1. 3

2. 2
12/10/2012
2

3. 1
12/10/2012
3

4. 12/10/2012
4

5. Video Monitor
Arial Font

6. CREW :
Tangguh Yudho (021)
Fanny Nur S (022)
Diah Hapsari (026)
Prastiwi Angger (029)
Randha Ayu (032)
Mu’ahid N (034)
Isti Handayani (045)
12/10/2012 BAB VI TRIGONOMETRI

7. A. Inverse Fungsi Trigonometri
1. Relasi Siklometri
Fungsi y = f(x) = sin x, x R, merupakan salah
satu fungsi Trigonometri seperti telah dibicarakan di
muka. Untuk setiap x pasti dapat ditemukan nilai y
tunggal.
Bagaimanakah sebaliknya?
Andaikan, y = 1 , sehingga diperoleh y = f (x) = sin x = 1
1
2 atau sin x = sin ( + k. 2 ) atau 2
6
5
sin x = sin ( + k. 2 ), k B
6

8. sehingga diperoleh penyelesaian
1 5
x= + k. 2 atau x = + k. 2 ,k B
6 6
Ternyata untuk nilai y tunggal terdapat banyak
nilai x yang berpasangan dengan nilai y.
Kesimpulan y = sin x bukan fungsi 1 – 1, sehingga
inverse fungsi tersebut bukan merupakan fungsi.

9. Definisi :
Relasi Siklometri
1. Jika f menyatakan fungsi trigonometri yang
terdefinisi pada x R dan dinyatakan
sebagai y = f (x) maka kebalikan fungsi f
dinyatakan sebagai f-1 atau x = f-1(y) disebut
Relasi Siklometri
2. Oleh karena ada 6 fungsi
trigonometri, maka terdapat 6 relasi
siklometri, yaitu:

10. a. y = sin x --------> x = arc sin y
b. y = cos x --------> x = arc cos y
c. y = tan x --------> x = arc tan x
d. y = ctg x --------> x = arc ctg y
e. y = sec x --------> x = arc sec y
f. y = csc x --------> x = arc csc y
Catatan :
Daerah asal Relasi Siklometri tergantung
daerah hasil fungsi Trigonometri

11. 2. Grafik Dan Domain Relasi Siklometri
Pandang relasi siklometri y = arc sin x, merupakan
invers dari fungsi x = sin y , y R
…………………………………………...…. (1)
Bandingkan dengan fungsi y = sin x, x R
……………………. (2)
Antara (1) dan (2) terdapat penggantian variabel x
dengan y dan seba-liknya, sehingga grafik relasi siklometri
dapat diperoleh dari grafik fungsi trigonometri awal, dengan
mencerminkan terhadap garis y = x. Grafik keenam relasi
siklometri dan grafik fungsi trigonometri asal dapat dilihat
sebagai berikut.

12. 1. Grafik y = sin x dan y = arc sin x

13. 2. Grafik y = cos x dan y = arc cos x

14. 3. Grafik y = tan x dan y = arc tan x

15. 4. Grafik y = ctg x dan y = arc ctg x

16. 5. Grafik y = sec x dan y = arc sec x

17. 6. Garfik y = csc x dan y = arc csc x

18. C. Nilai Relasi Siklometri
Untuk menentukan nilai relasi siklometri
digunakan fungsi trigonometri awal.
Beberapa contoh akan disajikan berupa
contoh soal dan penyelesaiannya.
1
1. Tentukan nilai arc sin 3 !
2

19. 1
2. Jika m = arc cos - , tentukan nilai m!
2
5
3. Jika y = arc tan 12
, tentukan nilai cos y!
4. Jika sin arc ctg – 1 = x. Tentukan nilai x!
5. Jika y = cos arc sec x. Nyatakan y sebagai
formula dalam x!
6. Buktikan arc sin x + arc cos x =
2

