El documento presenta un problema de programación lineal para Nestlé Perú sobre cuántos metros cuadrados de dos materiales de empaque (papel manteca y papel de platina) debe comprar para maximizar el número de empaques que puede producir en un día, sujeto a restricciones de costo total y tiempo de producción. Se formulan las funciones objetivo y restricciones, y se grafican éstas últimas para encontrar la región factible óptima de 30 m2 de papel manteca y 90 m2 de papel de platina.

1. Programación Lineal Renzo Saettone Rizo – Patrón 5ºC

2. Enunciado del problema La empresa Nestlé Perú S.A. produce y vende el chocolate compacto con el nombre “Sublime” desde hace mas de 80 años. En la actualidad estos se vende en un empaque de platina. Pero se propuso una idea en la cual estos chocolates podrían ser empaquetados en papel manteca, como se vendían antiguamente. La empresa realizó una investigación y se llegó a la conclusión que los consumidores aceptarían cualquiera de los dos empaques, por lo que la empresa, decide usar los 2 empaques. Cabe resaltar, que el m 2 de papel manteca cuesta tres veces menos que el del m 2 del papel de platina pero 10 m 2 este ultimo puede ser procesado y listo para empacar los chocolates a la mitad de tiempo que 10 m 2 del papel manteca. La empresa dispone de 3 000 soles para gastar en el material de los empaques y solo pude producir desde las 6 am a las 9 pm. Se utilizan 20 cm 2 del material para realizar un empaque. Sabiendo que el precio del m 2 del empaque de papel platina es 30 soles y que 10 m 2 del mismo se demora 1 hora en estar listo para empacar los chocolates, ¿cuántos m 2 de cada material deben comprar para obtener el máximo número de empaques en un día de trabajo?

3. Determinar la función objetivo Representamos los m 2 del papel manteca con la incógnita “x”. m 2 de papel manteca x Luego, representamos los m 2 del papel platina con la incógnita “y”. m 2 de papel platina y Determinamos la función objetivo, analizando estas partes del enunciado: “¿cuántos m 2 de cada material deben comprar para obtener el máximo número de empaques en un día de trabajo?” “Se utilizan 20 cm 2 del material para realizar un empaque.” f (x;y) = x 0,2 + y 0,2

4. Encontrar todas las restricciones Utilizamos una tabla para poder encontrar las restricciones. Nota: x = Cantidad de m 2 de papel manteca. y = Cantidad de m 2 de papel platina. Los demás datos muestran que: “ La empresa dispone de 3 000 soles para gastar en el material de los empaques.” Deducimos entonces que: 10 soles . x + 30 soles . y ≤ 3 000 soles “ 10 m 2 del papel platina se demora 1 hora en estar listo para empacar los chocolates.” Entendemos entonces que: 2 horas . x + 1 hora . y = 15 horas 10 10 Costo por m 2 Tiempo de producción (por cada 10m 2 ) x 30 / 3 = 10 soles 2 horas y 30 soles 1 hora

5. Encontrar todas las restricciones 10 soles . x + 30 soles . y ≤ 3 000 soles 2 horas . x + 1 hora . y = 15 hora 10 10 10x + 30y ≤ 3 000 2x + y = 15 10 10 Se sobre entiende que “x” e “y” tienen que ser positivos. x ≤ 0 y ≤ 0 2x + y = 150

6. Graficar cada una de las restricciones 10x + 30y ≤ 3 000 50 100 150 200 300 250 350 ● ● 50 100 150 200 300 250 350 400 (0;100) (300;0) 10x + 30y ≤ 3 000 x y 0 100 300 0 x y 0 100 300 0

7. 50 100 150 200 300 250 350 ● ● 50 100 150 200 300 250 350 400 (0;100) (300;0) 10x + 30y ≤ 3 000 Graficar cada una de las restricciones 2x + y = 150 ● ● (0;150) (75;0) 2x + y ≤ 150 x y 0 150 75 0

8. Encontrar la región factible 50 100 150 200 300 250 350 ● ● 50 100 150 200 300 250 350 400 (0;100) (300;0) 10x + 30y ≤ 3 000 ● ● (0;150) (75;0) 2x + y ≤ 150 Comprobamos con el punto cardinal (0;0) 2x + y ≤ 150 0 ≤ 150 10x + 30y ≤ 3 000 0 ≤ 3 000 Región Factible

9. Encontrar los vértices de la región factible 50 100 150 200 300 250 350 ● ● 50 100 150 200 300 250 350 400 (0;100) (300;0) 10x + 30y ≤ 3 000 ● ● (0;150) (75;0) 2x + y ≤ 150 Resolvemos el sistema para hallar el punto cardinal faltante. 2x + y = 150 Región Factible (-5) 10x + 30y = 3 000 -10x -5y = -750 10x + 30y = 3 000 25y = 2250 y = 90 2x + 90 = 150 x = 30 (30;90) ●

10. Optimizamos la Función Objetivo (0;0) (0;100) (75;0) (30;90) 0 100 0,2 75 0,2 30 0,2 + 90 0,2 1000 2 500 750 2 350 300 2 + 900 2 600 f (x;y) = x 0,2 + y 0,2

11. Respuesta A la empresa, le convendría comprar 30 m 2 de papel manteca y 90 m 2 de papel platina.