , -1), P, = (-2 , 4)
En los ejercicios del 5 al 8, hallar el punto S(x , y) tal que P Q y R S sean repre
sentaciones del m ism o vector
5. P(2 , 5), Q(1 , 6) , R(-3 , 2) 7. P(0 , 3 ), Q (5 , -2), R(7 , 0)
6. P (-1 , 4) , Q (2 , -3), R(-5 , -2) 8. P(-2 , 0 ), Q(-3 , -4), R(4 , 2)
9. El vector V = (3 , 2) e s el vector localizado del segm ento A B cuyo punto m e
dio e s C (3 , 1). Hallar las coordenadas de los extremos de AB.
10. Se an los puntos P(5/2 , 5 ), Q(1/3 , 13/4) , R(-16/5 , 7/2) y S (x , y). Si P Q y R S
representan el m ism o vector, calcular el valor de 30x + 80y.
11. Se a V = (7 , -6) el vector localizado del segm ento A B y C(5/3 , 3) el punto de
trisección m ás cercano de B, de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A
y B.
1 2 . En la Figura 1.10 se tiene : O P = x3 , O Q = 6 - x
Hallar a , si b= (9xy - y 3 , y) y a= b.
13. Se a n A (a , -2) , B(2 , 4 ), C (8 , -3) y
D = { (x , y) I y = 2x + 1}
Si A B = C D , hallar el valor de a - x
1.4 ) M A G N IT U D Y D IR E C C IO N DE UN V E C T O R EN R2
Para cada vector V e R - , V = (x , y ) , existe un escalar o número llamado
norma. módulo o magnitud de V, denotado por 11V 11, tal que :
II V|| = V x2+ y: (3)
La fórmula (3) es coincidente con la noción intuitiva
de longitud de un segm ento deriva del teorema de
Pitágoras. La Figura 1.1 1 ilustra esta propiedad.
FIGURA 1.11
Sección 1.4: Magnitud y dirección de un vector en R2 13
Cjemplo 1 ^ Hallar la magnitud del vector de extremos A(1 , 3) y B(-2 , 7).
Solución. Si V es el vector que va de A a B, entonces
V = Á B = B - A = (-2 - 1 , 7 - 3) = (-3 , 4>
Luego, según la fórmula (3): 11V11 = V(-3): + (4)- = 5 ■
TEOREMA 1.3 Propie<' des de la norma de un vector en R-
V A , B e R : , y V r e R se cumplen las siguientes pro
N, : V A e R- , 11A ¡| > 0
N 2 : ||A II = 0 <=> A = O
N 3 : V r e R . V A e R - , 11rA 11 = I r 1. 11A11
N 4 : V A ,B e R : , | a + B | | < | | a || + 11 B 11 (Desigualdad triangular)
V________________________________________________________________
Demostración de N1:
En efecto, si A = (x , y> <=> ! A 11 = ’x: + y2
Si x * 0 y * c=> 11A 11 0
Sa b e m o s que si existe la raíz cuadrada de un número, ésta es positiva, por
lo tanto, 11A 11 > 0
Demostración de N2 :
(■=>) Si II A II = 0 => 11 A 11 = vx- + y : = 0. La igualdad se cumple si
x = y = 0, esto e s , A = (0 ,0) = O
( H Si A = O t=> A = (0 , 0) <=> 11A 11 = '0: + 02= 0
Por consiguiente : I A !I = 0 <=> A = O
Demostración de N3:
En efecto , si A = (x , y) ■=> r A = (rx , ry)
y 11rA 11 = V(rx): + (ry): = r:(x2+ y :) = r 2 . Vx: + y :
11rA11 = I r I Vx: + y :
DEFINICION 1.8 Dirección de un vector en R :
A cada vector no nulo , V = (x , y) e R 2 , le corresponde una
dirección dada por la medida del ángulo a (ángulo de dirección de V) que forma
el vector con el semieje positivo de las X, para el cual
S e n a = — , C o s a = — -L— = ■ ■ ,x : - (4)
11V 11 V.- + v 2 11V 11 V x: + y
y 0 o < m (a) < 360°
De las ecuaciones (4) se sigue que
V = (x , y) = 11V 11 (C o s a , Se n a ) (5)

14 Capítulo 1: Vectores en el plano
Por tanto, un vector en R: queda determinado por su magnitud y dirección.
I O B S E R V A C IO N 1.2 La dirección m (a) del vector V se obtiene de la manera
siguiente
Mediante un ángulo de referencia a, y haciendo
uso de una tabla de valores se halla el valor de
con 0o < mía,) < 90° para el cual
Tg a, = |y| . x * 0
Si x > 0 , y > 0 o m (a) = m(a,) (Cuad. I)
x < 0 , y > 0 «=* m (a) = 180° - m(a,) (Cuad. II)
x < 0 , y < 0 => m(a) = 180° -t- m(a,) (Cuad. III)
x > 0 , y < 0 t=> m(a) = 36(T - m (a() (Cuad. IV)
D esde luego, si x = 0 pero y * 0, entonces m (a) =
para y > 0 ó y < 0.
Ejemplo 2 J Hallar la magnitud y dirección del vector V = <-3 , 4)
Solución. Se gú n la fórmula (3), la magnitud del vector V e s
II V|| = V (-3): + (4)3 = 5
Por las ecuaciones (4) la dirección del vector está dada
por
S e n a = | y C o s a = - j
Dado que S e n a > 0 y C o s a < 0 , entonces a está en el
II cuadrante.
Angulo de referencia : Tga, = |-|| = -i <=> a, = 5398’
Por lo que : m(a) = 180° - 53°8’ = 126°52’ ■
Ejemplo 3 J Expresar el vector V = (3 , -33) en términos de su magnitud y
de su ángulo de dirección.
Solución. Se gú n (3): 11V11 = '(3)2 + (-33)2 = 6
y por las ecuaciones (4):
S e n a = - ^ y C o sa = ^
Com o S e n a < 0 y C o s a > 0 , entonces a está en el IV cua
drante.
Angulo de referencia : Tga, = |-¿| = V3 => m(a,) = 60°
í YÁ
u
v
u
J
FIGURA 1.14
90° ó m(a) = 270° respectivamente
Sección 1.4: Magnitud vdirección de un vector en R ' 15
Luego, m (a) = 360° - 60° = 300°
Por lo que, según la ecuación (5):
V = 6(C o s 300°, Se n 300°)
DEFINICION 1.9 Vector unitario
Dado un vector no nulo V = <x , y), llam am os vector unitario a
un vector u que tiene la m ism a dirección de V tal que :
u = V / x... _ > ! _ (6)
i i vil i i vti i i v i r
o bien
u = (C o sa , Se n a ) (7)
Ejemplo 4 J Hallar un vector unitario que tiene la m ism a dirección y sentido
del vector V = <-3 ,V7)
Solución. La norma del vector dado e s : 11V i ! = V(-3)’ + (V7): = 4
Por la fórmula (6): u - ^ ^ ) ■
í Ejemplo 5 j Hallar un vector de módulo 10, que tenga la m ism a dirección y
sentido opuesto al vector que va de S(4 , 2) a T(1 , 6).
Solución. S e a A = ST = T - S = (1 - 4 , 6 - 2) = (-3 , 4)
. < - 3 , 4 )
Un vector unitario en la dirección de A es : u = — ^—
Luego, el vector buscado e s : V = - 11V I! u <=> V = <6 , -8) ■
(Ejemplo 6 j Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de longitud
5, que tiene su punto inicial en (1 , -1 ) y su punto terminal tiene
abscisa 4.
Solución. S i P,(I , -1) y P, = (4 , y) => V = P,P, = P2- P,
= <4 , y) - (I , -l)
= <3 , y + i> (1)
C om o 11V11 = 5 <=» V9 + (y + I )2 = 5
.=> (y + 1): = 16 <=> y + 1 = 4 ó y + 1 = - 4
<=> y = 3 ó y = -5

Luego, en (1) : V = (3 , 4) ó V = (3 , -4)
En los ejercicios del 1 al 4, se dan las coordenadas de los puntos A y B. Expre
sar el vector V = A B en términos de su magnitud y de su ángulo de dirección.
1. A(-3 , 4 ), B(-5 , 6) 3. A(5V3„ 4 ), B(V48 , 5)
2. A( 12 , -3), B(V27 , -4) 4. A(3>/5 , - V Í5 ) , B(V20 , -V60)
5. Hallar un vector V cuya magnitud es igual a la del vector A = (4 , -2) y cuya
dirección es la m ism a que la del vector B = (1 , 3 )
6. Hallar un vector de m ódulo 10 que form a un ángulo de 3 7 9 con el eje X
positivo. (Sugerencia: U sar C o s 372 = 3/4)
7. Hallar un vector de m ódulo 15 que form a un ángulo de 5 3 s con el eje Y
positivo. (Sugerencia : U sar C o s 539 = 3/5)
8. Hallar un vector que tenga la m ism a magnitud del vector que va de A(-2 , 3) a
B(-5 , 4) y que tenga el sentido opuesto al vector que va de S(9 , -1) a T(12 , -7).
9. Hallar un vector V de longitud 6 3 y que tiene la m ism a dirección de un vector
que forma un ángulo de 309 con el sentido positivo del eje X.
10. Si V = <x , y ) , cuya norma e s 6 e y = 3 x , hallar dicho vector.
11. Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de longitud 17, que tiene su
punto de apoyo en (3 , -12) y su punto terminal tiene ordenada 3.
O P E R A C IO N E S V E C T O R IA L E S F U N D A M E N T A L E S^
11.5 A D IC IO N DE V E C T O R E S EN R-_________________________
D ados dos vectores A y B en R- tales que A = <x, , y,) y B = ( x , , y,>, defini
m os la adición del modo siguiente :
A + B = (x, , y,) + <x2 , y,) = <x, + x , , y, + y,) (8)
Por ejemplo, si A = (5 , -7) y B = (-3 , 2), entonces :
A + B = <5 - 3 , -7 + 2> = <2 , -5)
Sección 1.5: Adición de vectores en R2
r
TEOREMA 1.4 Propiedades de la adición vectorial
Si A , B y C son vectores en R 2, entonces se cumplen las si
guientes propiedades
A, : Si A y B e R 2 <=> (A + B ) € R Clausura
A., : A + B = B + A Conmutatividad
A 3 : (A + B) + C = A - ( B + C) Asociatividad
A : 3!0 6 R 2 , V A € R 2 I A + 0 = 0 + A = A Elem ento neutro para la adición
A 5 : V A e R 2 , 3(-A) € R 2! A + (-A) = (-A) + A = 0 Opuesto de un vector
v . . ■J
Demostración de A, :
En efecto, si A = (x, , y,) y B = ( x , , y , ) , entonces, por (8):
A + B = (x, + x ,, y, + y2)
Puesto que la adición es cerrada en R «=> (x, + x,) e R y (y, + y,) e R
Por lo tanto , (x, + x , , y, + y,) e R 2 «=> (A + B ) e R !
Demostración de A4: Consta de dos partes : Existencia y Unicidad
Existencia. Si A = ( x , , y,>, se tiene
A + O = <x, , y,) + <0 , 0) = <x, + 0 , y, + 0) = < x ,, y,> = A
Análogam ente se dem uestra que : O + A = A
Unicidad. S e a O i otro elemento de R 2que también cumple
A + 0, = 0 1+ A = A
Esta igualdad es cierta VA e R :, en particular se A = O , entonces
0 +0 ,=O,+0 =0
Análogam ente, haciendo A = O , , en A 4se sigue que
O,+0 =0 +0 ,=O,
Luego, las dos igualdades anteriores prueban que
o, =o
Por lo tanto, queda dem ostrado que : 3 ! O e R 2 , VA s R 2 A + 0 = 0 + A = A
íj.5 .l) R E P R E SE N T A C IO N G R A F IC A DE LA S U M A DE V EC T O
R E S EN R 2 __________________________ _ _
Se a n los vectores A y B en R 2, la flecha que representa a la sum a A + B se
obtiene del m odo siguiente
Representam os una traslación a lo largo de una flecha cualquiera que represente al
vector A = (x, , y,) seguida de una traslación del punto final de esta flecha a lo largo
de la flecha que representa al vector B = ( x , , y,). La traslación total correspondiente

