República bolivariana de Venezuela          Ministerio del Poder Popular para la EducaciónUniversidad Nacional Experimenta...
 Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema o de  coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y...
 Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la  siguiente ecuación: Se sustituye el modulo del vector y se despe...
 Ejemplo: Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de α, β, γ del  vector (4, 5, 3).
 Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de: Sus vectores: S...
 Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus  vectores directores son: = (-2, 1) y =(2, -3)...
 Ecuación general del plano:Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:El sistema tiene que ser compatible ...
Se le dan valores:Se sustituye:Se le da el valor a D y realizan las operaciones:Obteniendo como resultado la ECUACIÓN GENE...
 Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y  contiene a la recta de ecuación:De la ecuación...
Puntos Coplanarios Dos o más vectores son coplanarios si: * Son linealmente dependientes, y por lo tanto sus componentes ...
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Geometría Analítica en el Espacio

  1. 1. República bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la EducaciónUniversidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Núcleo Lara Integrantes: Victor Freitez Andrés García Karina Parra Sección: 1T1IS
  2. 2.  Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema o de coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los ángulos a que el mismo forma con el sentido positivo de los ejes coordenados. Sus formulas son:
  3. 3.  Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la siguiente ecuación: Se sustituye el modulo del vector y se despeja α, β, γ en la formula correspondiente a su eje. Posteriormente se sustituye en la formula de suma de cosenos.
  4. 4.  Ejemplo: Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de α, β, γ del vector (4, 5, 3).
  5. 5.  Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de: Sus vectores: Sus pendientes:
  6. 6.  Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: = (-2, 1) y =(2, -3). Las rectas r y s se cortan en un punto A, que es vértice de un triángulo obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese triángulo.
  7. 7.  Ecuación general del plano:Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:El sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ. Por ende, el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.Se desarrolla el determinante:
  8. 8. Se le dan valores:Se sustituye:Se le da el valor a D y realizan las operaciones:Obteniendo como resultado la ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO:
  9. 9.  Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y contiene a la recta de ecuación:De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector .
  10. 10. Puntos Coplanarios Dos o más vectores son coplanarios si: * Son linealmente dependientes, y por lo tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2. * Los vectores determinados por ellos también son coplanarios.Ejemplo: Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7, 2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los contiene.

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