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Para obtener una utilidad máxima de 21000 dólares, se debe cultivar 30 hectáreas de Maíz ...
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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para Minimizar los costos de alimento en $60, se debe comprar solamente 218.182 libras de...
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Utilizando Solver para su solución:
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel
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Para tener una ganancia máxima de $141,8182 dólares diarios se deben...
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 Variable s de Decisión:
x1 = Tonelada de Merluza a pescar.
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 Función Objetivo:
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Para tener una ganancia máxima de 4000000 dólares se debe pescar 1000 toneladas de Merluz...
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 Modelo de Programación Lineal:
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Ejercicio de Aplicación 8.- En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de
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  1. 1. 1 AUTORES Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística DOCENTES ASCRITOS AL DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA DE LA UNPRG – LAMBAYEQUE 2010 DOCENTES DE LA ASIGNATURA DE: INVESTIGACION DE OPERACIONES I
  2. 2. 2 La opción Solver de EXCEL sirve para resolver problemas de optimización lineal y no lineal; también se pueden indicar restricciones enteras sobre las variables de decisión. Con Solver es posible resolver problemas que tengan hasta 200 variables de decisión, 100 restricciones explícitas y 400 simples (cotas superior e inferior o restricciones enteras sobre las variables de decisión). Para acceder a Solver, seleccione Tools en el menú principal y luego Solver. La ventana con los parámetros de Solver aparecerá tal y como se muestra a continuación: 1. ingresar al Excel. 2. Desplegar el menú herramientas, si no aparece el solver hay que activarlo para lo cual hacemos clic en complementos, saldrá la siguiente ventana activar solver y luego aceptar 3. Dado el siguiente modelo de programación lineal, resolver utilizando solver Max.Z = x1 + 2x2 + 4x3 S.a: 3x1 + x2 + 5x3 ≤ 10 x1 + 4x2 + x3 ≤ 8 2x1 + 2x3 ≤ 7 Xj ≥ 0 donde j=1,2,3 4. Escribir el modelo de programación lineal, como se muestra:
  3. 3. 3 5. En la celda de la función objetivo (C2) hay que escribir la formula como se muestra en la imagen: 6. una vez ingresada la formula dar enter y a parecerá la función objetivo con valor cero como se muestra:
  4. 4. 4 7. En las restricciones también se debe escribir una formula, como se muestra en la primera restricción (H6), luego dar enter y aparecerá cero haga lo mismo con las siguientes restricciones. Para no escribir las formulas ubíquese en la formula de la primera restricción y arrástrelo hasta la ultima restricción, esto se puede dado de que no se fijo el coeficiente. 8. luego ubíquese en la celda de la función objetivo C2 ir al menú herramienta, clic en solver y aparecerá la siguiente pantalla: Clic 9. Ingrese los valores de la variable, como se muestra: clic 10. Aparecerá la siguiente pantalla, luego deberá ingresar las, restricciones, clic en agregar, como se muestra:
  5. 5. 5 Clic 11. Aparecerá la siguiente pantalla: 12. deben ingresarse las restricciones, como se muestra, una a una hasta la última restricción, después de escribir la primera restricción no se olvide de aceptar, para luego ingresar la otra y así sucesivamente: 13. Las restricciones de no negatividad se deben introducir manualmente como se muestra:
  6. 6. 6 14.- Luego clic en aceptar y aparecerá la siguiente pantalla 15. Luego clic en resolver y aparecerá la siguiente pantalla, y dar clic en aceptar: 16. y se obtiene la solución del modelo: Donde el valor de la función objetivo es 9.89473684 y los valores de la variable: X1=0 ; X2=1.5789; X3= 1.6842
  7. 7. 7 Ejercicio de Aplicación 1.- (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 hectáreas en los cuales puede sembrar Maíz y Arroz . Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por hectárea: CULTIVOS COSTO DE PLANTAR DEMANDA HORAS- HOMBRE UTILIDAD MAIZ $20 5 $ 100 ARROZ $40 20 $ 300 Formule el modelo de Programación lineal que permita maximizar sus utilidades del granjero. Solución: CULTIVOS HECTAREAS COSTO DE PLANTAR DEMANDA HORAS-HOMBRE UTILIDAD MAIZ 1 $20 5 $ 100 ARROZ 1 $40 20 $ 300 RECURSO DISPONIBLE 100 $3000 1350  Variable s de Decisión: x1 = Producción de Maíz por hectárea. x2 = Producción de Arroz por hectárea.  Función Objetivo: Maximizar sus utilidades  Restricciones: R1. x1 + x2 < 100 R.2. 5x1 + 20x2 < 1350 R.3. 20x1 + 40x2 < 3000  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 100x1 + 300x2 Sujeto a: x1 + x2 < 100 5x1 + 20x2 < 1350 20x1 + 40x2 < 3000 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 Utilizando Solver para su solución: 1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel
  8. 8. 8 2.- digitamos las formulas en los respectivos casilleros:  Primero la formula de la función objetivo  Luego las formulas de las restricciones:
  9. 9. 9 3.- luego seleccionamos herramientas y solver: 4. – Agregamos los valores de las variables. 5.- clic en resolver y se obtiene los siguientes resultados:
