Ecuaciones Diferenciales

DEFINICIONES: Es une ecuación que establece una relación ente la variable
independiente x (puede existir más) y la variable dependiente y, y sus derivadas.

TIPO:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.): Contiene sólo derivadas
ordinarias, ejemplo:

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (E.D.P.): Contiene sólo derivadas
parciales, ejemplo:

GRADO: Es el máximo exponente de la variable y/o sus derivadas, ejemplo:

ORDEN: Es la máxima de las derivadas.

LINEAL: Una ecuación diferencial se dice lineal si se puede expresar de la siguiente
manera,
n

(X )
(x
a  y a ) y

 

n

n 1

FUNCIONES

QUE

n 1

a y

n 2

SÓLO

n 2

n 3

n 4

y y 
a a  ...

n 3

DEPENDEN

n 4

DE

cos( x) y
 


g ( x)

X

SOLUCIONES:
EXPLÍCITA
IMPLÍCITA

2010

AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTO
E-MAIL: viteriramir@hotmail.com TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi

ECUACIÓN LINEAL DE 1er ORDEN

MÉTODO DE FACTOR INTEGRANTE
Objetivo: Encontrar la función

tal que

RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:

/*Lo primero que hay que hacer es tratar de dejar a esta ecuación
expresada a la forma
para poder usar la
fórmula*/

(1)

2010

/*Donde encontramos que

*/


/*Multiplicando por

a la ecuación (1) tenemos: */

RESOLVER LA SIGUENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:

(2)

/*Multiplicando por

2010

a la ecuación (2) se obtiene*/



/*Ya está expresado de la forma

*/

(3)

/*Multiplicando por

a la ecuación (3) tenemos: */

/*Evaluando para

2010

se obtiene: */



(4)

/*Multiplicando por

a la ecuación (4) nos da como resultado*/


/*Esta ecuación NO es lineal es por eso que vamos a hacer un cambio de
variable*/

/*Es separable*/

/*Integrando por el método de sustitución universal tenemos: */

2010



TRAMO 1

/*Evaluando

por que se encuentra dentro del TRAMO 1*/

TRAMO 2

2010



/*Aplicando fracciones parciales tenemos: */


2010



/*Desarrollando la integral

v
u
du

*/

e sen ( x ) cos( x)dx

sen( x)
cos( x)dx

z
dz

v

e z dz

sen( x)
cos( x)dx

v e sen ( x )



2010

*/


u x
du dx

v
v

1

dx
x 1
ln( x 1)

z x 1
dz dx
u

ln( z )
1
du
dz
z


u x 1
du dx

v

dz

v

z

*/

z u
dz du

v

e u du

v

e

u


/* Sustitución */

2010



siguiente: */

2010

para esto hay que recordar lo


/*

Evaluando en

*/

ECUACIÓN DE BERNOULLI


Multiplicando a toda la expresión por

(1)

Reemplazando en la ecuación (1)

Esta expresión quedó semejante a
constante.

ya que

es sólo una


(1)

2010


/*Dividiendo a toda la ecuación (1) por


/*n=-1*/

/*Multiplicando por x a la ecuación*/

2010



*/

dv

2

u y
du 2 ydy

ye
1
e
2

v

y2

dy

y2


t

y1

n

t y1
dt
dy
y2
dx
dx
/*Multiplicando a toda la ecuación (1) por


2010

*/

*/


u

ln( x)
1
du
dx
x

/*Evaluando en

v
v

1
dx
x2
1
x

da como resultado:

*/


/* Multiplicando a la ecuación por

/* Resolviendo la integral

2010

*/

*/


u

x 1

u2

x 1

3

2udu

3

x2

(u 2 1) 2

dx

ECUACIONES EXACTAS
Sean M, N, My, Nx, continuas en la región rectangular <x< , <x< , entonces la
ecuación M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es exacta en  sí y sólo si My = Nx en cada punto de
,
 esto es

x

M y

y

N

Interpretación:

