Para FMAT

Unas poquitas integrales que encontre por ahi
por Picosenotheta . .bueno y que esperan , a bajar y trabajar y s...
INDICE
INTRODUCCION .........................................................................................................
INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188
EJERCICIOS DESARROLL...
A

Patricia. / A Ana Zoraida.

A los que van quedando en el camino,
Compañeros de ayer,
De hoy y de siempre.

4
INTRODUCCION

El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento
de complementación, para la pr...
INSTRUCCIONES
Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo
siguiente:
a) Estudie la teoría perti...
ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE
e:

η:

og :
sen :
arcs e n :
cos :
arc cos :
arc co s :

τg :

Base de logaritmos neperiano...
2.
Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales
2
3
( a ± b ) = a 2 + 2ab + b2
( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 + b3

(a ± b)
...
(b)

cos(α + β ) = cos α cos β − s e n α s e n β

1 + cos α
2
2
cos(α − β ) = cos α cos β + s e n α s e n β
cos

α

=±

1 ...
FORMULAS FUNDAMENTALES
Diferenciales

Integrales

du
dx
u
2.- d (au ) = adu

1.- ∫ du = u + c

3.- d (u + v) = du + dv

3....
OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS
⎧ η sec u + c
⎪
1.- ∫ τ gudu = ⎨
⎪− η cos u + c
⎩
⎧ η sec u + τ gu + c
⎪
3.- ∫ sec udu = ⎨
⎛u ...
CAPITULO 1
INTEGRALES ELEMENTALES
El Propósito de este capitulo, antes de conocer y practicar las técnicas
propiamente tal...
x 4 (a + b) x3 abx 2
+
+
+c
4
3
2

Respuesta: ∫ x(x + a)( x + b)dx =
1.5.- Encontrar: ∫ (a + bx 3 ) 2 dx

Solución.3 2
2
3...
= ∫ (a 2 − 3a 3 x
4

2

3

2

+ 3a 3 x

4

3

− x 2 )dx = ∫ a 2 dx − ∫ 3a 3 x 3 dx + ∫ 3a 3 x 3 dx − ∫ x 2 dx
4

2

2

4

...
=

2 x2m x
4 x m+n x
2 x2n x
−
+
+c
4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1

⎛ 2 x2m
( x m − x n )2
4 x m+n
2 x2n ⎞
Respuesta: ∫
dx = x...
x
1
7
7x
arcτ g
arcτ g
+c =
+c
7
a
7
7
dx
7
7x
arcτ g
=
+c
7
x +7
a
dx
1.16.- Encontrar: ∫
4 + x2
Solución.dx
dx
Sea: a = ...
Sea: a = 2 , Luego: ∫
= arcs e n

dx
a2 − x2

−∫

dx
a2 + x2

= arcs e n

x
− η x + a2 + x2 + c
a

x
x
− η x + ( 2) 2 + x ...
Solución.x 2 dx
3
dx
dx
∫ x2 + 3 = ∫ (1 − x2 + 3)dx = ∫ dx − 3∫ x 2 + 3 = ∫ dx − 3∫ x2 + ( 3)2
= x−3

1
x
3x
arcτ g
+ c = ...
1.28.- Encontrar: ∫ s e n 2

x
dx
2

Solución.x
dx = ∫
2
x senx
= −
+c
2
2

∫sen

1 − cos 2

2

2

x
2

dx = ∫

1 − cos x
...
∫ ⎡( a )
⎢
⎣

− 1⎤dx = ∫ (a 0 − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ 0dx = c
⎥
⎦
0
Respuesta: ∫ ⎡( a 2 x ) − 1⎤dx = c
⎢
⎥
...
0

⎡1 + x + x 3 ⎤
1.83.- ∫ ⎢
⎥ dx
⎢ 1− x
⎥
⎣
⎦
1.86.- ∫ (coτ gθ − s e n θ )dx
1.89.- ∫
1.92.- ∫

1.84.- ∫ (τ g x + sec x −...
1.36.- ∫ (1 + x )3 dx = ∫ (1 + 3 x + 3( x 2 ) + x3 )dx = ∫ dx + 3 x + 3∫ xdx + ∫ x 2 dx
3

x2 2 52
x2 2
+ x + c = x + 2 x ...
=

1
2 3

arcτ g

dx

1.50.- ∫

3
3x
arc τ g
+c
6
6
dx
= η x + x 2 − 12 + c
2
2
x − ( 12)
dx
= η x + x 2 + 12 + c
2
2
x + ...
x 2
x − 10 − 5 η x + x 2 − 10 + c
2
x 2
1.59.- ∫ x 2 + 10dx =
x + 10 + 5 η x + x 2 + 10 + c
2
x
10
x
1.60.- ∫ 10 − x 2 dx ...
1.74.- ∫ (s e n 3 x θ )dy = s e n 3 x θ ∫ dy = (s e n 3 x θ ) y + c
1.75.- ∫ η u dx = η u ∫ dx = η u x + c

1.76.- ∫ exp( ...
1.90.- ∫

dx
1
dx
1 1
x
3
3x
= ∫ 2 4 = 2 arcτ g 2 + c =
+c
arcτ g
2
3x + 4 3 x + 3 3 3
6
2
3

1.91.- ∫

x−
1 dx
1 1
dx
η
=...
Sea: a= (e 2 + e + 1) , Luego: ∫ a x dx =

ax
(e 2 + e − 1) x
+c =
+c
ηa
η (e2 + e − 1)

⎛ 1+τ g 2x ⎞
1.104.- ∫ ⎜
− 1⎟dx =...
1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx = ∫ (1 + x + x 2 − 2 x + 2 x − 2 x 2 )dx
3

3

5

x2
x 2 x3
4x 2
= ∫ (1 − 2 x + 3x − 2 x + x )d...
CAPITULO 2
INTEGRACION POR SUSTITUCION
A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral
da...
1
1
2
∫ (2 x + 4) s e n( x + 4 x − 6)dx = 2 ∫ s e n udu , integral que es inmediata.
2
1
1
1
1
Luego: = ∫ s e n udu = (− c...
3
2tdt
∫ (t 2 + 3) 13
3 2
t +3 2
3
2tdt
3 du
Se tiene que: ∫ 2
= ∫ 1 , integral que es inmediata
1
3
2 (t + 3)
2 u3

Dado ...
x − arcτ g 2 x
dx
1 + 4x2
arcτ g 2 x
x − arcτ g 2 x
xdx
Solución.- ∫
dx = ∫
−∫
2
2
1+ 4x
1+ 4x
1 + 4 x2

2.11.-Encontrar: ...
Respuesta: ∫

dx
1
=
+c
3
2( η x) 2
x( η x)
1

e x2
2.15.-Encontrar: ∫ 3 dx
x
1
2
Solución.- Sea: w = 2 , donde: dw = − 3 ...
= η u + c1 + η w + c2 = η e x + 1 + η 1 + e− x + C = η ⎡ e x + 1 1 + e − x ⎤ + c
⎣
⎦
x
e −1
Respuesta: ∫ x dx = η ⎡ (e x +...
x+2
1
x+2
1 ⎞
dx
⎛
, Luego: ∫
= 1+
dx = ∫ ⎜1 +
⎟ dx = ∫ dx + ∫
x +1
x +1
x +1
x +1
⎝ x +1⎠
Sea u = x + 1 , donde du = dx
d...
u5
cos x5
cos5 x
+c = −
+c = −
+c
5
5
5
cos5 x
Respuesta: ∫ cos 4 x s e n xdx = −
+c
5
sec5
2.29.-Encontrar: ∫
dx
cos ecx
...
Respuesta: ∫

2x − 5
1
5
η
dx = η 3 x 2 − 2 −
2
3x − 2
3
2 6

2.32.-Encontrar: ∫
Solución.- ∫

3x − 2
+C
3x + 2

dx
x 4 − ...
Luego: ∫

=

u
3

3

2

2

−

u

−1

u −1
u2 u 2
−1
−1
1
1
−
+c
dx = ∫ 1 du = ∫ (u 2 − u 2 )du = ∫ u 2 du − ∫ u 2 du =
3
1...
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando Esencialmente la técnica de integración por sustitución, encontrar las
siguientes integrales:...
2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx

2.94.- ∫ cosτ g 2 axdx

dx
3cos(5 x − π )
4
x
2.99.- ∫ coτ g
dx
a −b

dx
s e n(ax + b)
dx
2.100...
2.147.- ∫
2.150.- ∫
2.153.- ∫
2.156.- ∫

arc cos x 2

2.148.- ∫

dx

4 − x2
s e n x cos x
2−sen x
4

2.151.s ecxτ gx

dx

...
αβ

ax − b
dx ,
2.44.- ∫
αx+ β

Sea: u = α x + β , du = α dx ;

+b
ax − b a α
= −
αx
ax + b α

αβ
aβ + α b
⎛
⎞
⎜ a α +b⎟
a...
1
+c
x +1
bdy
,
Sea: u = 1 − y, du = − dy
2.50.- ∫
1− y
bdy
du
−1
1
1
∫ 1 − y = −b∫ u = −b∫ u 2 du = −2bu 2 + c = − 2b(1 −...
6t − 15
tdt
dt
tdt
dt
− 15∫ 2
= 6∫ 2
− 15∫
dt = 6∫ 2
2
−2
3t − 2
3t − 2
3t − 2
( 3t ) 2 − ( 2) 2

∫ 3t
=∫

du 15
dw
15 3 1...
2.63.- ∫

∫

xdx
a −x
4

xdx
a −x
4

4

4

Sea: u = x 2 , du = 2 xdx

,

xdx

=∫

( a 2 )2 − ( x2 )2

=

1
du
1
u
= arcs e...
2.70.- ∫ ae − mx dx ,

∫ ae

− mx

Sea: u = − mx, du = −mdx

dx = a ∫ e − mx dx = −

2.71.- ∫ 42 −3 x dx ,
2 −3 x
∫ 4 dx =...
et dt
du
t
∫ et − 1 = ∫ u = η u + c = η e − 1 + c
2.80.- ∫ e x a − be x dx ,

Sea: u = a − be x , du = −be x dx
3

∫e

1
1...
2.88.- ∫ cos x

dx
,
x

Sea: u = x , du =

dx
2 x

dx
= 2∫ cos udu = 2s e n u + c = 2s e n x + c
x
dx
dx
2.89.- ∫ s e n( η...
dx
,
Sea: u = 5 x − π , du = 5dx
4
3cos(5 x − π )
4
dx
1
1
1
∫ 3cos(5 x − π4 ) = 3 ∫ sec(5 x − π4 )dx = 15 ∫ sec udu = 15 ...
dx
,
Sea: u = 2 x, du = 2dx
s e n x cos x
dx
dx
∫ s e n x cos x = ∫ 1 s e n 2 x = 2∫ cos ec2 xdx = ∫ cos ecudu = η cos ecu...
x 3 dx
,
Sea: u = x 4 , du = 4 x3 dx
8
x +5
3
x dx
x3 dx
1
du
1 1
u
5
x4
=∫ 4 2
= ∫ 2
=
+c =
+c
arcτ g
arcτ g
∫ x8 + 5 ( x...
1
2
1
2
η cos ecu − coτ gu + s e n u + c = η cos ecax − co τ gax + s e n ax + c
a
a
a
a
x3 − 1
2.118.- ∫
Sea: u = x + 1, d...
= ∫ sec 3xdx − ∫

cos 3x
1
1 cos u
1
1 dw
dx = ∫ sec udu − ∫
du = ∫ sec udu − ∫ 2
2
2
s e n 3x
3
3 sen u
3
3 w

1
1 w−1
1
...
∫ τ g axdx = ∫ (sec
2

2

ax − 1)dx = ∫ sec2 axdx − ∫ dx =

1
= τ gax − x + c
a
sec 2 xdx
2.132.- ∫
,
4 −τ g 2 x
sec 2 xdx...
2
1
x 2 dx
dx
x− 2
∫ x2 − 2 = ∫ (1 + x2 − 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x2 − 2 = x + 2 2 2 η x + 2 + c
= x+

2
x− 2
+c
η
2
x+ 2

2.140...
2π t
2π t
+ ϕ0 , du =
dt
T
T
T
T
T
2π t
∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt = 2π ∫ s e n udu = − 2π cos u + c = − 2π cos( T + ϕ0 ) + c...
1

u2 1 w 2
(arcs e n x) 2
= −
+c =
− 1 − x2 + c
2 2 1
2
2
xdx
,
Sea: t = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1; dx = 2tdt
2.154.- ∫
x +1
2 ...
∫e

x+ex

dx = ∫ e x ee dx = ∫ du = u + c = ee + c
x

x

u −1
, du = 4dt
4
u − 1 7 du 1
1
1 u9 1 u8
t (4t + 1)7 dt = ∫
u
=...
CAPITULO 3
INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En esta parte, serán consideradas las integrales trigonométricas de la...
= ∫ cos x cos 2 xdx = ∫ cos x(1 − s e n 2 x)dx = ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

= ∫ cos ...
= ∫ (s e n x) 2 cos xdx − 2∫ (s e n x) 4 cos xdx + ∫ (s e n x)6 cos xdx

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

u3
u5 u7
s e n3 x...
1
1
3 2
3 2
3
3
∫ 2 x(cos x − s e n x )dx = 2 ∫ (cos u − s e n u)du
2
1
1
1
1
= ∫ cos3 udu − ∫ s e n 3 udu = ∫ cos u cos 2...
3.12.-Encontrar: ∫ cos 3x cos 2 xdx
1
[cos(α − β ) + cos(α + β )] ; Se tiene que:
2
1
1
cos 3x cos 2 x = [ cos(3x − 2 x) +...
2
1
2
1
= ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = τ gx + u 3 + u 5 + c = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c
3
5
3
5
2 3 1 5
Respue...
τ g5x τ g7 x
u5 u7
+ +c =
+
+c
5 7
5
7
τ g5x τ g7x
Respuesta: ∫ τ g 4 x sec 4 xdx =
+
+c
5
7
3.21.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x...
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Libro integrales resueltas

592 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
592
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
12
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Libro integrales resueltas

