O documento descreve o método de resolução da flexão composta em seções retangulares de concreto armado utilizando ábacos adimensionais. Inicialmente apresenta a modelagem da seção retangular simétrica e os parâmetros necessários para a análise. Em seguida, explica como os valores de esforço normal e momento fletor resistentes são obtidos a partir dos domínios de deformação do concreto e aço. Por fim, demonstra a construção dos gráficos de esforços reduzidos e a obtenção da taxa de armad

1. RESOLUÇÃO DA FLEXÃO COMPOSTA COM O USO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA SEÇÕES
RETANGULARES
Sendo uma seção retangular com armadura simétrica, em que y é um eixo de simetria e as
armaduras As e As
’
são iguais e estão dispostas simetricamente em relação a este eixo.
Aplicando-se na seção os diversos valores possíveis das deformações específicas do concreto
(εc) e do aço (εs), pertencentes aos seis domínios de deformação, chega-se aos valores dos
esforços resistentes de cálculo Nd e Md. É possível construir gráficos de Nd x Md, ou então de υ
x μ (valores reduzidos adimensionais que serão definidos mais adiante), resultando em curvas
que têm formas similares às das apresentadas nos ábacos 1 a 6. Para uma determinada
quantidade de armadura, a cada par (εc, εs) corresponde um par de valores resistentes (Nd,
Md).
É importante destacar que, se a quantidade de armadura for alterada (para a mesma seção), a
curva Nd x Md também será modificada, porém terá forma semelhante à anterior (se a
quantidade de armadura for menor, a nova curva estará contida na anterior e, se for maior,
conterá a inicial), conforme também se indica nos ábacos citados. Deve-se apenas ter o
cuidado de usar as variáveis em termos adimendionais, como é usual na análise de solicitações
normais em seções de concreto armado, empregando-se os esforços reduzidos υ, μ e a taxa
mecânica de armadura ω, definidos por:
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
;
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
;
 ω =
As∙fyd
b∙h∙fcd
;
Sendo:
x
y
As
’
= As
As
b
d’
d’
h
Seção retangular com armadura simétrica, submetida à flexão composta
normal
N
Mx

2.  b e h: dimensões da peça;
 υ: forma adimensional da força normal;
 μ: forma adimensional do momento na direção x;
 ω: taxa mecânica de armadura em relação à área da seção
RESOLUÇÃO DA FLEXÃO COMPOSTA OBÍQUA COM O USO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA
SEÇÕES RETANGULARES
Nas situações de flexão composta oblíqua, além da força normal Nd, há o momento solicitante
de cálculo Md, que pode ser representado por suas duas componentes Mxd (vetor momento na
direção do eixo x) e Myd (vetor momento na direção do eixo y), referidas a um sistema de eixos
ortogonais (x,y) paralelos aos lados do retângulo.
A mesma seção pode também ser apresentada com força normal Nd, ocupando uma posição
fora do centro da seção, com as coordenadas ex e ey, e neste caso:
 Mxd = Nd ∙ ex;
 Myd = Nd ∙ ey
Essas equações também podem ser expressas em termos adimensionais, como é usual na
análise de solicitações normais em seções de concreto armado, pelos esforços reduzidos υ, μx,
μy e pela taxa mecânica de armadura ω:
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
;
x
y
As
’
= As
As
b
d’
d’
h
Momentos fletores atuantes em uma seção retangular sob flexão composta
oblíqua
Nd
Myd
Mxd

