Basic Concepts

2. SINTAXIS
• En la lengua la Sintaxis se dan en términos de un conjunto de símbolos
denominado alfabeto y un conjunto de reglas sintácticas. En este libro
suponemos que el alfabeto es contable (finito o infinito), con posibles
excepciones que se mencionan explícitamente cuando sea necesario.
• El alfabeto de una lógica consta de dos tipos de símbolos. Uno de ellos
son los símbolos de los lógicos, el otro son los no lógicos. Allí está
asociado con cada símbolo no lógico particular un número natural o 0,
la aridad correspondiente al símbolo. Las secuencias de esos “arities “
tienen importancia en la lógica, que se llama el tipo de la lengua.
• Una secuencia finita del alfabeto que tiene un significado (por
definición) se llama una fórmula. El conjunto de fórmulas se denota por
F y es de “ned “ por las reglas sintácticas.

3. SINTAXIS
• Además de las fórmulas, hay otras secuencias finitas del alfabeto que
tienen importancia, es decir, términos. Estas secuencias se usan para
construir fórmulas. La expresión del término abarca en términos y
fórmulas.
• Supongamos que en un lenguaje L se da un conjunto P de símbolos
(llamados fórmulas atómicas) y otro definido Cn (llamados conectores)
tales que para cada tejido conectivo c ∈ Cn tiene un número de
natural (rango) k. A continuación, el conjunto F de fórmulas
coinciden con el más pequeño ajuste satisfactorio las condiciones (I) y
(II) a continuación:
(I) P ⊆ F,
(II) c( ∝ 𝟏, … ∝ 𝒌 ) ∈ F, donde ∝ 𝟏, … ∝ 𝒌, es una fórmula arbitraria
a F y el conectivo c tiene el rango k.

4. SINTAXIS
• La terminología lógica del lenguaje(o lenguaje, para abreviar) es
utilizado por lo menos en dos contextos en la literatura. El primero es
de un lenguaje lógico concreto, otro para una clase de idiomas
concretos (esta última se llama lenguaje general). Un lenguaje general
es especifico de los símbolos lógicos utilizados, mientras que un
idioma concreto es especifico dado por los símbolos no lógicos
concretos del alfabeto (por ejemplo, las operaciones y los constantes +
; * ; - ; 0 ; 1 como symbols específicos no lógicos del lenguaje concreto
de primer orden de los números reales como una especialización de la
lengua general de lógica de primer orden).

5. SINTAXIS
Algunas observaciones acerca de la sintaxis son:
• Es importante darse cuenta de que la definición de un lenguaje lógico,
también es casi el estudio conjunto de la lógica utiliza metalenguajes.
Las definiciones en este libro utilizan lenguaje natural como el
metalenguaje, lo que es habitual.
• En general, puede definirse un lenguaje lógico por gramática libre de
contexto formal: el alfabeto y los tipos de las expresiones corresponden
al conjunto de símbolos terminales y los símbolos no terminales,
respectivamente.
• Una observación terminológica: fórmulas en un lenguaje lógico
corresponden a "frases" en una gramática formal. La palabra "condena"
en un lenguaje lógico significa una clase especial de fórmulas, que no
puede ser especificado por una gramática formal. Pensemos de
lenguajes, donde programas pueden ser definidos por una gramática
libre de contexto, pero la corrección sintáctica de aspectos importante
no puede ser descrito por este modo de programación.

6. SINTAXIS
• Sintaxis puede definirse como una demasiada álgebra: las fórmulas
forman el universo del álgebra y las operaciones corresponden a las
reglas de sintaxis. Esta álgebra es un "álgebra de la palabra" con
igualdad, siendo el mismo como identidad (dos fórmulas diferentes no
pueden ser iguales). Con los conjuntos de formulas atómica conectores
lógicos en el lenguaje podemos asociar el álgebra de la palabra
generado por el conjunto de fórmulas atómicas utilizando los
conectores lógicos dado como operaciones algebraicas, en el sentido
habitual del término algebraico.
• Podemos utilizar el prefijo (notación polaca), infijo o postfijo, para las
expresiones de la lengua. Por ejemplo, tomando un símbolo de la
operación binaria O y aplicarlo a las expresiones ∝ y 𝜷, las anotaciones
O∝𝜷, ∝O 𝜷 y ∝𝜷O prefijo, infijo y postfijo, respectivamente. Cualquiera
de estas convenciones notacionales tienen ventajas como desventajas.
Por ejemplo, la notación de infijo puede leerse fácilmente, pero se
necesitan soportes y signos de puntuación (comas y puntos) en el
alfabeto, y también, se deben especificar varias reglas de precedencia.
Infijo y postfijo son útiles para manipular fórmulas por equipos; por
ejemplo, evaluar expresiones automáticamente. Para el procesamiento
automatizado el llamado árbol de análisis proporciona una adecuada
representación de las expresiones.

