Historia y conceptos básicos de los cuadrados mágicos.

1. UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓNCÁTEDRA DE SEMINARIO DE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA JOAN FERNANDO CHIPIA LOBO CI: V - 17.662.609

2. CUADRADOS MÁGICOS

3. INTRODUCCIÓN Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas formando un cuadrado, de tal modo que la suma de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el mismo resultado. Si la condición no se cumple para las diagonales, entonces se llaman cuadrados latinos. El origen de los cuadrados mágicos nos es desconocido. Sabemos que fueron conocidos por los chinos y los hindúes antes de nuestra era, pero ignoramos todo lo referente a su concepción.

4. LA LEYENDA La leyenda dice que en el 2200 a.C. el emperador chino Shu vio el cuadrado mágico de 3x3 en el caparazón de una tortuga en el río Lo, en el libro I-CHING . Lamentablemente, en nuestros tiempos las fábricas de tortugas no utilizan estampados tan bonitos.

5. COMIENZO Aparentemente, el primer texto en que se muestra un cuadrado mágico, es un manuscrito árabe del Siglo VIII. El cuadrado mostrado es de 3x3, y el autor se lo atribuye a Apolonio de Tiana, que vivió en el Siglo I.

6. INDIA En Khajuraho (India) un templo construido entre los siglos XI y XII tiene un pilar rodeado por una cuadrícula con un cuadrado mágico de orden 4 el cual sería equivalente traduciendo los caracteres- a la siguiente imagen:

7. ÁRABES Los matemáticos árabes descubrieron los cuadrados mágicos por contacto con esta tradición hindú y también se sintieron fascinados por sus características y, probablemente los difundieron por Occidente durante la Edad Media.

8. SIGLOS XIV, XV y XVII

9. Parece ser que los cuadrados mágicos fueron introducidos en Europa por el gramático bizantino Moschopoulos, en el Siglo XIV. Se ha encontrado un manuscrito suyo en el que da varios cuadrados de lado 4n y de lado impar, dando un procedimiento general para construirlos, por un lado, mientras que por otro, muestra un cuadrado de 6x6 sin aportar el método por el cual lo obtuvo.

10. DURERO, ALBERTO El gran artista Alberto Durero fue también un distinguido matemático que publicó en 1.525 un tratado sobre la perspectiva, la geometría en tres dimensiones y las secciones cónicas titulado “Introducción a la medida con compás y regla”, en el cual se describe una cicloide por primera vez. Además incluyó en su obra “Melencolia-1” uno de los cuadrados mágicos más conocidos y que más han fascinado a los estudiosos del tema.

11. CORNELIUS, AGRIPPA Construyó casilleros para n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 los cuales asoció con los siete planetas entonces conocidos (incluyendo el Sol y la Luna). Melancholia, el famoso grabado de Dürero hecho en 1514 incluye una imagen de un cuadrado mágico. en "De oculta philosophia libri tres" (Colonia, 1533), da cuadrados mágicos desde 3x3 hasta 9x9, tanto en cifras arábigas como en caracteres hebreos, y los llama tabulae Saturni, Jovis, Martis, Solis, Veneris, Mercurii, Lunae

14. CURIOSIDADES Durante la Edad Media los cuadrados mágicos se grababan en láminas de plata como amuletos contra la peste negra. Los astrólogos los aconsejaban como amuletos protectores, precisamente, contra la melancolía

15. SIGLO XVIII Euler, en "De quadratis magicis" (1776) y en "Recherches sur une nouvelle espece des carrés magiques (1782) se ocupa de los cuadrados llamados eulerianos y propone el famoso problema de los n2 soldados, e intenta demostrar su imposibilidad para n=6

16. ACTUALIDAD Fue comprobado en 1900 por Tarry mediante un método bastante brutal: la enumeración exahustiva. La conjetura de Euler de que la solución era imposible para n>6 fue destruida en 1959. En el Siglo XIX, importantes avances fueron obtenidos por Lucas, Tarry, y Rouse Ball. Finalmente, en el Siglo XX, la atención de los matemáticos que se ocuparon del tema, se centró en la estructura y la contabilización de los cuadrados, obteniéndose prodigiosos resultados

17. La conjetura de Euler de que la solución era imposible para n>6 fue destruida en 1959. En el Siglo XIX, importantes avances fueron obtenidos por Lucas, Tarry, y RouseBall. Finalmente, en el Siglo XX, la atención de los matemáticos que se ocuparon del tema, se centró en la estructura y la contabilización de los cuadrados, obteniéndose prodigiosos resultados.

18. CLASIFICACIÓN Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columna. Así, uno con 5 celdas se dice que es de quinto orden. No existen cuadrados mágicos de orden 2. Aunque todos los matemáticos han reconocido siempre la falta de aplicaciones de los cuadrados mágicos, algunos se han ocupado de ellos con mucha atención: el mérito y gracia del juego está en su insospechada dificultad

19. CUADRADO MAGICO DE ORDEN TRES Si a, b y c son tres números enteros cualesquiera, la siguiente disposición muestra la forma general de un cuadrado mágico de orden 3:

20. TIPOS DE CUADRADOS CUADRADO SEMIMÁGICO m2 números dispuestos en un cuadrado de m casillas de lado, de forma que la suma de los números sea la misma en cada fila y columna del cuadrado. CONSTANTE DEL CUADRADO En un cuadrado mágico o semimágico, la suma de los números en cada hilera del cuadrado. La representaremos usualmente como K. CUADRADO N-MÁGICO Cuadrado mágico que se mantiene mágico al elevar a la n-ésima potencia todos sus números. CUADRADO DIABÓLICO Cuadrado mágico en el que la suma de todas las diagonales (inclusive las truncadas) es igual a la constante del cuadrado.

21. POR SU ATENCIÓNGRACIAS ….