cuadripolos

1.
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario
Prof. Ing. Raúl Bianchi Lastra
Cátedra: Teoría de la Transmisión de la Energía Eléctrica
CONTENIDO
Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario. .................................................................................. 2
Introducción ............................................................................................................................................................................................................................. 2
Constantes del cuadripolo .................................................................................................................................................................................................. 2
Modelos de cuadripolos ...................................................................................................................................................................................................... 3
Cálculo de los parámetros del cuadripolo ............................................................................................................ 3
Modelos Simplificados. ....................................................................................................................................... 7
Equivalente ‘π’ de una línea corta. .................................................................................................................................................................................. 8
Equivalente ‘π’ de una línea media ................................................................................................................................................................................. 8
Equivalente ‘π’ de una línea larga ................................................................................................................................................................................... 9
Operaciones con cuadripolos .............................................................................................................................. 9
Cuadripolos en serie ............................................................................................................................................................................................................. 9
Cuadripolos en paralelo ................................................................................................................................................................................................... 10
Elementos sencillos ............................................................................................................................................................................................................ 10
Casos particulares ............................................................................................................................................ 11
Línea ‘adaptada’ ................................................................................................................................................................................................................... 11
Línea sin pérdidas, adaptada. ........................................................................................................................................................................................ 12
Potencia Natural .................................................................................................................................................................................................................. 12
Cálculo del flujo de potencia. ............................................................................................................................ 13
Diagrama de circulo ........................................................................................................................................................................................................... 14

2.
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Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario.
Introducción
El modelo adecuado de una línea depende del tipo de estudio para el cual se lo usará, y en
el caso de una línea de transmisión funcionando en régimen estacionario, ésta puede ser
representada mediante un circuito equivalente con parámetros ‘concentrados’.
El análisis de la línea en este estado tiene generalmente dos objetivos:
 Determinar la caída de tensión (relacionado con la calidad de servicio)
 Determinar las pérdidas, regulación de tensión, etc. (aspecto económico)
Si sólo nos interesan los valores de tensión y corriente a ambos extremos de la línea, y a
una frecuencia determinada (por ejemplo 50 Hz) el modelo más sencillo de la línea es un
cuadripolo con parámetros concentrados.
Siendo la relación entre tensión y corriente en ambos extremos la siguiente:
U
.
1s  U
.
2s A  I
.
2 B
I
.
1  U
.
2s C  I
.
2 D
[1]
En donde A, B, C y D se denominan ‘constantes del cuadripolo’ y son en general valores
complejos. Las tensiones en la Ec. [1] son tensiones fase‐tierra. El punto sobre la U e I
indica además que se tratan de fasores. Si el sistema en análisis es trifásico, simétrico y
equilibrado, el análisis puede realizarse empleando un modelo monofásico.
Además, por ser un circuito pasivo y simétrico, se cumple que:
A  D
AD BC 1
Constantes del cuadripolo
A partir de las ecuaciones de la línea real:
U
.
1s  U
.
2s cosh( l)  I
.
2 Zc
sinh( l)
I
.
1  U
.
2s
sinh( l)
Zc
 I
.
2 cosh( l)
[2]

3.
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Comparando las relaciones [1] y [2], se deduce el valor de las constantes ABCD del
cuadripolo que representa exactamente a la línea a una frecuencia determinada.
A  cosh( l); B  Zc
sinh( l)
C 
sinh( l)
Zc
; D  A  cosh( l)
[3]
siendo     j  zy la llamada ‘constante de propagación’ (aunque en realidad sólo es
constante a una frecuencia dada).
Modelos de cuadripolos
Un cuadripolo puede representarse con un circuito ‘π’ ó ‘T’ de parámetros concentrados,
según se muestra en la siguiente figura.
Figura 1. Cuadripolos ‘π’ y ‘T’
Una aplicación típica de modelos de líneas como cuadripolos con elementos concentrados
en la resolución de flujos de carga, en donde se prefiere el circuito ‘π’ en lugar del ‘T’ dado
que este último tiene un nodo adicional, lo cual incrementa innecesariamente la dimensión
de las matrices, y consecuentemente del tiempo de cálculo.
Independientemente del circuito utilizado para representar al cuadripolo, es posible
obtener los valores de impedancia (Z) y admitancia (Y) en función de las constantes ABCD
del cuadripolo y viceversa.
Cálculo de los parámetros del cuadripolo
Figura 2
Si optamos entonces por un circuito ‘π’ para representar al cuadripolo (y
consecuentemente a la línea), aplicando la ley de Kirchhoff al circuito de la Figura 2a,
resulta:

