UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS

AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
Escuela de Desarro...
Índice.
Introducción…………………………………………………………………………….1
Conjunto de los números reales…………………………………………………...2
Conjunto de los ...
Factorización…………………………………………………………………………22
Factor común…………………………………………………………………………23
Factorización de trinomios………………………...
Ecuaciones con valor absoluto………………………………………………….44
Propiedades del valor absoluto…………………………………………………45
Sistemas de ecuaci...
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción.
.
El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo co...
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las ...
consecuencia, se puede concluir que:
Z
En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d,..., s...
multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también
axiomas de campo).
LOS NUMEROS REALE...
Ejemplo.

Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números r...
(a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias inter...
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es
conmutativa en A si:

Si existe algún a, b en A, q...
10 = 10

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales.
Conocer...
Importante:
La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la
división, no se puede dividir...
Importante:
La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
resultado se altera.

Propiedad ...
Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como
sumando hace que e...


En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4"
o simplemente "2 a la cuarta"

Y los expo...
Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar
exponentes negativos:


Calcula la potencia positiva (an)...
POTENCIAS Y RADICALES
Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes
Utilizando la notación de ...
Extracción de factores en un radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
1. Un exponente es menor que el índice, e...
La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número
por él mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fá...
Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.
Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:
104 = 10 X 10 X 1...
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el ot...
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros
como unidades posee el exponente.
101 = 10
Como tamb...
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número
en grupos de dos cifras, empezando por la d...
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior
el n...
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si

conocemos

una

aproximación

de...
Suma horizontal
(2x³ + x² -5) + (x² + x +6)
= 2x³ + x² -5 + x² + x +6
= 2x³ + (x² + x²) + x + (6 -5)
= 2x³ + 2x² + x + 1
S...
Multiplicación de expresiones algebraicas
Podemos tener multiplicaciones como las siguientes:
1. Multiplicación de dos o m...
Ejemplo
(x + 2)(x – 3)
= x(x – 3) + 2(x – 3)
= x² - 3x + 2x – 6
= x² - x – 6

Utilizando el método PEIU
PEIU significa que...
= 8x³ - 20x² - 6x² + 15x -2x + 5
= 8x³ - 26x² + 13x + 5

Multiplicación vertical
Se alinea términos semejantes en las mism...
División de dos polinomios
a.

Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes
(o crecientes)...
Expresiones algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o
más cantidades son d...
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
...
Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus
factores. Supongamos que tene...
Factor común.
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si
podemos descubrir un patrón.

Us...
todos los términos es

. De esta manera la factorización completa es

. Donde

es el MFC.

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

F...
EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

Diferencia de cuadrados.

Aquí tenemos un producto notable

podemos utilizar est...
EJEMPLO

Factorizar

Trinomios con término de segundo grado.
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado...
dos cubos.

EJEMPLO
Factorizar

, observemos primero que se puede escribir en otra forma:

Así, advertimos que se trata de...
Por Agrupación.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con
cuatro términos. Conside...
FRACCIONES
Una fracción es una parte de un total
Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones:

1

/2

(Una mitad)

1

...
Numerador
Denominador

¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que
denominador es con "D" de d...
(Un cuarto)

(Un cuarto)

(Dos cuartos)

(Una mitad)

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denomina...
Más ejemplos:
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1.

Como ya son productos, tanto el numerador como el den...
, aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una

5.

diferencia de cuadrados y que es igual a suma por ...
Ejemplo:

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.

Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con
número...
11, ni 13,…. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener.
Es conveniente que las fracciones cuyo denominad...
Racionaliza:

Respuesta

.

Solución:

Racionaliza:

Respuesta

.

Solución:
Las operaciones las tienes desarrolladas paso...
Racionaliza:

Respuesta:

.

Solución:

Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes

y quieres quitar la raíz tienes que

co...
Para poder quitar la raíz de

,5 tenía que tener como exponente un 7.

Vemos que tendríamos que multiplicarle por

de este...
Veamos un ejemplo:
El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de
los contables. A Che...
b

d

Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
7 ? 1
12

7(2) > 12(1), por lo tanto

2

7 > 1
12

2

De modo que...
Las

fracciones

homogéneas

son

las

fracciones

que

tienen

el

mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son l...
Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado>
4 2
8

Paso 3: 2 + 4 = 6
< Se suman los productos para obtener ...
Suma y resta con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman
o se re...
1. Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los paréntesis.
2 .Operamos en el primer paréntesis, quit...
b.
c.
d.

Terminología para las ecuaciones

Ecuaciones equivalentes
Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la mi...
1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma
cantidad, la ecuación es equivalente a la da...
Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:
(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).
Ecuaciones lineales equivalentes
So...
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

D...
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesis y simplif...
Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

Ecuacion...
1. P = 2L + 2W es la fórmula que se utiliza para hallar el perímetro de un
rectángulo. Si el largo (L) de un rectángulo es...
]

2.

¿Cuál es el promedio actual de Pedro en la clase de matemáticas si sus
notas son 80, 75 y 94?

3. La fórmula que un...
Ejemplos

Resolución
Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado:
1. Si en los numeradores hay binomios o poli...
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x + 1) (x - 1) resulta:

Es importante tener presente que cuando ambos mi...
Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que
tienen la incógnita bajo ...
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

4ºComprobamos:

La ecuación tiene por solución x = 2...
2

3
MODULO DE ALGEBRA
Página 69
Ecuaciones cuadráticas
La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo
grado es aquella ecuación que...
Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto...
El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de
segundo grado
El teorema fundamental del álgebra ...
Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula

Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que

, en

este ej...
Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que

, para

esta ecuación s...
Demostración

ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN
Por: Melissa Murrias

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su f...
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto
de binomios. Lue...
x+4=0
x=0–4
x = -4

x–2=0
x=0+2
x=2

Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación t...
x2 + 2x + 1

=8+1

x2 + 2x + 1 = 9
(

) (

) =9

Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x...
Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0

a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
2
MODULO DE ALGEBRA
Página 79
X = -2 + 6
2
x=4
2
x=2

x = -2 - 6
2
x = -8
2

x=-4

MODULO DE ALGEBRA
Página 80
MODULO DE ALGEBRA
Página 81
MODULO DE ALGEBRA
Página 82
DESIGUALDADES LINEALES

DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE
También

conocidas

como

inecuaciones

de

primer

grado)
...
positiva y

, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia

es

negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantid...


