Leonhard Euler foi um matemático e físico suíço que viveu entre 1707-1783. Ele fez importantes contribuições para áreas como cálculo, análise matemática e mecânica. A fórmula de Euler mostra a relação entre funções exponenciais e trigonométricas, sendo uma de suas descobertas mais importantes.

1. EEEFM HEITOR VILLA-LOBOS Alunos: Dyanara Gurgel Hudson Oliveira N°:10, 14 Prof°:Lucélia Lindinha

2. Euler

3. Biografia

4. Leonhard Paul Euler (Basiléia, 15 de abril de 1707 — São Petesburgo, 18 de setembro de 1783) foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Pai de Johhan Euler. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática. Além disso ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-SimonLaplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática:

5. Vida & Obra

6. Euler nasceu em Basileia, filho do pastor calvinista Paul Euler (lê-se "Óilã") e de Marguerite Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena. Pouco depois do seu nascimento, sua família mudou-se para a cidade de Riehen, onde passou a maior parte da sua infância. Desprezando seu prodigioso talento matemático, determinou que ele estudaria Teologia e seguiria a carreira religiosa. Paul Euler era um amigo da família Bernoulli , e Johhan Bernoulli - que foi um dos matemáticos mais importantes da Europa - seria eventualmente uma influência no pequeno Euler. A sua instrução formal adiantada começou na sua cidade natal, para onde foi mandado viver com a sua avó materna. Aos 14 anos matricula-se na universidade de Basiléia ,e em 1723, recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação onde comparava Descartes com Newton. Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de Johhan Bernoulli, que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática. Euler nesta altura estudava teologia, grego e hebreu, pela vontade de seu pai - para mais tarde se tornar pastor. Porém Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu filho estava destinado a ser um grande matemático.

7. Fórmula de Euler

8. A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler , é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa ,que mostra uma relação profunda entre as funções trigonométricas e a função exponencial. (A identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por: em que : x é um número real ;e é a base do logaritmo natural ;i é a unidade imaginária ;sen e cos são funções trigonométricas. A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma em que ln é o logaritmo natural.

9. Demonstração

10. Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito: A expansão em série de Taylor de uma função analítica f(x) centrada em a é representada como: com | x − a | < R , onde Usando esse conceito de expansão e tomando f(x) = ex em torno de a = 0, teremos: para todo x com intervalo de convergência de Em x = 1, na equação acima, obtem-se a expressão para o número e, como uma soma de uma série infinita: Se admitirmos a validade de substituirmos x por ix na equação obteremos:

11. Se admitirmos a validade de substituirmos x por ix na equação obteremos: A primeira parte da soma da equação anterior (eix) é a expansão do cos(x) e a segunda é a expansão do sen(x) em série de Mac. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler que de forma mais generalizada pode ser escrita como:

12. Curiosidades

13. Por ter sido um dos melhores e mais produtivos matemáticos da história, foi representado na sexta série das notas do banco Suíço e em numerosos selos da Suíça, Alemanha e da Rússia. O asteróide 2002 foi chamado Euler em sua homenagem. É também comemorado pela Igreja Luterana no dia 24 de Maio, no Calendário dos Santos. Euler foi também uma das inspirações na criação do jogo Sudoku. Um puzzle inspirado (provavelmente) no quadrado latino, invenção do século XVIII de Euler. Foi o criador da teoria dos Grafos, a partir da resolução do problema das sete pontes de köningsberg. Leonard Euler morreu bebendo chá, em São Petesburgo Existe uma anedota sobre Euler e Diderot, quando este estava em São Petersburgo influenciando a corte russa com seu ateísmo, e Euler foi chamado a intervir. Euler teria uma prova matemática da existência de Deus, e teria dito "Monsieur, donc Dieu existe. Respondez!". Diderot não teria conseguido responder, e retirou-se humilhado sob os risos da corte. Esta anedota é falsa

14. Antiga nota de 10 francos suíços homenageando Euler.