( x, y) c
dy
0
dx
( x, y )dx
( x, y )dy 0
x
y
  



( x, y )
x

( x, y )
y

M ( x , y ) dx

N ( x , y ) dy

( x) y ( y ) x
M

y

N

x


2010


/* Lo que acompaña al dx es la M y lo que acompaña al dy es la N */

ye xy cos 2 x 2e xy sen 2 x 2 x dx xe xy cos 2 x 3 dy
 


 


M

0

N

/* x es una constante en la siguiente integral: */

/* Derivando a (1) con respecto a x (y es una constante) da como resultado M */


2 ysen x e x sen y dx
 


M

2010

e x cos y 2 cos x dy


0

N


/* y es una constante en la siguiente integral

*/

/* Derivando a (2) con respecto a y (x es una constante) da como resultado N */



*/



2010


y y e x dx
e x 2 xy dy



 

M

/* x es una constante en la siguiente integral

0

N

*/


ECUACIONES QUE NO SON EXACTAS

M ( x, y)dx

N ( x, y)dy

El objetivo es una función
convierta en EXACTA.

0 (M y

N

x

)

(x,y) tal que al multiplicar a la ecuación, la misma se

( x, y)

Caso a)

2010

( x)


Función
que
depende
de
x, y

Función
que
depende
de
x


( x, y)

Caso b)

( y)


Función
que
depende
de
x, y

Función
que
depende
de
y


2010


1 ln xy 2 x dx



M

1
x 2 y 2 dy
y
 


0

N


*/



2010



*/


z

y2 1

dz

2 ydy


e x x e x sen y dx e x cos y
 
 

M


0

N

*/


2010



cos 2 y sen x dx 2 tan x sen 2 y dy

 


M

0

N

cos 2 y cos( x ) sen x cos( x ) dx 2sen( x) sen 2 y dy



 


N

M


0

*/


ECUACIONES HOMOGÉNEAS

2010


Sea

. Se dice que la ecuación es homogénea si:

Ejemplo:

si es homogénea se la puede expresar como:


y
x
y xt
dy
t
dx

t

dt
x
dx

t
dt

2010

tan( z )
sec2 ( z )dz



y
x
y xt
dy
t
dx

t

u
du

1

t

dt
x
dx

2

dt


2010


x
y
x yt

t

dx
dy

dt
y t
dy


y
x
y xt
dy dt
x t
dx dx

t

/* Integrando por fracciones parciales */


2010


y
x
y xt
dy
t
dx

t

dt
x
dx

ECUACIONES DE LA FORMA
OBJETIVO: Eliminar constantes

.

Cambio de Variable:


2010


Y
X
Y Xt
dY
dt
X
dX dX
t

t



/* Cambio de variable */

2010



Y
X
Y Xt
dY
t
dX
t

dt
X
dX



2010


Y
X
Y Xt
dY
t
dX
t

/* Desarrollando la integral

*/

v
dv

2010

dt
X
dX

t

1
2
dt


APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE Ier ORDEN.

Harry Potter sabe que la única forma de derrotar a Lord Voldemort es produciendo un
compuesto llamado DUPREE, para luego ingerirlo combinado con agua, lo que le proporcionará
más poderes que su eterno rival y así finalmente acabar con él. Para ello necesita de dos
sustancias clave: “saliva de lagarto con gripe” y “moco de rata de alcantarilla”. Hermione le dice
a Harry que la rapidez de transformación de la cantidad X del compuesto es proporcional al
producto de las cantidades NO transformadas de las sustancias antes mencionadas (suponer
que una onza de cada sustancia es necesaria para generar una onza del compuesto). Ron ha
podido conseguir 4 onzas de la primera sustancia y 5 onzas de la segunda para iniciar el
procedimiento. Al cabo de 50 minutos, Harry ha fabricado una onza de DUPREE. Hermione le
recuerda que necesita suministrarle 1.5 onzas para alcanzar los efectos deseados. ¿Cuánto
tiempo más debe transcurrir para obtener la dosis necesaria?

