El documento presenta información sobre vectores. Introduce el concepto de vector en matemáticas y en diversas áreas como física, informática y biología. Luego se enfoca en desarrollar el estudio de vectores en el campo de las matemáticas, describiendo sus características en el plano y en el espacio, incluyendo magnitud, dirección y sentido. Finalmente incluye ejemplos para calcular magnitudes de vectores y resolver otros ejercicios relacionados.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Popular de Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Bachiller: Jonathan Villarroel
C.I: 26.256.106
Tecnol. Mecánica Mtto.
Puerto. La Cruz, Octubre 2.015

2. INTRODUCCIÓN
El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que
provienen de la física.
El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia
en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un
elemento de una estructura algebraica denominada espacio vectorial. En
física, un vector es un concepto matemático que se utiliza para describir
magnitudes tales como velocidades, aceleraciones o fuerzas.
En informática, se lo conoce también como arreglo en una dimensión. En
biología, se dice del elemento portador del agente infeccioso, como
podría ser el mosquito Anopheles infectado con Plasmodium, causante de
la malaria. En genética, un vector es un agente, que puede ser un virus o
un pequeño fragmento de ADN llamado plásmido, que porta un gen
extraño o modificado. Cuando se usa en terapia génica, el vector pasa el
gen deseado a una célula objetivo
En esta oportunidad se desarrollará su estudio en el campo de las
matemáticas. Vectores en el plano y el espacio, su definición. Características
(magnitud, dirección y sentido) tanto en el plano como en el espacio.

3. VECTOR:
En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es
una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por
tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). En Matemáticas se define un
vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para
muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y
la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son
representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar
geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o en el
espacio .
Así pues, en el plano, un vector no es más que un trozo de recta, en el que se
diferencia claramente su origen y su extremo
Representación gráfica de un vector como un segmento orientado sobre una recta.
Esquema de un vector como un segmento de recta entre dos puntos A y B

4. Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman
componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se
representa como (formado mediante el producto cartesiano).
Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:
(left) , donde
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector
geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional ó bidimensional ).
Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir
tres características:
 Origen : es el punto donde nace el vector (punto 0 de la figura )
 Módulo: Es el tamaño que tiene el segmento orientado. La longitud del
segmento. Corresponde al tamaño del vector, se simboliza como valor absoluto
 Dirección: Es la inclinación que tiene el vector respecto al eje de abcisas (eje de
las X). esta inclinación se mide a travs del angulo menor que forma el vector con
eje 0X o un eje paralelo. Es la orientación de la recta. corresponde a la línea recta
en la cual el vector está contenido, también se llama línea de acción o recta
soporte.
 Sentido: Es la orientación que adopta el vector. Se puede diferenciar entre Norte,
Sur, Este, Oeste, Noreste, Sureste, Suroeste. Indica cual es el origen y cuál es el
extremo final de la recta. es el indicado por la punta de flecha (por ejemplo
derecha o izquierda, arriba o abajo)
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo ,
que indican su origen y extremo respectivamente.

5. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
Coordenadas cartesianas.
Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se
representa:
siendo sus coordenadas:
Si se considera el triángulo formado por las componentes (como catetos)
y (como hipotenusa): se puede calcular multiplicando por elcosα (siendo α el
ángulo formado por y ) o multiplicando por el senβ (siendo β el ángulo
formado por y ). De igual forma se puede calcular multiplicando por
el senα o multiplicando por el cosβ (considerando las posiciones
de α y β mencionadas anteriormente).
Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

6. Coordenadas tridimensionales.
Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se
puede representar:
siendo sus coordenadas:
Si se representa el vector gráficamente se puede diferenciar la recta soporte
o dirección, sobre la que se traza el vector.
El módulo, magnitud o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.
El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la
recta soporte.

7. El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la
característica vectorial representado por el vector.
El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.
Por lo tanto en un vector se puede diferenciar:
Nombre – Dirección – Sentido – Módulo -Punto de aplicación
MAGNITUD O MÓDULO DE UN VECTOR
La magnitud de un vector en el plano es la medida de su longitud. Para calcular
la magnitud de un vector , llamada también módulo de , conociendo sus
coordenadas, se utiliza la siguiente fórmula:

8. Módulo de :
Esta fórmula es una aplicación del Teorema de Pitágoras,
El triángulo es rectángulo y es la hipotenusa. Por lo
tanto, . Es decir,
ó
Ejemplo: El módulo del vector es , pues

9. VECTOR EN EL ESPACIO:
Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son
idénticas a las de los vectores en el plano. Se debe recordar que:
Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector
se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.
Todo vector se caracteriza por:
Módulo: que es la distancia del punto P al Q.
Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).
Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q.
(cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).
Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la
misma dirección y el mismo sentido.
Los vectores:

PQ y

RS cumplen las tres condiciones de
igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector
podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él.
Todos ellos son representantes de un único vector.
Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra
minúscula:

u (por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el
orígen y el extremo con una flecha encima:

PQ
A partir de los vectores, se construirá, un sistema de referencia que va a
permitir expresar los puntos del espacio ordinario y posteriormente las distintas figuras
espaciales.
Un sistema de referencia ( R ) en el espacio consiste en un conjunto de tres vectores
(que forman una base) y un punto (origen común de los vectores).
 Al punto fijo se le nombra con la letra O y se llama Origen.

