1. ΕΝΑ ΢Τ΢ΣΗΜΑ ΜΕ ΔΤΟ ΒΑΘΜΟΤ΢
ΕΛΕΤΘΕΡΙΑ΢
Ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας (x,y) περιγράφεται
από την Lagrangian:
L
1
1

 
m(ax 2 2bxy cy 2 )
k (ax 2 2bxy cy 2 )
2
2
(1)
όπου a, b και c είναι σταθερές, με ac b2 . Να γραφούν οι
εξισώσεις κίνησης του συστήματος.
Από τη Λαγκρανζιανή (1), έχουμε:
L

x
1


m(2ax 2by)
2
 
m(ax by )
(2)
Οπότε:
d L
( )

dt x
 
m(ax by )
(3)
Και:
L
x
1
k (2ax 2by)
2
k (ax by)
(4)
Η εξίσωση Lagrange για τη συντεταγμένη x, είναι:
d L
( )

dt x
L
x
(5)
Η (5) μέσω των σχέσεων (3) και (4), γράφεται:
 
m(ax by)
k (ax by)
(6)

2. Ομοίως, για τη συντεταγμένη y είναι:
L

y
1


m(2bx 2cy )
2
d L
( )

dt y
L
y
 
m(bx cy )
 
m(bx cy )
1
k (2bx 2cy )
2
k (bx cy )
(7)
(8)
(9)
Η εξίσωση Lagrange για τη συντεταγμένη y είναι:
d L
( )

dt y
L
y
(10)
Μέσω των σχέσεων (8) και (9) η σχέση (10) γράφεται:
 
m(bx cy)
k (bx cy)
(11)
Έχουμε λοιπόν το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων:
 
m(ax by)
k (ax by)
(12.1)
 
m(bx cy)
k (bx cy)
(12.2)
Ακολούθως θα προσπαθήσουμε να «αποσυμπλέξουμε» τις
εξισώσεις (12.1) και (12.2). Για το σκοπό αυτό, αρχικά
πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (12.1) με b και έχουμε:

m(abx b2 )
y
k (abx b2 y)
Καθώς και τα δύο μέλη της (12.2) με a , οπότε:
(13.1)

3. 

m(abx acy)
k (abx acy)
(13.2)
Αφαιρώντας λοιπόν από την (13.1) την (13.2) βρίσκουμε:

m(b2  acy)
y
m(b2 ac) 
y
ή
k (b2 y acy)
k (b2 ac) y ,
οπότε με δεδομένο ότι: ac b2
έχουμε:

my
ky
(14)
Ομοίως, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (12.1) με c,
παίρνουμε:


m(acx bcy)
k (acx bcy)
(15.1)
Ενώ πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (12.2) με b, παίρνουμε:

m(b2  bcy)
x
k (b2 x bcy)
(15.2)
Αφαιρώντας λοιπόν κατά μέλη τις (15.1) και (15.2), έχουμε:

m(acx b2 )
x
m(ac b2 ) 
x
ή
k (acx b2 x)
k (ac b2 ) x ,
οπότε με δεδομένο ότι: ac b2
έχουμε:

mx
kx
(16)
Έτσι λοιπόν, οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του
συστήματος, είναι:

4. 
mx
kx
(17.1)

my
ky
(17.2)
Οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης αντιστοιχούν στην περίπτωση
ενός διδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή. Για ένα τέτοιο ταλαντωτή η
Lagrangian δίνεται από τη σχέση:
L T V
1

m( x 2
2

y2 )
1
k ( x2
2
y2 )
(18)
Οι Λαγκρανζιανές λοιπόν (1) και (18) οδηγούν στις ίδιες
εξισώσεις κίνησης.
(΢υγκρίνοντας τις (1) και (18), παρατηρούμε ότι η (18)
«αντιστοιχεί» στην (1), με a c 1 και b 0 ).
Μπορούμε να «βρούμε» και άλλες Λαγκρανζιανές ξεκινώντας
από την (1), οι οποίες μας δίνουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης. Έτσι
πχ. αν βάλουμε a
c
0 και b 1 , παίρνουμε:

L mxy kxy
(19)
Ένας άλλος τρόπος να «αποσυμπλέξουμε» τις (12.1) και (12.2)
είναι και ο εξής:
Με μορφή πίνακα, οι δύο εξισώσεις γράφονται:
a b
m
b c

x

y
a b
k
b c
x
y
Εφ’ όσον η διακρίνουσα του πίνακα
(20)
a b
, είναι μη
b c
μηδενική ( ac b2 ), υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Αυτός είναι:

5. 1
a b
b c
c
b
1
ac b 2
(21)
b
a
Πολλαπλασιάζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της (20) με τον
πίνακα (21), έχουμε:
m
ac b 2
a b
b c
c
b

x

y
b
a
k
ac b 2
a b
b c
c
b
b
a
x
y
ή
m
ac b2
ac b2
0

x

y
0
ac b2
k
ac b2
ac b2
0
0
ac b2
x
y
ή
1 0
m
0 1

x

y
1 0
k
0 1
x
y
(22)
Από την (22) παίρνουμε τις:

mx
kx

my
ky
(Δηλαδή τις (17.1) και (17.2), που βρήκαμε και προηγουμένως).
ΑΤΓΟΤ΢ΣΟ΢ 2013
ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