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U1  U2  Z IL con IL  I2 
U2Y
2
U1  U2
Y
2
 I2





 Z  U2
U1 
ZY
2
1





U2  Z I2
I1  Y  1
ZY
4





U2  1
ZY
2





 I2
recordando que:
U1s
 AU2s
 BI2
I1
 CU2s
 DI2
se obtiene finalmente los valores de las constantes ABCD en función de Z e Y
A 
Z
Y
2
1






B  Z
C  Y
 1
Z
Y
4






D  A  1
Z
Y
2






[4]
Comparando [2] y [4]
A  cosh(l) 
ZY
2
1
B  Zc sinh(l)  Z
con Zc

z
y

z
z
 z
1
zy

z


l
l

Z
 l
; y
1
Zc

y
z

y
y
 y
1
zy

y


l
l

Y
 l

Y
2

1
 l
2
haciendo
Y
2

cosh( l) 1
Z

cosh( l) 1
Zc
sinh( l)

1
Zc
tanh
 l
2




se llega a las siguientes equivalencias:

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Z  Z 
sinh(l)
l
Y
2

Y
2

tanh l
2




l
2
[5]
Por lo tanto, los parámetros de circuito ‘π’ son los indicados en la siguiente figura:
en donde Z e Y son la impedancia y admitancia total de la línea.
Es de hacer notar que γl es directamente proporcional a la frecuencia y a la longitud de la
línea, y si γl << 1 entonces sinh l  l 1, y también tanh 1
2 l  1
2 l por lo que Zπ≈Z y
Yπ/2≈Y/2.
Para frecuencia bajas y/o para líneas cortas los términos hiperbólicos son prácticamente
igual a la unidad.
Para frecuencia altas y/o líneas larga, se considera a los términos hiperbólicos como
‘factores de corrección’ (cercanos a 1) por el cual debe multiplicarse la impedancia (ó
admitancia) total de la línea para obtener la impedancia (ó admitancia) exacta del circuito
‘π’.
La Figura 3 muestra la variación de los términos hiperbólicos en función de la longitud de
la línea, para una frecuencia de 50 Hz.

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Figura 3
Los graficos de la Figura 4 muestran como difieren la resistencia, reactancia y admitancia
del circuito ‘π’ exacto (en color verde), con respecto a los mismos parámetros del circuito
‘π nominal’ (en azul), es decir, del obtenido al despreciar los términos hiperbólicos. Se
observa que el error en la impedancia es de signo contrario que en la admitancia, es decir,
en la impedancia se comete un error ‘por exceso’ mientras que en la admitancia es ‘por
defecto’ si no se utiliza el circuito ‘π’ exacto para lineas largas.
Figura 4
En la Figura 5 se grafica la variación del error en función de la longitud de la línea, y a
50 Hz. El mayor error es en la resistencia, luego en la reactancia y el menor de todos es en
la admitancia.

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Figura 5
Es de notar que, para el caso de líneas aéreas en donde  =  ,   j, con   6º 100km ,
con lo que el error porcentual en función de la longitud de la línea es prácticamente igual
para cualquier línea, independiente de su tensión nominal.
Del gráfico de la Figura 5 se desprende entonces que para líneas de hasta 132 kV, las cuales
raramente exceden los 100 km de longitud, pueden despreciarse en la práctica los
términos hiperbólicos.
Modelos Simplificados.
En función de la longitud de la línea, y sólo para análisis de 50 Hz, puede considerarse que
ésta es ‘corta’, ‘media’ o ‘larga’ según los siguientes criterios:
Línea corta: es cuando puede despreciarse su admitancia transversal. Es en general
razonable considerar así a las líneas de longitud inferior a 80 km
aproximadamente, o de hasta 132 kV.
Línea media: para longitudes de 80 a 250 km, en donde no es correcto despreciar su
admitancia, aunque todavía puede considerarse a los términos hiperbólicos
iguales a la unidad.
Línea larga: son aquellas líneas de longitud mayor a 250 km, en donde no se puede
despreciar los términos hiperbólicos, y por lo tanto debe utilizarse el circuito
‘π’ exacto.
Es de mencionar sin embargo que los términos ‘corta’, ‘media’ y ‘larga’ no están únicamente
asociados a la longitud en km de la línea, sino que también hay que considerar la frecuencia
a la cual se utilizará el modelo. Así para una línea de 50 km de longitud deberá utilizarse un