18 Capitulo I: Vectores en el plano
al vector A + B. es una flecha que tiene com o punto inicial el del vector A y com o
punto final el del vector B (Figura 1.15).
La sum a A + B o B + A s e conoce com o el vector resultante y es la diago
nal de un paralelogramo que tiene com o lados adyacentes a los vectores A y B. La
obtención de la sum a A + B siguiendo este procedimiento recibe el nombre de ley
del paralelogramo, que se ilustra en el siguiente ejemplo.
C jo m p lo 1 ) D ados los vectores A = (-1 , 4) y B = (3 , 2), hallar A + B y
construir una gráfica que muestre las representaciones ordina
rias correspondientes a los vectores.
Solución. Por definición :
A + B = (-1 + 3 , 4 + 2)
= (2 , 6)
En la Figura 1.17, obsérvese que la flecha que
va de S a T representa al vector A y la flecha que
va de R a T representa a B (por segm entos de
paralelas). ■
DEFINICION 1.10 Negativo de un vector en R-
Si A e R :, tal que A = (x , y), se denom ina negativo o inverso
aditivo de A al vector
-A = (*x , -y)
Sección 1.5.1: Representación gráfica de una suma de vectores en R2
Por ejemplo, el negativo del vector A = (-3 , 2) es
Y1
-----------------
k
-A = (3 , -2).
| O B S E R V A C IO N 1.3 Dado el vector A s R : su
i
i
negativo -A e R : e s colineal, de la m ism a m agni 0' r •
- A l
tud, esto es, 11-A 11 = 11A11, pero de sentido opuesto
i
que el vector A.
Puesto que para cualquier vector V = (x , y) se FIGURA 1.18
tiene q u e :
V + (-V) = <x , y> + <-x , -y) = <x + (-x ), y + (-y)> = (0 , 0) = O
Esto n os lleva a la definición natural de diferencia de dos vectores.
DEFINICION 1.11 Diferencia de vectores
D a d o s d o s vectores A , B e R- , tales que A = <x, , y,) y
B = <x, , y 2>, definimos la diferencia A - B del m odo siguiente :
A - B = A + (-B) = <x, , y,) +.<-x: , -y,)
A - B = (x, - x , , y, - y,> (9)
¡Cjem plo 2 J Si A = (4 , 2) y B = <-3,3), hallar la diferencia A - B y trazar una
gráfica que muestre la representación ordinaria de los tres vec
tores.
Solución. Se g ú n la Definición 1.11 :
A - B = <4 , 2) - (-3 , 3) = <4 - (-3), 2 - 3> = <7 , -1> ■
La representación ordinaria de cada uno de los vectores se muestran en la Figu- -
ra 1.19. D ebem os destacar que el inverso aditivo de (-3 , 3) es <3 , -3) (negativo del
vector B), que e s colineal y de la m ism a magnitud que (-3 , 3> , pero de sentido
opuesto.
La representación geométrica de A - B puede obtenerse aplicando la regla del
paralelogram o a la sum a A + (-B). La Figura 1.20 nos muestra otra m anera de
representar la diferencia A - B , que consiste en unir los puntos finales de los
vectores B y A.
| O B S E R V A C IO N 1.4 Si A , B e R 1, entonces la diferencia A - B satisface la con
dición B + (A - B) = A, lo que explica porque algunas veces
se dice que la diferencia A - B es el vector que va de B a A (Figura 1.20).

I j Q M U L T IP L IC A C IO N DE UN E S C A L A R PO R UN V E C T O R
Dado un vector V = (x , y) € R 2 y un escalar r e R, el producto del escalar por
el vector es otro vector rV para el cual
rV = r(x , y) = (rx , ry)
La magnitud de rV e s 11rV 11 = I r I . 11 V i I y su dirección es la m ism a que la de V,
aunque su sentido puede ser opuesto, e s decir, los vectores V y rV son paralelos.
I Nota. Al vector rV se denomina múltiplo escalar de V
R E P R E S E N T A C IO N G R A F IC A . Se gú n que r se a positivo o negativo la gráfica de
rV puede ser
TEOREMA 1.5 Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector
Si A y B son vectores en R 2 y r, s e R (escalares), se cumplen las
siguientes propiedades
M, : i A e R ; Clausura
Sección 1.6: Multiplicación de un escalar por un vector 21
M 2 : (r s) A = r (sA) Asociatividad
M 3 : 1A = A Neutro multiplicativo
M 4 : i A = 0 <=> r = 0 ó A = 0 Cero multiplicativo
M 5 : - 1 A = -A Inverso multiplicativo
D, : r(A + B) = rA + rB Distribuidad respecto a la adición de vectores
D 2 : (r + s)A = rA + sA Distribuidad respecto a la adición de escalares
M 6 : llr A ll = | r l . Il A ll Magnitud respecto a múltiplos escalares
Demostración de D,. Si r e R y A , B e R : , tales que A = (x, , y,) y B = (x2 , y,)
dem ostrarem os que : r (A + B) = rA + rB
En efecto : r (A + B) = r «x, , y,) + <x2 , y,))
= r «x, + x2 , y, + y 2» (Adición de vectores)
= <r (x, + x 2) , r (y, + y 2)>
= (rx, + rx , , r y, + r y 2> (Múltiplo escalar)
= <r x, + r y,) + (r x, + ry 2) (Adición de vectores)
= r <x, , y,) + r <x, + y 2> (Múltiplo escalar)
= rA + rB
Demostración deD 2. Si r , s e R y A e R 2, tal que A = (x , y), dem ostrarem os que:
rA + sA = (r + s)A
En efecto : rA + sA = r <x , y) + s (x , y)
= <r x , r y> + (s x , s y> (Múltiplo escalar)
= <rx + s x , r y + s y ) (Adición de vectores)
= ( ( r + s ) x , ( r + s)y > (Distribuidad en R)
= (r + s) <x , y) (Múltiplo escalar)
= (r + s)A
í EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^
Ejemplo 1 ) Dem ostrar que V A e R 2 :-(-A) = A
Demostración. En efecto, según la propiedad A s :
V A e R 2, 3! -A e R 21A + (-A) = 0 (1 )
y para el vector - A s R : , 3! [-(-A)] I (-A) + [-(-A)] = 0 (2)
En (2), por la propiedad A 2, se tiene : [-(-A)] + (-A) = 0 (3)
Por (1) y (3) y la unicidad del inverso aditivo se sigue que :
-(-A) = A ■

C jc m p lo 2 ^ Dem ostrar que s i : A = B c=> A + C = B + C , V C e R :
Demostración.Por la propiedad A 4se sabe que
3! O e R 11B = B + O , V B e R 1
Por hipótesis : A = B , entonces , A = B + O (1 )
Por la propiedad A 5 : 3! (-C) e R-1 C + (-C) = O ', V C e R : (2)
Sustituyendo (2) en (1 ) se sigue que :
A = B => A = B + [C + (-C)]
<=> A = (B + C) + (-C) (A 3)
<=> A - (-C) = (B + C) + [(-C) - (-C)]
c=> A + C = (B + C) + 0 (Ejemplo 1 y A 5)
A = B <=> A + C = B + C , V C € R ! ■
Ejemplo 3 J Se a x un vector tal que (3 , -4> = x + (1 , -6>.
Si (3 , -2) = tx + r(-2 ,1), hallarel valor de 3r + 6t
Solución. En la primera ecuación se tiene :
<3 * *4) • <1 , -6) = X + [ <1 , -6) - (1 , -6) ]
<=> (3 - 1, -4 - (-6)) = x + O (Definición 1.11 y A 5)
<=> (2 , 2) = x
Luego, si (3 , -2) = t<2 , 2> + r <-2 , 1>
= (2t , 2t) + <-2r , r) (Múltiplo escalar)
= (2t - 2 r , 2t + r> (Adición de vectores)
De la igualdad de vectores se sigue que : 3 =2t - 2ry -2 = 2t + r
Resolviendo el sistem a obtenem os : r =-5/3 , t= - 1/6
3r + 6t = -6 ■
E je m p lo 4 j Resolviendo una ecuación vectorial *
D a d o s : A = <-2 ,2), B = (3, -2) y C = (-1 ,1 >, resolver la ecuación
3 A - 2 [3(B - 2C) + 2Aj + 3 X = 2 C + X
Solución. Restando 2C + X a cada extremo de la ecuación dada se tiene :
3A - 6(B - 2C) - 4 A + 3X - (2C + X) = (2C + X) - (2C + X)
<=> (3 - 4)A - 6B + 12C + (3 - 1)X - 2C = O
=> -(A + 6B - 10C) + 2X = O
<=> (A + 6B - 10C) - (A + 6B - 10C) + 2X = (A + 6B - 10C)
■=> 2X = A + 6B - 10C = (-2 , 2) + 6(3 , -2) - 10<-l . 1>
= (-2 , 2) + (18 , - 12) + (10 , -10)
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 23
= ( - 2 + 1 8 + 1 0 , 2 - 1 2 - 10)
= (26 , -20) •
X = (13 , -10)
Ejemplo 5 J Mediante segm entos orientados demostrar la propiedad A 3 :
(a + b) + c = a + (b + c)
Demostración. Se an los segm entos orientados
PT = a , T S = b , SR = c ,
Haciendo uso de la ley del paralelogramo para
la sum a de vectores se tiene :
En el APTS : S = PT + T S = a + b
E n e lA T S R : T R = T S + SR = b + c
En el APSR : PR = PS + SR
■=> x = (a + b) + c (1 )
En el APTR : PR = PT + TR
<=> x = a + (b + c) (2) FIGURA 1.23
Por lo tanto, de (1) y (2) se sigue que : (a +b) + c = a + (b + c)
PR = X (Figura 1.23)
r
>
/ 'p
V J
I Ejemplo 6^ j Se a n los vectores A = (-2 , 3) y B = (4 ,-3). Un segm ento diri-
O I . . .
gido que representa a -| A - B tiene p or punto inicial
O O
S (5 , -3/2), hallar el punto final.
—>
Solución. S e a T (x , y) el punto final del segm ento ST
Si S T = | A - 1 B => T - S = -I (-2 , 3> - 1 (4 , -3> = (-2 , 5/2)
3 6 3 6
S r X - 5 = -2 =
Entonces, si : (x - 5 , y + = (-2 , -y) o -1^ ^ ^
Por tanto el punto final e s T(3 , 1).
x - 5 = -2 t=> x = 3
5
2y + -f = ? ■=> y = i
Ejemplo 7 J S e tie n e : 2(2 , -3) + C = (3 , -5) + (a , 7) y C está sobre la recta
CJ ’ : y = x + 2. Si A(3 , 5) y B(-2 , 6) , hallar el punto P tal que
P C = -AB.
Solución. S e a C = ( x , y ) y s i C e W- : y = x + 2 e=> C = ( x , x + 2)
En la ecuación dada : 2(2 , -3) + (x , x + 2) = (3 , -5> + (a , 7)

