Trabajo de matematica

1. Función exponencial
Es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler,
aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de
los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se
denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos
naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo
exponencial en base a si tiene la forma
E(x)=K⋅ax
Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de
exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
Propiedades
La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes
propiedades generales.
 Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una
constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)
 exp(x+y)=exp(x)⋅exp(y)
 exp(x−y)=exp(x)/exp(y)
 exp(−x)=1exp(x)
 exp(0)=1

2. Derivada
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica
principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,
ddxex=ex
Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en
cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de
expresar lo anterior:
 La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
 La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
 La función es solución de la ecuación diferencial y′=y.
Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su
derivada se puede generalizar así:
ddxax=ax⋅ln(a)
Donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta
que ln(e) = 1 y por lo tanto ddxex=ex.

3. Función exponencial compleja
Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función
holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras.1 Algunas de ellas son simples
extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números es
mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:
ez=Σn=0∞znn!
para valores imaginarios puros se cumple la identidad
ei⋅t=cost+i⋅sint,
en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula
más importante del mundo.
Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se obtiene una
definición equivalente a la primera,
ez=ex+yi=ex⋅(cosy+isiny)
Relación que demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un
periodo para la parte imaginaria de 2πi.
Logaritmo
En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es
el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el
logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 =
10×10×10.

4. De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la
multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la
exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la
abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos
hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base,
se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un
medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por
científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente,
usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho
más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la
suma de los logaritmos de los factores:
logb(xy)=logb(x)+logb(y).
La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la
función exponencial en el siglo XVIII.
Función trigonométrica
En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de
extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y
complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía,
náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas
aplicaciones.

5. Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo
rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo
rectángulo que se usará en los sucesivo será:
 La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo.
 El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α.

6.  El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo α.
Función hiperbólica
Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función
exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones
trigonométricas.1 Estas son:
El seno hiperbólico
sinh(x)=ex−e−x2
El coseno hiperbólico
cosh(x)=ex+e−x2
La tangente hiperbólica
tanh(x)=sinh(x)cosh(x)
y otras líneas:
coth(x)=cosh(x)sinh(x)
(cotangente hiperbólica)
sech(x)=1cosh(x)
(secante hiperbólica)
csch(x)=1sinh(x)
(cosecante hiperbólica)

7. Importancia en nuestra vida cotidiana.
La investigación de las funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas tiene gran
importancia en el quehacer permanente de la humanidad. Las parábolas se presentan con
mucha frecuencia en la naturaleza, por ejemplo la trayectoria seguida por un proyectil, las
órbitas de algunas partículas atómicas, etc. Las formas de arcos parabólicos se utilizan para
hacer luces de emergencia, faros de automóviles; algunos tipos de telescopios emplean
espejos parabólicos, en estructuras constructivas el arco parabólico es el más resistente, los
platos de antenas receptoras de señales de satélite, etc.
A las funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento, puesto
que su empleo más extenso está en la descripción de esta clase de fenómenos, como el
desarrollo poblacional de: personas, animales, bacterias; para desintegración radioactiva, el
crecimiento de una sustancia en una reacción química, el incremento del capital en el
interés compuesto, etc. La función inversa de la función exponencial, es la función
logarítmica que se utiliza ampliamente en las ciencias teóricas como en las aplicadas, por

8. ejemplo, para resolver la ecuación exponencial que se deriva de los estudios de crecimiento
poblacional y de las matemáticas financieras, aun con una calculadora científica muy
buena, se necesitan las funciones logarítmicas para resolverlas.