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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN                           TOPOLOGÍA


                     Facultad de Ciencias e Ingeniería
                            Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz
                         Docente de introducción a la topología


                            HOMEOMORFISMOS

Homeomorfismos:
    Sean M y N espacios métricos. Un homeomorfismo de M sobre N es una biyección
    continua f : M    N cuya inversa f 1 : M N también es continua. En este caso
    se dice que M y N son homeomorfos.
    Puesto que de la composición de aplicaciones biyectivas resulta otra aplicación
    biyectiva y de la composición de aplicaciones continuas resulta una nueva
    aplicación continua se concluye que la composición de homeomorfismos es
    también un homeomorfismo.
    Daremos a continuación un ejemplo interesante de homeomorfismo cuya
    construcción espero sirva de guía para alumnos que quieren iniciarse en el
    fascinante mundo de la topología.

     Sea P= (0…., 0,1) el polo norte de la esfera unitaria n-dimensional
       sn    x Rn 1; x 1       . La esfera unitaria n dimensional menos el polo norte
       constituye un espacio homeomorfo al espacio euclidiano Rn .

       En efecto:
       Para efectos didácticos construiremos tal homeomorfismo considerando como
       polo norte el punto P = (0,0,1) y la esfera unitaria 2-dimensional
       s2    x R3 ; x     1.                 Z
                                        L
                                             P




                                                                                  Y




                     X
                                                                  R


       La recta L que pasa por el polo norte corta a la esfera S2 en el punto Q como se
       aprecia y toca al plano en el punto R.

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     Entonces podemos escribir la ecuación de la recta L de la siguiente manera:
                                      
                                        
                              L : P t(PQ) R; t R

       Siendo P=(0,0,1);Q=(a,b,c) y R=(x,y,0) la ecuación anterior se escribirá como

                              (0,0,1) t (a, b, c 1) ( x, y,0)

                          (at, bt,1 t (c 1)) (x, y,0)
                          1 t (c 1) 0
                          t (c 1) 1
                                1
                          t
                              1 c
                              a         b
       Por consiguiente x        ;y
                            1 c       1 c
       De esta forma hemos construido la función

                          f : S2      P          R2 , definida por:
                                                                  a       b
                                     (a, b, c)     f (a, b, c)        ;
                                                                 1 c 1 c

     Así mismo la ecuación de la recta L puede escribirse también como:
                                        
                                          
                               L : P t (PR) Q ; t R

       Reemplazando los puntos P, Q, R por sus respectivas coordenadas

                            (a, b, c) (0,0,1) t (x , y , 1)
                            (a, b, c) (tx, ty,1 t )
                            a tx; b ty; c 1 t
       Como       (a, b, c) S 2 P tenemos
                                   (tx)2 (ty)2 (1 t )2 1
                                   t 2 x2 t 2 y2 1 2t t 2 1
                                   tx2 ty2 2 t 0
                                             2
                                   t
                                        1 x y2
                                             2



                                   2x           2y             2
       Por consiguiente a          2    2
                                          ;b    2  2
                                                     ;c 1          lo cual nos
                               1 x y         1 x y          1 x y2
                                                               2


       permite construir la función f 1 : R2 S 2 P definida como:

                                             2x     2y         2
                ( x, y)     f 1 ( x, y)      2  2
                                                  ; 2  2
                                                         ;1
                                          1 x y 1 x y       1 x y2
                                                               2



       La cual constituye la función inversa de la función f .

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     Ahora bien una breve inspección muestra que

                                          ( f  f 1 )( x, y) ( x, y)
                                          ( f 1  f )(a, b, c) (a, b, c)

       Lo cual garantiza que f sea biyectiva.

     F es continua
      En efecto: Dado que                            (a, b, c) S 2            (0,0,1)     se tienen las siguientes
      desigualdades
                                               1       a     1
                                               1       b     1
                                               1       c     1
                                               2       c     1 0
                                              0       1     c 2 1 c 0

                                                                                                    a        b
       Po lo tanto se deduce de ellas que la función f (a, b, c)                                        ;          está bien
                                                                                                  1 c 1 c
       definida en todo punto (a, b, c) S 2                                (0,0,1) , entonces:
       Si       a0 , b0 , c0       S2      P es un punto arbitrario se tiene el siguiente resultado
                                                                             a       b
                lim            f (a, b, c)                  lim                  ;          f a0 , b0 , c0       , lo que
        a,b,c     a0 ,b0 ,c0                        a,b,c     a0 ,b0 ,c0   1 c 1 c
       prueba que f es continua en S 2                                 (0,0,1) .Un argumento similar garantiza la
      continuidad de f 1 .
     F es sobreyectiva ¡ejercicio!

     Generalizando

       Del análisis hecho se sigue que el homeomorfismo entre la esfera unitaria
       n-dimensional              sn       x Rn 1; x 1                     menos el polo norte P y el espacio
       euclidiano Rn queda definido de la siguiente manera

                                                 f : Sn                P             Rn
                                                                                       x1          x
                               ( x1,..., xn 1)               f ( x1,..., xn 1)              ;...; n
                                                                                     1 xn 1      1 xn   1


       El mismo que es conocido como la proyección estereográfica. Su inversa es dada
       por f      1
                      : Rn          Sn       P la misma que queda definida de la siguiente manera:
                                                                2x1                    2xn              2
       ( x1,..., xn )          f 1 ( x1,..., xn )                  2    2
                                                                          ;....;     2       2
                                                                                               ;1
                                                            1 x1 ... xn          1 x1 ... xn      1 x1 ... xn2
                                                                                                      2


       y que constituye también un homeomorfismo.
       .