24 Capitulo I: Vectores en el plano
de donde : (x , x + 2) = (a - 1 , 8)o -f X ü '
^ x + 2 = 8=> x = 6
Luego .C = <6 , 8>. S i P = (x ,, y,)y K ! = -A B => C - P= -(B - A) = A - B
==> <6 - x, , 8 - y,) = (3 + 2 , 5 - 6) <=> {
Por tanto, el punto buscado es : P(1 ,9)
6 - x, = 5 <=> x, = 1
-y, = -i => y, = 9
I € j c m p lo 8 J L o s vectores A , B y C e R 2, cum plen que : A + 2 B = C y
A - 3 B = 2C. Si A es un vector unitario, hallar la norma de B + C.
Solución. De las ecuaciones dadas se tiene : A = C - 2B (1 )
A = 2C + 3B (2)
Luego , s i : C - 2B = 2C + 3B <=> C = -5B
Sustituyendo en (1) obtenem os : B = - J r A = > C = ^ A
=> B + C = y A , implica que : 11 B + C 11= -^ 11A 11
Com o A es un vector unitario , entonces : 11 B + C11 = ■
Ejemplo 9 ) En la Figura 1.24, se tiene :
||A ll = 3 . Il B || = 2 ||C || = 2 V ÏÔ
Si T g a = 1/3 y T gp = 3, hallar el valor de m de modo que
m A + 3B = nC
t=> S e n a = 1/VTÔ y C o sa = 3/vlO
> Se n p = 3/VTÔ y C osP = 1/VTÔ
c=> A = 3(1 , 0)
Yi
.............
/
v
A >"
j
FIGURA 1.24
Solución. Si T ga = 1/3
TgP = 3 c
Un vector unitario en el sentido de A e s (l ,0)
B = 11 B 11 (-C o sa - Se n a ) = 2VTÔ (-3/VTÔ, -1/VÏÔ) => B = {-6 , -2)
C = 11 C 11 (C osP , Senp) = VTÔ ( 1/VTÔ, 3/VÏÏj) => C = (1 , 3)
r 3m - 18 = n
Luego, si m(3 , 0) + 3(-6 , -2) = n(I , 3) <=>
'- 0 - 6 = 3n <=> n = -2
Sustituyendo el valor de n en la primera ecuación obtenem os : m = 16/3
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 25
Ejemplo 10J Se a el exágono regular de lado
a , mostrado en la Figura 1.25.
Al sum ar los segm entos orientados BA, AC, D C y
—►
A E se obtiene un vector S, hallar la norma de S.
Solución. S i r es el radio de la circunferencia cir
cunscrita al exágono regular, entonces :
f:b= r = a y t }= r V3 , esto es , 11A C 11 = 11A E 11 = <zn'3,
por ser lados de un triángulo equilátero.
T rasladam os los vectores indicados a un sistem a
bidimensional con origen en A, cuyo eje X siga la
dirección de A D (Figura 125a). Ahora, aplicando la
ecuación (5) tenem os :
B A = I Ib a || ( C o s 240", Se n 2 40°)= a(-
D C = IID C II (C os 120° , Se n 120°) = a <’ 7 -
A C = 11A C 11 ( C o s 30° , Se n 30° ) =
rV3
<W5<f , l > = « < 2 . f >
A E = II A E !! ( C o s 330°, Se n 330° ) = aV3 = a (J- , - - Ç )
Por tanto, si S = B A + A C + D C + A E = (2a , 0) <=> 11S 11 = 2 a
( Ejemplo 11 ] Puntos de trisección de un segmento
Dem ostrar que si P, * P 2entonces los puntos P y Q que trise
can al segm ento que va de P, a P 2 tienen por vectores de posición a :
P = 1 ( 2 P , + P,) y Q = 1 ( P , + 2P,)
Demostración. En efecto, si P y Q son los puntos
—>
de trisección de P,P2, entonces:
f } = i p ) , c * 3 (P -P ,) = P ; -P ,
=> 3 P - 3 P , = P ; -P ,
de donde : P = -L (2P, + P,)
1.
—7 9
P,Q= 3 P,P: => 3(Q - P,) = 2(P, - P.)
=> 3 Q -3 P , = 2 P : -2 P ,
c * Q = 1 ( P , + 2P:) FIGURA 1.26

E j e m p lo 1 2 ^ En la Figura 1.27, el triángulo
O A B e s isósceles con O A = A B
y PH es perpendicular a O B y mide 6 unidades. Si
11AQ 11 = 2 11QB 11, hallar el módulo de PQ.
Solución. S e a O H = x <=> P(x , 6)
A M
A O M A = AO H P
PH
OM
OH
8 2 3
=> t ~ =* x=4 -
6 x 2
Luego, si P(3/2 , 6) entonces :
PA = A - P = <2 , 8) - (3/2 , 6> = (1/2 , 2)
Adem ás : Á B = B - A = (4 , 0) * (2 , 8) = (2 , -8)
Por lo que,s i : 11A Q 11 = 2 11Q B 11
2^/-> _ov — 1
FIGURA 1.27
A Q = A B = -=- (2 , -8)
C om o : PQ = PA + A Q = (1/2 , 2> + 4 ( 2 , -8) = 1 (11 , -20)
i o
=* IIp a II = ¿-V (ll)2+ (-20)- = V52I
Ejemplo 1 3 ^ En la Figura 1.28, si P es tal que
el área del triángulo A P C es el
doble del área del triángulo C P B , hallar 11C P 11.
Solución. Por la geometría plana se sabe que :
a(AA PC ) = A P x P C _ A P
a(ACPB) PB x PC PB
Com o, a (AAPC) = 2a(ACPB) = 2
x + 4 = 2(2 - x) «=> x = 0
de donde : A P = 2PB => P - A = 2(B - P)
c=> (x + 4 , y - 2) = 2 (2 - x , 10 - y) « í
J l y - 2 = 2 ( 1 0 - y) = > y = 22/3
Luego : CP = P - C = (0 , 22/3) - (2 , 2) = -| (-3 . 8)
II CP II = ¿V (-3 ): + 8- = |V73
EJERCICIOS ; Grupo 5 27
: Ejemplo 1 4 ] En el rombo de diago
nales D y d es tal como
se indica en la Figura 1.29, hallar la norma
del vector
v = v 1+ v 2+ v 3+ v 4
donde los vectores V, , V 2 , V 3 y V 4 llegan a
los puntos m edios de los lados del rombo.
Solución. C onsiderando un sistem a carte
siano con su s ejes X e Y sobre
—) —>
las diagonales PR y SQ, respectivamente, te
nem os :
V, = R F = F - R = , 0 ) = ( - | D , £ )
v , = p o = q - p = < § . 4 > - < - f ' ° > = < l D - 4 >
V, = Q E = E - Q = <- f . - | > - < 0 , 4 > = < - f '
V 4= 0 H = H - Q = ( £ , - | ) - ( 0 , | > = < £ , - j d )
Luego : V = V, + V, + V, + V 4= (0, - d) => 11V11 = d
EJERCICIO S : Grupo 5
En los ejercicios 1 al 5, si A. B, y C son vectores en R :, demuestre la validez de
cada afirmación.
1 . A + B = B + A (A2 : Propiedad conmutativa)
2. A + (-A) = (-A) + A = O (As : Inverso aditivo)
3. Si A + B = C A = C - B
4. Si A + B = B <=> A = O (Unicidad del idéntico aditivo)
5. Si A + B = O *=> A = -B (Unicidad del inverso aditivo)
6. Mediante segm entos orientados demuestre la propiedad A 2 : A + B = B + A
7. S e a P Q una representación del vector A. Q R una representación del vector B y
—> —> —> —>
R P una representación del vector C. Probar que si PQ, Q R y R P son los lados
de un triángulo, entonces A + B + C = O

28 Capítulo l: Vectores en el plano
8. D ados los vectores A = (5 , 2 ), B = (-3 , 4) y C = (7 , 4), resolver la ecuación
2 X + 5 A - 3 B = 4 C
9. S e a x un vector en R : tal que : (-5 , 2) = 2 x + <1 , -8)
Si <-5 , 3) = t x + r <2 ,-1 ), hallar el valor de 2t + r
10. Resolver la ecuación vectorial: 3 (1 , -2) + 2 x = (2 , -1) - x
1 1 . D ado s los puntos A(5 , 1 ), B(-2 , 3 ), C(-3 , -2) y D(1 , -4), determinar el punto
P(x , y) tal que : 3 A B - P D = 3 A P - ^ C D + B C
12. S e tiene : 2( <5 , -1) + C) = 3 <1 , 3) - (-1., a > . S i A(2 , 3) , B(3 , -1) y el punto
final del vector C, en posición ordinaria, está sobre el conjunto P = { (x , y) I
—) —> —>
y = x2 - 1} ; hallar las coordenadas de un punto P tal que : A P + 2 P C = A B
13. Si A = (5 , -2), B = (2 , -5) y C = (-3 , 1), hallar un vectorunitarioen la dirección
y sentido de V = 2 A - 3 B + 4 C
14. Se a n A y B vectores en R : tales que B es el opuesto de A. S i B tiene el m ism o
sentido que el vector C = <-1/3 , 1/4) y la norm a de A e s 5 , hallar el vector
V = 2 B + A
15. En la Figura 1.30 se tiene : O M = 5x/2 y O P = 27/2. S i A = <2x3 , 4 x 2 + 4 y 2) y
B = ( i x y2 » ' 4 x y > , hallar x - y de modo que : 2 S = 1 A - 2B
o o O
16. En la Figura 1.31, A B C D E F e s un exágono regular de lado a , hallar la norma
o 1 ~* 1 —>de S, sabiendo que : S = ^ (AD + D E) + E B
17. D ado el exágono regular A B C D E F (Figura 1.32) , hallar el valor de p + 3 q ,
—> —> j —>—) —)
sabiendo que : B C + C F + ± E F = p A B + q E F
18. En la Figura 1.33, P es un punto tal que el triángulo de área A, e s tres veces el
área del triángulo de área Hallar la norma del vector V.
19. En la Figura 1.34 , O A B C es un cuadrado, P , Q , R y S son puntos m edios de
Sección 1.7: Vectores paralelos 29
los lados O A , A B , B C y C D respectivamente. Hallar 11S T + BH 11 si T es punto
medio de P Q y H es punto medio de'Q R .
20. En la Figura 1.35, si S = A + B + C, hallar S sabiendo que su segunda com po
nente e s cero, que 11 B 11 = 20 , 11A 11 = 10V2 y que la primera componente de
C es 20, (Asum ir Se n 37 9= 3/5).
( 1.7 J V E C T O R E S P A R A L E L O S
D o s vectores A y B, no nulos, son paralelos o proporcionales si y sólo si uno
de ellos e s un múltiplo escalar del otro, esto es
A || B <=> A = r B , V r e R
I O B S E R V A C IO N E S 1.5
a) S i r > 0 y B * O = > A y r B tienen la m ism a dirección y sentido.
S i r < 0 y B * O => A y r B tienen la m ism a dirección y sentidos opuestos.
B B
A = r B A = r B
r > 0 r < 0
b) E s conveniente establecer que el vector nulo O es paralelo a todo vector, esto es:
0|| A ó A l l O , V A e R :
En efecto, si O 11 A <=> O = r A = 0 A , 0 e R
c) Todo vector e s paralelo a si mismo.
En efecto, si l e R ■=> A = lA . por lo que A A , V A e R-