X es mayor que Y



X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita
La...
Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las
proposiciones:

Propiedades de las desigu...
Inecuaciones lineales:
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado
de la inecuación es ...
Inecuaciones cuadráticas:

Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:

El modo de solucion...
Ejemplo ilustrativo2:

MODULO DE ALGEBRA
Página 89
MODULO DE ALGEBRA
Página 90
MODULO DE ALGEBRA
Página 91
MODULO DE ALGEBRA
Página 92
MODULO DE ALGEBRA
Página 93
MODULO DE ALGEBRA
Página 94
MODULO DE ALGEBRA
Página 95
VALOR ABSOLUTO
El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y
el valor sino también con el ...
Ejemplo
Valor
Valor

Absoluto

5

5

-5

5

Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni...
Ejemplo
Problema

-1|-3|

=

-1 • 3

=

-3

Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye
operac...
Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del
cero que el valor original, pero en e...
9.
10.
11.
12.
Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cual...
Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 3
Si
Demostración
Para demostrar esta propiedad conviene recordar q...
Propiedad 6

Demostración
, se tiene que:

Propiedad 7
Sea

una variable real y un número real positivo:

Interpretación g...
Propiedad 8
Sea

una variable real y un número real positivo entonces:

Demostración
Como

, se tiene:

MODULO DE ALGEBRA
...
Resolviendo esta inecuación:

De aquí se tiene:

Interpretación geométrica de esta propiedad:

Propiedad 9
Sea

una variab...
Demostración
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada,
dejaremos esta demostración com...
Propiedad 11

Demostración

Sabemos que
CASO 1:

(*)

Además como
entonces
Así por (*) y (**) se tiene que:

y como

enton...
Además como

entonces

(****)
Así por (***) y (****) se tiene que:

(II)
Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:

Prop...
Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.

Demostración de la desigualdad triangular
, se tiene...
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ...
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y
en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, ...
Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como
una recta, el estudio de la solución del sis...
Lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema
incompatible y por tanto las rectas son paral...
Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones
Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cuantas
ecua...
T1) Multiplicar o dividir una filas por un número real distinto de cero.
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por...
Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y
por combinación lineal. Los sistemas de f...
Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática,
podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o...
Ejemplos
Problema

Resolver el sistema graficando las ecuaciones
y
Graficar cada
ecuación y localizar
los puntos de
inters...
2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada
vez que esta variable aparezca.
3. Resolve...
Solución
(5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18)

Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo
hicimos...
Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones.

y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4

A) una ...
Dos ecuaciones cuadráticas que
tienen sólo un punto en común,
como un vértice compartido, tienen
una solución.

Dos ecuaci...
Graficar ambas
ecuaciones y
encontrar los
puntos de
intersección

Aproximar las
coordenadas de
los puntos de
intersección
...
por lo que las
podemos igualar
Sumar 2x2 y 6 a
ambos lados para
traer todas las
variables a un lado de
la ecuación
Aplicar...
También podemos usar combinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones,
siguiendo estos pasos:

1. Re arreglar las e...
5. Sustituir la solución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra
variable.

Ejemplo
Problema

Resolver e...
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cad...
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 0,...
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones
alg...
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el ...
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. ...
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte

literal: El monomio

es de grado: ...
Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven
por el llamado método Simplex (ideado p...
La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la
inecuación. Para saber que parte es, hay ...
Para que dicho punto sea solución, se tendrá´ que cumplir la desigualdad, por lo
que sustituimos en la inecuación inicial ...
El triángulo rayado es la solución del sistema.
Además, para los problemas de programación lineal es necesario el cálculo ...
Ejercicios:
1. Calcular los otros dos vértices.
2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando l...
Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que será en este caso la parte inferior a la recta
horizontal y =1, es decir:

En el caso parti...
F (3, −3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000 − 15000 = −9000

Vemos que el valor máximo se alcanza para el vértice (5,1) y qu...
Si representamos la región factible:

