Book

1. PÀ£ÁðlPÀ ¸ÀPÁðgÀ
¸ÁªÀðd¤PÀ ²PÀët E¯ÁSÉ
gÀZÀ£Á - 3
ºÉƸÀ ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀ DzsÁjvÀ
¥ËæqsÀ±Á¯Á ²PÀëPÀgÀ vÀgÀ¨ÉÃw ¸Á»vÀå
« ÀAiÀÄ : UÀtÂvÀ
: ºÀvÀÛ£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw
2014 - 2015
gÁdå ²PÀët ¸ÀA±ÉÆÃzsÀ£É ªÀÄvÀÄÛ vÀgÀ¨ÉÃw E¯ÁSÉ,
100 Cr jAUï gÀ¸ÉÛ, §£À±ÀAPÀj 3£Éà ºÀAvÀ, ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ – 560 085
ªÀÄvÀÄÛ
gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ªÀiÁzsÀå«ÄPÀ ²PÀët C©üAiÀiÁ£À, PÀ£ÁðlPÀ

2. vÀgÀ¨ÉÃw ¸Á»vÀåzÀ ²gÉÆãÁªÀÄ : gÀZÀ£Á-3
¥ÀæPÀluÉAiÀÄ ºÀPÀÄÌUÀ¼ÀÄ : ¤zÉðñÀPÀgÀÄ
r.J¸ï.Dgï.n.
# 4, 100 Cr ªÀvÀÄð® gÀ¸ÉÛ
§£À±ÀAPÀj 3£Éà ºÀAvÀ
¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ - 560 085
ªÀÄÄzÀætzÀ ªÀµÀð : 2014-2015
ªÀÄÄ¢ævÀ ¥ÀæwUÀ¼À ¸ÀASÉå : 9,000
ªÀÄÄzÀæt PÁUÀzÀ §¼ÀPÉ : 70 f.J¸ï.JA. ªÀiÁå¦èvÉÆÃ
gÀPÁë¥ÀÄl PÁUÀzÀ §¼ÀPÉ : 170 f.J¸ï.JA. Dmïð PÁqïð
ªÀÄÄzÀæPÀgÀÄ : C©üªÀiÁ¤ ¥À©èPÉõÀ£ïì °.,
£ÀA. 2/4, qÁ|| gÁeïPÀĪÀiÁgï gÀ¸ÉÛ,
gÁeÁf£ÀUÀgÀ, ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ-10
zÀÆgÀªÁt : 080-23123141
e- mail : abhimaanigroup@gmail.com
2

3. 3
ªÀÄÄ£ÀÄßr
gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ ZËPÀlÄÖ 2005 gÀ vÀvÀéUÀ¼À£ÀÄß DzsÀj¹ 2014-15 ¸Á°£À°è
10£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è J®è « ÀAiÀÄUÀ½UÀÆ £ÀÆvÀ£À ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß eÁjUÉ
vÀgÀ¯ÁVzÉ. ¥ÀoÀå ¥ÀĸÀÛPÀzÀ°ègÀĪÀ « ÀAiÀÄ eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß «zÁåyðUÀ¼ÀÄ vÀªÀÄä
eÁÕ£ÀªÀ£ÁßV¹PÉƼÀî®Ä ²PÀëPÀgÀÄ ºÉÃUÉ vÀgÀUÀw ¥ÀæQæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß £ÀqɸÀ¨ÉÃPÀÄ JAzÀÄ F
¸Á»vÀåzÀ°è ¸ÀÆa¸À¯ÁVzÉ. ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ°ègÀĪÀ ¥ÁoÀUÀ½UÉ ¥ÀÆgÀPÀ ZÀlĪÀnPÉ
UÀ¼À£ÀÄß ªÀÄ£ÀªÀjPÉ ªÀiÁrPÉÆqÀ®Ä ¸ÀÆZÀåªÁV w½¸À¯ÁVzÉ. ªÀÄPÀ̼À w½ªÀ½PÉAiÀÄ£ÀÄß
¤gÀAvÀgÀªÁV ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄUÀæªÁV ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ªÀiÁqÀĪÀ §UÉÎAiÀÄÆ ²PÀëPÀjUÉ
ªÀiÁUÀðzÀ±Àð£À ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ.
£ÀÆvÀ£ÀªÁV eÁjUÉ §A¢gÀĪÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ
«zÁåyðUÀ¼ÀÄ eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß gÀa¹PÉƼÀÄîªÀ ¤nÖ£À°è, ²PÀëPÀgÀ£ÀÄß vÉÆqÀV¸À®Ä LzÀÄ
¢£ÀUÀ¼À vÀgÀ¨ÉÃwAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃqÀĪÀ GzÉÝñÀÀ¢AzÀ ¸ÀzÀj ¸Á»vÀåªÀ£ÀÄß gÀa¸À¯ÁVzÉ.
¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ gÀZÀ£Á ¸À«ÄwAiÀÄ ¸ÀzÀ¸ÀågÀ£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀAvÉ vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¨ÉÆâü¸ÀĪÀ
²PÀëPÀgÀ vÀAqÀªÀÅ F vÀgÀ¨ÉÃw ¸Á»vÀåªÀ£ÀÄß gÀa¹zÉ.
¸ÀzÀj ¸Á»vÀåªÀ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ «zÁåyðUÀ¼À°è eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß PÀnÖPÉƼÀÄîªÀ
¥ÀæQæAiÉÄUÉ ZÁ®£É ¤ÃqÀÄ«j JA§ D±ÀAiÀÄzÉÆA¢UÉ F vÀgÀ¨ÉÃw ¸Á»vÀåªÀ£ÀÄß
¤ªÀÄä PÉÊUÉ ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ.
vÀgÀUÀwAiÀÄ PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ºÉÆgÉ JAzÀÄ ¨sÁ«¸ÀzÀAvÉ
¸ÀAvÀ¸ÀzÁAiÀÄPÀ PÀ°PÉAiÀÄ°è CªÀgÀ£ÀÄß vÉÆqÀV¹ UÀÄuÁvÀäPÀ PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß GAlÄ
ªÀiÁqÀĪÀ ¤nÖ£À°è ²PÀëPÀgÀÄ ªÀiÁqÀĪÀ J®è ¥ÀæAiÀÄvÀßUÀ½UÀÆ GvÀÛªÀÄ ¥sÀ® ¹UÀ°
JA§ ±ÀĨsÀ D±ÀAiÀÄzÉÆA¢UÉ F vÀgÀ¨ÉÃw ¸Á»vÀåªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀgÀ¯ÁVzÉ.
¸À®ºÉUÀ½UÉ ¸ÁéUÀvÀ«zÉ.
dAiÀÄPÀĪÀiÁgï J¸ï.
¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ
r.J¸ï.E.Dgï.n.

4. 4
CzsÀåPÀëgÀ £ÀÄr
DwäÃAiÀÄ ²PÀëPÀ §AzsÀÄUÀ¼ÉÃ,
10£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw ºÉƸÀ UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀzÀ°è ¸ÀÆa¹gÀĪÀAvÉ, ¥Àæw WÀlPÀªÀÅ
ªÁ¸ÀÛªÀ fêÀ£À ¸À£ÀߪÉñÀUÀ½AzÀ CxÀªÁ PÀ°PÁ ZÀlĪÀnPÉUÀ½AzÀ ¥ÁægÀA¨sÀ
ªÁUÀĪÀÅzÀjAzÀ PÀ°PÉ GvÀÛªÀĪÁUÀĪÀÅzÀÄ. EzÉà D±ÀAiÀĪÀ£ÀÄß £ÉgÀªÉÃj¸À®Ä
gÀZÀ£Á3 gÀ ¸Á»vÀå gÀZÀ£ÉAiÀiÁVzÉ. FUÁUÀ¯É gÀZÀ£Á-1 ºÁUÀÆ gÀZÀ£Á-2
¸ÀAaPÉUÀ¼À°è ¸À«¸ÁÛgÀªÁV w½¹gÀĪÀ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ZÀ«ðvÀ ZÀªÀðt ªÀiÁqÀzÉ
MAzÀÄ ºÉƸÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è ¸ÀAaPÉ-3£ÀÄß ºÉÆgÀvÀgÀ®Ä ¥ÁæªÀiÁtÂPÀ ¥ÀæAiÀÄvÀß
ªÀiÁrzÉÝêÉ.
ºÉƸÀzÁV ¸ÉÃ¥ÀðqÉAiÀiÁVgÀĪÀ CzsÁåAiÀÄUÀ½UÉ ¥ÀÇgÀPÀ ¸Á»vÀå MzÀV¸ÀĪÀÅzÀÄ.
ªÉÆzÀ®£É DzÀåvÉ ºÁUÀÆ »A¢zÀÝ CzsÁåAiÀÄUÀ½UÉ J¯Éè°è CUÀvÀåªÉÇ C®è°è ¥ÀÇgÀPÀ
ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À£ÀÄß ¸Á»vÀåzÉÆA¢UÉ MzÀV¸ÀĪÀ ¥ÀæAiÀÄvÀß ªÀiÁrzÉÝêÉ. UÀtÂvÀ ²PÀëPÀgÀÄ,
vÀªÀÄä ¸ÀA¥À£ÀÆä® ºÁUÀÆ QæAiÀiÁ²Ã®vÉUÀ¼À£ÀÄß MUÀÆÎr¹ MAzÀÄ ¸ÁªÀÄÆ»PÀ
¥ÁæªÀiÁtÂPÀ ¥ÀæAiÀÄvÀߢAzÀ UÀtÂvÀ PÀ°PÉ ¸ÀÄUÀªÀĪÁUÀ®Ä J®ègÀÆ ¥ÀæAiÀÄw߸ÉÆÃt.
²æà PÀÈ ÀÚöåAUÁgï PÉ. J¸ï.
CzsÀåPÀëgÀÄ
¸Á»vÀå gÀZÀ£Á vÀAqÀ

5. 5
¥ÀjPÀ®à£É ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁUÀðzÀ±Àð£À
²æà dAiÀÄPÀĪÀiÁgï J¸ï.
¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ,
r.J¸ï.E.Dgï.n., ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ
²æêÀÄw f. ¦. ZÀAzÀæªÀÄä ²æêÀÄw ¹jAiÀÄtÚªÀgï
¸ÀºÀ ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, ®°vÀ ZÀAzÀæ±ÉÃRgï
r.J¸ï.E.Dgï.n, G¥À ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ,
¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ r.J¸ï.E.Dgï.n, ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ
¸Á»vÀå gÀZÀ£Á vÀAqÀ
CzsÀåPÀëgÀÄ : ²æÃ.PÉ.J¸ï.PÀÈ ÀÚ CAiÀÄåAUÁgï
¤ªÀÈvÀÛ PÉëÃvÀæ ²PÀëuÁ¢üPÁjUÀ¼ÀÄ,
¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ
¸ÀzÀ¸ÀågÀÄ :
²æà PÁ¼ÉñÀégÀ gÁªï.J£ï.
±ÉÊPÀëtÂPÀ ¸À®ºÉUÁgÀgÀÄ,
eÉ.¦.£ÀUÀgÀ,
¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ
qÁ.ªÉÊ.©.ªÉAPÀmÉñï
G¥À£Áå¸ÀPÀgÀÄ,
¸À.¥À.¥ÀÆ.PÁ¯ÉÃdÄ, ©qÀ¢,
gÁªÀÄ£ÀUÀgÀ f¯Éè
²æà ¥ÀæPÁ±À ªÀÄÆrvÁÛAiÀÄ.¦.
PÉëÃvÀæ ¸ÀA¥À£ÀÆä® ªÀåQÛUÀ¼ÀÄ
¸ÀļÀå vÁ®ÆèPÀÄ,
zÀQët PÀ£ÀßqÀ
²æà UÀÄgÀÄgÁd ºÉƸÀÄgÀPÀgï,
¸ÀºÀ ²PÀëPÀgÀÄ,
¸À.¥À.¥ÀÆ.PÁ¯ÉÃdÄ, zÉêÀ£ÀºÀ½î,
¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ UÁæªÀiÁAvÀgÀ f¯Éè
²æêÀÄw «£ÀAiÀÄ PÀĪÀiÁj ªÉÊ.
¸ÀºÀ ²PÀëPÀgÀÄ
¨sÁgÀvï ¥ËæqsÀ±Á¯É,
G¼Áî®, zÀQët PÀ£ÀßqÀ f¯Éè
¸ÀzÁ£ÀAzÀ PÀĪÀiÁgï f. «.
¸ÀºÀ ²PÀëPÀgÀÄ,
¸À.¥À.¥ÀÆ.PÁ¯ÉÃdÄ,
ºÉƸÀ¥ÉÃmÉ
PÁAiÀÄðPÀæªÀÄ ¸ÀAAiÉÆÃd£É
²æêÀÄw G Á JA. r.
»jAiÀÄ ¸ÀºÁAiÀÄPÀ ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, r.J¸ï.E.Dgï.n, ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ

6. 6
¥Àj«r
PÀæªÀÄ.
¸ÀASÉå
« ÀAiÀÄ ¥ÀÄl¸ÀASÉå
1. ¸ÀAaPÉAiÀÄ GzÉÝñÀUÀ¼ÀÄ 7 - 7
2. ºÉƸÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ D±ÀAiÀÄUÀ¼ÀÄ
J£ï.¹.J¥sï., PÉ.¹.J¥sï. ªÀÄvÀÄÛ Dgï.n.E.
UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ
8 – 20
3. £ÀÆvÀ£À UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ ¥ÀjZÀAiÀÄ
PÉ®ªÀÅ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ «zsÁ£À
21 – 24
4. ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÄUÀªÀÄUÉƽ¸ÀĪÀ «zsÁ£À
PÉ®ªÀÅ WÀlPÀUÀ½UÉ gÀZÀ£ÁvÀäPÀ ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ
PÉ®ªÀÅ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ
25 – 48
5. CCE (¹¹E) ªÀiË®åªÀiÁ¥À£ÀzÀ C¼ÀªÀrPÉ 49 – 72
6 ±Á¯Á UÀtÂvÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ
UÀtÂvÀ PÀè¨ï, UÀtÂvÀ ªÀiÁ¯É, UÀtÂvÀ gÀ¸À¥Àæ±Éß,
UÀtÂvÀ ¥ÀwæPÉ, UÀtÂvÀ ¯ÉÃR£ÀUÀ¼ÀÄ,
²PÀëPÀjAzÀ vÁAwæPÀ ªÀåªÀ¸ÉÜAiÀÄ §¼ÀPÉ
73 - 86
7. ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ eÉÆvÉUÉ PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß
¥ÀjuÁªÀÄPÁjAiÀiÁVj¸À®Ä ¥ÀÆgÀPÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
87 - 102
8. NTSE ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ ªÀiÁ»w 103 - 117
9. UÀæAxÀUÀ¼ÀÄ 118 - 120

7. 7
gÀZÀ£Á 10gÀ GzÉÝñÀUÀ¼ÀÄ
1. £ÀÆvÀ£À ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ ºÁUÀÆ NCF D±ÀAiÀÄUÀ¼À §UÉÎ ²PÀëPÀgÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ zsÉÆÃgÀuÉ
vÁ¼ÀĪÀAvÉ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ.
2. NCF, KCF DzsÁgÀzÀ°è 10£ÉAiÀÄ UÀtÂvÀ £ÀÆvÀ£À ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjZÀ¬Ä¹
PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ.
3. ¥ÀoÀå ¥ÀĸÀÛPÀzÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹, ¸ÀÄ®©üÃPÀj¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß
gÀƦ¸ÀĪÀÅzÀÄ.
4. ¥ÀoÀåzÀ°ègÀĪÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ ¥ÀoÀåPÀæªÀĪÀ£ÀÄß ¸ÀÄUÀªÀÄUÉƽ¸ÀĪÀ
(gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£À)ªÀ£ÀÄß CjvÀÄ gÀƦ¸ÀĪÀ P˱À® ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
5. 10£Éà vÀgÀUÀw UÀtÂvÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ CCE DzsÁjvÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£ÀzÀ vÀAvÀæ
ºÁUÀÆ ¸ÁzsÀ£ÀUÀ¼À£ÀÄß C¼ÀªÀr¸ÀĪÀ §UÉAiÀÄ£ÀÄß CjAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
6. vÀgÀUÀw PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjuÁªÀÄPÁjAiÀiÁV¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß CjAiÀĪÀÅzÀÄ.
7. UÀtÂvÀ « ÀAiÀÄzÀ°è PÀ°PÁ ¸Éßûà ªÁvÁªÀgÀt ¤ªÀiÁðtzÀ CªÀ±ÀåPÀvÉ CjvÀÄ
CzÀ£ÀÄß ¤ªÀiÁðt ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ.