20. 1
B. BILANGAN KOMPLEKS
1. Bilangan Imaginair
Adakalanya dalam suatu perhitungan kita
menjumpai bentuk , -1, -3, -9 dan sebagainya.
Untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan
riel, bentuk-bentuk seperti tersebut di atas bukan
merupakan penyelesaian sebab bukan anggota
semesta.
Bilangan-bilangan pada contoh di atas
disebut bilangan imaginair atau bilangan khayal.
12/10/2012
20

21. Bilangan-bilangan pada contoh diatas disebut
bilangan imaginair sejati, yang dapat dinyatakan
dalam bentuk baku (memuat symbol i), yaitu :
-1 = i
-3 = i 3
-9 = i 9 = 3i
Definisi : -1 = i , i2 = - 1
Catatan : Penggunaan simbol bilangan imaginair
dalam bentuk baku dimaksudkan untuk
memudahkan perhitungan.
12/10/2012
21

22. 2. Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan kompleks K = {(a + bi)| a, b R}, bi
disebut bagian imaginair sejati.
1. Kesamaan dua bilangan kompleks a + bi = c +
di, apabila : a = c dan b = d
2. Dua bilangan kompleks disebut pasangan bilangan
kompleks konjugate , apabila komponen riilnya sama
dan bagian imaginair sejati berlawanan tanda.
Contoh : 2 + 3i dan 2 – 3i
-5 + i dan -5 – i
Secara umum a + bi dan a – bi adalah pasangan dua
bilangan kompleks konjugate.
12/10/2012
22

23. 3. Operasi Pada Bilangan Kompleks
a. Operasi Penjumlahan
Jumlahan dua bilangan kompleks (a + bi) dan (c + di)
didefinisikan sebagai :
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Contoh : (4 + 5i) + (7 – 3i) = 11 + 2i
b. Operasi Pengurangan
Pengurangan bilangan kompleks a + bi oleh c + di
didefinisikan sebagai:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Contoh : (17 – 4i) – (–2 – 3i) = 19 – i

24. c. Operasi Perkalian
Perkalian dua bilangan kompleks a + bi
dengan c + di, didefinisikan sebagai berikut:
(a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Contoh : (4 + 5i) . (2 - 3i) = (8 + 15) + (-12 + 10) I
= 23 – 2i
Catatan : Seperti pada operasi perkalian pada
bilangan-bilangan yang lain tanda titik"."
boleh tidak ditulis.

25. d. Operasi Pembagian
a bi c di
(a + bi) : (c + di) = .
c di c di
= ( ac + bd) + (bc – ad) i
c2 + d2
2 3i 4 5i
Contoh : ( 2 + 3i) : (4 - 5i) = .
4 5i 4 5i
(8 15) (12 10)i
=
16 25
7 22i 7 22
= = + i
44 44 44

26. 4. Grafik Bilangan Kompleks Pada Bidang
Koordinat
Setiap bilangan kompleks a + bi berkorespondensi 1–1
dengan setiap titik P (x,y) pada bidang koordinat, dengan syarat
a = x dan b = y
Contoh:
Titik P (3,2) menyatakan
bilangan kompleks 3 + 2i
Sumbu x adalah sumbu riel
Sumbu y adalah sumbu
imajinair

27. Kesimpulan yang diperoleh :
a. Titik O menyatakan 0 + 0i = 0
b. Setiap titik pada sumbu x menyatakan a
+ 0i = a , a R
c. Setiap titik pada sumbu y menyatakan 0
+ bi = bi , b R

28. 5. Grafik Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Andaikan diketahui 2 bilangan kompleks
sebarang z1 dan z2, dengan z1 = x1 + y1 i dan z2
= x2 + y2 i
Grafik penjumlahan dan pengurangan z1 dan z2
dalam bidang koordinat dapat disajikan sebagai
grafik penjumlahan dan pengurangan 2 vektor
(lihat gambar pada slide berikutnya).
12/10/2012
28

29. Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan
y
y z1
z z
z1 0 -z2 x
z2
x
0
-
z = z 1 + z2 z = z1 + (-z2)
= z 1 – z2
12/10/2012
29