PROGRAMACIÓN LINEAL EN EXCEL
Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las...
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  1. 1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL PARALELO: ―A‖ JOSELYN CHILES Ing. Oscar René Lomas Reyes Enero del 2014 MODULO DE ALGEBRA Página 1
  2. 2. Índice. Introducción…………………………………………………………………………….1 Conjunto de los números reales…………………………………………………...2 Conjunto de los números naturales……………………………………………...3 Conjunto de los números enteros…………………………………………………4 Conjuntos de los números racióneles……………………………………………5 Propiedad conmutativa…………………………………………………………...6 Propiedades de los números reales……………………………………………...7 Propiedad transitiva……………………………………………………………......8 Propiedad de la suma y multiplicación……………………………………….9 Propiedad conmutativa de la suma y multiplicación…………………..10 Propiedad asociativa de la suma y multiplicación………………………11 Propiedad de la identidad………………………………………………………..12 Propiedades del inverso……………………………………………………………13 Propiedad distributiva……………………………………………………………14 Exponentes y radicales…………………………………………………………....15 Exponentes…………………………………………………………………………….16 Radicales……………………………………………………………………………….17 Operaciones con expresiones algebraicas……………………………………18 Expresiones algebraicas…………………………………………………………...19 Suma de expresiones algebraicas………………………………………………20 Resta de expresiones algebraicas………………………………………………21 MODULO DE ALGEBRA Página 2
  3. 3. Factorización…………………………………………………………………………22 Factor común…………………………………………………………………………23 Factorización de trinomios……………………………………………………...24 Fracciones……………………………………………………………………………..25 Simplificación de fracciones……………………………………………………..26 Multiplicación y división de fracciones……………………………………..27 Racionalización de denominadores…………………………………………..28 Suma y resta de fracciones………………………………………………………29 Operación combinada de fraccione…………………………………………..30 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31 Terminología para las ecuaciones……………………………………………..32 Ecuaciones equivalentes…………………………………………………………..33 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………34 Ecuaciones con literales…………………………………………………………..35 Ecuaciones fraccionarias…………………………………………………………36 Ecuación con radicales……………………………………………………………37 Ecuaciones cuadráticas…………………………………………………………..38 Resolución por factorización……………………………………………………39 Formula………………………………………………………………………………..40 Desigualdades lineales…………………………………………………………….41 Aplicación de las desigualdades………………………………………………..42 Valor absoluto………………………………………………………………………..43 MODULO DE ALGEBRA Página 3
  4. 4. Ecuaciones con valor absoluto………………………………………………….44 Propiedades del valor absoluto…………………………………………………45 Sistemas de ecuaciones lineales………………………………………………...46 Sistemas de ecuaciones con dos variables…………………………………...47 Método de eliminación por adición…………………………………………...48 Método de eliminación por sustitución……………………………………...49 Sistemas de ecuaciones con tres variables………………………………….50 Sistemas no lineales…………………………………………………………………51 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones……………………………………...52 Programación lineal……………………………………………………………….53 Sistemas de desigualdades………………………………………………………..54 Método simplex………………………………………………………………………55 Programación lineal en Excel…………………………………………………..56 Solver……………………………………………………………………………………57 Bibliografía…………………………………………………………………………..59 MODULO DE ALGEBRA Página 4
  5. 5. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Introducción. . El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los números reales. Números tales como: 1,3, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema más primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4,..., y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales. En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse. En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos: Conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z+, corrientemente se presenta así: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} MODULO DE ALGEBRA Página 5
  6. 6. La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales. Conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta así: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2. Puede notarse que . Conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera: Q= / m, n son enteros y n La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación: ax = b, con a, b Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b. Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en MODULO DE ALGEBRA Página 6
  7. 7. consecuencia, se puede concluir que: Z En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d,..., se entenderá que a, b, c, d,..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. Conjunto de los números irracionales. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente, que no existe X Q que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a Q y n N, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solución. El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q, como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son números racionales. * Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: . En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y MODULO DE ALGEBRA Página 7
  8. 8. multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo). LOS NUMEROS REALES Y ARECTA REAL En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:  Se asocia al origen el número 0, Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,  Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa. Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". MODULO DE ALGEBRA Página 8
  9. 9. Ejemplo. Orden Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a está a la izquierda del punto que representa al número b. Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del que representa a b. Si a = b, los puntos se superponen. La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a preceder al punto b si el número real a es menor que el número real b MODULO DE ALGEBRA Página 9
  10. 10. (a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.) PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A: Son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas matemáticos La propiedad conmutativa Dice que resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera. Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *: Se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple: Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a. MODULO DE ALGEBRA Página 10
  11. 11. Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es conmutativa en A si: Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a. La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo cualquier conjunto indicado La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para 1 y -1. El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo. El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA. Propiedad conmutativa de la suma El orden de los sumandos no varía la suma. a+b=b+a 2+5=5+2 7=7 Propiedad conmutativa de la multiplicación El orden de los factores no varía el producto. a·b=b·a 2·5=5·2 MODULO DE ALGEBRA Página 11
  12. 12. 10 = 10 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc. Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades: Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades: Propiedad Adición Multiplicación Cerradura Conmutativa Asociativa Distributiva Identidad Inverso Propiedad de la cerradura La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo: MODULO DE ALGEBRA Página 12
  13. 13. Importante: La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo: Importante: La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera. Propiedad asociativa La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo: MODULO DE ALGEBRA Página 13
  14. 14. Importante: La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera. Propiedad distributiva La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas. Propiedad de identidad (elemento neutro) La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: , el elemento neutro de la adición es el número CERO. La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación: , el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO. MODULO DE ALGEBRA Página 14
  15. 15. Propiedad del inverso La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO. el inverso aditivo para esta suma es el número La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO. , el inverso multiplicativo para esta multiplicación es EXPONENTES Y RADICALES Exponentes Los exponentes también se llaman potencias o índices El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64  En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado" Más ejemplos: Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125  En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo" Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 MODULO DE ALGEBRA Página 15
  16. 16.  En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta" Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación. Así que, en general: an te dice que multipliques a por sí mismo, y hay n de esos a's: Exponentes negativos ¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número. Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0,125 O varias divisiones: Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008 Pero esto lo podemos hacer más fácilmente: 5-3 también se podría calcular así: 1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008 MODULO DE ALGEBRA Página 16
  17. 17. Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos:  Calcula la potencia positiva (an)  Después cacula el recíproco (o sea 1/an) Más ejemplos: Exponente negativo Recíproco del exponente positivo Respuesta 4-2 = 1 / 42 = 1/16 = 0,0625 10-3 = 1 / 103 = 1/1.000 = 0,001 ¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0? Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9) Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1) Radicales Un radical es una expresión de la forma , en la que n ya ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar. MODULO DE ALGEBRA Página 17
