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HOMEOMORFISMOS

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HOMEOMORFISMOS

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA Facultad de Ciencias e Ingeniería Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz Docente de introducción a la topología HOMEOMORFISMOSHomeomorfismos: Sean M y N espacios métricos. Un homeomorfismo de M sobre N es una biyección continua f : M N cuya inversa f 1 : M N también es continua. En este caso se dice que M y N son homeomorfos. Puesto que de la composición de aplicaciones biyectivas resulta otra aplicación biyectiva y de la composición de aplicaciones continuas resulta una nueva aplicación continua se concluye que la composición de homeomorfismos es también un homeomorfismo. Daremos a continuación un ejemplo interesante de homeomorfismo cuya construcción espero sirva de guía para alumnos que quieren iniciarse en el fascinante mundo de la topología.  Sea P= (0…., 0,1) el polo norte de la esfera unitaria n-dimensional sn x Rn 1; x 1 . La esfera unitaria n dimensional menos el polo norte constituye un espacio homeomorfo al espacio euclidiano Rn . En efecto: Para efectos didácticos construiremos tal homeomorfismo considerando como polo norte el punto P = (0,0,1) y la esfera unitaria 2-dimensional s2 x R3 ; x 1. Z L P Y X R La recta L que pasa por el polo norte corta a la esfera S2 en el punto Q como se aprecia y toca al plano en el punto R.Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 1
  2. 2. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA  Entonces podemos escribir la ecuación de la recta L de la siguiente manera:   L : P t(PQ) R; t R Siendo P=(0,0,1);Q=(a,b,c) y R=(x,y,0) la ecuación anterior se escribirá como (0,0,1) t (a, b, c 1) ( x, y,0) (at, bt,1 t (c 1)) (x, y,0) 1 t (c 1) 0 t (c 1) 1 1 t 1 c a b Por consiguiente x ;y 1 c 1 c De esta forma hemos construido la función f : S2 P R2 , definida por: a b (a, b, c) f (a, b, c) ; 1 c 1 c  Así mismo la ecuación de la recta L puede escribirse también como:   L : P t (PR) Q ; t R Reemplazando los puntos P, Q, R por sus respectivas coordenadas (a, b, c) (0,0,1) t (x , y , 1) (a, b, c) (tx, ty,1 t ) a tx; b ty; c 1 t Como (a, b, c) S 2 P tenemos (tx)2 (ty)2 (1 t )2 1 t 2 x2 t 2 y2 1 2t t 2 1 tx2 ty2 2 t 0 2 t 1 x y2 2 2x 2y 2 Por consiguiente a 2 2 ;b 2 2 ;c 1 lo cual nos 1 x y 1 x y 1 x y2 2 permite construir la función f 1 : R2 S 2 P definida como: 2x 2y 2 ( x, y) f 1 ( x, y) 2 2 ; 2 2 ;1 1 x y 1 x y 1 x y2 2 La cual constituye la función inversa de la función f .Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 2
  3. 3. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA  Ahora bien una breve inspección muestra que ( f  f 1 )( x, y) ( x, y) ( f 1  f )(a, b, c) (a, b, c) Lo cual garantiza que f sea biyectiva.  F es continua En efecto: Dado que (a, b, c) S 2 (0,0,1) se tienen las siguientes desigualdades 1 a 1 1 b 1 1 c 1 2 c 1 0 0 1 c 2 1 c 0 a b Po lo tanto se deduce de ellas que la función f (a, b, c) ; está bien 1 c 1 c definida en todo punto (a, b, c) S 2 (0,0,1) , entonces: Si a0 , b0 , c0 S2 P es un punto arbitrario se tiene el siguiente resultado a b lim f (a, b, c) lim ; f a0 , b0 , c0 , lo que a,b,c a0 ,b0 ,c0 a,b,c a0 ,b0 ,c0 1 c 1 c prueba que f es continua en S 2 (0,0,1) .Un argumento similar garantiza la continuidad de f 1 .  F es sobreyectiva ¡ejercicio!  Generalizando Del análisis hecho se sigue que el homeomorfismo entre la esfera unitaria n-dimensional sn x Rn 1; x 1 menos el polo norte P y el espacio euclidiano Rn queda definido de la siguiente manera f : Sn P Rn x1 x ( x1,..., xn 1) f ( x1,..., xn 1) ;...; n 1 xn 1 1 xn 1 El mismo que es conocido como la proyección estereográfica. Su inversa es dada por f 1 : Rn Sn P la misma que queda definida de la siguiente manera: 2x1 2xn 2 ( x1,..., xn ) f 1 ( x1,..., xn ) 2 2 ;....; 2 2 ;1 1 x1 ... xn 1 x1 ... xn 1 x1 ... xn2 2 y que constituye también un homeomorfismo. .Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 3
  4. 4. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA BIBLIOGRAFÍA  ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto Euclides 1983.  ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto Euclides, CNPq, 1976.  ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Tecnico, Rio, 1970  JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana, Universitat de Valencia.Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 4
  5. 5. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍAFacultad de Ciencias e Ingeniería Página 5

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