  1. 1. Para FMAT Unas poquitas integrales que encontre por ahi por Picosenotheta . .bueno y que esperan , a bajar y trabajar y suerte en los controles 801 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL INDEFINIDA
  2. 2. INDICE INTRODUCCION ............................................................................................................................................. 5 INSTRUCCIONES............................................................................................................................................ 6 ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE................................................................................................... 7 IDENTIFICACIONES USUALES ................................................................................................................. 7 IDENTIDADES ALGEBRAICAS .................................................................................................................. 7 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS....................................................................................................... 8 FORMULAS FUNDAMENTALES.................................................................................................................10 CAPITULO 1...................................................................................................................................................12 INTEGRALES ELEMENTALES ................................................................................................................12 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................12 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................20 RESPUESTAS..............................................................................................................................................21 CAPITULO 2...................................................................................................................................................29 INTEGRACION POR SUSTITUCION........................................................................................................29 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................29 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................39 RESPUESTAS..............................................................................................................................................41 CAPITULO 3...................................................................................................................................................59 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS .......................................................................59 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................59 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................66 RESPUESTAS..............................................................................................................................................67 CAPITULO 4...................................................................................................................................................77 INTEGRACION POR PARTES...................................................................................................................77 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................77 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................88 RESPUESTAS..............................................................................................................................................89 CAPITULO 5.................................................................................................................................................111 INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS...............................................................................111 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................111 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................116 RESPUESTAS............................................................................................................................................117 CAPITULO 6.................................................................................................................................................126 INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA .................................................................126 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................126 EJERCICIOS PROPUESTOS: ...................................................................................................................135 RESPUESTAS............................................................................................................................................137 CAPITULO 7.................................................................................................................................................154 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES..................................................................................154 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................154 EJERCICICOS PROPUESTOS..................................................................................................................162 RESPUESTAS............................................................................................................................................163 CAPITULO 8.................................................................................................................................................188 2
  3. 3. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................188 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................195 RESPUESTAS............................................................................................................................................195 CAPITULO 9.................................................................................................................................................199 INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES ...............................................................................199 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................199 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................203 RESPUESTAS............................................................................................................................................203 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................208 RESPUESTAS............................................................................................................................................210 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................242 3
  4. 4. A Patricia. / A Ana Zoraida. A los que van quedando en el camino, Compañeros de ayer, De hoy y de siempre. 4
  5. 5. INTRODUCCION El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica. El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al respecto. Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña. 5
  6. 6. INSTRUCCIONES Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo siguiente: a) Estudie la teoría pertinente en forma previa. b) Ejercite la técnica de aprehender con los casos resueltos. c) Trate de resolver sin ayuda, los ejercicios propuestos. d) En caso de discrepancia consulte la solución respectiva. e) En caso de mantener la discrepancia, recurre a la consulta de algún profesor. f) Al final, hay una cantidad grande de ejercicios sin especificar técnica alguna. Proceda en forma en forma análoga. g) El no poder hacer un ejercicio, no es razón para frustrarse. Adelante y éxito. 6
  7. 7. ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE e: η: og : sen : arcs e n : cos : arc cos : arc co s : τg : Base de logaritmos neperianos. Logaritmo natural o neperiano. Logaritmo vulgar o de briggs. Seno. Arco seno. Coseno. Arco coseno. Arco coseno. arc tg : co τ g arc co tg sec : arc sec : cos ec : arc sec : exp : dx : x: Tangente. Arco tangente. Cotangente. Arco cotangente. Secante. Arco secante. Cosecante. Arco cosecante. Exponencial. Diferencial de x. Valor absoluto de x. m.c.m: Mínimo común múltiplo. IDENTIFICACIONES USUALES s e n n x = (s e n x) n η n x = ( η x) n s e n −1 x = arcs e n x og n x = ( ogx) n ogx = og x IDENTIDADES ALGEBRAICAS 1. Sean a, b: bases; m, n números naturales. a m a n = a m+ n (a m ) n = a mn (ab) n = a nb n am = a m−n , a ≠ 0 an n m an ⎛a⎞ a n = n am = = n ,b ≠ 0 ⎜ ⎟ b ⎝b⎠ a−n = 1 an ( a) n m a 0 = 1, a ≠ 0 7
  8. 8. 2. Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales 2 3 ( a ± b ) = a 2 + 2ab + b2 ( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 + b3 (a ± b) 4 = a 4 ± 4a 3b + 6a 2b 2 ± 4ab3 + b 4 a 2 n − b 2 n = (a n + b n )(a n − b n ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab ± b 2 ) 3. Sean b, n, x, y, z: números naturales ⎛x⎞ ogb ⎜ ⎟ = ogb x − ogb y og ( xyz ) = ogb x + ogb y + ogb z ⎝ y⎠ n 1 ogb x = n ogb x ogb n x = ogb x n ogb 1 = 0 og bb = 1 ηe = 1 ηex = x exp( η x) = x η exp x = x = x e ηx = x IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. sen = 1 cos ecθ cos θ = s e nθ cos θ 2 s e n θ + cos 2 θ = 1 1 s ecθ 1 co τ gθ 2 1 + τ g θ = sec 2 θ τ gθ = τ gθ = 1+ co τ g 2θ = cos ec 2θ cos θ cos ecθ = coτ gθ cos θτ gθ = s e n θ 2. (a) s e n(α + β ) = s e n α cos β + cos α s e n β sen α 2 =± 1 − cos α 2 s e n 2α = 2s e n α cos α 1 − cos 2α s e n2 α = 2 s e n(α − β ) = s e n α cos β − cos α s e n β 8
  9. 9. (b) cos(α + β ) = cos α cos β − s e n α s e n β 1 + cos α 2 2 cos(α − β ) = cos α cos β + s e n α s e n β cos α =± 1 + cos 2α 2 2 cos 2α = cos α − s e n 2 α = 1 − 2s e n 2 α = 2 cos 2 α − 1 cos 2 α = (c) τ gα + τ g β 1 − τ gατ g β 1 − cos 2α τ g 2α = 1 + cos 2α τ g (α + β ) = τg α 2 =± 2τ gα 1 − τ g 2α τ gα − τ g β τ g (α − β ) = 1 + τ gατ g β τ g 2α = 1 − cos α s e nα 1 − cos α = = 1 + cos α 1 + cos α s e nα (d) 1 [s e n(α + β ) + s e n(α − β )] 2 1 cos α cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ] 2 α +β α −β s e n α + s e n β = 2s e n cos 2 2 α +β α −β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 1 [s e n(α + β ) − s e n(α − β )] 2 1 s e n α s e n β = − [ cos(α + β ) − cos(α − β ) ] 2 α +β α −β s e n α − s e n β = 2 cos sen 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2s e n sen 2 2 (e) arcs e n(s e n x) = x arcτ g (τ gx) = x arc sec(sec x) = x arc cos(cos x) = x arc co τ g (co τ gx) = x arc co sec(co sec x) = x s e n α cos β = cos α s e n β = 9
  10. 10. FORMULAS FUNDAMENTALES Diferenciales Integrales du dx u 2.- d (au ) = adu 1.- ∫ du = u + c 3.- d (u + v) = du + dv 3.- ∫ (du + dv) = ∫ du + ∫ dv 1.- du = 2.- ∫ adu = a ∫ du 4.- d (u n ) = nu n −1du 4.- ∫ u n du = du u u u 6.- d (e ) = e du du = η u +c u 6.- ∫ eu du = eu + c 5.- ∫ 5.- d ( η u ) = 7.- d (a u ) = a u η adu 7.- ∫ a u du = 8.- d (s e n u ) = cos udu 9.- ∫ s e n udu = − cos u + c 10.- d (τ gu ) = sec 2 udu 11.- d (coτ gu ) = − cosec2 udu 12.- d (sec u ) = sec uτ gudu 13.- d (co sec u ) = − co sec u coτ gudu 15.- d (arc cos u ) = du 1− u −du au +c ηa 8.- ∫ cos udu = s e n u + c 9.- d (cos u ) = − s e n udu 14.- d (arcs e n u ) = u n +1 + c (n ≠ −1) n +1 2 1− u2 du 16.- d (arcτ gu ) = 1+ u2 − du 17.- d (arc co τ gu ) = 1+ u2 du 18.- d (arc sec u ) = u u2 −1 −du 19.- d (arc co sec u ) = u u2 −1 10.- ∫ sec 2 udu = τ gu + c 11.- ∫ cosec 2 udu = − co τ gu + c 12.- ∫ sec uτ gudu = sec u + c 13.- ∫ co sec u co τ gudu = − co sec u + c 14.- ∫ 15.- ∫ du 1− u2 du = arcs e n u + c = − arc cos u + c 1− u2 du 16.- ∫ = arcτ gu + c 1+ u2 du 17.- ∫ = − arc coτ gu + c 1+ u2 ⎧ arc sec u + c; u > 0 du 18.- ∫ =⎨ u u 2 − 1 ⎩ − arc sec u + c; u < 0 ⎧ − arc co sec u + c; u > 0 − du 19.- ∫ =⎨ u u 2 − 1 ⎩ arc co sec u + c; u < 0 10
  11. 11. OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS ⎧ η sec u + c ⎪ 1.- ∫ τ gudu = ⎨ ⎪− η cos u + c ⎩ ⎧ η sec u + τ gu + c ⎪ 3.- ∫ sec udu = ⎨ ⎛u π ⎞ ⎪ η τ gu ⎜ 2 + 4 ⎟ + c ⎝ ⎠ ⎩ 5.- ∫ s e n hudu = cos u + c 4.- ∫ co sec udu = η co sec u − coτ gu + c 9.- ∫ sec hudu = arcτ gh(s e n hu ) + c 10.- ∫ co sec hudu = − arc co τ gh(cos hu ) + c 7.- ∫ τ ghudu = η cos u + c 11.- ∫ u ⎧ ⎪ arcs e n a + c du ⎪ =⎨ 2 2 a −u ⎪ − arcs e n u + c ⎪ a ⎩ ⎧ ⎪ du ⎪ 13.- ∫ 2 =⎨ 2 u +a ⎪ ⎪ ⎩ 15.- ∫ du u a ±u 2 2 1 u arcτ g + c a a u 1 arc coτ g + c a a = 17.- u 2 ± a 2 du = 1 u η +c a a + a2 ± u2 2.- ∫ co τ gudu = η s e n u + c 6.- ∫ cos udu = s e n hu + c 8.- ∫ co τ ghudu = η s e n u + c 12.- ∫ 14.- ∫ du u ±a 2 2 = η u + u2 ± a2 + c du 1 u−a = η +c 2 u −a 2a u+a 2 u ⎧1 ⎪ a arc cos a + c du ⎪ 16.- ∫ =⎨ 2 2 u u −a ⎪ 1 arc sec u + c ⎪a a ⎩ u 2 a2 η u + u2 ± a2 + c u ± a2 ± 2 2 u 2 a2 u 2 a − u + arcs e n + c 18.- ∫ a − u du = 2 2 a au e (a s e n bu − b cos bu ) 19.- ∫ e au s e n budu = +c a 2 + b2 e au (a cos bu + b s e n bu ) au 20.- ∫ e cos budu = +c a 2 + b2 2 2 Realmente, algunas de estas integrales no son estrictamente inmediatas; tal como se verá mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas. 11
