Entre as maiores revoluções do século vinte jaz a mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica. A motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas. Umas das maiores questões não-respondidas do século vinte - que continua até os tempos atuais - com raízes no século dezoito e dezenove, encontrar-se na natureza da nossa realidade. Determinística ou estocástica? Modelos estocásticos já é parte da grande área chamada Pesquisa Operacional. Evolução significa em todos os sentidos. "Deus não joga dados". Em biologia Deus joga dados "e nos chama para jogar juntos". A diferença entre mecânica quântica e biologia reside no fato de que em mecânica quântica, teoricamente, mesmo que se aumente a precisão de equipamentos, o princípio da incerteza, de Heisenberg, no diz que ainda assim teríamos incertezas; ao passo que em biologia essa incerteza nasce da nossa "incompetência" como cientistas. Estudos em probabilidade, que culminaram em tanto na teoria estocástica atual como modelou nossa forma de "ver" o mundo, matematicamente, começou com o cientista italiano Gerolamo Cardano no século dezesseis. Durante o século dezoito, probabilidade começa notavelmente a mudar de configuração, o que culminou na nossa visão contemporâneo de aleatório. Existe a necessidade de haver um cálculo estocástico. Para algumas aplicações, previsibilidade se tornou uma relíquia do passado. O sucesso de cada modelagem, ou seja, determinística ou estocástica, depende do quão a componente estocástica contribui para o processo como um tudo. Modelagens estocásticas abrolham tanto da inépcia temporária e espacial de entender o processo posto diante de nós como pendência teórica.

1. Uma Iniciação às Equações Diferenciais
Estocásticas: discussões e insights sem minudência
matemática
Trabalho a ser apresentado, SIMPEP 2015, Bauru, São Paulo, Brasil
Apoio&Financiamento Università degli Studi dell’Aquila
Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell’Informazione e Matematica
Jorge Guerra Pires, Doutorando
Departamento: Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e
Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila
Área: Biomathematics
Outro: Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics
Laboratory, IASI-CNR, Rome.

2. Trabalho possivelmente correlacionado
ssão Temática 04 - Sala Netuno • 6 - PESQUISA OPERACIONAL
Título:AGREGAÇÃO DE ESTADOS PARA O MODELO HIPERCUBO
Sub-área:
6.3 - Processos Estocásticos
Autor(es):• CAIO VITOR BEOJONE
• REGIANE MÁXIMO DE SOUZA
Apresentador(es):
• CAIO VITOR BEOJONE

3. Os porquês?
Por que nossa realidade é imprecisa, mas modelos usando cálculo determinístico? Por que o cálculo determinístico
surgiu primeiro, mesmo hoje sendo tão limitado? Por que a matemática do cálculo estocástico é mais complicada? Por
que as bases do cálculo estocásticos tiveram de esperar pelo século passado?...... Por os Estados Unidos e Europa são
«superiores»?
?

4. Pessoas?
Albert Einstein
(1905)
Robert Brown (1827) vê
movimentos «estranhos» de
polens
Louis Bachelier
(1900)
Marian Smoluchowski
(1906)

5. Por que?
Formas de modelagem
Velocity
Mass
Classical Mechanics
Relativistic MechanicsRelativistic-
Quantum Mechanics
Quantum Mechanics
?
Dimensions
Mass
Super String
Theory?
General Theory of
RelativityClassical Mechanics
Quantum
Mechanics
?

6. Por que?
Formas de modelagem
Traditional
Moderna
Equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais, equações diferençais integrais, equações
de diferenças, equações com retardos, equações aleatórias.....
Aprendizado de máquina, redes neurais, lógica nebulosa, algoritmos evolutivos, simulações ad hoc,....

7. Diferenças?
Função exponencial, ex. Morte e
nascimento.
 dtxfdx 
   dWxgdtxfdx 

8. Diferenças?
Função exponencial, ex. Morte e
nascimento.
2
1 nnnn baYY 

9. Vídeos.

10. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática
J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell'
Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
Resumo.
Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia.
Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e
Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito.
Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas
ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no
século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para
resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade.
Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é
chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta
de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção.
Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da
Ciência; Estatística.

