Num reales

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Num reales

  1. 1. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS • Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,.... • Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,.... • Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b • Decimales exactos: a,bc • Decimales periódicos puros: a,bcbcbc..... • Decimales periódicos mixtos: a,bcccc.... • Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios • Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales no periódicos 1.1 – Clasificación de los números reales ,...7,2, 3 Π
  2. 2. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 1.1 – Clasificación de los números reales Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  3. 3. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL Se efectúa la división: 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa Natural2 4 8 ⇒= exactoDecimal25,2 4 9 ⇒= puroperiódicoDecimal3,1...3333,1 3 4 ⇒≈=  mixtoperiódicoDecimal6ˆ1,1...16666,1 6 7 ⇒≈= Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  4. 4. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN • Números decimales exactos 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa 100 238 N = N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero Simplificar la fracción, si es posible 50 119 N = Despejar N100N = 238 Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  5. 5. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. Números decimales periódicos puros 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa 99 236 N = N = 2,383838... 100N = 238,3838... Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo Restarlos Simplificar la fracción, si es posible 99 236 N = Despejar N 99N = 236 Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  6. 6. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. Números decimales periódicos mixtos 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa 90 215 N = N = 2,3888... 10N = 23,888... Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con el mismo periodo. Simplificar la fracción, si es posible 90 215 N = Despejar N90N = 215 100N = 238,888... Restarlos Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  7. 7. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS SIGNIFICATIVAS 1.3 – Números aproximados Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas. Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste. Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos con está. Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  8. 8. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO 1.3 – Números aproximados Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error. El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los errores con menor o igual número de cifras significativas. Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición| El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real RealValor absolutoError relativoError = Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  9. 9. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.4.1 – DEFINICIÓN 1.4 – Notación científica Un número puesto en notación científica consta de: • Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades). • El resto de cifras significativas puestas como parte decimal. • Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número. Si n es positivo, el número N es “grande”. Si n es negativo, el número N es “pequeño”. n 10x......bcd,aN = Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  10. 10. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.4 – Notación científica • Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro). • Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10, teniendo en cuenta las reglas de las potencias: • Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias: baba 1010.10 + = baba 1010:10 − = ( ) b.aba 1010 = Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  11. 11. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.4 – Notación científica Parte decimal Parte entera Exponente de base 10 - Notación científica con 3 cifras significativas: MODE + 8 + 3 - Quitar la notación científica MODE + 9 Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  12. 12. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD 1.4 – Notación científica Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos prefijos: Giga Nano Mega Micro Kilo Mili Hecto Centi Deca Deci 9 10 6 10 3 10 2 10 1 10 9 10− 6 10− 3 10− 2 10− 1 10− Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  13. 13. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se pueden poner como cociente de dos números enteros: 1.5 – Números no racionales irracionales2 perfectocuadradounesnopsi,irracionalesp ésima-npotenciaunaesnopsi,irracionalespn irracionalesπ esirracionalsonperiódicosnodecimalesnúmerosLos En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números irracionales. Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  14. 14. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de números reales y se designa por R 1.6 – Los números reales Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real. 1.6.1 - DEFINICIÓN 1.6.2 – LA RECTA REAL Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  15. 15. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O.1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS 1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS 0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1–6 0 1 32 4 6–5 5–4 –3 –2 –1–6 2 2,5 2,6 2,82,7 2,9 32,1 2,2 2,3 2,4 2,692,65 2,66 2,682,67 2,72,61 2,62 2,63 2,642,6 Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  16. 16. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O.1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS O U 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 Se divide cada unidad en tantas partes como tenga el denominador y se toman tantas como tenga el numerador. Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  17. 17. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O.1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS Se utiliza el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar. ( ) 222 112 += 2 2 Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  18. 18. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O.1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS 0 1 32 4 6–5 5–4 –3 –2 –1–6 2,5 2,6 2,82,7 2,9 32,1 2,2 2,3 2,42 2,65 2,66 2,682,67 2,69 2,72,61 2,62 2,63 2,642,6 Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  19. 19. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS 1.8 – Intervalos y semirrectas • Intervalo abierto: (a, b) = {x∈R / a < x < b} a b • Intervalo cerrado: [a, b] = {x∈R / a ≤ x ≤ b} a b Números comprendidos entre a y b Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  20. 20. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS 1.8 – Intervalos y semirrectas • [a, b) = {x∈R / a ≤ x < b} a b • (a, b] = {x∈R / a < x ≤ b} a b Números comprendidos entre a y b, incluido a Números comprendidos entre a y b, incluido b Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  21. 21. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.8.3 – SEMIRRECTAS 1.8 – Intervalos y semirrectas • (∞, a) = {x∈R / x < a} Números menores que a a • (a, ∞) = {x∈R / a < x} Números mayores que a a • (∞, a] = {x∈R / x ≤ a} Números menores o iguales que a a • [a, ∞) = {x∈R / a ≤ x} Números mayores o iguales que a a Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  22. 22. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.4 – Entornos 1.8 – Entornos • E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r) Matemáticas 1º Bach. CN : Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a) • E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a} )r,a(E− • : Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r))r,a(E+ • a-r a+r aa-r a+r aa-r a a+r
  23. 23. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo. 1.9 – Valor absoluto de un número real Matemáticas 1º Bach.    < ≥ = 0asia- 0asia a 1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera. { }ba,bax bax bax bax bax b|ax| +−∈⇒    −= += ⇒       −=− =− ⇒=− ( )ba,bax bax bax bax bax b|ax| +−∈⇒    −= += ⇒       −=− =− ⇒<− ),ba[]ba,(x bax bax bax bax b|ax| +∞+−−∞∈⇒    −= += ⇒       −=− =− ⇒≥− 
  24. 24. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS 1.10 – Potencias 1a0 = aa1 = nmnm aa.a + = nmnm aa:a − = ( ) n.mnm aa = nnn )b.a(b.a = ( )nnn b:ab:a = a 1 a 1 =− n n a 1 a =− n nnn a b a b b a =      =      − Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  25. 25. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.11.1 – DEFINICIÓN 1.11 – Raíces 1.11.2 – PECULIARIDADES impar.esnsiexistesóloa0aSi n.seaquecualquieraexistea0aSi n n ⇒< ⇒≥ 1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES n 1 n aa = n m n m aa = n a bb = ⇔ = a radical radicando Índice n Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  26. 26. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 4º E.S.O. 1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA 1.11 – Raíces ":"cuadradasRaíces "x":Potencias y "x":teclalaconRaíces y ""o"x"Tecla xy 613,4164078"""180"""180 ⇒=⇒ 1919y64 7.101,8446744071,84467440"""64""x""2"2 ⇒⇒=⇒ 211,8461943"")"""5":"""2"("""483"483483 5 2 5 2 ⇒=⇒⇒ 93,22710880"""5""x""350"350350 y 1 5 1 5 ⇒=⇒= Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  27. 27. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.1.12 – Propiedades y operaciones con raíces ( ) n.mm n n pp n n n n nnn nnp p aa aa b a b a abb.a r)simplificapuede(Seaa = = = = =
  28. 28. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES 1.12 – Propiedades y operaciones con raíces Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas) Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común) Racionalizar : Quitar las raíces del denominador • Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para que se vaya la raíz del denominador. • Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado. Matemáticas 4º ESO y 1º Bach.
  29. 29. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO 1.13 – Logaritmos Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. Matemáticas 1º Bach. PaxPlog x a =⇔= 1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1aloga = 01loga = QlogPlog)Q.P(log aaa += QlogPlog)Q/P(log aaa −= Plog.n)P(log a n a = alog Plog Plog b b a =
  30. 30. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS 1.13 – Logaritmos Logaritmo decimal o en base 10 : Matemáticas 1º Bach. PlogPlog10 = Logaritmo neperiano o en base e : PlnPloge =

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