30. 6. Bentuk Polar (Kutub) Bilangan-Bilangan Kompleks
• Jika sebarang bilangan kompleks x + yi digambarkan dalam
vektor OP, maka :
• OP disebut modulus atau nilai mutlak dari bilangan
komplek tersebut dan dinyatakan sebagai:
y
r= x2 y2
P(x,y)
0 x

31. • XOP = , disebut amplitudo bilangan komplek tersebut dan
y
biasanya dipilih sudut positif terkecil yang memenuhi tan =
x
• Hubungan antara z, x , y, r dan sebagai berikut:
x r cos
z = x + yi
y r sin
z = r cos + i r sin
z = r (cos + i sin )
z = r (cos + i sin ) disebut bentuk polar atau bentuk
trigonometri.
z = x + yi disebut bentuk rectangular dari z.

32. Contoh :
1. Nyatakan z = 2 – i 3 dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Modulus dari z = OP = 2 ( 3) = 7 =r
2 2
y
y 3 2
tan = = = - 0,8660
x 2 0 x
1 = 138024’ 3 P
2= 318 24’
0 2
Dalam hal ini 1 tidak digunakan, berikan alasan anda.
Jadi amplitudo z adalah = 3180241 , dan bentuk polar z :
z = r (cos + i sin )
z = 7 ( cos 3180241 + i sin 3180241)
Mengingat koordinat P juga menyatakan sudut + 2k. , maka bentuk
polar dari z dapat juga dinyatakan sebagai:
z = 7 [ cos ( 3180241 + k.3600 )+ i sin (3180241 + 2 k.3600)]

33. Model Pembuktian Kesimpulan
 Jika diketahui
z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1) dan
z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 ) , maka
z1 z2 = r1 r2 [cos ( 1+ 2 ) + i sin ( 1 + 2)]

34. Model Pembuktian Kesimpulan
z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) dan
z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 )
Menurut definisi :
z1 . z2 = r1 r2 (cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2 ) + i r1 r2
(sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2)
z1 . z2 = r1 r2 [cos ( 1+ 2 ) + i sin ( 1 + 2 )] …..… (terbukti)

35. Model Pembuktian Kesimpulan
Jika diketahui z1 = z2 , maka :
1. Modulus z1 . z2 adalah perkalian modulus z1
dengan modulus z2.
2. Amplitudo z1 . z2 adalah jumlah amplitudo z1
dengan amplitudo z2.

36. Model Pembuktian Kesimpulan
 Jika diketahui
z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) dan
z2 = r2 (cos 2 + i sin 2)
maka :
z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos ( 1- 2) + i sin ( 1 - 2)]

37. Model Pembuktian Kesimpulan
z1 r1 (cos θ1 i sin θ1 )
z2 r2 (cos θ 2 i sin θ 2 )
r1 (cos θ1 i sin θ1 ) r2 (cos θ 2 i sin θ 2 )
.
r2 (cos θ 2 i sin θ 2 ) r2 (cos θ 2 i sin θ 2 )
r1r2 {cos θ1 cos θ 2 sin θ1 sin θ 2 i (sin θ1 cos θ 2 cos θ1 sin θ 2 )}
r22 (cos 2 θ 2 sin 2 θ 2 )
z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos ( 1- 2) + i sin ( 1 - 2)]

38. Model Pembuktian Kesimpulan
Jika diketahui z1 dan z2 maka :
1. Modulus z1 : z2 adalah hasil bagi
modulus z1 , oleh modulus z2 .
2. Amplitudo z1 : z2 adalah hasil
pengurangan amplitudo z1 , oleh
amplitudo z2.

40. z1
z2
Contoh:
Jika z = 3 - i , tentukan z10 !
Penyelesaian :
z = r (cos + i sin )
1
r = 2 dan tan = ; = 3300 + k. 3600
3
z10 = 210 [ cos 10 (3300 + k. 3600) +
i sin 10 (3300 + k. 3600)
= 1024 (cos 600 + i sin 600)
1 1
= 1024 ( + 1 . 3)
2 2
= 512 + 512 i 3

41. 12/10/2012
41