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J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell'
Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia.
Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e
Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito.
Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas
ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no
século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para
resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade.
Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é
chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta
de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção.
Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da
Ciência; Estatística.
Resumo.

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Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia.
Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e
Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito.
Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas
ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no
século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para
resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade. Algumas referências são deixadas como ponto
de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a
área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por
cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção.
Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da
Ciência; Estatística.
Resumo.

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Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia.
Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e
Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito.
Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas
ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no
século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para
resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade.
Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é
chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta
de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção.
Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da
Ciência; Estatística.
Resumo.

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Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia.
Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e
Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito.
Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas
ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no
século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para
resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade.
Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é
chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta
de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção.
Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da
Ciência; Estatística.
Resumo.

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J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell'
Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
1. Introdução
Umas das maiores questões não-respondidas do século vinte - que continua até os tempos atuais - com raízes no
século dezoito e dezenove, encontrar-se na natureza da nossa realidade: determinística ou estocástica?
Por determinística, diz-se que ao se repetir um experimento várias vezes- dado que se tome os devidos cuidados de se
manter as mesmas condições (condições iniciais, parâmetros, variáveis de estado e etc.) para todos os experimentos-,
obter-se-ia os mesmos valores.
Um caso fácil de se visualizar, mas tendencioso, equivale a resolver numericamente uma equação diferencial ordinária
repetidamente, ou mesmo calcular ótimos de funções sobrepondo métodos como gradiente, assumindo-se que se
inicie sempre do(s) mesmo(s) valor(es) inicial(is).

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1.2 Fatores históricos e filosóficos
As investigações de Einstein no movimento browniano institui um dos pontos mais supinos na longa
reminiscência de averiguações na teoria cinética do calor, hoje asilada no meio acadêmico de forma visivelmente
unânime, ou mesmo na estrada de Einstein no campo.
Seus artigos em movimento browniano ajudaram a estabelecer um novo campo, hoje considerado "moda"
(tendência), em estudos de flutuações em fenômenos como um novo campo da física.
Seus métodos, criados durante o percurso de suas pesquisas para estender o conceito de osmose a superfícies,
abriram caminhos para a termodinâmica estatística, depois continuada por seu ex-aluno Leo Szilard e outros, e
uma teoria geral de processos estocásticos (STACHEL, 1998; tradução livre).

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Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
1.2 Fatores históricos e filosóficos
As investigações de Einstein no movimento browniano institui um dos pontos mais supinos na longa
reminiscência de averiguações na teoria cinética do calor, hoje asilada no meio acadêmico de forma visivelmente
unânime, ou mesmo na estrada de Einstein no campo.
Seus artigos em movimento browniano ajudaram a estabelecer um novo campo, hoje considerado "moda"
(tendência), em estudos de flutuações em fenômenos como um novo campo da física.
Seus métodos, criados durante o percurso de suas pesquisas para estender o conceito de osmose a superfícies,
abriram caminhos para a termodinâmica estatística, depois continuada por seu ex-aluno Leo Szilard e outros, e
uma teoria geral de processos estocásticos (STACHEL, 1998; tradução livre).

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J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell'
Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
1.2 Fatores históricos e filosóficos
As investigações de Einstein no movimento browniano institui um dos pontos mais supinos na longa
reminiscência de averiguações na teoria cinética do calor, hoje asilada no meio acadêmico de forma visivelmente
unânime, ou mesmo na estrada de Einstein no campo.
Seus artigos em movimento browniano ajudaram a estabelecer um novo campo, hoje considerado "moda"
(tendência), em estudos de flutuações em fenômenos como um novo campo da física.
Seus métodos, criados durante o percurso de suas pesquisas para estender o conceito de osmose a superfícies,
abriram caminhos para a termodinâmica estatística, depois continuada por seu ex-aluno Leo Szilard e outros, e
uma teoria geral de processos estocásticos (STACHEL, 1998; tradução livre).

19. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática
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1.3 Organização do trabalho
Este trabalho é dividido em duas partes, a primeira já apresentada, e a segunda sendo o restante do artigo. Na
primeira parte, discussões de caráter geral, tanto históricas quanto filosóficas, foram posicionadas. Na segunda
parte, procura-se mostrar pontos importantes do cálculo estocásticos, mas ainda iniciais.
Leitores interessados em materiais completos, com discussões avançadas em modelos estocásticos, são
convidados a consultar a literatura; existe um número considerável de materiais, por exemplo Scott (2013) é uma
referência de livre acesso e "em termos simples". Infelizmente, a maioria são para "matemáticos".
Um dos motivos de artigos como esse sendo apresentado é chamar a atenção para a área, para engenharias mais
focadas em "sistemas reais", sendo assim provocando a publicação de livros sobre cálculo estocástico para
leitores mais focados a aplicações, sem formação, ou mesmo interesse, em matemática teórica.

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1.3 Organização do trabalho
Este trabalho é dividido em duas partes, a primeira já apresentada, e a segunda sendo o restante do artigo. Na
primeira parte, discussões de caráter geral, tanto históricas quanto filosóficas, foram posicionadas. Na segunda
parte, procura-se mostrar pontos importantes do cálculo estocásticos, mas ainda iniciais.
Leitores interessados em materiais completos, com discussões avançadas em modelos estocásticos, são
convidados a consultar a literatura; existe um número considerável de materiais, por exemplo Scott (2013) é uma
referência de livre acesso e "em termos simples". Infelizmente, a maioria são para "matemáticos".
Um dos motivos de artigos como esse sendo apresentado é chamar a atenção para a área, para engenharias mais
focadas em "sistemas reais", sendo assim provocando a publicação de livros sobre cálculo estocástico para
leitores mais focados a aplicações, sem formação, ou mesmo interesse, em matemática teórica.

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Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
1.3 Organização do trabalho
Este trabalho é dividido em duas partes, a primeira já apresentada, e a segunda sendo o restante do artigo. Na
primeira parte, discussões de caráter geral, tanto históricas quanto filosóficas, foram posicionadas. Na segunda
parte, procura-se mostrar pontos importantes do cálculo estocásticos, mas ainda iniciais.
Leitores interessados em materiais completos, com discussões avançadas em modelos estocásticos, são
convidados a consultar a literatura; existe um número considerável de materiais, por exemplo Scott (2013) é uma
referência de livre acesso e "em termos simples". Infelizmente, a maioria são para "matemáticos".
Um dos motivos de artigos como esse sendo apresentado é chamar a atenção para a área, para engenharias mais
focadas em "sistemas reais", sendo assim provocando a publicação de livros sobre cálculo estocástico para
leitores mais focados a aplicações, sem formação, ou mesmo interesse, em matemática teórica.

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1.3 Organização do trabalho
Equações diferenciais estocásticas constituem apenas um aspecto dos modelos estocásticos.
Por exemplo, modelos em Arena® seriam um exemplo "simples"; nestes casos não se faz uso de equações, mas
sim de funções probabilísticas, com parâmetros originados de experimentos em sistemas reais, observações
durante um período de tempo, cada simulação não surge de uma equação como em equações diferenciais
estocásticas, mas sim de um "sistema aleatório", "roleta", como jogar uma moeda toda vez que se tem dúvida, e
valer-se do valor para decidir qual a próxima decisão a ser tomada.

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1.3 Organização do trabalho
Equações diferenciais estocásticas constituem apenas um aspecto dos modelos estocásticos.
Por exemplo, modelos em Arena® seriam um exemplo "simples"; nestes casos não se faz uso de equações, mas
sim de funções probabilísticas, com parâmetros originados de experimentos em sistemas reais, observações
durante um período de tempo, cada simulação não surge de uma equação como em equações diferenciais
estocásticas, mas sim de um "sistema aleatório", "roleta", como jogar uma moeda toda vez que se tem dúvida, e
valer-se do valor para decidir qual a próxima decisão a ser tomada.

