Límite infinito
Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes.
Si tomamos x cada vez mayor, f(x)...
Caso 2:
limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*
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Vemos que cuando x crece, 1/x tien...
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Límite infinito

  1. 1. Límite infinito Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes. Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito. Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito. Definición Límite infinito Caso 1: limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E* a,δ f(x) > A. El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A. En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf. x f(x) 100 1,0x10-4 1.000 1,0x10-6 10.000 1,0x10-8 100.000 1,0x10-10 1.000.000 1,0x10-12
  2. 2. Caso 2: limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E* a,δ f(x) < -A. Limites en el Infinito El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro. Uno entre infinito Empecemos por un ejemplo interesante. Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞ ? Respuesta: ¡No lo sabemos! La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto. A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1? De hecho 1/∞ es indefinido. ¡Pero podemos acercarnos a él! Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:
  3. 3. x 1/x 1 1.00000 2 0.50000 4 0.25000 10 0.10000 100 0.01000 1,000 0.00100 10,000 0.00010 Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0 Ahora tenemos una situación interesante:  No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito  Pero vemos que 1/x va hacia 0 Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0 Y lo escribimos así: En otras palabras: Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

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