CONSTRUYENDO CURVAS FRACTALES              ESTRELLA JR - KOCH                  ARTÍCULO              PRESENTADO POR       ...
“En matemática, plantear y resolver un problema es               matemática,obsesivamente bello; pero construir un nuevo c...
CONSTRUYENDO LA CURVA DE KOCH                         Niels Fabian Helge Von Koch                         (Estocolmo, 25 d...
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CONSTRUYENDO CURVAS FRACTALES

  1. 1. CONSTRUYENDO CURVAS FRACTALES ESTRELLA JR - KOCH ARTÍCULO PRESENTADO POR JORGE LUIS ROJAS PAZ JOSÉ UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO CARRIÓN SÁNCHEZ CARRIÓN CICLO 2011-II Página 1
  2. 2. “En matemática, plantear y resolver un problema es matemática,obsesivamente bello; pero construir un nuevo conocimiento, no es sino la bello construir conocimiento, experimentar“mayor exitación que la mente humana puede experimentar“ Jorge Luis Rojas Paz Página 2
  3. 3. CONSTRUYENDO LA CURVA DE KOCH Niels Fabian Helge Von Koch (Estocolmo, 25 de enero de 1870 - ibidem, 11 de marzo de 1924) fue un matemático sueco, cuyo nombre le ha sido asignado a la famosa curva que estudiaremos en este artículo.La curva de koch que se muestraEs realizada de la siguiente manera:1.-Considere por ejemplo un segmento de longitud igual a la unidad.2.- Divida este segmento en otros tres de igual longitud, es decir cada uno de ellos delongitud 1/3 y retire el segmento central, sustituyéndolo por otros dos; que junto conel suprimido formarían un triangulo equilátero de lado 1/3.De esta forma la curva de koch es el resultado de repetir el procedimiento antesindicado, infinitas veces sobre cada uno de los segmentos así obtenidos. Página 3
  4. 4. USO DE WINLOGO PARA OBTENER LA CURVA DE KOCHUtilizando el lenguaje de programación Winlogo podemos obtener la curva de kochsiguiendo el programa para koch :paso :lado si :paso = 0 [av :lado alto] koch :paso-1 :lado/3 gi 60 koch :paso-1 :lado/3 gd 120 koch :paso-1 :lado/3 gi 60 koch :paso-1 :lado/3 finel mismo que trabaja con dos variables :paso y :lado, es decir que para ejecutarlodebes digitar (después de fin) por ejemplo: koch 5 200obteniendo la curva de koch conforme se muestra a continuacion USO DEL SOFWARE VON KOCH CURVE PARA OBTENER LA CURVA DE KOCHTambién existe en la página www.efg2.com/Lab/un completo laboratorio de software entre ellos von koch curve de libre acceso quepuede ayudarnos a construir la curva de koch Página 4
  5. 5. En este software modifique las entradas Maxlevel escribiendo 0 Special case escribiendo 2 Rotation(deg) escribiendo 0Obteniendo la ventana: Página 5
  6. 6. A continuación modifique maxlevel por ejemplo hasta el valor 6 obteniendo la curvade koch ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA DE KOCHUna de las características más saltantes de la curva de koch es que esta posee longitudinfinita y si consideramos el área bajo dicha curva, ésta es finita.En efecto, consideremos el caso en que tomamos un segmento de longitud unitaria. L=1después de la primera iteración observamos que obtenemos 4 segmentos de longitud1/3 cada uno y cuya longitud total será ahora igual a 4/3 L=4/3 Página 6