  18. 18. POTENCIAS Y RADICALES Se puede expresar un radical en forma de potencia: Radiales equivalentes Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que: Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente. Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. Reducción a índice común 1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice 2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. MODULO DE ALGEBRA Página 18
  19. 19. Extracción de factores en un radical Se descompone el radicando en factores. Si: 1. Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. 2. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. 3. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. MODULO DE ALGEBRA Página 19
  20. 20. La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil. Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado. Así por ejemplo: Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces es una potenciación. Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85. En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces que se va a multiplicar al ocho por sí mismo). De acuerdo con lo anterior, se puede decir que: 85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768 Elevar a una potencia el número 10 MODULO DE ALGEBRA Página 20
  21. 21. Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10. Por ejemplo lo elevamos a la cuarta: 104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000 Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros. Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)... Propiedades de la potenciación Las propiedades de la potenciación son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes. Multiplicación de potencias de igual base La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. En particular: MODULO DE ALGEBRA Página 21
  22. 22. (a + b)m = am + bm (a − b)m = am − bm Se cumple en los siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b son iguales a 0 y m≠0 Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes. En particular: ab = ba Si y sólo si a=b. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. a0 = 1 si se cumple que Potencia de exponente 1 Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a. a1 = a Potencia de base 10 MODULO DE ALGEBRA Página 22
  23. 23. Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un exponente 106 = 1000000 104 = 10000 radicación Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación inversa de la multiplicación. La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama ―radicación‖. Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64. De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que: Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en cursos posteriores. Raíz cuadrada MODULO DE ALGEBRA Página 23
  24. 24. 1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número en grupos de dos cifras, empezando por la derecha Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64 2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda). En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz. 3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1 4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo En nuestro ejemplo nos quedaría 156 5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento de la raíz. En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4 6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que estamos buscando se acerque lo más posible al número que tenemos como resto. Ese número será el siguiente número de la raíz. En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se aproxima más a 156 y la raíz seria 23... 7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del que queríamos obtener realmente. MODULO DE ALGEBRA Página 24
  25. 25. En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27 8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo En nuestro ejemplo: 2701 9- A continuación repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46 10- después repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que se aproxima más a 2701 y la raíz seria 235... 11- después repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376 12- A continuación repetimos el paso 8 En nuestro ejemplo: 37664 13 A continuación repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470 14- A continuación repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número que se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358 15- A continuación repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero. MODULO DE ALGEBRA Página 25
  26. 26. Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas Este método se debe a Newton Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula: ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1) Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2, entonces: a1 = 2 a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250 a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236 OPERACIÓN CON EXPRESIONES ALGÉBRICAS 1. Suma 2. Resta 3. Multiplicación 4. División. Suma de expresiones algebraicas Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los términos semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los términos semejantes por su grado en la misma columna y a continuación, se suman los términos de cada columna. Ejemplo. MODULO DE ALGEBRA Página 26
  27. 27. Suma horizontal (2x³ + x² -5) + (x² + x +6) = 2x³ + x² -5 + x² + x +6 = 2x³ + (x² + x²) + x + (6 -5) = 2x³ + 2x² + x + 1 Suma vertical (5x³ + 2x² - x + 7) + (3x² - 4x + 7) + (-x³ + 4x² - 8) Resta de expresiones algebraicas Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a restarse y después sume los términos semejantes resultantes. Se lo realiza en forma horizontal y vertical. Ejemplo. Resta horizontal. Restar x³ + 2x² - x – 4 de 3x³ - 5x² + 3 (3x³ - 5x² + 3) – (x³ + 2x² - x – 4) = 3x³ - 5x² + 3 – x³ - 2x² + x + 4 = (3x³ - x³) + (-5x² - 2x²) + x + (3 + 4) = 2x³ - 7x² + x + 7 Resta vertical (4x4 - 2x³ + 5x² - x + 8) – (3x4 - 2x³ + 3x – 4) MODULO DE ALGEBRA Página 27
  28. 28. Multiplicación de expresiones algebraicas Podemos tener multiplicaciones como las siguientes: 1. Multiplicación de dos o más monomios. Se realiza aplicando las reglas de la potenciación, de los signos y las propiedades asociativa y conmutativa del producto. Ejemplo. Multiplicar -3x²y³z, 2x4y, y -4xy4z² (-3x²y³z)(2x4y)(-4xy4z²) =[(-3)(2)(-4)][(x²)(x4)(x)][(y³)(y)(y4)][(z)(z²)] = 24x7y8z3  para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en próximos ejercicios, esto se realizar con la práctica. 2. Multiplicación de un monomio por un polinomio El producto se obtiene por la directa aplicación de la propiedad distributiva. Ejemplo 4x²(3x – 2x³ + 1) = 4x²(3x) – 4x²(2x³) +4x²(1) = 12x³ – 8x5 + 4x² = – 8x5 + 12x³ + 4x² 3. Multiplicación de binomios Utilizando la propiedad distributiva MODULO DE ALGEBRA Página 28
  29. 29. Ejemplo (x + 2)(x – 3) = x(x – 3) + 2(x – 3) = x² - 3x + 2x – 6 = x² - x – 6 Utilizando el método PEIU PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros términos, los términos Externos, términos Internos y el término Último. Ejemplo (3x + 4)(2x + 1) Multiplicación de polinomios Para multiplicar polinomios que tienen tres o más términos, se puede usar el mismo principio básico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro polinomio. Puede hacer la multiplicación en forma horizontal o vertical. Multiplicación horizontal Ejemplo. Multiplicar (4x² - 3x – 1) (2x – 5) = 4x²(2x – 5) -3(2x – 5) -1(2x – 5) MODULO DE ALGEBRA Página 29
  30. 30. = 8x³ - 20x² - 6x² + 15x -2x + 5 = 8x³ - 26x² + 13x + 5 Multiplicación vertical Se alinea términos semejantes en las mismas columnas verticales. Ejemplo Multiplicar (4x² + x – 2) (-x² + 3x + 5) División de expresiones algebraicas 1. División de dos monomios. Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales aplicando las reglas de potenciación. Ejemplo. Dividir: 24x4y²z³ por -3x³y4z MODULO DE ALGEBRA Página 30
  31. 31. División de dos polinomios a. Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios. b. Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. c. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta el dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. d. Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c. hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo. e. El resultado es: Ejemplo Dividir 2x4 - 3x³ + x² + x + 2 por x² - 3x + 2 Por lo tanto, MODULO DE ALGEBRA Página 31
  32. 32. Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia:, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo. Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2 Un tercio de un número: x/3 Un cuarto de un número: x/4 Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... Un número al cuadrado: x² Un número al cubo: x³ MODULO DE ALGEBRA Página 32
  33. 33. Un número par: 2x Un número impar: 2x + 1 Dos números consecutivos: x y x + 1 Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2 Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x La suma de dos números es 24: x y 24 − x La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x El producto de dos números es 24: x y 24/x El cociente de dos números es 24: x y 24 · x FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. Factorización MODULO DE ALGEBRA Página 33
  34. 34. Multiplicación Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos Al factorizar el número 20, tendremos Advierte que y o . no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización segunda factorización , de modo que , de modo que factorización completa para 20 es mientras que la , en cualquier caso la . De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarla por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no Factorizamos 20 como . Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas. MODULO DE ALGEBRA Página 34
  35. 35. Factor común. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón. Usan la propiedad distributiva. Cuando . Cuando factorizamos multiplicamos, tenemos que: . Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, . Aquí tenemos como hacerlo: Máximo factor común (MFC) El término , es el MFC de un polinomio sí: 1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio. De este modo para factorizar , podríamos escribir Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en MODULO DE ALGEBRA Página 35
  36. 36. todos los términos es . De esta manera la factorización completa es . Donde es el MFC. EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar MODULO DE ALGEBRA Página 36
