1. Trigonometría – 3º de Secundaria
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL I
cualquier del sistema; su longitud o módulo
esta representado por “r”.
1. Sistemas de Coordenadas
Rectangulares
y
(a; b)
y
IIC
IC
+
|b|
+
IIIC
x
O
–
–
r
x
|a|
IVC
Donde: r : Longitud del Radio Vector
Donde:
x : Eje de Abscisas
y : Eje de Ordenadas
IC : Primer Cuadrante
IIC : Segundo Cuadrante
IIIC : Tercer Cuadrante
IVC : Cuarto Cuadrante
O : Origen del Sistema
r2 = a2 + b2
r
+
3. Ángulo en posición normal
Ubicación de un Punto
Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo
vértice coincide con el origen del sistema
bidimensional y su lado inicial descansa
en el semieje positivo de las abscisas,
mientras que su lado final puede
encontrarse en cualquiera de los
cuadrantes o coincidir con algún semieje
en cuyo caso es llamado ángulo
cuadrantal.
y
y
P(a; b)
b
a
x


Donde:
x

P : Punto del Sistema Bidimensional
a : Abscisa del Punto P
b : Ordenada del Punto P
(a; b): Coordenadas del Punto P
Donde:
,    son las medidas de los ángulos
en posición normal mostrados.
L.I.: Lado Inicial
L.F.: Lado Final
2. Radio Vector (r)
Es el segmento de recta dirigido (flecha)
que parte del origen hacia un punto
-1-
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2. Trigonometría – 3º de Secundaria
También son
Sen
llamados ∢s en
posición canónica
o estándar.
csc
Tg
Positivas
+
+
cot
Del siguiente gráfico definiremos las
Razones Trigonométricas para un ángulo
en posición normal los cuales son
independientes del sentido de giro o el
número de vueltas que pudiera realizar.
Todas
C os
+
sec
Ejercicios Resueltos
y
(x; y)
01. Del siguiente gráfico calcular:
E  10sen  12cot 
r

y
x
cos  
Abscisa x

M.R.V.
r
sec  
(1; -3)
M.R.V.
r

Abscisa x
Solución:
Abscisa
x
cot  

Ordenada y
Ordenada y
tg 

Abscisa
x
x

M.T.V.
r
csc  

Ordenada y
Ordenada y
sen 

M.R.V.
r
a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:
r = 1 + (-3)
 r = 10
b) Reemplazamos las definiciones:
2
2
2
 3 
 1 
E  10 . 
  12



 3
10 

4. Regla de Signos
E = -3 + 4
IC
IIC
sen
+
+
-
+
-
-
+
tg
+
-
+
-
cot
+
-
+
-
sec
+
-
-
+
csc
+
+
-
-
C
E=1
02. Indicar el signo resultante de la siguiente
operación.
-
cos

IIIC IVC
R.T.
E = sen130º . cos230º . tg330º
Solución
IIC
IIIC
IVC
E = sen130º . cos230º . tg330º
E= + . – . –
-2-
 E= +
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3. Trigonometría – 3º de Secundaria
03. Si   III ¿En qué cuadrante está 2/3?
3. Calcular: csc + cos
Solución
a) 1
Si   III 
180º <  < 270º

< 90º
3
60º <
120º < 2

b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

< 180º
3
4. Del gráfico calcular: E  5 sec   4 cot
Como .2/3. está entre 120º y 180º,
entonces pertenece al:
y
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
.II Cuadrante.
04. Indicar el cuadrante al que pertenece la
x

(1; -2)
medida angular “” si:

tg < 0
csc > 0
Solución
tg  = -
{ IIC  IVC }
csc  = +
{ IC  IIC }
5. Por el punto P(2; 5 ) pasa el lado final de
un ángulo en posición normal cuya medida
es “”. Calcular: “Sec ”
  IIC
a) -1/2
d) -4/3
b) -2/3
e) -3/2
c) -3/4
Práctica Dirigida
6. Por el punto Q( 2 ;  7 ) pasa el lado final
de un ángulo en posición canónica cuya
medida es “”. Calcular: “ 7 csc  ”.
1. Del siguiente gráfico calcular:
E  10sen  12cot 
y
a) 1
a) 1
d) -3
b) 2
c) 3
b) 2
e) -2
c) 3
x

d) 4
7. Si: sen  
e) 5
(1; -3)
2
   IIIC
3
Calcular: E  5 (tg  sec )
a) -1
d) 2
2. Del gráfico calcular: E  11 cos   6 2tg
b) -2
e) 3
c) -3
y
a) 1
b) 2
(3; 2 )
8. Si: cot   
c) 3
Calcular: E  21 sec   7 sen
d) 4
e) 5
3
   IVC
2

x
a) 1
d) 4
-3-
b) 2
e) 5
c) 3
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4. Trigonometría – 3º de Secundaria
Tarea
6.
Si el punto P(1; 3 ) pertenece al lado
final de un ángulo en posición canónica
cuya medida es “” calcular: E = cot +
csc
1. Si el punto P(-2; 1) pertenece al lado final
de un ángulo en posición canónica cuya
medida es “” calcular: E = 5Sen . Cos
b) – 3
e) – 1
a)
c) – 4
3
2
b)
3
3
d)
a) – 5
d) – 2
3
5
e)
3
6
c)
3
4
2. Del gráfico calcular E = 25sen + tg
y
(24; 7)
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
7.


x
Si el punto A(3; -4) pertenece al lado final
de un ángulo en posición estándar cuya
medida es “” calcular: M = 6tg + 5cos.
a) -1
d) -4
(-4; -8)
3. Del gráfico calcular “tg”
y
8.
(1-x; 2x)
a) -1
17
b) -2

c) -3
c) -3
Si: cos = 0,3    IIC
2
Calcular: E = tg  + sec
a) 1
d) 4
d) -4
b) -2
e) -5
b) 2
e) 5
c) 3
x
e) -5
4.
9. Indicar el signo de cada expresión:
I. sen100º cos200º
II. tg190º cot320º
III. sec200º csc350º
Del gráfico calcular: M = sen - 2cos +
3tg
y
4
a) -1
a) +, +, +
d) -, -, +
b) -2
c) -3
d) -4
e) -5
5.

-3
b) -, -, e) +, -, -
c) +, +, -
x
Del gráfico calcular: M  5 (sen  cos)
y
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

x
(2; -1)
e) 5
-4-
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