Vigas hiperestaticas

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Vigas hiperestaticas

  1. 1. Folio EST 02-02VIGAS HIPERESTATICAS Materia: Estructura II Folio: EST 2-02 Fecha: Noviembre/2000 Autores: Arqto. Verónica Veas B. Arqto. Jing Chang Lou
  2. 2. 2
  3. 3. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALI.- INTRODUCCIONEl análisis de las deformaciones en vigas nos permitelimitar los descensos de las mismas, entregando seccionesadecuadas y por otra parte incorporar nuevas expresionespara resolver vigas hiperestáticas.Una forma de enfocar la resolución de las vigashiperestáticas consiste en descomponer la viga inicial envarias vigas cuyo efecto sumado equivalga a la situaciónoriginal.Las solicitaciones externas, cargas y reacciones, generancortante, momento y deformación, siendo válido elprincipio de descomposición de las vigas en vigas cuyasacciones sumen el mismo efecto.Este principio puede ser aplicado a vigas hiperestáticas,tales como Vigas bi-empotradas Vigas empotrada-apoyada Vigas continuasMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 3
  4. 4. VIGA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS CON CARGAUNIFORMEMENTE REPARTIDAEn el caso de viga empotrada en sus dos extremos, lacantidad de reacciones desconocidas supera a la deecuaciones que la estática dispone para el sistema. Pararesolver las incógnitas es necesario disponer de otrasecuaciones basadas en las deformaciones.Considerando que las pendientes de las tangentes trazadasen los dos extremos es nula, se plantean las siguientesecuaciones Σ φA= 0 Σ φB = 0Para establecer las ecuaciones se descompone la viga dadaen tres vigas supuestas que en conjunto equivalgan a laviga inicial.a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo (Ma).c.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo derecho (Mb)..Si las pendientes de las tangentes trazadas en los dosextremos son nulas, se igualan los valores de ángulo en losextremos de las tres vigas supuestas a cero.Σ φA= 04
  5. 5. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL qL3 MeL MeL0= − − 24 6EI 3EIComo la viga es simétrica los momentos aplicados enambos extremos son igualesMa = Mb = MeMeL + 2 MeL qL3 = 6EI 24 EI 2 qL Me = 12Una vez determinados los momentos de empotramiento, laviga puede ser analizada como un elemento isostático. Sedespeja el momento de tramo, considerando la vigasimplemente apoyada con carga repartida uniformemente yun momento Me aplicado en cada extremo de la viga qLRa = Rb = 2 qLx qx 2Mx = − − Me 2 2El momento máximo en una viga simétrica se encuentra enX=L/2 2 qL L q  L M (L / 2 ) = −   − Me 2 2 2  2 qL2 qL2 qL2M(L / 2) = − − 4 8 12 qL2M(L / 2) = 24 qL2 M MAX = 24Como la viga es simétrica la flecha máxima se encuentra enel punto medio de la viga, es decir, Ymax cuando X= L/2..Una forma de resolver es sumar las flechas en X= L/2 de lastres vigas supuestas en la descomposición anterior.La flecha cuando X= L/2 de una viga con cargauniformemente repartida, ya calculada anteriormente, es:MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 5
  6. 6. 5qL 4YMAX = 384EISe determina la flecha en X= L/2 de una viga con momentoaplicado en un extremo, en este ejemplo se plica elmétodo de viga conjugada. MeL L MeL L 1 1 LML / 2 = − 6 EI 2 2EI 2 2 3 2 MeL2M L / 2 = 16EIReemplazando el valor de Me se obtiene qL2 L2ML / 2 = 12 16EI qL4YL/ 2 = ML / 2 = 192EISi sumamos las tres deformaciones obtendremos ladeformación máxima de la viga 5qL4 qL4 qL4YMAX = − − 384EI 192EI 192EI qL4 YMAX = 384EI6
