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ESPACIOS METRICOS

  1. 1. ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS Facultad de Ciencias e Ingeniería Lic. JORGE LUIS ROJAS PAZ Docente del curso de introducción a la topología Espacios métricosUna de las ideas más importantes de la matemática es la de continuidad la misma queesta relacionada directamente con los conceptos de convergencia y límites, sinembargo tales conceptos no tendrían significado alguno si los conjuntos sobre loscuales son desenvueltos no poseen la estructura necesaria para poder hablar deproximidad de puntos, tales conjuntos son llamados espacios topológicos. La forma dedecidir cuando dos puntos pertenecientes a un conjunto M están mas próximos de untercero, involucra la noción de distancia ya previamente definida en el conjunto enmención, tales conjuntos son llamados espacios métricos. Este concepto y otros másfueron introducidos por Maurice Fréchet en el año 1906 en su famosa tesis tornándoseclásicos en el estudio de la topología.Definición: (Métrica) Sea M un conjunto no vacío. Una métrica en el conjunto M es unafunción d: M x M R, tal que satisface los axiomas siguientes: A1.- d(x, y) = 0 sii x = y, d(x, y)>0; x, y M. A2.- d(x, y) = d (y, x); x, y M. A3.- d(x, z) d (x, y)+ d (y, z); x, y, z M.Si M es un conjunto y d una métrica en M, a la pareja (M, d) le llamaremosEspacio Métrico. Como ejemplos motivadores de Espacios Métricos presentamos:1.-Si M es el conjunto de los números reales R, la función d: R x R R definida por d(x, y) x y es una métrica en R, llamada la métrica usual de R. En efecto: Es claro que el axioma 1 se verifica inmediatamente dada la definición en R de valor absoluto . Así mismo como x y y x , x, y R se sigue d(x, y) = d (y, x), verificándose el axioma 2. Finalmente de x y x z z y x z + z y , x, y, z R ; se tiene d (x, z) d (x, y)+ d (y, z), lo que demuestra el axioma 3.2.-Si M es el conjunto Rn , la función d: Rn x Rn R definida como: n d (( x1 ,…, xn ),( y1 ,…, yn )) ( xi yi )2 i 1 es una métrica, llamada la métrica Euclidiana. ¡Ejercicio!3.-Sea C 0,1 el conjunto de funciones reales continuas definidas sobre el intervalo 0,1 . La función d: C 0,1 x C 0,1 R definida porUNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN Página 1
  2. 2. ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS 1 d (f, g) = f x g ( x) dx es una métrica en C 0,1 . 0 En efecto: Dado que la función f ( x) g ( x) es no negativa en el intervalo 0,1 se 1 Sigue que f x g ( x) dx 0, y por consiguiente se verifica el axioma 1. 0 Por otro lado, sabemos que f ( x) g ( x) = g (x) f (x) , x 0,1 por 1 1 consiguiente de f ( x) g( x) dx g ( x) f ( x) dx se sigue d (f, g) d (g, f), lo que 0 0 demuestra el axioma 2. La desigualdad triangular se deduce fácilmente del siguiente razonamiento: f ( x) g( x) f ( x) h( x) h( x) g( x) , h C 0,1 , Además es claro que f ( x) g( x) f ( x) h( x) h( x) g( x) , x 0,1 . y puesto que las funciones f ( x) g ( x) y f ( x) h( x) h( x) g( x) son continuas en el intervalo 0,1 y por lo tanto integrables en dicho segmento se tendrá 1 1 1 f ( x) g( x) dx f ( x) h( x) dx h(x) g (x) dx 0 0 0 lo que prueba el axioma 3.4.-La Métrica del Ascensor. Consideremos la función d: R2 x R2 R, definida de la siguiente manera: donde: x (x1, x2 ) e y ( y1, y2 ) . “d(x, y)” así definida constituye una métrica en R2 , llamada la Métrica del Ascensor. En efecto: Sólo demostraremos la desigualdad triangular dejando al lector interesado las otras dos demostraciones restantes. Consideremos para ello el primer caso donde los puntos x e y se encuentran en el plano y sobre una misma recta vertical, situación para la cual hemos previsto un gráfico elaborado con el software winplot y Para este caso consideramos los puntos que se observan sobre la recta vertical donde d x, y y2 x2 , la cual x satisface la desigualdad triangular como es obvio pues si z es otro punto sobre la misma vertical entonces se tendrá y2 x2 y2 z2 z2 x2 y2 z2 z2 x2 Lo que corrobora lo afirmado.UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN Página 2
  3. 3. ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS Para el segundo caso consideremos dos punto x e y situados en rectas verticales diferentes x x1, x2 e y y1, y2 ) donde x1 x2 . Sea z z1,z2 un tercer punto ubicado en el plano y sobre alguna recta vertical x = z1 entonces se tiene: d ( x, y) x2 y1 x1 y2 x2 y1 z1 z1 x1 y2 x2 y1 z1 z1 x1 y2 y como x2 x2 z2 z2 x2 z2 z2 , además x2 z2 x2 z2 se concluye que d ( x, y) x2 y1 z1 z1 x1 y2 x2 z1 x1 z2 y2 z1 y1 z2 es decir d ( x, y) d ( x, z) d ( z, y) que es lo que esperábamos. y x Figura 1Otros ejemplos interesantes de espacios métricos sólo serán citados a continuación,invitando al lector entusiasta a realizar la demostración pertinente.5.-La Métrica de Correos La distancia entre dos puntos distintos es la suma de las distancias euclídeas de ambos puntos al origen.es decir dados dos puntos x e y se tiene: d( x, y) d ( x,0) d ( y, o) donde d ( x,0) y d ( y, o) son las distancias euclídeas de los puntos x e y al origen o de coordenadas.UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN Página 3
  4. 4. ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS6.-La Métrica del taxi La distancia entre dos puntos de coordenadas p( x1, x2 ); q( y1, y2 ) está dada por la suma de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas, esto es: d(( x1, x2 );( y1, y2 )) x1 y1 x2 y2 En el siguiente grafico se aprecian dos puntos de coordenadas P (-4,-2) y Q (3,2) y la distancia entre ellos utilizando la métrica del taxi indicándose como 11 y Mérica del Taxi Q d(P,Q)=11 x P Figura 02 Este nombre de métrica del taxi se debe a la interpretación que se hace de la distancia de un punto a otro, como en la figura mostrada, y que correspondería a la longitud que es recorrida por un taxi, que en una ciudad cuadriculada va desde un punto P hasta otro punto Q realizando un solo giro de volante. BIBLIOGRAFÍA  JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana, Universitat de Valencia.  ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto Euclides 1983.  ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto Euclides, CNPq, 1976.  ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Tecnico, Rio, 1970UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN Página 4

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