  37. 37. EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar Diferencia de cuadrados. Aquí tenemos un producto notable podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar MODULO DE ALGEBRA Página 37
  38. 38. EJEMPLO Factorizar Trinomios con término de segundo grado. Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos. Los trinomios , son trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio. Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado. A. Dos de los términos deben de ser cuadrados B. No debe haber signo de menos en y o en C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o su inverso aditivo -2AB. ¿Es un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número. Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de MODULO DE ALGEBRA Página 38
  39. 39. dos cubos. EJEMPLO Factorizar , observemos primero que se puede escribir en otra forma: Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos: EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones: Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible. MODULO DE ALGEBRA Página 39
  40. 40. Por Agrupación. Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos 1. Sin embargo podemos factorizar a Por lo tanto . No hay ningún factor diferente de y por separado: . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1 Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método. EJEMPLO EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar MODULO DE ALGEBRA Página 40
  41. 41. FRACCIONES Una fracción es una parte de un total Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones: 1 /2 (Una mitad) 1 /4 (Un cuarto) 3 /8 (Tres octavos) El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza. Numerador / Denominador Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes. Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total. MODULO DE ALGEBRA Página 41
  42. 42. Numerador Denominador ¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D" de dividir) Fracciones equivalentes Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo: 4 /8 2 = /4 (Cuatro octavos) 1 = (Dos cuartos) /2 (Una mitad) Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple (1/2 en este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fracción. Sumar fracciones Puedes sumar fracciones fácilmente si el número de abajo (el denominador) es el mismo: 1 /4 + 1 /4 = 2 /4 = 1 /2 MODULO DE ALGEBRA Página 42
  43. 43. (Un cuarto) (Un cuarto) (Dos cuartos) (Una mitad) Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente . Por ejemplo: Simplificar Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, , Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos. Por ejemplo: Simplificar Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el método adecuado es sacar factor común así MODULO DE ALGEBRA Página 43
  44. 44. Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas 1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes 2. 3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, 4. pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma. MODULO DE ALGEBRA Página 44
  45. 45. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una 5. diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene: 1. Por numerador el producto de numeradores. 2. Por denominador el producto de denominadores. Ejemplo: División de fracciones La división de dos fracciones es otra fracción que tiene: 1. Por numerador el producto de los extremos. 2. Por denominador el producto de los medios. MODULO DE ALGEBRA Página 45
  46. 46. Ejemplo: RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES. Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con números enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene infinitas cifras pero sin formar períodos. Podemos decir que 0,5 es lo mismo que . Es lo mismo que 0,75. Todos estos números son racionales, podemos escribirlos como enteros o fraccionarios. Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo a estos números los llamamos irracionales porque si queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni MODULO DE ALGEBRA Página 46
  47. 47. 11, ni 13,…. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener. Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los denominadores: .El denominador es un número irracional, por mucho que intentes Ejemplo: calcular su valor verás que nunca acabas de hacer operaciones. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo. Para hacer racional el denominador por sí mismo: lo más simple es que le multipliquemos . Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al numerador por .Podemos decir que: son iguales pero no tiene como denominador un número irracional. Racionaliza: Respuesta . MODULO DE ALGEBRA Página 47
  48. 48. Racionaliza: Respuesta . Solución: Racionaliza: Respuesta . Solución: Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso: Racionaliza: Respuesta: Solución: El proceso de cálculos con letras es el mismo que aplicamos con los números. Tienes desarrollado paso a paso la resolución del ejercicio: MODULO DE ALGEBRA Página 48
  49. 49. Racionaliza: Respuesta: . Solución: Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes y quieres quitar la raíz tienes que conseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al índice de la raíz(que es 3). Para que sean iguales a tendrás que multiplicarle de este modo, en el denominador al multiplicar tendrás que sumar los exponentes dejando la misma base: por . Para que el valor de la fracción no varíe tendrás que multiplicar también al numerador por : Racionaliza: Respuesta: . Solución: MODULO DE ALGEBRA Página 49
  50. 50. Para poder quitar la raíz de ,5 tenía que tener como exponente un 7. Vemos que tendríamos que multiplicarle por de este modo al sumar los exponentes el valor obtenido iguala al índice de la raíz y entonces podemos simplificar. Para que no varíe el valor de la fracción tendremos que multiplicarle al numerador también por : Racionaliza: Respuesta . Suma y resta de fracciones Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla: a + c = b d ad + bc bd (se multiplica cruzado y los productos de suman) (se multiplican los denominadores) MODULO DE ALGEBRA Página 50
  51. 51. Veamos un ejemplo: El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar Cheo? 1 + 1 4 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7 3 (4)(3) 12 12 Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo. Notita para darle pensamiento: (para darle "coco") ¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo? Solución: Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones a. Si a=c b b. Si d a<c b c. Si entonces ad = cb a>c entonces ad < cb d entonces ad > cb MODULO DE ALGEBRA Página 51
  52. 52. b d Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ? 7 ? 1 12 7(2) > 12(1), por lo tanto 2 7 > 1 12 2 De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo. Veamos otro ejemplo: A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a María? Solución 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11 3 5 15 15 15 A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre. Suma de Fracciones Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4 2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7 MODULO DE ALGEBRA Página 52
  53. 53. Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. Ejemplo de suma de fracciones homogéneas: 1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que 5 5 5 tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.> 2 +3 =5 7 7 7 Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas: 1 +1 4 2 <Aquí es diferente, las fracciones son heterogéneas; los denominadores son diferentes.> Para sumar fracciones heterogéneas: 1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. 3. Se suman los productos para obtener el numerador. 1 +1 4 2 Paso 1 : 1 + 1 = ___ 4 2 8 <Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8> MODULO DE ALGEBRA Página 53
  54. 54. Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado> 4 2 8 Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.> 8 8 Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.> 8 2 4 Resta de Fracciones En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar. Ejemplo 1: 5-1 =4 9 9 9 Resta de Fracciones Homogéneas Ejemplo 2: 2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1 3 2 6 6 6 Suma y resta con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. Ejemplo: MODULO DE ALGEBRA Página 54
  55. 55. Suma y resta con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Ejemplo: Operaciones combinadas de fracciones 1. Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 2 .Calcular las potencias y raíces. 3 .Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4 .Efectuar los productos y cocientes. 5 .Realizar las sumas y restas. Ejemplo: MODULO DE ALGEBRA Página 55
  56. 56. 1. Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los paréntesis. 2 .Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último. 3 .Realizamos el producto y lo simplificamos. 4 .Realizamos las operaciones del paréntesis. 5 .Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado. ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal con n incógnitas x1,..., xn es una ecuación que se puede escribir en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las a- es y la b son valores conocidos. Ejemplos. a. b. c. a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas respectivamente. a. MODULO DE ALGEBRA Página 56
  57. 57. b. c. d. Terminología para las ecuaciones Ecuaciones equivalentes Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones que tienen la misma solución se denominan ecuaciones equivalentes. Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes propiedades de las igualdades: a) Si sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación obtenemos otra ecuación equivalente. b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un mismo número diferente de cero obtenemos otra ecuación equivalente. Por ejemplo, para obtener una ecuación equivalente a x+2=5 multiplicamos por 4 los dos miembros: 4(x+2)=4·5 → 4x+8=20 Fíjate en que la ecuación obtenida 4x+8=20 también tiene por solución 3. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 x + 3 = −2 x = −5 MODULO DE ALGEBRA Página 57