8. 8
gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ²PÀët ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ NCF - 2005
gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ²PÀët ¤Ãw, ºÉÆgɬĮèzÀ ²PÀët (1993)
»A¢£À ²PÀët DAiÉÆÃUÀzÀ ªÀgÀ¢UÀ¼ÀÄ «±Éà ÀªÁV ±Á¯Á ²PÀëtPÉÌ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ
¥ÀoÀåPÀæªÀÄ (2000) UÀ¼À£ÀÄß DzsÀj¹ NCF 2005 ¸ÀȶÖAiÀiÁVgÀĪÀÅzÀÄ.
NCF eÁÕ£ÀzÀ D« ÁÌgÀPÁÌV, ¥Àj¸ÀgÀzÀ Cj«UÁV, ±ÁAwUÁV, DgÉÆÃUÀåPÀgÀ
fêÀ£ÀPÁÌV, ¸ÀªÀiÁvÀ£É, ¸ÉÆÃzÀgÀvÀéPÁÌV ²PÀëtªÀ£ÀÄß PÉÆqÀ¨ÉÃPÉAzÀÄ ¥Àæ¸ÁÛ¦¸ÀÄvÀÛzÉ.
eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß ±Á¯ÉAiÀÄ ºÉÆgÀV£À fêÀ£ÀPÀÆÌ ¸ÀA§A¢ü¹, PÀAoÀ¥ÁoÀ CxÀªÀ
AiÀiÁAwæPÀ PÀ°«¤AzÀ ºÉÆgÀ§gÀ®Ä MvÀÄÛ ¤Ãr, ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀPÉÌ ¹Ã«ÄvÀUÉƽ¸ÀzÉ,
CzÀjAzÁZÉUÀÆ PÀ°PÉAiÀÄ CªÀPÁ±ÀªÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¸ÀĪÀ, ¤gÀAvÀgÀ ºÁUÀÆ £ÀªÀåvÉ
ºÉÆA¢gÀĪÀ «zsÁ£À¢AzÀ PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß MgÉ ºÀZÀÑ®Ä CªÀPÁ±À ¤ÃqÀĪÀ, gÁ¶ÖçÃAiÀÄ
ªÀiË®åUÀ¼À£ÀÄß G¢ÝÃ¥À£ÀUÉƽ¸À®Ä C£ÀĪÁUÀĪÀ jÃwAiÀÄ°è ²PÀëtzÀ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ
«gÀ¯ÉA§ÄzÀÄ NCF£À D±ÀAiÀÄ. EzÀgÀ «ªÀgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀzÀ ªÀÄÄ£ÀÄßrAiÀÄ°è
«ªÀgÀªÁV ¥Àæ¸ÁÛ¦¹zÉ. NCF£À DAUÀè ºÁUÀÆ PÀ£ÀßqÀ C£ÀĪÁzÀzÀ ¥ÀæwUÀ¼ÀÄ
zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. (¸ÀĪÀiÁgÀÄ 200 ¥ÀÅl) EzÀ®èzÉ J¸ï.¹.E.Dgï.n AiÀÄÄ ¥ÀæPÀn¹gÀĪÀ
««zsÀ « ÀAiÀÄUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ position paper UÀ½ªÉ. EªÀ£ÀÄß …NCERT
Web £À®Æè ¤ÃªÀÅ £ÉÆÃqÀ§ºÀÄzÀÄ. KCF 2007 EªÀÅUÀ¼À ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼À£ÀÄß gÁdåPÉÌ
ºÉÆAzÁtÂPÉ ªÀiÁrPÉÆArzÉ.

9. 9
2005gÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀĪÀÅ (NCF) F PɼÀV£À ªÉʲ ÀÖöåUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.
PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß fêÀ£ÀzÀ CªÀ±ÀåPÀvÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ eÉÆÃr¸ÀĪÀÅzÀÄ.
PÀAoÀ¥ÁoÀ «zsÁ£À¢AzÀ PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄPÀÛUÉƽ¸ÀĪÀÅzÀÄ.
¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼À ºÉÆgÀvÁV ¥ÀoÀåPÀæªÀĪÀ£ÀÄß ²æêÀÄAvÀUÉƽ¸ÀĪÀÅzÀÄ.
eÁÕ£ÀzÀ C©üªÀÈ¢ÞUÉ PÀ°PÁ C£ÀĨsÀªÀUÀ¼À£ÀÄß §¼À¸ÀĪÀÅzÀÄ.
¨sÁgÀvÀzÀ ¥ÀæeÁ¸ÀvÁÛvÀäPÀ ¤ÃwAiÀÄ£ÀéAiÀÄ ªÀÄPÀ̼À CªÀ±ÀåPÀvÉUÀ½UÉ vÀPÀÌAvÉ
¸ÀàA¢¸ÀĪÀÅzÀÄ.
²PÀëtªÀ£ÀÄß EA¢£À ºÁUÀÆ ¨sÀ« ÀåzÀ fêÀ£ÁªÀ±ÀåPÀvÉUÀ½UÉ ºÉÆAzÀĪÀAvÉ
ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ.
« ÀAiÀÄUÀ¼À ªÉÄÃgÉUÀ¼À£ÀÄß «ÄÃj CªÀÅUÀ½UÉ ¸ÀªÀÄUÀæ zÀȶÖAiÀÄ ¨ÉÆÃzsÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß
C¼ÀªÀr¸ÀĪÀÅzÀÄ.
±Á¯ÉAiÀÄ ºÉÆgÀV£À §zÀÄQUÉ eÁÕ£À ¸ÀAAiÉÆÃd£É.
ªÀÄPÀ̽AzÀ¯Éà eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß C©üªÀÈ¢Þ¥Àr¸ÀĪÀÅzÀÄ.
£ÀÆvÀ£À ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀUÀ½UÉ CAvÀUÀðvÀ «zsÁ£À (Integrated Approach),
gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£À (Constructive Approach) ºÁUÀÆ ¸ÀÄgÀĽAiÀiÁPÁgÀzÀ
«zsÁ£À (Spiral Approach) UÀ¼À£ÀÄß C¼ÀªÀr¸À¯ÁVzÉ.

10. 10
gÀZÀ£ÁªÁzÀ - »£É߯É
²±ÀÄ PÉÃA¢ævÀ ²PÀëtzÀ ¥Àæw¥ÁzÀPÀ eÉ.eÉ. gÀƸÉÆäAzÀ DgÀA¨sÀUÉÆAqÀÄ,
¥É¸ÁÖ®«Ää, ºÀ¨Áðmïð, ¥sÉæǨɯï, ªÀÄjAiÀiÁ ªÀiÁAn¸ÉÆÃj, ¸Áé«Ä «ªÉÃPÁ£ÀAzÀ,
²æà CgÀ«AzÀgÀÄ, gÀ«ÃAzÀæ£ÁxÀ oÁUÀÆgï, ªÀĺÁvÀäUÁA¢üÃf, gÁeÁgÁªÀĪÉÆúÀ£ï
gÁAiÀiï, ªÉÄPÁ¯É, eÁ£ïqÀÆå¬Ä, Q¯ï ¥ÁånæPï, f£ï ¦AiÀiÁeÉ, ¯Éªï ªÉÊUÁmï¹Ì,
eÉgÉÆêÀħÆæ£ÀgïgÀªÀgÀ ‘eÁÕ£À gÀƦvÀUÉƼÀÄî«PÉ’ ¹zÁÞAvÀUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß
¥Àæw¥Á¢¸À®Ä C£ÀĸÀj¸À®Ä w½¹zÀ ªÀiÁUÀðUÀ¼ÀÄ ‘DzsÀĤPÀ ²PÀët’zÀ ¤zsÁðgÀPÀ
UÀ¼ÁVªÉ. qÁ|| J¸ï. gÁzsÁPÀÈ ÀÚ£ïgÀªÀgÀ AiÀÄÄf¹ j¥ÉÇÃmïð, qÁ||®PÀët¸Áé«Ä,
qÁ|| r.J¸ï. zË®vï¹AUï PÉÆoÁjAiÀĪÀgÀ ªÉÆzÀ°AiÀiÁgïgÀªÀgÀ ªÀiÁzsÀå«ÄPÀ ²PÀët
ªÀgÀ¢ ²PÀët DAiÉÆÃUÀ ªÀgÀ¢UÀ¼ÀÄ, 1986gÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ²PÀëtzÀ ¤Ãw 2005 gÀ
gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ ZËPÀlÄÖ, 2007gÀ PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ ZËPÀlÄÖ, 2009 ²PÀëtzÀ
ºÀPÀÄÌ EªÀÅUÀ¼À ¥ÀjuÁªÀĪÁV ¨sÁgÀvÀzÀ ²PÀët PÀæªÀÄzÀ°è C£ÉÃPÀ §zÀ¯ÁªÀuÉUÀ¼ÀÄ -
¸ÀÄzsÁgÀuÉUÀ¼ÀÄ £ÀqÉ¢ªÉ. CªÀÅUÀ¼À°è ‘gÀZÀ£ÁªÁzÀ’ ªÀ£ÀÄß PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ°è
C¼ÀªÀr¹PÉÆArgÀĪÀÅzÀÄ MAzÀÄ. F gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ PÀÄgÀĺÀÄUÀ¼ÀÄ eÁ£ïqÀÆå¬Ä
(1859-1952) AiÀĪÀgÀ ¥ÁæUÁänPï ¦ü¯Á¸À¦üAiÀÄ°è PÀAqÀħAzÀªÀÅ. (1930-40).
fãï¦AiÀiÁeÉAiÀĪÀgÀÄ ªÀåQÛ eÁÕ£ÀªÀ®AiÀÄzÀ (1896-1980) ¯ÉªïªÉÊUÁl¹ÌAiÀĪÀgÀÄ
(1896-1934) ¸ÁªÀiÁfPÀ ‘eÁÕ£À ªÀ®AiÀÄ’zÀ §UÉÎ PÉÊUÉÆAqÀ CzsÀåAiÀÄ£ÀUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ
eÉgÉÆêÀiï §Ææ£Àgï£À F JgÀqÀ£ÀÄß ¸À«Ää½vÀUÉƽ¹zÀ «ZÁgÀzsÁgÉ ºÁUÀÆ
¥ÁæAiÉÆÃVPÀ PÁAiÀiÁðZÀgÀuÉ EA¢£À ‘gÀZÀ£ÁªÁzÀ’zÀ ‘£É¯É’AiÀiÁVzÉ.
gÀZÀ£ÁªÁzÀªÀÅ £ÁªÀÅ K£À£ÀÄß w½¢zÉÝêÉÇà CzÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ w½zɪÀÅ
JA§ÄzÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÀĪÀ ‘eÁÕ£À ¹zÁÞAvÀ’. F ¹zÁÞAvÀzÀAvÉ PÀ°AiÀÄĪÀªÀ£À KPÉÊPÀ
¸ÁzsÀ£ÀªÉAzÀgÉ ‘eÁÕ£ÉÃA¢æAiÀÄUÀ¼ÀÄ’, F eÁÕ£ÉÃA¢æAiÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀªÉà ¥Àj¸ÀgÀ

11. 11
zÉÆA¢UÉ ªÀåQÛ ¥ÀæwQæ¬Ä¸ÀÄvÁÛ£É. F ¸ÀAzÉñÀUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀªÉà ªÀåQÛ ¥Àæ¥ÀAZÀzÀ §UÉÎ
avÀætªÀ£ÀÄß gÀƦ¹PÉƼÀÄîvÁÛ£É. F ¹zÁÞAvÀPÉÌ ¥ÀÇgÀPÀªÁV PÀ°PÁ ¹zÁÞAvÀªÀÅ
gÀƦvÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß ¨ÁºÀå dUÀwÛ£À ªÁ¸ÀÛ«PÀvÉAiÀÄ£ÀÄß, C£ÀĨsÀªÀUÀ¼À
ªÀÄÆ®PÀ CxÀð¥ÀÇtðªÁV gÀa¹PÉƼÀÄîªÀ ¥ÀæQæAiÉÄ (process) J£ÀÄߪÀÅzÀÄ
gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ ‘PÀ°PÁ ¹zÁÞAvÀ’.
gÀZÀ£ÁªÁ¢UÀ¼ÀÄ QæAiÀiÁ²Ã® ¸ÀägÀuÉAiÀÄ°è (working memory) eÁÕ£ÀzÀ
gÀa¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ (PÀnÖPÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ) £ÀqÉAiÀÄÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸ÀÆa¹gÀĪÀÅzÀÄ §ºÀ¼À
ªÀÄÄRåªÁzÀ ¸ÀAUÀw. eÁÕ£À gÀZÀ£ÉUÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ SOI ªÀiÁzÀj CAzÀgÉ
S – Selecting - DAiÉÄÌ, O - organising - ªÀåªÀ¸ÉÜUÉƽ¸ÀÄ«PÉ I – integrating
- CAvÀUÀðvÀUÉƽ¸ÀÄ«PÉAiÀÄ£ÀÄß ‘eÁÕ£ÀªÀ®AiÀÄ’ PÀ°PÁ «£Áå¸ÀªÉAzÀÄ ªÉÄÃAiÀÄgï
(1996) w½¸ÀÄvÁÛgÉ.
¹é¸ï zÉñÀzÀ Jean Piaget (1896 – 1980) fÃ£ï ¦AiÀiÁeÉÉAiÀĪÀgÀÄ
eÁÕ£ÀªÀÄAiÀÄzÀ gÀZÀ£ÁªÁzÀ gÀƦ¹zÀ zÁ±Àð¤PÀgÀÄ. CªÀgÀÄ ªÀÄ£ÉÆêÉÊeÁÕ¤PÀ
CzsÀåAiÀÄ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄPÀ̼À eÁÕ£ÀªÀ®AiÀÄPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ EAzÀÄ C¢üPÀÈvÀªÁV
ªÀiÁ£ÀåªÁVªÉ. CªÀgÀ ¹zÁÞAvÀªÀ£ÀÄß ¸ÀgÀ¼ÀªÁV ºÉüÀ¨ÉÃPÉAzÀgÉ ªÀÄPÀ̼ÀÄ vÀPÀët CxÀð
ªÀiÁrPÉÆAqÀÄ CzÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀĪÀAvÀºÀ ªÀiÁ»wAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄPÀ̽UÉ
PÉÆqÀ¯ÁUÀzÀÄ, CzÀgÀ §zÀ®Ä CªÀgÉà eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß PÀnÖPÉƼÀÄîªÀAvÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. CªÀgÀÄ
vÀªÀÄä eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß C£ÀĨsÀªÀUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ PÀnÖPÉƼÀÄîvÁÛgÉ. CªÀgÀ C£ÀĨsÀªÀUÀ¼ÀÄ CªÀgÀÄ
ªÀiÁ£À¹PÀ ªÀiÁzÀj (schemas) gÀa¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀPÉÌ ¸ÀªÀÄxÀðgÀ£ÁßV¸ÀÄvÀÛªÉ. ¸ÀAUÀ滹
fÃtÂð¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀPÉÌ ºÉÆA¢PÉAiÀÄ CªÀPÁ±ÀªÀ£ÀÄß PÀ°à¸ÀĪÀ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ
¥ÀÆgÀPÀªÁzÀ ¥ÀæQæAiÉĬÄAzÀ ªÀiÁ£À¹PÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ°è ¸ÀÆPÀÛ ªÀiÁ¥ÁðqÀÄ ºÁUÀÆ

12. 12
CzÀgÀ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀªÀÅ gÀavÀªÁUÀĪÀÅzÉAzÀÄ ¦AiÀiÁeÉAiÀĪÀgÀÄ w½¸ÀÄvÁÛgÉ. ªÀåQÛAiÀÄ
¥ÀǪÀð eÁÕ£À ºÁUÀÆ CzÀ£ÀÄß ¸ÀAAiÉÆÃf¸ÀĪÀ ¥ÀæQæAiÉĬÄAzÁV gÀavÀªÁUÀĪÀ
eÁÕ£ÀPÉÌ PÀ°PÉAiÀÄ ¥Àj¸ÀgÀ £ÉgÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ ªÀåQÛUÀvÀªÁzÀ C©üªÀÈ¢Þ. ¸ÁªÀiÁfPÀ
gÀZÀ£ÁªÁzÀªÀÅ, ¸ÁªÀiÁfPÀ ªÀåªÀ¸ÉÜAiÀÄ°è ªÀåQÛAiÀÄ ¨ÁAzsÀªÀå ºÁUÀÆ C°è £ÀqÉAiÀÄĪÀ
PÁAiÀÄðUÀ½AzÁV eÁÕ£ÀzÀ gÀZÀ£ÉAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ J£ÀÄßvÀÛzÉ. CªÉÄÃjPÁzÀ ªÀÄ£ÉÆëeÁÕ¤
fgÉÆêÀiï §Ææ£ÀgïgÀªÀgÀÄ ‘¸ÁªÀiÁfPÀ gÀZÀ£ÁªÁzÀ’ ºÁUÀÆ ‘ªÀåQÛ eÁÕ£À ªÀ®AiÀÄ
gÀZÀ£ÁªÁzÀ’ JgÀqÀ£ÀÄß ¸ÉÃj¹ ¥ÀæªÀÄÄRªÁzÀ “¨ÉÆÃzsÀ£ÉAiÀÄ ¹zÁÞAvÀUÀ¼ÀÄ
(Theories of instruction) ºÁUÀÆ ‘PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄ’ (Process of learning)
UÀ¼À£ÀÄß ¤ÃrzÁÝgÉ. gÀZÀ£ÁªÁzÀªÀÅ
1. PÀ°PÉUÉ MvÀÄÛ PÉÆqÀÄvÀÛzÉ, ¨ÉÆÃzsÀ£ÉUÉ C®è.
2. PÀ°AiÀÄĪÀªÀ£À ¸ÁévÀAvÀæöå ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀéAiÀÄA vÉÆqÀV¹PÉƼÀÄî«PÉAiÀÄ£ÀÄß
¥ÉæÇÃvÁ컸ÀÄvÀÛzÉ.
3. PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß ‘MAzÀÄ ¥ÀæQæAiÉÄ’ JAzÀÄ ¥ÀjUÀt¸ÀÄvÀÛzÉ.
4. PÀ°AiÀÄĪÀªÀ£À ‘±ÉÆÃzsÀ£É’ AiÀÄ£ÀÄß GvÉÛÃf¸ÀÄvÀÛzÉ.
gÀZÀ£ÁªÁ¢UÀ¼ÀÄ PÀ°PÉUÉ / ¨ÉÆÃzsÀ£ÉUÉ ¨ÉÃPÁzÀ F PɼÀV£À ªÀiÁzÀjUÀ¼À£ÀÄß
gÀƦ¹zÉ.
1. ±ÉÆÃzsÀ£Á ªÀiÁzÀj (Inquiry model)
2. C©üªÀÈ¢Þ ªÀiÁzÀj (Development model)
3. «ZÁgÀuÁ ªÀiÁzÀj (Investigative model)
4. £ÉÊzÁ¤PÀ ªÀiÁzÀj (Diagnostic model)
5. ¥ÀAZÀ ‘E‘ ªÀiÁzÀj (Five E’ s model)