7. SINTAXIS
• Hay dos requisitos adicionales usuales relativos a la sintaxis:
1. El conjunto de fórmulas debe ser un subconjunto decidible compuesto
del alfabeto (Decidibilidad de la sintaxis).
2. Las fórmulas deben tener la propiedad de lectura única.
• La propiedad de lectura única significa que para cada expresión de la
lengua es sólo una forma de construir las reglas de sintaxis (es decir,
cada expresión tiene un único árbol de análisis). Idiomas más lógicos
tengan ambas propiedades.

8. CONCEPTOS BÁSICOS DE SEMÁNTICA
• Primero introducimos un concepto general de "lógica", acercarse a este
concepto desde el lado de la lógica semántica.
• Vamos a suponer que un lenguaje L. La semántica esta definida por una
clase de "modelos" (interpretaciones) y una "función de significado",
que proporciona el significado de una expresión en un modelo. La
siguiente definición formal se refiere a muchas conocidas lógicas:
• La lógica en el sentido de semánticas es un triple 𝑳 𝒔
= 𝑭, 𝑴, 𝒎 , donde F
es un conjunto de fórmulas en L, M es una clase (clase de modelos o
estructuras), y m es una función (significado) en F * M, donde
asumimos que el rango de m es un conjunto parcialmente ordenado. A
veces vemos que se denotan a los miembros de 𝑳 𝒔
de esta manera: (
𝑭 𝑳, 𝑴 𝑳 , 𝒎 𝑳 ).
• La relación de validez = ("la verdad de una fórmula en un modelo") es
una relación definida en F * M en cuanto a la función de significado m
(notación: M=∝, donde ∝ ∈ F; M ∈ M) como sigue:
M = ∝ Si y sólo si m (𝜷,M) ≤ m(∝ , M) f para
cada 𝜷 ∈ F

9. CONCEPTOS BÁSICOS DE SEMÁNTICA
• Si hay un elemento máxima en el rango de m, entonces significa que M
= ∝ si y sólo sí m (∝ , M) es máxima (lógica de dos valores M = ∝ si
y sólo sí m (∝ , M) es cierto). Observamos que a menudo ocurre que
la relación de validez es hacer primero, entonces la función de
significado en términos de =.
• Ahora, enumeramos algunas definiciones relativas a la lógica anterior:
• Una fórmula se dice que es universalmente válida si M = ∝ para cada
modelo de M, donde M ∈ M (notación = ∝)
• M es un modelo de un conjunto ∑ de fórmulas si M = ∝ por cada ∝ ∈
∑(notación: M =∑).
• Una lógica tiene la propiedad de compacidad si lo siguiente es cierto
para cada ∑de “sets” fijos de fórmulas: si cada finito ∑ ′ (∑ ′ ⊆
∑) tiene un modelo y∑, también tiene un modelo.

10. CONCEPTOS BÁSICOS DE SEMÁNTICA
• La logica 𝑳 𝒔
se llama una lógica normal, si las siguientes propiedades
(i), (ii), (iii) se satisfacen:
(i) (principio de composicionalidad). Supongamos que en L con cada c
conectivo lógico de rango k una operación C con rango k es
asociada en el rango de m. A continuación,
m(c(∝1, … ∝ 𝑘) , M)= C(m(∝1, M), …m (∝ 𝑘, M))
debe tener por fórmulas arbitrarias ∝1, … ∝ 𝑘
(ii) Suponga que 𝛁es un binario conectivo derivada en L y T que son es
una constante derivada (como conectivo especial) con el "verdadero" de
significado. A continuación,
M ⊨ ∝ 𝛁 𝜷 𝒔𝒊 𝒚 𝒔ó𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒎 ∝, 𝐌 ⊨ 𝐦 𝛃, 𝑴 , y M = 𝑻 𝛁 𝜷 si y solo sí M =𝜷.