  12. 12. CAPITULO 1 INTEGRALES ELEMENTALES El Propósito de este capitulo, antes de conocer y practicar las técnicas propiamente tales; es familiarizarse con aquellas integrales para las cuales basta una transformación algebraica elemental. EJERCICIOS DESARROLLADOS 1.1 .- Encontrar: ∫ e η x xdx 2 Solución.- Se sabe que: e η x = x 2 2 x4 Por lo tanto: ∫ e xdx = ∫ x xdx = ∫ x dx = + c 4 4 2 x Respuesta: ∫ e η x xdx = + c , Fórmula utilizada: 4 1.2 .- Encontrar: ∫ 3a 7 x 6 dx η x2 2 3 x n +1 ∫ x dx = n + 1 , n ≠ −1 n Solución.x7 +c 7 x7 Respuesta: ∫ 3a 7 x 6 dx = 3a 7 +c, 7 1.3.- Encontrar: ∫ (3 x 2 + 2 x + 1)dx 7 6 7 6 7 ∫ 3a x dx = 3a ∫ x dx = 3a Fórmula utilizada: del ejercicio anterior. Solución.2 2 2 ∫ (3x + 2 x + 1)dx = ∫ (3x + 2 x + 1)dx = ∫ 3x dx + ∫ 2 xdx + ∫ dx = 3∫ x 2 dx + 2∫ xdx + ∫ dx = 3 x3 x2 +2 + x + c = x3 + x 2 + x + c 3 2 Respuesta: ∫ (3 x 2 + 2 x + 1)dx = x3 + x 2 + x + c 1.4.- Encontrar: ∫ x(x + a )( x + b)dx Solución.2 3 2 ∫ x(x + a)( x + b)dx = ∫ x ⎡ x + (a + b) x + ab ⎤dx = ∫ ⎡ x + ( a + b ) x + abx ⎤dx ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ = ∫ x 3dx + ∫ (a + b) x 2 dx + ∫ abxdx = = ∫ x dx + (a + b)∫ x dx + ab∫ xdx 3 2 x4 x3 x2 + (a + b) + ab + c 4 3 2 12
  13. 13. x 4 (a + b) x3 abx 2 + + +c 4 3 2 Respuesta: ∫ x(x + a)( x + b)dx = 1.5.- Encontrar: ∫ (a + bx 3 ) 2 dx Solución.3 2 2 3 2 6 2 3 2 6 ∫ (a + bx ) dx = ∫ (a + 2abx + b x )dx = ∫ a dx + ∫ 2abx dx + ∫ b x dx x4 x7 + b2 + c 4 7 4 2 7 abx b x + +c Respuesta: ∫ (a + bx3 ) 2 dx = a 2 x + 2 7 1.6.- Encontrar: ∫ 2 pxdx = a 2 ∫ dx + 2ab ∫ x3dx + b 2 ∫ x 6 dx = a 2 x + 2ab Solución.2 1 1 2 2 2 px 3 x2 2 pxdx = ∫ 2 px dx = 2 p ∫ x dx = 2 p +c = +c ∫ 2 3 3 2 2 px x Respuesta: ∫ 2 pxdx = +c 3 dx 1.7.-Encontrar: ∫ n x Solución.- ∫ dx = x x ∫ −1 n n dx = 1 −1 +1 n 2 −1+ n n −1+ n n x x nx +c = +c = +c −1 −1 + n n −1 +1 n n −1+ n dx nx n Respuesta: ∫ n = +c n −1 x 1.8.- Encontrar: ∫ (nx) 1− n n dx Solución.- ∫ (nx) = =n 1− n n 1− n n dx = ∫ n 1 xn 1− n n x 1− n n −1+1 1 −1+1 n +c = n Respuesta: ∫ (nx) 1− n n dx = n 1− n n 1− n n ∫x 1− n n 1 xn +c = n 1 n dx = n 1− n n 1− n n 1 −1 ∫ x n dx 1 n nx + c = n 1− n +1 n 1 n x +c = n 1− n + n n 1 xn + c = n nx n + c 1 1 dx = n nx + c 1.9.- Encontrar: ∫ (a 3 − x 3 )3 dx 2 Solución.- ∫ (a 2 3 ( ) − x 3 )3 dx = ∫ ⎡ a ⎢ ⎣ 2 2 2 3 3 ( ) −3 a 2 2 2 x 3 + 3a 2 2 3 ( x ) − ( x ) ⎤dx ⎥ ⎦ 2 2 3 2 3 3 13
  14. 14. = ∫ (a 2 − 3a 3 x 4 2 3 2 + 3a 3 x 4 3 − x 2 )dx = ∫ a 2 dx − ∫ 3a 3 x 3 dx + ∫ 3a 3 x 3 dx − ∫ x 2 dx 4 2 2 4 5 7 2 x3 x 3 x3 = a ∫ dx − 3a ∫ x dx + 3a ∫ x dx − ∫ x dx = a x − 3a + 3a 3 − +c 5 7 3 3 3 5 7 4 2 9a 3 x 3 9a 3 x 3 x 3 = a2 x − + − +c 5 7 3 5 7 4 2 2 2 9 a 3 x 3 9a 3 x 3 x 3 2 3 3 3 Respuesta: ∫ (a − x ) dx = a x − + − +c 5 7 3 1.10.- Encontrar: ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 4 2 2 3 2 3 4 3 2 3 4 2 3 Solución.- ∫( x + 1)( x − x + 1)dx = ( x x − ( x ) 2 + x + x− x + 1)dx 5 5 x2 2x 2 = ∫ ( x x + 1)dx = ∫ ( xx + 1)dx = ∫ ( x + 1)dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x+c = + x+c 5 5 2 5 2 2x Respuesta: ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx = + x+c 5 ( x 2 + 1)( x 2 − 2)dx 1.11.- Encontrar: ∫ 3 2 x Solución.( x 2 + 1)( x 2 − 2)dx ( x 4 − x 2 − 2)dx x4 x2 2 =∫ = ∫ 2 dx − ∫ 2 dx − ∫ 2 dx 2 ∫ 3 2 x3 x3 x3 x3 x 1 3 2 10 = ∫ x dx − ∫ x dx − 2∫ x dx = 10 4 3 13 3 −2 3 x3 4 +1 10 +1 3 3 2 − x3 −2 +1 4 +1 3 −2 x3 2 +1 −2 +1 3 = x 13 13 3 3 − x 7 7 3 3 −2 x 1 1 3 +c 3 7 3 13 3 7 x 3 x3 x x x4 3 x x2 3 x 1 −3 − 6x 3 + c = 3 −3 − 63 x + c = 3 −3 − 63 x + c 13 7 13 7 13 7 2 2 4 2 ⎞ ( x + 1)( x − 2)dx ⎛ 3 x 3 x Respuesta: ∫ =⎜ − − 6⎟ 3 x + c 3 2 7 x ⎝ 13 ⎠ m n 2 (x − x ) 1.12.- Encontrar: ∫ dx x Solución.( x m − x n )2 ( x2m − 2 xm xn + x2n ) ( x2m − 2 xm xn + x2n ) dx = ∫ dx = ∫ dx ∫ x1/ 2 x x =3 = ∫ ( x 2 m −1/ 2 − 2 x m+ n −1/ 2 + x 2 n −1/ 2 )dx = 4 m +1 2 m + 2 n +1 4 n +1 x 2 m −1/ 2+1 2 x m+ n +1/ 2 x 2 n +1/ 2 − + +c 2m − 1/ 2 + 1 m + n + 1/ 2 2n + 1/ 2 4 m +1 2 m + 2 n +1 4 n +1 x 2 2x 2 x 2 2x 2 4x 2 2x 2 = − + +c = − + +c 4m + 1 2m + 2n + 1 4n + 1 4m + 1 2m + 2n + 1 4 n + 1 2 2 2 14
  15. 15. = 2 x2m x 4 x m+n x 2 x2n x − + +c 4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1 ⎛ 2 x2m ( x m − x n )2 4 x m+n 2 x2n ⎞ Respuesta: ∫ dx = x ⎜ − + ⎟+c x ⎝ 4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1 ⎠ ( a − x )4 dx ax 1.13.- Encontrar: ∫ Solución.( a − x )4 a 2 − 4a ax + 6 xa − 4 x ax + x 2 dx = ∫ dx ∫ ax ax =∫ 4a ax 4 x ax x2 a2 6ax dx + ∫ dx − ∫ dx + ∫ dx − ∫ 1 1 1 dx (ax) 2 (ax) 2 (ax) 2 ax ax = ∫ a 2 a − 2 x − 2 dx − ∫ 4adx + ∫ 6aa − 2 xx − 2 dx − ∫ 4 xdx + ∫ a − 2 x 2 x − 2 dx 1 =a 3 =a 3 =a 3 2 1 1 − ∫ x 2 dx − 4a ∫ dx + 6a 1 x 2 −1 +1 2 −1 +1 2 x 2 1 2 1 2 − 4ax + 6a − 4ax + 6a 1 2 1 x 2 1 1 1 2 3 3 2 2 1 − ∫ x dx − 4∫ xdx + a 2 +1 1 +1 2 x 1 −4 2 −4 x2 2 x1+1 1+1 +a +a − 12 x − 12 5 5 2 x 3 +1 2 3 +1 2 2 1 2 ∫x 3 2 1 dx +c +c 5 = 2a x − 4ax + 4a x − 2 x + 2a 3 2 1 1 2 2 3 2 2 − 12 x 2 +c 5 ( a − x )4 3 3 2 x3 1 1 2 2 2 2 2 Respuesta: ∫ dx = 2a x − 4ax + 4a x − 2 x + +c ax 5 xa dx 1.14.- Encontrar: ∫ 2 x − 10 Solución.dx dx 1 x−a Sea: a = 10 , Luego: ∫ 2 =∫ 2 = +c η 2 x − 10 x −a 2a x+a = 1 x − 10 10 x − 10 +c = +c η η 20 2 10 x + 10 x + 10 Respuesta: ∫ dx 10 x − 10 = +c η x − 10 20 x + 10 2 1.15.- Encontrar: ∫ dx x +7 2 Solución.- Sea: a= 7 , Luego: ∫ dx dx 1 x =∫ 2 = arcτ g + c 2 x +7 x +a a a 2 15
  16. 16. x 1 7 7x arcτ g arcτ g +c = +c 7 a 7 7 dx 7 7x arcτ g = +c 7 x +7 a dx 1.16.- Encontrar: ∫ 4 + x2 Solución.dx dx Sea: a = 2 , Luego: ∫ =∫ = η x + a2 + x2 + c 2 2 2 4+ x a +x Respuesta: ∫ 2 = η x + 4 + x2 + c Respuesta: ∫ dx 4+ x = η x + 4 + x2 + c 2 dx 1.17.- Encontrar: ∫ 8 − x2 Solución.Sea: a = 8 , Luego: ∫ dx =∫ 8 − x2 x x = arcs e n + c = arcs e n +c 8 2 2 Respuesta: ∫ dx 8 − x2 1.18.- Encontrar: ∫ = arcs e n dx a2 − x2 x +c a = arcs e n 2x +c 4 dy x +9 2 Solución.- 1 actúa como constante, luego: x +9 dy 1 1 y ∫ x2 + 9 = x 2 + 9 ∫ dy = x2 + 9 y + c = x 2 + 9 + c dy y Respuesta: ∫ 2 = 2 +c x +9 x +9 La expresión: 2 1.19.- Encontrar: ∫ 2 + x2 − 2 − x2 4 − x4 dx Solución.- ∫ =∫ 2 + x2 − 2 − x2 4 − x4 dx = ∫ 2 + x2 (2 − x 2 ) (2 + x 2 ) dx − ∫ 2 + x2 2 − x2 dx − ∫ dx 4 − x4 4 − x4 2 − x2 (2 − x 2 ) (2 + x 2 ) dx = ∫ dx 2 − x2 −∫ dx 2 + x2 16
  17. 17. Sea: a = 2 , Luego: ∫ = arcs e n dx a2 − x2 −∫ dx a2 + x2 = arcs e n x − η x + a2 + x2 + c a x x − η x + ( 2) 2 + x 2 + c = arcs e n − η x + 2 + x2 + c 2 2 Respuesta: ∫ 2 + x2 − 2 − x2 4− x 1.20.- Encontrar: ∫ τ g 2 xdx 4 dx = arcs e n x − η x + 2 + x2 + c 2 Solución.2 2 2 ∫ τ g xdx = ∫ (sec x − 1)dx = ∫ sec xdx − ∫ dx = τ gx − x + c Respuesta: ∫ τ g 2 xdx = τ gx − x + c 1.21.- Encontrar: ∫ coτ g 2 xdx Solución.2 2 2 ∫ coτ g xdx = ∫ (cos ec x − 1)dx = ∫ cos ec xdx − ∫ dx = − coτ gx − x + c Respuesta: ∫ co τ g 2 xdx = − coτ gx − x + c 1.22.- Encontrar: ∫ dx 2x2 + 4 Solución.dx 1 dx 1 1 x 2 2x dx ∫ 2 x 2 + 4 = ∫ 2( x 2 + 2) = 2 ∫ x 2 + 2 = 2 2 arcτ g 2 + c = 4 arcτ g 2 + c dx 2 2x arcτ g = +c 2 2x + 4 4 2 dx 1.23.- Encontrar: ∫ 2 7x − 8 Solución.dx dx dx dx 1 ∫ 7 x 2 − 8 = ∫ 2 8 = ∫ 7 ⎡( x 2 − ( 8 )2 ⎤ = 7 ∫ ⎡ x 2 − ( 8 )2 ⎤ 7 7 7( x − ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 7 x− 8 x− 8 1 1 1 7 7x − 8 7 7 η η η = +c = +c = +c 8 8 8 7 2( 7 ) 8 14 8 7x + 8 x+ 7 x+ 7 14 7 Respuesta: ∫ = 1 η 4 14 7x − 2 2 14 +c = η 56 7x + 2 2 Respuesta: ∫ dx 14 η = 2 7 x − 8 56 1.24.- Encontrar: ∫ 7x − 2 2 +c 7x + 2 2 7x − 2 2 +c 7x + 2 2 x 2 dx x2 + 3 17
  18. 18. Solución.x 2 dx 3 dx dx ∫ x2 + 3 = ∫ (1 − x2 + 3)dx = ∫ dx − 3∫ x 2 + 3 = ∫ dx − 3∫ x2 + ( 3)2 = x−3 1 x 3x arcτ g + c = = x − 3 arcτ g +c 3 3 3 x 2 dx 3x = x − 3 arcτ g +c 2 x +3 3 dx 1.25.- Encontrar: ∫ 7 + 8x2 Solución.dx dx 1 2 ∫ 7 + 8 x2 = ∫ ( 8 x)2 + ( 7)2 = 8 η 8x + 7 + 8x + c Respuesta: ∫ Respuesta: ∫ dx 7 + 8x ∫ 7 − 5x 2 =∫ Respuesta: ∫ 2 η 4 8x + 7 + 8x2 + c dx 1.26.- Encontrar: ∫ Solución.dx 2 = 7 − 5x2 dx ( 7) − ( 5 x) 2 dx = = 2 1 5 arcs e n x +c 5 7 5 35 x arcs e n +c 5 7 7 − 5x (a x − b x ) 2 dx 1.27.- Encontrar: ∫ a xb x Solución.2 (a x − b x ) 2 dx ( a 2 x − 2a x b x + b 2 x ) a2x 2 a xb x b 2x =∫ dx = ∫ x x dx − ∫ x x dx + ∫ x x dx ∫ a xb x a xb x ab ab a b ( a / b) − 2x + (b / a ) + c ax bx ⎛a⎞ ⎛b⎞ = ∫ x dx − ∫ 2dx + ∫ x dx = ∫ ⎜ ⎟ dx − 2∫ dx + ∫ ⎜ ⎟ dx = a b b a ⎝b⎠ ⎝a⎠ η η b a x = (a / b) x η a − ηb − 2x + (b / a ) x ηb − η a +c = x x (a / b) x η a − ηb − 2x − (b / a ) x x η a − ηb +c ⎛ ax bx ⎞ ⎜ x− x⎟ b a ⎠ =⎝ − 2x + c η a − ηb ⎛ a 2 x − b2 x ⎞ ⎜ ⎟ x x (a x − b x ) 2 dx ⎝ a b ⎠ Respuesta: ∫ = − 2x + c a xb x η a − ηb 18
  19. 19. 1.28.- Encontrar: ∫ s e n 2 x dx 2 Solución.x dx = ∫ 2 x senx = − +c 2 2 ∫sen 1 − cos 2 2 2 x 2 dx = ∫ 1 − cos x 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos xdx 2 2 2 x x senx dx = − +c 2 2 2 dx 1.29.- Encontrar: ∫ ;(0 < b < a ) ( a + b) + ( a − b ) x 2 Solución.dx dx Sea: c 2 = a + b, d 2 = a − b, ; luego ∫ =∫ 2 2 ( a + b) + ( a − b) x c + d 2 x2 dx 1 dx 1 1 x 1 dx ∫ 2 ⎛ c2 2 ⎞ = d 2 ∫ ⎛ c ⎞2 2 = d 2 c arctg c + c = cd arctg c + c d d ⎜ 2 +x ⎟ ⎜ ⎟ +x d ⎝d ⎠ ⎝d ⎠ Respuesta: ∫ s e n 2 = 1 a − bx 1 a−b arctg +c = arctg x+c 2 2 a+b a +b a −b a+b a −b dx 1 a −b arctg = x+c 2 ( a + b) + ( a − b) x a+b a 2 − b2 dx 1.30.-Encontrar: ∫ ;(0 < b < a ) ( a + b) − ( a − b ) x 2 Solución.dx dx Sea: c 2 = a + b, d 2 = a − b, Luego: ∫ =∫ 2 2 ( a + b) − ( a − b) x c − d 2 x2 x− c dx 1 dx 1 1 d + c = − 1 η dx − c + c η =∫ = 2∫ =− 2 2 2 dx + c 2cd ⎛c ⎞ d ⎛c⎞ d 2c x+ c 2 d d 2 ⎜ 2 − x2 ⎟ ⎜ ⎟ −x d ⎝d ⎠ ⎝d ⎠ Respuesta: ∫ =− 1 2 a −b 2 2 Respuesta: ∫ η a − bx − a + b +c a − bx + a + b dx 1 η =− 2 ( a + b) − ( a − b ) x 2 a 2 − b2 a − bx − a + b +c a − bx + a + b 0 1.31.- Encontrar: ∫ ⎡( a 2 x ) − 1⎤dx ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Solución.- 19
  20. 20. ∫ ⎡( a ) ⎢ ⎣ − 1⎤dx = ∫ (a 0 − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ 0dx = c ⎥ ⎦ 0 Respuesta: ∫ ⎡( a 2 x ) − 1⎤dx = c ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2x 0 EJERCICIOS PROPUESTOS Mediante el uso del álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas, transformar en integrales de fácil solución, las integrales que se presentan a continuación. 1.32.- ∫ 3x5 dx x 1.35.- ∫ cos 2 2 dx 1.38.- ∫ 1+ 1+ x 2 x 3 dy dx 1.41.- ∫ x +5 1.44.- ∫ (s e n 2 x + cos 2 x − 1)dx 1.47.- ∫ 1.50.- ∫ 1.53.- ∫ 1.56.- ∫ 2 dx x − 12 dx 1.33.- ∫ (1 + e) x dx 1.36.- ∫ (1 + x )3 dx 1.39.- ∫ 1.42.- ∫ x 2 + 12 dx x 12 − x 2 dx 2 x2 − 8 5− x 2 dx x +5 2 1.45.- ∫ x (1 − x )dx 1.48.- ∫ 2 dx 1.51.- ∫ 1.54.- ∫ 1.57.- ∫ dx x + 12 dx 2 12 − x 2 dx x 12 + x 2 dx 2 x2 + 8 1.59.- ∫ x 2 + 10dx 1.60.- ∫ 10 − x 2 dx 1.62.- ∫ 1 − s e n 2 xdx 1.63.- ∫ 1 − cos 2 xdx 1.34.- ∫ (1 + τ gx)dx 1.37.- ∫ (1 + x )0 dx 1.40.- ∫ 1.43.- ∫ dx x2 − 5 dx x −5 2 1.46.- ∫ (τ g 2 x + 1)dx 1.49.- ∫ 1.52.- ∫ 1.55.- ∫ dx x − 12 dx 2 x x 2 − 12 dx 8 − 2x2 1.58.- ∫ x 2 − 10dx 1 − cos 2 x dx s e n2 x 1.64.- ∫ (2 x − 3x )0 dx 1.61.- ∫ 1.65.- ∫ (20 − 30 ) n dx sen x ⎞ ⎛ 1.66.- ∫ ⎜τ gx − ⎟ dx cos x ⎠ ⎝ 1.67.- ∫ 1.68.- ∫ − x 2 dx 1.69.- ∫ x 2 − 3 dx 4 1.70.- ∫ x 2 + 3 dx 4 dx 1.72.- ∫ 1.71.- ∫ 3 4 x 3− x 1.74.- ∫ s e n 3 x θ dy 2 1.77.- ∫ e η x dx x x −3 1.75.- ∫ η u dx 2 1.80.- ∫ x 2 − 11dx dx 1.78.- ∫ 2 x− 2 dx 2x 1.81.- ∫ x 2 + 11dx 1.73.- ∫ dx 3− x dx x x2 + 3 1.76.- ∫ exp( η x)dx 1.79.- ∫ 11 − x 2 dx 1.82.- ∫ η (e x )dx 20
  21. 21. 0 ⎡1 + x + x 3 ⎤ 1.83.- ∫ ⎢ ⎥ dx ⎢ 1− x ⎥ ⎣ ⎦ 1.86.- ∫ (coτ gθ − s e n θ )dx 1.89.- ∫ 1.92.- ∫ 1.84.- ∫ (τ g x + sec x − 1)dx 2 1.87.- ∫ x 3x2 − 1 1.95.- ∫ 1 − 3 x 2 dx 1.96.- ∫ 1 + 3 x 2 dx 1.98.- ∫ (3 x 2 − 1)dx x 3 dx 1 + 3x 2 dx 1.90.- ∫ 2 3x + 4 dx 1.93.- ∫ x 1 + 3x 2 dx 1 + 3x 2 dx 1.101.- ∫ exp( η 2 0 1.99.- ∫ (3 x 2 − 1) dx 1.102.- ∫ η (e )dx 2 x −1 2 )dx 1.85.- ∫ 1.88.- ∫ dx 3x 2 − 1 dx 1 − 3x 2 dx 1.91.- ∫ 2 3x − 1 dx 1.94.- ∫ x 1 − 3x 2 1.97.- ∫ 3 x 2 − 1dx n 1.100.- ∫ (3 x 2 − 1) du 1.103.- ∫ (e 2 + e + 1) x dx ⎛ 1+τ g 2x ⎞ 1.104.- ∫ ⎜ − 1⎟dx 2 ⎝ sec x ⎠ 1.105.- ∫ exp( η 1 + x )dx 1.106.- ∫ 27 − x 2 dx 1.107.- ∫ x 2 − 27 dx 1.108.- ∫ x 2 + 27 dx 1.109.- ∫ 1.110.- ∫ 1.113.- ∫ dx 1.111.- ∫ 2x 1 − x2 dx 1.114.- ∫ 4 x x 2 + 16 1.116.- ∫ (1 + x + x) 2 dx 1.119.- ∫ e η 1− cos x 2 dx 5x x2 + 1 dx 5 x x 2 − 25 1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx ⎛ 1 + x2 ⎞ 1.120.- ∫ exp η ⎜ 2 ⎟ dx ⎝ x ⎠ dx 1.122.- ∫ (1 + x − 3 x )0 dx 1.123.- ∫ ηe (1+ x )2 2 1.112.- ∫ dx 3x x2 − 1 dx 3x 9 − x2 (1 − x ) 2 dx 1.115.- ∫ x2 1.118.- ∫ (1 + x) 4 dx 1.121.- ∫ η e 1− s e n x 3 dx dx RESPUESTAS 1.32.- ∫ 3 x5 dx = 3∫ x 5 dx = 3 x 5+1 x6 x6 +c =3 +c = +c 5 +1 6 2 1.33.- ∫ (1 + e) x dx ax (1 + e) x +c = +c Sea: a = 1 + e, Luego: ∫ (1 + e) dx = ∫ a dx = ηa η (1 + e) x x 1.34.- ∫ (1 + τ gx)dx = ∫ dx + ∫ τ gxdx = x + η sec x + c x 1.35.- ∫ cos 2 2 dx = ∫ 1 + cos x 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = x + s e n x + c 2 2 2 2 2 21
