Integración por Sustitución Trigonométrica

211 visualizaciones

Publicado el

Esta es un problema resuelto por medio de la Sustitución Trigonométrica. Si la requieren pueden comentar su correo y se les hace llegar.

Publicado en: Ingeniería
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
211
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
8
Acciones
Compartido
0
Descargas
2
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Integración por Sustitución Trigonométrica

  1. 1. Jacob Aldair Gutiérrez García Grupo 63 Integración por Sustitución Trigonométrica
  2. 2. Usando el Teorema de Pitágoras expresamos el otro Cateto en términos de las 2 cantidades anteriores: 4 − 𝑥2 𝑑𝑥 4 − 𝑥2 𝑑𝑥 22 − 𝑥2 𝐻2 𝐶2 𝐶 = 𝑥𝐻 = 2 2 𝑥 2 𝑥 4 − 𝑥2 Enseguida, vamos a llamar a este ángulo con la letra Griega llamada Teta  2 𝑥 4 − 𝑥2 
  3. 3. Vamos a utilizar las relaciones trigonométricas fundamentales, lo que se conoce como SOHCAHTOA, para expresar lo que tenemos en el integrando en términos de ese ángulo Teta: 𝑺 𝑂 𝐻 𝑪 𝐴 𝐻 𝑻 𝑂 𝐴 Seno Coseno Tangente Comenzamos buscando una de estas relaciones, la que involucre la raíz del Cateto Adyacente con la Hipotenusa, al ver esto, nos daremos cuenta de que la que nos conviene es la función o la relación Coseno, entonces: 𝑐𝑜𝑠 = 4 − 𝑥2 2 4 − 𝑥2 = 2𝑐𝑜𝑠 Ahora ya tenemos un equivalente a la raíz cuadrada que tenemos en el integrando. Despejamo s
  4. 4. Ahora vamos a hacer lo mismo pero con el otro Cateto, hay que buscar la relación que exista entre el Cateto Opuesto y la Hipotenusa, al ver esto, nos daremos cuenta de que ahora la que nos conviene es la función o la relación Seno, entonces: 𝑠𝑒𝑛 = 𝑥 2 Despejamo s 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 Con esto, encontramos otra importante equivalencia o relación respecto al integrando de la función. 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 De esta última expresión, vamos a obtener la derivada de X con respecto a : 𝑑𝑥 𝑑 = 2𝑐𝑜𝑠 Despejamo s 𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠. 𝑑 De esta manera ya tenemos la expresión para el diferencial de X (dx) Como vemos, ya tenemos los 2 componentes de la integral original expresados en términos de , entonces vamos a reconstruirla sustituyendo esas 2 expresiones: 4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠. 2𝑐𝑜𝑠𝑑 … Aquí la integral ya deja de ser una expresión en términos de X para convertirse en una expresión en términos de la variable .
  5. 5. Vamos a continuar el paso anterior y entonces: … 2𝑐𝑜𝑠. 2𝑐𝑜𝑠𝑑 = 4𝑐𝑜𝑠2𝑑 … Vamos a utilizar una identidad trigonométrica, una fórmula de reducción de potencia: 𝑐𝑜𝑠2  = 1 + 𝑐𝑜𝑠2 2 Entonces: … 4𝑐𝑜𝑠2 𝑑 = 4. 1 + 𝑐𝑜𝑠2 2 𝑑 … Aún podemos simplificar: … 4. 1 + 𝑐𝑜𝑠2 2 𝑑 = 2. 1 + 𝑐𝑜𝑠2 1 𝑑 … … = 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠2)𝑑 = 2 𝑑 + 𝑐𝑜𝑠2𝑑 … Para hacer esta integral utilizamos una formula que es así: cos 𝐾 𝑑 = 1 𝐾 𝑠𝑒𝑛(𝐾) Sustituimos K, que es una variable, puede ser cualquier numero y para nuestro caso sería 2. Ya sustituyendo y al final de este paso, ya podremos poner la C (Constante de Integración) por que ya hemos resuelto las 2 integrales previas. … 2  + 1 2 𝑠𝑒𝑛(2) + 𝐶 …
  6. 6. Esta expresión aun se puede transformar haciendo uso de esta Identidad Trigonométrica del Seno. 𝑠𝑒𝑛 2 = 2𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 Entonces: … = 2  + 1 2 𝑠𝑒𝑛 2 + 𝐶 = 2  + 1 2 . 2𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 … También podemos simplificar aun más esta expresión: … = 2  + 1 2 . 2𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 = 2  + 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 … 2  + 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 … Ahora esta función constituye a la respuesta a la integral trigonométrica que se había planteado al principio. 4𝑐𝑜𝑠2𝑑Esta es la respuesta para esta integral
  7. 7. Ahora vamos a retomar el triangulo rectángulo con el que trabajamos al principio: 2 𝑥 4 − 𝑥2  𝑠𝑒𝑛 = 𝑥 2 cos  = 4 − 𝑥2 2 Necesitamos encontrarle un equivalente a , para ello tenemos que despejarla de cualquiera de estas 2 expresiones (Seno y Coseno) y es más sencillo de la expresión de Seno, sería así: 𝑠𝑒𝑛 = 𝑥 2  = 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 Y con esto vamos a reconstruir la última expresión: … = 2  + 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + 𝐶 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 + C
  8. 8. Después de reconstruir la ultima expresión, ya vamos a poder tener la respuesta del ejercicio inicial: 4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 + 𝑥 2 + 4 − 𝑥2 2 + C Ahora si ya esta, pero podemos escribirla de una manera más sencilla, utilizando la Propiedad Distributiva: 4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝑪 Y listo, esta expresión constituye el resultado de la Integral.

×