13. 13
F J®èªÀÇ ªÀåQÛ vÀ£Àß ¸Àé-EZÉÒ, C£ÀĨsÀªÀ ºÁUÀÆ CzÀPÉÌ ¥ÀÇgÀPÀªÁV
zÉÆgÀPÀĪÀ ¸À¤ßªÉñÀ, ¸ÀºÀPÁgÀUÀ½AzÀ, NjUÉAiÀĪÀgÉÆA¢UÉ ¨ÉgÉvÀÄ PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß
‘eÁÕ£À PÀnÖPÉƼÀÄîªÀ’ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀiÁV ªÀÄÄAzÀĪÀgɸÀĪÀÅzÀÄ E°è£À C¥ÉÃPÉë, CzÀPÉÌÃ
DzÀåvÉ, CzÉà ªÀĺÀvÀézÀ ºÁUÀÆ ‘ªÀÄgÉAiÀÄzÉà C£ÀĸÀj¸À¨ÉÃPÁzÀ DZÀgÀuÉ’.
gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ°è PÀ°PÉAiÀÄ UÀÄjUÀ¼ÉAzÀgÉ D¯ÉÆÃZÀ£É, «ªÉÃZÀ£É, eÁÕ£ÀzÀ CjªÀÅ
ºÁUÀÆ CzÀgÀ C£ÀéAiÀÄ ¸ÀéAiÀÄA ¤AiÀÄAvÀæt, ªÀÄ£À¥ÀǪÀðPÀªÁV ¥Àæw©A©¸ÀĪÀÅzÀÄ.
¨ÉÆÃzsÀ£É / PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ ¸À¤ßªÉñÀzÀ ®PÀëtUÀ¼ÉAzÀgÉ
¸ÀAQÃtð ºÁUÀÆ AiÀÄÄPÀÛªÁzÀ PÀ°PÉAiÀÄ ¥Àj¸ÀgÀ
¸ÁªÀiÁfPÀ ¥Àæ¸ÁÛªÀ£É / MqÀA§rPÉ
§ºÀĪÀÄÄR PÀ°PÁ ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ «©ü£Àß UÀæ»PÉUÉ CªÀPÁ±ÀUÀ¼ÀÄ.
PÀ°PÉAiÀÄ°è ¸ÀéAwPÉ ºÁUÀÆ PÀ°w¢gÀĪÀÅzÀgÀ / PÀnÖPÉÆAqÀ eÁÕ£ÀzÀ §UÉÎ
¸ÀéeÁUÀÈw.
PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀÄUÀªÀÄUÉƽ¸À®Ä C£ÀĸÀj¸À¨ÉÃPÁzÀ «zsÁ£À / PÀæªÀÄUÀ¼ÉAzÀgÉ
¸ÀÆPÀëöä «ZÁgÀUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ G£ÀßvÀ ªÀÄlÖzÀ ªÀiÁzsÀåªÀÄUÀ¼ÀÄ
PÀÆr PÀ°AiÀÄÄ«PÉUÉ (Co-opeative learning) ºÁUÀÆ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À
¥ÀjºÁgÀPÉÌ (problem solving) ‘D¸ÀgÉ’ MzÀV¸ÀĪÀÅzÀgÀ K¥ÁðqÀÄ.
UÀÄj vÉÆÃgÀĪÀ ¸À¤ßªÉñÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀĸÉå DzsÁjvÀ PÀ°PÉUÉ CªÀPÁ±À
PÀ°à¸ÀĪÀÅzÀÄ.
vÀAvÁæA±À §¼ÀPÉUÉ ºÁUÀÆ «zÁå¨sÁå¸ÀzÀ CªÀ¢ü ¤ªÀðºÀuÁ ¸ÁzsÀ£ÀUÀ¼ÀÄ.
gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ PÀ°PÁ ¹zÁÞAvÀ ºÁUÀÆ PÁgÁåZÀgÀuÉAiÀÄ°è PÀ°AiÀÄĪÀªÀ£ÀÄ
¸ÀéPÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß C£ÀågÉÆA¢UÉ ¸ÀAªÀºÀ£À, CªÀgÀ w¼ÀĪÀ½PÉ, ¨sÁªÀ£ÉUÀ¼ÀÄ, eÁÕ£À ªÀÄvÀÄÛ
C£ÀĨsÀªÀªÀ£ÀÄß ºÀAaPÉÆAqÀÄ ºÉƸÀ ‘eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß’ PÀnÖPÉƼÀÄîªÀÅzÀPÉÌ CªÀPÁ±À«zÉ.

14. 14
gÀZÀ£ÁªÁzÀªÀÅ §ºÀÄ «zsÀzÀ ¨ÉÆÃzsÀ£Á vÀAvÀæUÀ¼À£ÀÄß CAzÀgÉ AiÉÆÃd£É
(¥ÁæeÉPïÖ), ¸ÀªÀĸÉå, GvÀà£Àß, ªÀåQÛ«ZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß DzsÀj¹zÀ vÀAvÀæUÀ¼À£ÀÄß
C¼ÀªÀr¹PÉƼÀÄîvÀÛzÉ. ««zsÀ jÃwAiÀÄ ¥Àj¸ÀgÀUÀ¼À£ÀÄß DAvÀjPÀªÁV ºÁUÀÆ
¨ÁºÀåªÁV gÀƦ¹PÉƼÀÄîvÀÛzÉ. CzÀÄ ¸ÀtÚ UÀÄA¥ÀÅUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ; vÀAvÀæeÁÕ£ÀzÀ §¼ÀPÉ,
ªÉÊAiÀÄQÛPÀ, CAvÀeÁð®UÀ¼ÀÆ DUÀ§ºÀÄzÀÄ.
gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ°è ¥sÀ°vÁA±ÀQÌAvÀ ¥ÀæQæAiÉÄ ªÀÄÄRå.
H»¸ÀÄ (predict), CªÀ¯ÉÆÃQ¸ÀÄ, «ªÀj¸ÀÄ – EªÀÅUÀ½UÉ CªÀPÁ±À«zÉ.
¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ §zÀ¯ÁªÀuÉ, ªÀÄgÀÄaAvÀ£ÉUÉ CªÀPÁ±À«zÉ.
gÀZÀ£ÁªÁ¢UÀ¼ÀÄ gÀƦ¹gÀĪÀ ªÀiÁzÀjUÀ½UÉ CªÀPÁ±À«zÉ.
PÀ°PÉUÉ D¸ÀgÉAiÀiÁV ¸À¤ßªÉñÀUÀ¼À£ÀÄß MzÀV¸ÀĪÀÅzÀPÉÌ CªÀPÁ±À«zÉ.
¸ÀAªÁzÀ / ZÀZÉð, PÀ°AiÀÄĪÀªÀ£À C©ü¥ÁæAiÀÄPÉÌ ªÀÄ£ÀßuÉ, PÀ°AiÀÄĪÀªÀ£ÉÃ
gÀƦ¹PÉÆAqÀ ZËPÀnÖ£À°è CªÀ£À C©ü¥ÁæAiÀÄUÀ¼À UÀæ»PÉ, QæAiÀiÁ²Ã® PÁAiÀiÁðZÀgÀuÉ,
¸ÀºÀPÁgÀzÉÆA¢UÉ UÀÄA¦£À°è PÀ°AiÀÄÄ«PÉUÉ ¥ÉæÇÃvÁìºÀ, CAvÀeÁð®ªÀÇ ¸ÉÃjzÀAvÉ
eÁÕ£À PÀnÖPÉƼÀî®Ä EgÀĪÀ CªÀPÁ±À / ¸ÁzsÀåvÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛ / AiÀÄÄPÀÛªÁV
«¥ÀÅ®ªÁV, ªÁå¥ÀPÀªÁV C¼ÀªÀr¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀPÉÌ ¥ÉæÇÃvÁìºÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ.
1930-40 jAzÀ ¥ÁægÀA¨sÀªÁzÀ gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ £É¯ÉUÀlÄÖ £ÀªÀÄä°è NCF
D±ÀAiÀÄzÉÆA¢UÉ UÀnÖAiÀiÁV ¤®ÄèªÀ CªÀPÁ±À ¸À馅 ªÀiÁrzÉ.

15. 15
gÀZÀ£ÁªÁzÀ 5 ‘E’ ªÀiÁzÀj
FUÁUÀ¯Éà w½¹zÀAvÉ gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ C£ÀéAiÀÄ ««zsÀ PÀ°PÁ ªÀiÁzÀjUÀ½ªÉ.
FUÀ £ÁªÀÅ gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ C£ÀéAiÀÄ PÀ°PÁ «zsÁ£ÀUÀ¼À°è LzÀÄ ‘E’ UÀ¼À ªÀiÁzÀjAiÀÄ
¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ ¸ÀAgÀZÀ£ÁvÀä PÀ°PÁ «zsÁ£ÀzÀ §UÉÎ w½zÀÄPÉƼÉÆîÃt. F LzÀÄ ‘E’
UÀ¼ÀÄ PɼÀV£ÀAwªÉÉ.
1. Engage : PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ°è vÉÆqÀV¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ.
2. Explore : D« ÀÌj¸ÀĪÀÅzÀÄ / ¥ÀvÉÛ ºÀZÀÄѪÀÅzÀÄ
3. Express : C©üªÀåPÀÛ¥Àr¸ÀĪÀÅzÀÄ /¸Àà ÀÖ¥Àr¸ÀĪÀÅzÀÄ / «ªÀj¸ÀĪÀÅzÀÄ
4. Elaborate : «¸ÀÛj¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÁUÀÆ zÀÈrüÃPÀj¸ÀĪÀÅzÀÄ
5. Evaluate : ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ.
1. Engage : PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ°è vÉÆqÀV¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ : «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß
PÀ°PÉAiÀÄ°è vÉÆqÀV¸À¨ÉÃPÁzÀgÉ, CªÀjUÉ D PÀ°PÉAiÀÄ°è D¸ÀQÛAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆAzÀÄ
ªÀAvÉ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ. »ÃUÉ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ ¤d fêÀ£ÀzÀ ¸ÀªÀĸÁåvÀäPÀ
¸ÀAzÀ¨sÀð ¤ÃqÀĪÀÅzÀÄ ºÉZÀÄÑ ¸ÀÆPÀÛ. ªÀiÁzÀjAiÀiÁV PÉ®ªÀÅ PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄ
AiÀÄ£ÀÄß F PɼÀUÉ ¤ÃrzÉ. EªÀÅUÀ¼À°è «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß vÉÆqÀV¸À§ºÀÄzÀÄ.
CªÀjUÉ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ ¸ÀAzÀ¨sÀð ¤ÃqÀĪÀÅzÀÄ.
CªÀgÀ£ÀÄß ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ°è vÉÆqÀV¸ÀĪÀÅzÀÄ.
CªÀjUÉ CxÀð¥ÀÇtð ZÀZÉðUÉ D¸ÀàzÀ ªÀiÁrPÉƼÀÄîªÀ ¥Àæ±ÉßAiÀÄ£ÀÄß PÉüÀĪÀÅzÀÄ.
CªÀjUÉÆAzÀÄ UÀÄj ¤ÃqÀĪÀÅzÀÄ.

16. 16
F jÃwAiÀiÁV ¸ÀjAiÀiÁzÀ PÀ°PÁ ¥Àj¸ÀgÀªÀ£ÀÄß ¤ªÀiÁðt ªÀiÁr
«zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß PÀ°PÉAiÀÄ°è vÉÆqÀV¹PÉƼÀÀÄzÀÄ.
Engage ºÀAvÀPÉÌ ¸ÀÆPÀÛªÁzÀ PÀ°PÉAiÀÄ ¥ÀÇgÀPÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À£ÀÄß vÀAqÀzÀ°è
ZÀað¹ ¥ÀnÖªÀiÁr.
2. Explore : D« ÀÌj¸ÀÄ«PÉ / ¥ÀvÉÛ ºÀZÀÄÑ«PÉ : F ºÀAvÀªÀÅ PÀ°PÁyðUÉ
PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß vÀ£ÀߣÀÄß vÁ£ÀÄ vÉÆqÀV¹PÉÆAqÀÄ ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß D« ÀÌj¸ÀĪÀ
ªÀÄÆ®PÀ ºÉaÑ£À eÁÕ£À ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ºÁUÀÆ vÀ£Àß eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß ¸ÀAgÀa¹PÉƼÀî®Ä
¸ÀºÁAiÀĪÁUÀÄvÀÛzÉ. F ºÀAvÀ PÀ°PÉAiÀÄ ¥ÀæªÀÄÄR ºÀAvÀUÀ¼À°è MAzÀÄ.
CzÀ£ÀÄß F PɼÀV£À PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß §¼À¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀ°PÁyðUÉ
PÀ°PÉAiÀÄ°è CªÀPÁ±À ¤ÃqÀ§ºÀÄzÀÄ.
¸ÀAgÀa¹zÀ ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃqÀĪÀÅzÀÄ.
UÀÄA¦£À°è PÀ°AiÀÄĪÀAvÉ ¥ÉæÃgÉæ¸ÀĪÀÅzÀÄ.
PÀ°PÁ ¸ÁªÀÄVæAiÀÄ£ÀÄß §¼À¸À®Ä PÀ°PÁyðUÉ CªÀPÁ±À ¤ÃqÀĪÀÅzÀÄ.
CªÀgÀ C£Ééà ÀuÉ / «ZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ ¨sÁUÀªÁV ¥ÀnÖ
ªÀiÁr¸ÀĪÀÅzÀÄ.
E°è E£ÀÆß ºÉaÑ£À ZÀZÉðUÉ C£ÀÄPÀÆ® ªÀiÁqÀĪÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ / ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ
¨ÉÃPÀÄ C¤¸ÀÄwÛzÉAiÀiÁ? UÀÄA¦£À°è ZÀað¹. ªÀÄÄRå CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß zÁR°¹j.
UÀªÀĤ¹ : MAzÀÄ ZÀlĪÀnPɬÄAzÀ C£Ééà ÀuÉ ªÀiÁrzÀ PÀ°PÉAiÀÄ CA±À
«zÁåyð¬ÄAzÀ «zÁåyðUÉ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉAiÀiÁVgÀ§ºÀÄzÀÄ. «zÁåyð
PÀ°PÉAiÀÄ ªÉÃUÀ, UÀæ»PÉAiÀÄ «zsÁ£À, ¨sÁUÀªÀ»¸ÀÄ«PÉ, ªÀÄ£ÉÆèsÁªÀ,
ªÀåQÛvÀé EªÉ®è EzÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ CA±ÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

