Investigaci´n de operaciones, modelos           o     matem´ticos y optimizaci´n             a                o           ...
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Resumiendo: tenemos un modelo de programaci´n lineal                                           o                   m´x 4 ∗...
Gr´ficamente...  a           7,5            4                 (6,05;1,45)            0      7,5    9,5
Algo anda mal...      No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!      ¿Qu´ le falta al modelo?         e      Las va...
Algo anda mal...      No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!      ¿Qu´ le falta al modelo?         e      Las va...
Algo anda mal...      No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!      ¿Qu´ le falta al modelo?         e      Las va...
Tenemos entonces un modelo de programaci´n lineal                                        oentera                   m´x 4 ∗...
Veamos entonces la nueva soluci´n...                               o           7,5             4 (0;4)             0      ...
El problema de los 4 colores       Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modo       que 2 regiones lim´  ...
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Recorridos con cuatro ciudades
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Fuerza bruta      Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cada      uno calcular su costo, identificando de ...
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M´todos exactos. e      Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones para      acelerar la b´squeda y llegar...
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Asignemos un operario distinto a cada uno de lossiguientes 3 trabajos          Trabajo 1       3          Operario 1      ...
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Soluciones ´ptimas para el PVV           o      En 1954 Dantzig, Fulkerson y Johnson resolvieron un caso de      49 ciudad...
Soluci´n record (en 2001) de 15112 ciudades de Alemania      o     Resuelta en una red de 110     m´quinas en las       a ...
Soluci´n record (en 2004) de 24978 ciudades de Suecia      o     Resuelta por Applegate,     Bixby, Chv´tal, Cook y       ...
Soluci´n record actual (2005)      o      Cook, Espinoza y Goycoolea: 33810 ciudades!
Agradecimientos      A los doctores Flavia Bonomo y Pablo Coll, de la Facultad de      Ciencias Exactas y Naturales de la ...
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Investigaciòn de operaciones modelos matematicos

  1. 1. Investigaci´n de operaciones, modelos o matem´ticos y optimizaci´n a o Guillermo Dur´n a Centro de Gesti´n de Operaciones o Departamento de Ingenier´ Industrial ıa Universidad de Chile Seminario JUNAEB-DII Enero de 2006
  2. 2. ¿Qu´ es la Investigaci´n de Operaciones? e o Una definici´n que se acerca mucho a la realidad ser´ “la o ıa ciencia de la toma de decisiones”. Conviven en esta disciplina profesionales de las m´s diversas ramas: ingenieros, a matem´ticos, computadores, economistas. Todos ellos deben a aprender una t´cnica fundamental: el modelamiento e matem´tico. a
  3. 3. Un problema de producci´n o Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir el pr´ximo d´ para maximizar su ganancia. o ıa Cuenta con 38m2 de madera y dispone de 7, 5 hs/hombre. Se requiere de 4m2 y 1 hora/hombre para confeccionar cada silla; y de 9, 5m2 de madera y 1 hora/hombre para confeccionar cada mesa. Se asume que se vende todo lo que se produce y que el beneficio por silla es de $4, mientras que el beneficio por mesa es de $8, 5. ¿Cu´ntas sillas y mesas debe producir? a
  4. 4. ¿Qu´ significa hacer un modelo matem´tico? e a Hacer un modelo matem´tico es interpretar lo mejor posible la a realidad a trav´s de ciertas f´rmulas. e o Por ejemplo, en el problema de producci´n planteado, o podemos definir una variable x1 , que medir´ el n´mero de a u sillas, y una variable x2 , que medir´ el n´mero de mesas. a u Veamos como relacionar estas variables para cumplir con las condiciones del problema.
  5. 5. El modelo de las sillas y las mesas ¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo o o a a n´mero de metros cuadrados que podemos usar es 38? u 4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38 ¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo o o a a n´mero de horas/hombre que podemos usar es 7, 5? u x1 + x2 ≤ 7, 5
  6. 6. El modelo de las sillas y las mesas ¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo o o a a n´mero de metros cuadrados que podemos usar es 38? u 4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38 ¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo o o a a n´mero de horas/hombre que podemos usar es 7, 5? u x1 + x2 ≤ 7, 5
  7. 7. El modelo de las sillas y las mesas ¿Cu´l es la funci´n de utilidad que tenemos que maximizar? a o m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2 a Por ultimo, el n´mero de sillas y de mesas debe ser positivo: ´ u x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
  8. 8. El modelo de las sillas y las mesas ¿Cu´l es la funci´n de utilidad que tenemos que maximizar? a o m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2 a Por ultimo, el n´mero de sillas y de mesas debe ser positivo: ´ u x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
  9. 9. Resumiendo: tenemos un modelo de programaci´n lineal o m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2 a Sujeto a: 4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38 x1 + x2 ≤ 7, 5 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
  10. 10. Gr´ficamente... a 7,5 4 (6,05;1,45) 0 7,5 9,5
  11. 11. Algo anda mal... No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!! ¿Qu´ le falta al modelo? e Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
  12. 12. Algo anda mal... No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!! ¿Qu´ le falta al modelo? e Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
  13. 13. Algo anda mal... No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!! ¿Qu´ le falta al modelo? e Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
  14. 14. Tenemos entonces un modelo de programaci´n lineal oentera m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2 a Sujeto a: 4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38 x1 + x2 ≤ 7, 5 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1 y x2 son enteras.