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2. Alguns modelos
Modelo Matemático Observação
Este processo é padrão em EDE e se chama Processo de Ornstein–
Uhlenbeck. O processo de Ornstein–Uhlenbeck é um processo
estocástico que descreve a velocidade de uma partícula browniana com
massa sobre a influência de atrito. Este processo é um processo de
Markov, estacionário e Gaussiano; essas propriedades facilitam a
matemático, formulação do problema matematicamente, este é o único
processo estocástico conhecido com todas essas propriedades. Ainda
mais, esse processo é uma EDE linear, com solução "em forma de
receita de bolo".

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2. Alguns modelos
Modelo Matemático Observação
Processo de Ornstein–Uhlenbeck, segundo exemplo.

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3. Exemplos de modelos com
solução analítica
O processo de Ornstein–Uhlenbeck é simples o suficiente para ser facilmente entendido, e geral o bastante
para ser aplicável a casos reais, posto desta forma, esse modelo será discutido.
00
))()(())()((
YY
dWYtftedtYtdtcdY
t
tttt



Equação diferencial estocástica linear

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3. Exemplos de modelos com
solução analítica
  


  

t
s
t
t dWsetdssesftctYtY
0
1
0
1
0 )()()()()()()(










  s
tt
dWsfds
sf
sdt
00
)(
2
)²(
)(exp)(
Solução fundamental.

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3. Exemplos de modelos com
solução analítica
Processo de Ornstein–Uhlenbeck.
ttt dWdtXdX   )(



t
s
tstt
t dWeeeXX
0
)(
0 )1( 


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4. Soluções numéricas
Como no cálculo determinístico, mas com grau de avanço diferente, o calculo estocástico possui métodos numéricos,
que são usados na maior parte do tempo.
Mesmo para o cálculo determinísticos precisamos usar na maior parte do tempo métodos numéricos, mas a diferença
se encontra na qualidade dos métodos numéricos; por exemplo, não existe Runge-Kutta para EDE, um método
relativamente simples, mas eficiente, largamente usado para resolver EDOs and EDPs.
Como no cálculo determinística, o método mais simples é o de Euler, chamado de Euler-Maruyama; deve-se proceder
de forma equivalente ao cálculo determinístico, mas em vez de aplicar a expansão de Taylor, faz-se uso da fórmula de
Ito. Uma segunda opção é o método de Milstein, que seria o equivalente dos métodos Runge-Kutta. Ver Kloeden e
Platen (1999) para discussões.

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4. Soluções numéricas
Como no cálculo determinístico, mas com grau de avanço diferente, o calculo estocástico possui métodos numéricos,
que são usados na maior parte do tempo.
Mesmo para o cálculo determinísticos precisamos usar na maior parte do tempo métodos numéricos, mas a diferença
se encontra na qualidade dos métodos numéricos; por exemplo, não existe Runge-Kutta para EDE, um método
relativamente simples, mas eficiente, largamente usado para resolver EDOs and EDPs.
Como no cálculo determinística, o método mais simples é o de Euler, chamado de Euler-Maruyama; deve-se proceder
de forma equivalente ao cálculo determinístico, mas em vez de aplicar a expansão de Taylor, faz-se uso da fórmula de
Ito. Uma segunda opção é o método de Milstein, que seria o equivalente dos métodos Runge-Kutta. Ver Kloeden e
Platen (1999) para discussões.