17. 17
3. Express / Explain : ¸Àà ÀÖ¥Àr¸ÀÄ / «ªÀgÀuÉ : F ºÀAvÀzÀ°è
PÀ°PÁyðAiÀÄÄ Explore ºÀAvÀzÀ°è ¸ÀAgÀa¹PÉÆAqÀ eÁÕ£ÀzÀ «ªÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß
vÀ£ÀßzÉà jÃwAiÀÄ°è (°TvÀ / ªÀiËTPÀ / ZÀlĪÀnPÉ) ¸Àà ÀÖ¥Àr¸ÀÄvÁÛ£É.
PÀ°PÁyðAiÀÄÄ ¤ÃqÀĪÀ «ªÀgÀuÉAiÀÄ°è£À ¥Àj¥ÀPÀévÉUÉ ²PÀëPÀgÀÄ ¸ÀàAzÀ£É ¤ÃqÀÄvÁÛ
¸ÀjAiÀiÁzÀ ¢QÌ£À°è ªÀÄÄAzÀĪÀgɸÀĪÀAvÉ ¥ÉæÃgÉæ¸À ¨ÉÃPÁzÀzÀÄÝ §ºÀ¼À
ªÀÄÄRåªÁUÀÄvÀÛzÉ.
PÀ°PÁyðAiÀÄÄ AiÀiÁªÀ PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ°è vÉÆqÀUÀ§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß
ªÀiÁzÀjAiÀiÁV PɼÀUÉ ¤ÃrzÉ.
¸ÀAgÀa¹zÀ eÁÕ£ÀzÀ «ªÀgÀuÉ ¤ÃqÀĪÀgÀÄ.
ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß gÀa¸ÀĪÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «ªÀgÀuÉ ¤ÃqÀĪÀgÀÄ.
¸ÀªÀĸÉåUÉ ¤ÃrzÀ ¥ÀjºÁgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀÅ£ÀB ¥Àj²Ã®£É ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£ÀÄß «±Éèà ÀuÉ
ªÀiÁqÀĪÀgÀÄ.
«ZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß avÀæ ºÁUÀÆ £ÀPÉëUÀ¼À°è vÉÆÃj¸ÀĪÀgÀÄ.
¸ÁAPÉÃwPÀªÁV w½¸À¨ÉÃPÁzÀ « ÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀĪÀgÀÄ.
ªÀiËTPÀ ºÁUÀÆ §gÀºÀ gÀÆ¥ÀzÀ ªÀgÀ¢ ¤ÃqÀĪÀgÀÄ.
4. Expand / Elaborate : «¸ÀÛgÀuÉ ºÁUÀÆ zÀÈrüÃPÀgÀt : F ºÀAvÀzÀ°è
¸ÀAgÀa¹zÀ eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß ºÉaѸÀĪÀ PÁAiÀÄðªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. ¸ÀAgÀavÀªÁzÀ eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß
EvÀgÀ eÁÕ£À / PÀ°PÁ C£ÀĨsÀªÀUÀ¼À eÉÆvÉ ¸ÀAAiÉÆÃf¸À¨ÉÃPÀÄ. eÁÕ£ÀzÀ
w¼ÀĪÀ½PÉAiÀÄ£ÀÄß ¤vÀå fêÀ£ÀzÀ°è£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ½UÉ C£Àé¬Ä¹ ¥ÀjºÁgÀ
PÀAqÀÄPÉƼÀî¨ÉÃPÀÄ.

18. 18
PÀ°PÁyðAiÀÄÄ AiÀiÁªÀ PÀ°PÁ ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß vÉÆÃj¸À§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß
ªÀiÁzÀjAiÀiÁV PɼÀUÉ ¤ÃrzÉ.
eÁÕ£À ªÀÄvÀÄÛ P˱À®UÀ¼À£ÀÄß C£Àé¬Ä¸ÀĪÀgÀÄ.
eÁÕ£À ªÀÄvÀÄÛ P˱À®UÀ¼À£ÀÄß §zÀ¯Á¬Ä¸ÀĪÀgÀÄ.
¸ÀAzÉñÀ/ « ÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ C©ü¥ÁæAiÀÄ / AiÉÆÃZÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß
ºÀAaPÉƼÀÄîªÀgÀÄ.
ºÉƸÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼À£ÀÄß PÉüÀĪÀgÀÄ.
ºÉaÑ£À ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ UÀtÂvÀzÀ eÁÕ£À
zÀÈrüÃPÀgÀtªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀzÀ°è ºÉaÑ£À ªÀÄvÀÄÛ ªÉÊ«zsÀåzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼À£ÀÄß
©r¹gÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ¥Àæw WÀlPÀzÀ°è ¤ÃqÀ¯ÁVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹j.
PÀ°PÁA±ÀUÀ¼À «¸ÀÛgÀuÉ ºÁUÀÆ zsÀÈrÃPÀgÀtPÁÌV AiÀiÁªÀ AiÀiÁªÀ PÀ°PÁ
¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ°è vÉÆqÀUÀ§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß ZÀað¹ ¥ÀnÖ ªÀiÁrj.
5. Evaluate : ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À : PÀ°PÉAiÀÄ ¥Àæw ºÀAvÀzÀ°èAiÀÄÆ eÁÕ£À
¸ÀAAiÉÆÃd£ÉAiÀÄÄ AiÀiÁªÀ ªÀÄlÖzÀ°è DVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À
ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀPÁÌV PɼÀV£À ªÀiÁzÀj ¸ÁzsÀ£ÀUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸À§ºÀÄzÀÄ.
PÀ°PÁyðAiÀÄÄ PÀ°PÉAiÀÄ°è ºÉÃUÉ vÉÆqÀV¹PÉƼÀÄîvÁÛ£É JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀĪÀ
vÁ¼ÉAiÀÄ £ÀªÀÄÆ£É (chek list) vÀAiÀiÁj¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ.
AiÉÆÃd£É ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ PÀ°PÁ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃqÀĪÀÅzÀÄ.
ªÀiËTPÀ / °TvÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼À£ÀÄß PÉüÀĪÀÅzÀÄ. ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀzÀ°è ¥ÀæAiÀÄwß¹, ZÀlĪÀnPÉ,
C¨sÁå¸À EvÁå¢ gÀÆ¥ÀzÀ°è DAiÀiÁ WÀlPÀzÀ°è ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ - UÀªÀĤ¹.

19. 19
UÀtÂvÀ ªÀÄvÀÄÛ gÀZÀ£ÁªÁzÀ
‘UÀtÂvÀ’ zÀ ‘UÀĪÀÄä’ ; ‘PÀptªÁzÀ « ÀAiÀĪÉAzÀgÉ’ UÀtÂvÀ, ‘UÀtÂvÀ E ÀÖªÁUÀzÀ-
PÀ ÀÖzÀ PÀ°PÉAiÀÄ « ÀAiÀÄ’ EAvÀºÀ ºÉýPÉUÀ¼ÀÄ vÀªÀÄUɯÁè w½¢zÉ. ªÉÊmïºÉqï J£ÀÄߪÀ
vÀdÕgÀÄ, UÀtÂvÀªÀ£ÀÄß vÀ¥ÁàzÀ jÃw PÀ°¹, PÉlÖzÁV PÀ°¹zÁÝVzÉ JA§ CxÀðzÀ
ªÀiÁvÀ£ÀÄß DrzÁÝgÉ.
J£ï.¹.J¥sï£À ‘UÀtÂvÀ ¨ÉÆÃzsÀ£É’ AiÀÄ AiÀÄxÁ¹Üw avÀætªÀÅ (position paper)
£À ¥ÀæªÀÄÄR CA±ÀUÀ¼ÀÄ :
§ºÀÄvÉÃPÀ ªÀÄPÀ̼À°è UÀtÂvÀzÀ §UÉÎ ¨sÀAiÀÄ ºÁUÀÆ UÀtÂvÀ PÀ°PÉAiÀÄ°è
«¥sÀ®gÁVzÁÝgÉ.
¥ÀoÀåPÀæªÀĪÀÅ ‘¥Àæw¨sÁ¤évÀ’ ºÁUÀÆ ‘¥Á¯ÉÆμÀî¢gÀĪÀ §ºÀÄvÉÃPÀ’ (CAzÀgÉ UÀtÂvÀ
»AdjvÀzÀªÀgÀ£ÀÄß) ¤gÁ±ÉUÉƽ¸ÀĪÀAwzÉ.
PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁ¥À£À «zsÁ£ÀªÀÅ CªÉÊeÁÕ¤PÀªÁVzÀÄÝ, UÀtÂvÀªÀ£ÀÄß AiÀiÁAwæPÀ
PÀ°PÉAiÀÄĪÀÅzÀ£ÀÄß ¥ÉæÇÃvÁ컸ÀÄwÛzÉ.
UÀtÂvÀ ¨ÉÆÃzsÀ£ÉUÉ ²PÀëPÀgÀ£ÀÄß CtÂUÉƽ¸ÀĪÀ ºÁUÀÆ CªÀjUÉ ¥ÀÇgÀPÀªÁUÀĪÀ
¨ÉA§®ªÀ£ÀÄß ¤ÃqÀ¢gÀĪÀÅzÀÄ – EzÀ£ÀÄß ‘PÁ¼ÀfAiÀÄ ¸ÀAUÀw’AiÀiÁV
¥ÀjUÀt¹zÉ.
F ¸ÀªÀĸÉåUÉ ¸ÀÄ®¨sÀ ¥ÀjºÁgÀ«®èªÁzÀgÀÆ CzÀgÀ ¤ªÁgÀuÉUÉ ¸ÀÆPÀÛ«zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß
C¼ÀªÀr¸À®Ä ¸À«ÄwAiÀÄÄ PÉ®ªÀÅ ¸À®ºÉUÀ¼À£ÀÄß ¥Àæ¸ÁÛ¦¹zÉ. CªÉAzÀgÉ -
1. UÀtÂvÀ PÀ°PÉAiÀÄ ¸ÀAPÀÄavÀ UÀÄj¬ÄAzÀ ‘«±Á® UÀÄj’UÉ ¥À®èlUÉƽ¸ÀĪÀÅzÀÄ.
2. ‘ºÉÆgÀºÉƪÀÄÄäwÛgÀĪÀ UÀtÂvÀdÕ’ gÁzÀ ªÀÄPÀ̽UÉ ¥ÀjPÀ®à£ÁvÀäPÀ ¸ÀªÁ®ÄUÀ¼À£ÉßÃ
MzÀV¸ÀÄvÁÛ ¥ÀæwAiÉƧâgÀÄ ‘PÀ°PÉAiÀÄ°è£À ¸Á¥sÀ®å’ ªÀ£ÀÄß C£ÀĨsÀ«¸À®Ä CªÀPÁ±À
PÀ°à¸ÀĪÀÅzÀÄ.
3. UÀtÂvÀ PÀ°PÉAiÀÄ°è AiÀiÁAwæPÀ / ¸ÁA¥ÀæzÁ¬ÄPÀ «zsÁ£ÀzÀ PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß
¥ÀjÃQë¸ÀĪÀ §zÀ®Ä UÀtÂwÃAiÀÄ ¸ÁªÀÄxÀåðzÀ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ£ÁßV¸ÀĪÀÅzÀÄ.

20. 20
4. ²PÀëPÀjUÉ ‘UÀtÂvÀ’ªÀ£ÀÄß ‘UÀtÂvÀ’ªÁV PÀ°¸ÀĪÀÅzÀPÉÌ ¸ÀA¥À£ÀÆ䮪À£ÀÄß
G£ÀßwÃPÀj¸ÀĪÀÅzÀÄ.
«Ã®gï JA§ UÀtÂvÀdÕgÀÄ »ÃUÉ ºÉüÀÄvÁÛgÉ. ‘§ºÀ¼À ÀÄÖ’ UÀtÂvÀªÀ£ÀÄß
w½AiÀÄĪÀÅzÀQÌAvÀ ‘UÀtwÃAiÀÄUÉƽ¸ÀĪÀÅzÀÄ’ (mathematise) ºÉÃUÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß
w½AiÀÄĪÀÅzÀÄ ªÀÄÄRåªÁzÀÄzÀÄ’. «Ã®gïgÀªÀgÀ F ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæ¸ÁÛ¦¹gÀĪÀ
¸À«ÄwAiÀÄÄ ±Á¯Á ²PÀëtzÀ°è UÀtÂvÀzÀ PÀ°PÉ UÀÄjAiÀÄÄ, ªÀÄUÀÄ«£À D¯ÉÆÃZÀ£Á
PÀæªÀĪÀ£ÀÄß UÀtÂwÃAiÀÄUÉƽ¸ÀĪÀÅzÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ PÉêÀ® ¸ÀªÀĸÉå ©r¸ÀĪÀ §zÀ®Ä
CzÀgÀ §UÉÎ D¯ÉÆÃa¸ÀĪÀ, «ªÉÃa¸ÀĪÀ, ¸ÀA§AzsÀ PÀ°à¸ÀĪÀ, ºÉƸÀ ¸À¤ßªÉñÀzÀ°è
PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¸ÀĪÀ ¸ÁªÀÄxÀåð zÉÆgÀQ¸À¨ÉÃPÀÄ J£ÀÄßvÀÛzÉ.
UÀtÂvÀ ¨sÁ ÉAiÀÄ£ÀÄß UÀ滸ÀĪÀ CzÀ£ÀÄß ‘«ªÀj¸ÀĪÀ’ ºÁUÀÆ ‘§¼À¸ÀĪÀ’
¸ÁªÀÄxÀåðzÉÆA¢UÉ, ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁAwæPÀªÁV PÀAoÀ¥ÁoÀ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀjAzÀ
ºÉÆgÀ§AzÀÄ, PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß D£ÀAzÀzÁAiÀÄPÀªÀ£ÁßVPÉƼÀÄîªÀÅzÀPÉÌ UÀtÂvÀ PÀ°PÉ CªÀPÁ±À
¤ÃqÀ¨ÉÃPÁVzÉ. ‘CªÀÄÆvÀð’UÀ¼À£ÀÄß ¤ªÀð»¸ÀĪÀ ¸ÁªÀÄxÀåð ºÁUÀÆ ¸ÀªÀĸÉå
¥ÀjºÁgÀPÉÌ UÀtÂvÀ PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß C£Àé¬Ä¸ÀĪÀ ¸ÁªÀÄxÀåð ªÀÄPÀ̼À°è GAmÁUÀ¨ÉÃPÀÄ.
In mathematics the art of proposing a question must be held of
higher value than solving it. – George Cantor.
A lesson without the opportunity for learners to generalize is not a
mathematics lesson – J. Mason.
The main goal of mathematics education in schools is
mathematisation – NCF. EªÀÅ UÀtÂvÀ PÀ°PÉUÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ
gÀZÀ£ÁªÁzÀzÀ C¼ÀªÀrPÉUÉ EgÀĪÀ ¸ÁzsÀåvÉUÀ¼À£ÀÄß, CªÀ±ÀåPÀvÉ ºÁUÀÆ
C¤ªÁAiÀÄðvÉUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄ£ÀªÀjPÉ ªÀiÁrPÉÆqÀÄvÀÛzÉ.
Mathematics may not teach us how to add love or subtract Hate but
gives us hope that every problem has a solution.
- Mathematics realm

21. 21
¨sÁUÀ 2 : ¥ÀoÀå ¥ÀĸÀÛPÀ ¥ÀjZÀAiÀÄ
¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ ¥ÀjZÀAiÀÄzÀ CUÀvÀåvÉ:
10£Éà vÀgÀUÀw £ÀÆvÀ£À ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ £ÀªÀÄä PÉÊ ¸ÉÃjzÉ. ºÀ®ªÁgÀÄ
D±ÉÆÃvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢PÉÆAqÀÄ ¥ÀæPÀn¸À®àlÖ F ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ £ÁªÀÅ
¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß «zÁåyðUÀ½UÉ vÀ®Ä¦¸À¨ÉÃPÁVzÉ. EzÀPÁÌV ªÁ¶ðPÀ AiÉÆÃd£É
gÀƦ¸À¨ÉÃPÁVzÉ. gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£À ºÁUÀÆ ¹¹E DzsÁjvÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À£ÀÄß
EzÀgÉÆA¢UÉ ¸ÀAAiÉÆÃf¸À¨ÉÃPÁVzÉ. UÀtÂvÀ PÀ°PÉ D¸ÀQÛzÁAiÀÄPÀ ºÁUÀÆ
¨sÀAiÀĪÀÄÄPÀÛUÉƽ¸À¨ÉÃPÁzÀ C¤ªÁAiÀÄðvÉ EzÉ.
EzÉ®è ¥ÀjuÁªÀÄPÁjAiÀiÁV DUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ EªÀÅUÀ¼É®èzÀgÀ ¥ÀƪÀðzÀ°è £ÁªÀÅ
10£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß ¥ÀÆtðªÁV CxÉÊð¹PÉƼÀî¨ÉÃPÁVzÉ. EzÀÄ
M¼ÀUÉÆArgÀĪÀ WÀlPÀUÀ¼ÀÄ, PÀ°PÁA±ÀUÀ¼ÀÆ, ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼ÀÄ, ºÉƸÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼ÀÄ,
»A¢£À ªÀ ÀðzÀ ºÀvÀÛ£Éà vÀgÀUÀw ¥ÀoÀå ¥ÀĸÀÛPÀ¢AzÀ ©lÄÖ ºÉÆÃzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
EvÁå¢UÀ¼À£ÀÄß CjAiÀĨÉÃPÁVzÉ. 10£Éà vÀgÀUÀw PÀ°PÁA±ÀUÀ¼ÀÄ 9£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw
ºÁUÀÆ 11£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÉÆA¢UÉ ºÉÃUÉ ¸ÀºÀ ¸ÀA§AzsÀ
ºÉÆA¢zÉAiÉÄAzÀÄ CjAiÀÄĪÀ CªÀ±ÀåPÀvɬÄzÉ. CzÀgÀ C£ÀéAiÀÄ 9£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è
FUÁUÀ¯Éà PÀ°vÀ « ÀAiÀÄUÀ¼À ¸ÀºÁAiÀÄzÉÆA¢UÉ F vÀgÀUÀwUÀ¼À PÀ°PÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß
PÀ°vÀÄ ªÀÄÄA¢£À PÀ°PÁA±ÀzÉqÉUÉ «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß MAiÀÄÄåªÀ PÉ®¸ÀªÀÇ DUÀ¨ÉÃPÁVzÉ.
EzÀÄ «zÁåyðUÀ½UÉ, ²PÀëPÀjUÉ, ¥ÉÆà ÀPÀjUÉ »ÃUÉ J®èjUÀÆ ºÉƸÀ
¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ. DzÀÄzÀjAzÀ ¥ÀoÀå ¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼À°ègÀĪÀ CA±ÀUÀ¼À PÀÄjvÀAvÉ ¸ÀA±ÀAiÀÄ,
UÉÆAzÀ® J®ègÀ°è EgÀĪÀÅzÀÄ ¸ÀºÀdªÉÃ. DzÀgÉ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À
ªÀiÁqÀÄvÁÛ ºÉÆÃzÀAvÉ £ÀªÀÄUÀzÀÄ D¸ÀQÛAiÀÄ « ÀAiÀĪÁUÀÄvÁÛ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ. D¸ÀQÛ
C£Ééà ÀuÉUÉ CªÀPÁ±À ªÀiÁrPÉÆqÀÄvÀÛzÉ.