f--------------{ EJEMPLOS ILUSTRATIVOS )---------------*
¡ Ejemplo 1 ^ Determinar si los vectores dados son paralelos
1. A = < 4 ,-1 ) , B = (-1 2 ,3 )
2. A = <3 , -6), B = <1 , 2)
Solución. 1 . Si A|| B => <4 ,-1) = r <-12 , 3)'<=>-f 4 = * I2r = * r = *1/3
L -i = 3 r => r = -1/3
Com o r es único y r < 0 , A y B son paralelos, tienen la m ism a dirección y senti
dos opuestos.
2. Si A 11 B = * <3 . -6> = r<l , 2) <=> -T 3 = r =* r = 3
L -6 = 2r t=> r = -3
C om o r no e s único o A K B , e s d e c ir, no existe ningún r e R que cum ple
<3 , -6) = r<l , 2), pues esto implicaría que 3 = r = -3 , lo cual es absurdo. ■
^2____________________________________________ Capítulo I: Vectores en el plano
E j e m p lo 2 ) Dem ostrar que si A . B e R : son vectores paralelos y B * O
entonces existe un escalar r para el cual se tiene : A = r B.
Demostración. Se a n A = <x, , y,) y B = < x,, y , ) , y sean a, y a, los ángulos de di
rección de A y B respectivamente. Por las ecuaciones (4) se tiene:
S e n a ' = TTXTT ' Cosc<l = í í a TT
y
Sena, = — , C o s a = —
- l l A l l : ||A||
Por hipótesis A es paralelo a B, entonces :
m(a,) = m (a2) ó m(a,) = m(a,) ± 180°
Si m(a.) = m(a,) c=> = Xl = —
l l A l l II B 11 ||A || M B ||
=> y = I M y x - U A Ü x
y ' I I B I I ’ I I B I I ••
Tam bién , por hipótesis , I B I * 0 , por lo que llAll e s un núm ero real r ,
entonces: x, = r x , , y, = r y , I I B I I
Luego , < x,, y,) = r < x,, y , ) , esto e s : A = r B . ■
í Ejemplo 3 J Dem ostrar que s iD = B + C y B A , entonces
------------------------- D 11A <=> C 11A
Demostración. (<=>) Dem ostrarem os que si D A <=> C ! A
En efecto, si D 11A <=> Br e R D = rA
Por hipótesis, B | | A = > 3 s e R B = sA
Luego, si C = D - B = rA - sA = (r - s)A => C A
(<=) Ahora probarem os que s i : C !; A t=> D A
En efecto, s i C | A « = > B l e R C = tA
Por hipótesis , B l : A <=> 3 s e R B = s A
Luego ,si D = B + C = sA + iA = (s + t)A=>DA ®
Ejemplo 4 J Si A = <1 - 2m, 1)y B = <-7, m+ 2),hallar los valores de m , de
m odo que A sea paralelo a B.
Solución. Si A B « = > 3 r e R | A = r B
. r 1 - 2m = -7 r (1)
~ < , - 2 m . » = * 7 - . m + 2 > « { i = r(m + 2) (2)
Al dividir (1) entre (2) obtenem os la ecuación
2m: + 3 m - 9 = 0 o m = -3 ó m = 3/2 B
[ Ejemplo 5 J Si al vector A = <1 ,1 8) lo expresam os como A = X + Y , donde
X11 B e Y11C. Si B = <-1 , 4) y C = <2m , 3m), hallar el vector X.
Solución. Si X B c=> 3 r e R ! X = r<-1 , 4)
Y 11C <=> 3 s e R I Y = s<2m , 3m) = sm<2 , 3) = t<2 , 3)
Luego, si A = X + Y => <l , 18) = r<-l , 4) + t<2 , 3) « { ^
Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : r = 3 y t = 2
X = 3<-1 ,4) = <-3 , 12) ■
f Ejemplo 6 ^ Si A = <m , 2 m ), A - B = <2m , p ) , A11 B y la norma de A - B es
20, hallar la norma de B.
Solución. Si B 11 A => B = r A = r<m , 2m) => B = rm<l , 2) (1)
A - B= <2m , p) <=> (m , 2m) - rm<l , 2) = <2m , p)
c=> <m - rm , 2m - 2) = <2m , p)
Por la igualdad de vectores se sigue que : m - r m = 2 m , de donde , r = -1

Luego, en (1): B = -m(l ,2) => 11 B !| =|-m | V Í T 4 = mV5 (2)
Si A - B = (m , 2m) + m(l , 2) = 2m(l , 2) => 11A - B 11 =2mV5
C om o 11A - B 11 = 2 0 ^=> 2m>/5 = 20 => m = 2^5
Por lo tanto, en (2), se tiene : 11 B 11 = (2í5)í5 = !0 ■
E j e m p lo 7 j El vector A = (3 , 0) se descom pone en dos vectores B y C
paralelos a los vectores < 2 r, -3r/2) y (p , -3p) respectivamente,
donde r * 0 y p * 0. Hallar las longitudes de B y C.
Solución. Si B 11 <2r , -3r/2> => B = ^ <4 , -3> = s<4 , -3>
C || <p . -3p> => C = p ( l , -3)
Si A = B + C «=* (3 ,0 ) = s<4 , -3) + p(l , -3) <=> -f 3 = 4s + P
L 0 = -35 - 3p
Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenemos, s = 1 y p = - I
Luego : B = (4 , -3) ■=> 11B 11 = V(4): + (-3)- = 5
C = -<1 ,-3> = <-l ,3) => ||C II = V(-l)2 + (3)2= VIO ■
Ejemplo 8 J En la Figura 1.36 se tiene
un exágono regular cuyo
lado mide a unidades. Si II V, II =|| V 2I| = ||V 3||
= 11 V 411 = 11 V s 11 = a , hallar 11S11, donde . S =
V 1+ V 2 + V J + V 4 + V 5.
Solución. V, = V 4 y V 2= V, por ser paralelos y
de la m ism a magnitud, dirección y
sentido. Entonces : S = 2 V, + 2 V, + V £
FIGURA 1.36
Trasladando estos vectores a un sistem a de ejes
rectangulares (Figura 1.36a) se tiene :
V, = a (C o s 90°, Se n 90°) = a <0 , I)
V : = a (C o s 60°, Se n 60°) = a (1/2 , V3/2)
V 5 = a (C o s 180°, Se n 180°) = a (-1 , 0)
Luego : S = 2a (0 , 1> + a (1 , V3) + a (-1 ,0)
= a (0 , 2 + V3> => 11S11 = a(2 + Í3) ■
[ Ejemplo 9 ) S e a el A A B C y se an M (2 , 5) y P(4 ,2) puntos meceos de los
lados A B y B C respectivamente. Si A B 11(3 , 1) y C B 11(1 ,4),
hallar los vértices del triángulo.
Solución. Com o los puntos A, M y B son colineales, en
tonces: M B 11A B 11(3 , l) => M B = r (3 , 1)
Luego : B - M = r (3 , 1) «=> B = (2 , 5) + r (3 , 1) (1)
Análogam ente :
PB = s (1 , 4) <=> B = (4 , 2) + s (1 , 4) (2)
(1) = (2) = * (2 . 5) + r (3 , 1) = (4 , 2>+ s (1 , 4>
c=> (-2 , 3) = s (1 , 4) - r (3 , 1) <=> =
Resolviendo el sistem a obtenem os : r = s = 1
-2 = s - 3r
3 = 4s - r
r >
i OK4.2)
r
c
C
J
FIGURA 1.37
Entonces, en (1) : B = (2 , 5) + (3 , 1) = (5 , 6) <=> B(5 , 6)
—¥ —> —>
M e s punto medio de A B <=> A M = M B
c=> M - A = B - M => A = 2M - B
=> A = 2(2 , 5> - (5 , 6) = (-1 , 4> c* A(-l , 4)
P es punto medio d e C B <=> C P = PB => P - C = B - P <=> C = 2 P - B
>=> C = 2(4 , 2) - (5 , 6) = (3 , -2) = * C(3 , -2)
! Ejemplo 10 J El punto P(-3 , 1) es un vértice del rombo P Q R S , tal que P Q =
(4 , 2) y el lado P S se ha obtenido del lado P Q mediante un giro
de 609 en el sentido antihorario. Hallar los dem ás vértices del rombo.
Solución. S i a e s el ángulo de dirección del vector
—» o iPQ = (4 , 2), entonces , T g a = = —
4 L
de donde se tiene : S e n a = 1V5 y C o sa = 2/V5
Si PQ = Q - P = (4 , 2) ■=> Q = P + (4 , 2)
=> Q = (-3 , 1) + (4 , 2) = (1 ,3)
es el vector de posición del punto Q, por lo que : Q(1 ,3)
Por ser lados de un rombo :
11PS 11= 11PQ 11 = V(4y + (2)2= 2V5
—>
S e a u un vector unitario en la dirección de PS cuyo ángulo
de dirección e s a + 60°, entonces :
u = (C o s(a + 60°), Se n (a + 60°)>
FIGURA 1.38
(1)
Cos(a +60°) =Cosa CosftO"- Sena Sen60”= A )(4) ' (^=)(^r) =-jf (2- V3)

34 Capitulo 1: Vectores en el plano
Se n (a + 60°) = S e n a Cos60° + C o sa Sen60" = (JL) (JL) + = (i + 2V3)
Luego, en (1): u = ( ^ ( 2 - V3) , ^ (1 + 2Í3))
Ahora, si PS = 11PS 11 u => S - P = 2>/5 (y | (2 - V3) , ^ - ( 1 + 2nÍ3)>
=> S = (-3 , 1) + (2 - V3 , 1+ 2Í3> = (-! - V3 , 2 + 2V3>
es el vector de posición del vértice S <=* S(-l - V3 , 2 + 2V3)
C om o SR = PQ = (4 ,2 ) <=>R - S = (4 , 2)
■=> R = (-1 - >/3 , 2 + 2V3) + (4 , 2) = (3 - V3 , 4 + 2Í3)
Por lo que : R (3 - Í3 ,4 + 2V3)
y¡5
ejemplo 1 1 J Si M (1 1/2 , 7/2), N(8 , 6). P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) son los puntos
m edios de los lados del trapecio A B C D y 11DC11 = vTo , hallar
los vértices del trapecio.
Solución. Q N = N - Q = (8 , 6) - (2 , 4) = (6 , 2)
Un vector unitario en la dirección de
de Q N es u =
Q N (6 ,2 ) (3 ,1 )
IIq n II V3o Vio
C om o D C II Q N ==> D C = 11D C 11 11 = (3 ,1 )
DP = 1 D C «=> P - D = (3/2 , 1/2)
«=> D = P - (3/2 , 1/2) = (3 , 6)
D Q = Q A ■=> Q - D = A - Q <=> A = 2Q - D
Análogam ente: FIGURA 1.39
A M = M B c=> B = 2M - A = 2(11/2 , 7/2) - ( 1 , 2 ) = (10 , 5)
Ñ C = BN «=» C = 2N - B = 2(8 , 6) - (10 , 5) = (6 , 7)
Por lo tanto, los vértices del trapecio son :
A(1 , 2) , B(10 , 5) , C(6 , 7) y D(3 , 6)
1. Determine si los siguientes pares de vectores son paralelos. C uáles tienen el
m ism o sentido y cuáles sentido opuesto.
a) A = (-8 , -7), B = (32 , 28) c) A = (-3/2 , 3 ), B = (1/3 , -2/3)
EJERCICIOS : Grupo 6 35
b) A = (3 , 2 ), B = (2 , 4/3) d) A = (4 , -2), B = (-1 , 1/2)
2. Dem ostrar que s i A Ü C , B i C y C ? t O <=> A l B
3. Dem ostrar que para vectores no nulos A , A, , B y B,
A II A, . B l l B , y A II B «=* A,||B,
4. Dem ostrar que si A y B tienen la m ism a dirección y sentido entonces
I IA + B l l = II A11 + 11 B 11
5. S i A = (2 , 2m - 3) y B = (1 - m , -5), determinar los valores de m de modo que
A y B sean paralelos.
6. Si A = (m , 5) + (3 , 3 ), B = 4(-m , -3) - 2(1 , 2) y A 11 B , hallar el valor de m.
7. D a d o s los vectores A = (a , 3m) y B = (-2m , b), hallar a +b tales que A + B =
(8 , -4) y se a A 11 B.
8. Se a n los vectores A y B, tales que : A = (a , 2a) , A - B = (2a , p) , A B y la
norma de A - B es 112. Hallar la norma de B.
9. El vector A = (x , y) es paralelo al vector B = (2 , 4), tal que u = (x/5 , y/ 5) es
un vector unitario paralelo a ambos. Hallar el vector A.
10. Se a n A y B dos vectores en R 2, tales que B es el inverso aditivo de A. Si B tiene
el m ism o sentido que el vector C = (-1/3 , 1/4) y 11 A 11 = 5 , hallar X = A + 2B,
11. Hallar la norma de la sum a de los vectores unitarios u y v . s i u A y v i B
sabiendo que A = (4 , -3) y B = (-5 , 0)
12. L o s vectores A y B son tales que A e s del m ism o sentido que B = (1 , 3) y
A _ / X Y . Um IIm . a| tiolnr Ov _ J
= (-]==■, ; hallar el valor de 2x - y
A V40 V40 2
13. El punto P(2 , -3) es extremo del vector PR, el punto Q(1 , -2) alineado con P y
R, dista de P la quinta parte de 11P R 11. Hallar R.
14. S i A = (a , b) y B = (1/2, - 4/3) son dos vectores en R hallar a +b sabiendo que
11A11 = V73/3 y que A y B tiene sentidos opuestos.
15. El vector C = (2 , -1) es expresado com o C = A + B , donde los vectores A y B
son paralelos a X = (3m , 4m) e Y = (-3n , -n), respectivamente, siendo m # 0 y
n * 0. Hallar A - B.
16. D a d o s los vértices consecutivos de un paralelogram o A(7 , -1) , B(-3 , 1) y
—>
C (-5 , 5); determinar el cuarto vértice y la longitud de la diagonal BD.
17. En la Figura 1.40, sea O la intersección de las diagonales de un cuadrado
A B C D . Si O es el baricentro del triángulo isósceles A P D con 11AP 11 = 11 PD 11,
—>
hallar el vector NQ.

