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Univali - Matemática para jogos
Relações, Funções e Gráficos de Funções

Conjunto dos números Naturais – N
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números Inteiros – Z
Z = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
O conjunto dos números naturais está contido no conjunto
dos números inteiros relativos, isto é:
N Ì Z
NN ZZ

Conjunto dos números Racionais – Q
● Composto pelas razões ou frações entre números inteiros, dízimas
finitas, e dízimas infinitas periódicas.
4,55 = 455
1,3 = 13
0,77777777... = 7
● Números “com vírgula” que podem ser escritos a partir da divisão de
dois inteiros.
● Qualquer fração representa sempre uma dízima finita ou uma dízima
infinita periódica,- logo, uma fração é um número racional.
Z ÌQ
QQ
NN ZZ
100
10
9

Conjunto dos números Reais –
ℜ
● Composto pelos números racionais mais as dízimas infinitas não
periódicas, isto é, números racionais + números irracionais.
● Exemplo de Números Irracionais:
● Todas as raízes de números naturais que não sejam quadrados
perfeitos (não inteira)... 2 55 30
p=3,1415926535897932384626433832795.........
e=2,718281828459045235360287.

ℜ QQ NN ZZ

Alguns Números Interessantes
● O Neperiano pode ser obtido pela seguinte relação:
● p - pode ser obtido pela seguinte relação:
● Razão áurea e o equilíbrio das proporções.

Funções e o Plano Cartesiano
● O plano cartesiano é feito através da junção de
dois eixos, perpendiculares entre si que se
cruzam no ponto 0, o qual é a origem de ambos
os eixos.
● O eixo horizontal é chamado de eixo das
abscissas ou x. O eixo vertical é chamado de
eixo das ordenadas ou y.

● Os eixos dividem o espaço quatro quadrantes
enumerados no sentido anti-horário
Quadrante 1: x>0 e y>0
Quadrante 2: x<0 e y>0
Quadrante 3: x<0 e y<0
Quadrante 4: x>0 e y<0

● Cada ponto do plano cartesiano é identificado
por um par de números chamados de
coordenadas.
● Para obter um ponto P, basta traçar as
perpendiculares ao eixo x e y.

● Para dizer que P possui
abscissa a e ordenadas b,
escrevemos:
● P ↔(a; b) ou P = (a; b)
● Sempre que representar o plano
cartesiano em conjuntos, o
primeiro número é sempre a
abscissa e o segundo é sempre
a ordenada.

● Produto Cartesiano
● Considere dois conjuntos não vazios A e B:
● A = {1,2,3} e B = {4,5}
● Chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os
pares ordenados | que x pertença ao conjunto A e y ao conjunto B.
A x B = {(x; y)│x A e y B}.
● A x B = { (1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5) }
● B x A = { (4;1), (4;2), (4;3), (5;1), (5;2), (5;3) }
● A x A = { (1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3), (3;1), (3;2), (3;3) }
● B x B = { (4;4), (4;5), (5;4), (5;5) }

● Representação do Produto Cartesiano.
● Há duas maneiras de produtos
cartesianos
● Por diagrama de flechas
ou por diagrama cartesiano.
● Considerando
A = (1,2,3) e B = (4,5).
1
2
3
4
5

● Domínio, Imagem e Gráficos
● Chama-se domínio o conjunto de todos os
elementos de A que está associado à pelo
menos um elemento de B.
● Chama-se imagem o conjunto de todos os
elementos de B relacionados de pelo
menos a um elemento de A.
● AxB = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) }
● D = { -2,-1, 0, 1, 2}
● Im = { 0, 1, 4 }.
-2
-1
0
1
2
0
1
4

R = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) }
D = { -2,-1, 0, 1, 2 }
Im = { 0, 1, 4 }.
CD = B

● Dada a relação h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40}
definida pela lei h(x) = x2 – 3x
● Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função.
● Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8}
● Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40}
● Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio.
● Para x=-3 y=?
● Para x=0 y=?
● Para x=3 y=?
● Para x=8 y=?
● Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto
Imagem da função.
● Im = ?

● Função
Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada
variável x em A, um único y em B.
● Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é:
f : A → B
Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:
● 1) domínio A da relação e 2) contradomínio B da relação.
● 3) Todo elemento de A deve ter correspondente em B.
● 4) Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente
no contradomínio B.
● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB

● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB
…
● Estamos interessados em funções com D e CD contidos no conjunto dos
números reais, as chamadas funções reais de variável real.
Ex.1:
f(x) = 3x - 20
D(f)=?
Im(f)=?
● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y =
50 ?

