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SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA UTILIZANDO DERIVE 6.10

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SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA UTILIZANDO DERIVE 6.10

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz SOLUCIÓN DE UNA Ecuación DIFERENCIAL ORDINARIA homogénea UTILIZANDO EL SOFTWARE DERIVE 6.10 Ecuaciones Diferenciales HomogéneasLas ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado que se denotan engeneral como: M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 ………………….( )Se llaman homogéneas si My N son funciones Homogéneas del mismo grado en x e y. Solución clásica de una ecuación diferencial ordinaria HomogéneaConsideremos la ecuación diferencial ordinaria homogénea M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0............( )Entonces M ( x, y) y N (x, y) son funciones homogéneas y como tal son funcioneshomogéneas del mismo grado el cual podemos suponer que es k, y de ello se sigue que: k M ( x, y) M ( x, y) k N ( x, y) N ( x, y)..................( ) 1  Si hacemos y remplazamos en estas dos ecuaciones dicho valor x obtenemos y 1 y M (1, ) ( )k M (x , y ) M (x , y ) xk M (1, ) x x x y 1 y N (1, ) ( )k N ( x, y) N ( x, y) xk N (1, ) x x x  Si en la primera ecuación hacemos y/x=u entonces y M ( x, y) xk M (1, ) xk M (1, u) xk (u) x k Así obtenemos: M ( x, y) x (u) , y/x=u  Si en la segunda ecuación también hacemos y/x=u entonces y N ( x, y) xk N (1, ) xk N (1, u) xk (u) x Obteniendo así N ( x, y) xk (u); y/x=uFACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Página 1
  2. 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz Ahora de y/x=u se sigue que y=ux dy=udx+xdu y con los resultados anteriores obtenidos, la ecuación se transforma en: xk (u)dx xk (u)(udx xdu) 0 Factorizando xk y agrupando convenientemente tenemos (u) u (u) dx x (u)du 0 dx (u) De donde obtenemos du 0 ecuación que corresponde a x (u) u (u) las ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable. 1  Si hacemos y reemplazamos dicho valor en las ecuaciones se obtiene y x M ( x, y) yk (u); u y x N ( x, y) yk (u); u y x De u se sigue que x=yu de donde dx=udy+ydu, conjugando estos y k k resultados tenemos y (u)(udy ydu) y (u)dy 0 de donde k factorizando y , y agrupando convenientemente obtenemos dy (u) du 0 y u (u) (u) La que corresponde nuevamente a una ecuación diferencial ordinaria de variable separable. Veamos un ejemplo de aplicación  Resolver la ecuación diferencial ( y x2 y2 )dx xdy 0; sujeta a y( 3) 1 Solución Haciendo el cambio de variable apropiado (y=ux), y siguiendo la teoría descrita anteriormente se tiene: (ux x2 (ux)2 )dx x(udx xdu) 0 De esto simplificando y agrupando convenientemente obtenemos: dx du 0 x u2 1 Integrando esta ecuación de variable separable obtenemos como solución la familia y y 2 x2 k; k R Además como y( 3) 1de la familia anterior se obtiene la solución particular 2 siguiente x 9 6 y , x>0.FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Página 2
  3. 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Lic. Mat. Jorge Luis Rojas PazPodemos hacer uso del Software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuacióndiferencial ordinaria homogénea usando la función DSOLVE1 (m, n, x, y, x0 , y0 )Explicaremos a continuación su uso en el problema anteriormente desarrollado, paraello consideramos m y x2 y2 , n x , x0 3 y0 1En seguida sustituimos estos valores en la función: DSOLVE1 (m, n, x, y, x0 , y0 )e ingresamos en la ventana Álgebra de derive como se indica a continuación Fig. 01Finalmente haciendo clic en el icono de derive, obtenemos la primitiva de laecuación como se puede apreciar en la figura adjunta Fig. 02FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Página 3
  4. 4. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Lic. Mat. Jorge Luis Rojas PazEs posible observar gracias a derive la curva que representa la primitiva para ellosimplemente buscamos el icono bidimensional en derive y hacemos clic dos vecesen el obteniendo Fig. 03  Resuelva con derive las ecuaciones diferenciales que se indican a continuación: dy y2 2xy x2 dy 2xy y2 1.- 0 ; y(1) 1 2.- ; y(1) 2 dx y2 2xy x2 dx 2xy x2 dy xy 3.- ( x3 y2 x2 y2 )dx xy x2 y2 dy 0 4.- 2 dx x xy y2 BIBLIOGRAFÍAHOFFMAN,K;KUNZE.R.-...................................Álgebra Lineal .ed.Prentice Hall.1973.IMMONS.G;ROTA.G.C.-…...Ordinary Diffencial Equations. Gin and Company.1962.GUZMÁN. M.-…………..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Teoría de Estabilidad y Control. Editorial Alhambra.1975.Texto de AplicacionesESPINOZA. R.-…..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .ed.Servicios Gráficos JJ.2004.FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Página 4

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