  15. 15. Veamos entonces la nueva soluci´n... o 7,5 4 (0;4) 0 7,5 9,5
  16. 16. El problema de los 4 colores Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modo que 2 regiones lim´ ıtrofes (con al menos un borde en com´n) u tengan diferente color. Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3 colores. Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4 colores.
  17. 17. El problema de los 4 colores Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modo que 2 regiones lim´ ıtrofes (con al menos un borde en com´n) u tengan diferente color. Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3 colores. Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4 colores.
  18. 18. El problema de los 4 colores Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modo que 2 regiones lim´ ıtrofes (con al menos un borde en com´n) u tengan diferente color. Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3 colores. Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4 colores.
  19. 19. ¿Qu´ es un problema combinatorial? e Es un problema en el que deben contarse una cierta cantidad de casos, configuraciones, conjuntos, etc.
  20. 20. Ejemplos de problemas combinatoriales El problema de programaci´n entera y el problema de los 4 o colores son ejemplos de problemas combinatorios. Otro ejemplo: ¿De cu´ntas formas diferentes pueden sentarse ustedes en a esta sala? ¿Ser´ dif´ hacer esa cuenta? a ıcil Hag´mosla juntos... a
  21. 21. ¿Qu´ es un problema de optimizaci´n? e o Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cada uno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor. Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos. 10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cu´l a compro?
  22. 22. ¿Qu´ es un problema de optimizaci´n? e o Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cada uno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor. Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos. 10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cu´l a compro?
  23. 23. ¿Qu´ es un problema de optimizaci´n? e o Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cada uno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor. Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos. 10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cu´l a compro?
  24. 24. ¿Qu´ es un problema de optimizaci´n combinatorial? e o Es un problema donde se busca la mejor opci´n entre un o conjunto de un n´mero finito de elementos. u Los elementos pueden ser generados mediante reglas que definen el problema.
  25. 25. Ejemplos de problemas de optimizaci´n combinatorial o Ruteo de veh´ ıculos. Planificaci´n de la producci´n. o o Asignaci´n de tareas. o Localizaci´n. o Procesamiento de tareas. Cortes de materia prima. Asignaci´n de tripulaciones. o Planificaci´n de vuelos. o Licitaciones.
  26. 26. Problema del vendedor viajero (PVV) Un viajero debe recorrer cierta cantidad de ciudades y volver finalmente a la ciudad donde vive. ¿Cu´l es el mejor recorrido? a El m´s corto (tambi´n podr´ a e ıamos preferir el m´s r´pido). a a
  27. 27. Recorridos con cuatro ciudades
  28. 28. Recorridos con cinco ciudades
  29. 29. Recorridos con m´s de cinco ciudades a ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades? a 181440 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades? a 3041409320171337804361260816606476884437764156896 05120000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades? a 4666310772197207634084961942813335024535798413219 0810734296481947608799996614957804470731988078259 1431268489604136118791255926054584320000000000000 000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades? a (n − 1)! 2
  30. 30. Recorridos con m´s de cinco ciudades a ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades? a 181440 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades? a 3041409320171337804361260816606476884437764156896 05120000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades? a 4666310772197207634084961942813335024535798413219 0810734296481947608799996614957804470731988078259 1431268489604136118791255926054584320000000000000 000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades? a (n − 1)! 2
  31. 31. Recorridos con m´s de cinco ciudades a ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades? a 181440 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades? a 3041409320171337804361260816606476884437764156896 05120000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades? a 4666310772197207634084961942813335024535798413219 0810734296481947608799996614957804470731988078259 1431268489604136118791255926054584320000000000000 000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades? a (n − 1)! 2
  32. 32. Recorridos con m´s de cinco ciudades a ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades? a 181440 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades? a 3041409320171337804361260816606476884437764156896 05120000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades? a 4666310772197207634084961942813335024535798413219 0810734296481947608799996614957804470731988078259 1431268489604136118791255926054584320000000000000 000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades? a (n − 1)! 2