10.  A los vectores de la base:








kjiB ,, (en adelante, supondremos que la base
utilizada es siempre ortonormal).














kjiOR ,,,
A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orígen O y extremo P





 
OP que tiene unas coordenadas,  cba ,, , en la base








kjiB ,, del sistema de
referencia dado.
Se dice que  cba ,, son las coordenadas del punto P en la referencia R .
Recíprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un único punto.
Ejemplo.-
Representa los siguientes puntos del espacio ordinario:
 3,2,5P  5,2,3 Q  0,4,1R  4,0,0S  3,6,0T

11. Sol.-
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o
componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las
coordenadas del origen.
Ejemplo:
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo
de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

12. Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo
tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo:
Dados los vectores y , hallar los módulos de
y ·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de
extremos dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

13. EJERCICIOS
1. Calcule el magnitud de los vectores UV donde U (2,1), V (-3,2)
UV = √(𝒗𝒙 − 𝒖𝒙) 𝟐 + (𝒗𝒚 − 𝒖𝒚) 𝟐
UV = √(−𝟑 − 𝟐) 𝟐 + (𝟐 − 𝟏) 𝟐
UV = √(−𝟓) 𝟐 + (𝟏) 𝟐
UV = √ 𝟐𝟓 + 𝟏
UV = √ 𝟐𝟔 = 5, 09
2 Determinar magnitud y dirección de un vector del plano cuyas
componentes Vy = 8 rectangulares son Vx = −12
Como se conocen las componentes cartesianas del vector V es posible aplicar
en forma inmediata la ecuación que define el módulo de un vector, es decir:
V = √(𝒗𝒙) 𝟐 + (𝒗𝒚) 𝟐 = √(−𝟏𝟐) 𝟐 + (𝟖) 𝟐 = √ 𝟏𝟒𝟒 + 𝟔𝟒 = √ 𝟐𝟎𝟖 = 14,422,
es decir, la magnitud del vector V es 14,422.
Como Vx es negativa y Vy es positiva, el vector se encuentra en el segundo
cuadrante, y por lo tanto la dirección queda determinada por α = 180º− β
β = tg-1
𝑉𝑦
𝑉𝑥
β = tg-1
8
12
β = 33,69º Por lo tanto la dirección es: α = 180º−33,69º = 146,31 dirección de V
y

14. 3. Encontrar las componentes cartesianas de un vector V  cuya magnitud
vale 80 y su dirección es de 230º
Como las componentes de un vector quedan determinadas con las ecuaciones
Vx = v * cos α
Vy = v * sen α
Vx = 80* cos 230 = − 51,42
Vx = 80* sen 230 = − 61,28
x
8
-12
α = 146,31
β = 33,69º

15. Vectores en el Espacio
1. Determinar magnitud y dirección del vector V = 5 i − 8 j + 10 k
UV = √𝒊 𝟐 + 𝒋 𝟐 + 𝒌 𝟐
UV = √ 𝟓 𝟐 + (−𝟖) 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐
UV = √ 𝟐𝟓 + 𝟔𝟒 + 𝟏𝟎𝟎
UV = √ 𝟏𝟖𝟗 = 13,75 (Magnitud del vector V)
La dirección del vector se obtiene aplicando la fórmula de los cósenos
directores, es decir:
Cos βx =
𝑽𝒙
𝑽
Cos βy =
𝑽𝒚
𝑽
Cos βz =
𝑽𝒛
𝑽
βx = cos-1
𝑉𝑥
𝑉
βy = cos-1
𝑉𝑦
𝑉
βz = cos-1
𝑉𝑧
𝑉
βx = cos-1
5
13,75
βy = cos-1
−8
13,75
βz = cos-1
10
13,75
βx = 68,673º βy = 125,584º βz = 43,333º

16. 2- Dados los vectores F1 = −5 i + 8 j – 15 k, F2 = −7 i - 12 j + 3 k,
F3 = 6 i + 9 j + 2 k, obtener magnitud y dirección de la resultante R = F1
+ F2 + F3
La resultante R se obtiene simplemente sumando los términos semejantes, es
decir:
R = (−5 i + 8 j – 15 k) + (−7 i - 12 j + 3 k) + (6 i + 9 j + 2 k)
R = (−5 −7 +6) i + (8 – 12 + 9) j + (-15 + 3 + 2) k
R = -6 i + 5 j – 10 k
La magnitud de R es
R = √𝒊 𝟐 + 𝒋 𝟐 + 𝒌 𝟐
R = √(−𝟔) 𝟐 + 𝟓 𝟐 + (−𝟏𝟎) 𝟐
R = √ 𝟑𝟔 + 𝟐𝟓 + 𝟏𝟎𝟎
R = √ 𝟏𝟔𝟏 = 12,69
La dirección del vector se obtiene aplicando la fórmula de los cósenos directores,
es decir:
Cos βx =
𝑽𝒙
𝑽
Cos βy =
𝑽𝒚
𝑽
Cos βz =
𝑽𝒛
𝑽
βx = cos-1
𝑉𝑥
𝑉
βy = cos-1
𝑉𝑦
𝑉
βz = cos-1
𝑉𝑧
𝑉
βx = cos-1
−6
12,69
βy = cos-1
5
12,69
βz = cos-1
−10
12,69
βx = 118,22º βy = 66,79º βz = 142,00º