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  1. 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS DEFINICIÓN DE LA DERIVADA. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de esa curva,próximo a P. Considérese la recta que pasa por P y Q, llamada secante. La rectatangente en P es la posición límite (si existe) de la secante, cuando Q se muevehacia P a lo largo de la curva. Sea ƒ una función definida en un intervalo abierto que contiene al númeroa. En la figura 1.1 se ilustran la gráfica de ƒ y una recta secante lpq que pasapor P ( a , ƒ ( a ) ) y Q( x, ƒ( x )). La recta de trazo punteado l representauna posible recta tangente en el punto P. lPQ l Q Y P a x X La pendiente m de l se define como el valor de límite de la pendiente de lPQ f ( x) − f (a)cuando Q tiende a P. Así por la definición tenemos: m = lím x→0 x−asiempre y cuando el límite exista. Si se introduce una nueva variable h talque x = a + h (es decir, h = x - a), como se ilustra en la figura 1.2. l lPQ Y Q P a a+h X ( fig. 1.2 )se obtiene la siguiente fórmula para la pendiente m = Lím f a h f a , que es ( + )− ( ) h →0 hequivalente a la anterior. El límite anterior es uno de los conceptosfundamentales del cálculo y se llama derivada de la función ƒ en a. 1E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  2. 2. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS Definición 1. Sea ƒ una función definida en un intervalo abierto quecontiene a a. La derivada de ƒ en a, denotada por ƒ’(a), está dada por f ( a + h) − f ( a) , si este límite existe.f ′( a) = Lím h→0 h Si este límite existe, decimos que ƒ es diferenciable en a. Encontrar laderivada se llama derivación; la parte de cálculo asociada con la derivada sellama cálculo diferencial. La diferenciabilidad implica continuidad. Si una curva tiene tangente en unpunto, la curva no puede dar un salto en ese punto. La formulación precisa deeste hecho es un teorema importante. Teorema 1. Si existe ƒ’(a), entonces ƒ es continua en a.Una función ƒ es derivable en un intervalo abierto (a,b) si lo es en todos losnúmeros c de (a,b). También se considerarán funciones que son derivables enun intervalo infinito (- ∞ , a), (a,∞) o bien (- ∞ , ∞). Para intervalos cerrados usaremos la siguiente definición. Definición 2. Una función ƒ es derivable en un intervalo cerrado [a , b], si f (a + h ) − f (a ) f (a + h) − f (a )lo es en el intervalo (a , b) y los límites lí m lím h→ 0 + h − h→0 hexisten. Los límites por la derecha y por la izquierda en la definición anterior, sellaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda de ƒ en a y b,respectivamente. La derivada de una función en intervalos de la forma [a, b), [a,∞), (a ,b] obien (- ∞ , b] se define usando los límites por la derecha o por la izquierda enuno de los puntos extremos. Si ƒ está definida en un intervalo abierto quecontiene a a, entonces ƒ ’(a) existe si y sólo si las derivadas por la derecha ypor la izquierda en a existen y son iguales. El inverso del teorema 1. Es falso. Si una función ƒ es continua en c, no sesigue que ƒ tenga derivada en c. Esto se ve con facilidad examinando la funciónƒ (x)=| x | en el origen. Esta función, por cierto, es continua en cero, pero notiene derivada ahí. (Demostración a cargo del lector) El argumento recién presentado demuestra que en cualquier punto en elque la gráfica de ƒ tiene un pico o presenta una esquina aguda, es continua,pero no diferenciable. Suponiendo que la función ƒ es derivable en a, se puede enunciar lasiguiente definición. Definición 3. Recta tangente: La pendiente de la recta tangente a lagráfica de ƒ en el punto (a, ƒ(a)) es ƒ’(a ). 2E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  3. 3. