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Trigonometr´ Funciones Trigonom´tricas
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Carlos A. Rivera-Morales

Prec´lculo 2
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Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales
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Trigonometria func trig_numeros_reales_marzo_27_2012

  1. 1. Contenido Trigonometr´ Funciones Trigonom´tricas ıa: e de N´ meros Reales u Carlos A. Rivera-Morales Prec´lculo 2 a Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  2. 2. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Tabla de Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tricas de e N´meros reales u Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  3. 3. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Objetivos: Discutiremos: la circunferencia unitaria Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  4. 4. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Objetivos: Discutiremos: la circunferencia unitaria funciones trigonom´tricas de n´meros reales e u Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  5. 5. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Objetivos: Discutiremos: la circunferencia unitaria funciones trigonom´tricas de n´meros reales e u dominios y rangos de las funciones trigonom´tricas de e n´meros reales u identidades trigonom´tricas fundamentales e Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  6. 6. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Objetivos: Discutiremos: la circunferencia unitaria funciones trigonom´tricas de n´meros reales e u dominios y rangos de las funciones trigonom´tricas de e n´meros reales u identidades trigonom´tricas fundamentales e otras identidades trigonom´tricas e Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  7. 7. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Circunferencia Unitaria Definici´n: La circunferencia unitaria es la circunferencia o con centro en el origen del plano cartesiano y radio r = 1. Figura: Ecuaci´n de la circunferencia unitaria: x2 + y 2 = 1 o Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  8. 8. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Nota: Para definir las funciones trigonom´tricas de e n´ meros reales, tambi´n llamadas funciones circulares, a u e cada n´mero real t le asignaremos un punto P (t) = (x, y) de la u circunferencia unitaria. Dado t ∈ R, recorremos t unidades sobre (a lo largo) de la circunferencia unitaria, comenzando en el punto (1, 0), en sentido contrario de las manecillas del reloj, si t es positivo. Si t es negativo, entonces nos movemos a favor de las manecillas del reloj. Usaremos las coordenadas del punto P (t) = (x, y) para definir las funciones trigonom´tricas del e n´mero t. u Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  9. 9. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Figura: Movimiento a lo largo de la circunferencia unitaria Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  10. 10. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Funciones Trigonom´tricas de N´meros Reales e u Definici´n: Sea t un n´mero real y sea P (x, y) el punto de la o u circunferencia unitaria correspondiente al n´mero t. Si la u funci´n est´ definida, entonces o a sen(t) = y cos(t) = x y tan(t) = x Rivera-Morales, Carlos A. csc(t) = sec(t) = cot(t) = 1 y 1 x x y ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  11. 11. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Funciones Trigonom´tricas de N´meros Reales e u Definici´n: Sea t un n´mero real y sea P (x, y) el punto de la o u circunferencia unitaria correspondiente al n´mero t. Si la u funci´n est´ definida, entonces o a sen(t) = y cos(t) = x y tan(t) = x csc(t) = sec(t) = cot(t) = 1 y 1 x x y Nota: Si el punto correspondiente al n´mero t est´ en uno de u a los ejes de coordenadas, entonces habr´ dos funciones a trigonom´tricas que no est´n definidas. e a Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  12. 12. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Figura: En el contexto de la circunferencia unitaria, los valores trigonom´tricos del n´mero real t se definen en t´rminos de las e u e coordenadas x y y del punto P . Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  13. 13. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tricas de e N´meros Reales u Funci´n o sen cos tan cot sec csc Dominio − { π + nπ, 2 − {nπ, n − { π + nπ, 2 − {nπ, n Rango o Imagen [-1, 1] [-1, 1] n entero} entero} n entero} entero} Rivera-Morales, Carlos A. (−∞, −1] ∪ [1, +∞) (−∞, −1] ∪ [1, +∞) ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  14. 14. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Figura: Relaci´n entre los diferentes tipos de funciones o trigonom´tricas e Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  15. 15. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Nota: Las funciones trigonom´tricas del ´ngulo estandarizado θ e a con medida t en radianes, que est´n definidadas, corresponden a e las mismas funciones trigonom´tricas definidas en t´rminos del e e punto sobre la circunferencia unitaria determinado por el n´mero real t. u Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  16. 16. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: Calcule los valores trigonom´tricos de t = e Rivera-Morales, Carlos A. 5π 3 . ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  17. 17. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: Calcule los valores trigonom´tricos de t = − 3π . e 4 Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  18. 18. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: Calcule las coordenadas exactas del punto P ( 29π ) de 6 la circunferencia unitaria. Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  19. 19. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: En los ejercicios del 1 al 8, para el n´mero real t u dado (a) localice el punto P (t) = (cos(t), sen(t)) en la circunferencia unitaria y (b) determine las coordenadas exactas del punto P (t). No use la calculadora. Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  20. 20. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: En los ejercicios del 9 al 16, para el n´mero real t u dado (a) localice el punto P (t) = (cos(t), sen(t)) en la circunferencia unitaria y (b) use la calculadora para aproximar las coordenadas exactas del punto P (t). Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  21. 21. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: En los ejercicios del 17 al 24 determine el valor exacto de cada funci´n trigonom´trica dada en el contexto de la o e circunferencia unitaria. Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  22. 22. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Sea t un n´mero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuaci´n u o est´n definidos, entonces: a Identidades rec´ ıprocas 1 sen(t) = csc(t) cos(t) = 1 csc(t) = sen(t) sec(t) = 1 sec(t) 1 cos(t) Rivera-Morales, Carlos A. 1 tan(t) = cot(t) 1 cot(t) = tan(t) ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  23. 23. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Sea t un n´mero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuaci´n u o est´n definidos, entonces: a Identidades rec´ ıprocas 1 sen(t) = csc(t) cos(t) = 1 csc(t) = sen(t) sec(t) = 1 sec(t) 1 cos(t) Identidades cociente tan(t) = sen(t) cot(t) = cos(t) cos(t) sen(t) Rivera-Morales, Carlos A. 1 tan(t) = cot(t) 1 cot(t) = tan(t) ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  24. 24. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Sea t un n´mero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuaci´n u o est´n definidos, entonces: a Identidades rec´ ıprocas 1 sen(t) = csc(t) cos(t) = 1 csc(t) = sen(t) sec(t) = 1 sec(t) 1 cos(t) Identidades cociente tan(t) = sen(t) cot(t) = cos(t) cos(t) sen(t) Rivera-Morales, Carlos A. 1 tan(t) = cot(t) 1 cot(t) = tan(t) ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  25. 25. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales (Continuaci´n) e o Identidades pitag´ricas o sen2 (t) + cos2 (t) = 1 1 + tan2 (t) = sec2 (t) cot2 (t) + 1 = csc2 (t) Identidades Par/Impar sen(−t) = − sen(t) cos(−t) = cos(t) csc(t) = − csc(t) sec(−t) = sec(t) Rivera-Morales, Carlos A. tan(−t) = − tan(t) cot(−t) = − cot(t) ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  26. 26. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales (Continuaci´n) e o Identidades pitag´ricas o sen2 (t) + cos2 (t) = 1 1 + tan2 (t) = sec2 (t) cot2 (t) + 1 = csc2 (t) Identidades Par/Impar sen(−t) = − sen(t) cos(−t) = cos(t) csc(t) = − csc(t) sec(−t) = sec(t) tan(−t) = − tan(t) cot(−t) = − cot(t) Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes son funciones impares. Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  27. 27. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales (Continuaci´n) e o Identidades de Cofunciones sen( π − t) = cos(t) tan( π − t) = cot(t) 2 2 cos( π − t) = sen(t) cot( π − t) = tan(t) 2 2 Rivera-Morales, Carlos A. sec( π − t) = csc(t) 2 csc( π − t) = sec(t) 2 ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  28. 28. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales (Continuaci´n) e o Identidades de Cofunciones sen( π − t) = cos(t) tan( π − t) = cot(t) 2 2 cos( π − t) = sen(t) cot( π − t) = tan(t) 2 2 sec( π − t) = csc(t) 2 csc( π − t) = sec(t) 2 Nota: En el ejercicio que sigue se le pide que demuestre las identidades de cofunciones . Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  29. 29. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: Identidades de Cofunciones En el tri´ngulo a rect´ngulo que se muestra, explique por qu´ α = π − β. a e 2 Adem´s, explique c´mo se pueden obtener las seis identidades a o de cofunciones a partir de este tri´ngulo para 0 < α < π . a 2 Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  30. 30. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: Exprese cada una de las siguientes expresiones trigonom´tricas en t´rminos de seno y coseno y luego e e simplifique: 1 tan(t) sen(t) + cos(t) 2 sen(−u) + cot(−u) cos(−u) 3 4 5 cos(x) sen(x) csc(x) + sec(x) cot(t) csc(t)−sen(t) cos2 (t) + 4 + sen2 (t) 5 sec2 (−t) Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  31. 31. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas e Muchas identidades provienen de las identidades fundamentales. Para comprobar que una ecuaci´n trigonom´trica es una o e identidad, transformamos un lado de la ecuaci´n en el otro o mediante una serie de pasos, cada uno de los cuales d´ lugar a a una identidad. Sin embargo, no se puede efectuar las mismas operaciones en ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, si comenzamos con una ecuaci´n que no es una o identidad, como sen(x) = − sen(x) y elevamos cada lado al cuadrado, obtenemos la ecuaci´n o sen2 (x) = sen2 (x) la cual es una identidad. Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  32. 32. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Identidades Trigonom´tricas e 1 Sugerencias para demostrar identidades trigonom´tricas e Comenzar con una lado de la ecuaci´n y transformarlo en o el otro lado. Generalmente, se recomienda comenzar con el lado m´s complicado. a 2 Use ´lgebra e identidades que conozca para tranformar el a lado con el que comenz´. Combine fracciones usando o denominadores comunes, factorice y simplifique. 3 Si llega a un punto de tranque, exprese todas las funciones en t´rminos de senos y cosenos. e 4 Siempre tenga en mente lo que desea obtener. Eso ayuda para decidir pasos posteriores. Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados
  33. 33. Contenido Objetivos Circunferencia Unitaria Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr e Identidades Trigonom´tricas Fundamentales e Ejercicios Otras Identidades Trigonom´tricas e Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales e u Ejercicio: Demuestre las identidades trigonom´tricas e siguientes. 1 2 3 4 cot(x) sec(x) =1 csc(x) tan2 (x)(1 + cot2 (x)) = 1 1−sen2 (x) sec(x)+csc(x) tan(x)+cot(x) = sen(x) + cos(x) 1+sen(x) 1−sen(x) 1−sen(x) − 1+sen(x) = 4 tan(x) sec(x) 5 cos(u) 1−sen(u) 6 sec(t)+tan(t) sec(t)−tan(t) = sec(u) + tan(u) = 1+2 sen(t)+sen2 (t) cos2 (t) Rivera-Morales, Carlos A. ´ Trigonometr´ ıa: Angulos Estandarizados

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