  10. 10. 10 INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para obtener una utilidad máxima de 21000 dólares, se debe cultivar 30 hectáreas de Maíz y 60 hectáreas de Arroz. Ejercicio de Aplicación 2.- (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la combinación más barata de dos productos, A y B, que contienen:  al menos 0.5 miligramos de tiamina  al menos 600 calorías PRODUCTO TIAMINA CALORIAS A 0.2 mg 100 B 0.08 mg 150 Solución: PRODUCTO TIAMINA CALORIAS A 0.2 mg 100 B 0.08 mg 150 REQUERIMINETOS MINIMOS 0.5 600  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad mas Barata del producto A x2 = Cantidad mas Barata del Producto B  Función Objetivo: Minimizar Recursos  Restricciones: R1. 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5 R.2. 100x1 + 150x2 > 600  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
  11. 11. 11  Modelo de Programación Lineal: Min Z = x1 + x2 Sujeto a: 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5 100x1 + 150x2 > 600 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 Utilizando Solver para su solución: 1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel 2.- digitamos las formulas en los respectivos casilleros:
  12. 12. 12 3.- luego seleccionamos herramientas y luego solver ingresamos los valores de la variable y seleccionamos la opción minimizar, dado a que se trata de un modelo de programación lineal cuya función objetivo es minimizar: : 4.- clic en resolver: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para Minimizar los costos a $4.4091 se deben Adquirir 1.2273 mg. Del producto A, y 3.1818 mg. Del producto B. Ejercicio de Aplicación 3.- Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 120 libras de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Libras por Libra de Alimento Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb) Maíz 0.001 0.09 0.02 0.2 Harina de Soya 0.002 0.6 0.06 0.6 Los requisitos de alimento de los cerdos son: 1. Cuando menos 1% de calcio 2. Por lo menos 30% de proteína 3. Máximo 5% de fibra
  13. 13. 13 Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día Solución:  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento  Función Objetivo: Minimizar el costo de alimento por día.  Restricciones: R1. 0.001x1 + 0.002x2 > (120)(0.01) R.2. 0.09x1 + 0.6x2 > (120)(0.3) R.3. 0.02x1 + 0.06x2 < (120)(0.05)  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x2 > 1.2 0.09 x1 + 0.6 x2 > 36 0.02 x1 + 0.06 x2 < 6 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 Utilizando Solver para su solución: 1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel 2.- digitamos las formulas en los respectivos casilleros:
  14. 14. 14 3.- luego seleccionamos herramientas y luego solver ingresamos los valores de la variable y seleccionamos la opción minimizar, dado a que se trata de un modelo de programación lineal cuya función objetivo es minimizar: 4.- clic en resolver:
  15. 15. 15 INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para Minimizar los costos de alimento en $60, se debe comprar solamente 218.182 libras de harina de soya y 27.27 libras de Maíz Ejercicio de Aplicación 4.- Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia 1 10 6 8 $2 2 5 20 15 $3 Determine cuantas unidades de cada productos se deben producir por día, que permita maximizar las Ganancias. Solución:  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad de Unidades del Producto 1, a producir por día. x2 = Cantidad de Unidades del Producto 2, a producir por día.  Función Objetivo: Maximizar las Ganancias.  Restricciones: R1. 10x1 + 5x2 < 10(60) R.2. 6x1 + 20x2 < 10(60) R.3. 8x1 + 15x2 < 10(60)  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 2x1 + 3x2 Sujetos a: 10x1 + 5x2 < 600 6x1 + 20x2 < 600 8x1 + 15x2 < 600 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 .
  16. 16. 16 Utilizando Solver para su solución: 1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel 2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes 3.- Ingresamos los valores de las variables
  17. 17. 17 4.- clic en resolver INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para tener una ganancia máxima de $141,8182 dólares diarios se deben producir por día 55 unidades del producto 1 y 11 unidades del producto 2, por día. Ejercicio de Aplicación 5.- Las restricciones pesqueras impuestas por el ministerio obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de jurel, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de $1000 por kg y el precio del jurel es de $1500 por kg, ¿ Qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?. Solución: TIPO DE PESCADO PEZCA EN TONELADAS PEZCA PRECIO $ MERLUZA 1 0 1 1000 JUREL 0 1 1 1500 RECURSO MAXIMO 2000 2000 3000
  18. 18. 18  Variable s de Decisión: x1 = Tonelada de Merluza a pescar. x2 = Tonelada de Jurel a pescar.  Función Objetivo: Maximizar los Beneficios.  Restricciones: R1. x1 < 2000 R.2. x2 < 2000 R.3 x1 + x2 < 3000  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 1000x1 + 1500x2 Sujeto a: x1 < 2000 x2 < 2000 x1 + x2 < 3000 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 Utilizando Solver para su solución: 1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel 2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes.