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS Derivada como una función Si ƒ es derivable para todo x en un intervalo entonces, asociando a cada xel número ƒ’(x), se obtiene una función ƒ’ llamada derivada de f. El valor deƒ’, en x está dado por el siguiente límite. f ′ = lím f(x + h) − f(x), (Límite (x) h h→0unilateral), nótese que el número x es fijo, pero arbitrario y el límite se tomahaciendo tender h a cero. Derivar ƒ(x) o encontrar la derivada de ƒ(x) significadeterminar ƒ’(x). En los siguientes ejercicios se determinará la primera derivada pordefinición, o la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado. Ejercicios Resueltos:1) y = 5 x → f(x) = 5 x f(x + Δx) − f(x)f ′(x) = Lím → Aplicando la ecuación Δx → 0 Δxf ′(x) = Lím 5 ( ) x + Δx −5 x Δx → 0 Δx 5 ⎡ x + Δx − x ⎤ ⎦ = f ′(x) = 0 INDf ′(x) = Lím ⎣ Δx → 0 Δx 0 5 ⎡ x + Δx − x ⎤ ⎡ x + Δx + x ⎤f ′(x) = Lím ⎣ ⎦ .⎣ ⎦ Δx → 0 Δx ⎡ x + Δx + x ⎤ ⎣ ⎦ 5 (x + Δx − x) 5 Δxf ′(x) = Lím = Δx → 0 Δx ⎡ x + Δx + x ⎤ ⎣ ⎦ Δx ⎡ x + Δx + ⎣ x⎤ ⎦ 1 5f ′(x) = 5 Lím = f ′(x) = Δx → 0 x + Δx + x 2 x 3E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  4. 4. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS 1 1 − 1 x + Δx − 3 x −3 02) f(x) = ⇒ f ′(x) = Lím = ind x −3 Δx → 0 Δx 0 x −3 − x + Δx − 3 x + Δx − 3 x − 3 x −3 − x + Δx − 3f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx = Lím Δx → 0 Δx [ x + Δx − 3 x −3 ] 1Aplicando conjugada : ( x −3 − x + Δx − 3 ) ⎡ x − 3 + x + Δx − 3 ⎤f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx [ ⎢ ] x + Δx − 3 x − 3 ⎢ x − 3 + ⎣ ⎥ x + Δx − 3 ⎥ ⎦ x − 3 − x − Δx + 3f ′(x) = Lím Δx → 0 [ Δx (x − 3 ) x + Δx − 3 + (x + Δx − 3 ) x − 3 ] 1f ′(x) = (x − 3 ) (x − 3 ) + (x − 3 ) (x − 3 ) 1 1f ′(x) = ⇒ f ′(x) = ( x − 3 )3 + ( x − 3 )3 2 (x − 3) 3 3 x +Δx−2 − 3 x−2 03) f(x) = 3 x−2 f′(x) = Lím = ind Δx→0 Δx 0a3 − b3 = (a −b) (a2+ab+b2) IdentidadDonde: a = 3( x+Δx−2) ; b = 3 x−2 ⎡3( x +Δx−2) − 3 x−2⎤ ⎡3( x + Δx − 2)2 + 3( x + Δx − 2) 3 x − 2 + 3( x − 2)2⎤ ⎢ ⎣ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎥ ⎦f′(x) = Lím Δx→0 ⎡ ⎤ Δx⎢3( x + Δx − 2)2 + 3( x + Δx − 2) 3 x − 2 + 3( x − 2)2⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ 3(( x + Δx − 2))3 − 3( x − 2)3f′(x) = Lím Δx→ ⎡ ⎤ Δx⎢3( x + Δx − 2)2 + 3( x + Δx − 2) 3 x − 2 + 3( x − 2)2⎥ 0 ⎣ ⎦ 4E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  5. 5. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS x + Δx − 2 − x + 2f ′(x) = Lím Δx → 0 ⎡ 3 x − 2 + 3 ( x − 2 )2 ⎤ Δx ⎢3 ( x + Δx − 2 )2 + 3 ( x + Δx − 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 1f ′(x) = Lím ⎡3 Δx → 0 2 3 ( x + Δx − 2 ) 3 x − 2 + 3 ( x − 2 )2 ⎤ ⎢ ( x + Δx − 2 ) + ⎥ ⎣ ⎦ 1 1f ′(x) = ⇒ f ′(x) = 3 ( x − 2 ) 2 + 3 ( x − 2 ) 2 + 3 ( x − 2 )2 33 ( x − 2 )2 1 1 − x x 1 x + Δx x 04) f(x) = → f(x) = → f(x) = ⇒ f ′(x) = Lím = ind Δx 0 x3 x x x Δx → 0 x− x + Δx x x + Δx ( x− x + Δx ) ⎡ x + x + Δx ⎤f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx ⇒ f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx [ x + Δx x ⎢ ⎢ ⎣ ] x + ⎥ x + Δx ⎥ ⎦ x − x − Δx 1f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx x [ x + Δx + (x + Δx ) x ] ⇒ f ′(x) = Lím Δx → 0 x x + Δx + (x + Δx) x 1 1 1f ′(x) = ⇒ f ′(x) = ⇒ f ′(x) = x x +x x x3 + x3 2 x35) F(x) = x + 5 x + Δx + 5 − x + 5 0y´= Lím = Ind Δx → 0 Δx 0 ⎡ x + Δx + 5 − x + 5 ⎤ ⎡ x + Δx + 5 + x + 5 ⎤y´ = Lím ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δx → 0 ⎢ ⎣ Δx ⎥ ⎢ x + Δx + 5 + x + 5 ⎥ ⎦⎣ ⎦ (x + Δx + 5 ) − (x + 5 ) ⇒ y´= Lím x + Δx + 5 − x + 5y´ = Lím Δx → 0 [ Δx x + Δx + 5 + x + 5 Δx → 0 ] Δx x + Δx + 5 + x + 5 [ ] 1 1y´= Lím ⇒ y´ = Δx → 0 x + Δx + 5 + x + 5 2 x+5 5E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  6. 6. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS 1 1 − 1 3 (x + Δ x ) 3x 06)f (x) = ⇒ f´(x) = Lím = IND 3x Δx → 0 Δx 0 3x − 3 (x + Δ x ) 3 (x + Δ x ) 3x 3x − 3 (x + Δ x )f´(x) = Lím Δx → 0 Δx ⇒ f´(x) = Lím Δx → 0 Δx [ 3 (x + Δ x ) 3x ] 1 [ 3x − 3 (x + Δ x ) ⎡ 3x ] + 3 (x + Δ x ) ⎤f´(x) = Lím Δx → 0 Δx [ 3 (x + Δ x ) ⎢ 3x ⎢ 3x ⎣ ] + ⎥ 3 (x + Δ x ) ⎥ ⎦ 3x − 3x − 3 Δ xf´(x) = Lím Δx → 0 Δx [ 3 (x + Δ x ) (3x ) 3x 3 (x + Δ x ) ] − 3f´(x) = Lím Δx → 0 [ 3 (x + Δ x ) (3x ) 3x 3 (x + Δ x ) ] − 3 − 3 − 3f´(x) = Lím Δx → 0 3x (3x ) + 3x (3x ) ⇒ f´(x) = 2 [ 3x (3x ) ] ⇒ f´(x) = 2 27 x 3 2x − 37) f(x) = 3x + 4f´(x) = Lím ( 2x + 2Δx − 3) − ( 2x − 3) = 0 Ind Δx → 0 ( 3x + 3Δx + 4 ) ( 3x + 4) 0f´(x) = Lím ( 3x + 4 ) [ 2x + 2 Δ x − 3 ] − ( 3x + 3 Δ x + 4 ) ( 2x − 3) Δx → 0 ( 3x + 3 Δ x + 4 ) ( 3x + 4 ) 6x 2 + 6xΔx − 9x + 8x + 8 Δ x − 12 − 6x 2 + 9x − 6xΔx + 9 Δ x − 8x + 12f´(x) = Lím Δx → 0 ( 3x + 3 Δ x + 4 ) ( 3x + 4 )Ordenando: 6x 2 + 6xΔx − 9x + 8x + 8 Δ x − 12 − 6x 2 + 9x − 6xΔx + 9 Δ x − 8x + 12f´(x) = Lím Δx → 0 Δx ⎡ ( 3x + 3 Δ x + 4 ) ( 3x + 4 ) ⎤ ⎣ ⎦ 17 Δx 17f´(x) = Lím ⇒ f´(x) = Δx → 0 Δx ⎡ ( 3x + 3 Δ x + 4 ) ( 3x + 4 ) ⎤ ⎣ ⎦ ( 3x + 4 ) 2 6E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  7. 7. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS 1 ⎛ 1 1 ⎞ 08) F(x) = + x ⇒ F´(x) = Lím ⎜ + x + Δx − − x⎟ = ⎟ 0 x Δx → 0 ⎜ x + Δx x ⎝ ⎠ x + (x + Δx ) x − (x + Δx ) − x 2 (x + Δx ) 2F´(x) = Lím Δx → 0 (x + Δx )F´(x) = Lím ( ) x + x 2 + 2x Δx + Δx 2 x − x − Δx − x 3 − x 2 Δx Δx → 0 (x + Δx ) x x + x 3 2x 2 Δx + x Δ x 2 − x − Δx − x 3 − x 2 ΔxF´(x) = Lím Δx → 0 (x + Δx ) x Δx ⎡ x 2 + xΔ − 1⎤ x 2 Δx + x Δ x 2 − Δx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦F´(x) = Lím ⇒ F´(x) = Lím Δx → 0 Δx [x (x + Δx )] Δx → 0 Δx [x (x + Δx )] x2 − 1 1F´(x) = ⇒ F´(x) = 1 − 2 x2 x f(x + Δx) − f(x)9) f(x) = Sen x f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx Sen (x + Δx) − Sen x 0f ′(x) = Lím = ind Δx → 0 Δx 0f ′(x) = Lím (Sen x Cos Δx + Cos x Sen x )− Sen x Δx → 0 Δx Cos x Sen Δx + Sen x Cos Δx − Sen xf ′(x) = Lím Δx → 0 Δxf ′(x) = Lím (Cos x Sen Δx )+ Sen x [Cos Δx − 1 ] Δx → 0 Δx Cos x Sen Δx Sen x [Cos Δx −1 ]f ′(x) = Lím + Lím Δx → 0 Δx Δx → 0 Δxf ′(x) = Cos x Lím Sen Δx + Sen x Lím [Cos Δx −1] Δx → 0 Δx Δx → 0 ΔxPero conocemos : Lím Sen Δx =1 ; Lím [1 − Cos Δx ]= 0 Δx Δx → 0 Δx → 0 Δxf ′(x) = Cos x Lím Sen Δx − Sen x Lím [1 − Cos Δx ] Δx → 0 Δx Δx → 0 Δxf ′( x ) = Cos x 7E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  8. 8. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS10) f(x) = Cosx f(x + Δx) − f(x)f ′(x) = Lím Δx→0 Δx Cos(x +Δx) − Cosx 0f ′(x) = Lím = ind Δx→0 Δx 0 CosxCos(Δx) − SenxSen(Δx) − Cosx CosxCos(Δx) − Cosx −SenxSen(Δx)f ′(x) = Lím ⇒f′(x) = Lím Δx→0 Δx Δx→0 Δx Cosx [Cos(Δx) − 1] − Senx Sen(Δx) Cosx [ Cos(Δx) − 1] Senx Sen(Δx)f ′(x) = Lím ⇒f′(x) = Lím − Lím Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δxf ′(x) =CosxLím [Cos(Δx)− 1] − SenxLím Sen(Δx) Δx→0 Δx Δx→0 Δxf ′(x) =−CosxLím [1 − Cosx] − SenxLím Sen(Δx) Δx→0 Δx Δx→0 ΔxConociendo: Lím [1 − Cosx] = 0 ; Lím Sen(Δx) = 1⇒f′(x) = − Senx Δx→0 Δx Δx→0 ΔxNota : Lím Sen x = 0 Lím Cos x = 1 Δx → 0 Δx → 011) f(x) = tg x tg(x + Δ x) − tg (x) 0 f ′ (x) = Lím = ind Δx → 0 Δx 0 tg a + tg bU tilizando la identidad: tg(a + b) = 1 − tg a tg b tg x + tg Δ x − tg(x) 1 − tg x tg Δ xf ′ (x) = Lím Δx → 0 Δx 8E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  9. 9. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS (tgx + tg(Δx)) − tgx[1 − tgx tg(Δx)]f ′(x) = Lím (1 − tgx tg(Δx)) Δx→0 Δx tg(Δx) ⎡1 − tg x⎤ 2 2 ⎢ ⎥ / + tg(Δx) − / + tg x tg(Δx) tgx tgx ⎣ ⎦f ′(x) = Lím ⇒ f ′(x) = Lím Δx→0 Δx[1 − tgx tg(Δx)] Δx→0 Δx[1 − tgx tg(Δx)] tg(Δx) tg(Δx) 1f ′(x) = ⎡1 − tg x⎤ Lím ⇒ f ′(x) = ⎡1 − tg x⎤ Lím 2 2 ⎢ Lím ⎥ Δx→0 Δx Δx→0 1 − tgx tg(Δx) ⎢ ⎣ ⎥ Δx→0 Δx[1 − tgx tg(Δx)] ⎦ ⎣ ⎦ Sen(Δx) Cos(Δx) Sen(Δx)f ′(x) = ⎡1 − tg x⎤ Lím ⇒ f ′(x) = ⎡1 − tg x⎤ Lím 2 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ Δx→0 Δx ⎢ ⎣ ⎥ Δx→0 ΔxCos(Δx) ⎦ Sen(Δx) 1f ′(x) = ⎡1 − tg x⎤ Lím 2 ⎢ Lím ⎥ Δx→0 Δx Δx→0 CosΔx ⇒ f ′(x) = 1 − tg 2 x ⎣ ⎦Sec 2 x = 1 − tg 2 x ⇒ f ′(x) = Sec 2 x f(x + Δx) − f(x)12) f(x) = e x f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx e − ex x + Δx 0 e e −e x Δx xf ′(x) = Lím = ind ⇒ f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx 0 Δx → 0 Δx e Δx −1 a Δx −1f ′(x) = e x Lím Pero : Lím = 1 ⇒ f ′(x) = e x Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx 9E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  10. 10. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS Log a (x + Δx) − Log a x 013) f ( x) = Loga x ⇒ f ′(x) = Lím = ind Δx →0 Δx 0 1 ⎡ ⎡ (x + Δx) ⎤ ⎤f ′(x) = Lím ⎢Log a ⎢ ⎥⎥ Δx →0 Δx ⎣ ⎣ x ⎦⎦ 1 ⎡ Δx ⎤f ′(x) = Lím Loga ⎢1 + x>0 Δx →0 Δx ⎣ x ⎥⎦ 1f ′(x) = Loga Lím ⎡1 + ⎤ Δx Δx Δx Cambio t = → Δx = tx Δx = 0 → t=0 Δx →0 ⎣ x ⎦ x ((1 + t ) ) 1f ′(x) = Loga Lím [1 + t ] 1 1 x tx → f ′(x) = Loga Lím t t →0 t →0 1 1 1f ′(x) = Loga Lím (1 + t ) t ⇒ f ′(x) = Loga Lím (1 + t ) t 1 t →0 x x t →0 1 1 Pero Lím (1 + t ) t = e ⇒ f ′(x) = Loga e t →0 x14) y = Ln ax f(x) = Ln ax ⎡ a(x + Δx) ⎤ Ln ⎢ ⎥ Ln a(x + Δx) − Ln ax ⎣ ax ⎦f ′(x) = Lím ⇒ f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx ⎡ (x + Δx) ⎤ ⎡ Δx ⎤ Ln ⎢ ⎥ Ln ⎢1 + ⎣ x ⎦ ⇒ f ′( x) = Lím ⎣ x ⎥⎦f ′(x) = Lím Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx ( ) ⎡ 1 ⎤ 1 ⎡ Δx ⎤ ⎢ Ln 1 + Δx Δx ⎥ f ′( x ) = Lím Ln (1 + ) ⎥ ⇒ f ′( x ) = Lím Δx → 0 Δx ⎢ Δx → 0 ⎢ ⎥ ⎣ x ⎦ x ⎣ ⎦ Δx Cambio t = ⇒ Δx = tx ⇒ Δx → 0 t → 0 x 1 1 1 1 1 ( ) ( f ′(x) = Lím Ln 1 + t tx ⇒ f ′(x) = Lím Ln 1 + t t ⇒ f ′(x) = Ln Lím t →0 t →0 x ) x t →0 (1 + t ) t 1 1 1 t →0 ( )Pero Lím 1 + t t = e ⇒ f ′( x) = Ln e x → f ′( x) = x 10E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  11. 11. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS Ejercicios de aplicación de la definición de la Derivada. 1.- Determinar una ecuación de la recta tangente a la curva y = 2 x 2 + 3 enel punto (-1,5). mtg = Lím f ( x + Δx ) − f(x) ,en ese punto m(x ) = Lím 1 ( f x + Δx − f(x ) 1 ) Δx→0 Δx 1 Δx→0 Δx m(x ) = Lím ( 2 x + Δx 1 ) 2 ( + 3 − 2x 2 + 3 1 ) ⇒ m(x ) = Lím 1 2x 2 + 4x Δx + 2Δx2 + 3 − 2x 2 − 3 1 / 1 / 1 Δx→0 Δx 1 Δx→0 Δx 4x Δx + 2Δx2 Δx ⎡ 4x + 2Δx⎤ m(x ) = Lím 1 ⇒ m(x ) = Lím ⎣ 1 ⎦ ⇒ m(x ) = 4x 1 Δx→0 Δx 1 Δx→0 Δx 1 1 sust. el valor de x en la m(x ) ⇒ m(x ) = 4x ⇒ m( − 1) = 4( − 1) ⇒ m = − 4 1 1 1 1 utilizando la ecuación punto − pendiente de la recta y − y = m(x − x ) → y − 5 = − 4(x + 1) ⇒ Recta tg :4x + y − 1 = 0 1 1 2x 2.- Dada la función y = calcular la ecuación de al recta tangente x −1y la ecuación de la recta normal a la curva en el punto (-1,1). 2( x + Δx ) 2x − x + Δx −1 x− 1 0m( x )=Lím = ind 1 Δx → 0 Δx 0 2( x + Δ x ) 2x 2( x + Δ x ) 2x 2( x + Δ x ) 2 x − + − x + Δx −1 x− 1 x + Δx −1 x− 1 x + Δ x −1 x − 1m( x )=Lím ⇒ m( x )=Lím 1 Δx → 0 Δx 2( x + Δ x ) 2x 1 Δx → 0 ⎡ 2( x + Δ x ) 2x ⎤ + Δx ⎢ + ⎥ x + Δx −1 x− 1 ⎣ x + Δ x −1 x− 1 ⎦ 11E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  12. 12. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS 2(x + Δx)(x −1) − 2x(x + Δx −1) 2x2 − 2x + 2xΔx − 2ΔΔ− 2x2 −2xΔx + 2xm(x1) = Lím (x + Δx −1)(x −1) ⇒ m(x1 ) = Lím (x + Δx −1)(x −1) Δx →0 ⎡ 2(x + Δx) 2x ⎤ Δx →0 ⎡ 2(x + Δx) 2x ⎤ Δx⎢ + ⎥ Δx⎢ + ⎥ ⎢ x + Δx −1 ⎣ x− 1⎦ ⎥ ⎢ x + Δx −1 ⎣ x− 1⎥ ⎦ − 2ΔΔ (x + Δx −1)(x −1) // − 2Δxm(x ) = Lím ⇒ m(x ) = Lím 1 Δx →0 ⎡ 2(x + Δx) 2x ⎤ 1 Δx →0 ⎡ 2(x + Δx) 2x ⎤ Δx⎢ + ⎥ / Δx(x + Δx −1)(x −1)⎢ + ⎥ ⎢ x + Δx −1 ⎣ x− 1⎥ ⎦ ⎢ x + Δx −1 ⎣ x− 1⎥ ⎦ −2m(x ) = Lím 1 Δx →0 ⎡ 2(x + Δx) 2x ⎤ (x + Δx −1)(x −1)⎢ + ⎥ ⎢ x + Δx −1 ⎣ x− 1⎥ ⎦ −2 −2m(x ) = Lím ⇒ m(x ) = Lím 1 Δx →0 2 ⎡ 2x 2x ⎤ 1 Δx →0 2x 2 ( x−1) ⎢ x − 1 + x − 1 ⎥ 2 x− 1 ( x−1) ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ −1 −1 −1 −1 −1m(x ) = ⇒ m(x ) = ⇒m(−1) = m(−1) = → m(−1) = 1 4 1 3 − 2(−8) 16 4 2x( x−1) (2x) ( x −1) x− 1Para la recta tangente : y −y1 = m(x − x1 ) Punto (−1,1) 1 −1y −1 = − (x +1) ⇒ 4y − y = − x −1 ⇒ x + 4y − 3 = 0 Nota : mn = 4 mtg −1 −1Para R.N : y − y1 = (x − x1 ) ⇒ y −1 = (x +1) ⇒ y −1 = 4(x +1) ⇒4x − y + 5 = 0 (R.N.) mt ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠3.- Calcule la “pendiente media” de al curva y = 2x en el intervalo (1, 5)y =2x Punto [1, 5 ] f(x + Δx) − f(x) f(x + Δx) − f(x)m = → m = n Δx n x −x 2 1 x +Δx 1+ 4 2 −2 x 2 + 21 25 +2 15m = ⇒ m = ⇒ m = ⇒ m = n x −x n 4 n 4 n 2 2 1 12E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  13. 13. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS 14.- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y = en el punto 5x − 2 1(1 , ) 3 1 1 − f ( x + Δx ) − f ( x ) 5( x + Δx ) − 2 5 x − 2 0m = Lím ⇒ m( x ) = Lím = ind tg Δx →0 Δx 1 Δx → 0 Δx 0 (5x − 2)− [5(x + Δx )− 2] 5x − 2 − 5x − 5Δx + 2m(x 1 ) = Lím [5(x + Δx )− 2 ](5x − 2) ⇒ m(x ) = Lím [5(x + Δx )− 2 ](5x − 2) Δx → 0 Δx 1 Δx →0 Δx − 5Δx −5 −5 −5m(x ) = Lím ⇒ m(x ) = Lím ⇒ m(1) = ⇒m = 1 Δx →0 Δx[5(x + Δx )− 2 ](5x − 2 ) 1 Δx →0 (5x − 2)(5x − 2) 9 9 1 −5Ahora la R.tag : y − y = m = ( x − x ) → y − = ( x −1) 1 tg 1 3 99 (3y −1) = − 15( x −1) → 27 y − 9 = − 15 x +15 ⇒ 15 x + 27 y − 24 = 0 ⇒ 5 x + 9 y − 8 = 0 5.