  7. 7. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALVIGA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y SIMPLEMENTEAPOYADA EN EL OTRO, CON CARGA UNIFORMEMENTEDISTRIBUIDA.En este caso de viga empotrada en uno de sus extremos, lacantidad d reacciones desconocidas también supera a la ede ecuaciones de estática. Para resolver las incógnitas esnecesario disponer de las ecuaciones basadas en lasdeformaciones.Considerando que la pendiente de la tangente trazada en elextremo empotrado es nula, se plantea la ecuación: φA= 0Se descompone la viga inicial en dos vigas supuestas que enconjunto equivalen a la viga inicial.a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo.Se iguala los valores de ángulo en el apoyo izquierdo de lasdos vigas supuestas a cero.Σ φA= 0 qL3 MeL0= − 24EI 3EI 3MeL qL =3EI 24EI qL 2 Me = 8MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 7
  8. 8. Para determinar el momento de tramo, se considera la vigasimplemente apoyada con carga repartida uniformemente yun momento Me aplicado en el extremo reemplazando elempotramiento inicial.Las reacciones se pueden determinar sumando lasreacciones de las vigas supuestas. qL Me qL qL 5qLRa = + = + = 2 L 2 8 8 qL Me qL qL 3qLRb = − = − = 2 L 2 8 8El momento es máximo cuando el cortante es nulo.Qx=05qL − q.x = 0 8 5LX= 8 5qLx qx 2Mx = − − Me 8 2 2 5 qL 5L q  5L  qL2M MAX = −   − 8 8 2 8  8 25 qL2 25qL2 qL2M MAX = − − 64 128 8 9qL2 M MAX = 128Deformación de la viga,:Para determinar los valores máximos de pendiente yflecha, en este ejemplo, se aplica el método de dobleintegración. Para lo cual se establece la ecuación generalde momento y a su vez la ecuación diferencial de laelástica. 5qLx qL2 qx 2Mx = − − 8 8 2 d 2y 5qLx qL2 qx 2EI = − − dx 2 8 8 28
  9. 9. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALIntegrando dos veces la ecuación se obtiene: dy 5qLx2 qL2x qx 3EI = − − + C1 dx 16 8 6 5qLx3 qL2x 2 qx 4EI y = . − − + C1x + C 2 48 16 24Según la deformación de la viga, la pendiente es nula en elextremo empotrado.Si X=0 C 1 =0Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula en losapoyos.Si X=0 o X=L C 2 =0Para determinar la flecha máxima de la viga es necesarioprimero ubicar el punto en donde la tangente trazada pordicho punto sea de pendiente nula, por lo tanto se iguala laecuación de pendiente a cero5qLx 2 qL2 x qx 3 / se factoriza por qx/2 − − =0 16 8 6qx  5Lx L2 qx 2   2  8 − 8 − 6 =0  X1=0 punto de empotramiento5Lx L2 x 2 − − =0 /*24 8 4 315Lx − 6L2 − 8x 2 = 0Ordenando la ecuación se tiene− 8 x 2 + 15 Lx − 6 L2 = 0X= − 15L ± (15L)2 − 4.( − 8 ).(− 6L ) 2.(− 8) − 15L ± 225L2 − 192L2X= − 16 − 15L + 33L2X2 = = 0,58L punto de flecha máxima. − 16 − 15L − 33L2X3 = = 1,3L punto fuera de la viga. − 16MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 9
  10. 10. Se determina la flecha cuando X = 0.58L para obtener ladeformación máxima de la viga. 5qL qL2 qY= (0,58 L)3 − (0,58L )2 − (0,58 L )4 48 EI 16EI 24 EI qL4 qL4 YMAX = = 0,005 185 EI EI10
  11. 11. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALVIGA CONTINUA DE DOS TRAMOS CON CARGAUNIFORMEMENTE REPARTIDA.En este caso de viga continua, la cantidad de reaccionesdesconocidas también supera a la de ecuaciones deestática. Se establece entonces ecuaciones basada en lasdeformaciones.El ángulo que genera la tangente trazada en un punto de lacurva de la línea elástica, medido hacia la izquierda es deigual valor, pero de signo contrario que si se mide hacia laderecha.φB i z q u i e r d o =-φB d e r e c h o por ángulos opuestos por el vérticeEl momento de continuidad que se genera es en este casonuestra primera incógnita. Para resolverla se separa la vigacontinua en dos tramos y éstos a su vez, se descomponenen dos vigas supuestas que en conjunto equivalen a la vigainicial.TRAMO 1a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo derecho.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 11