22. 22
ºÉƸÀ UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå ¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è MlÄÖ 17 CzsÁåAiÀÄUÀ½ªÉ. »A¢£À ªÀ Àð EzÀÝ
10£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ ¥ÀĸÀÛPÀPÉÌ ºÉÆð¹zÁUÀ ¤§A¢üvÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ
ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà UÀtÂvÀ, ¸ÀASÁåAiÀÄvÀ F ¥ÁoÀUÀ¼ÀÄ F ªÀ Àð E®è. ªÁ¸ÀÛªÀ
¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ, wæPÉÆãÀ eÁå«Äw ºÁUÀÆ ¤zÉÃð±ÁAPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ
ºÉƸÀzÁV ¸ÉÃ¥ÀðqÉAiÀiÁzÀ ¥ÁoÀUÀ¼ÀÄ, CAQCA±ÀUÀ¼ÀÄ, F ¥ÁoÀUÀ¼À°è C®à
§zÀ¯ÁªÀuÉUÀ¼ÁVªÉ. G½zÀAvÉ J¯Áè ¥ÁoÀzÀÀ°è PÀ°PÁA±ÀUÀ¼ÀÄ ªÉÆzÀ°£ÀAvÉ EzÀÄÝ
¸ÀªÀĸÉåUÀ¼ÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è §zÀ¯ÁªÀuÉUÀ½ªÉ.
£ÀÆvÀ£À ¥ÁoÀ ¥ÀĸÀÛPÀzÀ ªÀÄÄ£ÀÄßrAiÀÄ°è `J£ï.¹.J¥sï ºÁUÀÆ Dgï.n.E.
D±ÀAiÀÄzÀAvÉ ¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀgÀ¯ÁVzÉ' JAzÀÄ ¥Àæ¸ÁÛ«¹zÀÝPÉÌ F ¥ÀĸÀÛPÀ £ÁåAiÀÄ
MzÀV¹zÉ. EzÀPÉÌ ¥ÀÆgÀPÀªÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÉAzÀgÉ,
• ¥ÁoÀUÀ¼ÀÄ gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£ÀzÀ°è ¥Àæ¸ÀÄÛvÀUÉÆArzÉ. 10£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ ¥ÀoÀåªÀ£ÀÄß
F «zsÁ£ÀzÀ°è ¥Àæ¸ÀÄÛvÀÄ ¥Àr¸ÀĪÀÅzÀÄ C ÀÄÖ ¸ÀÄ®¨sÀzÀ PÁAiÀÄðªÀ®è. UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå
¥ÀĸÀÛPÀzÀ DgÀA¨sÀªÉà gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£ÀPÉÌ MAzÀÄ GvÀÛªÀÄ GzÁºÀgÀuÉ. ¥ÀÄl
¸ÀASÉå 3gÀ°ègÀĪÀ PÀÄjUÀ¼À ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄAvÀºÀ ¥Àæ¸ÀÄÛwUÀ¼ÀÄ ¸ÀÄUÀªÀĪÁV
«zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß PÀ°PÉAiÀÄ°è vÉÆqÀV¸ÀĪÀAvÉ ªÀiÁqÀ®Ä ²PÀëPÀjUÉ ªÀiÁUÀð¸ÀÆa
AiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ. EvÀgÀ GzÁ: ¸ÀA±ÉÆÃzsÀPÀ£À ¨ÉÃrPÉ, (¥ÀÄl ¸ÀASÉå 28) ¸ÀASÁå
©ÃUÀ (¥ÀÄl ¸ÀASÉå 66), ¨ÉlÖzÀ gÀ¸ÉÛ (¥ÀÄl ¸ÀASÉå 332), ¤Ãj£À mÁåAPï
(¥ÀÄl ¸ÀASÉå 390) EvÁå¢.
• ¥ÀoÀåzÀ ¥Àæ¸ÀÄÛw «zÁåyðUÀ¼À ªÀÄlÖzÀ°èzÉ. ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄÆr¸ÀĪÀ «zsÁ£À
«² ÀÖªÁVzÉ. GzÁ: wæPÉÆãÀ «Äw ºÁUÀÆ ¤zÉÃð±ÁAPÀ gÉÃSÁ UÀtÂvÀ 10£ÉÃ
vÀgÀUÀwUÉ ºÉƸÀzÁV ¸ÉÃ¥ÀðqÉAiÀiÁzÀ ¥ÁoÀUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ CzÀgÀ ¥Àæ¸ÀÄÛw MAzÀÄ
¸ÀªÁ®Ä. DzÀgÉ F ¥ÀoÀåzÀ°è CzÀÄ §ºÀ¼À ¸ÀgÀ¼À ºÁUÀÆ ZÀlĪÀnPÉUÀ½AzÀ
PÀÆrzÀÄÝ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ vÁªÉà eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß PÀnÖPÉƼÀî®Ä ¥ÀÆgÀPÀªÁUÀĪÀAwzÉ.

23. 23
• CAvÀUÀðvÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è C¼ÀªÀr¸À¯ÁVzÉ. ªÀÄÄRåªÁV UÀtÂvÀ
« ÀAiÀÄPÉÌ ¸ÀºÀ¸ÀA§AzsÀ ºÉÆA¢gÀĪÀ «eÁÕ£À « ÀAiÀÄzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ
¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ. EzÀgÉÆA¢UÉ G½zÀ « ÀAiÀÄUÀ¼À eÉÆvÉUÀÆ
¸ÀA§AzsÀ C®è°è PÀ°à¸À¯ÁVzÉ. GzÁ: fêÀ«zÀ¼À£À (¥ÀÄl ¸ÀASÉå 47), ¥ÉÊ
£ÀPÉëAiÀÄ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼ÀÄ, ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼ÀÄ, ¸ÀÆAiÀÄðUÀæºÀtzÀ
GzÁºÀgÀuÉ, ¥ÀÄl 296gÀ°è ¸ÀªÀiÁd «eÁÕ£ÀPÉÌ ¥ÀÆgÀPÀªÁzÀ « ÀAiÀÄUÀ¼ÀÄ
Ev猢.
• 10£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw UÀtÂvÀzÀ J¯Áè PÀ°PÉAiÀÄ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÁUÀÆ ¥ÀqÉzÀ
eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß «zÁåyð fêÀ£ÁªÀ±ÀåPÀvÉAiÉÆA¢UÉ eÉÆÃr¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÁUÀÆ
±Á¯ÉAiÀÄ ºÉÆgÀV£À §zÀÄQUÉ ¸ÀAAiÉÆÃd£É ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ PÀ ÀÖ¸ÁzÀå. DzÀgÉ F
¥ÁoÀ ¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è F ¥ÀæAiÀÄvÀß £ÀqÉ¢zÉ. GzÁ: ¥ÀÄl 425 gÀ d«ÄãÀÄ £ÀPÉë,
ZÀÄ£ÁªÀuÉ -¸ËÌmï GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ, zÀȶÖgÉÃSÉ, gÉÃSÉAiÀÄ E½eÁgÀÄ, vÀgÀPÁj
ªÉÄüÀ, CAZÉ¥ÉnÖUÉ EvÁå¢.
• ±Éæà À× UÀtÂvÀ ±Á¸ÀÛçdÕgÀ£ÀÄß ¸ÁAzÀ©üðPÀªÁV ¥ÀjZÀ¬Ä¹gÀĪÀÅzÀÄ ±ÁèWÀ¤ÃAiÀÄ.

24. 24
¥ÀoÀå ¥ÀĸÀÛPÀ «±Éèà ÀuÁ £ÀªÀÄÆ£É
vÀAqÀ ¸ÀASÉå:
vÀgÀUÀw : 10 « ÀAiÀÄ : UÀtÂvÀ ªÀiÁzsÀåªÀÄ: ¥ÀæPÀl£Á ªÀ Àð:2014
1. «±Éèö¹zÀ WÀlPÀ ¸ÀASÉå : «±Éèö¹zÀ WÀlPÀ ºÉ¸ÀgÀÄ:
2. CzsÁåAiÀĪÁgÀÄ ¥ÀæªÀÄÄR PÀ°PÁA±ÀUÀ¼ÀÄ :
3. »A¢£À vÀgÀUÀwAiÀÄ°è PÀ°vÀ ¥ÀÆgÀPÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ:
4. ªÀÄÄA¢£À ªÀ Àð PÀ°AiÀĨÉÃPÁzÀ ¸ÀA§A¢üvÀ PÀ°PÁA±ÀUÀ¼ÀÄ:
5. »A¢£À ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è WÀlPÀQÌAvÀ ºÉÃUÉ ©ü£ÀߪÁVzÉ:
6. « ÀAiÀÄ ¥Àæ¸ÀÄÛwAiÀÄ «±Éà ÀvÉUÀ¼ÀÄ:
7. EgÀĪÀ avÀæUÀ¼ÀÄ ºÉÃVªÉ?
8. C¼ÀªÀr¸À¯ÁzÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ CzÀgÀ ªÉÊ«zsÀåvÉ
9. ¤gÀAvÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÁå¥ÀPÀ ªÀiË®å ªÀiÁ¥À£ÀPÉÌ EgÀĪÀ CªÀPÁ±ÀUÀ¼ÀÄ
10. ªÀÄPÀ̼À D¸ÀQÛ, C©üªÀåQÛ ºÁUÀÆ ¸ÀéPÀ°PÉUÉ EgÀĪÀ CªÀPÁ±ÀUÀ¼ÀÄ
11. §zÀÄQ£À CA±ÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ ¸À«ÄÃPÀj¸À¯ÁzÀ « ÀAiÀÄUÀ¼ÀÄ
12. EvÀgÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ :
¢£ÁAPÀ : vÀAqÀzÀªÀgÀ ºÉ¸ÀgÀÄ ¸À».

25. 25
¨sÁUÀ -3 :
¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÄUÀªÀÄUÉƽ¸ÀĪÀ «zsÁ£À
gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£À
gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£À PÉêÀ® MAzÀÄ ¨ÉÆÃzsÀ£É-PÀ°PÉAiÀÄ «zsÁ£À J£ÀÄߪÀÅzÀQÌAvÀ
ªÀÄUÀÄ«£À PÀ°PÉAiÀÄ ««zsÀ ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ MAzÀÄ ¨ÉÆzsÀ£Á PÀ°PÁ ªÀiÁzÀj
J£ÀߧºÀÄzÀÄ. ªÀÄUÀĪÀÅ eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀAvÉ ««zsÀ ºÀAvÀUÀ¼À°è ºÉÃUÉ
C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀÅzÉAzÀÄ ¸ÀÄUÀªÀÄPÁgÀgÁzÀ £ÀªÀÄä UÀÄjAiÀiÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ. DzÀÄzÀjAzÀ
«zÁåyðUÀ¼À PÀ°PÉAiÀÄ ¥Àæw ºÀAvÀUÀ¼À°è C°è £ÀqÉAiÀĨÉÃPÁzÀ QæAiÉÄUÀ½UÉ ¸ÀjAiÀiÁV
ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À£ÀÄß gÀƦ¸À¨ÉÃPÁVzÉ.
gÀZÀ£Á PÀ°PÉUÉ ¥ÀÆgÀPÀªÁzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ PÀ°PÁ ªÀiÁzÀjUÀ½zÀÝgÀÆ £ÀªÀÄä ¥Àæ¸ÀPÀÛ
vÀgÀUÀw PÉÆÃuÉUÉ ¥ÀÆgÀPÀªÁzÀ 5E UÀ¼À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß ZÀað¸ÀÄwÛzÉÝêÉ. EzÀPÁÌV
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ JA§ WÀlPÀzÀ ¥sÀ°PÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß 5E ªÀiÁzÀjUÉ
ºÉÆAzÁtÂPÉ ªÀiÁqÀĪÀ ««zsÀ ¸ÁzsÀåvÉUÀ¼À£ÀÄß «±É趸À¯ÁVzÉ. ¸ÀÄUÀªÀÄUÁgÀgÀÄ vÀªÀÄä
vÀgÀUÀw ¸À¤ßªÉñÀ, «zÁåyðUÀ¼À PÀ°PÁ ªÉÃUÀ, ªÉÊAiÀÄÄQÛPÀ ©ü£ÀßvÉ, «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå,
C£ÀÄ Á×£À ¸ÁzsÀåvÉ, EvÁå¢UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ vÀªÀÄäzÉà DzÀ AiÉÆÃd£ÉAiÀÄ£ÀÄß
gÀƦ¸ÀĪÀÅzÀÄ F «±Éèà ÀuÉAiÀÄ D±ÀAiÀÄ.
WÀlPÀzÀ ºÉ¸ÀgÀÄ : ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
PÀ°PÁA±ÀUÀ¼ÀÄ :
1. ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ ºÁUÀÆ «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ªÁåSÁ夸ÀĪÀÅzÀÄ.
2. ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ ºÁUÀÆ «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸Á¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ.
3. ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ.
4. ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ.
5. ¤vÀå fêÀ£ÀzÀ°è ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ C£ÀéAiÀÄ

26. 26
Engage ºÀAvÀ
F ºÀAvÀzÀ°è «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß PÀ°PÁA±ÀzÀ PÀ°PÉAiÀÄ°è vÉÆqÀUÀĪÀAvÉ ªÀiÁqÀ
¨ÉÃPÁVzÉ. F ¸ÀÆavÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¤ªÀÄä vÀgÀUÀwUÉ ¸ÀÆPÀÛªÉAzÀÄ
D¯ÉÆÃa¹.
1. »A¢£À vÀgÀUÀwAiÀÄ°è PÀ°vÀ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß
eÁÕ¦¸ÀĪÀÅzÀÄ.
2. ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄd£À ®PÀëtUÀ¼À §UÉV£À ¥ÀƪÀð eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß CjAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
3. ®A§PÉÆãÀUÀ½gÀĪÀ DPÀÈwUÀ¼À£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀĪÀÅzÀÄ CxÀªÁ GzÁj¸ÀĪÀÅzÀÄ.
CªÀÅUÀ¼À ®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ.
4. ®A§PÉÆãÀzÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ ºÉƸÀ mÁ¸ïÌ£ÀÄß ¤ÃqÀĪÀÅzÀÄ.
GzÁ : DlzÀ ªÉÄÊzÁ£ÀzÀ°è zÉÊ»PÀ ²PÀëPÀgÀÄ ªÁ°¨Á¯ï CAPÀtzÀ gÀZÀ£É ªÀiÁqÀ
¨ÉÃPÁVzÉ. CzÀPÁÌV CªÀgÀÄ ªÉÆzÀ°UÉ gÉÃSÁRAqÀAiÀÄ£ÀÄß J¼ÉzÀÄ
D£ÀAvÀgÀ ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼ÉAiÀÄ®Ä ºÉÃUÉ PÀA¸ÀUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉzÀgÀÄ.
5 m
4m
CªÀgÀÄ D wædåzÀ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀÄ®Ä PÁgÀtªÉãÀÄ?
5. ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ ®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß CjAiÀÄĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ZÀlĪÀnPÉ
9m