  33. 33. Recorridos con m´s de cinco ciudades a ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades? a 181440 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades? a 3041409320171337804361260816606476884437764156896 05120000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades? a 4666310772197207634084961942813335024535798413219 0810734296481947608799996614957804470731988078259 1431268489604136118791255926054584320000000000000 000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades? a (n − 1)! 2
  34. 34. Recorridos con m´s de cinco ciudades a ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades? a 181440 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades? a 3041409320171337804361260816606476884437764156896 05120000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades? a 4666310772197207634084961942813335024535798413219 0810734296481947608799996614957804470731988078259 1431268489604136118791255926054584320000000000000 000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades? a (n − 1)! 2
  35. 35. Recorridos con m´s de cinco ciudades a ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades? a 181440 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades? a 3041409320171337804361260816606476884437764156896 05120000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades? a 4666310772197207634084961942813335024535798413219 0810734296481947608799996614957804470731988078259 1431268489604136118791255926054584320000000000000 000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades? a (n − 1)! 2
  36. 36. Recorridos con m´s de cinco ciudades a ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades? a 181440 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades? a 3041409320171337804361260816606476884437764156896 05120000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades? a 4666310772197207634084961942813335024535798413219 0810734296481947608799996614957804470731988078259 1431268489604136118791255926054584320000000000000 000000000 ¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades? a (n − 1)! 2
  37. 37. ¿C´mo se resuelve un problema de optimizaci´n o ocombinatorial? Diferentes opciones: Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta. Encontrando una soluci´n “relativamente buena” pero sin o tener garant´ de que es la mejor. ıa Encarando problemas m´s chicos pero con la certeza de que a encuentro la soluci´n ´ptima. o o Buscando mediante m´todos “inteligentes” encontrar la e soluci´n ´ptima, a´n en problemas grandes. o o u
  38. 38. ¿C´mo se resuelve un problema de optimizaci´n o ocombinatorial? Diferentes opciones: Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta. Encontrando una soluci´n “relativamente buena” pero sin o tener garant´ de que es la mejor. ıa Encarando problemas m´s chicos pero con la certeza de que a encuentro la soluci´n ´ptima. o o Buscando mediante m´todos “inteligentes” encontrar la e soluci´n ´ptima, a´n en problemas grandes. o o u
  39. 39. ¿C´mo se resuelve un problema de optimizaci´n o ocombinatorial? Diferentes opciones: Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta. Encontrando una soluci´n “relativamente buena” pero sin o tener garant´ de que es la mejor. ıa Encarando problemas m´s chicos pero con la certeza de que a encuentro la soluci´n ´ptima. o o Buscando mediante m´todos “inteligentes” encontrar la e soluci´n ´ptima, a´n en problemas grandes. o o u
  40. 40. ¿C´mo se resuelve un problema de optimizaci´n o ocombinatorial? Diferentes opciones: Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta. Encontrando una soluci´n “relativamente buena” pero sin o tener garant´ de que es la mejor. ıa Encarando problemas m´s chicos pero con la certeza de que a encuentro la soluci´n ´ptima. o o Buscando mediante m´todos “inteligentes” encontrar la e soluci´n ´ptima, a´n en problemas grandes. o o u
  41. 41. Fuerza bruta Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cada uno calcular su costo, identificando de este modo el caso de costo m´s conveniente. a Podr´ıamos pensar que como tenemos computadores muy eficientes y r´pidos no tendremos inconveniente en resolver a problema tan grandes como se nos presenten. ¡Error! Estamos ante gigantes enormemente m´s fuertes que a nuestros poderosos computadores.
  42. 42. Fuerza bruta Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cada uno calcular su costo, identificando de este modo el caso de costo m´s conveniente. a Podr´ıamos pensar que como tenemos computadores muy eficientes y r´pidos no tendremos inconveniente en resolver a problema tan grandes como se nos presenten. ¡Error! Estamos ante gigantes enormemente m´s fuertes que a nuestros poderosos computadores.
  43. 43. Fuerza bruta Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cada uno calcular su costo, identificando de este modo el caso de costo m´s conveniente. a Podr´ıamos pensar que como tenemos computadores muy eficientes y r´pidos no tendremos inconveniente en resolver a problema tan grandes como se nos presenten. ¡Error! Estamos ante gigantes enormemente m´s fuertes que a nuestros poderosos computadores.