  12. 12. TRAMO 2a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo.Se iguala los valores de ángulos a ambos lados del apoyo Bpara determinar el momento de continuidad entre ambostramos.ΣφBizquierdo=-ΣφBderechoqL3 MbL qL3 MbL − =− +24EI 3EI 24EI 3EI2 MbL qL3 = /*EI/L 3EI 12EI 22 M b qL = 3 12 qL2 Mb = 8Una vez determinado el momento de continuidad, se pudeanalizar cada tramo de viga como elemento isostático. Elmomento máximo del primer tramo, se determinaconsiderando a ese tramo por separado como una vigasimplemente apoyada con carga uniformemente repartida yun momento Mb aplicado en el extremo derecho de la viga.12
  13. 13. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALPara determinar las reacciones en los apoyos se puedensumar las reacciones de las vigas supuestas en el tramo. qL Mb qL qLRa = − = − 2 L 2 8 3qLRa = 8  qL Mb Rbizquierdo =  +   2 L   qL qL Rbizquierdo =  +   2 8  5qLRbizquierdo = 8Con las reacciones despejadas se establece la ecuacióngeneral de momento para el primer tramo de la viga 3qLx qx 2Mx = − 8 2El momento es máximo cuando la cortante es nula.Qx= 0 3qLQx = − qx = 0 8 3Lx= 8Reemplazando el valor de x en la ecuación de momento seobtiene 3qL 3L q 3L 3LM MAX = − 8 8 2 8 8 9qL2 9qL2M MAX = − 64 128 9 qL2 Mt1 = 128 .Por simetría se deduce que este valor de momento máximotambién es válido para el segundo tramo: Mt1 = Mt2MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 13
  14. 14. VIGA CONTINUA DE TRES TRAMOS CON CARGAUNIFORMEMENTE REPARTIDA.Considerando que las tangentes trazadas en los apoyoscentrales generan ángulos iguales en el lado izquierdo y enel lado derecho pero de signo contrario, por lo tanto sededuce queφBizquierdo =-φBderecho por ángulos opuestos por el vérticeφCizquierdo =-φCderecho por ángulos opuestos por el vérticeSe descompone la viga en sus tres tramos y éstas a su vezse descomponen en vigas que en conjunto equivalen a laviga inicial.TRAMO 1a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo derecho (Mb).14
  15. 15. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALTRAMO 2a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo (Mb).c.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo derecho (Mc).TRAMO 3a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo (Mc).MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 15
  16. 16. Se igualan los ángulos a ambos lados del apoyo B, por seropuestos por el vértice; y del mismo modo se procede en elapoyo CΣφBizquierdo=-ΣφBderechoqL3 MbL qL3 MbL McL − =− + + *EI/L24EI 3EI 24EI 3EI 6EI2M b M c 2qL3 + =− 3 6 24 EIΣφCizquierdo=-ΣφCderechoqL3 MbL McL qL3 McL − − =− + *EI/L24EI 6EI 3EI 24EI 3EI 2M b 2 M c 2 qL + =6 3 24Por simetría: Mb = Mc = M2 M M 2qL 2 + = 3 6 245M qL2 = 6 12 ql2 Mb = Mc = M = 10Una vez determinados los momentos de continuidad Mb yMc se puede analizar cada tramo por separado comoelemento isostático.El momento máximo del primer tramo se determinaconsiderando a ese tramo como una viga simplementeapoyada con carga repartida uniformemente y un momentoMb aplicado en el extremo derecho de la viga. qL Mb qL qLRa = − = − 2 L 2 10 4 qL 2 qLRa = = 10 5 qL Mb qL qLRb = + = + 2 L 2 1016