  58. 58. 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5 2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x+2=3 x + 2 −2= 3 −2 x=1 Ecuaciones lineales Ecuación lineal con n incógnita Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b . Los valores ai se denominan coeficientes, b es el término independiente. Los valores xi son las incógnitas. Solución de una ecuación lineal Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación. MODULO DE ALGEBRA Página 58
  59. 59. Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella: (1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4). Ecuaciones lineales equivalentes Son aquellas que tienen la misma solución. x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0 Ecuaciones lineales de primer grado Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión. Resolución de ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. Despejamos la incógnita: MODULO DE ALGEBRA Página 59
  60. 60. Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos: Quitamos paréntesis: Agrupamos términos y sumamos: Despejamos la incógnita: Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo. MODULO DE ALGEBRA Página 60
  61. 61. Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes: Despejamos la incógnita: Quitamos paréntesis y simplificamos: Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes: Quitamos corchete: Quitamos paréntesis: MODULO DE ALGEBRA Página 61
  62. 62. Quitamos denominadores: Quitamos paréntesis: Agrupamos términos: Sumamos: Dividimos los dos miembros por: −9 Ecuaciones con literales En nuestro diario vivir y en el mundo del trabajo nos enfrentamos a muchas situaciones que se resuelven por medio de las ecuaciones. La industria, el comercio, las ciencias, la ingeniería, y otras áreas necesitan fórmulas en las cuales se aplican los principios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas de estas fórmulas se les llaman ecuaciones literales. Una ecuación literal es una ecuación en la cual se usan letras para representar constantes. Ejemplos: MODULO DE ALGEBRA Página 62
  63. 63. 1. P = 2L + 2W es la fórmula que se utiliza para hallar el perímetro de un rectángulo. Si el largo (L) de un rectángulo es 5 pulgadas y el ancho (W) es 3 pulgadas, entonces el perímetro del rectángulo es: P = 2L +2W = 2 (5) + 2(3) = 10 + 6 P = 16 pulgadas Es la fórmula para hallar la velocidad de un objeto conociendo la Distancia (d) y el tiempo (t). Si un objeto se mueve a una distancia de 10 pulgadas en 2 segundos su velocidad es: Otros ejemplos de ecuaciones literales son las siguientes: y – c = d; C = 2πr; d = vt, A = ½ bh. Otros ejemplos: 1. C = 2πr (fórmula para hallar la circunferencia de un círculo) ¿Cuál es la circunferencia de un círculo si su radio mide 3 pulgadas? MODULO DE ALGEBRA Página 63
  64. 64. ] 2. ¿Cuál es el promedio actual de Pedro en la clase de matemáticas si sus notas son 80, 75 y 94? 3. La fórmula que un pescador tiene para estimar el peso de un pez en libras es , donde W representa el peso en libras, L el largo en pulgadas y g el grueso (distancia alrededor del pez en el área central) en pulgadas. Halla el peso de un pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas de grueso. Resuelve la fórmula para g2. 4. C = mx + b, ecuación de costo total, dado el costo fijo (b), el costo variable (m) y la cantidad (x). El costo diario de alquiler de auto es $30.00 más $0.50 por milla recorrida. Carlos pagó $150 por el alquiler del auto. ¿Cuántas millas viajó? 5. Cambia 1220 Fahrenheit a centígrados. Ecuaciones fraccionarias Ecuación Fraccionaria. Ecuación que contiene fracciones algebraicas, es decir, donde la variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellos). MODULO DE ALGEBRA Página 64
  65. 65. Ejemplos Resolución Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado: 1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador. 2. Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. 3. Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado. 4. Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el m.c.m. 5. Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas. 6. Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que obtuvimos. En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformándolas en ecuaciones enteras, para lo cual es necesario eliminar los denominadores. Para eliminar los denominadores en una ecuación fraccionaria se procede de la siguiente manera: 1. Se halla el mcm de los denominadores. 2. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores. Ejemplo 1 el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x - 1) MODULO DE ALGEBRA Página 65
  66. 66. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x + 1) (x - 1) resulta: Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuación fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene una ecuación equivalente a la dada, siempre que la solución obtenida no anule algún denominador. Comprobación: Ejemplo 2: Estas ecuaciones no son equivalentes a la original, porque el conjunto solución es {3} para ambas, pero no para la ecuación original. Sustituyendo tenemos MODULO DE ALGEBRA Página 66
  67. 67. Ecuaciones con radicales Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Resolución de ecuaciones con radicales 1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2º Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3º Se resuelve la ecuación obtenida. 4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. 5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos. 1º Aislamos el radical: MODULO DE ALGEBRA Página 67
  68. 68. 2º Elevamos al cuadrado los dos miembros: 3ºResolvemos la ecuación: 4ºComprobamos: La ecuación tiene por solución x = 2. Ejercicios de ecuaciones con radicales 1 MODULO DE ALGEBRA Página 68
  69. 69. 2 3 MODULO DE ALGEBRA Página 69
  70. 70. Ecuaciones cuadráticas La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero. Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden) Método de solución de la ecuación cuadrática MODULO DE ALGEBRA Página 70
  71. 71. Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨ Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión Para lo cual se suma y resta , que puede escribirse como Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término puede despejarse MODULO DE ALGEBRA Página 71
  72. 72. El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí Si las dos raíces son reales e iguales Si las dos raíces son complejas conjugadas Ejemplos numéricos Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0 Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1 MODULO DE ALGEBRA Página 72
  73. 73. Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que , en este ejemplo en particular Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la fórmula Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1 MODULO DE ALGEBRA Página 73
  74. 74. Se reemplazan los coeficientes en la fórmula Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que , para esta ecuación se obtuvo Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación cuadrática Demostración MODULO DE ALGEBRA Página 74
  75. 75. Demostración ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN Por: Melissa Murrias Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática MODULO DE ALGEBRA Página 75
  76. 76. Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0 (x ) (x a=1 )=0 b=2 c=-8 [x ·x = x2] ( x + ) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8 x+4=0 x–2=0 MODULO DE ALGEBRA Página 76
  77. 77. x+4=0 x=0–4 x = -4 x–2=0 x=0+2 x=2 Estas son las dos soluciones. Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] MODULO DE ALGEBRA Página 77
  78. 78. x2 + 2x + 1 =8+1 x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) =9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. ( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ± x+1= ±3 x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3 x=2 x = -1 – 3 x = -4 Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: MODULO DE ALGEBRA Página 78
  79. 79. Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8 x = -2 ± 6 2 MODULO DE ALGEBRA Página 79
  80. 80. X = -2 + 6 2 x=4 2 x=2 x = -2 - 6 2 x = -8 2 x=-4 MODULO DE ALGEBRA Página 80
  81. 81. MODULO DE ALGEBRA Página 81
  82. 82. MODULO DE ALGEBRA Página 82
  83. 83. DESIGUALDADES LINEALES DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE También conocidas como inecuaciones de primer grado) Se establece rápidamente la definición de una desigualdad lineal, pasando a dar un bosquejo de una estrategia general para resolver este tipo de desigualdad. Se puntualiza el tipo de conjunto solución de este tipo de desigualdad, de manera gráfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que se pueden emplear otras estrategias, siempre y cuando respeten la propiedades algebraicas y de desigualdades. Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:  X es mayor que Y  X es menor que Y Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión , Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es MODULO DE ALGEBRA Página 83
  84. 84. positiva y , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo: Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20 DESIGUALDADES LINEALES Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes: MODULO DE ALGEBRA Página 84
  85. 85.  X es mayor que Y  X es menor que Y Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión , quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse cuando la diferencia la diferencia es positiva y , que se lee "a" mayor que "b", , que se lee "a" menor que "b", cuando es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo: Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20 MODULO DE ALGEBRA Página 85
  86. 86. Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: Propiedades de las desigualdades Teorema1-Propiedad transitiva: Teorema2-Suma: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Teorema3-Multiplicación por un número positivo: Teorema4: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<" Teorema5: Teorema6: "Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad". Teorema7: Teorema8: Teorema9: Teorema10: Teorema11: MODULO DE ALGEBRA Página 86
  87. 87. Inecuaciones lineales: Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente). Ejemplo ilusrativo1: Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos: MODULO DE ALGEBRA Página 87
  88. 88. Inecuaciones cuadráticas: Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas: El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas. MODULO DE ALGEBRA Página 88
