Conceptos y operaciones sobre teoría de conjuntos

2. CONJUNTO
Grupo de objetos con una o más características
comunes. También se puede decir que es una
colección desordenada de objetos. Un conjunto
está bien definido si es posible conocer todos sus
elementos.

3. Las Vocales del Alfabeto B = {a; e; i; o; u}
B= Nombre del conjunto en mayúscula
a, e, i, o, u = Nombre de los elementos en minúscula.
Los enteros positivos impares menores a 10
P = {1; 3; 5; 7; 9}
Los elementos pueden ser también números.
A = {a; 2; Roberto; Francia}
Los elementos de un conjunto pueden también no estar
relacionados.
EJEMPLOS

4. Elementos de un conjunto
Son los objetos que componen un conjunto,
también se les conoce como miembros. Se
dice que el conjunto contiene a sus elementos
y los elementos pertenecen al conjunto.
 Si un elemento “a” pertenece a un conjunto
“V”, se denota por: a  V
 Si un elemento “d” no pertenece a un conjunto
“V”, se denota por: d  V

5. a) EXTENSIÓN:
Se detallan todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
V = {a; e; i; o; u}
b) COMPRENSIÓN:
Se da una idea que representa los elementos.
Ejemplo:
Las vocales del alfabeto.
Modos de representación de un conjunto

6. c) DESCRIPCIÓN POR CONSTRUCCIÓN:
Se caracterizan todos los elementos del
conjunto declarando la propiedad o propiedades
que deben tener sus miembros.
Ejemplo: Conjunto I de todos los números enteros
positivos menores que 10.
I = {x | x es un entero positivo menor que 10}
I = {x | x Z+, x < 10}
Modos de representación de un conjunto

7. d) DIAGRAMA DE VENN:
Es una forma gráfica de representar un conjunto. Parte del
concepto de conjunto Universal.
Se define el Conjunto Universal ‘U’ como aquel que contiene
todos los elementos que están siendo objeto de estudio. Se
representa por un rectángulo y la letra U.
El diagrama se construye con el conjunto universal
representado por un rectángulo, y luego utilizando círculos
dentro del rectángulo se representan los conjuntos,
identificados con letras mayúsculas. Los elementos se
representan dentro de los conjuntos, utilizando letras
minúsculas.
Modos de representación de un conjunto

8. U
V
Conjunto de Vocales
Conjunto Universal
.a
.e
.i
.o
.u
Elementos
Modos de representación de un conjunto

9. Tipos de conjuntos según el número de
elementos
a) CONJUNTO VACÍO:
Es aquel que no tiene elementos. Se representa por
Φ, también puede ser denotado por Φ o { }.
b) CONJUNTO UNITARIO:
Es aquel que tiene un solo elemento.
Ejemplo: {a}, {Φ}, {5}

10. c) CONJUNTO FINITO:
Es aquel que tiene un número n de
elementos definidos, n > 0. Ejemplo: las
vocales.
d) CONJUNTO INFINITO:
Es aquel que no es finito, es decir tiene
elementos no definidos. Ejemplo: el
conjunto de los enteros positivos.
Tipos de conjuntos según el número
de elementos

11. e) SUBCONJUNTO:
Se dice que el conjunto A es subconjunto de
B, si y solo si todo elemento de A es también un
elemento de B.
A  B
Tipos de conjuntos según el número
de elementos

12. Teorema de Subconjuntos
 a) Φ  S y S  S Todo conjunto no vacío S,
tiene 2 subconjuntos, el vacío y el propio conjunto.
 b) A  B y B  A Entonces se concluye que A
= B
 c) Para enfatizar que A es subconjunto de B pero
que A y B son diferentes, se denota A  B

13. Teorema de Subconjuntos
• d) En un diagrama de Venn, A  B se representa por:
U
A
B

14. Características de Conjuntos
a) IGUALDAD DE CONJUNTOS:
Dos conjuntos son iguales si, y solo si, tienen los
mismos elementos. Ejemplo:
{1; 2; 4} = {2; 4; 1} = {1; 2; 2; 2; 4}
.1
.2
.4
.2
.4
.1
.1
.2
.2
.2
.4
= =