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modelo de ‘línea larga’ si el análisis del comportamiento de la línea se hará a 5000 Hz, por
ejemplo.
Equivalente ‘π’ de una línea corta.
Dado que para una línea ‘corta’ puede despreciarse su admitancia transversal Y, el circuito
‘π’ de la misma se transforma en el siguiente:
Con una simple inspección del mismo, se deduce que:
U1  U2  ZI2
I1  I2
y por lo tanto las constantes del cuadripolo serán:
A 1
B  Z
C  0
D  A 1
Equivalente ‘π’ de una línea media
U1
 U2
 ZIL
con IL
 I2

U2
Y
2
U1
 U2
Y
2
 I2



  Z U2
U1

ZY
2
1



 U2
 ZI2
I1
 Y  1
ZY
4



 U2
 1
ZY
2



  I2
con lo cual se deduce que:

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A 
ZY
2
1






B  Z
C  Y  1
ZY
4






D  A  1
ZY
2






Equivalente ‘π’ de una línea larga
U1  U2 coshl  I2Zc sinhl
I1 
U2
Zc
sinhl  I2 coshl
por lo tanto:
A  coshl
B  Zc sinhl
C 
1
Zc
sinhl
D  A
Operaciones con cuadripolos
Cuadripolos en serie

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U
.
1
I
.
1









A1 B1
C1 D1





 U
.
I
.








U
.
I
.









A2 B2
C2 D2






U2
.
I2
.








U
.
1
I
.
1









A1 B1
C1 D1






A2 B2
C2 D2






U2
.
I2
.








U
.
1
I
.
1









A1A2  B1C2  A1B2  B1D2 
C1A2  D1C2  C1B2  D1D2 






U2
.
I2
.








U
.
1
I
.
1









A B
C D






U2
.
I2
.








por lo tanto:
A  A1A2  B1C2
C  C1A2  D1C2
B  A1B2  B1D2
D  C1B2  D1D2
Cuadripolos en paralelo
A 
A1B2  A2B1
B1  B2
C  C1  C2 
A1  A2  D2  D1 
B1  B2
B 
B1B2
B1  B2
D 
B1D2  D1B2
B1  B2
Elementos sencillos
Elementos sencillos del sistema de transmisión pueden representarse también como
cuadripolos:

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U1  U2 
A 1
B  0



I1  U2Y  I2 
C  Y
D 1



I1  I2 
C  0
D 1



U1  U2  IZ 
A 1
B  Z



Casos particulares
Línea ‘adaptada’
La línea se considera ‘adaptada’ cuando la impedancia de carga (Z2) es igual a su
impedancia característica (Zc).
La impedancia característica de una línea real es compleja, con la parte imaginaria
negativa.
U(x)  U2 coshx  I2Zc sinhx
I(x) 
U2
Zc
sinhx  I2 coshx
y como U2  I2Z2, reemplazando en la expresión anterior tendremos:
U(x)  I2Z2 coshx  I2Zc sinhx
I(x) 
I2Z2
Zc
sinhx  I2 coshx
con lo cual:
Z(x) 
U(x)
I(x)
 Zc 
Z2 coshx  Zc sinhx
Z2 sinhx  Zc coshx






si Z2  Zc resulta finalmente que:

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 Z(x) 
U(x)
I(x)
 Zc 
U2
I2
por lo tanto, cuando la impedancia de carga de la línea es igual a su impedancia
característica, le relación entre tensión y corriente en cualquier punto de la línea es igual a
la relación entre tensión y corriente en la carga.
Línea sin pérdidas, adaptada.
Si la resistencia de la línea es nula, el factor de atenuación α es cero y por lo tanto resultará
que:
cosh( x)  cosh(x  jx)  cosh(x)cos(x)  jsinh(x)sin(x)
sinh( x)  sinh(x  jx)  sinh(x)cos(x)  jcosh(x)sin(x)
Si   0 
cosh( x)  cosx
sinh( x)  jsinx



partiendo de las ecuaciones de la tensión y corriente en cualquier punto de la línea,
U(x)  U2 cosx  jI2Zc sinx
I(x)  j
U2
Zc
sinx  I2 cosx
y considerando Z2  Zc  I2 
U2
Zc
tendremos finalmente que:
U(x)  U2  cosx  jsinx  U2x
I(x)  I2  cosx  jsinx  I2x