18. S i M (9/2, -3), N(2 ,6 ), P(-7/2 ,9) y Q(-1 , -1) son los puntos m edios de los lados
del trapecio A B C D y 11AD 11 = 52, hallar los vértices del trapecio.
19. En la Figura 1.41, A B C D e s un cuadrado de lado 3a y A ' B ’ C ’ D ’ e s un cuadrado
—) —►
de lado a , si la norma de D 'D es a, hallar el vector B ’P.
—>
20. S e a el triángulo A B C y sean M(1 , 9) y N(6 , 2) puntos m edios de los lados A B
~> —> .. -> ,i
y B C respectivamente. Si A B M <1 , 1) y B C II <3 , 1), hallar los vértices del
triángulo.
21. D ados los vectores A = (2a , 2), B = (6 , n ) , C = (c , 3 n > , si A11 B I C, calcular
el valor de an + c.
1.8 ) PRO D U C T O E S C A L A R DE V E C T O R E S
D ados los vectores A = (a ,,a,} y B = <6,, 6,), el producto escalar o interno de
A y B se denota por A • B y se define p o r :
A • B = (a , , a ) • , b2> = a p {+ a p : (10)
I O B S E R V A C IO N E S 1.6
1. El producto escalar de vectores es una operación cuyo resultado es una escalar
y no un vector.
Por ejemplo , si A = (2 , -3) y B = (4 , 1), entonces según (10)
A • B = (2) (4) + (-3)(1) = 8 - 3 = 5
2. Si A , B e R " , entonces
Sección 1.8: Producto escalar de vectores 37
TEOREMA 1.6 PROPIEDADES DEI. PRODUCTO ESCAIAR
Si A, B y C son vectores en R J y r e R e s un escalar, entonces
se cum plen las siguientes propiedades :
I’E, : A • B = B • A Conmutatividad
P E , : r(A • B) = (rA) ♦ B Asociatividad escalar
P E . : C • (A + B) = C • A + C • B
Distribuidad
}(A + B ) - C = A - C B * C
P.E4 : A - A = ||A||->0 Magnitud respecto al producto escalar
P.EC: A •A =0 « A =O
La prueba de estas propiedades son m uy simples, por lo que dem ostrare
m os la primera y la cuarta, dejando com o ejercicio las dem ostraciones restantes.
Para dem ostrar la primera propiedad, sean A = (a, , a,) y B = (bt , 6,)
<=> A • B = a p t + a,b2= bxax+ b,a^ = B • A
Para la cuarta propiedad, se a A = (a, , a ,> , entonces
A • A = <a, , a 2> • ( a , , a 2> = (a,)2 + (a2)2
= (Va,2+ a22)2= 11A 112
IN T E R P R E T A C IO N G E O M E T R IC A D E L P R O D U C T O E S C A L A R E N R :
Se a n A y B dos vectores y A - B (el vector que va de B a A). Si A es
perpendicular aB , ocurre que la representación geométrica de los vectores A , B y
A - B e s un triángulo rectángulo, para los cuales, por aplicación del teorema de
Pitágoras se tiene que :
||a - b ||2 = ||a ||2 + |Ib I|j
=> (A - B) • (A - B) = 11A 112+ 11 B 112 (P EJ
<=> a * a - a * b - b * a + b - b = |Ia ||2+ ||b I|2 (p e ,)
= * I|a ||2 - 2 A * b + ||b ||2= ||a I I 2+ ||b I|2 (p e 4)
de donde : -2A • B = 0 ■=> A • B = 0
C om o hem os establecido la condición de ortogonali-
dad para A y B. entonces podem os dar la siguiente
definición.
DEFINICION 1.12 VECTORES ORTOGONALES
D o s vectores A y B son ortogonales si y sólo si A • B = 0 (El
vector nulo O se considera ortogonal al cualquier vector)
S i es el caso que A y B son am bos no nulos, entonces se dice que los vectores
son ortogonales y anotarem os :
A l B <=> A • B = 0 (11)

Por ejemplo, si A = <1/2 , -3) y B = (-2 , -1/3), entonces según (10)
A • B = (l/2)(-2) + (-3)(-l/3) = -1 + 1 = 0
Com o A y B no son nulos, entonces A 1 B
DEFINICION 1.13 El vector A x
Para cada vector A = (a, , a,) e R :, definimos un correspon
diente vector A 1 e R 2 , que se lee ortogonal a A. mediante
A 1 = <-a2 . a x) (12)
Geométricamente el vector A x se obtiene haciendo
rotar el vector A, sobre su punto inicial, un ángulo
de 90a en dirección contraria a las agujas del reloj.
S e verifica luego que si A ± A x >=* A • A x = 0
En efecto, A • A x = (al , a:) • <- a1 , a )
= - a ta : +a:a {= 0
TEOREMA 1.7 D ados los vectores A = (al , a} y B = (b] , b,),am bos diferentes
de O, se tiene que :
A 1 B => A l l B 1 (13)
Demostración. En efecto, si B = (6, , b,) , B * O c=> * o y b,* 0
Su p on gam os que b{* 0
A 1 B <=* A • B = ( a , , a 2) • (b ,, b2) = a p x+ a2b2= 0 <=> a, = - a
Por lo que : A = h . a2, a 2) '= <- b2 , bt)
2
i “i
A= - f Bx = r B x => A l l B 1
b
TEOREMA 1.8 Sean A y B dos vectores en R :, am bos diferentes de O, entonces
A | | B <=> A • B x = A x • B = 0 (14)
La demostración se deja como ejercicio.
TEOREMA 1.9 Desigualdad de Cauchy - Schwartz
Sean A y B vectores en R 2 , entonces se cumple
1. IA - B I < II A II II B II
2. IA - B | = IIA 11 II B II ^ A | | B
Demostración.
1. S i A = 0 ó B = 0 , entonces se nota claramente que el teorema es válido.
Supongam os que A * O y B * O y considerem os la función para un número r e R
/(r) = 11 A + r B 112= (A + r B) • (A + r B) (1)
y ocurre que /(r) > 0 , V r e R
Desarrollando (1) nos dá el polinomio de segundo grado :
/(r) = (B • B )r2+ 2(A • B)r (A • A)
Com pletando el cuadrado para r se tiene :
/(r) = (B - B) r « ^ 5 1 r + - < * ! § > : ♦ (A • A)
n l ' 'L ( B - B ) ( B - B ) ¡ J ( B - B )
= ( B . B ) ( r + A l | ) ‘ + ( A - A ) ( B - B ) - . ( A - B );
v 7V B • B / B • B
o- u / v A • B ,/ , (A • B )(B • B) - (A • B )2/ox
Si hacem os ( g = - => / ( g = i------------ bT~¿ -------
C om o /(r()) > 0 y B * B = | | B | | 2> 0 , implica que
(A •A )(B • B) - (A • B )2> 0 => (A • B )2 < (A • A )(B • B)
<=> I A • B |2 < 11A 112 11 B 112
=> I A - B | < || A II llB||
2. I A - B I = 11 A 11 II B || A | | B
Probarem os que s M a « B | = | | a ||||B|| ■=> A 11 B
En efecto, si I A • B I = 11 A 11 11 B 11 => (A • B )2= 11A 112 11 B 112
■=> (A • B )2= (A • A)(B • B)
Sustituyendo en (2) ocurre que : / (rj = ;A + r0B I = 0
=> A + r,B = A - ( A l | ) B = 0 => A = r B ^ A ||B
Probarem os ahora que si A 11 B = > | A * B | = ||A|| 11 B I
En efecto, si A 11 B ^ A = i B
Luego, IA • B I = I (r B) - B | = |r(B - B) | = Ir I II B I I 2
= lr| 11 B 11 11 B 11 = ||rB|| ||B||
= l l A l l II B || ■

TEOREMA 1.10 Desigualdad triangular
Se a n A y B vectores en R :, entonces
I IA + B l l < IIA || + IIB ||
M á s aún : ||A + B|| = ||A|| + | lB | | s iy sólo si un vector es un múltiplo escalar
no negativo del otro.
Demostración. En efecto :
11 A + B 112= (A + B) • (A + B)
= ||a I I 2+ 2 A * b + ||b I|2 .
< | | A | | 2 + 2 | A - B | +|| B ||2 ( A • B < |A • B |)
Por la desigualdad (1) del teorema de Schwartz. se sigue que
11 A + B 112< 11A 112 + 2|I A 11 II B II + 11 B 112
< ( l l A l l + 11 B 11)2
Extrayendo la raíz cuadrada en am bos miembros obtenemos lo deseado, esto e s :
IIa + b II í 11a 11+ IIb II ■
-í EJEM PLOS ILUSTRATIVOS )
1
E j e m p lo 1 ] Dem ostrar que :| | A + B | | 2 = ||A||2 + | B | | 2 +2 A * B
Demostración. En efecto : 11 A + B 112= (A + B) • (A + B) (PE4)
=A •(A +B) + B •(A +B) (PE,)
= A * A + A * B + B * A + B * B (PE,)
= A * A + B * B + 2 A * B (PE,)
||a + b I|2= ||a ||2 + ||b ||2+ 2 A * b ■ (p e 4)
E j e m p lo 2 J Dem ostrar que A + B y A - B son ortogonales <=> 11A11 = I !B11
Demostración. Dem ostrarem os primero la ortogonalidad
En efecto, por hipótesis : 11A11 = 11 B I = *| | A | | 2 = ||b H 2
<=>IIa I|2-I|b I|2=o
=> (A + B) • (A + B) = 0
Por tanto, según (11), A + B y A - B son ortogonales.
Ahora dem ostrarem os la igualdad de las magnitudes.
En efecto, por hipótesis , A + B y A - B son ortogonales
c * (A + B) • (A - B) = 0
o A * A - A * B + B * A - B * B = 0
c * ||a ||2-||b ||2= o ^ Il A I I 2 =
Il A l l = II B II
[ Ejemplo 3 j Dem ostrar que : (A + B )x = A 1 + B x
Demostración. En efecto, sean : A = (a, , a,) y B = (bt , b2)
Entonces: A + B = (a, + 6, , a, + ¿>2>
Por la definición 1.12 : (A + B)x = <- a, - 6,, a, + bt)
= (r a2,a l) + (-b2,b l)
(A + B)1 = A 1 + B x
( Ejemplo 4 ] Dem ostrar que si A, B y C son vectores en R :, entonces el
vector V = (B x • C )A - (Ax • C )B es paralelo al vector C.
Demostración. Por el teorema 1.8 sabem os que A 11 B <=>A 1 * B = A * B J- = 0
=> V x •C = [ (B1 • C )A - (A-1 • C ) B ] 1 • C
= [ (B 1 • C )A X - (A1 • C )B X] • C (Ejemplo 3)
= (B x • C )(A X • C) - (Ax • C )(B X •C) (PE,)
Por lo tanto, s i V x * C = 0 t = > v | | C ■
[ Ejemplo 5 J Si i = (1 , 0) y j = (0 , 1), resolver la ecuación
2( (1/2 , 6) + ix - x ) = j x - 2 x x
Solución. S e a el vector x = (x, , x2) , entonces
2( (1/2 , 6>+(1, 0>x- (x, , x 2> ) =(0, 1>X -2(x, , x /
c=> (1 , 12) + (0 , 2> - 2(x, , x,) = ( - 1 , 0 ) - 2 ( - x , , x,)
=> (2, 14) = 2(x, , x,) - 2(- x 2 , x,)
<=> (1 ,7 ) = (x + x , , x, - x ) <=> * X| + X-’
1 7 = x, - x,
Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x, = -3 , x, = 4
x = (- 3 , 4) • ■
[ Cjemplo 6 j Se an A , B e R:,demostrar que si 2 A X - B = 2 B X - A, entonces
A + B es ortogonal a A - B.