  19. 19. 19 3.- Ingresamos los valores de la variable 4.- clic en resolver
  20. 20. 20 INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para tener una ganancia máxima de 4000000 dólares se debe pescar 1000 toneladas de Merluza y 2000 toneladas de Jurel. Ejercicio de Aplicación 6.- Se desea contratar movilidad para trasladar a 400 personas y se dispone de las siguientes alternativas. Hay 8 buses con capacidad para 40 personas y cada una cuesta $12000 y 10 buses con capacidad 50 personas, con un valor de $16000 cada uno. Si se dispone sólo de 9 conductores para esa oportunidad. ¿Cuántos buses de cada tipo convendría arrendar para que el viaje resulte lo más económico posible? SOLUCION  Variables de Decisión: x1 = cantidad de buses que se deben arrendar con capacidad para 40 personas. x2 = cantidad de buses que se deben arrendar con capacidad para 50 personas.  Función Objetivo: Minimizar los costos.  Restricciones: R1. 40x1 + 50x2 ≥ 400 R.2. x1 + x2 = 9 R.3 x1 < 8 R.4. x2 < 10  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Min Z = 12000 x1 + 16000 x2 Sujeto a: 40x1 + 50x2 ≥ 400 x1 + x2 = 9 x1 < 8 x2 < 10 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 Utilizando Solver para su solución: 1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel
  21. 21. 21 2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes. 3.- Ingresamos los valores de las variables.
  22. 22. 22 4.- clic en aceptar INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para tener un gasto mínimo de $124000, se debe arrendar 5 buses de capacidad de 40 personas y 4 buses de capacidad para 50 personas. Ejercicio de Aplicación 7.- Se aplica un examen que contiene preguntas del tipo A que valen 4 puntos y del tipo B que valen 7 puntos. Se debe responder al menos 5 del tipo A y al menos 3 del tipo B, pero las restricciones de tiempo impiden responder más de 10 de cada tipo. En total, no se puede responder más de 18 preguntas. Suponiendo que las respuestas de un alumno sean correctas: a) ¿cuántas preguntas de cada tipo debe responder el alumno para maximizar su Puntuación? b) ¿cuál es la calificación máxima? SOLUCION  Variables de Decisión: x1 = Número de preguntas tipo A resueltas de 4 puntos. x2 = Número de preguntas tipo B resueltas de 7 puntos. .  Función Objetivo: Maximizar los puntajes.  Restricciones: R1. x1 ≥ 5 R.2. x2 ≥ 3 R.3 x1 < 10 R.4. x2 < 10 R.5. x1 + x2 < 18  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
  23. 23. 23  Modelo de Programación Lineal: Máx. Z = 4 x + 7 x2 Sujeto a: x1 ≥ 5 x2 ≥ 3 x1 < 10 x2 < 10 x1 + x2 < 18 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Digitamos el modelo de programación lineal en la hoja de cálculo de Exel. 2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes.
  24. 24. 24 3.- Ingresamos los valores de las variables. 4.- clic en resolver: INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS: (a) Para maximizar su puntuación debe responder 8 preguntas tipo A y 10 preguntas tipo B. (b) La calificación máxima es de 102 puntos
  25. 25. 25 Ejercicio de Aplicación 8.- En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen $ 450 y las de halógenos $ 600. La producción está limitada por el hecho de que no se pueden fabricar al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima ganancia? SOLUCION:  Variables de Decisión: x1 = Número de Bombillas Normales a producir. x2 = Número de Bombillas de Halógeno a producir. .  Función Objetivo: Maximizar las ganancias.  Restricciones: R1. x1 < 400 R.2. x2 < 300 R.3. x1 + x2 < 500  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Máx. Z = 4 x + 7 x2 Sujeto a: x1 < 400 x2 < 300 x1 + x2 < 500 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Digitamos el modelo de programación lineal en la hoja de cálculo de Exel. 2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes.
  26. 26. 26 3.- Ingresamos los valores de las variables. 4.- clic en resolver:
  27. 27. 27 INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para tener una utilidad máxima de 270000 dólares se debe producir 200 bombillas Normales y 300 bombillas de halógeno.

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