  22. 22. 1.36.- ∫ (1 + x )3 dx = ∫ (1 + 3 x + 3( x 2 ) + x3 )dx = ∫ dx + 3 x + 3∫ xdx + ∫ x 2 dx 3 x2 2 52 x2 2 + x + c = x + 2 x x + 3 + x2 x + c 2 5 2 5 0 1.37.- ∫ (1 + x ) dx = ∫ dx = x + c = x + 2x 2 + 3 3 1.38.- ∫ 1.39.- ∫ 1+ 1+ x 2 x 3 dy = 1+ 1+ x 2 x 3 ∫ dy = 1.41.- ∫ 1.42.- ∫ y+c 5 − x2 dx x −5 2 dx x +5 2 =∫ =∫ dx 5 − x2 dx x − ( 5) dx 2 =∫ dx ( 5) 2 − x 2 = arcs e n x 5x + c = arcs e n +c 5 5 = η x + x2 − 5 + c 2 x 2 + ( 5) 2 = η x + x2 + 5 + c dx x +5 2 Sea: a = 5 , Luego: ∫ = x 2 x 3 dx Sea: a = 5 , Luego: ∫ 1.40.- ∫ 1+ 1+ dx 1 x arcτ g = +c 2 5 5 x + ( 5) 2 5 5x arcτ g +c 5 5 1.43.- ∫ dx dx 1 x− 5 5 x− 5 η η =∫ 2 = +c = +c 2 x −5 10 2 5 x − ( 5) x+ 5 x+ 5 2 1.44.- ∫ (s e n 2 x + cos 2 x − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c 2 32 x2 1.45.- ∫ x (1 − x )dx = ∫ ( x −x)dx = ∫ xdx − ∫ xdx = x − + c 3 2 2 2 1.46.- ∫ (τ g x + 1)dx = ∫ sec xdx = τ gx + c 1.47.- ∫ = dx dx 1 x − 12 1 x−2 3 η η =∫ 2 = +c = +c 2 x − 12 x − ( 12) 2 12 x + 12 4 3 x+2 3 2 3 x−2 3 η +c 12 x+2 3 1.48.- ∫ dx x + 12 2 Sea: a = 12 , Luego: ∫ dx 1 x arcτ g = +c 2 12 12 x + ( 12) 2 22
  23. 23. = 1 2 3 arcτ g dx 1.50.- ∫ 3 3x arc τ g +c 6 6 dx = η x + x 2 − 12 + c 2 2 x − ( 12) dx = η x + x 2 + 12 + c 2 2 x + ( 12) +c = 2 3 dx =∫ x 2 − 12 1.49.- ∫ =∫ x 2 + 12 dx 1.51.- ∫ 12 − x 2 ,Luego: ∫ a = 12 Sea: = arcs e n 1.52.- ∫ x dx 12 − x 2 = ∫ dx ( 12) 2 − x 2 x x 3x + c = arcs e n + c = arcs e n +c 6 12 2 3 dx x x 2 − 12 =∫ dx x x 2 − ( 12) 2 = x x 1 1 +c = +c arc sec arc sec 12 12 2 3 2 3 3 3x arc sec +c 6 6 dx dx 1 1.53.- ∫ =∫ = η 2 2 2 12 x 12 − x x ( 12) − x = = 3 η 6 1.54.- ∫ 1.55.- ∫ 1.56.- ∫ x 12 + 12 − x 2 dx x 12 + x dx 8 − 2x dx 2 2 x2 − 8 2 12 + 12 − x 2 +c +c = 3 η 6 =∫ dx =∫ x x 12 + 12 + x 2 +c 1 dx 1 x 2 x ∫ 4 − x 2 = 2 arcs e n 2 + c = 2 arcs e n 2 + c 2 2(4 − x ) dx 1 dx 1 2 = ∫ x2 − 4 = 2 η x + x − 4 + c 2 2 2( x − 4) 2 = 2 η x + x2 − 4 + c 2 dx 1 dx 1 dx 2 1.57.- ∫ =∫ = ∫ x2 + 4 = 2 η x + x + 4 + c 2 2 2 2( x + 4) 2x + 8 = = 2 η x + x2 + 4 + c 2 1.58.- ∫ x 2 − 10dx = ∫ x 2 − ( 10)2 dx = x 2 10 x − 10 − η x + x 2 − 10 + c 2 2 23
  24. 24. x 2 x − 10 − 5 η x + x 2 − 10 + c 2 x 2 1.59.- ∫ x 2 + 10dx = x + 10 + 5 η x + x 2 + 10 + c 2 x 10 x 1.60.- ∫ 10 − x 2 dx = ∫ ( 10) 2 − x 2 dx = +c 10 − x 2 + arcs e n 2 2 10 = 10 x x +c 10 − x 2 + 5arcs e n 2 10 1 − cos 2 x s e n2 x 1.61.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = x + c s e n2 x s e n2 x = 1.62.- ∫ 1 − s e n 2 xdx = ∫ cos 2 xdx = ∫ cos xdx = s e n x + c 1.63.- ∫ 1 − cos 2 xdx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n xdx = − cos x + c 1.64.- ∫ (2 x − 3x )0 dx = ∫ dx = x + c 1.65.- ∫ (20 − 30 ) n dx = ∫ (0) n dx = ∫ 0dx = c sen x ⎞ ⎛ 1.66.- ∫ ⎜τ gx − ⎟ dx = ∫ (τ gx − τ gx ) dx = ∫ 0dx = c cos x ⎠ ⎝ dx 3x +c 1.67.- ∫ − x = ∫ 3x dx = 3 η3 3 x 3 x 1.68.- ∫ 3 − x 2 dx = ∫ ( 23 ) 2 − x 2 dx = − x 2 + 4 arcs e n 3 + c 4 4 2 2 2 x 3 3 2x = − x 2 + arcs e n +c 2 4 8 3 x 2 3 34 1.69.- ∫ x 2 − 3 dx = ∫ x 2 − ( 23 ) 2 dx = x −4− η x + x2 − 3 + c 4 4 2 2 x 2 3 3 = x − 4 − η x + x2 − 3 + c 4 2 8 x 2 3 3 1.70.- ∫ x 2 + 3 dx = ∫ x 2 + ( 23 ) 2 dx = x + 4 + η x + x2 + 3 + c 4 4 2 8 dx dx 1 x 1.71.- ∫ =∫ = η +c 3 x 3 − x2 3 + 3 − x2 x ( 3) 2 − x 2 = 3 η 3 1.72.- ∫ 1.73.- ∫ x 3 + 3 − x2 dx x x −3 dx 2 x x +3 2 +c = 1 x 3 3x arc sec +c = arc sec +c 3 3 3 3 = 3 η 3 x 3 + x2 + 3 +c 24
  25. 25. 1.74.- ∫ (s e n 3 x θ )dy = s e n 3 x θ ∫ dy = (s e n 3 x θ ) y + c 1.75.- ∫ η u dx = η u ∫ dx = η u x + c 1.76.- ∫ exp( η x)dx = ∫ xdx = 1.77.- ∫ e 1.78.- ∫ η x2 x2 +c 2 x3 dx = ∫ x dx = + c 3 2 x− 2 x 2 x dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ dx − ∫ 2x 2x 2x 2x 2 1 1 dx = ∫ dx − ∫ x dx = 2x 2 1 = 1 −1 1 2 x2 1 ∫ dx − ∫ x 2 dx = 2 x − 12 + c = 2 x − 2 x 2 + c 2 11 11 11x x x x +c = +c 11 − x 2 + arcs e n 11 − x 2 + arcs e n 2 2 2 2 11 11 x 2 11 x 2 − 11dx = x − 11 − η x + x 2 − 11 + c 2 2 x 2 11 x 2 + 11dx = x + 11 + η x + x 2 + 11 + c 2 2 3 x2 2 x 1 dx = η (e )dx = ∫ xdx = ∫ x 2 +c = x x +c 3 3 2 1.79.- ∫ 11 − x 2 dx = 1.80.- ∫ 1.81.- ∫ 1.82.- ∫ 0 ⎡1 + x + x 3 ⎤ 1.83.- ∫ ⎢ ⎥ dx = ∫ dx = x + c ⎢ 1− x ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 1.84.- ∫ (τ g x + sec x − 1)dx = ∫ 0dx = c 1.85.- ∫ dx 3x − 1 2 =∫ dx 3 ( x − 13 ) 2 = dx 1 1 2 ∫ ( x 2 − 1 ) = 3 η x + ( x − 13 ) + c 3 3 3 η x + ( x2 − 13 ) + c 3 1.86.- ∫ (co τ gθ − s e n θ )dx = (coτ gθ − s e n θ ) ∫ dx = (coτ gθ − s e n θ ) x + c = 1.87.- ∫ 1.88.- ∫ dx 1 + 3x 2 =∫ 2 =∫ dx 1 − 3x dx 3 1 3 +x 2 dx 3 1 3 −x 2 = 3 η x+ 3 = 1 3∫ 1 3 dx 1 3 −x 2 + x2 + c = 1 x arcs e n 1 + c 3 3 3 arcs e n 3 x + c 3 1 dx 1 1 3 dx dx x 1.89.- ∫ =∫ 1 = ∫1 = 1 arcτ g 1 + c = arcτ g 3x + c 2 2 2 1 + 3x 3( 3 + x ) 3 3 + x 3 3 3 3 = 25
  26. 26. 1.90.- ∫ dx 1 dx 1 1 x 3 3x = ∫ 2 4 = 2 arcτ g 2 + c = +c arcτ g 2 3x + 4 3 x + 3 3 3 6 2 3 1.91.- ∫ x− 1 dx 1 1 dx η = ∫ 2 1= 2 1 3x − 1 3 x − 3 3 2 3 x+ 1.92.- ∫ dx x 3x 2 − 1 =∫ dx 3x x 2 − 1 = 3 1 3 1 3 +c = 3x − 1 +c 3x + 1 3 η 6 1 dx 1 ∫ x x2 − 1 = 3 3 3 1 1 arc sec x 1 +c 3 3 = arc sec 3x + c 1.93.- ∫ dx x 1 + 3x = 2 x = η 1 3 1.94.- ∫ + 1 3 1 dx 1 ∫ x 1 + x2 = 3 3 3 dx = x 1 − 3x 2 1 3 x η 1 3 3 + 1 3 + x2 +c +c + x2 1 dx ∫ x 1 − x2 = η 3 3 1.95.- ∫ 1 − 3x 2 dx = 3 ∫ ⎡x = 3⎢ ⎣2 1 1 1 3 x 1 3 + ⎡x − x 2 dx = 3 ⎢ ⎢2 ⎣ 1 3 − x2 +c 1 1 3 − x 2 + 3 arcs e n 2 x ⎤ ⎥+c 1 3⎥ ⎦ 1 ⎤ − x 2 + arc s e n 3x ⎥ + c 6 ⎦ 1 ⎡x 1 + x 2 dx = 3 ⎢ + x2 + 3 η x + 1 + x2 3 3 2 ⎣2 1 ⎡x 1 ⎤ 2 = 3⎢ η x + 1 + x2 ⎥ + c 3+ x + 3 6 ⎣2 ⎦ ⎡x 2 1 1 1.97.- ∫ 3x 2 − 1dx = 3 ∫ x 2 − 1 dx = 3 ⎢ x − 3 − η x + x2 − 1 3 3 6 ⎣2 1.96.- ∫ 1 + 3x 2 dx = 3 ∫ 1 3 ⎤ ⎥+c ⎦ ⎤ ⎥+c ⎦ 1.98.- ∫ (3 x 2 − 1)dx = 3∫ x 2 dx − ∫ dx = x3 − x + c 0 1.99.- ∫ (3x 2 − 1) dx = ∫ dx = x + c n 1.100.- ∫ (3 x 2 − 1) du = (3 x 2 − 1) n ∫ du = (3 x 2 − 1) n u + c 3 1.101.- ∫ exp( η x 3 )dx = ∫ x 1 1 1x2 2 3 +c = x 2 +c dx = ∫ x 2 dx = 3 3 3 32 9 2x −1 1 x2 1 dx = ∫ xdx − ∫ dx = − x + c 1.102.- ∫ η (e )dx = ∫ 2 2 2 2 2 x 1.103.- ∫ (e + e + 1) dx 2 x −1 2 26
  27. 27. Sea: a= (e 2 + e + 1) , Luego: ∫ a x dx = ax (e 2 + e − 1) x +c = +c ηa η (e2 + e − 1) ⎛ 1+τ g 2x ⎞ 1.104.- ∫ ⎜ − 1⎟dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c 2 ⎝ sec x ⎠ x2 1.105.- ∫ exp( η 1 + x )dx ∫ = ∫ (1 + x)dx = ∫ dx + ∫ xdx = x + + c 2 x x 27 1.106.- ∫ 27 − x 2 dx = +c 27 − x 2 + arc s e n 2 2 3 3 x 2 27 1.107.- ∫ x 2 − 27dx = x − 27 − η x + x 2 − 27 + c 2 2 x 2 27 1.108.- ∫ x 2 + 27dx = x + 27 + η x + x 2 + 27 + c 2 2 dx 1 dx 1 1.109.- ∫ = ∫ = arc secx + c 3x x 2 − 1 3 x x 2 − 1 3 1.110.- ∫ 1.111.- ∫ 1.112.- ∫ 1.113.- ∫ dx 2x 1 − x2 dx 5x x + 1 2 dx 3x 9 − x 2 = 1 1 dx x ∫ x 1 − x2 = 2 η 1 + 1 − x2 + c 2 = 1 dx 1 x ∫ x x2 + 1 = 5 η 1 + x2 + 1 + c 5 = 1 11 1 dx x x ∫ x 9 − x2 = 3 3 η 3 + 9 − x2 + c = 9 η 3 + 9 − x2 + c 3 dx 4 x x + 16 2 = 1 11 dx x ∫ x x 2 + 16 = 4 4 η 4 + x2 + 16 + c 4 1 x η +c 16 4 + x 2 + 16 dx 1 dx 11 x 1 x 1.114.- ∫ = ∫ = arc sec + c = arc sec + c 2 2 5 25 5 5 x x − 25 5 x x − 25 5 5 2 (1 − x ) 1− 2 x + x −3 1.115.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ ( x −2 − 2 x 2 + x −1 )dx 2 2 x x −1 −1 −3 x 2 x 2 −2 −1 −1 −1 2 = ∫ x dx − ∫ 2 x dx + ∫ x dx = − x − 2 + η x + c = −x − 2 + η x +c = −1 −1 2 2 1 4 + η x +c = − + + η x +c x x 3 1.116.- ∫ (1 + x + x)2 dx = (1 + x + x 2 + 2 x + 2 x + 2 x 2 )dx = − x −1 + 4 x −1 2 = ∫ (1 + 2 x 2 + 3x + 2 x 2 + x 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x 2 dx +3∫ xdx + 2∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx 3 1 3 5 3 1 3 5 2x 2 x2 x 2 x3 4x 2 x2 x 2 x3 x+ +3 +2 + +c = x+ +3 +4 + +c 3 5 2 3 3 2 5 3 2 2 27
  28. 28. 1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx = ∫ (1 + x + x 2 − 2 x + 2 x − 2 x 2 )dx 3 3 5 x2 x 2 x3 4x 2 = ∫ (1 − 2 x + 3x − 2 x + x )dx = x − +3 −4 + +c 3 2 5 3 4 2 3 4 1.118.- ∫ (1 + x) dx = ∫ (1 + 4 x + 6 x + 4 x + x )dx 1 3 2 2 2 1 = ∫ dx + 4∫ xdx + 6∫ x 2 dx + 4∫ x3 dx + ∫ x 4 dx = x + 2 x 2 + 2 x3 + x 4 + x5 + c 5 1− cos x 2 1 − cos x 1 1 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos xdx = x − s e n xdx 2 2 2 2 2 2 2 ⎛ 1+ x ⎞ 1+ x 1 1 1.120.- ∫ exp η ⎜ 2 ⎟ dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ dx = ∫ x −2 dx + ∫ dx = − + x + c x x x ⎝ x ⎠ 1.119.- ∫ e η dx = ∫ 1− s e n x 3 1− s e n x 1 1 1 1 dx = ∫ dx − ∫ s e n xdx = x + cos x + c 3 3 3 3 3 0 1.122.- ∫ (1 + x − 3 x ) dx = ∫ dx = x + c 1.121.- ∫ η e 1.123.- ∫ ηe = (1+ x )2 2 dx = ∫ dx = ∫ (1 + x) 2 1 + 2 x + x2 1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ xdx + ∫ x 2 dx 2 2 2 2 1 x 2 x3 x+ + +c 2 2 6 28
  29. 29. CAPITULO 2 INTEGRACION POR SUSTITUCION A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral dada en otra, de forma conocida. La técnica en cuestión recibe el nombre de método de sustitución. EJERCICIOS DESARROLLADOS e η x dx 2.1.-Encontrar: ∫ 2 x +7 Solución.- Como: e ηx e η x dx xdx = x, se tiene: ∫ 2 =∫ 2 x +7 x +7 Sea la sustitución: u = x 2 + 7 , donde: du = 2 xdx , Dado que: ∫ xdx 1 2 xdx , = ∫ 2 2 x +7 2 x +7 1 2 xdx 1 du , integral que es inmediata. = 2 ∫ x2 + 7 2 ∫ u 1 du 1 1 Luego: = ∫ η u + c = η x2 + 7 + c 2 u 2 2 e η x dx 1 Respuesta: ∫ 2 = η x2 + 7 + c x +7 2 2 e η x dx 2.2.-Encontrar: ∫ 3 x +8 2 e η x dx x 2 dx η x2 2 Solución.- Como: e = x , se tiene: ∫ 3 =∫ 3 x +8 x +8 Se tiene: Sea la sustitución: w = x3 + 8 , donde: dw = 3x 2 dx , Dado que: ∫ x 2 dx 1 3 x 2 dx = , x3 + 8 3 ∫ x3 + 8 1 3x 2 dx 1 dw = integral que es inmediata. 3 ∫ x3 + 8 3 ∫ w 1 dw 1 1 Luego: ∫ = η w + c = η x3 + 8 + c 3 w 3 3 η x2 e dx 1 Respuesta: ∫ 3 = η x3 + 8 + c x +8 3 2.3.-Encontrar: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx Se tiene: Solución.- Sea la sustitución: u = x 2 + 4 x − 6 , donde: du = (2 x + 4)dx 1 Dado que: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = ∫ (2 x + 4) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx , se tiene: 2 29
  30. 30. 1 1 2 ∫ (2 x + 4) s e n( x + 4 x − 6)dx = 2 ∫ s e n udu , integral que es inmediata. 2 1 1 1 1 Luego: = ∫ s e n udu = (− cos u ) + c = − cos u + c = − cos( x 2 + 4 x − 6) + c 2 2 2 2 1 Respuesta: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = − cos( x 2 + 4 x − 6) + c 2 2 2.4.-Encontrar: ∫ x s e n(1 − x )dx = Solución.-Sea la sustitución: w = 1 − x 2 , donde: dw = −2 xdx 1 Dado que: ∫ x s e n(1 − x 2 )dx = − ∫ (−2 x) s e n(1 − x 2 )dx 2 1 1 Se tiene que: − ∫ (−2 x) s e n(1 − x 2 )dx = − s e n wdw , integral que es inmediata. 2 2 1 1 1 1 Luego: − ∫ s e n wdw = − (− cos w)dw + c = cos w + c = cos(1 − x 2 ) + c 2 2 2 2 1 2 2 Respuesta: ∫ x s e n(1 − x )dx = cos(1 − x ) + c 2 2 2.5.-Encontrar: ∫ x coτ g ( x + 1)dx Solución.-Sea la sustitución: u = x 2 + 1 , donde: du = 2 xdx 1 Dado que: ∫ x coτ g ( x 2 + 1)dx = ∫ 2 x coτ g ( x 2 + 1)dx 2 1 1 Se tiene que: ∫ 2 x coτ g ( x 2 + 1)dx = ∫ coτ gudu , integral que es inmediata. 2 2 1 1 1 Luego: ∫ co τ gudu = η s e n u + c = η s e n( x 2 + 1) + c 2 2 2 1 Respuesta: ∫ x co τ g ( x 2 + 1)dx = η s e n( x 2 + 1) + c 2 2.6.-Encontrar: ∫ 1 + y 4 y 3 dy Solución.-Sea la sustitución: w = 1 + y 4 , donde: dw = 4 y 3 dy 1 1 Dado que: ∫ 1 + y 4 y 3 dy = ∫ (1 + y 4 ) 2 4 y 3 dy 4 1 1 1 1 Se tiene que: ∫ (1 + y 4 ) 2 4 y 3 dy = ∫ w 2 dw , integral que es inmediata. 4 4 3 2 3 1 1w 1 3 1 1 Luego: ∫ w 2 dw = + c = w 2 + c = (1 + y 4 ) 2 + c 3 4 4 2 6 6 1 3 Respuesta: ∫ 1 + y 4 y 3 dy = (1 + y 4 ) 2 + c 6 3tdt 2.7.-Encontrar: ∫ 3 2 t +3 Solución.-Sea la sustitución: u = t 2 + 3 , donde: du = 2tdt 30
  31. 31. 3 2tdt ∫ (t 2 + 3) 13 3 2 t +3 2 3 2tdt 3 du Se tiene que: ∫ 2 = ∫ 1 , integral que es inmediata 1 3 2 (t + 3) 2 u3 Dado que: ∫ 3tdt = 2 3 du 3 − 13 3u 3 9 2 9 2 2 ∫ u 13 = 2 ∫ u du = 2 23 + c = 4 u 3 + c = 4 (t + 3) 3 + c 2 3tdt 9 2 Respuesta: ∫ = (t 2 + 3) 3 + c 3 2 t +3 4 dx 2.8.-Encontrar: ∫ 1 , a y b constantes. (a + bx) 3 Solución.- Sea: w = a + bx , donde: dw = bdx 2 −1 dx bdx 1 1 dw 1 1w3 3 23 3 Luego: ∫ w +c = ∫ = ∫ 1 = ∫w = 2 +c = 1 1 b 3 2b (a + bx) 3 b (a + bx) 3 b w 3 b 2 3 3 = (a + bx) + c 2b 2 dx 3 3 Respuesta: ∫ = (a + bx) + c 1 (a + bx) 3 2b Luego: arcs e n x dx 1 − x2 arcs e n x dx dx = ∫ arcs e n x Solución.- ∫ , 2 1− x 1 − x2 dx Sea: u = arcs e n x , donde: du = 1 − x2 dx 2 3 2 1 Luego: ∫ arcs e n x = ∫ u 2 du = u 2 + c = (arcs e n x)3 + c 2 3 3 1− x 2.9.-Encontrar: ∫ arcs e n x 2 (arcs e n x)3 + c dx = 2 1− x 3 x arcτ g 2 dx 2.10.-Encontrar: ∫ 4 + x2 x 1 1 2dx Solución.- Sea: w = arcτ g , donde: dw = ( )dx = x 2 2 1+ ( 2 ) 2 4 + x2 x 2 arcτ g 2 dx = 1 arcτ g ⎛ x ⎞ 2dx = 1 wdw = 1 w2 + c = 1 ⎛ arcτ g x ⎞ + c Luego: ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 4 + x2 2∫ 2∫ 4 4⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4+ x x 2 arcτ g 2 dx = 1 ⎛ arcτ g x ⎞ + c Respuesta: ∫ ⎜ ⎟ 4 + x2 4⎝ 2⎠ Respuesta: ∫ 31