15. b) TAMAÑO DE UN CONJUNTO:
Sea S un conjunto, si hay exactamente n elementos “distintos”
en S, donde n es un entero no negativo, se dice que S es un
conjunto finito y n es el cardinal de S, el cual define su tamaño.
El cardinal del conjunto S se denota por |S|.
Ejemplos:
A = Conjunto de los enteros positivos impares menores a 10.
|A| = 5
S = Conjunto de las letras del alfabeto. |S| = 28
V = Conjunto de las vocales. |V| = 5
Φ = Conjunto vacío. |Φ| = 0 (ya que no tiene elementos)
Características de Conjuntos

16. Conjuntos numéricos
fundamentales
NÚMEROS NATURALES (N)
N = {0; 1; 2; 3; …}
NÚMEROS ENTEROS (Z)
Z = {…; -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}
NÚMEROS RACIONALES (Q)
Q = {p/q | p q Z, q  0} = {…; -1; -½; 0; 1/5; ½; 1; 3/2; 2; …}
NÚMEROS IRRACIONALES (I)
I = {…; 2 ; 3; π; …}
NÚMEROS REALES (R)
R = {…; -2; -1; 0; 1; 2 ; 3; …}
NÚMEROS COMPLEJOS (C)
C = {…; -2; -½; 0; 1; 2 ; 3; 2+3i; 3; …}

17. Conjuntos numéricos
fundamentales
CR
QZ
N
I

18. Operaciones con Conjuntos
a) UNIÓN DE CONJUNTOS:
Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B,
denotada por A  B, es el conjunto que contiene aquellos
elementos que están en A o bien en B, o en ambos.
A  B = {x | x A  x B}
A BA B

19. Operaciones con Conjuntos
EJEMPLO DE UNIÓN DE CONJUNTOS:
A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3; 4}
A  B = {1; 2; 3; 4; 5}
.3
.1
.5 .4
.2
U

20. PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE
CONJUNTOS:
Operaciones con Conjuntos
• 1) A  A = A
• 2) A  B = B  A
• 3) A  Φ = A
• 4) A  U = U
• 5) (A  B)  C = A  (B  C)
• Si A  B = Φ entonces A = Φ B = Φ

21. OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS

22. Operaciones con Conjuntos
• b) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
• Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A
y B, denotada por A ∩ B, es el conjunto que contiene aquellos
elementos que están tanto en A como en B.
A ∩ B = {x | xA  xB}
A BA B

23. EJEMPLO DE INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
A = {1; 3; 5; 7} B = {1; 2; 3; 4}
Operaciones con Conjuntos
.3
.1
.5
.4
.2
U
.7
A  B = {1; 3}

24. Operaciones con Conjuntos
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOS:
• 1) A  A = A
• 2) A  B = B  A
• 3) A  Φ = Φ
• 4) A  U = A
• 5) (A  B)  C = A  (B  C)
• 6) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

25. Operaciones con Conjuntos
• c) DIFERENCIA DE CONJUNTOS:
Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y
B, denotada por A – B, es el conjunto que contiene aquellos
elementos que están en A pero no en B. La diferencia de A – B se
llama también el complementario de B respecto a A.
A – B = {x | xA  xB}
A B
U

26. Operaciones con Conjuntos
EJEMPLO DE DIFERENCIA DE CONJUNTOS:
A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3}
A B
U
A - B = {5}
.5
.3
.1
.2
A B
U
B - A = {2}
.5
.3
.1
.2

27. Operaciones con Conjuntos
• d) DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS:
Sean A y B conjuntos. La diferencia simétrica de los
conjuntos A y B, denotada por A  B, es el conjunto que
contiene aquellos elementos que están en A o que están en B,
pero no en ambos. Es lo opuesto a la intersección.
A  B = {x | xA  xB}
A B

28. EJEMPLO DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS:
A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3}
Operaciones con Conjuntos
.5
.2
.3
.1
U
A  B = {2; 5}
A B

29. Operaciones con Conjuntos
• e) CONJUNTO COMPLEMENTARIO:
Sean U el conjunto universal. El conjunto
complementario de A, denotado por A’ se define como los
elementos que faltan a A para ser igual a U.
_ _
A = U – A A = {x | xA}
Un elemento pertenece al complemento de A, si y solo si  A.