27. 27
Explore ºÀAvÀ : F ºÀAvÀzÀ°è «zÁåyð ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À
¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß C£Ééö¸À¨ÉÃPÁVzÉ. CzÀPÁÌV C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÉAzÀgÉ:
1. ¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è «ªÀj¸À¯ÁzÀ ZÀlĪÀnPÉ :
avÀæ - 2
2. ¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è «ªÀj¸À¯ÁzÀ ZÀlĪÀnPÉ
ZÀlĪÀnPÉ :
* MAzÀÄ gÀnÖ£À ªÉÄÃ¯É ABC AiÀÄ£ÀÄß C AiÀÄÄ ®A§PÉÆãÀªÁVgÀĪÀAvÉ gÀa¹.
* AB, BC ªÀÄvÀÄÛ CA UÀ¼À ªÉÄÃ¯É ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹, F ªÀUÀðUÀ¼À°è, avÀæzÀ°è
vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ, gÀZÀ£ÉAiÀÄ ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß F PɼÀV£ÀAvÉ ªÀiÁr.
P

28. 28
* ®A§PÉÆãÀªÀ£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀĪÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À°è£À GzÀݪÁzÀ ¨ÁºÀÄ«£À
ªÉÄð£À ªÀUÀðzÀ°è ªÀÄzsÀå©AzÀÄ (P) AiÀÄ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. (ªÀUÀðzÀ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß
¸ÉÃj¹zÁUÀ F ©AzÀÄ ¹UÀÄvÀÛzÉ)
* P AiÀÄ ªÀÄÄSÁAvÀgÀ DE|| AB FG ⊥ DE J¼É¬Äj.
* GAmÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß 1,2,3 ªÀÄvÀÄÛ 4 JAzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CA ¨ÁºÀÄ«£À
ªÉÄð£À ªÀUÀðªÀ£ÀÄß 5 JAzÀÄ UÀÄgÀÄw¹. (avÀæªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹)
* 1,2,3, 4 ªÀÄvÀÄÛ 5 ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß PÀvÀÛj¹.
* EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß «PÀtð ABAiÀÄ ªÉÄð£À ªÀUÀðzÀ°è eÉÆÃr¹. (avÀæªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹)
3. D£ÀAvÀgÀ PɼÀV£À ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁr¹ wêÀiÁð£À §gɸÀĪÀÅzÀÄ.
(i) ¤ÃrzÀ ««zsÀ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄeÁPÀÈwAiÀÄ gÀnÖ£À ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß C¼ÉzÀÄ F
PÉÆà ÀÖPÀzÀ°è vÀÄA§ÄªÀÅzÀÄ.
(ii) GzÁ 3 ¸ÉA.«ÄÃ, 4 ¸ÉA.«ÄÃ, 5 ¸ÉA.«ÄÃ, 6 ¸ÉA.«ÄÃ, 8 ¸ÉA.«ÄÃ, 10 ¸ÉA«ÄÃ,
5 ¸ÉA.«ÄÃ, 12 ¸ÉA.«ÄÃ, 13 ¸ÉA.«ÄÃ
wæ¨sÀÄd£À
¸ÀASÉå
¨ÁºÀÄ
1
¨ÁºÀÄ
2
¨ÁºÀÄ
3
¨ÁºÀÄ
1gÀªÀUÀð
¨ÁºÀÄ
2gÀ
ªÀUÀð
¨ÁºÀÄ
3gÀ
ªÀUÀð
JgÀqÀÄ
aPÀÌ
ªÀUÀð
¸ÀASÉåUÀ¼À
ªÉÆvÀÛ
CvÀåAzÀ
zÉÆqÀØ
¸ÀASÉåAiÀÄ
ªÉÆvÀÛ
wêÀiÁð£À
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F ZÀlĪÀnPɬÄAzÀ PÀAqÀÄPÉÆAqÀ wêÀiÁð£ÀªÀ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀj¹.
F ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À®èzÉ ¨ÉÃgÉ AiÀiÁªÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ½AzÀ «zÁåyð ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀªÀ£ÀÄß C£Ééö¸À§®è? D¯ÉÆÃa¹, EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀ£ÀÄß

29. 29
«zÁåyðUÀ½UÉ ¤ÃqÀ¨ÉÃPÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÆß AiÉÆÃa¹. EzÉÆAzÀÄ UÀÄA¥ÀÄ
ZÀlĪÀnPÉAiÀiÁzÀgÉ GvÀÛªÀÄ. MAzÀÄ UÀÄA¥ÀÄ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À®Æè
¨sÁUÀªÀ»¸À§ºÀÄzÀÄ. C¥ÉÃQëvÀ wêÀiÁð£À vÉUÉzÀÄPÉƼÀî®Ä ±ÀPÀÛgÁUÀĪÀªÀgÉUÉ ZÀlĪÀnPÉ
UÀ¼À£ÀÄß ªÀÄÄAzÀĪÀj¹ CxÀªÁ §zÀ¯Á¬Ä¹.
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¸ÁzsÀ£É
EzÀPÁÌV F PɼÀV£À AiÀiÁªÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¸À§ºÀÄzÀÄ?
• ¤UÀªÀÄ£À ¥ÀzÀÞw
• ZÀZÁð «zsÁ£À
• «ªÀgÀuÁvÀäPÀ «zsÁ£À
F AiÀiÁªÀÅzÉà «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁrzÀgÀÆ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄ°è EgÀĪÀ ªÀÄÆgÀÄ
ºÀAvÀUÀ¼À PÀqÉ £ÀªÀÄä UÀªÀÄ£À«gÀ°. CªÀÅUÀ¼ÉAzÀgÉ
ºÀAvÀ 1 : aPÀÌ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ zÉÆqÀØ wæ¨sÀÄdPÉÌ ¸ÀªÀÄgÀƦ JAzÀÄ ¸Á¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ
(1 ªÀÄvÀÄÛ 3)
ºÀAvÀ 2 : ¸ÀªÀÄgÀƦ wæ¨sÀÄdUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉzÀÄ CzÀgÀ
¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ JgÀqÀÄ aPÀÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼À
ªÀUÀðªÀ£ÀÄß C£ÀÄ¥ÁvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. (2 ªÀÄvÀÄÛ 3)
ºÀAvÀ 3 : F ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀtðzÀ ªÀUÀðzÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è
¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

30. 30
Express (JPïì¥Éæ¸ï)
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ªÁåSÁå£À :
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ZÁmïð ªÀÄÆ®PÀ ºÁQ CzÀgÀ zÀvÀÛ ¨sÁUÀ
ºÁUÀÆ ¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀAvÉ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ ªÁåSÁå£ÀªÀ£ÀÄß
CxÉÊð¹PÉÆAqÀÄ PÀAoÀ¸ÀÜ ªÀiÁqÀ®Ä C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀÅzÀÄ.
"®A§ PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è (zÀvÀÛ¨sÁUÀ) «PÀtðzÀ ªÉÄð£À ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ
¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÄð£À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ (¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ)". ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß CxÉÊð¹
PÉÆAqÀÄ PÀAoÀ¸ÀÜ ªÀiÁqÀ®Ä ¨ÉÃgÉ K£É¯Áè ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ?
F ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß avÀæ ºÁUÀÆ UÀtÂvÀzÀ «zsÁ£ÀzÀ°è ¥Àæw¤¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ
¤ÃrzÀ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ««zsÀ
jÃwAiÀÄ°è ºÉ¸Àj¸À¯ÁzÀ ®A¨sÀPÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀ®èªÉÃ?
A
∆ABC AiÀÄ°è ∠B = 900 DzÀgÉ
AC2 = AB2 + BC2 CxÀªÁ
AB2 = AC2 – BC2 CxÀªÁ BC2 = AC2 – AB2
P Q
∆ PQR £À°è ∠P = 900 DzÀgÉ
QR2 = PR2 + PQ2 EzÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ
15 9
∆ zÀ°è (15)2 = (9)2 +
(12)2
12
B C
R

31. 31
∆ zÀ°è 222
zyx +=
»ÃUÉ AiÀiÁªÀÅzÉà wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß ¤ÃrzÀgÀÆ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß D
wæ¨sÀÄdPÉÌ C¼ÀªÀr¸À®Ä «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß ±ÀPÀÛ£À£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä E£ÀÄß AiÀiÁªÀ vÀAvÀæUÀ¼À£ÀÄß
C¼ÀªÀr¸À§ºÀÄzÀÄ?
• F »AzÉ ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß C¼ÉzÀÄ
CªÀÅUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆà ÀÖPÀzÀ°è vÀÄA§¯ÁVzÉ. CªÀÅUÀ¼À ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À wææªÀ½UÀ¼ÉAzÀgÉãÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß CxÉÊð¹PÉƼÀÀÄzÀ®èªÉÃ?
EzÀgÉÆA¢UÉ,
• ¸ÀtÚ UÀÄA¥ÀÄUÀ¼À°è «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀĪÀAvÉ
ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
• 30 gÀªÀgÉV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAoÀ¸ÀÜ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀjAzÀ F wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß
UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀÄ ¸ÀÄ®¨sÀ ¸ÁzsÀåªÀ®èªÉÃ?
• AiÀiÁªÀ wæªÀ½UÀ¼À°è JgÀqÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ½gÀÄvÀÛªÉ? GzÁ: 5, 12, 13
• Cw ºÉaÑ£À ¸ÀASÉåAiÀÄ°è ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁrzÀªÀgÀ£ÀÄß
¥ÉÆæÃvÁ컸À§ºÀÄzÀ®èªÉÃ?
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ:
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ ºÁUÀÆ «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ EªÀÅUÀ¼À ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¤Ãr
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ zÀvÀÛ ¨sÁUÀ ºÁUÀÆ ¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁr MAzÀÄ
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ P˱À®åªÀ£ÀÄß «zÁåyð ¥ÀqÉAiÀÄĪÀAvÉ
£ÁªÀÅ C£ÀÄPÀÆ°¸À¨ÉÃPÀÄ.
"®A§ PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è (zÀvÀÛ ¨sÁUÀ) «PÀtðzÀ ªÉÄð£À ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ
¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÄð£À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ (¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ)"
x
y z

32. 32
AiÉÆÃa¹ :
«¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß «zÁåyðUÀ½AzÀ PÀAoÀ¸ÀÜ ªÀiÁr¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ?
«¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸ÀĪÀ §UÉAiÀÄ£ÀÄß «zÁåyðUÀ¼Éà ºÉÃUÉ
w½AiÀħºÀÄzÀÄ?
¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è ¤ÃqÀ¯ÁzÀ JgÀqÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ
«zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß gÀƦ¸À®Ä C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀÅzÀÄ.
C£ÀAvÀgÀ «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀzÀ PÀÄjvÀÄ ZÀað¸ÀĪÀÅzÀÄ.
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß UÀtÂvÀ «zsÁ£ÀzÀ°è
¥Àæw¤¢ü¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß C¨sÁå¸À ªÀiÁrzÀ §½PÀ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ DzsÁgÀzÀ°è
PÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉUÉ ¸ÀjAiÀiÁV ¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ ¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ½UÉ
¸ÀjAiÀiÁV PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ºÉÃUÉ §zÀ¯ÁUÀÄvÀÛªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀtÂvÀ ºÉýPÉ ªÀÄÆ®PÀ
¥Àæw¤¢ü¸ÀĪÀgÀÄ.
Elaborate ºÀAvÀ :
E°è ªÀÄUÀÄ vÁ£ÀÄ PÀ°wgÀĪÀ « ÀAiÀĪÀ£ÀÄß ««zsÀ UÀtÂvÀzÀ ºÁUÀÆ fêÀ£ÀzÀ
¸À¤ßªÉñÀUÀ½UÉ C¼ÀªÀr¸À¨ÉÃPÀÄ. CzÀPÁÌV ºÉÃUÉ ¥ÀæQæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
wæ¨sÀÄdzÀ ¯ÉPÀÌUÀ½AzÀ DgÀA©ü¹ fêÀ£ÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ««zsÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß
©r¸À®Ä ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß §¼À¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß ºÀAvÀºÀAvÀªÁV C¨sÁå¸À
ªÀiÁr¸ÀĪÀÅzÀÄ.
avÀæ 1 : ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃrzÁUÀ «PÀtðªÀ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
8
6
?
B C
A

33. 33
avÀæ 2 : ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ ºÁUÀÆ «PÀtðªÀ£ÀÄß ¤ÃrzÁUÀ
E£ÉÆßAzÀÄ ¨ÁºÀÄ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
avÀæ 3 : DAiÀÄÄvÀzÀ ºÁUÀÆ ZËPÀzÀ PÀtð PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
avÀæ 4 : UÉÆÃqÉUÉ MgÀV¹zÀ KtÂAiÀÄ GzÀÝ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
avÀæ 5 : ªÀÄgÀzÀ JvÀÛgÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ :
7cm
13cm
?
X
1.5”
Y
?
29
20
?
h

34. 34
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ C£Àé¬Ä¸ÀĪÀ ¸ÁzsÀ£ÉUÀ¼À ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß C£ÀĸÀj¹
««zsÀ ¸ÁzsÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¸Á¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ.
EzÀgÉÆA¢UÉ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ªÀÄÆ®PÀ §UɺÀj¸À§ºÀÄzÁUÀ ««zsÀ
¤vÀåfêÀ£ÀzÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß §UɺÀj¸ÀĪÀ P˱À® ¨É¼É¸ÀĪÀÅzÀÄ. F ¥ÀæQæAiÉÄAiÀÄ°è
¸ÀA§A¢ü¹zÀ avÀæ §gÉzÀÄ C°è ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ C£Àé¬Ä¸ÀĪÀ vÀAvÀæ C¨sÁå¸À ªÀiÁr¸ÀĪÀÅzÀÄ.
• £ÀªÀÄä ¸ÀÄvÀÛªÀÄÄvÀÛ°£À AiÀiÁªÀ ¸À¤ßªÉñÀUÀ¼À°è AiÀiÁªÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À¯Éè¯Áè
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß C£Àé¬Ä¹PÉƼÀÀÄzÀÄ?
• ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ DzsÁgÀzÀ°è ©r¸À§ºÀÄzÁzÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß
«zÁåyðUÀ½AzÀ¯Éà gÀƦ¸À§ºÀÄzÉÃ?
• C¨sÁå¸À 11.1 ªÀÄvÀÄÛ 11.2 gÀ C¨sÁå¸À ¯ÉPÀÌUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ C¥ÉÃPÀëtÂÃAiÀÄ.
Evaluation ºÀAvÀ :
PÀ°PÉAiÀÄ CªÀ¢üAiÀÄ°è ºÁUÀÆ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è AiÀiÁªÀ CA±ÀUÀ¼À£É߯Áè ºÉÃUÉ
ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÉ£ÀÄߪÀÅzÀÄ §ºÀ¼À ªÀÄÄRå. PÉ®ªÀÅ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀ°PÉAiÀÄ
ºÀAvÀzÀ¯Éèà ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ªÀiÁr, PÀ°PÉAiÀÄ£ÀÄß zÀÈrüÃPÀj¸ÀzÀ £ÀAvÀgÀªÉà ªÀÄÄA¢£À
PÀ°PÁA±ÀUÀ¼À PÀ°PÉUÉ ºÉÆÃUÀ¨ÉÃPÀÄ.
GzÁ: ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ªÁåSÁå£À: ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ- ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß
¸Á¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ.
• EªÀÅUÀ¼À®èzÉ F WÀlPÀzÀ°è AiÀiÁªÉ¯Áè PÀ°PÁA±ÀUÀ¼À°è °TvÀ ¥Àæ±Éß
¤ÃqÀ§ºÀÄzÀÄ?
• WÀlPÀ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è ¤ÃqÀ§ºÀÄzÁzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÁªÀŪÀÅ?
• gÀ¸À¥Àæ±ÉßUÉ AiÀiÁªÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃqÀ§ºÀÄzÀÄ?

35. 35
• ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è ¤ÃqÀ¯ÁzÀ C£ÀéAiÀÄzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼À£ÀÄß ©lÄÖ ¨ÉÃgÉ AiÀiÁªÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼À£ÀÄß
¤ÃqÀ§ºÀÄzÀÄ?
• ¥ÁæeÉPïÖUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃqÀ§ºÀÄzÉÃ? ¤ÃqÀĪÀÅzÁzÀgÉ ºÉÃUÉ?
• ¸ÀªÀÄgÀƦ wæ¨sÀÄd ºÁUÀÆ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ F WÀlPÀUÀ¼À PÀ°PÁA±À
UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ºÉÆðPÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÃUÉ ªÀiÁr¸À§ºÀÄzÀÄ?
1. PÉ®ªÀÅ WÀlPÀUÀ½UÉ gÀZÀ£ÁvÀäPÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ C¼ÀªÀrPÉ
2. PÉ®ªÀÅ UÀtÂvÀzÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ
F ªÀ ÀðzÀ ¥ÀoÀå ¥ÀÀŸÀÛPÀzÀ°è wæPÉÆãÀ«Äw ºÁUÀÆ ¤zÉÃð±ÁAPÀ UÀtÂvÀ JA§
CzsÁåAiÀÄUÀ¼ÀÄ ºÉƸÀzÁV ¸ÉÃ¥ÀðqÉAiÀiÁVzÉ. ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ CxÉÊð¸ÀÄ«PÉ ºÁUÀÆ
vÀéjvÀUÀwAiÀÄ°è PÀ°PÉUÉ C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀÅzÀPÉÌ ¥ÀÇgÀPÀªÁV PÉ®ªÀÅ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À£ÀÄß E°è
ZÀað¸À¯ÁVzÉ.
UÀªÀĤ¹ : ¥Àæ²ß¸ÀÄ«PÉ, D¯ÉÆÃa¸ÀĪÀÅzÀÄ, «±Éèö¸ÀĪÀÅzÀÄ, ¸ÀA±Éèö¸ÀĪÀÅzÀÄ
EvÁå¢ ...... UÀ¼ÀÆ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÉÃ.