Demostración. En efecto, si 2A X - B = 2 B X - A <=> A - B = 2(BX - A 1) (1)
Aplicando el ortogonal a cada miembro de (1) se tiene :
(A - B)1 = 2(BX - A Y ; pero com o , (A + B)1 = A x + B 1 y (A 1)1 = -A
<=> A 1 - B x = 2(-B + A ) , de donde : 4(A - B) = 2(AX - B 1) (2)
Sum ando (1) y (2) obtenem os : 5(A - B) = O «=> A - B = 0
Por lo tanto, (A + B) • (A - B) = (A + B) • O = 0 => (A + B ) _ L ( A - B ) ■
E j e m p lo 7 ] Hallar la norma del vector B = (- 3m , m), sabiendo que ha sido
descom puesto en el vector A = <- 5 ,3) y en otro vector paralelo
al vector C = <1 , 1)
Solución. Si B = m(- 3 , 1> <=> I B 11 = I m I V(-3)2+ (l)2= I m IV ÍO (1)
y si B = A + r C <=> m<-3 , 1) =-<-5 , 3) + r <1 , 1)
Multiplicando escalarmente, cada miembro por (1 , l)1 , se tiene :
m(-3 , 1) • <-1 , 1) = (-8 , 3) • <-1 , 1) + r <1 , 1> • <-1 , 1>
<=> m(3 + 1) = (5 + 3) + r(0 ), de donde : m = 2
Por tanto, en (1), se obtiene lo deseado : 11 B I = 2V k I ■
E j e m p lo 8 ^ j S i A = (-6 ,15), B = (-2 , 9) y C = <- 2m , 3m ) y se sabe que
X + Y = A , X II B e Y II C ; hallar X • Y x
Solución. Si X 11 B => X = t<-2 , 9), y si Y 11C «=> Y = m<-2 , 3)
Luego si X + Y = A => t<-2 , 9> + m<-2 , 3) = (-6 ,15) (1)
U sarem os un método m ás directo para calcular i y m.
Para calcular t , multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por <-2 , 3)x
t<-2,9> • < -3 ,-2 > + m (0 )= < -6 , 15) • <-3, 2) » t = = 1
Para calcular m , multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por (-2 , 9)x
t(0) + m(-2 , 3) • <-9,-2> = <-6, 15) • (-9 ,-2 ) => m = 9~-2) = 2
Luego , X = <-2 , 9) y Y = (-4 , 6) «=> X • Y x = (-2 , 9) • (-6 , -4) = -24 ■
E j e m p lo ~ ^ T ) S i A + B + C = O y| |A l| = 2 , 1i B 11 = 5 , 11C11= 8; hallar A - B
Solución. A + B + C = O => A + B = -C <=> A + B l = 11-C 11
Elevando al cuadrado am bos m iem bros se tiene :
||A||J + 2 A - B + |lB||: = ||C||: c=>4 + 2 A - B + 25 = 64
<=> A • B = 35/2 ■
Ejemplo 1 0 ] D ados tres vectores unitarios a . b y c que satisfacen la condi
ción a + b + c = O. Hallar el valor d e a * b + b * c + a * c
Solución. Si a + b + c = O >=> (a + b + c)2= O-
c=> 11a 112+ 11b 112+ 11c 112+ 2a •b + 2b •c +2a •c = 0
Com o a, b y c son unitarios >=> i + i + l + 2 ( a * b + b * c + a * c ) = 0
< = > a * b + b * c + a * c = - 3 / 2 ■
Ejemplo 11 ] Dado vector B = (2 , 3) y la función f :R:=* R /(P) = P • B. El
vector A es tal que /(A) = -16 y A11C = (1,2). Calcular11A11.
Solución. Si /(P) =P • B <=> /(A) = A • B t=» A • B = -16
A 11C <=> A = r C = r ( l ,2) <=> 11 A 11 = |r| V5 (1)
A • B = -16 c=> r (1 , 2). <2 , 3) = -16 <=> r(2 + 6 )= -1 6 r = -2
Por lo tanto, en (1): 11A 11 = 2V5 ■
Ejemplo 12 J D ados los vectores A = (m , 3p) y B = <-2p , n) , calcular la
norma de A - B 1 , sabiendo que A + B = (8 , -4) y A • B 1 = 0.
„ , ,, , . . . . . r m - 2 p = 8 c = > m = 2p + 8 (1)
Solucion. Si <m , 3p) + <- 2p , n) = (8 , -4) K ^
L 3p + n = -4 <=> n = -3p - 4 (2)
y si A • B 1 = 0 «=> (m , 3p) • <-n , -2p) = 0 <=>-m n - 6p: = 0 <=> m n = - 6p: (3)
Sustituyendo (1) y (2) en (3) se tiene : (2p + 8) (-3p - 4) = - 6p2 , de donde , p = -1
Luego, en (1) y (2) obtenem os : m = 6 y n = 1, entonces , A = (6 , -3) y B = (2,-1)
Por tanto , A - B A = <6 , 3) - <1 , 2) = <5 , -5) => 11 A - B x 11 = 5Í2 ■
[Ejemplo 13 J Si a y b son vectores tales que 11a 11 < 1 y llb ll <1.dem ostrar
que V t g [0 , 1] , 11a + t (b - a) 11 < 1
Demostración. En efecto , si 11a + t(b - a) 11 = 11(1 - t)a + i b !| ,entonces por la
desigualdad triangular:
lla + t(b-a)|| < 11(1 -t)a II + llt b ll
=> 11a + t(b - a) 11 < 11 - 1 1 11a 11 + 11 1 11 b 11
Com o t e [0 , 1] , esto es , t > 0 => 111 = t ,
0 < t < l - l < - t < 0 ^ o ^ l - t < l => 11 - 11 = 1 - 1 ,
Por hipótesis : | | a | | < l <=> ( l - 1) 11a 11< I - 1 , con t * I
11b 11 < 1 <=> t| | b | | < t, con t * 0
Por lo tanto , en (1) podem os escribir
11a + t(b - a) 11 < ( I - 1) + t <=> 11a + t(b - a) 11 < 1 ■

Dem ostrar que si A + B = ( 11 B 11 , ||A||), entonces A es
ortogonal a B.
Demostración. Por hipótesis : A + B = ( | | B ! | , | ! a I| ) , entonces multiplicando
escalarmente cada miembro por si mismo, se tiene :
(A + B) • (A + B) = < 11 B 11, 11A 11) • (||B||,||a ||)
<=* 11 A + B •' = 11 B !: + I jA 11: (PE4 y Producto escalar)
= * | | a ||2+ 2 A - b + |!b I|: = ||b ||- + ||a ||2
de donde o b te n e m o s: A - B = 0 o A 1 B - ■
Ejemplo 14 J
Ejemplo 15 J D ados los vectores A y B tales que A - B * O , dem ostrar que:
l l Al l - IIB II
l l A - B
< l
Demostración. Si escribim os ! A ! = || (A-B) + B I , entonces por la desigualdad
triangular: | | A | | < | | A - B | | + | | b | |
=> llAll - IIBII < I I A - B l l
C om o I !A - B ;I e s positivo , entonces :
B
A - B
< I
De (1) y (2) se sigue que : -1 <
A - B
<1 o
A - B
B
A - B
(1)
Análogam ente si escribim os : 11- B 11 = 11- B + A - A 11
y dado que 11- B i I= 11 B 11 => l l Bi l = 11(A - B) + (-A) 11
<=> ||B|| < IIA - B || + ||-A ||
<=> IIBII - IIA || < || A - B ||
Multiplicando por -1 se tiene : H a | | - | | B | | > - | | A - B | | <=> ^ A ^ - 11B| I > ^ (2)
< 1
^ Ejemplo 16 ^ En la Figura 1.44, A . C y E son puntos correspondientes a
vértices de un triángulo equilátero inscrito y los segm entos AB,
—> —>
C D y E F son tangentes a la circunferencia tales que
_ J| A B | | = 3 , I IC D l l = 4 , I l É F i l = 5
Si S = A B + C D + E F y U = (2 , 2v3> , hallar S • U
—^ ^ ^
Solución. Trasladam os los segm entos A B , C D y E F sobre un sistem a cartesiano
de modo que su s puntos iniciales coincidan con el origen. Entonces
A B = 11A B 11 (C o s 0o , Se n 0°) = 3 (1 , 0)
E F = 11E F 11 (C os 120°, Se n 120°) = 5(-1/2 , V3/2)
C D = 11C D 11 (C o s 240°, Se n 240°) = 4(-l/2 , -V3/2)
Luego : S = (3 , 0> + (-5/2 , 5V3/2) + (-2 , -2V3> = (-3/2 , Í3/2>
S • U = i (-3 , V3> • 2(1 , V3> = -3 +3 = 0
Ejemplo 17 ) Un triángulo D E F de encuen
tra sobre un plano inclinado co
mo se muestra en la Figura 1.45. Hallar el vector D F
Solución. En el A D E F : D F = D E + E F (1)
IlÓ A ll =V(5)- + (12)’ = 13
—)
Un vector unitario en el sentido de O A e s :
„= <ii^>
13
Entonces : D E = 3 u = ( y j . -j-^)
E F = "> u 1 = 2 /- — . — = /- — — )
¿ 13 1 3 ' ' 13 ’ 13'
Por lo tanto , en (1): D F = (| | . | | ) + (- , | | ) = (2 , 3>
r
. ,
k F
A
A . 2
/ , / ^ E
5
r
O 12 B > X
V. >
FIGURA 1.45
Ejemplo 18J En la Figura 1.46 , m (<£A B C ) = 90- y 11O BII
de x , si :
x = ó b - ó c + ó a - 6 b - ó a * 6 c
= 3. Hallar el valor
Solución. En la figura dada se tiene : O C = O B + BC

=> x = O B • (OB + BC) + O A • Ó B - O A • (ÓB + BC)
-I|6b I|- +6b - bc +óa*ób- óa*6b -6a *bc
=11OB112+ BC• (Olí - ÓA) =11<5b 112+ BC• ÁB
Como BC1AB c=* BC•AB=0
.% x = 11OB 112= (3)2= 9 ■
FIGURA 1.46
Ejemplo 19 J S e a A B C D un rectángulo, una de cu yas diagonales tiene por
extremos A(-6 , 1) y C(-2 , 8). S i los lados de m ayor longitud
tienen elm ism o sentido del vector S = (2 ,1 ), hallar los vértices B y D.
Solución. Á C = C - A ■=> A C = <-2 , 8) - <-6 , 1> = <4 ,7)
Si Á B || S c=> Á B = r<2 , I>
lie 11 S x => BC = t<-l , 2)
Dado que : A C = A B + BC
■=> <4.7> = r<2, l)+ t < -l ,2)
De donde obtenem os : r = 3 y t = 2
—►
Luego, s i : A B = 3<2 , l) = <6 , 3), entonces
B = A + A B = (-6 , I) + (6 , 3> = (0 , 4)
B"C = Á D = 2(-l , 2) = (-2 , 4)
B (0 , 4)
Ejemplo 20 ] En la Figura 1.48 , los triángu
los O C B , P B S y R S T son to-
—)
dos ellos semejantes. Hallar R T si P y R son puntos
—) —)
m edios de O B y PS, respectivamente.
Solución. La Figura 1.48 m uestra tres triángulos
rectángulos isósceles, en donde :
11O B 11 = 4>/2 y II S i l = V(2'2)2 + (2V2)2 = 4
Un vector unitario en el sentido de O B es :
u = J£^4> V2
4^ y • '
Luego : PB = 2V2 u = 2(1 , I ) , BS = 2V2 u1 = 2<-l , 1)
Si PS = PB + BS c=> PS = 2<1 , 1) + 2<-l , 1) = <0 , 4)
Un vector unitario en el sentido de PS es : v = — = <0 , 1)
Entonces : R S = 2 v = (0 , 2) y S T = 2 v 1 = (-2 , 0>
Ejemplo 21 ] En la Figura 1.49, A B C D es
un cuadrado y A B E un trián
gulo equilátero. Si A(4 , 9) y C ( 6 , -5), hallar el vector
V = D E + A B
Solución. Si C A = A - C = <4 , 9> - <6 , -5)
=> C A = (-2 , 14)
I I c a I I = V(-2)2+ (14)2= 10V2
II D A || = 11CA || C o s 45° = 10V2 (1/V2) = 10
—)
Un vector unitario en el sentido de C A e s :
u = — = — ’ l4^ = ¿ J - lI} ^ „ í - ¿ L id } FIGURA 1.49
| | ¿ a || I0V2 5^/2 5>/2
-^ 1
M es punto medio de C A <=> M = -y (A + C) = <5 , 2>
M D = ||MD|| ir1 = 5^2 (' 7 ’ = ( - 7 , - 1 ) <=> D = M + (-7 , -1 ) ^ D = (-2 , 1>
5V2
Tam bién: M = -± -(B + D) ==> B = 2 M - D = 2(5 , 2) - <-2 . 1) c=> B = <12 , 3>
Á B = B - A = <12 , 3> - <4 , 9) = <8 , -6>
Un vector unitario en el sentido de A B es : v = —
l l A B l I 10 5
11PE 11 es la altura del triángulo equilátero A E B c=> 11PE 11 = 1 0 (V3/2) = 5^3
Luego : PE = 11PE 11 v 1 = 5VJ = V3 <3 , 4)
P = -i- (A + B) = <8 , 6) => E = P + Í3<3 , 4) = <8 + 3>/3 , 6 + 4>/3)
D E = E - D = <8 + 3V3 , 6 + 4Í3) - <-2 , l> = <10 + 3>/3 , 5 + 4V3>
V = D E + Á B = <18 + 3^3 , -1 + 4^3)