11. CONCEPTOS BÁSICOS DE SEMÁNTICA
(iii) (propiedad de sustitución) Supongamos que L contiene un conjunto Q
de fórmulas atómicas. Entonces, para una fórmula arbitraria, que
contiene las fórmulas atómicas, 𝑷 𝟏, … 𝑷 𝒏
⊨ ∝ (𝑷 𝟏, … 𝑷 𝒏) implica = (𝑷 𝟏/𝑩 𝟏, … 𝑷 𝒏/𝑩 𝒏)
debe tener por fórmulas arbitrarias 𝑩 𝟏,… 𝑩 𝒏 , donde 𝑷 𝟏/𝑩 𝟏, … 𝑷 𝒏/𝑩 𝒏 indicar
el resultado de cada ocurrencia de 𝑷𝒊 se sustituirá simultáneamente con 𝜷𝒊
i= 1, …,n
(i) medios que m "preserves" operaciones sintácticas, es decir del
algebraico
punto de vista, el m es un homomorfismo del álgebra de palabra de
fórmulas a el
álgebra correspondiente al modelo. La constitucionalidad asegura que los
sentidos de fórmulas en un modelo fijo constituyen tal álgebra que es
'similar' al álgebra de palabra (este es una de las fundaciones de la llamada
semántica algebraica).

12. CONCEPTOS BÁSICOS DE SEMÁNTICA
• En (ii), la operación 𝛁 es un debilitamiento del $ de operación
↔(bicondicional);
por lo tanto, si el bicondicional puede ser formulado en la lengua, el
𝛁 puede ser
sustituido en (ii) por ↔.
• Para lógicas regulares, es posible demostrar más fuerte (pero es
general) resultados que para aquellos en Definición 1.1.

13. CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE PRUEBA
• Primero, definimos un concepto central de la teoría de prueba: el
concepto de sistema de prueba (o cálculo).
• Un sistema de prueba es definido por un juego de axiomas, un juego de
reglas de inferencia y el concepto de prueba. Ahora dibujamos estos
conceptos, respectivamente.
• Déjenos ampliar la lengua por una secuencia infinita X1, X2 , …de
nuevas variables (llamado variables de fórmula). Primero, definimos el
concepto de "el esquema de fórmula" por recursión.
• Los esquemas de fórmula son obtenidos aplicando finitamente muchas
veces el siguiente reglas:
(i) las variables de fórmula X1;, X2 ,…los son esquemas de fórmula,
(ii) si ɸ1, ɸ2, …son esquemas de fórmula y c es un k ~ary lógico
conectador en el
lengua, entonces c (1, 2,…k) es también un esquema.
• Una fórmula es un caso de un esquema ɸ si ∝ es obtenido
substituyendo todas las variables de fórmula en ɸpor fórmulas dadas.

14. CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE PRUEBA
• 'Un axioma' de un cálculo (un axioma lógico) es dado como un
esquema de fórmula (pero el término 'axioma' es por lo general usado
tanto para el esquema como para su caso).
• Una regla de inferencia es ((ɸ1, ɸ2 , … ɸ 𝒏), donde ɸ1, ɸ2 , … ɸ 𝒏 son
esquemas de fórmulas, ɸ1, ɸ2 , … ɸ 𝒏 son llamadas premisas, ɸ es llamada
conclusion. Otra nota conocida para una regla de inferencia es: ɸ1, ɸ2 , … ɸ 𝒏 / ɸ.
• El siguiente componente importante de sistemas de prueba es el
concepto de prueba. Hay varias variantes de este concepto. Definimos
uno importante juntos con el concepto de probabilidad para el caso de
los llamados sistemas de prueba de estilo de Hilbert. Esta definición es
muy general y simple. Déjenos asumir que un juego de axiomas y un
juego de reglas de inferencia es fijado.

15. CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE PRUEBA
• La formula ∝ es demostrable (derivable) de un juego ∑ de fórmulas, si
hay una secuencia finita 𝝋𝟏, 𝝋𝟐, … 𝝋 𝒏 (la prueba para ∝) tal esto 𝝋 𝒏 = ∝ y
para cada i ∈ 𝐧,
(i) 𝝋𝒊 ∈ ∑ o ,
(ii) 𝝋𝒊 es un caso de un axioma (esquema), o
(iii) hay índices 𝒋 𝟏, 𝒋 𝟐 , … , 𝒋 𝒌 < i y una regla de inferencia ((ɸ1, ɸ2 , … ɸ 𝒏))
en el sistema tal esto ((𝝋𝒋𝟏, 𝝋𝒋𝟐, …𝝋𝒋𝒏), 𝝋𝒊) es un caso de esta regla
(i,e, las formulas 𝝋𝒋𝟏, 𝝋𝒋𝟐, …𝝋𝒋𝒏, 𝝋𝒊 están en las posturas de los
esquemas ɸ1, ɸ2 , … ɸ 𝒏, ɸ en esta regla, respectivamente).
• Hay una exigencia adicional importante para sistemas de prueba: el
juego de los axiomas y el juego de reglas de inferencia deberían ser
decidible.

16. CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE PRUEBA
• La relacion ⊢ es llamado la relación probabilidad ⊢ es una relación en
P(F) x F (donde P(F) es el conjunto potencia de F ). Si el sistema de
prueba (cálculo) se denota por C, entonces la relación demostrativa
correspondiente a C se denota por ⊢ 𝑪
(si se excluye el malentendido
omite C para ⊢ 𝑪
).
• Con diferentes sistemas de prueba 𝑪 𝟏 y 𝑪 𝟐 asociamos las relaciones
demostrativa de diverso ⊢ 𝑪𝟏
y ⊢ 𝑪𝟐
, pero es posible que las relaciones
⊢ 𝑪𝟏
y ⊢ 𝑪𝟐
coincidir (esto es cierto para cada cálculo conocido de lógica
de primer orden).
• Tenga en cuenta que con el concepto de un sistema a prueba y el
conjunto de fórmulas anteriores podemos asociar el clásico método
axiomático.

17. CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE PRUEBA
• Podemos clasificar sistemas de prueba según la forma en que se ponen
para usar. Desde este punto de vista hay dos tipos de sistemas de
prueba: sistemas de deducción y sistemas de refutación. Para un
sistema de deducción pusimos fuera las premisas de las conclusiones
(e.g. Hilbert sistemas naturales deducción).
• Refutación de sistemas aplicamos una especie de razonamiento
indirecto: los locales y la negación de la conclusión deseada son a la
vez asumido y vamos a "force" una contradicción en un sentido para
obtener la conclusión (e.g, resolución, analítica tableaux).

18. CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE PRUEBA
• Ahora introducimos el concepto teórico de la prueba de "lógica".
Supongamos que un sistema fijo de prueba C.
• Una lógica es un par 𝑳 𝑷
= (F, ⊢ 𝑪
) donde F es el conjunto de fórmulas en
L y ' ⊢ 𝑪
es la especi de relación demostrativa ed por el sistema de
prueba C.
• A veces, la dependencia de L está representada en los miembros de 𝑳 𝑷
de esta manera (𝑭 𝑳, ⊢ 𝑳 ^ C ) . Mencionamos algunos de C desde ⊢ 𝑪 ).

19. CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE PRUEBA
• Por último, algu nas palabras sobre el concepto de teoremas
automático. Un sistema a prueba no proporciona un procedimiento de
decisión, es decir, la relación desmostrabilidad decidable no es una
relación. Una prueba de sistema sólo provee la posibilidad de una
prueba. Un viejo sueño en matemáticas es generar pruebas
automáticamente. Este sueño se ha acercado a la realidad en la era de
las computadoras. Los algoritmos han de construirse a partir de
cálculos de que una derivación de la necesaria teorema se realiza.
Históricamente, la resolución cálculo era considerado como una base
para automático teoremas. Desde entonces, los dispositivos
automáticos de teoremas se han multiplicado.