Es decir, el perfil de tensión de la línea es ‘plano’. La tensión en cualquier punto de la línea
es igual en módulo a la tensión en el recibo, sólo cambia la fase.
Dado que la línea es sin pérdidas, Zc es puramente resistiva, y por lo tanto U(x) e I(x) están
en fase.
Potencia Natural
Es la potencia en la carga cuando su impedancia es igual a la impedancia característica de la
línea:
Pnat
 3U2s
I2
*

3U2s
2
Zc

U2nom
2
Zc

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Para el caso de una línea ideal, la Zc es resistiva pura, y por lo tanto el reactivo de la carga
es nulo.
En la bibliografía de lengua inglesa, a la potencia natural se la expresa con las siglas ‘SIL’
por ‘Surge Impedance Loading’
Además,
Zc
 Z2

U2
I2

L
C
Zc
2

U2
I2






2

L
C


I2
2
L  U2
2
C
lo cual indica que para la línea cargada con su potencia natural, la energía del campo
magnético en la inductancia de la línea es igual a la energía del campo eléctrico, por lo que
la línea no demanda potencia reactiva del sistema.
 Para P = Pnat no hay demanda de reactivo
 Si P > Pnat la línea demanda potencia reactiva inductiva
 Si P < Pnat la línea demanda potencia reactiva capacitiva
Cálculo del flujo de potencia.
El cuadripolo equivalente de la línea puede utilizarse para calcular la potencia activa y
reactiva en uno de sus puertos, si son conocidas la tensión y corriente en el otro puerto.
Partiendo de las ecuaciones del cuadripolo:
U1s  AU2s  BI2
I1  CU2s  DI2
despejando I2 de la primera, tendremos que:
I2

U1s
 AU2s
B

U1s
B

AU2s
B

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siendo además S2  3 U2s  I2
*
, llegamos finalmente a la expresión de la potencia activa y
reactiva en el extremo de recibo, en función de las tensiones en ambos extremos:
P2

U1
U2
B
cos(b  ) 
A U2
2
B
cos(b  a)
Q2

U1
U2
B
sin(b  ) 
A U2
2
B
sin(b  a)
en donde A  Aa, B  Bb, D  Dd y δ es el ángulo entre la tensiones U1 y U2 que en
estas expresiones son las tensiones entre fases en los extremos (NO fase‐tierra).
De la misma forma podemos obtener la expresiones de las potencia en el extremo de envío,
las cuales resultan:
P1 
D U1
2
B
cos(b  d) 
U1 U2
B
cos(b  )
Q1 
D U1
2
B
sin(b  d) 
U1 U2
B
sin(b  )
Diagrama de circulo
Se observa en las expresiones anteriores que tanto la potencia activa como la reactiva
resultan expresadas como la resta de dos fasores, los cuales pueden graficarse en un plano
complejo cuyos ejes son P y Q, tal como se muestra en la Figura 6
Se observa en la figura que la posición
del fasor ‘O‐N’ no cambia si se mantiene
constante el módulo U2.
La posición del fasor ‘O‐M’ cambiará sin
embargo con la variación de la potencia
de la carga P2+jQ2.
Si se asume que el módulo de U1
también es constante, el módulo del
fasor ‘O‐M’ también será constante, pero
no así su ángulo, el cual dependerá de δ,
el desfasaje entre las tensiones U1 y U2.
El lugar geométrico del punto ‘M’ será
entonces un circulo de radio ‘O‐M’ y
centro en ‘O’, y de aquí el nombre del
diagrama.
Se deduce por lo tanto del diagrama
que, con los módulos de U1 y U2 constantes, el efecto de la variación de P2 y/o Q2 será
únicamente una variación del ángulo δ, es decir, del desfasaje entre las tensiones U1 y U2.
Figura 6. Diagrama de círculo.

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Un aumento de P2 deberá además estar acompañado por una disminución de Q2 para que el
punto ‘M’ permanezca en el circulo, y viceversa.
Es importante destacar además que, para un par de valores de U1 y U2 (los cuales no
difieren mucho entre sí), existe un límite máximo para la potencia activa que se puede
transmitir P2,max, el cual ocurre cuando δ=b. Cualquier incremento adicional de δ producirá
una reducción en la potencia transmitida.
P2,max

U1
U2
B

A U2
2
B
cos(b  a)
Sin embargo, la transmisión de ésta potencia máxima también producirá una elevada
demanda de reactivo, es decir, de compensación, a la vez que pueden existir límites de
transmisión inferiores debido a problemas térmicos o de estabilidad del sistema.

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ANEXO A ‐ Resumen
Z  Zc sinhl  Z
sinhl
l
Y
2

1
Zc
sinhl 
Y
2
tanhl
2
l
2