Conceptos básicos de progresiones y ejercicios

1. 1

2.  También conocida como una sucesión es un conjunto
infinito de números ordenados que tienen un
comportamiento común entre si.
 A los números que forman la sucesión se les llama
términos y todas las sucesiones tienen un primer término
seguido de otros que cumplen con una regla entre ellos.
 Una sucesión se puede representar mediante una
expresión que permite conocer el valor de cada término
sabiendo el lugar (n) que ocupa.
2

3.  A) 1, 6, 11, 16……
 B) 45, 40, 35, 30
 C) 10, 20, 40, 80……
 D) 24, 12, 6, 3
 ¿Cuáles progresiones crecen y cuales
decrecen?
 ¿Qué operaciones aritméticas corresponde a
cada progresión?
3

4. PROGRESIONES
PROGRESION
ARITMETICA
PROGRESION
GEOMETRICA
Es aquella sucesión
donde un termino de
ella va aumentando
una cantidad
constante llamada
razón (r)
Es una sucesión donde
un término es igual al
anterior multiplicado
por una cantidad
constante llamada
razón (q).

5. 5
 Una progresión aritmética es una sucesión de
números llamados términos, en la que cualquier
término es el resultado de sumar al anterior una
cantidad constante (positiva o negativa), llamada
diferencia común y se calcula como:
 Un término n menos el que le antecede
1−−= nn aad

6. 6
 1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad
constante que se suma es 5:
 1 + 5 = 6
 6 + 5 = 11
 11 + 5 = 16
 Y en 45, 42, 39, 36 se observa que la cantidad que se
suma es: -3
 45 - 3 = 42
 42 - 3 = 39
 39 - 3 = 36

7. 7
 Una progresión finita es aquella que tiene un
número determinado de términos.
 Una progresión infinita es aquella que tiene un
número indefinido de términos.

8.  Para calcular el enésimo término de cualquier
progresión aritmética utilizamos:
 Donde:
 l = último término
 n = número de términos
 a = primer término
 d = la diferencia común
8
dnal )1( −+=

9. 9
 Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24
 El primer termino es (a) es 4.
 La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4.
 El número de términos (n) es 6.
 Primer termino: a = 4
 Segundo termino: a + d = 4 + 4 = 8
 Tercer termino: a + 2d = 4 + 2(4) = 12
 Cuarto termino: a + 3d = 4 + 3(4) = 16
 Quinto termino: a + 4d = 4 + 4(4) = 20
 Sexto termino: a + 5d = 4 + 5(4) = 24

10.  Además la suma de los n primeros términos de este tipo
de sucesiones se puede calcular como:
 Donde:
 S = es la suma de los n términos
 l = último término
 n = número de términos
 a = primer término
 d = la diferencia común
10
2
)(an
S
+ l
=

11.  El Término general de una P.A se puede obtener de dos formas
dependiendo de lo que conozcamos:
1) Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
Ejemplo: Halla el término general de la sucesión 8, 3, -2, -7, -12, ..
Solución:
El término general vendrá dado por:
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

12. 2) Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término
de la sucesión (ak).
an = ak + (n - k) · d
Ejemplo: Halla el término general sabiendo que a4= -7 y d = -5
Solución:
El término general vendrá dado por:
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

13. Progresión Primer
Término
a
Diferencia
común
d
Valor del
8° término
l
12, 18, 24, 30, 36
-3, -3/2, 0, 3/2, 3,
9/2 ….
2, 6, 10, 14, 18,
22
½, 1, 1 ½, 2 ....
13

14.  Definir si las siguientes sucesiones son aritméticas, y en
caso de serlo obtenga su término general.
a) 5, 12, 19, 26, …
b) 3/7, 5/7, 1, 9/7,…
c) 2/3, 1/3, 0, -1/3,…
d) Calcule para el literal a) el 10º término.
e) Calcule para el literal b) el 35º término.
f) Calcule para el literal c) el 90º término.

15.  Es una sucesión de números llamados
términos, de tal forma que cada uno de
ellos, después del primero, se obtiene
multiplicando el termino anterior por una
cantidad constante (entero o fracción,
positivo o negativo) llamada razón
común.
15
1−
=
n
n
a
a
r

16. 6/3, 12/3, 24/3….
La razón común es r = 2 dado que:
6/3 * 2 = 12/3
12/3 * 2 = 24/3
Los elementos de una progresión geométrica son:
a = primer término
r = la razón común
l = último término o enésimo termino
n = número de términos
16

17. En la progresión geométrica: 3, 12, 48, 192, 768,…
se observa que:
 El segundo término que es 12, se obtuvo de
multiplicar por 4 el primer término.
El tercer término que es 48, se obtiene de multiplicar el
segundo término por 4 y así sucesívamente.
EJEMPLO

18. Según la definición anterior y el ejemplo de
progresión geométrica que se ha presentado, se
verifica:
a2
= a1
· r
a3
= a2
· r = a1
· r · r = a1
·r 2
a4
= a3
· r = a1
· r 2
· r = a1
· r 3
Donde a1
; a2
; a3
;… son los términos de la
progresión geométrica. Luego reemplazando se
tiene: a1
; a1
· r ; a1
·r 2
; a1
· r 3
; …; aa11 ·· rr nn - 1- 1
Es decir que el término nésimo o término
general se obtiene de la siguinet forma.
nn - 1- 1

19. EJEMPLO
Cuál es el quinto término de una progresión
geométrica en la que el primer término es 2 y
la razón es 3?
Solución.
Una forma sería multiplicado el primer término
por la razón, y seguir el mismo procedimiento
con el siguiente término hasta obtener el quinto
término:
2x3 = 6, 6x3 = 18 , 18x3 = 54, 54x3= 162
Luego el quinto término es 162.

20. Otra forma de obtener el quinto término sería utilizando la
fórmula del n-ésimo término: an
= a1
· r n – 1
donde:
an
:es el quinto término,
a1
:es el primer término
r :es la razón
n :es la cantidad de términos que en esta caso son 5
términos. Luego se reemplaza en la fórmula:
a5
= 2 (3)5 – 1
= 2 (3)4
= 2 (81)= 162
Observando extremos: a5
= 162.

21. 21

22. 22