- Determine una ecuación para cada una de las rectas normales a lacurva y = x 3 − 4 x que sean paralelas a la recta x + 8 y − 8 = 0 ( x + Δx)3 − 4(x + Δx) − x3 + 4x 0Calculamos mtg ⇒ m(x ) = Lím = ind 1 Δx→0 Δx 0 x3 + 3x2Δx + 3x Δx2 + Δx3 − 4x − 4Δx − x3 + 4xm(x1) = Lím Δx→0 Δx Δx ⎡3x2 + 3xΔx + Δx2 − 4⎤ / 3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3 − 4Δx ⎢ ⎥m(x ) = Lím ⇒ m(x ) = Lím ⎣ ⎦ 1 Δx→0 Δx 1 Δx→0 // Δxm(x ) = Lím3x2 + 3xΔx + Δx2 − 4 ⇒ m(x ) = 3x2 − 4 1 Δx→0 1 −1 −1m = ⇒m = ( mRN) n m(x) n 2 −4 3x 13E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  14. 14. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJASComo las rectas buscadas son paralelas a la recta dadaigualamos las pendientes −x + 8 −1x + 8y − 8 = 0 ⇒ y= ⇒m = 8 8−1 −1 = ⇒ − 3x 2 + 4 = − 8 ⇒ − 3x 2 + 12 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = + 28 3x 2 − 4 −sustituir en la ec. de la curva para calcular los valores de y:y = x 3 − 4x → x=2 ⇒ Punto (2,0); x = − 2 ⇒ Punto ( − 2,0) −1 −1Para L1 : Punto (2,0); m = ⇒ y − 0 = ( x − 2) ⇒ x + 8y − 2 = 0 8 8 −1 −1Para L2 : Punto (−2,0); m = ⇒ y − 0 = ( x + 2) ⇒ x + 8y + 2 = 0 8 8 6.- Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a lacurva 3 y = x 3 − 3 x 2 + 6 x + 4 que sean paralelas a la recta 12 x − 7 y + 2 = 0 ⎡( x + Δx)3 4⎤ x3 2 4 − ( x + Δx) + 2( x + Δx) + ⎥ − + x − 2x − 2 ⎢ x3 4 ⎢ 3 3⎥ 3 3 0f(x) = − x2 + 2x + ⇒f′(x) = Lím⎣ ⎦ = Ind 3 3 Δx→0 Δx 0 (x3 + 3x2 Δx + 3xΔx2 + Δx3) x3 − ( x2 + 2xΔx + Δx2 ) + 2x + 2Δx − + x2 − 2xf′(x) = Lím 3 3 Δx→0 Δx x3 2 Δx3 2 x3 + x Δx + xΔx2 + −x − 2xΔx − Δx2 + 2x + 2Δx − + x2 − 2xf′(x) = Lím 3 3 3 Δx→0 Δx 14E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  15. 15. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS Δx ⎡x2 + xΔx − 2x − Δx + 2 ⎤ // x2 Δx + xΔx2 − 2xΔx − Δx2 + 2Δx ⎢ ⎥f ′(x) = Lím ⇒ m(x ) = Lím ⎣ ⎦ Δx→0 Δx 1 Δx→0 Δx /m(x1) = x2 − 2x + 2 mtg a la curva sus pendientes son iguales (paralelas) mtg = m (recta dada) 1212x − 7y + 2 = 0 ⇒−7y = −12x − 2 → mRD = 712 = x2 − 2x + 2 → 12 = 7x2 −14x + 14 ⇒ 7x2 −14x + 2 = 0 7 ( −14) ± ( −14)2 − 4 ( 7)( 2) 14 ±12x=− ⇒ x= 2 ( 7) 14 14 +12 26 14 −12 2 1x = → x = → x = 2; x = → x = → x = 1 14 1 14 1 2 14 2 14 2 7Sust los valores de x en la curva para x = 2 23 4 8 4 8 4y= − ( 2)2 + ( 2)2 + → y = − 4 + 4 + ⇒y = + → y=4 Punto (2,4) 3 3 3 3 3 3 3 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 2 3 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ 4 1 2 4Para x = ⇒ y = ⎝ ⎠ − ⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ + 7 → y= 7 − + + 7 3 ⎝7⎠ ⎝7⎠ 3 3 72 7 3 1 1 2 4 1 − 21 + 1666 1646y= − + + → y= → y= ⇒ y = 1,59 ≅ y = 1,6 3( 7)3 49 7 3 1029 1029Las ecuaciones son: 1 tg ( 1 )y − y = m x − x ⇒ Para L : 1 m= 12 7 Punto (2,4) ⇒ y − 4 = 12 7 ( x − 2) ⇒12x − 7y + 4 = 0 12 ⎛1 ⎞Para L : m= Punto ⎜ , 1.6⎟ 2 7 ⎝7 ⎠ 12 ⎛ 1⎞y − 1.6 = ⎜x − ⎟ → 7 y −11.2 = 12x − 0.14⇒ 12x − 7 y +11.06 = 0 7⎝ 7⎠ 15E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  16. 16. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS7.- Hallar el ángulo determinado por la tangente a la curva y = x 3 en el punto 3x = 3 2 (x + Δx) 3 − x 3 0 x 3 + 3x Δx + 3x Δx 2 + Δx 3 − x 3m(x ) = Lím = ind ⇒ m(x ) = Lím 1 Δx → 0 Δx 0 1 Δx → 0 Δx Δx ⎢⎡3x 2 + 3x Δx + Δx 2 ⎤ 2 / 3x Δx + 3x Δx 2 + Δx 3 ⎣ ⎥ ⎦m(x ) = Lím ⇒ m(x ) = Lím 1 Δx → 0 Δx 1 Δx → 0 Δx/ 2 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞m(x ) = 3x sus t ⇒ m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ = 3⎜ 3 ⎟ ⇒ m ⎜ 3 ⎟ = 1 ⇒ m sec = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45 ° 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8.- Determinar los parámetros “a”, “b” y “c” en la ecuación de la parábolay = ax 2 + bx + c de tal manera que la recta y = x sea tangente a ella en x = 1 ydicha curva pase por el punto (-1, 0). a(x + Δx) 2 + b (x + Δx) + c − ⎡ ax 2 + bx + c ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ 0 ⎦ = indm(x ) = Lím 1 Δx → 0 Δx 0 ax 2 + 2ax Δx + a Δ x 2 + bx + b ΔΔ + c − ax 2 − bx − cm(x ) = Lím 1 Δx → 0 Δx 2ax Δx + a Δ x 2 + b ΔΔ Δx [2ax + a Δ x + b ]m(x ) = Lím ⇒ m(x ) = Lím 1 Δx → 0 Δx 1 Δx → 0 Δxm(x ) = 2ax + b m tg 1R tg y = x es tg a la parábola en x = 1 ⇒ p tg (1,1)Sust : m(1) = 2a + b de la ec. de la recta y=x ⇒ m =11 = 2a + b → 2a + b = 1 Ec (1)Sust el p tg en la parábola ⇒ y = ax 2 + bx + c ⇒ a + b + c = 1 Ec( 2)la parábola pasa por ( − 1, 0) ⇒ y = ax 2 + bx + c → a − b + c = 0 Ec( 3)Tenemos tres ecuaciones :1) 2a + b = 1 2) a + b + c = 1 3) a − b + c = 0 1a + c + b =1 ⇒ b + b =1 ⇒ b = 2 1 12a + 1 → a= 2 4 1a+ c =b → c =b − a → c = 4 16E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  17. 17. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS El proceso de calcular la derivada de una función en forma directa apartir de su definición, puede consumir mucho tiempo y ser tedioso. Esta seccióncontiene reglas que simplifican la tarea de encontrar derivadas de las funcionesmás complicadas en forma casi instantánea. Notaciones para la derivada. Cuando y = f (x ) se utilizan las siguientes notaciones para las derivadas.f ´(x) = Dx [ f ( x)] = d x y = y´= dy / dx = d / dx[ f ( x)] Todas las notaciones anteriores se utilizan en las matemáticas y susaplicaciones, es recomendable que el lector se familiarice con ellas. El subíndice x en el símbolo Dx y se utiliza para designar a la variableindependiente, y Dx para derivar la función. Teoremas para Determinar Derivadas. Sea f (u ) el símbolo para denotar derivadas, podemos enunciar lossiguientes teoremas. (No se demostrará ninguno de los teoremas, ya que no esobjetivo de este trabajo). A.- Teoremas Fundamentales de funciones Algebraicas.Teorema 1: Derivada de una constante. f (u ) = a ⇒ f (u ) = 0Teorema 2: Derivada de una variable. f (u ) = u ⇒ f (u ) = 1Teorema 3: Derivada de la potencia de una Variable. f (u ) = u n ⇒ f (u ) = nu n − 1Teorema 4: Derivada para la suma algebraica de funciones.f (u ) = F (u ) ± G (u ) ⇒ f (u ) = F (u ) ± G (u )Teorema 5: Derivada del producto de dos funcionesf (u ) = F (u ) G (u ) ⇒ f (u ) = F (u ) G (u ) + F (u ) G (u )Teorema 6: Derivada de un cociente de funciones. F (u ) F (u ) G (u ) − F (u ) G (u ) f (u ) = ⇒ f (u ) = , G (u) ≠ 0. G (u ) G (u ) 2Teorema 7: Derivada de una función Compuesta. Sea y = f (u ) y u = g ( x )que determinan una función compuesta y = f ( g ( x )). Si g es diferenciable en x yƒ es diferenciable en u = g (x ) , entonces: Dx y = Dx y Dx u 17E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  18. 18. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJASUna de las aplicaciones principales del teorema anterior es para desarrollar otrasfórmulas de derivación, por ejemplo:Regla de la potencia para funciones.f (u ) = [ F (u )]n ⇒ f (u ) = n[ F (u )]F (u ) B.- Teoremas de funciones trascendentales. a.- Teoremas de las funciones Exponenciales y Logarítmicas.Teorema 8: Derivada de la función logaritmo natural. F(u) > 0 F (u ) f (u ) = Ln[ F (u )] ⇒ f (u ) = F (u )Teorema 9: Derivada de la función logaritmo de base a de u. F (u ) f (u ) = Log [ F (u )] ⇒ f (u ) = , para u =F(u) ≠ 0, ( a > 0 , a ≠ 1) a F (u ) Ln ( a )Teorema 10: Derivada para las funciones logaritmo y exponencial generales. F (u ) F (u ) f (u ) = a ⇒ f (u ) = a Ln(a) F (u ) (a>0)Teorema 11: Regla para la función exponencial natural. F (u ) F (u ) f (u ) = e ⇒ f (u ) = e F (u ) b.- Teoremas Trigonométricos para la Derivación. A continuación se presentan las derivadas de las seis funcionestrigonométricas. En el enunciado de los teoremas se supone que u = g (x ), dondeg es una función derivable y x se restringe a los valores para los que la funcióntrigonométrica está definida.Teorema 12: Derivada de la función seno. f (u ) = Sen[F (u )] → f ´(u ) = (cos u ) F´(u )Teorema 13: Derivada de la función coseno. f (u ) = Cos[F (u )] → f ´(u ) = ( Sen u ) F´(u )Teorema 14: Derivada de la función tangente. f (u ) = Tag [F (u )] → f ´(u ) = ( Sec 2 u ) F ´(u ) 18E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  19. 19. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJASTeorema 15: Derivada de la función cosecante. f (u ) = Csc[F (u )] → f ´(u ) = −(Csc u )(Ctg u ) F´(u )Teorema 16: Derivada de la función secante. f (u ) = Sec[F (u )] → f ´(u ) = ( Sec u ) (tg u ) F´(u )Teorema 17: Derivada de la función cotangente. f (u ) = Ctg [F (u )] → f ´(u ) = (Csc 2u ) F´(u ) c.