Ejemplo 22 ] En la Figura 1.50, A B C D
es un trapecio, el A A D B
es isósceles ( 11AD 11 = 11 B D 11) y el A B D C
es rectángulo en D y tiene la hipotenusa B C
de longitud 10V2 unidades. Si el ángulo B C D
mide 379 (considerar T g379 = 3/4), B(-2 , 4) y
—>
D(4 , -2), hallar el vector AC.
Solución. B D = D - B = (4 , -2) - (-2 , 4) = <6 , -6)
II BD II = '(6):+ (-6):= 6V2
r
Yi k
Bo —
/ ^
— — 37°V ^
k X f Wy
/ '°i
A
D
V J
FIGURA 1.50
Un vector unitario en el sentido de B D e s : u =
<6 , - 6) <1 , - 1) <1 . O
6-ñ V2
En el triángulo rectángulo B D C : 11 D C II = 11 B D 11 Cotg 37° = 6 2 (4/3) = 8V2
DC = 11DC 11 ux = 8>/2 ( ) = 8(1 , 1)
Si D C = <8 , 8) <=> C - D = <8 , 8) <=> C = <4 , -2) + <8 , 8) = <12 , 6)
B C = C - B = <12 , 6) - <-2 , 4) = 2<7 , 1)
B C 2<7,1) < 7,1 )
Un vector unitario en el sentido de B C es : v = . - _ -
II B C II 10^2
El A A D B es isósceles , entonces : 11A D 11 = 11 B D 11 = 6V2
y com o A D 11 B C => A D = 11A D 11 v = 6V2 = j <7 , 1)
A D = D - A => A = D - Á D = <4 , -2) - y <7 , 1) = <-22/5 , -16/5)
5^2
A C = C - A = <12 , 6) - <-22/5 , -16/5) = <82/5 , 46/5)
1. Sean A y B vectores en R :. Utilizando las propiedades del producto escalar
dem ostrar:
a) ||a + b ||2 -||a - b I|2 = 4 A * b
b) ||a + b ||2 + ||a - b ||2 = 2 ( I | a I|2 + ||b ||2 )
2. Demostrar que los vectores A y B en R ! son ortogonales, si y sólo si
11A + b I|2= ||a||2 + IIb ||2
3. D ados los vectores A y B en R : , demostrar que :
Ejercicios de ¡a Sección 1.8 49
a) (Ax)x = - A c) A 1 • B 1 = A • B
b) A 1 • B = - A • B 1 . d) 11A 1 11 = IIA II
4. D ados los vectores A y B en R : , demostrar que :
a) A • B = - I IA || II B II <=> A y B tienen sentido opuestos
b) 11 A + Bl I = 11A 11 + 11 B I « A y B tienen el m ism o sentido
5. Deducir de la desigualdad triangular que si A y B están en R 2, entonces
I l l A l l - 11 B 111 £ II A + B II <11 A II + 11 B 11
(Sugerencia : escribir A = B - (B -A) y aplicar la desigualdad triangular)
6. Dem ostrar que si A y B son vectores paralelos en R 2 , entonces
| A - B | = 11A 11 II B II
7. S i A y B son vectores en R 2 , demostrar que
a) lA -B ^ -l < ||A II II B II
b) | A - B X I = II A || II B || <=> A 1 B
8. Dem ostrar m ediante un contraejemplo que A • B = B • C no implica ni que
A = C , ni que A = O
A • B
9. Dem ostrar que el vector V = B - „ . A , es perpendicular al vector A
IIA I I 2
10. Dem ostrarqueA + B y A - B son perpendiculares si y sólo si 11A 11 = 11B 11.
11. Si A = <2 ,-3), B = <-2 , 1) y C = <3 , 2 ), hallar un vector unitario ortogonal al
vector V = 5 A - 3 (B + C).
12. Si A = <4m , m - 3) y B = <2 , m + 3), hallar los valores de m tales que A sea
perpendicular a B.
13. Si u y v son, vectores unitarios y paralelos , hallar la norma de ir1 + v
14. S i a , b y a + b son vectores unitarios , hallar la norma del vector a - b
15. Si A = <1 , x ) , B = <2x , x) y C = <2x , -1), en donde x es un número real; hallar
la sum a de los elementos del conjunto M = {(x , y) I (A - C) • B = A • C - 1}
16. Se a n A , B e R 2 , am bos unitarios, demostrar que 11 A + B 11 < 1
17. S i m e R y u = ( m - 2 , 5 - 3m) es un vector unitario, hallar elvalor de
11m (u + 2 u1) + 2 u 1 11
18. Se a n los vectores A = <x , x + 4), B =<5x - 5 , x - 4). Six > 0 y A •B = -1 0 , hallar
la norma de A + B.
19. Se a n los vectores A . B y C tales que 11A 11 = V26 , 11 B 11 = 3V2 y B • C = 12.
S i A = B - C , hallar la norma de C.

20. S i 11 A 11 = V2 , 11 B 11 = 2 y A • B = 1/4 , hallar las longitudes de los vectores
2 A - 3 B y 4 A + B.
21. Se a n los vectores A = <m2 - 3 , m - 1), B = (4/m2 , 4/m) , donde m * 0 es un
número real positivo. S i A y B son ortogonales , hallar V = 9 B - 4 A
22. Si ¡ = <1 , 0) y j = <0 , 1), resolver para x
3(-2 , -3)x + 1 [ x + L - <3 , -1) ]x = (5 , 2)1 - 2X1
23. Sean los vectores A , B y C tales que A = B + C , I i A II = 5 ,11B I i=2^5 y
B * C = 1 0; hallar ||C ||.
24. Si A = (2 , x ) . B = <x , -2x) y C = (x - 2 , x + 1), donde x > 0 y si (A +B) • C =
A • B + 1, hallar el vector V = A + B + C.
25. Hallar los valores de m para que los vectores
A = (m + 3 , 2m - 4} y B = (m - 1 , m + 1> sean paralelos.
26. S e a O A B el triángulo cuyos vértices son O = <0 , 0 > , A = (-8 , 0) y B = (0 , 6). Si
—> —>
O M es la altura relativa al vértice O, hallar el vector OM.
27. S e a el rectángulo A B C D de área 48 u2 y cuyos dos vértices consecutivos son
A(-2 , 5) y B(2 ,1). Si la diagonal A C tiene el m ism o sentido del vector v = <5,1 >,
hallar los vértices C y D.
28. Se a n A(3 , 2) y C(10 , 6) vértices opuestos de una paralelogramo A B C D . Si se
sabe que 11B D II = V5 y 111 B D 11- 11(-2 , 4) 111 = 11B D + <2 , -4) 11,hallar los
vértices B y D.
—) —) —> —>
29. En el cuadrilátero P Q R S , sean a = P Q , b = Q R , c = R S y d = SP . Hallar c • d,
si se sabe que :11a + b 11 = 7 , ||c|| = 3 y ||di| = 5
30. Si A = (-3 , 5) yB = (4 , -3), hallar la norma del vector C , s i :
a) C = (A + B) • (A - 2 B ) B X ' b) C = (A • B)BL - (A 1 • B )C
31. Si u es un vector unitario y A . B son vectores cualesquiera, demostrar que :
(A • u)(B • u) + (A • ux)(B • ir1) = A • B
( Sugerencia : considerar u = (C o sa , Se n a ) . A = (a} ,a 2) y B = (b, , b2) )
-4
32. S e a A(6 , 2) uno de los vértices de un A A B C . Si A B tiene la m ism a dirección y
—>
sentido que el vector (1 , -2) y A C tiene la m ism a dirección y sentido que el
vector (3 , 4) tal que 11A B 11 = 3 5 y 11A C 11 = 1 0 . Hallar el vector A M , si A M es
la m ediana del triángulo trazada desde el vértice A.
Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 51
r RELACIONES ENTRE VECTORES
>
f 1.9) ANGULO EN TRE DOS VECTORES
S e a n A y B d o s vectores no nulos que tienen el m ism o origen y se a
9e [0 , 7C] el m enor de los án gu lo s positivos form ado por s u s respectivos vectores
de posición normales, com o se ilustra en la Figura 1.51. El teorema siguiente m ues
tra com o calcular este ángulo mediante el producto escalar.
TEOREMA 1.11 Angulo entre dos vectores
Si 0 es el ángulo entre dos vectores no nulos A y B, entonces
C o s 0 = ----- ------------
11A 1111B II
Demostración. En efecto , los vectores A , B y r
la diferencia A - B forman un y
triángulo cuyos lados miden 11A 11 , 11 B 11 y
* y
||A - B 11. y V 8
Por la ley de los co se n o s , tenem os /
||A -B ||2= ||A||2+ ||B||2-2||A||||B||Cos0 (1) -----------------------i b
U sando propiedades del producto escalar, po
O A
dem os reescribir el primer miembro com o FIGURA 1.51
11A - B 112= (A - B) • (A - B) = (A - B) • A - (A - B) • B
= a - a - b * a - a - b + b - b = ||a||2- 2 A * b + I|b II2
que sustituido en (1) nos lleva a
||a||2 - 2A * b + ||b||2 = ||a||2 + ||b||: - 2 ||aI| I I b licose
C o s 0 =
A » B
Il All IIB II
(15)
I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores, entonces reescribiendo el Teorema 1.11
en la forma
A • B = I A B :¡ C o s0 (16)
obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^
Ejemplo 1 J Hallar el valor del ángulo que forma el vector A que va de P(4 ,
5) a Q(6 , 4), con el vector B que va de S(-3 ,1 ) a T(-2 , -2).
Solución. A = PQ = Q - P = (6 , 4) - (4 , 5>= (2 , -l> => ||A i| = 5
B = S T = T - S = <-2 , -2> - <-3 , l> = <1 , -3> «=> II B || = nTÍÓ
Luego , por la fórmula (15): C o s 8 = * 11 ’ = 1 ± J = _ L
(V5)(nOÓ) 5V2 V2
En consecuencia , 0 = 45° ■
Ejemplo 2 j Hallar el norma del vector D , sabiendo que A y-B forman un
ángulo de 609 . D = A + B , 11A 11 = 3 y 11 B 11 = 5. ‘
Solución. S ¡ D = A + B < = > | | d | | = | | A + B | |
=> IId ||2=||a ||2+ 2 A -b + ||b ||2
Ahora, usando la forma alternativa del producto e sc a la r, se tiene :
IId ||:=||a II:+2||a || 11b 11 C o s0 +||b ||2
= (3)2 + 2(3)(5)(l/2) + (5)2 = 49
IID|| =7 ■
Calcular A • B. donde A y B
son vectores de la Figura
1.52, para los cuales. 11A 11 = 4 y 11 B 11 = 23
S o lu c ió n . S i 0 e s el ángulo que forman am bos
vectores, entonces :
0 = 90°- (12°+ 18°) = 60°
Luego, haciendo uso de la fórmula (16) se tiene :
A * B = | | a || I I b II C o s 0 = (4) (3V3)Cos 60°
A • B = 4V3 ■
Ejemplo 4 J Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 309 y la norma
de A es 48. Hallar la norma de B sabiendo que A - B es per
pendicular al vector A.
Solución. Si (A - B) 1 A => (A - B) • A = 0
=> A - A - B - A = 0 <=> 11 A 112= A • B
U sando la forma alternativa del producto escalar tenem os :
|!A 11- = 11A 11 ||B || C o s 30° «=> I IA II = I I B || C o s 30
Por lo que : 4^3 = 11 B I (V3/2) «=> 11 B 11 = 8 ■
Ejemplo 5 J Los vectores A y B forman un ángulo de rc/6 radianes. Sabien
do que 11 A11 = 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el ángulo entre los vecto-
res U = A + B y V = A - B.
Solución. Haciendo uso de la fórmula (16) tenem os :
A •B = 11 A 11 11 B 11 C o s 30° = (VJ) (1) (V3/2) = 3/2
U • V = I| U II II V ilC o s 0
=* (A + B) • (A - B) = 11 A + B 11 11A - B 11 C o s0
■=> 11A 112 -1 1B 112 = V 11A + B 112 11A - B 112 CosQ ____________________
^ (V3)2- (l)2 = n/( 11A 112 + 2A • B + 11 B 112) ( 11A 112 - 2A • B + 11 B 112) C os0
c=> 2 = V[ 3 + 2(3/2) + 1] [ 3 - 2(3/2) + I] C os0
de donde : C os0 = 2/V7 => 0 = are Cos(2/V7) ■
i Ejemplo 6 J Lo s vectores A . B y C form an d os a d osun ángulo de 6 0 9 ,
sabiendo que [IA 11 = 4 , 11B I = 2 y !I C 11= 6 , deter
norma del vector V = A + B + C.
Solución. S i V = A + B + C <=> ||V||2= |ÍA + B + C |2
i=>||v ||2 = ||a ||2 + I|b ||2+ ||c I I 2 + 2 A * b + 2 A * c + 2 B * c
C om o el ángulo entre los vectores A y B . A y C . B y C e s d e 60°, entonces
1IvI|2=||aI|2+||b||2+||c||2+2(IIa|| 11b11 +I|aII 11c114-11bII IIC11)Cos60°
= 16 + 4 + 36 + 2 ( 4 x 2 + 4 x 6 + 2 x 6 ) (1/2)= 100
I I V I I = 10 ■
Ejemplo 7 J Los vectores A y B tienen igual longitud y forman un ángulo de
60®. Si la longitud de A + B es 4 unidades m ayor que la longitud
de uno de ellos, hallar la longitud de A.
Solución. Si A - B =||A|| ||B|| C os0 y 11A 11 = 11 B 11 c=> 2 A • B = 11A 11-(1)
Adem ás :||A + B|| = 4 + 11A 11 , elevando al cuadrado se tiene
||a ||2+ 2 A * b + ||b ||2 = 16 + 8 II A II + 11A 112