  44. 44. Un caso con cincuenta ciudades Supongamos que quiero resolver el problema del viajante de comercio para 50 ciudades. ¿Cu´nto creen que tardar´ un buen computador en evaluar a a todos los posibles recorridos? ¡Arriesguen! 1 minuto, 1 hora, 1 d´ 1 a˜o, 1 siglo, m´s de 1 siglo. ıa, n a
  45. 45. Resultados 31557600000 cantidad de segundos en un siglo. 6000000000 personas en el mundo (una computadora por persona). 1000000000000 (un bill´n) de evaluaciones por segundo. o 1.606274.093599.924056.519539.306224 cantidad de siglos en evaluar todos los casos para 50 ciudades. 200000000 edad del universo en siglos seg´n algunas teor´ u ıas cosmol´gicas. o
  46. 46. M´todos aproximados: Heur´ e ısticos. Tratan de orientarse en el universo de todas las posibles soluciones en busca de la mejor. Un inconveniente que tienen es que en la mayor´ de los ıa problemas combinatoriales en general no puedo estar seguro de que encontr´ la mejor soluci´n. e o
  47. 47. M´todos aproximados: Heur´ e ısticos. Tratan de orientarse en el universo de todas las posibles soluciones en busca de la mejor. Un inconveniente que tienen es que en la mayor´ de los ıa problemas combinatoriales en general no puedo estar seguro de que encontr´ la mejor soluci´n. e o
  48. 48. M´todos exactos. e Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones para acelerar la b´squeda y llegar a la conclusi´n de que la mejor u o soluci´n que encontraron en realidad es la ´ptima. o o Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendo resolver s´lo problemas peque˜os o problemas grandes con o n ciertas caracter´ ısticas particulares. ¿C´mo trabajan los m´todos exactos “inteligentes”? o e
  49. 49. M´todos exactos. e Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones para acelerar la b´squeda y llegar a la conclusi´n de que la mejor u o soluci´n que encontraron en realidad es la ´ptima. o o Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendo resolver s´lo problemas peque˜os o problemas grandes con o n ciertas caracter´ ısticas particulares. ¿C´mo trabajan los m´todos exactos “inteligentes”? o e
  50. 50. M´todos exactos. e Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones para acelerar la b´squeda y llegar a la conclusi´n de que la mejor u o soluci´n que encontraron en realidad es la ´ptima. o o Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendo resolver s´lo problemas peque˜os o problemas grandes con o n ciertas caracter´ ısticas particulares. ¿C´mo trabajan los m´todos exactos “inteligentes”? o e
  51. 51. Asignemos un operario distinto a cada uno de lossiguientes 3 trabajos Trabajo 1 3 Operario 1 5 9 9 Trabajo 2 8 Operario 2 2 1 Trabajo 3 7 Operario 3 2
  52. 52. Asignemos un operario distinto a cada uno de lossiguientes 3 trabajos Trabajo 1 3 5 9 3 5 9 Trabajo 2 8 2 9 2 9 8 8 2 9 2 Trabajo 3 2 7 2 1 7 1 2 7 1 13 12 16 8 25 18 13 12 8
  53. 53. Soluciones ´ptimas para el PVV o En 1954 Dantzig, Fulkerson y Johnson resolvieron un caso de 49 ciudades del PVV. “Resolvieron” significa que D,F&J estaban seguros de que la soluci´n que presentaban era la mejor de un conjunto de 60 o decillones de soluciones posibles.
  54. 54. Soluci´n record (en 2001) de 15112 ciudades de Alemania o Resuelta en una red de 110 m´quinas en las a universidades de Rice y Princeton, por Applegate, Bixby, Chv´tal y Cook. a Tiempo total de c´mputo de o 22.6 a˜os de una PC de 500 n MHz. Longitud total de aproximadamente 66.000 Km (Un poco m´s de una a vuelta y media a la tierra por el ecuador).
  55. 55. Soluci´n record (en 2004) de 24978 ciudades de Suecia o Resuelta por Applegate, Bixby, Chv´tal, Cook y a Helsgaun. Longitud total de aproximadamente 72.500 Km.
  56. 56. Soluci´n record actual (2005) o Cook, Espinoza y Goycoolea: 33810 ciudades!
  57. 57. Agradecimientos A los doctores Flavia Bonomo y Pablo Coll, de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, por facilitarme parte del material para la preparaci´n de o esta charla.

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