  89. 89. Ejemplo ilustrativo2: MODULO DE ALGEBRA Página 89
  90. 90. MODULO DE ALGEBRA Página 90
  91. 91. MODULO DE ALGEBRA Página 91
  92. 92. MODULO DE ALGEBRA Página 92
  93. 93. MODULO DE ALGEBRA Página 93
  94. 94. MODULO DE ALGEBRA Página 94
  95. 95. MODULO DE ALGEBRA Página 95
  96. 96. VALOR ABSOLUTO El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa, sólo la distancia. En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo. Valor Absoluto — Enfoque Numérico El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así: |20| |x| |4n − 9| Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5. MODULO DE ALGEBRA Página 96
  97. 97. Ejemplo Valor Valor Absoluto 5 5 -5 5 Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni la dirección de un número, sólo estamos ignorando esos detalles. Ten cuidado de no confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son diferentes. Por ejemplo, -1(-3) = 3. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis se cancelan cuando son multiplicados. Ejemplo Problema -1(-3) = -1 • -3 = 3 Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de las barras de valor absoluto, por lo que primero tienes que encontrar el valor absoluto del número contenido entre ellas. Como el valor absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -1(+3). MODULO DE ALGEBRA Página 97
  98. 98. Ejemplo Problema -1|-3| = -1 • 3 = -3 Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto. Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el valor absoluto de 2, el cual es 2. |6 − 4| = |2| = 2 De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las operaciones dentro de las barras de valor absoluto. |15 − 21| = |-6| = 6 Valor Absoluto — Enfoque Gráfico En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la distancia entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el valor absoluto, éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor original es positivo o cero, el valor absoluto estará sobre el original. Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3 unidades a la derecha del cero en la recta numérica. MODULO DE ALGEBRA Página 98
  99. 99. Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero, pero en direcciones opuestas. Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una expresión, debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las operaciones dentro de las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2, 4, o 6. Ecuaciones con valor absoluto Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. MODULO DE ALGEBRA Página 99
  100. 100. 9. 10. 11. 12. Propiedades del valor absoluto Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto. Propiedad 1 Demostración Hay dos posibles casos: Caso 1: Caso 2: Propiedad 2 Si MODULO DE ALGEBRA Página 100
  101. 101. Demostración:(ejercicio para el estudiante) Propiedad 3 Si Demostración Para demostrar esta propiedad conviene recordar que: En particular: Usando esta definición se tiene que: Propiedad 4 Demostración:(ejercicio para el estudiante) Propiedad 5 Si entonces Demostración Aquí también usaremos el hecho de que: Si MODULO DE ALGEBRA Página 101
  102. 102. Propiedad 6 Demostración , se tiene que: Propiedad 7 Sea una variable real y un número real positivo: Interpretación geométrica de esta propiedad Demostración Como MODULO DE ALGEBRA Página 102
  103. 103. Propiedad 8 Sea una variable real y un número real positivo entonces: Demostración Como , se tiene: MODULO DE ALGEBRA Página 103
  104. 104. Resolviendo esta inecuación: De aquí se tiene: Interpretación geométrica de esta propiedad: Propiedad 9 Sea una variable real y un número real positivo entonces: MODULO DE ALGEBRA Página 104
  105. 105. Demostración Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante. Interpretación geométrica de esta propiedad: Propiedad 10 Sea una variable real y un número real positivo entonces: i. ii. Demostración Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante. Interpretación geométrica de esta propiedad: i. ii. MODULO DE ALGEBRA Página 105
  106. 106. Propiedad 11 Demostración Sabemos que CASO 1: (*) Además como entonces Así por (*) y (**) se tiene que: y como entonces: (**) (I) CASO 2: MODULO DE ALGEBRA Página 106
  107. 107. Además como entonces (****) Así por (***) y (****) se tiene que: (II) Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que: Propiedad 12 (desigualdad triangular) Si Demostración Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema: LEMA: Sean Si Demostración (del lema) Supongamos que , hay que demostrar que i. ii. Por i. y ii. Se tiene que Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente: MODULO DE ALGEBRA Página 107
  108. 108. Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular. Demostración de la desigualdad triangular , se tiene que: Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene: , por la propiedad (10. i) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sı´, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x +2y +6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. MODULO DE ALGEBRA Página 108
  109. 109. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura: El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes. MODULO DE ALGEBRA Página 109
  110. 110. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Tipos de sistemas En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en: Sistemas con dos incógnitas Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados. Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales: * Reducción * Igualación * Sustitución En los que ya no nos entretendremos. MODULO DE ALGEBRA Página 110
  111. 111. Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano. Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el sistema: Por reducción De donde y = -1 y sustituyendo x + 2*(-1) = -3, x = -1. Es decir, la solución del sistema es ´única, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1): Resolver e interpretar el sistema: Por igualación MODULO DE ALGEBRA Página 111
  112. 112. Lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geométricamente: Resolver e interpretar el siguiente sistema: Por sustitución, como x = −2y – 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0. Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma. MODULO DE ALGEBRA Página 112
  113. 113. Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o más ecuaciones. En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos reseñados anteriormente. Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por alguno de los tres métodos clásicos se vuelve más farragosa, por lo que conviene aplicar ya el conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema. Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos. Analizaremos tan so ´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas. La matriz ampliada genérica es: Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada siguiente: Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema) eran: MODULO DE ALGEBRA Página 113
  114. 114. T1) Multiplicar o dividir una filas por un número real distinto de cero. T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo. T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí. Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones. Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31, utilizando también la fila 1, y por ´ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo análogo al método de Gauss-Jordán para la inversa. Además, es conveniente en cada paso indicar la operación realizada con las filas, poniendo en primer lugar aquella que se va a sustituir por otra. Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes 1. a *22 = 0. Entonces hay dos posibilidades: a) b*3 = 0. Sistema incompatible (hay una ecuación del tipo 0=k), sin solución. Geométricamente, puede ocurrir que: a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte. b) Las rectas se corten dos a dos (formen un triángulo). SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan. MODULO DE ALGEBRA Página 114
  115. 115. Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas. Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales: Una solución Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solución para ambas ecuaciones. No hay solución Si las gráficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones. Soluciones infinitas Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para ambas ecuaciones. MODULO DE ALGEBRA Página 115
  116. 116. Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas: Una solución Si la parábola y la recta se tocan en un sólo punto, entonces existe una solución para ambas ecuaciones. No hay solución Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones. Dos soluciones Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones. No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa. Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares). Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática. MODULO DE ALGEBRA Página 116
  117. 117. Ejemplos Problema Resolver el sistema graficando las ecuaciones y Graficar cada ecuación y localizar los puntos de intersección Solución Este sistema tiene dos soluciones, No podemos determinar la posición exacta de los puntos de intersección a partir de la gráfica, pero son aproximadamente (-2,0) y (5,22) Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan las gráficas, es difícil encontrar la posición exacta. Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos por sustitución, seguimos los siguientes pasos: 1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y una variable que sea fácil de despejar). MODULO DE ALGEBRA Página 117
  118. 118. 2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez que esta variable aparezca. 3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación. 4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la otra variable. Ejemplo Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución y En este caso, ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, por lo que las podemos igualar Restar 3x de ambos lados y restar 7 de ambos lados. Ahora queda una ecuación cuadrática igual a 0 por lo que podemos usar la fórmula cuadrática, , para encontrar la solución a = 1, b = -3, y c = -12 Sustituir los valores de a, b, y c en la fórmula Simplificar Simplificar un poco más, recordando evaluar ambos o y . Evaluar cualquiera de las funciones con cada x para encontrar el valor de y correspondiente MODULO DE ALGEBRA Página 118