3.  μx =
Mxd
b∙h2∙fcd
= υ ∙
ex
h
;
 μy =
Myd
b∙h2∙fcd
= υ ∙
ey
b
 ω =
As∙fyd
b∙h∙fcd
TAXAS DE ARMADURA:
São definidos dois tipos diferentes de taxas de armadura:
- a taxa geométrica de armadura; e
- a taxa mecânica de armadura
A taxa geométrica de armadura é a relação entre a área da seção da armadura e a área da
seção do concreto que a envolve.
ρ =
As
Ac
A taxa mecânica de armadura é a relação entre a resistência de cálculo da armadura e a
resistência de cálculo do concreto que a envolve.
ω =
Nsd
Ncd
=
As ∙ fyd
Ac ∙ fcd
EXEMPLOS DE CÁLCULO
EXEMPLO 1
Considerando que as taxas geométricas de armadura mínima e máxima em uma seção
transversal sejam respectivamente 0,5% e 4%, calcular os valores correspondentes de ω (taxa
mecânica de armadura) para aço CA-50 e concretos com fck variando de 20 MPa até 40 MPa.
A taxa mecânica de armadura é obtida por:
ω =
As∙fyd
Ac∙fcd
A taxa geométrica, por sua vez, por meio de:
ρ =
As
Ac
para a taxa geométrica mínima tem-se:

4. ω =
0,5
100
∙
500 1,15⁄
20 1,4⁄
=
500∙1,4
20∙1,15
= 0,15
para a taxa geométrica máxima tem-se:
ω =
4
100
∙
500 1,15⁄
20 1,4⁄
=
500∙1,4
20∙1,15
= 1,217
com base nas expressões podemos construir uma tabela que fornece todos os resultados
obtidos.
fck (MPa) ωmín = 0,5% ∙ fyd/fcd ωmáx = 4% ∙ fyd/fcd
20 0,152 1,217
25 0,122 0,974
30 0,101 0,812
35 0,087 0,696
40 0,076 0,609
EXEMPLO 2
Calcular a quantidade de armadura necessária As (considerada simétrica) para uma seção
transversal retangular, com d’
= 3 cm, fck = 30 MPa, aço CA – 50 e momento atuante Mx = 70,29
kN.m.
‘
Resolução:
Apesar de se tratar de flexão simples (momento fletor sem força normal), mas em razão da
armadura ser simétrica, deve ser usado o ábaco A 1-b, por ter: d’
/h=3/30=0,10, com os
seguintes valores de entrada:
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
= 0(não há força normal)
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
=
1,4∙70,29
0,20∙0,302∙(
30000
1,4
)
= 0,255
no ábaco obtém-se ω=0,61. Com este valor, determina-se As
x
As/2
As/220
N
Mxd
3
3
30
y

5.  ω =
As∙fyd
b∙h∙fcd
⇒ As =
ω∙b∙h∙fcd
fyd
=
0,61∙20∙30∙30/1,4
500/1,15
= 18cm²
ao ser resolvido como se existisse apenas armadura tracionada, pode-se usar a tabela de
flexão normal simples.
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀 𝑑
b∙d2∙fcd
=
1,4∙70,29
0,20∙0,272∙(
30000
1,4
)
= 0,315, com esse valor e entrando na
tabela encontraremos:
 εs = 2,2 > εyd = 2,07; KZ = 0,7544, conforme se vê na tabela abaixo

6. Portanto:
As =
Md
KZ ∙ d ∙ fyd
=
1,4 ∙ 70,29
0,7544 ∙ 0,27 ∙ (
50
1,15
)
= 11,11cm²
Como se observa, quando se considerou somente armadura tracionada, obteve-se
solução mais econômica (11,11 cm²) que a do exemplo anterior (18 cm²), em que se
empregou armadura dupla simétrica.
EXEMPLO 3
Verificar se possível a aplicação de uma força normal de compressão na seção do
exemplo anterior, de maneira que a quantidade da armadura, ainda simétrica, seja
menor.
Observando o ábaco A 1-b, percebe-se qu, usando a ordenada μ=0,255 e passando um
segmento de reta vertical, o menor valor de taxa de armadura obtido é ω=0,4 que
corresponde à ordenada vertical υ=0,4 e, portanto:

7.  υ =
Nd
b∙h∙fcd
=
1,4∙N
0,2∙0,3∙(
30000
1,4
)
= 0,4 ⇒ N = 367 kN
a armadura necessária é a correspondente a ω=0,4:
portanto:
As =
ω ∙ b ∙ h ∙ fcd
fyd
=
0,41 ∙ 20 ∙ 30 ∙ 30/1,4
500/1,15
= 11,8cm²
Com redução de :
r = (1 −
11,8
18
) ∙ 100 = 34,4%