  32. 32. x − arcτ g 2 x dx 1 + 4x2 arcτ g 2 x x − arcτ g 2 x xdx Solución.- ∫ dx = ∫ −∫ 2 2 1+ 4x 1+ 4x 1 + 4 x2 2.11.-Encontrar: ∫ 2dx 1 + 4x2 arcτ g 2 x 1 8 xdx 1 2dx xdx Luego: ∫ −∫ = ∫ − ∫ arcτ g 2 x 2 2 2 1 + 4x 1+ 4x 8 1+ 4x 2 1 + 4x2 1 du 1 1 1 3 1 1 3 1 = ∫ − ∫ w 2 dw = η u − w 2 + c = η 1 + 4 x 2 − (arcτ g 2 x) 2 + c 8 u 2 8 3 8 3 x − arcτ g 2 x 1 1 3 dx = η 1 + 4 x 2 − (arcτ g 2 x) 2 + c Respuesta: ∫ 2 1+ 4x 8 3 dx 2.12.-Encontrar: ∫ (1 + x 2 ) η x + 1 + x 2 Sea: u = 1 + 4 x 2 , donde: du = 8 xdx ; w = arcτ g 2 x , donde: dw = Solución.- ∫ dx (1 + x 2 ) η x + 1 + x 2 =∫ Sea: u = η x + 1 + x 2 , donde: du = Luego: ∫ dx 1 + x2 Respuesta: ∫ η x + 1 + x2 =∫ dx (1 + x 2 ) η x + 1 + x 2 2.13.-Encontrar: ∫ dx η x + 1 + x2 1 + x2 1 (1 + 2x ) ⇒ du = x + 1+ x 2 1+ x du −1 1 = ∫ u 2 du = 2u 2 + c = 2 u 2 =2 2 dx 1 + x2 η x + 1 + x2 + c η x + 1 + x2 + c co τ g ( η x) dx x Solución.- Sea: w = η x , donde: dw = dx x coτ g ( η x) dx = ∫ coτ gwdw = η s e n w + c = η s e n( η x) + c x coτ g ( η x) Respuesta: ∫ dx = η s e n( η x) + c x dx 2.14.-Encontrar: ∫ x ( η x )3 dx Solución.- Sea: u = η x , donde: du = x −2 dx du u 1 1 Luego: ∫ = ∫ 3 = ∫ u −3 du = +c = 2 +c = +c 3 2 2u 2( η x) 2 x( η x) u Luego: ∫ 32
  33. 33. Respuesta: ∫ dx 1 = +c 3 2( η x) 2 x( η x) 1 e x2 2.15.-Encontrar: ∫ 3 dx x 1 2 Solución.- Sea: w = 2 , donde: dw = − 3 dx x x 1 e x2 1 1 −2dx 1 1 1 1 x2 Luego: ∫ 3 dx = − ∫ e x2 3 = − ∫ e w dw = − e w + c = − e + c x x 2 2 2 2 1 e x2 1 1 x2 Respuesta: ∫ 3 dx = − e + c 2 x − x2 + 2 2.16.-Encontrar: ∫ e xdx Solución.- Sea: u = − x 2 + 2 , donde: du = −2 xdx 2 2 1 1 1 1 2 Luego: ∫ e − x + 2 xdx = − ∫ e− x + 2 (−2 xdx) = − ∫ eu du = − eu + c = − e − x + 2 + c 2 2 2 2 2 1 − x2 + 2 Respuesta: ∫ e − x + 2 xdx = − e +c 2 3 2.17.-Encontrar: ∫ x 2 e x dx Solución.- Sea: w = x 3 , donde: dw = 3x 2 dx 3 3 1 1 1 3 Luego: ∫ x 2 e x dx = ∫ 3x 2 e x dx = ∫ e w dw = e x + c 3 3 3 3 1 3 Respuesta: ∫ x 2 e x dx = e x + c 3 x 2.18.-Encontrar: ∫ (e + 1) 2 e x dx Solución.- Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx u3 (e x + 1)3 +c Luego: ∫ (e x + 1) 2 e x dx = ∫ u 2 du = + c = 3 3 (e x + 1)3 Respuesta: ∫ (e x + 1) 2 e x dx = +c 3 ex −1 2.19.-Encontrar: ∫ x dx e +1 x e −1 ex 1 ex e x e− x Solución.- ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ x dx e +1 e +1 e +1 e +1 e +1 x −x x −x e e e e = ∫ x dx − ∫ − x x dx = ∫ x dx − ∫ dx 1 + ex e +1 e (e + 1) e +1 Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx ; w = 1 + e− x ,donde: dw = −e − x dx ex e− x ex −e − x du dw Luego: ∫ x dx − ∫ dx = ∫ x dx − ∫ dx = ∫ +∫ −x x e +1 e +1 u w 1+ e 1+ e 33
  34. 34. = η u + c1 + η w + c2 = η e x + 1 + η 1 + e− x + C = η ⎡ e x + 1 1 + e − x ⎤ + c ⎣ ⎦ x e −1 Respuesta: ∫ x dx = η ⎡ (e x + 1)(1 + e − x ) ⎤ + c , otra respuesta seria: ⎣ ⎦ e +1 2 ex −1 x ∫ e x + 1dx = η e + 1 − x + c e2 x − 1 2.20.-Encontrar: ∫ 2 x dx e +3 2x e −1 e2 x e0 Solución.- ∫ 2 x dx = ∫ 2 x dx − ∫ 2 x dx e +3 e +3 e +3 2x 2 x −2 x 2x e e e e e −2 x e2 x e −2 x dx = ∫ 2 x dx − ∫ −2 x 2 x dx = ∫ 2 x dx − ∫ dx = ∫ 2 x dx − ∫ 2 x e +3 e +3 e +3 e (e + 3) e +3 1 + 3e −2 x Sea: u = e 2 x + 3 , donde: du = 2e 2 x dx ; w = 1 + 3e −2 x ,donde: dw = −6e −2 x dx e2 x e −2 x 1 2e 2 x 1 −6e −2 x 1 du 1 dw dx = ∫ 2 x dx + ∫ dx = ∫ + Luego: ∫ 2 x dx − ∫ −2 x −2 x e +3 1 + 3e 2 e +3 6 1 + 3e 2 u 6∫ w 1 1 1 1 1 1 3 η u + η w + c = η e 2 x + 3 + η 1 + 3e−2 x + c = η e2 x + 3 + η 1 + 2 x + c e 2 6 2 6 2 6 = 1 1 e2 x + 3 1 1 1 η e2 x + 3 + η 2 x + c = η e2 x + 3 + η e2 x + 3 − η e2 x + c 2 6 e 2 6 6 = η ( e 2 x + 3) 1/ 2 = η ( e 2 x + 3) + η ( e 2 x + 3) 1/ 6 1/ 2 1/ 6 1 ⎡ ⎤ x − 2 x + c = η ⎢( e 2 x + 3 ) ( e 2 x + 3 ) ⎥ − + c ⎣ ⎦ 3 6 x − +c 3 2x 2/3 e −1 x Respuesta: ∫ 2 x dx = η ( e 2 x + 3) − + c e +3 3 2 x +1 2.22.-Encontrar: ∫ dx x −1 Solución.- Cuando el grado del polinomio dividendo es MAYOR o IGUAL que el grado del polinomio divisor, es necesario efectuar previamente la división de polinomios. El resultado de la división dada es: 2/3 x2 + 1 2 x2 + 1 2 ⎞ dx ⎛ dx = ∫ ⎜ x + 1 + = ( x + 1) + , Luego: ∫ ⎟ dx = ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ x −1 x −1 x −1 x −1 ⎠ x −1 ⎝ Sea u = x − 1 , donde du = dx dx du x 2 Luego: ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ = + x + η x −1 + c = ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ x −1 u 2 2 2 x +1 x Respuesta: ∫ dx = + x + η x − 1 + c x −1 2 x+2 2.23.-Encontrar: ∫ dx x +1 34
  35. 35. x+2 1 x+2 1 ⎞ dx ⎛ , Luego: ∫ = 1+ dx = ∫ ⎜1 + ⎟ dx = ∫ dx + ∫ x +1 x +1 x +1 x +1 ⎝ x +1⎠ Sea u = x + 1 , donde du = dx du ∫ dx + ∫ u = x + η u + c =x + η x + 1 + c x+2 dx = x + η x + 1 + c Respuesta: ∫ x +1 2.24.-Encontrar: ∫ τ g 5 x sec2 xdx Solución.- Solución.- Sea: w = τ gx , donde: dw = sec 2 x w6 (τ gx) τ g6x Luego: ∫ τ g x sec xdx = ∫ (τ gx) sec xdx = ∫ w dw = +c = +c = +c 6 6 6 τ g6x Respuesta: ∫ τ g 5 x sec 2 xdx = +c 6 2.25.-Encontrar: ∫ s e n x sec 2 xdx 6 5 2 5 Solución.- ∫ s e n x sec 2 xdx = ∫ s e n x 2 5 1 sen x dx = ∫ dx 2 cos x cos 2 x Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x sen x − s e n xdx du u −1 1 1 dx = − ∫ = −∫ = − ∫ u −2 du = − +c = +c = +c Luego: ∫ 2 2 u u cos x cos x −1 cos x Respuesta: ∫ s e n x sec 2 xdx = sec x + c sec2 3xdx 2.26.-Encontrar: ∫ 1 + τ g 3x Solución.- Sea: u = 1 + τ g 3 xdx , donde: du = 3sec 2 3xdx Luego: ∫ sec2 3 xdx 1 3sec 2 3 xdx 1 du 1 1 = ∫ = ∫ = η u + c = η 1 + τ g 3x + c 1 + τ g 3x 3 1 + τ g 3x 3 u 3 3 Respuesta: ∫ sec 2 3 xdx 1 = η 1 + τ g 3x + c 1 + τ g 3x 3 2.27.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos xdx Solución.- Sea: w = s e n x , donde: dw = cos xdx Luego: ∫ s e n 3 x cos xdx = ∫ (s e n x)3 cos xdx = ∫ w3 dw = ∫ w4 s e n4 x + c =∫ +c 4 4 s e n4 x +c 4 2.28.-Encontrar: ∫ cos 4 x s e n xdx Respuesta: ∫ s e n 3 x cos xdx = ∫ Solución.- Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x Luego: ∫ cos 4 x s e n xdx = ∫ (cos x) 4 s e n xdx = − ∫ (cos x) 4 (− s e n x) dx = − ∫ u 4 du 35
  36. 36. u5 cos x5 cos5 x +c = − +c = − +c 5 5 5 cos5 x Respuesta: ∫ cos 4 x s e n xdx = − +c 5 sec5 2.29.-Encontrar: ∫ dx cos ecx 1 5 sec5 sen x Solución.- ∫ dx = ∫ cos x dx = ∫ dx 1 cos ecx (cos x)5 sen x Sea: w = cos x , donde: dw = − s e n xdx sen x dw w−4 1 1 1 +c = +c = +c Luego: ∫ dx = − ∫ 5 = − ∫ w−5 dw = − 5 4 −4 (cos x) 4w 4 cos 4 x w =− = sec 4 x +c 4 sec5 sec 4 x +c dx = cos ecx 4 2.30.-Encontrar: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx Respuesta: ∫ Solución.- Sea: u = τ g 2 x , donde: du = 2sec 2 2 xdx 1 1 1 1 Luego: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx = ∫ eτ g 2 x (2sec2 2 xdx) = ∫ eu du = eu + c = eτ g 2 x + c 2 2 2 2 1 τ g 2x Respuesta: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx = e +c 2 2x − 5 2.31.-Encontrar: ∫ 2 dx 3x − 2 Solución.- Sea: w = 3x 2 − 2 , donde: dw = 6 xdx 2x − 5 1 3(2 x − 5) 1 6 x − 15 1 6 xdx 15 dx Luego: ∫ 2 dx = ∫ dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 − ∫ 2 2 3x − 2 3 3x − 2 3 3x − 2 3 3x − 2 3 3x − 2 1 6 xdx dx 1 6 xdx 5 dx 1 6 xdx 5 dx = ∫ 2 − 5∫ = ∫ 2 − ∫ 2 2 = ∫ 2 − ∫ 2 2 2 3 3x − 2 3( x − 3 ) 3 3x − 2 3 ( x − 3 ) 3 3 x − 2 3 x − ( 2 ) 2 3 1 dw 5 dx 1 5 dx ∫ w − 3 ∫ x2 − ( 2 )2 = 3 η w + c1 − 3 ∫ x 2 − ( 2 )2 ; Sea: v = x , donde: dv = dx 3 3 3 Además: a = = = 2 3 ; se tiene: 1 5 dv η w + c1 − ∫ 2 2 3 3 v −a x− 1 5 1 1 5⎡ 1 v−a η 3x 2 − 2 + c1 − η η + c2 = η 3x 2 − 2 − ⎢ v+a 3 3 2a 3 3 ⎢ 2 23 x+ ⎣ 1 5 η 3x 2 − 2 − η 3 32 2 3x − 2 1 5 + C = η 3x 2 − 2 − η 3 3x + 2 2 6 2 2 3 3 ⎤ ⎥+C ⎥ ⎦ 3x − 2 +C 3x + 2 36
  37. 37. Respuesta: ∫ 2x − 5 1 5 η dx = η 3 x 2 − 2 − 2 3x − 2 3 2 6 2.32.-Encontrar: ∫ Solución.- ∫ 3x − 2 +C 3x + 2 dx x 4 − 9 η2x dx x 4 − 9 η2x =∫ dx x 22 − (3 η x) 2 3dx Sea: u = 3 η x , donde: du = x dx 1 3dx 1 du 1 u Luego: ∫ = ∫ = ∫ = arcs e n + c 2 2 2 2 2 2 3 x 2 − (3 η x) 3 3 2 x 2 − (3 η x) 2 − (u ) 3 1 3 ηx 1 = arcs e n + c = arcs e n η x 2 + c 3 2 3 3 dx 1 Respuesta: ∫ = arcs e n η x 2 + c x 4 − 9 η2x 3 2.33.-Encontrar: ∫ dx ex −1 Solución.- Sea: u = e x − 1 , donde: du = e x dx ; Tal que: e x = u 2 + 1 2 e −1 2du du Luego: ∫ =∫ 2 = 2∫ 2 = 2 arcτ gu + c = 2 arcτ g e x + 1 + c x u +1 u +1 e −1 dx Respuesta: ∫ = 2 arcτ g e x + 1 + c x e −1 x2 + 2 x + 2 dx 2.34.-Encontrar: ∫ x +1 x2 + 2 x + 2 ( x 2 + 2 x + 1) + 1 ( x + 1) 2 + 1 ( x + 1) 2 + 1 Solución.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx x +1 x +1 x +1 x +1 1 dx )dx = ∫ xdx + ∫ dx + ∫ = ∫ (x +1+ , Sea: w = x + 1 , donde: dw = dx x +1 x +1 dx dw x 2 Luego: ∫ xdx + ∫ dx + ∫ = ∫ xdx + ∫ dx + ∫ = + x+ η w +c x +1 w 2 2 x = + x + η x +1 + c 2 x2 + 2 x + 2 x2 Respuesta: ∫ dx = + x + η x + 1 + c x +1 2 2x e 2.35.-Encontrar: ∫ dx ex + 1 Solución.- Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx x dx 37
  38. 38. Luego: ∫ = u 3 3 2 2 − u −1 u −1 u2 u 2 −1 −1 1 1 − +c dx = ∫ 1 du = ∫ (u 2 − u 2 )du = ∫ u 2 du − ∫ u 2 du = 3 1 u2 2 2 ex + 1 3 e2 x −1 1 2 +c = 2u 2 − 1u 2 +c = 3 2 3 1 2 3 (e x + 1)3 − 2 (e x + 1) + c 2 Respuesta: ∫ e2 x e +1 x 2.36.-Encontrar: ∫ dx = 2 3 (e x + 1)3 − 2 (e x + 1) + c η 2 x dx η 4x x Solución.- Sea: u = η 4 x , donde: du = dx ; además: η 4 x = (2 × 2 x) = η 2 + η 2 x x ⇒ u = η 2 + η 2x ⇒ η 2x = u − η 2 η 2 x dx u − η2 η2 du =∫ = u − η2 u + c Luego: ∫ du = ∫ du − ∫ du = ∫ du − η 2∫ η 4x x u u u = η 4 x − η 2 [ η ( η 4 x)] + c η 2 x dx = η 4 x − η 2 [ η ( η 4 x) ] + c η 4x x 2.37.-Encontrar: ∫ x(3 x + 1)7 dx Respuesta: ∫ Solución.- Sea: w = 3x + 1 , donde: dw = 3dx ; además: w − 1 = 3x ⇒ x = w −1 3 w − 1 7 dw 1 1 = ∫ ( w − 1) w7 dw = ∫ ( w8 − w7 )dw w 3 3 9 9 9 8 1 1 1w 1w 1 1 = ∫ w8 dw − ∫ w7 dw = − + c = w9 − w8 + c 9 9 9 9 9 8 81 72 1 1 = (3x + 1)9 − (3x + 1)8 + c 81 72 (3x + 1)9 (3 x + 1)8 Respuesta: ∫ x(3 x + 1)7 dx = − +c 81 72 x2 − 5x + 6 2.38.-Encontrar: ∫ dx x2 + 4 x2 − 5x + 6 2 − 5x Solución.dx = 1 + 2 2 x +4 x +4 2 x − 5x + 6 2 − 5x dx xdx Luego: ∫ dx = ∫ (1 + 2 )dx = ∫ dx + 2∫ 2 − 5∫ 2 2 x +4 x +4 x +4 x +4 2 Sea: u = x + 4 , donde: du = 2 xdx ; Entonces: x 5 du x 5 x 5 = x + arcτ g − ∫ =x + arcτ g − η u + c = x + arcτ g − η x 2 + 4 + c 2 2 u 2 2 2 2 2 x − 5x + 6 x 5 Respuesta: ∫ dx = x + arcτ g − η x 2 + 4 + c 2 x +4 2 2 Luego: ∫ x(3 x + 1)7 dx = ∫ 38
  39. 39. EJERCICIOS PROPUESTOS Usando Esencialmente la técnica de integración por sustitución, encontrar las siguientes integrales: adx 4t + 6 2.39.- ∫ 3x e x dx 2.40.- ∫ 2.41.- ∫ dt 2t + 1 a−x 1 − 3x xdx ax − b 2.43.- ∫ 2.42.- ∫ 2.44.- ∫ dx dx αx+ β a + bx 3 + 2x 2.45.- ∫ 3t 2 + 3 dt t −1 2 b ⎞ ⎛ 2.48.- ∫ ⎜ a + ⎟ dx x−a⎠ ⎝ 2.51.- ∫ a − bxdx 2.54.- ∫ dx 3x 2 + 5 6t − 15 dt 3t 2 − 2 xdx 2.60.- ∫ 2 x −5 xdx 2.63.- ∫ a4 − x4 2.57.- ∫ 2.66.- ∫ 2.69.- ∫ x − arcτ g 3x dx 1 + 9 x2 dt (9 + 9t 2 ) η t + 1 + t 2 2.72.- ∫ (et − e − t )dt 2.75.- ∫ a2x −1 dx ax x +1 x3 dx 2.55.- ∫ 2 a − x2 3 − 2x 2.58.- ∫ 2 dx 5x + 7 xdx 2.61.- ∫ 2 2x + 3 x 2 dx 2.64.- ∫ 1 + x6 2 arcs e n t dt 4 − 4t 2 2.70.- ∫ ae− mx dx 2.67.- ∫ 2.73.- ∫ e − ( x 2 +1) xdx 1 ex dx x2 x4 + x2 + 1 dx x −1 bdy 2.50.- ∫ 1− y 2.47.- ∫ x + ηx dx x y2 − 5 y + 6 dy 2.56.- ∫ y2 + 4 3x + 1 2.59.- ∫ dx 5x2 + 1 ax + b dx 2.62.- ∫ 2 2 a x + b2 x 2 dx 2.65.- ∫ x6 − 1 x arcτ g ( 3 ) 2.68.- ∫ dx 9 + x2 2.53.- ∫ 2.71.- ∫ 42−3 x dx 2.74.- ∫ (e a − e − a )2 dx x 2.77.- ∫ 5 x x dx x 2.79.- ∫ 2 2.81.- ∫ (e a + 1) 3 e a dx 2.84.- ∫ xdx 2.52.- ∫ 2.76.- ∫ 2.78.- ∫ x7 x dx x x2 + 5x + 7 dx x+3 x 2.49.- ∫ dx ( x + 1) 2 2.46.- ∫ 1 x e − bx dx 1 − e−2bx 2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx 2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax) 2 dx 2.80.- ∫ e x a − be x dx 2.85.- ∫ a x dx ;a > 0 1 + a2 x x 2.86.- ∫ cos dx 2 et dt et − 1 dx 2.82.- ∫ x 2 +3 et dt 1 − e 2t dx x 2 2.91.- ∫ s e n xdx 2.88.- ∫ cos x 2.83.- ∫ 2.89.- ∫ s e n( η x) dx x 2.92.- ∫ cos 2 xdx 39
  40. 40. 2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx 2.94.- ∫ cosτ g 2 axdx dx 3cos(5 x − π ) 4 x 2.99.- ∫ coτ g dx a −b dx s e n(ax + b) dx 2.100.- ∫ τ g x x dx 2.103.- ∫ s e n x cos x 2.97.- ∫ 2.96.- ∫ 2 1 ⎛ ⎞ 2.102.- ∫ ⎜ − 1⎟ dx ⎝ sen x 2 ⎠ 2.105.- ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt 2.108.- ∫ s e n x cos x cos x − s e n x 2 2 dx 2.111.- ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt s e n 3x dx 3 + cos 3 x τ gx 2.109.- ∫ dx cos 2 x 2.106.- ∫ 2.112.- ∫ 2.115.- ∫ x 5 5 − x 2 dx (cos ax + s e n ax) 2 2.117.- ∫ dx s e n ax x3 − 1 2.118.- ∫ dx x +1 x3 − 1 dx x4 − 4x + 1 τ g 3 x − coτ g 3x 2.123.- ∫ dx s e n 3x 2.121.- ∫ xe − x dx 2.126.- ∫ 2.129.- ∫ 2.132.- ∫ sec 2 xdx τ g2x − 2 x2 dx x3 + 1 sec 2 xdx 4 −τ g 2 x dx x −1 arcτ gx e + x η (1 + x 2 ) + 1 2.138.- ∫ 1 + x2 (1 − s e n x2 ) 2 2.141.- ∫ dx s e n x2 2.135.- ∫ τ g x − 1 2.144.- ∫ dθ s e n aθ cos aθ 2 2.124.- ∫ 2.127.- ∫ 2.130.- ∫ x x 2.107.- ∫ τ g 3 3 sec 2 3 dx x x 2.110.- ∫ cos a s e n a dx 2.113.- ∫ s e n 3 6 x cos 6 xdx x3 dx x8 + 5 2.114.- ∫ 1 + 3cos 2 x s e n 2 xdx 2.120.- ∫ dx x sen a xdx 2.98.- ∫ cos 2 x 2 dx 2.101.- ∫ x τg 5 cos ax 2.104.- ∫ dx s e n 5 ax 2.95.- ∫ 1 + s e n 3x dx cos 2 3 x cos ec 2 3xdx 2.119.- ∫ b − a coτ g 3 x 2.116.- ∫ 3 − 2 + 3x 2 2.122.- ∫ dx 2 + 3x 2 1+ s e n x 2.125.- ∫ dx x + cos x dx ex dx 2.128.- ∫ a s e n x cos xdx x η x 2 2.131.- ∫ τ g 2 axdx xdx 1 − x4 dx 2.133.- ∫ cos x a 2.134.- ∫ xdx s e n x2 2.137.- ∫ 2.136.- ∫ x 2 dx 2.139.- ∫ 2 x −2 5 − 3x 2.142.- ∫ dx 4 − 3x 2 2.145.- ∫ es e2 s − 2 ds 3 1+ η x dx x s e n x − cos x dx s e n x + cos x 2.140.- ∫ es e n x s e n 2 xdx 2 2.143.- ∫ ds e +1 s π 2.146.- ∫ s e n( 2T t + ϕ0 )dt 40