36. 36
wæPÉÆãÀ «Äw
F PɼÀPÀAqÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
±Á¯ÉAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼À°è, vÀªÀÄä ±ÉÊPÀëtÂPÀ ¥ÀæªÁ¸ÀzÀ°è ¨ÉîÆj£À ZÉ£ÀßPÉñÀªÀ
zÉêÁ®AiÀÄPÉÌ vÉgÀ½zÀÄÝ, zÉêÁ®AiÀÄzÀ ªÀÄÄA¢£À PÀ®Äè PÀA§ªÀ£ÀÄß
UÀªÀĤ¸ÀÄvÁÛgÉ. CzÀ£ÀÄß £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀzÀ°è C¼ÉAiÀÄzÉà CzÀgÀ JvÀÛgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ
»rAiÀÄ®Ä «zÁåyðUÀ½UÉ ¸ÁzsÀåªÉÃ?
DPÁ±ÀzÀ°è «ªÀiÁ£À ºÁgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÀAqÀ aPÀÌ ºÀÄqÀÄV, ªÀÄ£ÉAiÉƼÀUÉ Nr
ºÉÆÃV vÀ£Àß vÁ¬ÄAiÀÄ£ÀÄß PÀgÉzÀÄPÉÆAqÀÄ §AzÀÄ «ªÀiÁ£À £ÉÆÃqÀĪÀ ÀÖgÀ°è,
A ¸ÁÜ£ÀzÀ°èzÀÝ «ªÀiÁ£À B ¸ÁÜ£ÀzÀ°è ºÉÆÃUÀĪÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÀÄvÁÛgÉ. ºÁUÁzÀgÉ
«ªÀiÁ£ÀªÀÅ J ÀÄÖ JvÀÛgÀzÀ°è ZÀ°¸ÀÄwÛzÉ JAzÀÄ PÀAqÀÄ »rAiÀħºÀÄzÉ?
EAvÀºÀ ¸À¤ßªÉñÀUÀ¼À°è, £ÁªÀÅ JvÀÛgÀªÀ£ÀÄß UÀtÂÃwÃAiÀÄ «zsÁ£ÀzÀ°è PÀAqÀÄ
»rAiÀħºÀÄzÉ?
F jÃwAiÀÄ ¸ÀªÀĸÉåUÀ½UÉ £ÁªÀÅ UÀtÂvÀzÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀªÁzÀ ‘wæPÉÆãÀ«Äw’
eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¹PÉƼÀÄîvÉÛêÉ.
ªÉÄð£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß gÉÃSÁPÀÈwAiÀiÁV ¥ÀjªÀwð¹PÉÆAqÀgÉ, F jÃw
PÁtÄvÀÛªÉ.
C
CB
A
PÀA§¢AzÀ EgÀĪÀ zÀÆgÀ
PÀA§zÀ
JvÀÛgÀ
C
A
B
D

37. 37
FUÀ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹, wæ¨sÀÄd ABC AiÀÄ°è =∠B 900
DVzÉ.
A ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼ÀÄ ®WÀÄPÉÆãÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. (KPÉ?)
D JgÀqÀÄ ®WÀÄPÉÆãÀUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. E°è
C∠ AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹zÉ. D PÉÆãÀ θ DVgÀ°. (‘θ’ªÀ£ÀÄß wÃmÁ (theta) JAzÀÄ
ºÉüÀÄvÉÛêÉ). ∆ABC AiÀÄ°è AC PÀtðªÁVzÉ ºÁUÀÆ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß
‘θ’ªÀ£ÀÄß DzsÁgÀªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ £ÁªÀÅ ºÉ¸Àj¸ÀÄvÉÛêÉ.
θUÉ JzÀÄj£À ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ (oposites) JAzÀÄ (E°è
AB) ªÀÄvÀÄÛ θ UÉ ºÉÆA¢PÉÆAqÀAwgÀĪÀ ¨ÁºÀÄ (PÀtðªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹) ªÀ£ÀÄß
¥Á±Àéð¨ÁºÀÄ (E°è BC) JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.
£É£À¦r : … ±ÀÈAUÀzÀ°è θθθθ ªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹zÁUÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ºÉ¸ÀgÀÄUÀ¼ÀÄ §zÀ¯ÁUÀÄvÀÛªÉ.
F ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ««zsÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è §gÉzÀÄPÉƼÀî
§ºÀÄzÁVzÉ. ºÁUÁzÀgÉ ¸ÁzsÀå«gÀĪÀ C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼Éà ÀÄÖ?
wæ¨sÀÄdzÀ°è 3 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ EgÀĪÀ PÁgÀt, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß 3! ««zsÀ C£ÀÄ¥ÁvÀ
UÀ¼ÁV §gÉzÀÄPÉƼÀÀÄzÀÄ.
3! = 3 x 2 x 1 = 6 ««zsÀ C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼ÀÄ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ 6 ««zsÀ
ºÉ¸ÀgÀÄUÀ½AzÀ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. F C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¤UÀ¢üvÀ ®WÀÄPÉÆãÀ
(θ)ªÀ£ÀÄß DzsÀj¹ §gÉzÀÄzÁÝVgÀÄvÀÛzÉ.
A
CB

38. 38
θSin
AC
AB
= θsecCo
AB
AC
=
θCos
AC
BC
= θSec
BC
AC
=
θtan=
BC
AB
θCot
AB
BC
=
ºÁUÉAiÉÄà F wæ¨sÀÄdUÀ½UÀÆ ¸ÀºÀ wæPÉÆãÀ«Äw C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉzÀÄPÉƼÀî
§ºÀÄzÀÄ.
£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁVzÀÄÝ : ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è£À C©üªÀÄÄR ªÀÄvÀÄÛ ¥Á±Àéð¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
θ ªÀ£ÀÄß CªÀ®A©¹gÀÄvÀÛªÉ.
DzÀgÉ θ MAzÀÄ ¤¢ð ÀÖ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÁUÀ wæPÉÆãÀ «Äw C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ
¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß w½zÀÄPÉÆüÉÆît.
MAzÀÄ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹
∆ABC AiÀÄ°è AB=AC=BC= a DVgÀ°.
∆ABC AiÀÄ°è AM ⊥ BC J¼É¬Äj.
CMA ˆ = 900
ACM∠ = 600
ªÀÄvÀÄÛ 30=∠CAM 0
BM = MC =
2
a
A
CB θ
P K
LMR
X
ZYQ
A
B C
M

39. 39
AM =
2
3a
¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ JvÀÛgÀ a
2
3
∆AMC AiÀÄ°è C∠ = 600
AiÀÄ£ÀÄß DzsÁgÀ PÉÆãÀªÁVj¹PÉÆAqÁUÀ
AM = C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ (opp) =
2
3a
MC = ¥Á±Àéð¨ÁºÀÄ (adj) =
2
a
AC PÀtð (Hyp) = a
Sin 600
=
2
32
.3
===
a
a
hyp
opp
Cos 600
=
2
12 ==
a
a
hyp
adj
tan 600
= 3
22
.3
==
aa
adj
opp
Cosec 600
=
3
2
2
3
==
a
a
opp
hyp
Sec 600
2
2
==
a
a
adj
hyp
Cos 600
=
3
1
2
.3
2 ==
a
a
opp
adj
∆AMC AiÀÄ°è CAM∠ = 300
DzsÁgÀªÁVlÄÖPÉÆAqÁUÀ,

40. 40
a2
C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ MC =
2
a
¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄ AM =
2
.3 a
PÀtð AC = a
Sin 300
= 2
12 =
a
a
Cosec 300
=
2
a
a
=2
Cos 300
=
2
32
3
=
a
a
Sec 300
=
3
2
2
3
=
a
a
Tan 300
=
3
1
2
.32
=
a
a
Cos 300
= 3
2
2
.3
=
a
a
450
UÉ wæPÉÆãÀ«Äw C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀ «zsÁ£À :
∆ABC AiÀÄ°è =∠B 900
, =∠A =∠C 450
∴ ∠ C =450
AiÀÄ£ÀÄß DzsÁgÀªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ wæPÉÆãÀ «Äw
C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¸À§ºÀÄzÀ®èªÉ?
Sin 450
=
2
1
.2
==
a
a
hyp
opp
Cos 450
=
2
1
2
==
a
a
hyp
adj
A
B C
450
a
450

41. 41
tan 450
= 1==
a
a
adj
opp
Cos 450
= 2
.2
==
a
a
opp
hyp
Sec 450
= 2
.2
==
a
a
adj
hyp
Cos 450
= 1==
a
a
opp
adj
¤zÉðñÁAPÀ UÀtÂvÀ
(Coordinate geometry)
2014gÀ £ÀÆvÀ£À UÀtÂvÀ ¥ÀŸÀÛPÀ (10£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw) zÀ°è ¸ÉÃ¥ÀðqÉAiÀiÁVgÀĪÀ F
ºÉƸÀ ¥ÀjPÀ®à£É CxÀð ªÀiÁrPÉƼÀî®Ä ¨ÉÃPÁzÀ ¥ÀǪÀð ¹zÀÞvÉUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ ¥ÀÇgÀPÀ
ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À §UÉÎ D¯ÉÆÃa¸ÉÆÃt.
¸Àäj¹PÉƼÀÄîªÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ :
MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è£À ©AzÀÄ«£À ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸À®Ä £ÁªÀÅ x- CPÀë ªÀÄvÀÄÛ
y - CPÀë §¼ÀPÉ ªÀiÁqÀÄvÉÛêÉ. zÀvÀÛ ©AzÀĪÀÅ x- CPÀë¢AzÀ ªÀÄvÀÄÛ y-CPÀë¢AzÀ
EgÀĪÀ ®A§zÀÆgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄÄvÉÛêÉ. EzÀjAzÀ D ©AzÀÄ«£À
¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄÄvÉÛêÉ.
£É£À¦£À°èr : x - CPÀë¢AzÀ ©AzÀÄ«VgÀĪÀ ®A§ zÀÆgÀªÉÃX-¨sÀÄdAiÀÄÄUÀä
(x- coordinate) ªÀÄvÀÄÛ
Y - CPÀë¢AzÀ D ©AzÀÄ«VgÀĪÀ ®A§ zÀÆgÀªÉà Y- ¨sÀÄdAiÀÄÄUÀä
(y- coordinate)
y = mx +c £ÀPÉëAiÀÄÄ MAzÀÄ gÉÃSÁ£ÀPÉë.

42. 42
AiÉÆÃa¹ : UÁæ¥sï ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄwð¹zÀ PÉ®ªÀÅ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ
GAmÁUÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß C¼ÀvÉ¥ÀnÖ G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀzÉ
PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÉ?
¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ½UÀÆ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀPÀÆÌ K£ÁzÀgÀÆ
¸ÀA§AzsÀ«gÀĪÀÅzÉ AiÉÆÃa¹. ¤zÉðñÁAPÀ UÀtÂvÀªÀÅ gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß
©ÃdUÀtÂvÀzÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¹ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀªÀ£ÀÄß ¯ÉPÁÌZÁgÀ
ªÀiÁqÀĪÀ UÀtÂvÀzÀ MAzÀÄ ¥ÀæªÀÄÄR CAUÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ.
zÀÆgÀzÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß (distance formula) ºÉÃUÉ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÉA§ÄzÀ£ÀÄß
AiÉÆÃa¹. P (x1, y1) ªÀÄvÀÄÛ Q(x2, y2) UÀ¼ÁVzÀÄÝ P Q UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ
(CAvÀgÀ) ªÉ ÀÄÖ?
P(x1,y1) ªÀÄvÀÄÛ Q(x2, y2) ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¸ÀªÀÄzÀ°ègÀĪÀ ©AzÀÄUÀ¼ÁVgÀ°.
F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
0 X1 K L
(0,0) ---------X2
x CPÀëPÉÌ P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ½AzÀ PK, QL ®A§ J¼É¬Äj.
DUÀ OK = x1
OL = x2 DUÀĪÀÅzÀÄ.
DzÀgÉ KL = OL – OK = x2 – x1 DUÀÄvÀÛzÉ.
KL UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV PR J¼É¬Äj.
PR⊥ QL DVgÀÄvÀÛzÉ. (KPÉ)
P R
Q
(x1 y1)
Y
(x2 y2)

43. 43
∴ PK = RL = y1
QL = y2 DVgÀÄvÀÛzÉ
∴ QR = QL – RL = (y2 – y1)
∆QRP, 0
90=∠R
¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ,
PQ2
= PR2
+ QR2
PQ2
= (x2 – x1) 2
+ (y2 – y1)2
PQ = 2
12
2
12 )()( yyxx −+−
ZÀlĪÀnPÉ : UÁæ¥ï ºÁ¼ÉAiÀÄ°è A (0, 3) ªÀÄvÀÄÛ B (4, 0) UÀÄwð¹. AB GzÀÝ
PÀAqÀÄ »r¬Äj. (AB GzÀÝ C¼ÉAiÀÄ®Ä ¸ÉÌÃ¯ï §¼À¹) ºÁUÀÆ
zÀÆgÀzÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß §¼À¹ GvÀÛgÀ PÀAqÀÄ »rzÀÄ vÁ¼É £ÉÆÃr.
EzÀ£ÀÄß UÀÄA¥ÀÅ ZÀlĪÀnPÉ ªÀiÁr. MAzÀÄ UÀÄA¥ÀÅ ¸ÀÆvÀæ §¼À¸À° ºÁUÀÆ
E£ÉÆßAzÀÄ UÁæ¥ï ºÁ¼ÉAiÀÄ°è GvÀÛgÀ PÀAqÀÄ »rAiÀÄ°. CªÀgÉà ºÉüÀÄvÁÛgÉ. ¸ÀÆvÀæzÀ
«zsÁ£ÀªÀÅ ¸ÀÄ®¨sÀªÉAzÀÄ.
zÀÆgÀzÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß F PɼÀPÀAqÀ ¸À¤ßªÉñÀzÀ°è §¼À¸ÀÄvÉÛêÉ.
©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
wæ¨sÀÄdzÀ ºÁUÀÆ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «zsÀUÀ¼À£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä
©AzÀÄUÀ¼ÀÄ KPÀgÉÃSÁUÀvÀªÁVgÀĪÀÅzÉà CxÀªÁ E®èªÉà JAzÀÄ ¥Àj²Ã°¸À®Ä.
£É£À¦r : ¥Àæw §¼ÀPÉAiÀÄ°èAiÀÄÆ, UÀtÂvÀzÀ / gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ® ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À
§¼À¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ CvÁåªÀ±ÀåPÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ªÀÄ£ÀUÁt
¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.