54 Capítulo J: Vectores en el plano
Teniendo en cuenta (1) , resulta que: 3 I IA I I 2= 16 + 8
de donde : H a I|2 -4 | | a I|-8 = 0 « 11A 11 = 2 ± 4 + 8
/. II A || = 2 + 2^3
C jc m p lo 8 ) Si el vector A = <- 8 , 50> gira
45s en el sentido horario, se
determina el vector B = (x , y). Hallar x + y
Solución. Com o ||B|| = ||aI| <=> Vx: + y ’ = 8 + 50
S i:
C o s 45° =
A - B
Il A ll I I B I I
c=> x: + y 2= 58
V2 _ <-2V2 , 5V2) • (x , y)
(58) (V58)
de donde obtenemos : y = -i (2x + 29) (2; FIGURA 1 53
que sustituido en (1) da : x : + 4x - 21 = 0 <=> x ='-7 ó x = 3
Elegimos x = 3 por cuanto el lado terminal de B está en el primer cuadrante. Luego,
en (2) se tiene : y = 7
x + y = 10 ■
[ Ejemplo En el cuad rado de la Figura
1.54, el lado mide a unidades.
Hallar el valor del ángulo 0, si P y T son puntos que
trisecan los lados del cuadrado.
Solución. C om o P y T son puntos de trisección ,
entonces : OP = (a ,a/3) y O T = (al3 ,a)
L u e g o : 11OP11 = 11ÓT11 = Va2 + (a/3): = f K)
O P • Ó T = (a , a/3) • (al3 , a) = 2a:/3
Si CosG = — = P P
O T
IIOPlI IIOTlI
<=> C o s0 =
2a73
(a^W3)- 5
0 = are C o s (3/5)
FIGURA 1.54
ejemplo 1 0 j Sean A y B vectores unitarios en R :. Dem ostrar que la sum a es
un vector unitario si y sólo si el ángulo formado por dichos vec
tores es de 1209
Demostración. (<=>) Probarem os primero que ¡' A + B i = 1
En efecto, por hipótesis 0 = 120° es el ángulo entre los vecto
res A y B. Entonces :
llA + B ||2= ||a II2+ IIb I|2+ 2 A * b
=IIa II2+ I|b | | 2+ 2|Ia II I I b I I CosG
= 1 + 1 + 2 (1)(!)(-1/2) = 1
11A + B 11 = 1
(<=) Dem ostrarem os ahora que A y B forman un ángulo de 120°
En efecto, por hipótesis : llAll = ||B|| = | | A+ B
Si 11A + B 11: = 1 «=> 11A 112+ 2A • B C o s0 + 11 B 112= 1
■=> (1)2 + 2 11A 11 II B II C o s0 + (I)2= 1
1 + 2(1)(1) C osG + 1 = 1 => CosG = - 1/2
[ Cjemplo 11 ] Se a n A y B vectores en R 2 , A e s un vector unitario, la sum a de
los com ponentes de B es 31 y el máximo valor de A • B es 41;
hallar los vectores A y B.
Solución. Se a n los vectores A = (x, , y,) y B = < x ,, y,>
S i A - B = 11A11 ||B|| C o s0 ,y c o m o | | A11 = I y C o s 0 e [-1 ,1 ], el valor
de A • B será máximo cuando C o s0 = 1 , luego :
A • B = 11 B 11 *=> 41 = V x,2+ y,2 (1)
A d e m á s, x, + y, = 31 ^ y, = 31 - x 2 (2)
Sustituyendo (2) en (1) se tiene : 41 = Vx,2 + (31 - x,)2
de donde obtenem os : x,2 - 31x, - 360 = 0 <=> x, = 40 ó x, = -9
Por lo que, y, = 9 óy, = 40 <=> B = <40 , -9) ó B = <-9 , 40)
D ado que el vector A e s unittario entonces :x,2+ y,2= 1 (3)
4 0 x , - 9 y , = 4 l (4)
y si A . B = 41 ■=> x, x, + y, y, = 41 =>
9x, + 40y, = 41 (5)
De (3) PI (4) se tiene A = <40/41 , -9/41), y de (3) fl (5) : A = <-9/41 , 40/41 ) ■
! Cjemplo 1 2 J S e a n A y B y C vectores en R J. Su p o n e r que 11 A 11 = 1 ,
^ ’ 11B 11 = 1 y l l c l l = 4 . Si 11A - B + C 11 = 11A + 2 B + C 11 y el
ángulo entre A y B mide 459, hallar el coseno del ángulo entre vectores B y C.
Solución. Si A • B = 11A 11 11 B 11 C o s0 = * A • B = (1) (1) C o s 45° = V2/2
Desarrollando los cuadrados I! A - B + C |: = l¡A + 2 B + C l| 2, tenemos:

||A||2 + H b ||2 + ||C||* + 2 ( - A ’ B + A - C - B - C ) =
M a I I : + 4 | !b I I 2 + I I c I I 2+ 2 ( 2 A - b + a * c + 2 B * C )
Simplificando se tiene : ||B||2 + 2 A * B + 2 B * C = 0
=* (1)2+ 2(V2/2) + 2 11 B 11 ||C || C o s0 = => C o s0 = - 1 +- V-2 ■
O
E j e m p lo 1 3 ^ En la Figura 1.55 , O A C B e s un pa-
ralelogramo. Si O C = (5 , 3 ), B A =
—) —)
(-3 , 9) y 0 es el ángulo determinado por O A y O B 1 , hallar
el coseno de 0.
Solución. Si B A = <-3 , 9} => A - B = (-3 ,9) (1)
—) —) —> —) —^
O C = O A + AC, pero com o A C = OB, entonces
O C = O A + O B = A + B <=> A + B = (5 , 3> (2)
De (1) y (2) obtenem os :
A = <1 . 6) , B = <4 , -3) -=> B x = <3 , 4)
c o s 8 = A ' B1 = < '- 6> ' < 3 ' 4> = - 2 L
II A || II B || (Vi + 36 ) (V9 + 16) 5V37
Ejemplo 1 4 j En el paralelogramo A B C D
de la Figura 1.56, se tie
ne: ||ÁB II = 6 , IIA D II = 4 , m (<A ) = 609; M y
N son puntos m edios de los lados A B y B C ,
respectivamente. Hallar C o s0 , sabiendo que
II U || = 6 y II V11 = 4V l3.
Solución. A D = 4 <Cos60°, Sen60°) = 2 (1 , V3)
Á B = 6 (C osO °, SenO°> = 6 ( 1 , 0 )
Luego, A M = i - Á B = (3 , 0> y BN = -y A D = <1 , f3)
D M = A M - Á D = (3 , 0) - <2 , 2^3) = (1 ,_-2V3>
Un vector unitario en la dirección y sentido de D M e s :
D M O . - 2V3)
FIGURA 1.56
u= l
yíl311D M 11 Vl3
Análogam ente : A N = A B + BN = 6 (1 , 0) + (1 , V3> = (7 , V3)
2V3>
Ejercicios de la Sección 1.9 57
Un vector unitario en la dirección y sentido A N es
v= jM - ü = => V = ir v II v= (4VÍ3) =2(7,V3>
IIa n II 2^3 2V13
• C oq0 = U • v _ 12(1 ,-2>/3) » <7,V 3) _ j _
IIU lI ||V il a/T3(6) (4VT3) " 2 6
1. Hallar la medida del ángulo entre los vectores A y B, si A va de P(2 , 5) a Q(4 , 4)
y B va de S (3 , -2) a T(2 , 1).
—) —>
2. Si A B C e s un triángulo tal que A C = (4 , 1), A B = (-4 , -3), hallar el coseno del
ángulo que forma el vector B C con el vector unitario j = (0 , 1).
“4 -4
3. En un triángulo A B C se tiene : A C = <-2 , 4) y A B = <3 , -1). Hallar el ángulo que
—>
forma el vector B C con el vector unitario ¡x.
4. En un triángulo A B C se tiene : A B = (2V6 , 2'2) y A C = (6 , -V2). Hallar la
—)
m edida del ángulo formado por B C y el semieje positivo de las abscisas.
5. En un plano cartesiano, los puntos A ( r , s ) , B(na + r , nb + s) y C(-m ¿ + r , rrw + s)
son diferentes del origen y m ^ O . n ^ O . Hallar la medida del ángulo formado
por los vectores A B y AC.
6. Hallar el ángulo que forman el vector A que va de P(-1 , 3) a Q (6 , 4) con el
vector B que va de S(5 , -1) a T(2 , -5).
7. Calcular A • B . donde A y B son los vectores
de la Figura 1.57 , para los cuales: 11A11 = 8
r
Yi k
y IIB || = 7 2 B
8. Calcular 11 A + B 11sabiendo que A y B for A
m an un ángulo de 1509 y que , 11 A11 = !48 y
(J
II B II = 6
9. Los vectores A y B forman un ángulo de 609, FIGURA 1.57
sabiendo que ||A|| = 5 ,| | B | | = 8 , hallar
I I A + B l l y | | A - B ||.
10. Se a n A , B y C vectores diferentes de O, y supuesto que el ángulo entre A y C
es igual al ángulo ente B y C, para qué valor de t es el vector C perpendicular al
vector D = II B ||A + tB.

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