  41. 41. 2.147.- ∫ 2.150.- ∫ 2.153.- ∫ 2.156.- ∫ arc cos x 2 2.148.- ∫ dx 4 − x2 s e n x cos x 2−sen x 4 2.151.s ecxτ gx dx arc s e n x + x 1 − x2 ∫ dx s ec 2 x + 1 xdx 2.154.- ∫ x +1 dx η ( x + x 2 + 1) x2 + 1 (arcs e n x) 2 2.159.- ∫ dx 1 − x2 2t 2 − 10t + 12 2.162.- ∫ dt t2 + 4 dx x(4 − η 2 x) dx 2.157.- ∫ s e n3 x dx cos x 2.150.- ∫ e x + e dx x 2.163.- ∫ 2.149.- ∫ e −τ gx sec 2 xdx 2.152.- ∫ dt s e n t cos 2 t 2 2.155.- ∫ x(5 x 2 − 3)7 dx 2.158.- ∫ cos xdx 1+ s e n2 x 2.161.- ∫ t (4t + 1)7 dt et − e − t dt et + e − t RESPUESTAS 2.39.- ∫ 3x e x dx , x u ∫ (3e) dx = ∫ (a) du = Sea: u = x, du = dx, a = 3e au (3e) x (3e) x 3x e x 3x e x +c = +c = +c = +c = +c ηa η (3e) η 3 ηe η3 + ηe η3 +1 adx , Sea: u = a − x, du = −dx a−x adx du ∫ a − x = −a ∫ u = −a η u + c = −a η a − x + c 4t + 6 2t + 3 2 2.41.- ∫ Sea: u = 2t + 1, du = 2dt ; = 1+ dt , 2t + 1 2t + 1 2t + 1 4t + 6 2 ⎞ 2 du ⎛ ∫ 2t + 1 dt = 2∫ ⎜1 + 2t + 1 ⎟dt = 2∫ dt + 2∫ 2t + 1 dt =2∫ dt + 2∫ u =2t + 2 η u + c ⎝ ⎠ = 2t + 2 η 2t + 1 + c 2.40.- ∫ 11 1 − 3x 3 1 − 3x 2 Sea: u = 3 + 2 x, du = 2dx ; 2.42.- ∫ dx , =− + 3 + 2x 3 + 2x 2 2x + 3 11 1 − 3x 3 11 dx 3 11 du ⎛ 3 ⎞ 2 = − ∫ dx + ∫ dx = ∫ ⎜ − + ⎟ dx = − ∫ dx + ∫ ∫ 3 + 2x 2 4 2x + 3 2 4 u ⎝ 2 2x + 3 ⎠ 3 11 − x+ η 2x + 3 + c 2 4 a xdx x 1 , Sea: u = a + bx, du = bdx ; 2.43.- ∫ = − b a + bx b a + bx a + bx xdx 1 a dx 1 a du 1 a x a ∫ a + bx = b ∫ dx − b ∫ a + bx = b ∫ dx − b2 ∫ u = b x − b2 η u + c = b − b2 η a + bx + c 41
  42. 42. αβ ax − b dx , 2.44.- ∫ αx+ β Sea: u = α x + β , du = α dx ; +b ax − b a α = − αx ax + b α αβ aβ + α b ⎛ ⎞ ⎜ a α +b⎟ ax − b a a aβ + α b dx α ∫ α x + β dx = ∫ ⎜ α − α x ⎟ dx = ∫ α dx − ∫ α x + β dx = α ∫ dx − α ∫ aβ + α b ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a a β + α b du a aβ + α b a aβ + α b = ∫ dx − 2 ∫ u = α x− α2 η u +c = α x− α2 η x+ β +c α α 3t 2 + 3 t2 +1 2 Sea: u = t − 1, du = dt ; dt , = t +1+ t −1 t −1 t −1 2 3t + 3 2 ⎞ 2 3 2 ⎛ ∫ t − 1 dt = 3∫ ⎜ t + 1 + t − 1 ⎟dt = 3∫ tdt + 3∫ dt + 3∫ t − 1 dt = 2 t + 3t + 6 η u + c ⎝ ⎠ 3 2 = t + 3t + 6 η t − 1 + c 2 x2 + 5x + 7 x2 + 5x + 7 1 2.46.- ∫ Sea: u = t − 1, du = t + 1 ; dx , = x+2+ x+3 x+3 x+3 x2 + 5x + 7 1 ⎞ 1 x2 ⎛ ∫ x + 3 dx = ∫ ⎜ x + 2 + x + 3 ⎟ dx = ∫ xdx + 2∫ dx + ∫ x + 3 dx = 2 + 2 x + η u + c ⎝ ⎠ 2.45.- ∫ x2 x2 + 2x + η u + c = + 2x + η x + 3 + c 2 2 4 2 x + x +1 2.47.- ∫ Sea: u = x − 1, du = dx ; dx , x −1 x4 + x2 + 1 3 ⎞ dx ⎛ 3 2 3 2 ∫ x − 1 dx = ∫ ⎜ x + x + 2 x + 2 + x − 1 ⎟ dx = ∫ x dx + ∫ x dx + 2∫ dx + 3∫ x − 1 ⎝ ⎠ 4 3 4 3 x x x x = + + x2 + 2 + 3 η u + c = + + x2 + 2 x + 3 η x − 1 + c 4 3 4 3 = 2 b ⎞ ⎛ 2.48.- ∫ ⎜ a + ⎟ dx , x−a⎠ ⎝ Sea: u = x − a, du = dx ⎛ b ⎞ 2ab b2 ⎞ dx dx ⎛ + + b2 ∫ a+ dx = ∫ ⎜ a 2 + dx = a 2 ∫ dx + 2ab ∫ 2 ⎟ ∫⎜ x − a ⎟ x − a ( x − a) ⎠ x−a ( x − a)2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 = a 2 ∫ dx + 2ab ∫ 49.- ∫ du du u −1 b2 + b 2 ∫ 2 = a 2 x + 2ab η u + b 2 + c = a 2 x + 2ab η x − a − + c 2. −1 u u x−a x dx , ( x + 1) 2 Sea: u = x + 1, du = dx x ( x + 1) − 1 x +1 dx dx dx u −1 dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ = ∫ −∫ 2 = η u − +c ∫ ( x + 1)2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 u u −1 42
  43. 43. 1 +c x +1 bdy , Sea: u = 1 − y, du = − dy 2.50.- ∫ 1− y bdy du −1 1 1 ∫ 1 − y = −b∫ u = −b∫ u 2 du = −2bu 2 + c = − 2b(1 − y) 2 + c = η x +1 + 2.51.- ∫ a − bxdx , Sea: u = a − bx, du = −bdx 3 ∫ a − bxdx = − 2.52.- ∫ ∫ xdx 1 12 1u 2 2 3 3 3 u du = − 3 + c = − u 2 + c = − (a − bx) 2 + c ∫ b b 2 3b 2b , Sea: u = x 2 + 1, du = 2 xdx x +1 1 xdx 1 du 1 −12 1 u2 1 = ∫ = ∫ u du = + c =( x 2 + 1) 2 + c 1 2 2 2 u 2 x +1 2 2 x + ηx dx Sea: u = η x, du = dx , x x 1/ 2 x + ηx ηx x u2 dx = ∫ x −1/ 2 dx + ∫ dx = ∫ x −1/ 2 dx + ∫ udu = + +c ∫ x x 1/ 2 2 2 η x =2 x+ +c 2 dx , Sea: u 2 = 3 x 2 , u = 3 x, du = 3dx ; a 2 = 5; a = 5 2.54.- ∫ 2 3x + 5 dx 1 du 1 1 u 1 1 3x 15 3x ∫ 3x 2 + 5 = 3 ∫ u 2 + a 2 = 3 a arc tg a + c = 3 5 arc tg 5 + c = 15 arc tg 5 + c 2.53.- ∫ 2.55.- ∫ x3dx , a2 − x2 Sea: u = x 2 − a 2 , du = 2 xdx x 3dx a 2 xdx xdx a 2 du = − ∫ xdx − ∫ 2 = − ∫ xdx −a 2 ∫ 2 = − ∫ xdx − ∫ ∫ a2 − x2 x − a2 x − a2 2 u 2 2 2 2 x a x a =− − η u +c = − − η x2 − a2 + c 2 2 2 2 y2 − 5 y + 6 2.56.- ∫ Sea: u = y 2 + 4, du = 2 ydy dy , 2 y +4 y2 − 5 y + 6 −5 y + 2 −5 y + 2 ydy dy ∫ y 2 + 4 dy = ∫ (1 + y 2 + 4 )dy = ∫ dy + ∫ y 2 + 4 dy = ∫ dy − 5∫ y 2 + 4 + 2∫ y 2 + 22 y y = y − 5 η u + 2 1 arc τ g + c = y − 5 η y 2 + 4 + arcτ g + c 2 2 2 2 2 6t − 15 Sea: u = 3t 2 − 2, du = 6tdt ; w = 3t , dw = 3dt dt , 2.57.- ∫ 2 3t − 2 43
  44. 44. 6t − 15 tdt dt tdt dt − 15∫ 2 = 6∫ 2 − 15∫ dt = 6∫ 2 2 −2 3t − 2 3t − 2 3t − 2 ( 3t ) 2 − ( 2) 2 ∫ 3t =∫ du 15 dw 15 3 1 w− 2 − ∫ w2 − ( 2)2 = η u − 3 2 2 η w + 2 + c u 3 = η 3t 2 − 2 − 5 6 t 3− 2 η +c 4 t 3+ 2 3 − 2x Sea: u = 5 x 2 + 7, du = 10 xdx; w = 5 x, dw = 5dx dx , 2 5x + 7 3 − 2x dx dx dx 2 du ∫ 5 x 2 + 7dx = 3∫ 5 x2 + 7 − 2∫ 5x 2 + 7 = 3∫ ( 5x )2 + ( 7)2 − 10 ∫ u 2.58.- ∫ = 3 dw 1 du 3 1 x 5 1 ∫ w2 + ( 7)2 − 5 ∫ u = 5 7 arcτ g 7 − 5 η u + c 5 3 35 5 1 arcτ gx − η 5x2 + 7 + c 35 7 5 3x + 1 Sea: u = 5 x 2 + 1, du = 10 xdx; w = x 5, dw = 5dx 2.59.- ∫ dx , 2 5x + 1 3x + 1 xdx dx xdx dx ∫ 5 x2 + 1dx = 3∫ 5 x2 + 1 + ∫ ( x 5)2 + 12 = 3∫ 5 x 2 + 1 + ∫ ( x 5)2 + 12 = 1 3 du 1 dw 3 u2 1 2 = ∫ + = ∫ w2 + 12 10 1 + 5 η w + w + 1 + c 10 u 5 2 3 1 5x2 + 1 + = η x 5 + 5x2 + 1 + c 5 5 xdx , Sea: u = x 2 + 5, du = 2 xdx 2.60.- ∫ 2 x −5 xdx 1 du 1 1 2 ∫ x2 − 5 = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η x − 5 + c xdx , Sea: u = 2 x 2 + 3, du = 4 xdx 2 2x + 3 xdx 1 du 1 1 2 ∫ 2x2 + 3 = 4 ∫ u = 4 η u + c = 4 η 2x + 3 + c ax + b 2.62.- ∫ 2 2 Sea: u = a 2 x 2 + b 2 , du = 2a 2 xdx; w = ax, dw = adx dx , 2 a x +b ax + b xdx dx a du b dw ∫ a 2 x 2 + b2 dx = a ∫ a 2 x 2 + b2 + b ∫ a 2 x 2 + b2 = 2a 2 ∫ u + a ∫ w2 + b2 1 b 1 w 1 1 ax arcτ g + c = η a 2 x 2 + b 2 + arcτ g + c = ηu+ 2 2 b a b a b 2.61.- ∫ 44
  45. 45. 2.63.- ∫ ∫ xdx a −x 4 xdx a −x 4 4 4 Sea: u = x 2 , du = 2 xdx , xdx =∫ ( a 2 )2 − ( x2 )2 = 1 du 1 u = arcs e n 2 + c ∫ 2 a ( a 2 )2 − u 2 2 1 x2 = arcs e n 2 + c a 2 2 x dx 2.64.- ∫ , Sea: u = x3 , du = 3x 2 dx 6 1+ x 2 x dx x 2 dx 1 du 1 1 3 ∫ 1 + x6 = ∫ 1 + ( x3 )2 = 3 ∫ 1 + u 2 = 3 arcτ g u + c = 3 arcτ gx + c 2.65.- ∫ ∫ 2 x dx x −1 6 x 2 dx x −1 6 =∫ Sea: u = x3 , du = 3x 2 dx , x 2 dx (x ) −1 3 2 = 1 du 1 1 2 3 6 ∫ u2 −1 = 3 η u + u −1 + c = 3 η x + x −1 + c 3 x − arcτ g 3x 3dx Sea: u = 1 + 9 x 2 , du = 18 xdx; w = arcτ g 3 x, dw = dx , 2 1 + 9 x2 1+ 9x x − arcτ g 3x arcτ g 3x xdx 1 du 1 1 ∫ 1 + 9 x2 dx = ∫ 1 + 9 x 2 − ∫ 1 + 9 x 2 dx = 18 ∫ u − 3 ∫ w 2 dw 3 3 1 1w2 1 2(arcτ g 3 x) 2 2 = +c = +c ηu− η 1+ 9x − 18 33 18 9 2 dt arcs e n t 2.67.- ∫ Sea: u = arcs e n t , du = dt , 2 4 − 4t 1− t2 2.66.- ∫ ∫ arcs e n t 1 arcs e n t 1 arcs e n t 1 1 u dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ udu = 2 2 4 − 4t 2 1− t 2 2 2 3 1− t2 3 2 2 1 3 +c = u 2 +c 3 1 (arcs e n t )3 + c 3 x arcτ g ( 3 ) 3dx x 2.68.- ∫ Sea: u = arcτ g 3 , du = dx , 2 9+ x 9 + x2 x x arcτ g ( 3 ) arcτ g ( 3 ) 2 1 1 u2 1 + c = u2 + c = +c dx = ∫ udu = ∫ 9 + x2 3 3 2 6 6 dt dt , Sea: u = η t + 1 + t 2 , du = 2.69.- ∫ 1+ t2 (9 + 9t 2 ) η t + 1 + t 2 = 1 = ∫ 3 (1 + t 2 ) dt η t + 1+ t2 1 1 du 1 u 2 2 2 = ∫ = +c = u +c = 1 3 u 3 3 3 2 η t + 1+ t 2 + c 45
  46. 46. 2.70.- ∫ ae − mx dx , ∫ ae − mx Sea: u = − mx, du = −mdx dx = a ∫ e − mx dx = − 2.71.- ∫ 42 −3 x dx , 2 −3 x ∫ 4 dx = − a u a u a − mx ∫ e du = − m e + c = − m e + c m Sea: u = 2 − 3x, du = −3dx; a = 4 1 u 1 au 4 2 −3 x +c = − +c a du = − 3∫ 3 ηa 3 η4 2.72.- ∫ (et − e − t )dt , ∫ (e Sea: u = −t , du = − dt − e −t )dt = ∫ et dt − ∫ e− t dt = ∫ et dt − ∫ eu dt = et + eu + c = et + e− t + c t 2.73.- ∫ e − ( x 2 +1) xdx , Sea: u = − x 2 − 1, du = −2 xdx 1 u 1 u 1 − ( x2 +1) 1 + c = − x2 +1 + c ∫ e du = − 2 e + c = − 2 e 2 2e x x 2x 2dx 2x 2dx , du = ; w = − , dw = − Sea: u = 2.74.- ∫ (e a − e − a ) 2 dx , a a a a x 2x x −2 x 2x −2 x −xa 2 −xa ∫ (e a − e ) dx = ∫ (e a + 2e a e + e a )dx = ∫ e a dx + 2∫ dx + ∫ e a dx ∫e − ( x 2 +1) xdx = ∫ e − x −1 xdx = − 2 a u a w a u a w a 2x a −2x ∫ e du + 2∫ dx − 2 ∫ e dw = 2 e + 2 x − 2 e + c = 2 e a + 2 x − 2 e a + c 2 a2x −1 x dx 2.75.- ∫ Sea: u = − 2 , du = − dx ; w = 32x , dw = 32 dx , 2 x a 2x a −1 a 2 x dx dx x x 3x x dx = ∫ −∫ = ∫ a 2 x − 2 dx − ∫ a − 2 dx = ∫ a 2 dx − ∫ a − 2 dx ∫ ax x x a a 3x −x 3x −x 2 w 2 aw au 2a 2 a 2 2 a 2 u = ∫ a dw + 2 ∫ a du = +2 +c = +2 +c = + a 2)+c ( ηa ηa ηa 3 3 3 ηa 3 ηa = 1 ex 1 dx Sea: u = , du = − 2 2.76.- ∫ 2 dx , x x x 1 x e 1 u u x ∫ x 2 dx = −∫ e du = −e + c = −e x + c = − e + c dx dx 2.77.- ∫ 5 x , Sea: u = x , du = x 2 x ∫5 x dx 2 × 5u 2×5 x = 2∫ 5u du = +c = +c η5 η5 x 2.78.- ∫ x7 x dx , 2 Sea: u = x 2 , du = 2 xdx 2 1 1 7u 1 7x x7 dx = ∫ 7u du = +c = +c ∫ 2 2 η7 2 η7 x2 2.79.- ∫ et dt , et − 1 Sea: u = et − 1, du = et dt 46
  47. 47. et dt du t ∫ et − 1 = ∫ u = η u + c = η e − 1 + c 2.80.- ∫ e x a − be x dx , Sea: u = a − be x , du = −be x dx 3 ∫e 1 1u 2 2 3 2 3 a − be dx = − ∫ udu = − + c = − u 2 + c = − (a − be x ) 2 + c 3 3b 3b b b 2 x x x ea dx a x 4 4 x x x 1 1 au 3 3a(e a + 1) 3 3 xa a a a 3 3 +c ∫ (e + 1) e dx = ∫ e + 1e dx = a ∫ u du = 4 + c = 4 3 dx 2.82.- ∫ x , Sea: u = 2 x + 3, du = 2 x η 2dx 2 +3 dx 1 3dx 1 2x + 3 − 2x 1 2x + 3 1 2x 1 1 du = ∫ x = ∫ dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ dx − ∫ ∫ 2x + 3 3 2 + 3 3 2x + 3 3 2 +3 3 2 +3 3 3 u x η 2 +3 1 1 1 1 1 = x− η u +c = x− η u +c = x− +c 3 3 3 3 η2 3 3 η2 2.81.- ∫ (e a + 1) 3 e a dx , x Sea: u = e x 1 x a +1 , du = a x dx , Sea: u = a x , du = a x η adx; a > 0 2x 1+ a x a dx a x dx 1 du 1 1 x =∫ ∫ 1 + a 2 x 1 + (a x )2 = η a ∫ 1 + u 2 = η a arcτ gu + c = η a arcτ ga + c 2.83.- ∫ e − bx Sea: u = e −bx , du = −be − bx dx dx , 1 − e−2bx e − bx e − bx 1 du 1 du 1 u −1 η dx = ∫ dx = − ∫ =− ∫ = +c − bx 2 2 2 ∫ 1 − e−2bx 1 − (e ) b 1− u b (−1)(u − 1) 2b u +1 2.84.- ∫ = 1 e − bx − 1 η − bx +c. 2b e +1 et dt 2.85.- ∫ ∫ 1− e t e dt 1− e 2t =∫ 2t Sea: u = et , du = et dt , et dt 1 − (e ) t 2 =∫ du 1− u 2 x dx , du = 2 2 x x ∫ cos 2 dx = 2 ∫ cos udu = 2 s e n u + c = 2 s e n 2 + c 2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx , Sea: u = a + bx, du = bdx 2.86.- ∫ cos x dx , 2 = arcs e n u + c = arcs e n et + c 1 Sea: u = 1 1 ∫ s e n(a + bx)dx = b ∫ s e n udu = − b cos u + c = − b cos(a + bx) + c 47
  48. 48. 2.88.- ∫ cos x dx , x Sea: u = x , du = dx 2 x dx = 2∫ cos udu = 2s e n u + c = 2s e n x + c x dx dx 2.89.- ∫ s e n( η x) , Sea: u = η x, du = x x dx ∫ s e n( η x) x = ∫ s e n udu = − cos u + c = − cos η x + c Sea: u = 2ax, du = 2adx 2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax) 2 dx , ∫ cos x ∫ (cos ax + s e n ax) dx = ∫ (cos ax + 2 cos ax s e n ax + s e n ax)dx = ∫ (1 + 2 cos ax s e n ax)dx = ∫ dx + 2∫ cos ax s e n axdx = ∫ dx + ∫ s e n 2axdx 2 2 2 1 cos 2ax + c 2a 2.91.- ∫ s e n 2 xdx , = x− ∫sen 2 xdx = ∫ Sea: u = 2 x, du = 2dx 1 − cos 2 x 1 1 1 1 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos 2 xdx = ∫ dx − ∫ cos udu = x − s e n u + c 2 2 2 2 4 2 4 1 1 x − s e n 2x + c 2 4 2.92.- ∫ cos 2 xdx , = ∫ cos 2 xdx = ∫ Sea: u = 2 x, du = 2dx 1 + cos 2 x 1 1 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = ∫ dx + ∫ cos udu = x + s e n u + c 2 2 2 2 4 2 4 1 1 x + s e n 2x + c 2 4 2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx , = Sea: u = ax + b, du = adx 1 ∫ sec (ax + b)dx = a ∫ sec 2.94.- ∫ coτ g axdx , 2 2 1 2 1 1 udu = τ gu + c = τ g (ax + b) = + c a a Sea: u = ax, du = adx 1 1 1 ∫ coτ g axdx = a ∫ coτ g udu = a ∫ (cos ec u − 1)du = a ∫ cos ec udu − a ∫ du 2 2 2 2 co τ gu u coτ gax a x coτ gax − +c = − − +c = − −x+c a a a a a dx 2.95.- ∫ , Sea: u = x a , du = dx a x sen a dx ∫ s e n ax = ∫ cos ec ax dx = a ∫ cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c =− = a η cos ec x a − coτ g x a + c 48
  49. 49. dx , Sea: u = 5 x − π , du = 5dx 4 3cos(5 x − π ) 4 dx 1 1 1 ∫ 3cos(5 x − π4 ) = 3 ∫ sec(5 x − π4 )dx = 15 ∫ sec udu = 15 η sec u + τ gu + c 1 = η sec(5 x − π ) + τ g (5 x − π ) + c 4 4 15 dx , Sea: u = ax + b, du = adx 2.97.- ∫ s e n(ax + b) dx 1 1 ∫ s e n(ax + b) = ∫ cos ec(ax + b)dx = a ∫ cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c 1 = η cos ec(ax + b) − co τ g (ax + b) + c a xdx 2.98.- ∫ , Sea: u = x 2 , du = 2 xdx cos 2 x 2 xdx 1 1 1 2 2 2 2 ∫ cos2 x2 = ∫ x sec x dx = 2 ∫ sec udu = 2 τ gu + c = 2 τ gx + c x x dx Sea: u = 2.99.- ∫ coτ g dx , , du = a −b a −b a −b x x ∫ coτ g a − b dx = (a − b)∫ coτ gudu = (a − b) η s e n u + c = (a − b) η s e n a − b + c dx dx 2.100.- ∫ τ g x , Sea: u = x , du = x 2 x dx ∫ τ g x x = 2∫ τ gudu = 2 η sec u + c = 2 η sec x + c dx 2.101.- ∫ , Sea: u = x , du = dx x 5 5 τg 5 dx ∫ τ g x = ∫ coτ g 5x dx = 5∫ coτ gudu = 5 η s e n u + c = 5 η s e n x 5 + c 2.96.- ∫ 5 2 1 ⎛ ⎞ 2.102.- ∫ ⎜ − 1⎟ dx , ⎝ sen x 2 ⎠ Sea: u = x 2, du = 2dx 2 1 ⎛ ⎞ 2 2 ∫ ⎜ s e n x 2 − 1⎟ dx = ∫ (cos ecx 2 − 1) dx =∫ (cos ec x 2 − 2 cos ecx 2 + 1)dx ⎝ ⎠ 1 2 2 = ∫ cos ec 2 x 2dx − 2∫ cos ecx 2dx + ∫ dx = ∫ cos ec udu − 2 ∫ cos ecudu + ∫ dx 2 1 =− coτ gu − 2 η cos ecu − coτ gu + x + c 2 1 =− coτ gx 2 − 2 η cos ecx 2 − coτ gx 2 + x + c 2 49