  17. 17. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL 6qL 3qLRb = = 10 5Con las reacciones despejadas se establece la ecuacióngeneral de momento para el tramo 2 4 qLx qxMx = − 10 2El momento es máximo cuando el cortante es nulo. 4 qLQx = − qx = 0 10 2Lx= 5Reemplazando el valor de x en la ecuación general demomento se obtiene 4 qL 2L q 2L 2LMMAX = − 10 5 2 5 5 4qL2 4qL2M MAX = − 25 50 2qL2 Mt1 = 25Por simetría se deduce que este valor de momento máximotambién es válido para el tercer tramo es decir, Mt1 = Mt3.Para determinar el momento máximo del segundo tramo,se analiza este tramo como una viga simplemente apoyadacon carga repartida uniformemente y un momento aplicadoen cada extremo. qL Mb McRbderecho = + − 2 L L qLRbderecho = 2 qLRbderecho = Rc izquierdo= 2Nuevamente se establece la ecuación general de momento,pero correspondiente al segundo tramo. qL2 qLx qx2Mx = − + − 10 2 2MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 17
  18. 18. Por simetría el momento es máximo cuando X=L/2 qL2 qL L q L LMx = − + − 10 2 2 222 qL2 qL2 qL2Mx = − + − 10 4 8 qL2 M t2 = 4018
  19. 19. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALTEOREMA DE LOS TRES MOMENTOS.Para deducir el teorema de los tres momentos es necesarioconsiderar que al existir continuidad del elementoestructural se producen momentos flectores en los apoyosintermedios. Cada tramo de viga es afectado por su carga ypor los momentos de continuidad que se producen en susextremos.Para analizar el punto B se consideran dos tramos continuosde la viga y los potenciales momentos de continuidad en losextremos.En el apoyo B se plantea entonces queΣφBizquierdo= -ΣφBderechoqL3 MaL1 MbL1  qL3 MbL2 McL2  1 − − = − 2 − − 24EI 6EI 3EI  24EI 3EI 6EI   MaL1 MbL1 MbL2 McL 2 qL3 1 qL3 2 + + + = + 6EI 3EI 3EI 6EI 24EI 24EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 19
  20. 20. Reemplazando L/EI por λ (módulo de flexibilidad)Maλ1 Mbλ1 Mbλ2 Mcλ 2 qL2λ1 qL2 λ 2 + + + = 1 + 2 /*6 6 3 3 6 24 24Al amplificar la expresión 6 veces se tiene  qL2λ qL2 λ Maλ1 + 2Mbλ1 + 2Mbλ 2 + Mcλ2 = 6 *  1 1 + 2 2   24  24   ( )  qL2λMaλ1 + 2 Mb. λ1 + λ2 + Mcλ 2 = 6 *  1 1 + qL2 λ2  2   24  24  Por lo general en una viga continua el material y la secciónde la viga es el mismo a lo largo de ella, entonces laelasticidad y la inercia son constantes, por lo que elmódulo de flexibilidad está en función de la luz, en otraspalabrasSi EI= constante λ =LReemplazando ? =L en la ecuación se tiene ( )  qL3 qL3 MaL1 + 2Mb. L1 + L 2 + McL 2 = 6 *  1 + 2   24  24  qL3 1 qL32Reemplazando por Tc1 y por Tc2 se obtiene la 24 24ecuación de los tres momentos, conocido también como elteorema de Clapeyrón.: ( ) MaL1 + 2Mb L1 + L 2 + McL2 = 6 * [Tc1 + Tc2 ] .Siendo Tc1 y Tc2 ángulos que generan las cargas aplicadas ala viga en el tramo izquierdo y derecho con respecto alapoyo central multiplicado por 6EIEl teorema de los tres momentos, también conocido comoteorema de Clapeyrón, se aplica sobre dos tramos de laviga, en donde se analizan las cargas aplicadas en ella y losmomentos flectores en los apoyos, es decir, el teoremarelaciona tres momentos y dos regímenes de carga de unaviga continua.20
  21. 21. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALAPLICACIÓN DEL TEOREMA DE CLAPEYRON.VIGA CONTINUA DE DOS TRAMOS CON CARGAUNIFORMEMENTE REPARTIDA.Como la viga es de dos tramos se aplica directamente elteorema de Clapeyrón, reemplazando los valores en laexpresión se determina el momento en el apoyo central. ( )MaL1 + 2 Mb. L1 + L 2 + McL 2 = 6 * [Tc1 + Tc2 ]En este caso el Tc1 al igual que Tc2 corresponde al ánguloen el apoyo central de la viga, producto la cargauniformemente repartida, y multiplicado por EI. qL3 qL3Tc1 = Tc2 = .EI = 24EI 24Reemplazando Tc1 y Tc2 en la ecuación se tiene ( )  qL3 qL3 0.L1 + 2Mb. L1 + L2 + 0.L 2 = 6 *  1 + 2   24  24  (2 Mb. L1 + L2 = ) qL3 qL3 4 1 + 2 4 si L 1 = L2 qL32 Mb 2L = 2 qL2 Mb = 8Para determinar los momentos de tramo se deberá analizarcada tramo como elemento isostático, es decir, como unaviga simplemente apoyada con una carga uniformementerepartida y con el momento de continuidad Mb en elextremo, (Ejemplo analizado en las páginas 13-14)MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 21