● Tipos de Funções
1) Lineares e Afins
a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função
f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax.
f(x)= -3x
f(x)= 2x
f(x)= x/2
O gráfico da função linear é uma reta
que sempre passa pela origem p(0,0).

1) Lineares e Afins
a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função
f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax.
f(x)= -3x
● Para qual valor de x a f(x) intercepta
o eixo das abscissas ?
y = 50 ?
● D(f)=? Im(f)=?

1) Lineares e Afins
b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo.
Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa
f(x)=ax+b
f(x)= -3x + 1
f(x)= 2x + 7
f(x)= x/2 + 4
Se b != 0, o gráfico da função linear é
uma reta que não passa pela origem p(0,0).

1) Lineares e Afins
b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo.
Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa
f(x)=ax+b
f(x)= x/2 + 4
y = 50 ?
● D(f)=? Im(f)=?

2) Função Identidade
Uma função identidade é uma função f: R → R onde f(x)=x ou f(x)=-x
3) Função Constante
Seja b um número real. A função constante associa a cada x em R o
valor f(x)=b

4) Função Quadrática
Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é
uma função f: R → R que para cada x em R, f(x) = ax²+bx+c
● f(x)= x²
● f(x)= -4x²
● f(x)= -x²+2x+7
● f(x)= x²-4x+3
● f(x)= 2x²-3x

f(x)= x²-4x+3
y = 50 ?
● D(f)=R Im(f)= usar as equações (-b/2a, -Delta/4a)
tal que Delta= b2 – 4.a.c

f(x) = x2 – 3x, somente em [-10, 40)
D(f)= ?
Im(f)=?
● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ?
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ?
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = -3 ?

● A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do
valor obtido para o radicando, chamado discriminante:
● quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas;
● quando Δ é zero, há só uma raiz real;
● quando Δ é negativo, não há raiz real.

5) Função cúbica
Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função
cúbica é uma função f : R → R que para cada x em R, associa
f(x) = ax³+bx²+cx+d
f(x)= x³
f(x)= -4x³
f(x)= 2x³ + x² – 4x + 3
f(x)= -7x³ + x² + 2x + 7

Delimitando o domínio e Imagem de uma função
● Alguns elementos não possuem correspondente associado para todo R.
● Ou seja... nem toda relação é uma função.
● Logo, costuma-se definir D(f) em função do conjunto onde f(x) infere.
● Exemplo 1: Considere a seguinte função real, que calcula a raiz de um
número real.
● f(x)=
● x=-1; não possui raiz real, logo sqrt(x<0) não possuem raízes reais.
● D(f) = [ 0, +inf )
 x
Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }

● Exemplo 2: considere as funções f(x) e g(x) abaixo:
● f(x) = 3x + 5 onde f : [ 0, +inf ) → R
● g(x) = 3x + 5
D(f) = [ 0, +inf )
Im(f) = [ 5, +inf )
D(g) = R
Im(g) = R

● Cada função abaixo, tem características distintas
● 1) f : R → R definida por f(x)=x²
Dom(f)=R Im(f)= [ 0, +inf )
● 2) f : [0, 2] → R definida por f(x)=x²
Dom(f)=[0,2] Im(f)=[ 0,4 ]
● 3) A função modular é definida por f : R → R tal que f(x)= |x|
Dom(f)=? Im(f)= ?
e seu gráfico ?

Exercícios
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas
1) Uma semi-circunferência é dada pela função real f : R → R:
f  x=4−x2
x2 f  x= x22
f  x= 1
2) 7)
3)
4)
5)
6)
f  x= 3
x−3
f  x= x
3x−9
f  x=1−x
12
f  x= 3x2
2x6−3x15
x2−2x−8

Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
● Uma função f : A → B é injetora se quaisquer dois elementos distintos
de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é:
● Ou senão para f(x1)=f(x2) implica que x1=x2.
● Exemplo 1) A função f : R → R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois
sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois
valores diferentes para f(x).
● Exemplo 2) A função f : R → R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois
para x=1 temos f(1)=6 e
para x=-1 temos f(-1)=6.