  50. 50. dx , Sea: u = 2 x, du = 2dx s e n x cos x dx dx ∫ s e n x cos x = ∫ 1 s e n 2 x = 2∫ cos ec2 xdx = ∫ cos ecudu = η cos ecu − coτ gu + c 2 = η cos ec 2 x − coτ g 2 x + c 2.103.- ∫ cos ax Sea: u = s e n ax, du = a cos axdx dx , s e n 5 ax cos ax 1 du 1 u −4 u −4 s e n −4 ax 1 +c = − +c =− +c = − +c dx = ∫ 5 = ∫ s e n 5 ax a u a −4 4a 4a 4a s e n 4 ax 2.104.- ∫ 2.105.- ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt , ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt = − Sea: u = 1 − 2t 2 , du = −4tdt 1 1 1 2 ∫ s e n udu = 4 cos u + c = 4 cos(1 − 2t ) + c 4 s e n 3x dx , Sea: u = 3 + cos 3x, du = −3s e n 3xdx 3 + cos 3x s e n 3x 1 du 1 1 ∫ 3 + cos 3xdx = − 3 ∫ u = − 3 η u + c = − 3 η 3 + cos 3x + c x x Sea: u = τ g ( x 3 ), du = 1 sec2 ( x 3 )dx 2.107.- ∫ τ g 3 3 sec 2 3 dx , 3 2.106.- ∫ 3 2 3 ∫ τ g 3x sec 3x dx = 3∫ u du = 3u 4 3τ g 4 ( x 3 ) +c = +c 4 4 s e n x cos x 2.108.- ∫ Sea: u = cos 2 x, du = 2s e n 2 xdx dx , cos 2 x − s e n 2 x 1 1 s e n x cos x s e n x cos x 1 s e n 2 x 1 du 1 u 2 u2 ∫ cos2 x − s e n 2 x dx = ∫ cos 2 x dx = 4 ∫ cos 2 x = 4 ∫ u = 4 12 + c = 2 + c cos 2 x = +c 2 τ gx 2.109.- ∫ Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx dx , cos 2 x 3 τ gx u2 2 3 2 3 1 dx = ∫ τ gx sec2 xdx = ∫ u 2 du = + c = u 2 + c = τ g 2x + c ∫ cos2 x 3 3 3 2 x x Sea: u = 2 x , du = 2dx 2.110.- ∫ cos a s e n a dx , a 1 a a a ∫ cos ax s e n ax dx = 2 ∫ s e n 2ax dx = 4 ∫ s e n udu = − 4 cos u + c = − 4 cos 2ax + c 2.111.- ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt , Sea: u = 2t 3 − 3, du = 4tdt ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt = 1 1 1 2 ∫ coτ gudu = 4 η s e n u + c = 4 η s e n(2t − 3) + c 4 50
  51. 51. x 3 dx , Sea: u = x 4 , du = 4 x3 dx 8 x +5 3 x dx x3 dx 1 du 1 1 u 5 x4 =∫ 4 2 = ∫ 2 = +c = +c arcτ g arcτ g ∫ x8 + 5 ( x ) + ( 5)2 4 u + ( 5)2 4 5 20 5 5 2.112.- ∫ 2.113.- ∫ s e n 3 6 x cos 6 xdx , Sea: u = s e n 6 x, du = 6 cos 6 xdx 1 3 1 u4 u4 s e n4 6x u du = +c = +c = +c 6∫ 6 4 24 24 5 + 3cos 2 x 2.114.- ∫ 1 + 3cos 2 x s e n 2 xdx , Sea: u = , du = −3s e n 2 xdx 2 1 + cos 2 x 3 + 3cos 2 x 2 ∫ 1 + 3cos x s e n 2 xdx = ∫ 1 + 3( 2 ) s e n 2 xdx = ∫ 1 + 2 s e n 2 xdx 3 ∫ s e n 6 x cos 6 xdx = 5 + 3cos 2 x 1 1 1u 2 2 3 s e n 2 xdx = − ∫ u 2 du = − +c = − u 2 +c 3 2 3 3 9 2 3 =∫ 3 2 ⎛ 5 + 3cos 2 x ⎞ 2 =− ⎜ ⎟ +c 9⎝ 2 ⎠ 2.115.- ∫ x 5 5 − x 2 dx , Sea: u = 5 − x 2 , du = −2 xdx 1 15 1u5 5 65 5(5 − x 2 ) 5 ∫ x 5 − x dx = − 2 ∫ u du = − 2 6 + c = − 12 u + c = − 12 + c 5 1 + s e n 3x 2.116.- ∫ Sea: u = s e n 3x, du = 3dx; w = cos u, dw = − s e n udu dx , cos 2 3x 1 + s e n 3x dx s e n 3x 1 1 senu 2 ∫ cos2 3x dx = ∫ cos2 3x + ∫ cos2 3xdx = 3 ∫ s ec udu + 3 ∫ cos2 u du 1 1 dw 1 1 1 1 1 1 = ∫ s ec 2udu − ∫ 2 = τ gu + + c = τ gu + + c = τ g 3x + +c 3 3 w 3 3w 3 3cos u 3 3cos 3x (cos ax + s e n ax) 2 2.117.- ∫ Sea: u = ax, du = adx dx , s e n ax (cos ax + s e n ax) 2 cos 2 ax + 2 cos ax s e n ax + s e n 2 ax dx = ∫ dx ∫ s e n ax s e n ax 6 5 6 2 cos 2 ax cos ax s e n ax s e n 2 ax =∫ dx + 2 ∫ dx + ∫ dx s e n ax s e n ax s e n ax 1 − s e n 2 ax =∫ dx + 2∫ cos axdx + ∫ s e n axdx s e n ax dx =∫ + 2 ∫ cos axdx s e n ax 1 2 = ∫ cos ecaxdx + 2∫ cos axdx = ∫ cos ecudu + ∫ cos udu a a 51
  52. 52. 1 2 1 2 η cos ecu − coτ gu + s e n u + c = η cos ecax − co τ gax + s e n ax + c a a a a x3 − 1 2.118.- ∫ Sea: u = x + 1, du = dx dx , x +1 x3 − 1 2 2 2 2 ∫ x + 1 dx = ∫ ( x − x + 1 − x + 1)dx = ∫ x dx − ∫ xdx + ∫ dx − ∫ x + 1 dx du x3 x 2 = ∫ x 2 dx − ∫ xdx + ∫ dx − 2∫ = − + x − 2 η x +1 + c u 3 2 2 cos ec 3xdx 2.119.- ∫ , Sea: u = b − a coτ g 3 x, du = 3a cos ec 2 3 xdx b − a coτ g 3 x = cos ec 2 3 xdx 1 du 1 1 ∫ b − a coτ g 3x = 3a ∫ u = 3a η u + c = 3a η b − a coτ g 3x + c x3 − 1 Sea: u = x 4 − 4 x + 1, du = (4 x3 − 4)dx dx , 4 x − 4x + 1 3 x −1 1 (4 x3 − 4)dx 1 du 1 1 4 dx = ∫ 4 ∫ x4 − 4 x + 1 4 x − 4 x + 1 = 4 ∫ u = 4 η u + c = 4 η x − 4 x + 1 + c 2 2.121.- ∫ xe − x dx , Sea: u = − x 2 , du = −2 xdx 2.120.- ∫ ∫ xe − x2 dx = − 2.122.- ∫ 1 u 1 u 1 − x2 ∫ e du = − 2 e + c = − 2 e + c 2 3 − 2 + 3x2 dx , 2 + 3x 2 Sea: u = x 3, du = 3dx; a = 2 3 − 2 + 3x 2 dx (2 + 3x 2 ) 2 ∫ 2 + 3x 2 dx = 3∫ ( 2)2 + ( 3x)2 − ∫ 2 + 3x 2 dx 1 1 (2 + 3x 2 ) 3 3dx 3 3dx 2 −1 ∫ ( 2)2 + ( 3x)2 − ∫ 2 + 3x2 dx = 3 ∫ ( 2)2 + ( 3x)2 − ∫ (2 + 3x ) 2 dx 3 3 du du dx 2 −1 = ∫ (a)2 + (u )2 − ∫ (2 + 3x ) 2 dx = 3 ∫ (a)2 + (u )2 − ∫ ( 2)2 + ( x 3)2 3 2 du 1 du 3 u 1 2 2 − 2 ∫ a 2 + u 2 = a arcτ g a − 3 η u + a + u + c (a ) + (u ) 3 3 x 3 3 = − η x 3 + 2 + 3 + x2 + c arcτ g 3 2 2 τ g 3 x − coτ g 3x 2.123.- ∫ Sea: u = 3x, du = 3dx; w = s e n u, dw = cos udu dx , s e n 3x s e n 3 x cos 3 x − τ g 3 x − coτ g 3 x dx cos 3 x −∫ dx = ∫ cos 3x s e n 3x dx = ∫ dx ∫ s e n 3x s e n 3x cos 3 x s e n 2 3x = 3∫ 2 52
  53. 53. = ∫ sec 3xdx − ∫ cos 3x 1 1 cos u 1 1 dw dx = ∫ sec udu − ∫ du = ∫ sec udu − ∫ 2 2 2 s e n 3x 3 3 sen u 3 3 w 1 1 w−1 1 1 η sec u + τ gu − + c = η sec 3x + τ g 3 x + +c 3 3 −1 3 3s e n 3x dx x dx 2.124.- ∫ , Sea: u = − , du = − 2 2 ex dx dx −x −2 −2 −x u u ∫ e x = ∫ (e x ) 12 = ∫ e 2 dx = −2∫ e du = −2e + c = −2e 2 + c = e x 2 + c = e x + c 1+ s e n x Sea: u = x + cos x, du = (1 − s e n x)dx 2.125.- ∫ dx , x + cos x 1+ s e n x du ∫ x + cos x dx = ∫ u = η u + c = η x + cos x + c sec 2 xdx 2.126.- ∫ , Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx 2 τg x−2 = ∫ sec 2 xdx τg x−2 2 2.127.- ∫ dx ∫x η 2 x dx x η x 2 =∫ du =∫ u −2 2 = η u + u 2 − 2 + c = η τ gx + τ gx 2 − 2 + c Sea: u = η x, du = , dx du u −1 1 1 =∫ 2 = +c = − +c = − +c 2 x( η x) u u −1 ηx 2.128.- ∫ a s e n x cos xdx , ∫a sen x dx 2 Sea: u = s e n x, du = cos xdx as e n x cos xdx = ∫ a du = +c = +c ηa ηa 2.129.- ∫ u x2 x +1 3 dx , a u Sea: u = x3 + 1, du = 3 x 2 dx 3 ( x 2 + 1) 2 u3 ( x 2 + 1) 3 x 2 dx 1 du 1 u 3 ∫ x3 + 1 = ∫ ( x3 + 1) 13 = 3 ∫ u 13 = 3 2 + c = 2 + c = 2 + c = 2 + c 3 xdx 2.130.- ∫ , Sea: u = x 2 , du = 2 xdx 4 1− x xdx xdx 1 2 xdx 1 2 xdx 1 ∫ 1 − x 4 = ∫ 1 − ( x2 )2 = 2 ∫ 1 − ( x 2 )2 = 2 ∫ 1 − (u)2 = 2 arcs e n u + c 2 x dx 1 = arcs e n x 2 + c 2 2.131.- ∫ τ g 2 axdx , 2 2 2 Sea: u = ax, du = adx 53
  54. 54. ∫ τ g axdx = ∫ (sec 2 2 ax − 1)dx = ∫ sec2 axdx − ∫ dx = 1 = τ gax − x + c a sec 2 xdx 2.132.- ∫ , 4 −τ g 2 x sec 2 xdx ∫ =∫ 1 1 2 ∫ sec udu − ∫ dx = a τ gu − x + c a Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx u τ gx = arcs e n + c = arcs e n +c 2 2 2 −u du 4 −τ g x dx 2.133.- ∫ , Sea: u = x , du = dx a a cos x a dx ∫ cos x a = ∫ sec x a dx = a ∫ secudu = a η sec u + τ gu + c = a η sec x a + τ g x a + c 2 2.134.- ∫ 3 2 2 1+ η x dx , x Sea: u = 1 + η x, du = dx x 1+ η x u3 3u 3 3(1 + η x) 3 1 +c ∫ x dx = ∫ u 3 du = 4 + c = 4 + c = 4 3 dx dx , Sea: u = x − 1, du = 2.135.- ∫ τ g x − 1 x −1 2 x −1 dx du ∫ τ g x − 1 x − 1 = 2∫ τ gu u = 2 η sec x − 1 + c = −2 η cos x − 1 + c xdx 2.136.- ∫ , Sea: u = x 2 , du = 2 xdx s e n x2 xdx 1 du 1 1 ∫ s e n x 2 = 2 ∫ s e n u = 2 ∫ cos ecudu = 2 η cos ecu − coτ gu + c 1 = η cos ecx 2 − coτ gx 2 + c 2 s e n x − cos x Sea: u = s e n x + cos x, du = (cos x − s e n x)dx 2.137.- ∫ dx , s e n x + cos x s e n x − cos x du ∫ s e n x + cos xdx = − ∫ u = − η s e n x + cos x + c earcτ gx + x η (1 + x 2 ) + 1 dx 2 xdx 2.138.- ∫ , Sea: u = arcτ gx, du = ; w = η (1 + x 2 )d , dw = 2 2 1+ x 1+ x 1 + x2 earcτ gx + x η (1 + x 2 ) + 1 earcτ gx dx x η (1 + x 2 )dx dx =∫ +∫ +∫ 2 2 2 ∫ 1+ x 1+ x 1+ x 1 + x2 1 dx 1 w2 η 2 (1 + x 2 ) = ∫ eu du + ∫ wdw + ∫ = eu + + arcτ gx + c = eu + + arcτ gx + c 2 1 + x2 2 2 4 3 4 4 4 x 2 dx , 2.139.- ∫ 2 x −2 54
  55. 55. 2 1 x 2 dx dx x− 2 ∫ x2 − 2 = ∫ (1 + x2 − 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x2 − 2 = x + 2 2 2 η x + 2 + c = x+ 2 x− 2 +c η 2 x+ 2 2.140.- ∫ es e n x s e n 2 xdx , Sea: u = 2 sen x ∫ e s e n 2 xdx = ∫ e 2 2.141.- ∫ (1 − s e n sen 1− cos 2 x 2 x 2 2 ) x 2 1 − cos 2 x , du = s e n 2 xdx 2 s e n 2 xdx = ∫ eu du = eu + c = es e n x + c 2 Sea: u = dx , x dx , du = 2 2 ⎛ 1 − 2s e n x2 + s e n 2 x2 ⎞ dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ cos ec x2 dx − 2∫ dx + ∫ s e n x2 dx ∫ sen x x ⎜ ⎟ sen 2 2 ⎝ ⎠ = 2 ∫ cos ecudu − 2 ∫ dx + 2 ∫ s e n udu = 2 η cos ecu − coτ gu − 2 x − 2 cos u + c (1 − s e n x 2 2 ) = 2 η cos ec 4 − 3x 5 − 3x 4 − 3x − coτ g 5 − 3x 2.142.- ∫ ∫ x 2 2 2 dx = 5∫ x 2 − 2 x − 2 cos +c Sea: u = x 3, du = 3dx; w = 4 − 3x 2 , dw = −6 xdx dx , dx 4 − 3x x 2 2 − 3∫ xdx 4 − 3x 2 dx = 5∫ 4 − ( x 3) 2 − 3∫ xdx 4 − 3x2 1 5 du 3 dw 5 u 1w2 5 3 x 3 arcs e n + arcs e n = + ∫ = +c = + 4 − 3x 2 + c ∫ 22 − u 2 6 w 3 2 2 1 3 2 3 2 ds , Sea: u = 1 + e − s , du = −e− s ds e +1 ds e − s ds du −s = ∫ −s ∫ es + 1 e + 1 = −∫ u = − η u + c = − η e + 1 + c dθ 2.144.- ∫ , Sea: u = 2aθ , du = 2adθ s e n aθ cos aθ dθ dθ 2 ∫ s e n aθ cos aθ = ∫ 12 s e n 2aθ = 2∫ cos ec2aθ dθ = 2a ∫ cos ecudu 1 1 = η cos ecu − co τ gu + c = η cos ec 2aθ − co τ g 2aθ + c a a s e 2.145.- ∫ Sea: u = e s , du = e s ds ds , 2s e −2 s e es du = η u + u2 − 2 + c ds = ∫ ds = − ∫ ∫ e2 s − 2 2 s 2 u −2 (e ) − 2 2.143.- ∫ s = η e s + (e s ) 2 − 2 + c = η e s + e 2 s − 2 + c 55
  56. 56. 2π t 2π t + ϕ0 , du = dt T T T T T 2π t ∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt = 2π ∫ s e n udu = − 2π cos u + c = − 2π cos( T + ϕ0 ) + c arc cos x 2 x dx Sea: u = arc cos , du = − 2.147.- ∫ dx , 2 2 4 − x2 4− x arc cos x 2 u2 (arc cos x 2 ) 2 dx = − ∫ udu = − + c = − +c ∫ 4 − x2 2 2 dx dx 2.148.- ∫ , Sea: u = η x, du = 2 x(4 − η x) x π 2.146.- ∫ s e n( 2T t + ϕ0 )dt , Sea: u = dx du 1 2+u 1 2 + ηx =∫ 2 = η +c = η +c 2 2 2 −u 4 2−u 4 2− ηx η x) x ⎡ 2 − ( η x) ⎤ ⎣ ⎦ Sea: u = −τ gx, du = − sec 2 xdx 2.149.- ∫ e −τ gx sec 2 xdx , dx ∫ x(4 − ∫e −τ gx 2 2 sec 2 xdx = − ∫ eu du = −eu + c = −e −τ gx + c 2.150.- ∫ ∫ =∫ s e n x cos x Sea: u = s e n 2 x, du = 2s e n x cos xdx dx , 2−sen x s e n x cos x s e n x cos x 1 du 1 u dx = ∫ dx = ∫ = arcs e n +c 4 2 2 2 2 2 2 2−sen x 2 − (s e n x) 2−u 4 1 (s e n 2 x) = arcs e n +c 2 2 s ecxτ gx 2.151.- ∫ Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx dx , s ec 2 x + 1 s ecxτ gx du 2 2 ∫ s ec 2 x + 1dx = ∫ u 2 + 1 = η u + u + 1 + c = η s ecx + s ec x + 1 + c dt 2.152.- ∫ , Sea: u = 2t , du = 2dt 2 s e n t cos 2 t dt dt dt dt 2 ∫ s e n 2 t cos2 t = ∫ (s e n t cos t )2 = ∫ ( 1 s e n 2t )2 = 4∫ s e n 2 2t = 4∫ cos ec 2tdt 2 = 2 ∫ cos ec 2udu = −2 co τ gu + c = −2 coτ g 2t + c 2.153.- ∫ Sea: arc s e n x + x 1 − x2 dx , u = arcs e n x, du = dx ; w = 1 − x 2 , dw = −2 xdx 1− x arc s e n x + x arc s e n x x 1 dw 1 −1 ∫ 1 − x 2 dx = ∫ 1 − x 2 dx + ∫ 1 − x2 dx = ∫ udu − 2 ∫ w = ∫ udu − 2 ∫ w 2 dw 2 56
  57. 57. 1 u2 1 w 2 (arcs e n x) 2 = − +c = − 1 − x2 + c 2 2 1 2 2 xdx , Sea: t = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1; dx = 2tdt 2.154.- ∫ x +1 2 ( x + 1)3 xdx (t 2 − 1)2tdt t3 =∫ = 2 ∫ (t 2 − 1)dt = 2( − t ) + c = − 2 x +1 + c ∫ x +1 t 3 3 Sea: u = 5 x 2 − 3, du = 10 xdx 2.155.- ∫ x(5 x 2 − 3)7 dx , 2 7 ∫ x(5 x − 3) dx = 1 1 u8 u8 (5 x 2 − 3)8 u 7 du = +c = +c = +c 10 ∫ 10 8 80 80 η ( x + x 2 + 1) 2.156.- ∫ x +1 2 η ( x + x 2 + 1) ∫ x2 + 1 dx , dx = ∫ Sea: u = η ( x + x 2 + 1), du = η ( x + x 2 + 1) x2 + 1 dx x2 + 1 3 dx = ∫ udu = u2 +c 3 2 3 2 ⎡ η ( x + x 2 + 1) ⎤ ⎣ ⎦ = +c 3 s e n3 x 2.157.- ∫ Sea: u = cos x, du = − s e n xdx dx , cos x s e n3 x s e n 2 x s e n xdx (1 − cos 2 x) s e n xdx s e n xdx cos 2 x s e n xdx dx = ∫ =∫ =∫ −∫ ∫ cos x cos x cos x cos x cos x 3 5 2 2 3 3 u u −1 1 = ∫ cos 2 x s e n xdx − ∫ cos 2 x s e n xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = − + +c 3 5 2 2 3 5 3 5 2u 2 2u 2 2 cos x 2 2 cos x 2 2 cos3 x 2 cos5 x + +c = − + +c = − + +c 3 5 3 5 3 5 cos xdx , 2.158.- ∫ 1+ s e n2 x =− Sea: t = 1 + s e n 2 x ⇒ s e n 2 x = t 2 − 1; 2s e n x cos xdx = 2tdt t cos xdx dt t 2 −1 2 ∫ 1+ s e n2 x = ∫ t = ∫ t 2 −1 = η 1+ s e n x + s e n x + c 2.159.- ∫ ∫ (arcs e n x) 2 1 − x2 (arcs e n x) 2 dx , dx = ∫ u 2 du = 1 − x2 2.150.- ∫ e x + e dx , x Sea: u = arcs e n x, du = dx 1 − x2 u3 (arcs e n x)3 +c = +c 3 3 Sea: u = ee , du = ee e x dx x x 57
  58. 58. ∫e x+ex dx = ∫ e x ee dx = ∫ du = u + c = ee + c x x u −1 , du = 4dt 4 u − 1 7 du 1 1 1 u9 1 u8 t (4t + 1)7 dt = ∫ u = ∫ (u − 1)u 7 du = ∫ (u 8 − u 7 )du = − +c ∫ 4 4 16 16 16 9 16 8 (4t + 1)9 (4t + 1)8 = − +c 144 128 2t 2 − 10t + 12 2.162.- ∫ dt , Sea: u = t 2 + 4, du = du = 2tdt t2 + 4 2t 2 − 10t + 12 t 2 − 5t + 6 dt dt ⎛ 2 − 5t ⎞ dt = 2∫ 2 dt = 2∫ ⎜1 + 2 −10∫ 2 ⎟ dt = 2 ∫ dt + 4∫ 2 ∫ t2 + 4 t +4 t +4 t +4 ⎝ t +4⎠ dt du t t = 2 ∫ dt + 4∫ 2 −5∫ = 2t + 2 arcτ g 2 − 5 η u + c = 2t + 2 arcτ g 2 − 5 η t 2 + 4 + c t +4 u et − e − t 2.163.- ∫ t dt , e + e−t Sea: u = e 2t + 1, du = 2e 2t dt ; w = 1 + e −2t , dw = −2e−2t dt 2.161.- ∫ t (4t + 1)7 dt , Sea: u = 4t + 1 ⇒ t = et − e − t et dt e − t dt e 2t dt e −2t dt 1 du 1 dw dt = ∫ t −∫ t = ∫ 2t −∫ = + ∫ et + e − t e + e−t e + e−t e + 1 1 + e −2t 2 ∫ u 2 ∫ w 1 1 1 = ( η u + η w ) + c = η uw + c = η (e2t + 1)(1 + e −2t ) + c 2 2 2 58