20. EN LA CONEXIÓN DE PRUEBA TEORÍA Y
SEMÁNTICA
• Ahora pasamos a la conexión entre los dos niveles de la lógica, a la
conexión entre la semántica y la teoría de la demostración.
• Consideremos una lógica en forma semántica y sintáctica que forman
juntos, con el mismo conjunto F de fórmulas: de esta manera,
obtenemos una noción más amplia de la lógica.
• Una lógica es la secuencia L = ( F, M, m, ⊢ 𝑪 )
• Para obtener resultados más sólidos (por ejemplo, fermentación
integridad), es necesario asumir que la parte semánticas de L es una
lógica regular.
• Enumeramos algunos conceptos relativos a la conexión entre la
relación de consecuencia ⊨ y una relación demostrativa ⊢ 𝑪
)

21. EN LA CONEXIÓN DE PRUEBA TEORÍA Y
SEMÁNTICA
• Un sistema de prueba C (o la relación ⊢ 𝑪 o la lógica L es muy
completo si ∑ ⊨ ∝ implica ∑ ⊢ 𝑪 ∝ para cada conjunto ∑ de las fórmulas y
cada fórmula ∝. Si ∑ ⊢ 𝑪
∝ implica ∑ ⊨ ∝ para cada ∑ y ∝, entonces el
sistema de prueba se dice ser muy sano.
• Un sistema de prueba (o la relación ⊢ 𝑪
o la lógica L es débilmente si
completa ⊨ ∝ implica ⊢ 𝑪
∝ para cada fórmula ∝. En caso contrario, es
decir, si ⊢ 𝑪
∝ implica ⊨ ∝ a continuación, el sistema de prueba se dice
que es sonido débil.
• Teoremas de integridad : teoremas de integridad junto con la solidez de
una lógica determinada, son teoremas básicos de la lógica. La mayoría
de las lógicas importantes tienen una especie de propiedad de
integridad.

22. EN LA CONEXIÓN DE PRUEBA TEORÍA Y
SEMÁNTICA
• El teorema de completitud fuerte es: ∑ ⊨ ∝ si y sólo sí ∑ ⊢ 𝑪
∝.
• Las semánticas y los conceptos sintácticos de consecuencia lógica son
equivalentes (Cons∑ y Ded ∑ coinciden)
• Comentarios sobre integridad: La idea principal de la prueba teoría es
la de reproducir el concepto semánticamente ∑ ⊨ ∝ (o sólo el concepto
⊨ ∝, usando sólo finitos manipulaciones con fórmulas y evitando el uso
exhaustivo de la teoría de conjuntos infinitos incluidos en la definición
de ∑ ⊨ ∝. Integridad fuerte de una lógica hace posible usar un atajo
(integridad débil pone a disposición la reproducción para el caso
cuando ∑ ≠ ∅).
• Débil exhaustividad y compacidad implica fuertes exhaustividad, como
puede ser mostrado.

23. EN LA CONEXIÓN DE PRUEBA TEORÍA Y
SEMÁNTICA
• Otra importante versión de fuerte carácter completo es: un conjunto ∑
De las fórmulas es coherente si y sólo si ∑ tiene un modelo . Esta versión es la base
del famoso método de modelo para probar la consistencia relativa de un sistema.
• Refutación de sistemas impone una condición sobre un conjunto Г de
fórmulas no teniendo ningún modelo. Con esta condición y el hecho de que ∑ ⊨ ∝
si y solo sí Г = ∑ ∪ { ¬ ∝ } no tiene ningún modelo, podemos probar ∑ ⊨
∝.
• El siguiente problema es de importancia central en la lógica y está
estrechamente relacionado con integridad e incompletitud: Es posible
generar en una recurrente forma las fórmulas de ThlC, donde lC, es
cualquier clase fijo de modelos, hay un conjunto recursivo ∑ de fórmulas
que: ThlC = Ded ∑

24. EN LA CONEXIÓN DE PRUEBA TEORÍA Y
SEMÁNTICA
• Hay dos importantes casos especiales, los casos cuando lC = M y lC
= {M} donde M es un modelo fijo y M es la clase de los posibles
modelos.
• Si la lógica tiene débil teorema de completitud, a continuación, es el
caso lC = M la respuesta es la alternativa para el problema.
• Pero en el caso lC = {M} , es ThlC , es lo suficientemente fuerte
(recursivo las relaciones pueden ser de Teorema de incompletitud
Göodel , la fórmula no existe en general, por lo tanto, la respuesta es
negativa para el problema.
• Se establecen desde una lógica en el sentido de semánticas podemos
hablar de la integridad (fuerte o débil) de una lógica sin un sistema
concreto de la prueba.
• Una lógica (en el sentido semánticas) es completa (débil o fuerte) si hay
un sistema de prueba C y una relación demostrativa ⊢ 𝑪
tal que
complementar la lógica por la lógica resultante es completa (débil o
fuerte).