8. a força de compressão poderia ser, por exemplo, uma força de protensão. É interessante
observar que, somente nessa região do ábaco, a qual corresponde à parte do domínio 2 e
ao domínio 3, é que se tem a possibilidade da diminuição da armadura com a introdução
da força de compressão.
EXERCÍCIO
Para a mesma seção transversal, utilizando o mesmo ábaco, calcular a quantidade de
armadura simétrica necessária para as situações de esforços dadas na tabela abaixo.
Situação N (kN) Mx(kN ∙ m)
1 -276 0
2 0 110
3 367 110
4 643 55
5 367 28
6 1010 55
7 937 0
EXEMPLO 4
Calcular as armaduras para as seções A e B, da figura abaixo, para as seguintes situações, fck =
30 MPa e Aço CA-50:
a) N = 918 kN e M = 28 kNm;
b) N = 918 kN e M = 56 kNm;
Trata-se de resolver a mesma seção submetida a um par de esforços, sendo que, em um caso,
se usa cobrimento que resulta d’
=3 cm e, no outro, um cobrimento maior, resultando um valor
final d’
= 7,5 cm, e assim se tem:
Seção A: d’
= 3,0 cm => d’
/h = 3,0/30 = 0,10 → ábaco A 1-b;
x
As/2
As/220
N
Mxd
3
3
30
yA
x
As/2
As/2
20
N
Mxd
7,5
7,5
30
y
B

9. Seção B: d’
= 7,5 cm => d’
/h = 7,5/30 = 0,25 → ábaco A 1-e.
Os valores para entrada nos ábacos
1) Situação a); com seção A – ábaco A 1-b, devido d’
/h = 3,0/30 = 0,1
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
=
1,4∙918
0,2∙0,3∙(
30000
1,4
)
= 0,9996 ≅ 1,0
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
=
1,4∙28
0,20∙0,302∙(
30000
1,4
)
= 0,101
 ω = 0,39
 As =
ω∙b∙h∙fcd
fyd
=
0,39∙20∙30∙30/1,4
500/1,15
= 11,53cm²
2) Situação b); com seção A – ábaco A 1-b, devido d’
/h = 3,0/30 = 0,1
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
=
1,4∙918
0,2∙0,3∙(
30000
1,4
)
= 0,9996 ≅ 1,0
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
=
1,4∙56
0,20∙0,302∙(
30000
1,4
)
= 0,203
 ω = 0,65
 As =
ω∙b∙h∙fcd
fyd
=
0,65∙20∙30∙30/1,4
500/1,15
= 19,22cm²
3) Situação a); com seção B – ábaco A 1-e, d’
/h = 7,5/30 = 0,25
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
=
1,4∙918
0,2∙0,3∙(
30000
1,4
)
= 0,9996 ≅ 1,0
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
=
1,4∙28
0,20∙0,302∙(
30000
1,4
)
= 0,101
 ω = 0,46
 As =
ω∙b∙h∙fcd
fyd
=
0,46∙20∙30∙30/1,4
500/1,15
= 13,60cm²
4) Situação b); com seção B – ábaco A 1-e, d’
/h = 7,5/30 = 0,25
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
=
1,4∙918
0,2∙0,3∙(
30000
1,4
)
= 0,9996 ≅ 1,0
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
=
1,4∙56
0,20∙0,302∙(
30000
1,4
)
= 0,203
 ω = 0,9
 As =
ω∙b∙h∙fcd
fyd
=
0,9∙20∙30∙30/1,4
500/1,15
= 26,60cm²