  59. 59. CAPITULO 3 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS En esta parte, serán consideradas las integrales trigonométricas de la forma: i) ∫ s e n m u cos n udu ii) ∫ τ g mu secn udu iii) ∫ co τ g mu cos ec nudu O bien, formas trigonométricas reducibles a algunos de los casos ya señalados. EJERCICIOS DESARROLLADOS 3.1.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx 1 + cos 2 x 2 1 + cos 2 x 1 1 x 1 Luego: ∫ cos 2 xdx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = + s e n 2 x + c , 2 2 2 2 4 1 Como: ∫ cosh xdx = s e nh x + c h 1 1 Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n 2 x + c 2 4 4 1 3.2.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx Solución.- cos 2 xdx = Solución.- cos 2 1 x = 2 1 + cos x 2 1 ⎛ 1 + cos x ⎞ 2 Luego: ∫ cos 4 1 xdx = ∫ (cos 2 1 x) 2 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ (1 + 2 cos x + cos x)dx 2 2 2 4 ⎝ ⎠ 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx , como: ∫ cos 2 xdx = 1 x + 1 s e n 2 x + c 2 4 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + ( x + s e n 2 x) + c 4 2 4 4 2 4 2 4 1 1 1 1 3 1 1 = x + s e n x + x + s e n 2x + c = x + s e n x + s e n 2x + c 4 2 8 16 8 2 16 3 1 1 4 1 Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + s e n 2 x + c 8 2 16 3 3.3.-Encontrar: ∫ cos xdx 2 Solución.- ∫ cos3 xdx = ∫ cos x cos 2 xdx , como: cos 2 x = 1 − s e n 2 x 59
  60. 60. = ∫ cos x cos 2 xdx = ∫ cos x(1 − s e n 2 x)dx = ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx Sea: u = s e n x, du = cos xdx = ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx = ∫ cos xdx − ∫ u 2 du = s e n x − Respuesta: ∫ cos3 xdx = s e n x − u3 s e n3 x + c = sen x − +c 3 3 s e n3 x +c 3 3.4.-Encontrar: ∫ s e n x3 4 xdx Solución.- ∫ s e n x3 4 xdx = ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx , como: s e n 2 4 x = 1 − cos 2 4 x = ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx = ∫ s e n 4 x(1 − cos 2 4 x)dx = ∫ s e n 4 xdx − ∫ s e n 4 x(cos 4 x) 2 dx Sea: u = cos 4 x, du = −4s e n 4 xdx 1 2 1 1 u3 cos 4 x cos3 4 x u du = − cos 4 x + +c = − + +c 4∫ 4 4 3 4 12 cos 4 x cos3 4 x Respuesta: ∫ s e n x3 4 xdx = − + +c 4 12 3.5.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos3 xdx = ∫ s e n 4 xdx + Solución.- ∫ s e n 2 x cos3 xdx = ∫ s e n 2 x cos 2 x cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) cos xdx = ∫ s e n 2 x cos xdx − ∫ s e n 4 x cos xdx ; Sea: u = s e n x, du = cos xdx u3 u5 s e n3 x s e n5 x − +c = − +c 3 5 3 5 s e n3 x s e n5 x Respuesta: ∫ s e n 2 x cos3 xdx = − +c 3 5 3.6.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = ∫ u 2 du − ∫ u 4 du = Solución.- ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n x cos 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx = ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx Sea: u = cos x, du = − s e n xdx = ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = − =− u3 u5 + +c 3 5 cos3 x cos5 x + +c 3 5 Respuesta: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = − cos3 x cos5 x + +c 3 5 3.7.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos5 xdx Solución.- ∫ s e n 2 x cos5 xdx = ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) 2 cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − 2s e n 2 x + s e n 4 x) cos xdx 60
  61. 61. = ∫ (s e n x) 2 cos xdx − 2∫ (s e n x) 4 cos xdx + ∫ (s e n x)6 cos xdx Sea: u = s e n x, du = cos xdx u3 u5 u7 s e n3 x s e n5 x s e n7 x −2 + +c = −2 + +c 3 5 7 3 5 7 s e n3 x s e n5 x s e n7 x Respuesta: ∫ s e n 2 x cos5 xdx = −2 + +c 3 5 7 3.8.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos3 xdx = ∫ u 2 du − 2∫ u 4 du + ∫ u 6 du = Solución.- ∫ s e n 3 x cos3 xdx = ∫ (s e n x cos x)3 dx ; como: s e n 2 x = 2s e n x cos x, Se tiene que: s e n x cos x = s e n 2x ; Luego: 2 3 1 1 ⎛ s e n 2x ⎞ 3 2 = ∫ (s e n x cos x) dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n 2 xdx 8 8 ⎝ 2 ⎠ 1 1 1 = ∫ s e n 2 x(1 − cos 2 2 x)dx = ∫ s e n 2 xdx − ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx 8 8 8 Sea: u = cos 2 x, du = −2s e n 2 xdx 1 1 1 1 = ∫ s e n 2 xdx + ∫ −2s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx = ∫ s e n 2 xdx + ∫ u 2 du 8 16 8 16 3 3 1 1 u 1 cos 2 x = − cos 2 x + + c = − cos 2 x + +c 16 16 3 16 48 1 cos3 2 x Respuesta: ∫ s e n 3 x cos3 xdx = − cos 2 x + +c 16 48 3.9.-Encontrar: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx 3 4 1 ⎛ s e n 2x ⎞ 4 Solución.- ∫ s e n 4 x cos 4 xdx = ∫ (s e n x cos x) 4 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx 16 ⎝ 2 ⎠ 2 2 1 1 ⎛ 1 − cos 4 x ⎞ 1 2 ∫ (s e n 2 x) dx = 16 ∫ ⎜ 2 ⎟ dx = 16 × 4 ∫ (1 − cos 4 x) dx 16 ⎝ ⎠ 1 1 1 1 2 2 = ∫ (1 − 2 cos 4 x + cos 4 x)dx = 64 ∫ dx − 32 ∫ cos 4 xdx + 64 ∫ cos 4 xdx 64 1 1 1 1 + cos8 x = ∫ dx − 32 ∫ cos 4 xdx + 64 ∫ 2 dx 64 1 1 1 1 = ∫ dx − 32 ∫ cos 4 xdx + 128 ∫ dx + 128 ∫ cos8 xdx 64 1 1 1 1 3x s e n 4 x s e n 8 x s e n 4x + s e n 8x + c = = x− x+ − + +c 64 128 128 1024 128 128 1024 1 ⎛ s e n 8x ⎞ Respuesta: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx = ⎜ 3x − s e n 4 x + ⎟+c 128 ⎝ 8 ⎠ 3.10.-Encontrar: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx ; Sea: u = x 2 , du = 2 xdx 2 = 61
  62. 62. 1 1 3 2 3 2 3 3 ∫ 2 x(cos x − s e n x )dx = 2 ∫ (cos u − s e n u)du 2 1 1 1 1 = ∫ cos3 udu − ∫ s e n 3 udu = ∫ cos u cos 2 udu − ∫ s e n u s e n 2 udu 2 2 2 2 1 1 = ∫ cos u (1 − s e n 2 u )du − ∫ s e n u (1 − cos 2 u )du 2 2 1 1 1 1 = ∫ cos udu − ∫ cos u s e n 2 udu − ∫ s e n udu + ∫ s e n u cos 2 udu 2 2 2 2 Sea: w = s e n u, dw = cos udu; z = cos u, dz = − s e n udu ∫ x(cos 3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = 1 1 1 1 1 1 w3 1 1 z3 cos udu − ∫ w2 dw − ∫ s e n udu − ∫ z 2 dz = s e n u − + cos u − +c 2∫ 2 2 2 2 2 3 2 2 3 s e n u s e n 3 u cos u cos3 u 1 1 = − + − + c = (s e n u + cos u ) − (s e n 3 u + cos3 u ) + c 2 6 2 6 2 6 3 3 2 Dado que: s e n u + cos u = (s e n u + cos u )(s e n u − s e n u cos u + cos 2 ) = O bien: s e n 3 u + cos3 u = (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) ; Lo que equivale a: 1 1 = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) + c 2 6 1 1 2s e n u cos u = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − )+c 2 6 2 1 1 s e n 2u = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − )+c 2 6 2 1 1 1 = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u ) (2 − s e n 2u ) + c 2 6 2 1 1 = (s e n u + cos u )(6 − (2 − s e n 2u )) + c = (s e n u + cos u )(4 + s e n 2u ) + c 12 12 1 = (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c 12 1 Respuesta: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c 12 3.11.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx 1 [s e n(α − β ) + s e n(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 s e n 2 x cos 4 x = [s e n(2 x − 4 x) + s e n(2 x + 4 x) ] = [s e n(−2 x) + s e n(6 x) ] 2 2 1 1 = [ − s e n 2 x + s e n 6 x ] , Luego: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = ∫ (− s e n 2 x + s e n 6 x)dx 2 2 1 1 1 1 = − ∫ s e n 2 xdx + ∫ s e n 6 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c 2 2 4 12 1 1 Respuesta: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c 4 12 Solución.- s e n α cos β = 62
  63. 63. 3.12.-Encontrar: ∫ cos 3x cos 2 xdx 1 [cos(α − β ) + cos(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 cos 3x cos 2 x = [ cos(3x − 2 x) + cos(3 x + 2 x) ] = [ cos x + cos 5 x ] , Luego: 2 2 1 1 1 = ∫ cos 3 x cos 2 xdx = ∫ [ cos x + cos 5 x ]dx = ∫ cos xdx + ∫ cos 5 xdx 2 2 2 1 1 = s e n x + s e n 5x + c 2 10 1 1 Respuesta: ∫ cos 3 x cos 2 xdx = s e n x + s e n 5 x + c 2 10 3.13.-Encontrar: ∫ s e n 5 x s e n xdx Solución.- cos α cos β = 1 [ cos(α − β ) − cos(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 s e n 5 x s e n x = [ cos(5 x − x) − cos(5 x + x) ] = [ cos 4 x − cos 6 x ] ; Luego: 2 2 1 1 1 = ∫ s e n 5 x s e n xdx = ∫ [ cos 4 x − cos 6 x ] = ∫ cos 4 xdx − ∫ cos 6 xdx 2 2 2 1 1 = s e n 4x − s e n 6x + c 8 12 1 1 Respuesta: ∫ s e n 5 x s e n xdx = s e n 4 x − s e n 6 x + c 8 12 4 3.14.-Encontrar: ∫ τ g xdx Solución.- s e n α s e n β = Solución.- ∫ τ g 4 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx ; como: τ g 2 = sec 2 x − 1 ; Luego: = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec2 xdx − ∫ τ g 2 xdx s e n2 x 1 − cos 2 x dx = ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx − ∫ dx cos 2 x cos 2 x Sea: w = τ gx, dw = sec 2 xdx = ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx − ∫ sec 2 xdx + ∫ dx ; = ∫ (τ gx) 2 sec2 xdx − ∫ w3 τ g3 − τ gx + x + c = − τ gx + x + c 3 3 τ g3 Respuesta: ∫ τ g 4 xdx = − τ gx + x + c 3 3.15.-Encontrar: ∫ sec6 xdx = ∫ w2 dw − ∫ sec 2 x + ∫ dx = Solución.- ∫ sec6 xdx = ∫ (sec2 x) 2 sec2 xdx ; como: sec 2 xdx = 1 + τ g 2 x 2 = ∫ (sec 2 x) 2 sec 2 xdx = ∫ (1 + τ g 2 x) sec 2 xdx = ∫ (1 + 2τ g 2 x + τ g 4 x) sec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 4 sec 2 xdx ; Sea: u = τ gx, du = sec2 xdx 63
  64. 64. 2 1 2 1 = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = τ gx + u 3 + u 5 + c = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c 3 5 3 5 2 3 1 5 Respuesta: ∫ sec6 xdx = τ gx + τ g x + τ g x + c 3 5 3 3.16.-Encontrar: ∫ τ g 2 xdx Solución.3 2 2 2 ∫ τ g 2 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec 2 xdx − ∫ τ g 2 xdx Sea: u = τ g 2 x, du = 2sec 2 2 xdx ; = Luego: 1 1u 1 τ g 2 2x 1 1 − η sec 2 x + c = − η +c udu − ∫ τ g 2 xdx = ∫ 2 2 2 2 4 2 cos 2 x 2 Respuesta: ∫ τ g 3 2 xdx = τ g 2 2x 1 4 − 2 η 1 +c cos 2 x 3.17.-Encontrar: ∫ τ g 5 xdx 2 1 Solución.- ∫ τ g 2 5 xdx = ∫ (sec 2 5 x − 1)dx = ∫ sec 2 5 xdx − ∫ dx = τ g 5 x − x + c 5 1 Respuesta: ∫ τ g 2 5 xdx = τ g 5 x − x + c 5 3 3.18.-Encontrar: ∫ τ g 3x sec 3xdx Solución.- ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = ∫ τ g 2 3xτ g 3 x sec3 xdx = ∫ ( sec2 3x − 1)τ g 3x sec 3xdx = ∫ (sec 3 x) 2τ g 3 x sec 3 xdx − ∫ τ g 3 x sec 3 xdx ; Sea: u = sec 3x, du = 3sec 3xτ g 3xdx 1 2 1 ∫ u du − 3 ∫ 3τ g 3x sec 3xdx ; como: d (sec 3x) = 3τ g 3x sec 3xdx , se admite: 3 1 2 1 1 3 1 1 3 1 ∫ u du − 3 ∫ d (sec3x) = 9 u − 3 sec3x + c = 9 sec 3x − 3 sec3x + c 3 1 1 Respuesta: ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = sec3 3x − sec 3x + c 9 3 3 4 2 3.19.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx Luego: Solución.- ∫ τ g 2 x sec4 xdx = ∫ τ g 2 x(sec2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 2 x(1 + τ g 2 x) sec2 xdx 3 3 = ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx ; 3 7 3 Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx 3 7 2 5 2 9 2 5 2 9 Luego: ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = u 2 + u 2 + c = τ g 2 x + τ g 2 + c 5 9 5 9 3 2 5 2 9 Respuesta: ∫ τ g 2 x sec4 xdx = τ g 2 x + τ g 2 + c 5 9 4 4 3.20.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx Solución.- ∫ τ g 4 x(sec 2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 4 x(1 + τ g 2 x) sec 2 xdx = ∫ (τ gx) 4 sec2 xdx + ∫ (τ gx)6 sec 2 xdx ; Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx 64
  65. 65. τ g5x τ g7 x u5 u7 + +c = + +c 5 7 5 7 τ g5x τ g7x Respuesta: ∫ τ g 4 x sec 4 xdx = + +c 5 7 3.21.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx Luego: ∫ u 4 du + ∫ u 6 du = Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx = ∫ co τ g 3 x(co sec2 x) co sec2 xdx Como: cos ec 2 x = 1 + coτ g 2 x ; Luego: ∫ coτ g 3 x(1 + co τ g 2 x) co sec 2 xdx = ∫ co τ g 3 x co sec 2 xdx + ∫ coτ g 5 x co sec 2 xdx Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx , u4 u6 coτ g 4 x coτ g 6 x Luego: − ∫ u du − ∫ u du = − − + c = − − +c 4 6 4 6 co τ g 4 x coτ g 6 x Respuesta: ∫ coτ g 3 x co sec 4 xdx = − − +c 4 6 3.22.-Encontrar: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx 3 5 Solución.- ∫ co τ g 3x co sec 4 3 xdx = ∫ coτ g 3x(co sec 2 3 x) co sec 2 3 xdx ∫ coτ g 3x(1 + coτ g 2 3x) co sec 2 3xdx = ∫ co τ g 3x co sec 2 3xdx + ∫ coτ g 3 3x co sec 2 3xdx Sea: u = coτ g 3 x, du = −3cos ec 2 3 xdx ; Luego: 1 1 u u co τ g 3x co τ g 4 3x udu − ∫ u 3du = − − + c = − − +c 3∫ 3 6 12 6 12 coτ g 2 3x co τ g 4 3x Respuesta: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx = − − +c 6 12 3.23.-Encontrar: ∫ co sec 4 2 xdx 2 − 4 2 Solución.- ∫ co sec 2 2 x co sec 2 2 xdx = ∫ (1 + coτ g 2 2 x) co sec 2 2 xdx ∫ co sec 2 2 xdx + ∫ coτ g 2 2 x co sec 2 2 xdx ; Sea: u = coτ g 2 x, du = − cos ec 2 2 xdx 1 2 1 u3 coτ g 2 x coτ g 3 2 x u du = − coτ g 2 x − + c = − − +c 2∫ 2 3 2 6 coτ g 2 x coτ g 3 2 x Respuesta: ∫ co sec 4 2xdx = − − +c 2 6 3.24.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx Luego: ∫ co sec 2 2 xdx − Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx = ∫ coτ g 2 x co sec2 x co τ gx co sec xdx Como: co τ g 2 x = co sec 2 x − 1 ; Luego: ∫ (co sec 2 x − 1) co sec 2 x co τ gx co sec xdx = ∫ (co sec4 x co τ gx co sec xdx − ∫ co sec2 x coτ gx co sec xdx Sea: u = cos ecx, du = − cos ecx coτ gxdx ; 65

×