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                             BIBLIOGRAFÍA

            ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto
             Euclides 1983.
            ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto
             Euclides, CNPq, 1976.
            ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro
             Tecnico, Rio, 1970
            JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana,
             Universitat de Valencia.




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HOMEOMORFISMOS

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA Facultad de Ciencias e Ingeniería Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz Docente de introducción a la topología HOMEOMORFISMOS Homeomorfismos: Sean M y N espacios métricos. Un homeomorfismo de M sobre N es una biyección continua f : M N cuya inversa f 1 : M N también es continua. En este caso se dice que M y N son homeomorfos. Puesto que de la composición de aplicaciones biyectivas resulta otra aplicación biyectiva y de la composición de aplicaciones continuas resulta una nueva aplicación continua se concluye que la composición de homeomorfismos es también un homeomorfismo. Daremos a continuación un ejemplo interesante de homeomorfismo cuya construcción espero sirva de guía para alumnos que quieren iniciarse en el fascinante mundo de la topología.  Sea P= (0…., 0,1) el polo norte de la esfera unitaria n-dimensional sn x Rn 1; x 1 . La esfera unitaria n dimensional menos el polo norte constituye un espacio homeomorfo al espacio euclidiano Rn . En efecto: Para efectos didácticos construiremos tal homeomorfismo considerando como polo norte el punto P = (0,0,1) y la esfera unitaria 2-dimensional s2 x R3 ; x 1. Z L P Y X R La recta L que pasa por el polo norte corta a la esfera S2 en el punto Q como se aprecia y toca al plano en el punto R. Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 1
  • 2. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA  Entonces podemos escribir la ecuación de la recta L de la siguiente manera:   L : P t(PQ) R; t R Siendo P=(0,0,1);Q=(a,b,c) y R=(x,y,0) la ecuación anterior se escribirá como (0,0,1) t (a, b, c 1) ( x, y,0) (at, bt,1 t (c 1)) (x, y,0) 1 t (c 1) 0 t (c 1) 1 1 t 1 c a b Por consiguiente x ;y 1 c 1 c De esta forma hemos construido la función f : S2 P R2 , definida por: a b (a, b, c) f (a, b, c) ; 1 c 1 c  Así mismo la ecuación de la recta L puede escribirse también como:   L : P t (PR) Q ; t R Reemplazando los puntos P, Q, R por sus respectivas coordenadas (a, b, c) (0,0,1) t (x , y , 1) (a, b, c) (tx, ty,1 t ) a tx; b ty; c 1 t Como (a, b, c) S 2 P tenemos (tx)2 (ty)2 (1 t )2 1 t 2 x2 t 2 y2 1 2t t 2 1 tx2 ty2 2 t 0 2 t 1 x y2 2 2x 2y 2 Por consiguiente a 2 2 ;b 2 2 ;c 1 lo cual nos 1 x y 1 x y 1 x y2 2 permite construir la función f 1 : R2 S 2 P definida como: 2x 2y 2 ( x, y) f 1 ( x, y) 2 2 ; 2 2 ;1 1 x y 1 x y 1 x y2 2 La cual constituye la función inversa de la función f . Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 2
  • 3. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA  Ahora bien una breve inspección muestra que ( f  f 1 )( x, y) ( x, y) ( f 1  f )(a, b, c) (a, b, c) Lo cual garantiza que f sea biyectiva.  F es continua En efecto: Dado que (a, b, c) S 2 (0,0,1) se tienen las siguientes desigualdades 1 a 1 1 b 1 1 c 1 2 c 1 0 0 1 c 2 1 c 0 a b Po lo tanto se deduce de ellas que la función f (a, b, c) ; está bien 1 c 1 c definida en todo punto (a, b, c) S 2 (0,0,1) , entonces: Si a0 , b0 , c0 S2 P es un punto arbitrario se tiene el siguiente resultado a b lim f (a, b, c) lim ; f a0 , b0 , c0 , lo que a,b,c a0 ,b0 ,c0 a,b,c a0 ,b0 ,c0 1 c 1 c prueba que f es continua en S 2 (0,0,1) .Un argumento similar garantiza la continuidad de f 1 .  F es sobreyectiva ¡ejercicio!  Generalizando Del análisis hecho se sigue que el homeomorfismo entre la esfera unitaria n-dimensional sn x Rn 1; x 1 menos el polo norte P y el espacio euclidiano Rn queda definido de la siguiente manera f : Sn P Rn x1 x ( x1,..., xn 1) f ( x1,..., xn 1) ;...; n 1 xn 1 1 xn 1 El mismo que es conocido como la proyección estereográfica. Su inversa es dada por f 1 : Rn Sn P la misma que queda definida de la siguiente manera: 2x1 2xn 2 ( x1,..., xn ) f 1 ( x1,..., xn ) 2 2 ;....; 2 2 ;1 1 x1 ... xn 1 x1 ... xn 1 x1 ... xn2 2 y que constituye también un homeomorfismo. . Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 3
  • 4. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA BIBLIOGRAFÍA  ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto Euclides 1983.  ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto Euclides, CNPq, 1976.  ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Tecnico, Rio, 1970  JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana, Universitat de Valencia. Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 4
  • 5. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 5