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4. Soluções numéricas
Como no cálculo determinístico, mas com grau de avanço diferente, o calculo estocástico possui métodos numéricos,
que são usados na maior parte do tempo.
Mesmo para o cálculo determinísticos precisamos usar na maior parte do tempo métodos numéricos, mas a diferença
se encontra na qualidade dos métodos numéricos; por exemplo, não existe Runge-Kutta para EDE, um método
relativamente simples, mas eficiente, largamente usado para resolver EDOs and EDPs.
Como no cálculo determinística, o método mais simples é o de Euler, chamado de Euler-Maruyama; deve-se proceder
de forma equivalente ao cálculo determinístico, mas em vez de aplicar a expansão de Taylor, faz-se uso da fórmula de
Ito. Uma segunda opção é o método de Milstein, que seria o equivalente dos métodos Runge-Kutta. Ver Kloeden e
Platen (1999) para discussões.

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5. Estudo de caso: Preço de Estoque
p
dt
dp
 tttt dWpdtpdp  
Versão determinística de uma
exponencial
Versão Estocástica
de uma exponencial

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5. Estudo de caso: Preço de Estoque
tttt dWpdtpdp  












 tWpp tt
2
exp
2
0



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5. Estudo de caso: Preço de Estoque

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5. Estudo de caso: Preço de Estoque

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6. Conclusões e considerações finais
Neste trabalho, discerniu-se sobre o cálculo estocástico como rota de investigar sistemas
estocásticos, que abundantemente são modelados empregando-se cálculo determinístico.
O sucesso de cada modelagem, ou seja, determinística ou estocástica, depende do quão a
componente estocástica contribui para o processo como um tudo.
Modelos estocásticos podem nascer de sistemas determinísticos, por exemplo, quando se
negligencia, por falta de conhecimento ou escolha, variáveis de estado; ver Tabak (2004) para
algumas discussões nesta direção.

37. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática
J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell'
Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
6. Conclusões e considerações finais
Infelizmente, com o passar do tempo, menos se sabe da natureza que nos cerca, mas como alguns
asseveraram, "estamos mais perdidos do que nunca, mas agora com um grau maior de astúcia".
Modelagens estocásticas abrolham tanto da inépcia temporária e espacial de entender o processo posto
diante de nós como pendência teórica, como o principio de Heisenberg.
Independente do motivo, o cálculo estocástico, desenvolvido nomeadamente no século vinte e vinte e
um, principalmente devido à demanda de reformar o cálculo clássico, tem sido uma opção. Outras
formas existem, como "força brutal", um exemplo são modelos em Arena®, bem conhecido em
engenharia de produção.

38. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática
J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell'
Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
Referências
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EINSTIEN, A. On the Motion of Small Particles Suspended in Liquids at Rest Required by the Molecular-Kinetic Theory of
Heat. 1905. In: J. Stachel. Einstein’s Miraculous Year. Princeton University Press: 1998.
EVANS, L.C. An Introduction to Stochastic Differential Equations, Version 1.2, online:
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.299.5323&rep=rep1&type=pdf. Acessado em Junho, 2015.
KLOEDEN, P.E.; PLATEN, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equation. Applications of Mathematics. Stochastic
modelling and applied probability. Springer: 1999.
PICCHINI, U. SDE Toolbox Simulation and Estimation of Stochastic Differential Equations with Matlab. 2007. Online:
http://sdetoolbox.sourceforge.net/. Acessado em 20 Junho 2015.
SCOTT, M. Applied Stochastic Processes in science and engineering. 2013. Online:
http://www.math.uwaterloo.ca/~mscott/Little_Notes.pdf. Acessado em 20 Junho 2015.
SEN, R.P. Operations Research: algorithms and applications. PHI Learning Private Limited: 2010.
STACHEL, J. Einstein’s Miraculous Year: Five Papers That Changed the Face of Physics. Princeton University Press: 1998.
STIGLER, S. M. The history of statistics: the measurement of uncertainly before 1900. Present and Fellows of Harvard College:
1986.
TABAK, J. Probability and Statistics: the science of uncertainty. The History of Mathematics. Facts on File Inc.: 2004.
WINSTON, W. L. Operation Research: application and algorithms. Third edition, 1996.

39. Encontre-me & Contate-me & Conecte
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