30. Operaciones con Conjuntos
U
AComplement
o de A.
_
A
• e) CONJUNTO COMPLEMENTARIO:

31. EJEMPLO DE CONJUNTO COMPLEMENTARIO
A = {a, e, i, o, u} y U = abecedario
B = {enteros positivos mayores que 10}
__
A = {todas las letras excepto las vocales}
__
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Operaciones con Conjuntos

32. Operaciones con Conjuntos
• d) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS:
La n-tupla ordenada (a1, a2,….., an) es la colección
ordenada en la que a1 es su primer elemento, a2 el segundo y an
el elemento n-esimo. Las 2-tuplas, se conocen como pares
ordenados. Ejemplo: (a, b) y (c, d).
Sean A y B conjuntos, el Producto cartesiano de A y
B se denota por AxB y se define como el conjunto de todos los
pares ordenados (a, b) donde aA y bB. Por tanto:
AxB = {(a, b) | aA  bB}
Nota: Se puede comprobar que AxB ≠ BxA, es decir no es conmutativo.

33. EJEMPLO DE PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
Sean los conjuntos A y B
A = todos los estudiantes de la universidad
B = asignaturas ofertadas
Entonces AxB = todas las posibles matriculaciones de
los estudiantes de la universidad.
Ejemplo: sean A = {1; 2} y B = {a; b; c}
Entonces AxB = {(1; a); (1; b); (1; c); (2; a); (2; b); (2;
c)}
Operaciones con Conjuntos

34. Identidades entre Conjuntos
IDENTIDAD NOMBRE
A U ø = A
A ∩ U = A Leyes de Identidad
A U U = U
A ∩ ø = ø Leyes de Dominación
A U A = A
A ∩ A = A Leyes Idempotentes
__
__
(A) = A
Ley de Complementación
A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A Leyes Conmutativas
A U (B U C) = (A U B) U C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Leyes Asociativas
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) Leyes Distributivas
_____ _ _
A U B = B ∩ A
_____ _ _
A ∩ B = B U A
Leyes de Morgan
A U (A ∩ B) = A
A ∩ (A U B) = A Leyes de Absorción
_
A U A = U
_
A ∩ A = ø
Leyes de Complemento

35. Identidades entre Conjuntos
EJEMPLO DE IDENTIDADES ENTRE CONJUNTOS
_________ _ _ _
Demostrar que A U (B U C) = (C ∩ B) ∩ A
_________ _ _____
A U (B U C) = A ∩ (B ∩ C) 1era Ley de Morgan
_ _ _
= A ∩ (B U C) 2da Ley de Morgan
_ _ _
= (B U C) ∩ A Conmutativa Intersección
_ _ _
= (C U B) ∩ A Conmutativa Unión

36. Representación de Conjuntos en un
Computador
Se tiene un conjunto U, donde A  U y A = {a1,
a2,…….an} , el conjunto se representa a través de una
cadena de bits de longitud “n” en donde el bit i-esimo es 1
si aA y el bit i-esimo es 0 si aA.
Los bits (sistema binario) tienen 2 posibles
estados, 0 y 1, las cadenas se agrupan en grupos de 4 bits
para mayor flexibilidad en el manejo de la información.

37. Ejemplo:
Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Representar en cadenas de bits los siguientes subconjuntos:
A = Subconjunto de los impares de U. A = 10 1010 1010
B = Subconjunto de los pares de U. B = 01 0101
0101
C = Subconjunto de los enteros menores a 5 C = 11 1110
0000
_
El complemento de A A = 01 0101
0101
Representación de Conjuntos en un
Computador

38. Las operaciones Unión e Intersección se hacen
a través de operaciones tipo Bit, es decir las cadenas se
operan bit a bit para obtener el resultado de la unión o
intersección de conjuntos.
0 U 0 = 0
0 U 1 = 1
1 U 1 = 1
0 ∩ 0 = 0
0 ∩ 1 = 0
1 ∩ 1 = 1
Representación de Conjuntos en un
Computador