  7. 7. En la segunda iteración, se obtienen 16 segmentos cada uno de longitud 1/9, lo quenos indica que la longitud total de la curva es ahora 16/9 L=16/9En la tercera iteración, se obtienen 64 segmentos cada uno de longitud 1/27, lo quenos indica que la longitud total de la curva es ahora 64/27 L=64/27De este modo en la n-ésima iteración se obtendrían 4n segmentos, cada uno de n n n 1 1 n =4longitud   , es decir la curva tendría por longitud L =   . 4   3 3 3 n 4 L=  3Puesto que la curva de Koch es el resultado de iterar sobre los segmentos resultantesinfinitas veces, entonces su longitud se calcularía en la forma n 4 L = lim   = ∞   n→∞ 3Lo que indica que su longitud tiende a infinito a medida que el número de iteracionesse aproxima al infinito. ¿Y QUÉ SUCEDE CON EL ÁREA BAJO LA CURVA?Para dar respuesta a ello observemos el área bajo la curva en la primera iteración Página 7
  8. 8. la cual se calcula, aplicando la fórmula para el área de un triangulo equilátero L2 3 A= , y que en este caso particular seria 4 2 1 3 A =  . 1 3 4Para la segunda iteración los lados de los triángulos tienen longitud 1/9 y su área seria 2 2 1 3 1 3 A =  . .4 +   . 2 9 4 3 4Para la tercera iteración los lados de los triángulos tienen longitud 1/27 y su área seria 2 2 2  1  3 1 3 1 3 A3 =   . .16 +   . .4 +   .  27  4 9 4 3 4De esta forma el área para la n-ésima iteración puede ser escrita como la siguientesumatoria 2 n  1  3 An = ∑   4 i- 1 i= 1  3 i  4 i 3 n  4  An = ∑   1 6 i= 1  3 2 De este modo a medida que el número de iteraciones se aproxima al infinito esto esn → ∞ , el área estaría dada por i 3 n  4  A∞ = lim ∑   1 6 n → ∞ i=1  3 2  i n  4  4 y como lim ∑  2  = n → ∞ i=1  3  5Se concluye que 3 A∞ = 20Lo que nos indica que el área bajo la curva de koch es finita. Página 8
  9. 9. Utilizando el lenguaje de programación Winlogo, es posible generar el famoso copo denieve y también lo podemos hacer con el software von koch curve.Utilizando el programa para winlogo para koch :paso :lado si :paso = 0 [av :lado alto] koch :paso-1 :lado/3 gi 60 koch :paso-1 :lado/3 gd 120 koch :paso-1 :lado/3 gi 60 koch :paso-1 :lado/3 fin para isla :paso :lado repite 3 [koch :paso :lado gd 120 ] fin isla 5 200Obtienes el copo de nieveQue no es otra cosa que el resultado de la aplicación del proceso utilizado paraconstruir la curva de koch, sobre cada uno de los lados de un triangulo equilátero y sisuponemos que la longitud de cada lado es igual a la unidad, igualmente llegamos a laconclusión que el copo de nieve tiene perímetro infinito pero su área seria finita pues Página 9
  10. 10. de acuerdo con al análisis hecho líneas arriba para calcular el área bajo la curva de 3koch, sólo tendríamos que multiplicar el área A ∞ = por tres y adicionarle a 20este resultado el área del triangulo equilátero de lado igual a la unidad esto es: 3 3 2 3 A COPO = ( )(3) + = 20 4 5De esta forma el área del copo de nieve es efectivamente finita.La curva generada en la portada de este artículo denominada curca estrella jr_koch hasido concebida por el autor mediante el siguiente programa para Winlogo para koch :paso :lado si :paso = 0 [av :lado alto] koch :paso-1 :lado/3 gi 60 koch :paso-1 :lado/3 gd 120 koch :paso-1 :lado/3 gi 60 koch :paso-1 :lado/3 fin para isla :paso :lado repite 2 [koch :paso :lado gd 180 koch :paso :lado] gd 90 repite 2 [koch :paso :lado gd 180 koch :paso :lado] fin isla 5 100 BIBLIOGRAFIA[1] Tom Apóstol. Análisis Matemático. Editorial Reverté, Barcelona España, 1972.[ 2 ] B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, 1992.[3] M. Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., 1988.[ 4 ] S. Sabogal & G. Arenas. Una Introducción a la Geometría Fractal. Bucaramanga, 2011.[5] Software Von Koch curve en www.efg2.com/Lab/[ 6] Demo gratis de winlogo y demás recursos de logo en: http://neoparaiso.com/logo/winlogo.html Página 10

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