10. Situação/seção ábaco N (kN) M (kNm) υ μ ω As(cm²)
a-A A 1-b 918 28 1,0 0,1 0,39 11,53
b-A A 1-b 918 56 1,0 0,2 0,65 19,22
a-B A 1-e 918 28 1,0 0,1 0,46 13,60
b-B A 1-e 918 56 1,0 0,2 0,9 26,60
EXERCÍCIO
Faça a correspondente análise, realizada no exemplo numérico 4, para os seguintes valores:
dados fck = 25 MPa e Aço CA-50
a) N = 1300 kN; M = 40 kNm
b) N = 1300 kN; M = 80 kNm
EXEMPLO 5
A seção transversal retangular dada na figura abaixo está submetida aos esforços N =
804 kN e Mx = 40 kNm. Calcular o valor de b para ρ = (As/Ac) = 2%, fck = 30 MPa e aço
CA-50
x
As/2
As/225
N
Mxd
2,5
2,5
50
yA
x
As/2
As/2
25
N
Mxd
10
10
50
y
B
x
As/2
As/2b
N
Mxd
3
3
30
y

11. Como se trata de seção retangular com d’/h = 3/30 = 0,10, submetida à flexão
composta normal, emprega-se o ábaco A-1b. o valor de ω para a solução do problema
é dado por:
 ω =
As∙fyd
Ac∙fcd
=
2
100
∙
500∙1,4
30∙1,15
= 0,40
Os valores de υ e μ, embora não possam ser calculados, guardam uma relação entre si
dada por:
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
=
Nd∙𝑒
b∙h2∙fcd
= e ∙
υ
h
A excentricidade da carga é dada por:
 𝑒 =
M
N
=
40
804
= 0,05 m
Desse forma, a solução pode ser obtida graficamente, como mostrado no ábaco A-1b.
marca-se no ábaco o ponto com ordenadas μ1 e υ1 de maneira que a relação entre elas
seja dada por:
 μ1 = 0,05 ∙
υ
0,3
= 0,167 ∙ υ1
Obtém-se assim o ponto A. Traçando-se um segmento de reta da origem O até o ponto
A, corta-se a curva de ω=0,4 no ponto K, que é a solução do problema. Assim é possível
determinar o valor da ordenada do ponto que permite obter o valor de b requerido.
Dessa maneira chega-se a υ=0,86, a partir do qual obtém-se o valor de b:
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
⟹ 𝑏 =
Nd
υ∙h∙fcd
=
804∙1,4
0,86∙0,30∙(
30000
1,4
)
= 0,2 ⟹ 𝑏 = 0,20 𝑚
EXEMPLO 6
Calcular a armadura para a seção transversal da figura abaixo, para os esforços
solicitantes N = 918 kN e My = 28 kNm. Considerar fck = 30 MPa e aço CA-50.
x
As/2
As/220
N
3
3
30
y
4

12. Neste caso tem-se d’/h = 4/20 = 0,20 e o momento My. o ábaco a ser empregado é o ábaco 6,
com os seguintes valores de entrada:
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
=
1,4∙918
0,3∙0,2∙(
30000
1,4
)
= 0,9996 ≅ 1,0
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
=
1,4∙28
0,3∙0,22∙(
30000
1,4
)
= 0,15
com υ = 1,0 e μ = 0,15 resulta, no ábaco 6, o valor de 0,75
 ω = 0,75
 As =
ω∙b∙h∙fcd
fyd
=
0,75∙20∙30∙30/1,4
500/1,15
= 22,2cm²
Utilizando o ábaco A-29, da apostila do professor Wilson Sérgio Venturini,
relação d’/h = 4/20 = 0,2, teremos os seguintes valores de entrada:
 υ =
Nd
b∙h∙fcd
=
1,4∙918
0,2∙0,3∙(
30000
1,4
)
= 0,9996 ≅ 1,0
 μ =
Md
b∙h2∙fcd
=
1,4∙28
0,30∙0,202∙(
30000
1,4
)
= 0,15

13.  ω = 0,69
As =
ω ∙ b ∙ h ∙ fcd
fyd
=
0,69 ∙ 20 ∙ 30 ∙ 30/1,4
500/1,15
= 20,40cm²