/* Desarrollando por fracciones parciales */

2010


Una taza de café es preparado con agua hirviendo en una cocina que se mantiene a
una temperatura de 30 C. En la cocina, durante 5 minutos, se deja enfriar la taza de
café, alcanzando una temperatura de 90 C; y los 8 minutos, la taza de café es llevada al
comedor. El ambiente en el comedor permanece a una temperatura constante de 18 C,
después de dos minutos se observa que la taza de café es 65 C.
¿A los cuantos minutos de estar la taza de café en el comedor, puede ser ingerido el
café si la temperatura óptima para tomarlo es de 45 C?

dT
k A T
dt
A Temperatura Ambiente.
t Tiempo.
T

Temperatura de un cuerpo.
COCINA
dT
A T
T

2010

kdt

ln( A T )

A Be kt ; T (0) 100º C

kt c

A T

e

kt

ec

B ( cons tan te )

100 30 B

B

70


T

30 70e kt ; T (5) 90º C

6
7

T

6
30 70
7

1

5

e
t

90 30 70e

1

5k

5

e

1

6
7

k

6
7

5k

e

5k

5

5

; T (8) Temperatura inicial en el comedor

T

6
30 70
7

8

5

84.7º C

COMEDOR
T

A Be

6
30 70
7

T

65 18

8

kt

6
; T (0) 30 70
7

5

6
12 70
7

18

8

6
12 70
7

5

e

8

5

e

kt

5

ºC

6
12 70
7

B

18 B

8

47
6
12 70
7

8

47

2k

6
7

8

e

2k

5

1

2

e
5

5

; T (2) 65º C

12 70
1

8

2k

1

2

e

k

2

47
6
12 70
7

8

5

Por último calculando “t” para cuando T=45ºC

2010


t

T

18

6
12 70
7

8

5

2

47
6
12 70
7

8

5

t

45 18

6
12 70
7

8

5

47
6
12 70
7

8

5

t

27
6
12 70
7

2ln

ln

2

47
8

5

6
12 70
7

8

5

27
8

6
12 70
7

t

2

5

5.16 min ,El café debe ser ingerido a los 5,16 minutos en el comedor.

47
6
12 70
7

8

5

El método de carbono 14 se usa a menudo para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en
una caverna de Sudáfrica se encontró un cráneo humanoide junto con los restos de una fogata.
Los arqueólogos creen que la edad del cráneo es igual al de la fogata. Se ha establecido que
solamente el 1% de la cantidad original de carbono 14 queda en la madera quemada de la
fogata. Calcule la edad del cráneo si la semivida (tiempo en que tarda una sustancia radioactiva
en desintegrarse la mitad) del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.

x(t ) Cantidad de carbono en el tiempo.

dx
dt

2010

kx


dx
x

kdt

ln( x)

x ekt

kt c

ec

A(cos tan te )

Aekt (t

x

A
x

1
x0
2

x0ekt (t

x0e

0, x

x0 )

x0
1
x0 )
2

5600, x

5600 k

e

k

1
2

1
5600

Por último calculando el tiempo “t” para cuando x=1%x0(1/100)

x

x0

1
x0
100
5600 ln
t

1
100

1
ln
2

1
2

x0

t
5600

1
2

t
5600

37206 años

SOLUCIONES FUNDAMENTALES DE LAS ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Sean p, q funciones continuas sobre el intervalo (α,β), entonces se dice:

Sea

,

dos soluciones de la ecuación diferencial
(1)

2010


Condiciones iniciales

,,
y1

y2

,,
y2
,,
,,
y2 y1 y1 y2




y1

,
p x y1

q x y1

0

,
p x y2 q x y 2 0
,
,
p x ( y1 y2 y1 y2 ) 0




W´

W

MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ORDEN
(1)
Consideremos que
es una solución de la ecuación (1), se pretende encontrar una
solución linealmente independiente
.

2010


Determinar la solución general de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

2010


Expresando de la forma

(Ecuación de Bernoulli)

(1)

Multiplicando por 2

a la ecuación (1)

(2)

Multiplicando por

2010

a la ecuación (2)


x
2

2 d

2010

x

c
c
dx


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