  119. 119. Solución (5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18) Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo hicimos graficando el sistema, sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando sacamos la raíz cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución exacta! Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales. Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):} Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana. MODULO DE ALGEBRA Página 119
  120. 120. Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones. y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4 A) una solución B) dos soluciones C) no hay solución D) soluciones infinitas Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento cómo las gráficas de las dos ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no). Una solución No hay solución MODULO DE ALGEBRA Página 120
  121. 121. Dos ecuaciones cuadráticas que tienen sólo un punto en común, como un vértice compartido, tienen una solución. Dos ecuaciones cuadráticas que no se superponen (no tienen valores comunes de y) no tienen solución. Dos soluciones Soluciones infinitas Dos ecuaciones cuadráticas que se Si las gráficas de las ecuaciones superponen pero tienen ecuaciones son la misma, entonces hay un diferentes tienen dos soluciones número infinito de soluciones válidas para ambas ecuaciones. Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas graficando: Ejemplo Problema Resolver el sistema graficando las ecuaciones y MODULO DE ALGEBRA Página 121
  122. 122. Graficar ambas ecuaciones y encontrar los puntos de intersección Aproximar las coordenadas de los puntos de intersección Solución (-3, 9) y (3, 9) Una vez más, no podemos estar seguros de que nuestras soluciones gráficas son exactas. Un método algebraico siempre puede garantizar una solución exacta. Por ejemplo, podemos resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas por sustitución: Ejemplo Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución: y En este caso ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, MODULO DE ALGEBRA Página 122
  123. 123. por lo que las podemos igualar Sumar 2x2 y 6 a ambos lados para traer todas las variables a un lado de la ecuación Aplicar la fórmula cuadrática. a = 3, b = 0, y c = 10 Simplificar, notando que la cantidad debajo de la raíz cuadrada es un valor negativo - este es el [discriminante] - lo que significa que no hay solución y las gráficas no se intersectan Solución no hay solución Como no hay solución, no podemos comprobar nuestra solución algebraicamente, pero podemos ver ambas gráficas para verificar que no hay solución: MODULO DE ALGEBRA Página 123
  124. 124. También podemos usar combinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones, siguiendo estos pasos: 1. Re arreglar las ecuaciones de forma que los términos se alineen. 2. Multiplicar ninguna, o una, o ambas ecuaciones por una constante para que los coeficientes de una de las variables sean opuestos. 3. Sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables. 4. Resolver la ecuación resultante. MODULO DE ALGEBRA Página 124
  125. 125. 5. Sustituir la solución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra variable. Ejemplo Problema Resolver el sistema usando combinación lineal y Alinear las ecuaciones Como ya hay dos variables que son opuestas (x2 y –x2), podemos sumar las dos ecuaciones y=5 Despejar y dividiendo ambos lados de la ecuación entre 2 Sustituir y en una de las ecuaciones para encontrar los valores de x. Solución y Las mismas estrategias de graficar, sustitución, o combinación lineal pueden ser aplicadas para resolver sistemas de ecuaciones de otras funciones no lineales, como círculos, elipses, y otras funciones coordenadas. La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las técnicas de graficar, sustitución y combinación lineal. De la misma forma que con sistemas de ecuaciones lineales, cuando encontramos soluciones a sistemas de ecuaciones no lineales, estamos buscando la intersección de sus gráficas o los lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables. MODULO DE ALGEBRA Página 125
  126. 126. CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 1, y = 4; x = 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 1, y= 0; x = 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que será la solución: x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más abajo .x + y = 3 2 x+2y=6 b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 0, y = 3; x = 3, y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 1, y = 2; x = 2, y = 1 MODULO DE ALGEBRA Página 126
  127. 127. c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 0,y = 3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 0, y =-1; x = -2, y = 1 Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación siguiente: MODULO DE ALGEBRA Página 127
  128. 128. EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales. MODULO DE ALGEBRA Página 128
  129. 129. GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de dicha letra. CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 10 Ejemplos de Términos Semejantes: MODULO DE ALGEBRA Página 129
  130. 130. CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término. BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos. TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos. POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término. MODULO DE ALGEBRA Página 130
  131. 131. GRADO DE UN MONOMIOS Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: PROGRAMACION LINEAL La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ´ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. MODULO DE ALGEBRA Página 131
  132. 132. Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G.B. Danzig, matemático estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en ordenadores. Inecuaciones lineales con 2 variables Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by ≤ c (donde el símbolo ≤ puede ser también ≥, < o bien>), donde a, b y c son números reales y x e y las incógnitas. Para resolver estas inecuaciones, se recordará de otros cursos, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al plano. Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación: 2x +3y ≥−3, representamos en primer lugar la recta 2x +3y = −3: MODULO DE ALGEBRA Página 132
  133. 133. La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para saber que parte es, hay dos procedimientos: 1. Se despeja la y de la inecuación, poniendo cuidado en que si en una inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. En este caso tendíamos que: Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes. La solución de la inecuación será aquella parte en la que la y sea mayor que la recta, es decir, la parte superior. 2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1,2). MODULO DE ALGEBRA Página 133
  134. 134. Para que dicho punto sea solución, se tendrá´ que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimos en la inecuación inicial el (1,2): 2 · 1+3· 2 ≥−3, es decir, 8 ≥−3. Como esta ´ultima desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2) es solución y por tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la solución, es decir el semiplano superior, como habíamos obtenido antes. Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza con corrección. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones del tipo anterior, y resolverlo consistirá en resolver gráficamente cada inecuación (como en el caso anterior), representar la solución en un mismo gráfica y la solución total será la parte común a todas las soluciones. Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: Si representamos las rectas MODULO DE ALGEBRA Página 134
  135. 135. El triángulo rayado es la solución del sistema. Además, para los problemas de programación lineal es necesario el cálculo de los vértices de la región solución. Es sencillo su cálculo, pues se reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales son dos incógnitas, que provienen de igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes. Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto intersección de las rectas r y t tendremos que resolver el sistema formado por: MODULO DE ALGEBRA Página 135
  136. 136. Ejercicios: 1. Calcular los otros dos vértices. 2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los vértices de las regiones que sean solución: Nota: Rectas horizontales y verticales. En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥ k, donde falta alguna de las dos incógnitas. Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y sus representaciones bien sencillas. Por ejemplo, la inecuación x ≤−2noesma´s que el conjunto de puntos a la izquierda de la recta vertical que pasa por el punto x = −2, gráficamente: MODULO DE ALGEBRA Página 136
  137. 137. Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que será en este caso la parte inferior a la recta horizontal y =1, es decir: En el caso particular de que sea x ≥ 0 o y ≥ 0, las rectas coincidirán con los ejes de coordenadas. Forma algebraica Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vértices de la región en la función objetivo. La solución óptima vendrá dada por aquel que tome el mayor (o menor) valor. Ejemplo: Maximizar la función F(x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones: F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000 F (0, −1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0 − 5000 = −5000 MODULO DE ALGEBRA Página 137
  138. 138. F (3, −3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000 − 15000 = −9000 Vemos que el valor máximo se alcanza para el vértice (5,1) y que dicho valor es 15. La misma solución que se obtenía antes. Ejercicio: Resolver los problemas de programación lineal: Algunos ejemplos de casos extremos Puede ocurrir que la solución óptima no sea ´única, e incluso que no exista, como en los ejemplos siguientes: Ejemplo 1: Maximizar g(x, y)=3x +4y sujeta a las restricciones: MODULO DE ALGEBRA Página 138
  139. 139. Si representamos la región factible: PROGRAMACIÓN LINEAL EN EXCEL Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas MODULO DE ALGEBRA Página 139

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