- Teoremas Trigonométricos Inversos sobre la Derivación. En los teoremas siguientes se supone que u = g(x), donde g es unafunción derivable y x se restringe a los valores para los que las expresionesindicadas tienen sentido.Teorema 18: Derivada para la función arco seno. F´(u ) f (u ) = Arc Sen[F (u )] → f ´(u ) = 1 − [F (u )] 2Teorema 19: Derivada para la función arco coseno. − F´(u ) f (u ) = Arc Cos[F (u )] → f ´(u ) = 1 − [F (u )] 2Teorema 20: Derivada para la función arco tangente. F´( u ) f (u ) = Arc Tg [F (u ) ] → f´( u ) = 1 + [F (u ) ] 2Teorema 21: Regla para la función arco cotangente. − F ´(u ) f (u ) = Arc Ctg [F (u )] → f ´(u ) = 1 + [F (u )] 2Teorema 22: Derivada para la función arco secante. F´(u ) f (u ) = Arc Sec[F (u )] → f ´(u ) = F (u ) [F (u )] −1 2Teorema 23: Derivada para la función arco cosecante. − F´(u ) f (u ) = Arc Csc[F (u )] → f ´(u ) = F (u ) [F (u )] −1 2 19E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  20. 20. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS Derivar y Simplificar a) Funciones Algebraicas 1 4 11− . y = + = x − 2 + 4 x − 1/2 2x 2 x 2dy ⎛ 1⎞ ⎛ 1 2 ⎞ = − x − 3 + 4 ⎜ − ⎟ x −3/2 = − ⎜ + ⎟dx ⎝ 2⎠ ⎜ x3 ⎟ ⎝ x3 ⎠ ( ) ( )( ) ( )( ) 4 3 32 − . f ( x ) = 3x − x 3 + 1 ; f´ ( x ) = 4 3x − x 3 + 1 3 − 3 x 2 = 12 3x − x 3 + 1 1 − x2 ( ) 1 −1/2 2−x3−. y = 3 + 4x − x 2 ; y´ = 3 + 4x − x 2 ( 4 − 2x ) ⇒ f ´( x ) = 2 3 + 4x − x 2 3 r + 2 d θ (2r + 3)3 − (3r + 2)2 6r + 9 − 6r − 4 54 −. θ = ; = 2 → ⇒ θ ´( r ) = 2 2r + 3 dr (2r + 3) ( 2 r + 3) ( 2 r + 3 )2 5 ⎛ x ⎞5−. y = ⎜ ;y= x5 ; y´ = (1 + x )5 . 5 x 4 − x 5 (1 + x )4 . 5 ⎟ ⎝1 + x ⎠ (1 + x )5 (1 + x )10y´ = (1 + x )4 . 5 x 4 (1 + x − x) = 5 x4 (1 + x )10 (1 + x )66 − . y = ( x − 1) x 2 − 2 x + 2 ; y´ = x2 − 2 x + 2 + (x − 1) ( 2x − 2 ) 2 x 2 − 2x + 2y´ = x2 − 2 x + 2 + (x − 1) 2 = ( x 2 − 2 x + 2 ) + ( x − 1)2 = 2 x 2 − 4x + 3 x2 − 2 x + 2 x 2 − 2x + 2 x 2 − 2x + 2 ( ) − 1/2 1 − 4 w 2 − w (1/2 ) 1 − 4 w 2 ( −8 w ) w dz7 −. z = ; = = 1 − 4 w2 dw 1 − 4 w2 4 w2 1 − 4 w2 + = 1 − 4 w2 = (1 − 4 w 2 ) + 4 w 2 = 1 1 − 4 w2 1 − 4 w 2 (1 − 4 w 2 ) (1 − 4 w 2 ) 3 x +1 x −1 (x + 1) − ( x − 1) − x −1 2 x −1 2 x +1 2 (x − 1)( x + 1)8 − . f (x) = ; f ´(x) = = x +1 x +1 x +1 x +1− x +1 1 f ´(x) = = 2 ( x + 1) x 2 − 1 ( x + 1) x 2 − 1 20E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  21. 21. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS9 − . y = ( x2 + 3) ( 2x − 5) ; y´ = 4( x + 3) 2x ( 2x − 5) + 3( 6 x) ( 2x − 5) ( x2 + 3) 4 3 3 2 3 3 3 2 3 2 4y´= 2x ( 2x − 5) ( x + 3) ⎡4 ( 2x − 5) + 9( x + 3)⎤ 3 2 2 3 3 2 ⎣ ⎦y ´ = 2x ( 2x − 5) ( x + 3) (17x + 27x − 20) 3 2 2 3 310. − f(x) = x(x −1)2 (x − 2)3f´(x) = (x −1)2 (x − 2)3 + 2x(x −1)(x − 2)3 + 3x(x −1)2 (x − 2)2f´(x) = (x −1)(x − 2)2 [ (x −1)(x − 2) + 2x(x − 2) + 3x(x −1)]f´(x) = (x −1)(x − 2)2 ⎡6x2 −10x + 2⎤ ⇒ f´(x) = 2(x −1)(x − 2)2 ⎡3x2 − 5x +1⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x3 3x2 (x2 + 3) − x2 (2x) x2 (x2 + 9)11. − f(x) = ⇒ f´(x) = ⇒ f´(x) = 2 x2 + 3 (x2 + 3)2 (x + 3)2 4x 4(x2 + 4) − 4x(2x) 4(4 − x2 )12. − f(x) = ⇒ f´(x) = ⇒ f(x) = 2 x2 + 4 (x2 + 4)2 x +413. − f(x) = x 4 − x2 xf´(x) = 4 − x2 + (4 − x2 )−1 2 ( − 2x) ⇒ f´x) = (4 − x2 )−1 2 ⎡4 − x2 − x2 ⎤ ⇒ f´x) = 2(4 − x2 )−1 2 ⎡2 − x2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 ⎡2 − x2 ⎤f´x) = ⎣ ⎦ 4−x 214. − f(x) = 10x3 (x −1)2f´(x) = 30x2 (x −1)2 + 20x3 (x −1) ⇒ f´(x) = 10x3 (x −1)(5x − 3)15. − f(x) = (x − 2)3 (x +1)4f´(x) = 3(x − 2)2 (x +1)4 + 4(x − 2)3 (x +1)3 ⇒ f´(x) = (x − 2)2 (x +1)3 [3(x +1) + 4(x − 2)]f´(x) = (x − 2)2 (x +1)3 [3x + 3 + 4x − 8)] ⇒ f´(x) = (x − 2)2 (x +1)3 [ 7x − 5] 2x216. − f(x) = 9 − x2 4x(9 − x2 ) − 2x2 ( − 2x) 4x(9 − x2 + x2 ) 36xf´(x) = ⇒ f´(x) = ⇒ f´(x) = (9 − x ) 2 2 (9 − x ) 2 2 (9 − x2 )2 36x17. − f(x) = (9 − x2 )2 36(9 − x2 )2 − 36x ⎡−4x(9 − x2 )⎤ ⎣ ⎦ 36(9 − x2 ) ⎡9 − x2 + 4x2 ⎤ ⎣ ⎦ 108 ⎡3 + x2 ⎤ ⎣ ⎦f´(x) = ⇒ f´(x) = ⇒ f´(x) = (9 − x2 )4 (9 − x2 )4 (9 − x2 )3 21E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  22. 22. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS x 2 − 2x + 218. − f(x) = x −1 (2x − 2)(x − 1) − (x 2 − 2x + 2) (2x − 2)(x − 1) − (x 2 − 2x + 2) x(x − 2)f´(x) = ⇒ f´(x) = ⇒ f´(x) = (x − 1) 2 (x − 1) 2 (x − 1)2 x 2 − 2x19. − f(x) = (x − 1)2 (2x − 2)(x − 1)2 − 2(x 2 − 2x)(x − 1)3 2(x − 1)3 − 2(x 2 − 2x)(x − 1)f´(x) = ⇒ f´(x) = (x − 1)4 (x − 1)4 2(x − 1) ⎡(x − 1)2 − (x 2 − 2x) ⎤ ⎣ ⎦ 2f´(x) = ⇒ f´(x) = (x − 1)4 (x − 1)3 x 2 − 2x20. − f(x) = (x − 1)2 (2x − 2)(x − 1)2 − 2(x 2 − 2x)(x − 1)3 2(x − 1)3 − 2(x 2 − 2x)(x − 1)f´(x) = ⇒ f´(x) = (x − 1) 4 (x − 1)4 2(x − 1) ⎡(x − 1)2 − (x 2 − 2x) ⎤ ⎣ ⎦ 2f´(x) = ⇒ f´(x) = (x − 1) 4 (x − 1)3 2 + x − x221. − f(x) = (x − 1)2 (1 − 2x)(x − 1)2 − 2(2 + x − x 2 )(x − 1) (x − 1) ⎡(1 − 2x)(x − 1) − 2(2 + x − x 2 ) ⎤ ⎣ ⎦f´(x) = ⇒ f´(x) = (x − 1)4 (x − 1)4 ⎡(1 − 2x)(x − 1) − 2(2 + x − x 2 ) ⎤ ⎦ ⇒ f´(x) = x − 5f´(x) = ⎣ (x − 1)3 (x − 1)3 (x − 1)2 (x + 2)22. − f(x) x3 (3x 2 − 3)x 3 − (x 3 − 3x + 2)3x 2 3x 2 ⎡(x 2 − 1)x − (x 3 − 3x + 2⎤ ⎣ ⎦f´(x) = ⇒ f´(x) = x6 x6 ⎡ ⎤ 3 ⎣ x 3 − x − x 3 + 3x − 2⎦ 6 [ x − 1]f´(x) = 4 ⇒ f´(x) = x x4 (x − 1) 223. − f(x) = x +1 2(x − 1)(x + 1) − (x − 1)2 (x − 1) [ 2(x + 1) − (x − 1)] (x − 1) [ x + 3]f´(x) = ⇒ f´(x) = ⇒ f´(x) = (x + 1) 2 (x + 1) 2 (x + 1)2 (x − 1)(x + 3) 2(x + 1)(x + 1)2 − 2(x 2 + 2x − 3)(x + 1)24. − f(x) = ⇒ f´(x) = ⇒ (x + 1) 2 (x + 1)4 2(x + 1) ⎡ x 2 + 2x + 1 − x 2 − 2x + 3⎤ ⎣ ⎦ 2 [ 4]f´(x) = ⇒ f´(x) = (x + 1) 4 (x + 1)3 22E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  23. 23. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS −1/2 ⎡ 1 − x ) − (1 + x )( −1) ⎤25. − F(x) = 1+ x 1 ⎛1 + x ⎞ ⇒ f´(x) = ⎜ ⎟ ⎢( ⎥ 1 −x 2 ⎝1 − x ⎠ ⎢ 2 ⎥ ⎣ (1 − x ) ⎦ −1/2 ⎡ ⎤ −1/2 ⎡ ⎤ 1 ⎛1 + x ⎞ ⎛ ⎞ ⎢1 − x + 1 + x ⎥ ⇒ f´(x) = 1 ⎜ 1 + x ⎟ ⎢ / 2 ⎥f´(x) = ⎜ ⎟ 2 ⎝1 − x ⎠ ⎢ (1 − x )2 ⎥ / 2 ⎝1 − x ⎠ ⎢ (1 − x )2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1/2 1 ⎛1 + x ⎞ 1 1 1f´(x) = ⎜ ⎟ ⇒ f´(x) = ⇒ f´(x) = / 2 ⎝1 − x ⎠ (1 − x )2 1+ x / (1 − x )4 (1 + x ) (1 − x )3 1− x x (x 2 + 3) 2 − (x 2 + 3) − 2 2x 1 1 x 226. − f(x) = ⇒ f´(x) = x2 − 3 (x 2 + 3) (x 2 + 3) − 2 ⎡ x 2 + 3 − x 2 ⎤ 1 ⎣ ⎦ ⇒ f´(x) = 3f´(x) = (x + 3) 2 (x + 3)3 2 2x 2 4x(x 2 − x − 2) − 2x 2 (2x − 1) −2x(x + 4)27. − f(x) = ⇒ f´(x) = ⇒ f´(x) = 2 x2 − x − 2 (x 2 − x − 2) 2 (x − x − 2) 2 x 2 − 3x + 2 (2x − 3)(x 2 + 2x + 1) − (x 2 − 3x + 2)(2x + 2)28. − f(x) = ⇒ f´(x) = x + 2x + 1 2 (x 2 + 2x + 1)2 2x 3 + 4x 2 + 2x − 3x 2 − 6x − 3 − 2x 3 + 6x 2 − 4x − 2x 2 + 6x − 4f´(x) = (x 2 + 2x + 1) 2 4x 2 + 2x − 3x 2 − 3 + 6x 2 − 4x − 2x 2 − 4 5x 2 − 2x − 7f´(x) = ⇒ f´(x) = 2 (x 2 + 2x + 1) 2 (x + 2x + 1) 2 x2 +129. − f(x) = x2 −1 2x 2 2x(x 2 − 1) 2 − (x 2 + 1)(x − 1) − 2 1 1 x(x 2 − 1)− 2 ⎡ 2(x 2 − 1) − (x 2 + 1) ⎤ 1f´(x) = 2 ⇒ f´(x) = ⎣ ⎦ x −1 2 x −1 2 x ⎡ 2x − 2 − x − 1⎤ 2 2 ⎦ ⇒ f´(x) = x(x − 3) 2f´(x) = ⎣ (x − 1) 2 3 (x 2 − 1)330. − F(x) = (1 − 2x ) ( 3x + 2 ) ⇒ F(x) = 3x + 2 − 6x 2 − 4x ⇒ F(x) = ( −6x 2 − x + 2 ) ( 5x − 4 ) ( 5x − 4 ) ( 5x − 4 )F´(x) = ( −12x − 1)( 5x − 4 ) − ( −6x2 − x + 2) (5) ( 5x − 4 )2 6 ⎡ −5x 2 + 8x −1⎤ −60x 2 + 48x − 5x + 4 + 30x 2 + 5x −10 −30x 2 + 48x − 6 ⎢ ⎥F´(x) = ⇒ F´(x) = ⇒ F´(x) = ⎣ ⎦ 2 2 2 5x − 4( ) 5x − 4 ( ) 5x − 4 ( ) 23E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
  24. 24. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS 1 + x231. − y = 3 1 − x2 −2/3 ⎡ 2x (1 − x2 ) − (1 + x2 ) ( −2x ) ⎤ 2 −2/3 ⎡ ⎤ 1 ⎡1 + x2 ⎤ ⎢ ⎥ ⇒ y´ = 1 ⎡1 + x ⎤ ⎢ 4x ⎥y´ = ⎢ 3 ⎣ 1 − x2 ⎥ ⎦ ⎢ (1 − x2 ) 2 ⎥ 3 ⎢ 1 − x2 ⎥ ⎢ (1− x2 )2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ 4x 4xy´ = ⇒ y´ = 2 2 ⎛ 1 + x2 ⎞ ⎛ 1 + x2 ⎞ 3 (1− x ) 3 ⎜ 2 ⎟ (1− x2 ) 2 2 6 ⎜ 2 ⎟ 3 ⎝1 − x ⎠ ⎝1 − x ⎠ 4x 4xy´ = ⇒ y´ = (1 + x ) 1 − x 2 2 3 3 (1 + x2 ) (1 − x2 ) 2 4 3 3 ( ) 2 6 (1 − x ) 2 2 2x32. − y = x +1 1/2 −1/2 ⎡ 2 ( x + 1) − 2x (1) ⎤ 2x ⎛ 2x ⎞ 1 ⎛ 2x ⎞y= ⇒ y=⎜ ⎟ → y´ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ x +1 ⎝ x + 1⎠ 2 ⎝ x + 1⎠ ⎢ ⎣ ( x + 1)2 ⎥ ⎦ ⎡ ⎤y´ = ⎢ 2x + 2 − 2x ⎥ ⇒ y´ = 1 1 1 → y´ = 1 1/2 ⎢ x + 1 2 ⎥ 2 ⎛ 2x ⎞ ⎣ ( ) ⎦ 2x ( x +1) 2x ( x + 1)3 2⎜ ⎟ x +1 ⎝ x + 1⎠ 2x2 − 1 2x2 − 1 2x2 − 133. − y = ⇒y = ⇒ y= x 1 + x2 ( ) ( x2 1 + x2 ) x2 + x4 1/2 4x ( x2 + x4 ) − ( 2x2 − 1) 1 ( x2 + x4 ) ( 2x + 4x3 ) 1/2 −1/2 2y´ = (x ) 2 + x4 ( x2 + x4 ) ⎡⎢⎣4x ( x2 + x4 ) − ( 2x2 − 1)( x + 2x3)⎤⎥⎦ ⇒ y = 4x + 4x − 2x − 4x + x + 2x −1/2 3 5 3 5 3y = ( x2 + x 4 ) ( x 2 + x4 ) 3 4x3 + x x ( 4x2 −1)y = → y = (x + x4 ) (x + x4 ) 2 3 2 3 24E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com

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