  22. 22. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CLAPEYRON.VIGA EMPOTRADO EN UN EXTREMO Y APOYADO EN ELOTRO CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA.Esta viga anteriormente analizada, se puede resolvertambién por el teorema de Clapeyrón. Para su aplicación,es importante considerar que este teorema relaciona tresmomentos y dos regímenes de carga. Esta viga es de unsolo tramo y el momento en el empotramiento es laincógnita a resolver; para lo cual es necesario generar untramo ficticio en el extremo izquierdo, quedando así unaviga continua de dos tramos y el momento deempotramiento como incógnita en la ecuación. ( )MaL1 + 2Mb. L1 + L2 + McL 2 = Tc1L1 + Tc2L 2Como Tc1 corresponde al tramo ficticio, es nulo. Mientrasque Tc2 corresponde al ángulo que produce la cargauniformemente repartida en el tramo real, y multiplicadopor EI ( )  qL3 0 .L 0 + 2 Mb. L 0 + L1 + 0.L 1 = 6 * 0 + 1  24     qL312 M bL1 = . 4 qL2 Mb = 8Despejada la incógnita (Momento de Empotramiento) sepuede determinar el momento de tramo de la viga si seanaliza la viga como elemento isostático: viga simplementeapoyada con carga uniformemente repartida con unmomento aplicado en el extremo generando el mismoefecto del empotramiento. (Ejemplo analizado en laspáginas 9-10-11)22
  23. 23. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALAPLICACIÓN DEL TEOREMA DE CLAPEYRON.VIGA DE DOS TRAMOS EMPOTRADO EN UN EXTREMO CONCARGA PUNTUAL EN EL CENTRO DEL SEGUNDO TRAMO.Esta viga a pesar de tener carga solamente en el segundotramo, la deformación se produce en toda la viga por lacondición de continuidad. Las dos incógnitas a resolver sonlos momentos de empotramiento y de continuidad, para locual es imprescindible plantear dos ecuaciones:La primera ecuación relaciona el tramo ficticio y el primertramo; y la segunda relaciona el primer tramo con elsegundo, quedando así los momentos de empotramiento yde continuidad como incógnitas en las dos ecuaciones.TRAMOS 0-1 ( )MoL0 + 2Ma. L 0 + L 1 + MbL1 = 6 * [Tc0 + Tc1]En este caso los términos de carga Tc0 y Tc1 son nulos, yaque el Tc0 corresponde al tramo ficticio y Tc1 al primertramo que no tiene carga alguna. ( )0.L 0 + 2Ma.L 0 + L1 + MbL1 = 6 * [0 + 0]2 M a L1 + MbL1 = 0 . Mb Ma = − 2MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 23
  24. 24. TRAMO 1-2 ( )MaL1 + 2Mb. L1 + L2 + McL 2 = 2[Tc1 + Tc2 ]En este caso el término de carga Tc2 corresponde al ánguloproducido por una carga puntual, y multiplicado EI. PL 2 PL2Tc2 = .EI = 16EI 16  PL2 Ma2L + 2Mb.(2L + L) + 0.L = 6 * 0 +    16  3PL22 MaL + 6 MbL = 8Se reemplaza el valor de Ma obtenida en la ecuación deltramo 0-1  Mb  3PL22 − .L + 6 MbL =  2  8 3PL2− MbL + 6MbL = 8 3PL25MbL = 8 3PL Mb = 40Si Ma = -Mb/2 entonces 3PL2 Ma = − 80Ya despejadas los momentos de empotramiento (Ma) y decontinuidad (Mb), se puede determinar el momento delsegundo tramo, analizando el tramo como una vigaisostática con carga puntual (P) en el centro y el momentode continuidad (Mb) aplicado en el extremo.24
  25. 25. Folio EST 2-02 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALAl igual que en los casos anteriores, para determinar lareacción en el apoyo B se suma las reacciones de las dosvigas supuestas que se puede descomponer este tramo. 3P P 3P + 20P 23PRb = + = = 40 2 40 40 3P P −3P + 20P 17PRc = − + = = 40 2 40 40El momento máximo se encuentra en el centro donde seencuentra la carga puntual. 3PL 23P LM MAX = − + 40 40 2 3PL 23PLM MAX = − + 40 80 −6 PL + 23PLM MAX = 80 17PL M MAX = 80MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 25

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