Injetora somente o gráfico da função g

● Uma função f: A → B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem
de pelo menos um elemento de A.
● Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente
igual a B que é o contradomínio da função, ou seja:
para todo y em B existe x em A tal que y=f(x).
● Exemplo 1) A função f: R → R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois
todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.
● Exemplo 2) A função f: R → [0, +inf) definida por f(x)=x² é sobrejetora,
pois todo elemento pertencente a [0, +inf) é imagem de pelo menos um
elemento de R pela função.

● Exemplo 3) A função f: R → R definida por f(x)=x² não é sobrejetora,
pois f(-2) = 4 = f(2), e …
se x²>0, não existe y < 0 em Im(f).
Exemplo 4) A função f : R → R definida por f(x)=2x não é sobrejetora,
pois o número -1 é elemento do contradomínio R, e não é imagem de
qualquer elemento do domínio, ou seja, y sempre é maior que 0.

● Uma função f : A → B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e
sobrejetora.
● Exemplo 1: A função f : R → R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é
injetora e sobrejetora.
● Exemplo 2: A função g : [0,+inf] → [0,+inf] dada por g(x)=x2 é bijetora
pois para que tenhamos g(x) = y
basta que tenhamos x2 = y, logo x = y1/2

Funções Pares e Ímpares
● Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f,
tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em
relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois
f(-x)=x²=f(x).
Outra função par é
g(x)=cos(x)
pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x)

Funções Pares e Ímpares
● Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f,
tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em
relação à origem do sistema cartesiano.
Exemplo:
f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois:
f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x)
g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x).

Funções Crescente e Decrescente
● Função decrescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que
sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y).
Seja a função f : R → R definida por f(x)=-8x+2. Para os valores: a=1 e
b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e
f(a)>f(b) então a função é decrescente.

● Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x
e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y).
Seja a função f : R → R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e
b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e
f(a)<f(b) então a função é crescente..

Funções Explícitas, Implícitas e Paramétricas
A função pode ser escrita de três formas diferentes:
● Paramétrica (parametrizável)
r = [x(t) y(t)], ou seja
x=x(t) e y=y(t), onde t é um parâmetro variável t1< t < t2
● Exemplo:
Uma reta:
● r(t)=(1-t)r(0) + r(1); onde r(0) é a posição inicial do segmento dos
segmento e r(1)= posição final do segmento de reta
● Uma curva qualquer
● r(t)=[t^3-0.5*t^2+1 -0.2*t^3-0.4*t^2+t ]

Funções Inversas
● Dada uma função bijetora f : A → B, denomina-se função inversa de f à
função g : B → A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a
em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1
● Exemplo: sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f: A → B
definida por f(x)=2x e g: B → A definida por g(x)=x/2. Observemos nos
gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.

Funções Inversas

Funções Inversas
● Obtenção da inversa:
● Seja f: R → R, f(x)=x+3.
Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3.
Isolando x obteremos x=y-3
● Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Trocando x por y e y por
x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3.
Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.

Funções Inversas
● f(x) = 4x-5 (linha azul)
● g(x) = (y+5) / 4 (linha verde)
● [0, 5]
● f(x) = x2 (linha azul)
● g(x) = x1/2 (linha verde)

Funções Inversas
x (3y – 5) = 2y +3
3xy – 5x = 2y + 3
3xy – 2y = 3 + 5x
y (3x – 2) = 3 + 5x
f  x=2x3
3x−5
y=2x3
3x−5
f  x=5x3
3x−2
x=2y3
3y−5

Funções Contínuas e Discretas
Algumas das funções que vimos até o momento são contínuas
a b

Funções Contínuas e Discretas
Outras das funções que vimos até o momento não são contínuas
a b
x in R, [0, 10]
f(x) = x – 1
x in R, x > 12
f(x) = 12

Sinal Discreto – Discretizado
1. Uma variável discreta pode assumir um número finito (e geralmente
pequeno) de valores.
2. Uma variável discreta pode ser usada para realizar uma representação
simplificada de uma grandeza física que é contínua no tempo.
Exemplo: funções em matlab realizadas até o momento (“step”)
3. Variáveis discretas sempre serão funções não-contínuas.
(ou seja, são representadas por)
4. Em computadores os sinais são representados por variáveis discretas por
causa da forma que os números são representados :
sistema de numeração binário
sistema de numeração hexadecimal

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