O documento apresenta uma demonstração elementar da identidade cotz = 1/z + Σ(k=1 até infinito) (2z/(z2 - k2π2)). A demonstração utiliza a regra da derivada do produto de funções e indução matemática para chegar à igualdade desejada.

1. Uma demonstra¸c˜ao elementar da identidade:
cotz =
1
z
+
∞
k=1
2z
z2 − k2π2
Israel Meireles Chrisostomo
10 de Janeiro, 2015
1 Introdu¸c˜ao
Nesse pequeno artigo apresento a minha demonstra¸c˜ao para a identidade dev-
ida a Euler:cotz =
1
z
+
∞
k=1
2z
z2 − k2π2
.A demonstra¸c˜ao utiliza de uma f´ormula
importante para a derivada de um produto de fun¸c˜oes.A id´eia para esta demon-
tra¸c˜ao me veio logo ap´os resolver um problema do livro C´alculo do Serge Lang,
quando estava lendo o artigo ”More on the infinite: Products and partial frac-
tions”, onde se encontra algumas demonstra¸c˜oes envolvendo limites de s´eries e
produtos infinitos.
1

2. 2 Demonstra¸c˜ao
Considere um produto de duas fun¸c˜oes f1(z)f2(z), pela derivada do produto,
obtemos:
d
dz
f1(z)f2(z) = f1(z)f2(z) + f1(z)f2(z)
Vamos usar esse produto como base de indu¸c˜ao.Por hip´otese de indu¸c˜ao,
considere que a f´ormula acima (em sua forma gen´erica) ´e verdadeira para um
dado inteiro n, i.e.:
d
dz
(f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z)) = f1(z)f2(z)...fn(z) + f1(z)f2(z)...fn(z) +
.... + f1(z)f2(z)...fn−1(z)fn(z)
Denominando f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z) = g(z),pela igualdade acima,
teremos que:
g (z) = f1(z)f2(z)...fn(z) + f1(z)f2(z)...fn(z) + .... + f1(z)f2(z)...fn−1(z)fn(z)
Pela regra da derivada do produto, ao se multiplicar uma fun¸c˜ao, digamos,
fn+1(z) pelo produto f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z) e depois derivar usando a
hip´otese de indu¸c˜ao, obtemos:
d
dz
(f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z)fn+1(z)) =
d
dz
(g(z)fn+1(z)) =
g (z)fn+1(z) + g(z)fn+1(z) =
[f1(z)f2(z)...fn(z) + f1(z)f2(z)...fn(z) + .... + f1(z)f2(z)...fn−1(z)fn(z)] fn+1(z)+
f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z)fn+1(z) =
2

3. f1(z)f2(z)...fn(z)fn+1(z)+f1(z)f2(z)...fn(z)fn+1(z)+....+f1(z)f2(z)...fn−1(z)fn(z)fn+1(z)+
f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z)fn+1(z)
De onde conclu´ımos a prova por indu¸c˜ao em n de que sempre vale a igualdade:
d
dz
(f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z)) = f1(z)f2(z)...fn(z) + f1(z)f2(z)...fn(z) +
.... + f1(z)f2(z)...fn−1(z)fn(z).....Igualdade i
Mas observe que pela igualdade f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z) = g(z), n˜ao
´e dif´ıcil ver, ao se multiplicar e dividir cada termo do lado direito pela fun¸c˜ao
que est´a sendo derivada em cada produto, que podemos reescrever cada um
desses termos como:
f1(z)f2(z)...fn(z) =
f1(z)f1(z)f2(z)...fn(z)
f1(z)
=
f1(z)g(z)
f1(z)
....Igualdade ii
f1(z)f2(z)...fn(z) =
f1(z)f2(z)f2(z)...fn(z)
f2(z)
=
f2(z)g(z)
f2(z)
....Igualdade iii
....
f1(z)f2(z)....fk(z)....fn(z) =
f1(z)(z)f2(z)....fk(z)fk(z)....fn(z)
fk(z)
=
fk(z)g(z)
fk(z)
....Igualdade iv
...
f1(z)f2(z)...fn−1(z)fn(z) =
f1(z)f2(z)...fn−1(z)fn(z)fn(z)
fn(z)
=
fn(z)g(z)
fn(z)
.....Igualdade v
Comparando as igualdades ii, iii, iv, v com a Igualdade i , ´e f´acil ver que:
d
dz
(f1(z)f2(z)f3(z)....fn−1(z)fn(z)) =
f1(z)g(z)
f1(z)
+
f2(z)g(z)
f2(z)
+ .... +
fn(z)g(z)
fn(z)
d
dz
g(z) = g(z)
f1(z)
f1(z)
+
f2(z)
f2(z)
+ .... +
fn(z)
fn(z)
Onde g(z) ´e o produto das fun¸c˜oes indicadas a direita.Substituindo n por
n+1, obteremos:
d
dz
g(z) = g(z)
f1(z)
f1(z)
+
f2(z)
f2(z)
+ .... +
fn+1(z)
fn+1(z)
...Igualdade vi
3

4. Fazendo g(z) = z
n
k=1
1 −
z2
k2π2
, igualmente, fazendo f1(z) = z e fk+1(z) =
1 −
z2
k2π2
para k ≥ 1.Observando que podemos dizer que f1(z) = 1 e fk+1(z) =
−
2z
k2π2
, e substituindo na Igualdade vi , vem:
d
dz
z
n
k=1
1 −
z2
k2π2
= z
n
k=1
1 −
z2
k2π2
1
z
+
n
k=1
− 2z
k2π2
1 − z2
k2π2
d
dz
z
n
k=1
1 −
z2
k2π2
= z
n
k=1
1 −
z2
k2π2
1
z
+
n
k=1
2z
z2 − k2π2
Tomando o limite de n tendendo ao infinito, obteremos:
d
dz
z
∞
k=1
1 −
z2
k2π2
= z
∞
k=1
1 −
z2
k2π2
1
z
+
∞
k=1
2z
z2 − k2π2
Usando que z
∞
k=1
1 −
z2
k2π2
= senz no lado esquerdo, teremos:
d
dz
(senz) = z
∞
k=1
1 −
z2
k2π2
1
z
+
∞
k=1
2z
z2 − k2π2
⇒ cosz = z
∞
k=1
1 −
z2
k2π2
1
z
+
∞
k=1
2z
z2 − k2π2
Dividindo ambos os lados por z
∞
k=1
1 −
z2
k2π2
, vem:
cosz
z
∞
k=1 1 − z2
k2π2
=
1
z
+
∞
k=1
2z
z2 − k2π2
Usando que z
∞
k=1
1 −
z2
k2π2
= senz no lado esquerdo, obtemos:
cosz
senz
=
1
z
+
∞
k=1
2z
z2 − k2π2
⇒ cotz =
1
z
+
∞
k=1
2z
z2 − k2π2
C.Q.D.
4