44. 44
PÉ®ªÀÅ PÀ°PÉAiÀÄ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ
WÀlPÀ : ±ÉæÃrüUÀ¼ÀÄ
¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¸ÀÆvÀæzÀ C£Ééà ÀuÉ ZÀlĪÀnPÉ.
“ZÀÄQÌUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl”
¨ÉÆÃrð£À ªÉÄÃ¯É ZÀÄQÌUÀ¼À£ÀÄß E°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ 6 ¸Á®ÄUÀ¼À°è ºÁQ.
ZÀÄQÌUÀ¼À ªÉÆvÀÛ §gɬÄj.
. 6£Éà ¸Á®Ä
.. 5£Éà ¸Á®Ä
... 4£Éà ¸Á®Ä
.... 3£Éà ¸Á®Ä
..... 2£Éà ¸Á®Ä
...... 1£Éà ¸Á®Ä
777

45. 45
MlÄÖ ZÀÄQÌUÀ¼ÀÄ = 3 X 7 = 21
¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå 6
¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ
2
1
7 = ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå +1 = 6 + 1
6 ¸Á®ÄUÀ¼À°è ZÀÄQÌUÀ¼À ªÉÆvÀÛ =
2
1
¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀASÉå (¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå +1)
“EzÉà jÃw 10 ¸Á®ÄUÀ¼À°è ZÀÄQÌUÀ¼À£ÀÄß ºÁQzÁUÀ MlÄÖ J ÀÄÖ ZÀÄQÌUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.
ºÉüÀ§°ègÁ?” ºËzÀÄ
55115)110(10
2
1
=×=+××
“200 ¸Á®ÄUÀ¼À°è?” 100,20201100)1200(002
2
1
=×=+×
¸Á®ÄUÀ¼À°è”? )1(
2
1
+nn n
EzÀ£ÀÄß Sn = )1(
2
1
+nn JAzÀÄ §gÉzÁUÀ EzÀÄ ªÉÆzÀ® ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À
ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæªÁUÀĪÀÅzÀÄ.
«.¸ÀÆ : ¨É¸À¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ®Æ F ¸ÀÆvÀæ ¸ÀjºÉÆAzÀĪÀÅzÀÄ.
GzÁ : 1+2+3+….............+101
S10 = =××=+×× 201101
2
1
)1101(101
2
1
5151
5
100
51

46. 46
PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É ªÀÄvÀÄÛ «PÀ®à C£ÀéAiÀÄ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À®Ä ¥ÀÇgÀPÀ
ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ
§ºÀ¼À ÀÄÖ «zÁåyðUÀ½VgÀ§ºÀÄzÁzÀ MAzÀÄ ¥ÀæªÀÄÄR ¸ÀªÀĸÉå JAzÀgÉ ºÉýPÉ
¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß (word problem) ©r¸ÀĪÁUÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉAiÉÆà «PÀ®àªÉÇ?
CxÀªÁ JgÀqÀgÀ C£ÀéAiÀÄ ¸ÀºÀ EgÀ§ºÀÄzÉ? £ÀAvÀgÀzÀ ¥Àæ±Éß ‘¸ÀAPÀ®£À’ CxÀªÁ
UÀÄuÁPÁgÀ JAzÀgÉ ....1−
+ rCrC nn CxÀªÁ ....1−
× rCrC nn
C£ÀĨsÀ« ²PÀëPÀgÀÄ vÀªÀÄäzÉà DzÀ jÃwAiÀÄ°è EAvÀºÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß CªÀgÀªÀzÉÝÃ
DzÀ jÃwAiÀÄ°è §UɺÀj¹PÉƼÀÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ CAQ, ¸ÀASÉå DzsÁjvÀ
¸ÀªÀĸÉåUÀ¼ÀÄ, PÀÆå£À°è ¤AvÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ EvÁå¢ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è J°è ‘PÀæªÀÄ’
ªÀÄÄRåªÉÇà C¯Éè¯Áè PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É EzÉà jÃw ºÀ¸ÀÛ¯ÁWÀªÀ (shake hands),
PÀ«Än, nêÀiï (vÀAqÀ) §tÚzÀ ºÀÆUÀ¼À£ÀÄß / ZÉAqÀÄUÀ¼À£ÀÄß D §ÄnÖ (¨ÁåUï)
¤AzÀ vÉUÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ gÉÃSÁUÀtÂvÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ ±ÀÈAUÀ, ©AzÀÄ, ¨ÁºÀÄ,
PÀtð EvÁå¢ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À°è PÀæªÀÄ ªÀÄÄRåªÀ®è¢zÁÝUÀ «PÀ®àªÉAzÀÆ ¤zsÀðj¸ÀĪÀÅzÉA§
¸ÀĽªÀÅ ¤ÃqÀ§ºÀÄzÀÄ C®èªÉ? EzÀgÀ eÉÆvÉUÉ ¥ÀÆgÀPÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ½AzÀ
¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉ : MAzÀÄ §lÖ°UÉ MAzÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ªÀÄÆgÀÄ ¨Á¯ï
§tÚzÀ ¥É£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß (3PÉÌ «ÄÃjzÀAvÉ) J ÀÄÖ «zsÀUÀ¼À°è ºÁPÀ§ºÀÄzÀÄ. EzÀ£ÀÄß §ºÀÄ
DAiÉÄÌ ¥Àæ±Éß gÀÆ¥ÀzÀ°è PÉÆlÄÖ «zÁåyðUÀ½UÉ ªÀÄgÀĨÉÆÃzsÀ£ÉAiÀÄ CUÀvÀå«zÉAiÉÄÃ
JA§ÄzÀ£ÀÄß w½zÀÄ ¥ÀÇgÀPÀ ZÀlĪÀnPÉ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.

47. 47
F DAiÉÄÌUÀ¼À°è (J) 7 (©) 9 (¹) 15 (r) 108 J ÀÄÖ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ
¸ÀjAiÀiÁzÀ DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀÄvÁÛgÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rzÀÄ £ÀAvÀgÀ ZÀlĪÀnPÉ
gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
ZÀlĪÀnPÉ : GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è PÉÆnÖgÀĪÀ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß ZÀlĪÀnPÉ ªÀÄÆ®PÀ
©r¸ÀĪÀÅzÀÄ. mÉç°è£À ªÉÄÃ¯É 1 §lÖ®Ä ªÀÄvÀÄÛ PÉA¥ÀÅ (R) ¤Ã° (B) ªÀÄvÀÄÛ
ºÀ¹gÀÄ (G) §tÚzÀ ¨Á¯ï ¥É£ÀÄßUÀ¼À¤ßr.
M§â «zÁåyð MAzÉÆAzÁV §lÖ°UÉ ¥É£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß ºÁQ J ÀÄÖ
«zsÀUÀ¼ÉA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ°. ªÀÄvÉÆۧ⠫zÁåyð JgÉqÉgÉqÀgÀAvÉ ¨Á¯ï
¥É£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß J ÀÄÖ «zsÀUÀ¼À°è ºÁPÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ°. F ºÀAvÀzÀ°è R, B
ªÀÄvÀÄÛ B, R JgÀqÀÆ MAzÉà JAzÀÄ w½zÀ°è ªÀiÁvÀæ F ZÀlĪÀnPÉ
CxÀð¥ÀÇtðªÁUÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ F ¸ÀªÀĸÉå «PÀ®à DzsÁgÀªÁzÀÄzÀÄ JA§ÄzÀÄ
w½AiÀÄ®Ä ¸ÀºÁAiÀÄPÁj.
ªÀÄvÉÆۧ⠫zÁåyð J¯Áè ªÀÄÆgÀÄ §tÚzÀ ¨Á¯ï ¥É£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß J ÀÄÖ «zsÀUÀ¼À°è
ºÁPÀ§ºÀÄzÉA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ°.
ªÀÄvÉÆۧ⠫zÁåyð MlÄÖ J ÀÄÖ «zsÀUÀ¼ÉA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ°.
MAzÉÆAzÀgÀAvÉ JgÀqÀgÉqÀgÀAvÉ ªÀÄÆgÀgÀAvÉ
¥sÀ°vÁA±À : 3 + 3 + 1 = 7
+
+ = = 7
3
C1
3
C2
3
C3

48. 48
E°è KPÉ ¸ÀAPÀ®£À ªÀiÁrzÉ JA§ ¥ÀjPÀ®à£É ªÀiÁr¸ÀĪÀÅzÀÄ §ºÀ¼À
ªÀÄÄRåªÁzÀÄzÀÄ.
F ºÀAvÀzÀ°è ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀzÀ C¨sÁå¸À ¥ÀwæPÉAiÀÄ°è PÉÆnÖgÀĪÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß
«zÁåyðUÀ¼Éà ©r¹ PÀ°PÁ ¸ÁªÀÄxÀåð ºÉaѹPÉƼÀÄîªÀgÀÄ.
Extension of this activity :
ªÀÄÆgÀÄ ¨Á¯ï ¥É£ÀÄß MAzÀÄ §lÖ°UÉ §zÀ¯ÁV ªÀÄÆgÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ §tÚzÀ
¨Á¯ï ¥É£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÄ §lÖ°UÉ J ÀÄÖ «zsÀUÀ¼À°è
ºÁPÀ§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀtwÃAiÀÄ «zsÁ£ÀzÀ°è ©r¹ ZÀlĪÀnPÉ ªÀiÁrAiÀÄÆ
vÁ¼É £ÉÆÃqÀ§ºÀÄzÀÄ.

49. 49
¤gÀAvÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÁå¥ÀPÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À
1£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw¬ÄAzÀ 9£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀwªÀgÉUÉ FUÁUÀ¯Éà ¹¹E «zsÁ£ÀzÀ ªÀiË®å
ªÀiÁ¥À£À £ÀªÀÄä vÀgÀUÀwUÀ¼À°è £ÀqÉAiÀÄÄvÁÛ EzÉ. PÀ°PÉAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀÛgÀ ºÁUÀÆ
CªÀ¢üAiÀÄ°è ««zsÀ jÃwAiÀÄ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ¤gÀAvÀgÀªÁV ªÀiË®å ªÀiÁ¥À£À
£ÀqɸÀĪÀ «¢ü«zsÁ£ÀUÀ¼À CjªÀÅ £ÀªÀÄVzÉ. E¢ÃUÀ ¹¹E AiÀÄ£ÀÄß ºÀvÀÛ£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀwUÀÆ
«¸ÀÛj¸À¯ÁVzÉ. CzÀÄzÀjAzÀ ¹.¹.E §UÉÎ PÀÆ®APÀıÀªÁV CjvÀÄ ¸ÀÆPÀÛ
ªÀiÁ¥Áðr£ÉÆA¢UÉ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è C¼ÀªÀr¸ÀĪÀ C¤ªÁAiÀÄðvÉ £ÀªÀÄVzÉ. EzÀgÉÆA¢UÉ
PÀ£ÁðlPÀ ¥ËæqsÀ ²PÀët ¥ÀjÃPÁë ªÀÄAqÀ½ eÁåjUÉ vÀgÀĪÀ ¹.¹.E. DzsÁjvÀ
ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ¥ÀzÀÞwUÉ CUÀvÀå ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À PÀæªÀĪÀ£ÀÄß ºÁUÀÆ zÁR¯É «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß
ºÉÆAzÁtÂPÉ ªÀiÁqÀĪÀ CªÀ±ÀåPÀvÉAiÀÄÆ EzÉ. ºÁUÉÃAvÀ ¥ËæqsÀ ²PÀët ¥ÀjÃPÁë ªÀÄAqÀ½
¸ÀÆa¹gÀĪÀ CA±ÀUÀ½UÉ ªÀiÁvÀæ ¹.¹.E. ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ¥ÀzÀÞw ¹Ã«ÄvÀªÁVgÀzÀAvÉ
£ÉÆÃrPÉƼÀî¨ÉÃPÁVzÉ. UÀtÂvÀ ¥ÀjPÀ®à£É ¨É¼ÀªÀtÂUÉ, «zÁåyðUÀ¼À PÀ°PÉAiÀÄ zÉÆà ÀUÀ¼ÀÄ,
£ÀqɸÀ¨ÉÃPÁzÀ ¥ÀjºÁgÉÆÃ¥ÁAiÀÄUÀ¼ÀÄ, EvÁå¢UÀ½UÉ ªÀiÁUÀðzÀ²ðAiÀiÁV vÀgÀUÀw
ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ¸ÁUÀ¨ÉÃPÁVzÉ.

50. 50
E¢ÃUÀ 1 jAzÀ 10£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀwªÀgÉV£À ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ¥ÀzÀÞwAiÀÄ°è ««zsÀ
ºÀAvÀUÀ¼À°è ¤ÃqÀ¯ÁzÀ ªÉÊmÉÃeïUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÉÆÃt.
vÀgÀUÀw gÀÆ.ªÀiË
.1
gÀÆ.ªÀiË
.2
¸À.ªÀiË.
1
gÀÆ.ªÀiË.
3
gÀÆ.ªÀiË.
4
¸À.ªÀiË.2 MlÄÖ ÀgÁ
1-4 15% 15% 20% 15% 15% 20% 100%
5-8 10% 10% 30% 10% 10% 30% 100%
9 10% 10% 50% 10% 10% 60% 100%
(10+10
+10+1
0+60)
¸À.ªÀiË.2 PÉÌ
ErÃ
ªÀ ÀðzÀ
¥ÀoÀåªÀ¸ÀÄÛ
10 5% 5% 80% 5% 5% 80% 100% ¸À.ªÀiË.1£ÀÄß
¥sÀ°vÁA±ÀPÉÌ
¥ÀjUÀt¸À
¯ÁUÀĪÀÅ¢®è
ºÀvÀÛ£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ MlÄÖ 17 WÀlPÀUÀ¼À£ÀÄß £Á®ÄÌ gÀÆ¥ÀuÁvÀäPÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£ÀUÀ½UÉ
»ÃUÉ ºÀAaPÉ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
gÀÆ.ªÀiË.1 gÀÆ.ªÀiË.2 gÀÆ.ªÀiË.3 gÀÆ.ªÀiË.4
WÀlPÀ
¸ÀASÉå
WÀlPÀ WÀlPÀ
¸ÀASÉå
WÀlPÀ WÀlPÀ
¸ÀASÉå
WÀlPÀ WÀlPÀ
¸ÀASÉå
WÀlPÀ
1 ªÁ¸ÀÛªÀ
¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
1 ±ÉæÃrüUÀ¼ÀÄ 1 PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É
ªÀÄvÀÄÛ «PÀ®àUÀ¼ÀÄ
1 ¸ÀASÁå±Á¸ÀÛç
2 UÀtUÀ¼ÀÄ 2 ªÀUÀð¸À«ÄÃPÀgÀt 2 ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 2 ¤zÉñÁAPÀ
gÉÃSÁUÀtÂvÀ
3 §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ 3 ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
3 wæPÉÆãÀ«Äw 3 £ÀPÉë ªÀÄvÀÄÛ
§ºÀÄ ªÀÄÄR
WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼ÀÄ
4 ¸ÀªÀÄgÀƦ wæ¨sÀÄd 4 ªÀævÀÛ –eÁåzÀ
®PÀëtUÀ¼ÀÄ
4 ªÀævÀÛ-
¸Àà±ÀðPÀzÀ®PÀëtUÀ¼ÀÄ
5 PÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ 5 PÉëÃvÀæUÀtÂvÀ
¸ÀÆZÀ£É : F WÀlPÀ ºÀAaPÉAiÀÄ°è C®à¸Àé®à §zÀ¯ÁªÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ²PÀëPÀgÀÄ ªÀiÁr
PÉƼÀÀÄzÀÄ. MAzÉà WÀlPÀªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ gÀÆ¥ÀuÁvÀäPÀUÀ½UÉ ºÀAaPÉ
ªÀiÁrPÉƼÀî®Ä CªÀPÁ±À«zÉ.

51. 51
²PÀëPÀgÀÄ « ÀAiÀĪÁgÀÄ Ej¸À¨ÉÃPÁzÀ zÁR¯ÉUÀ¼ÀÄ :
GzÁ :
gÀÆ¥ÀuÁvÀäPÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À-1
ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ
ZÀlĪÀnPÉ 1 ZÀlĪÀnPÉ 2 ZÀlĪÀnPÉ 3 ZÀlĪÀnPÉ 4
°TvÀ
ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À
20 CA±À
¸ÀÆZÀ£É : MAzÀÄ gÀÆ¥ÀuÁvÀäPÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£ÀzÀ°è ¤UÀ¢¥Àr¸À¯ÁzÀ WÀlPÀzÀ°è ²PÀëPÀgÀÄ
J ÀÄÖ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À£ÀÄß ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ. DzÀgÉ
CzÀgÀ°è «zÁåyð CvÀÄåvÀÛªÀÄ ¤ªÀðºÀuÉ vÉÆÃjzÀ JgÀqÀÄ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À
CAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ ¸ÀÆPÀÛ zÁR¯ÉAiÀÄ£ÀÄß J¸ï J¸ï J¯ï ¹ ªÀÄAqÀ½UÉ
¤ÃrzÀ £ÀªÀÄÆ£ÉAiÀÄ°è ¤ªÀð»¸ÀĪÀÅzÀÄ.
°TvÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£ÀªÀ£ÀÄß F «zsÁ£ÀUÀ½AzÀ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
1. °TvÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À CUÀvÀå«gÀĪÀ ªÀiÁ£ÀPÀUÀ½UÉ PÀ°PÁA±ÀzÀ PÀ°PÉAiÀÄ
PÉÆ£ÉAiÀÄ°è °TvÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À £ÀqɸÀĪÀÅzÀÄ GzÁ:
2. WÀlPÀzÀ PÀ°PÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß DzsÀj¹ WÀlPÀzÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è WÀlPÀ ¥ÀjÃPÉë.
3. gÀÆ¥ÀuÁvÀäPÀzÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è ¤UÀ¢vÀ PÀ°PÁA±ÀUÀ½UÉ QgÀÄ ¥ÀjÃPÉë.
ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À£ÀÄß gÀƦ¸ÀĪÁUÀ UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ :
10£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è UÀtÂvÀ PÀ°PÉAiÀÄ°è ºÉaÑ£ÀªÀÅUÀ¼À°è CªÀÄÆvÀð PÀ®à£ÉUÀ½gÀĪÀÅzÀ
jAzÀ E°è£À ZÀlĪÀnPÀUÀ¼ÀÄ CªÀÄÆvÀð PÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÉæÃgÉæ¸ÀĪÀAwgÀ¨ÉÃPÀÄ.
CzÀgÉÆA¢UÉ F ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ vÁªÀÅ PÀ°vÀ « ÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¤vÀå
fêÀ£ÀzÀ ¸À¤ßªÉñÀUÀ¼À°è C¼ÀªÀr¸À®Ä ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. EªÀÅUÀ¼À°è PÉ®ªÀÅ PÀ°PÉAiÀÄ
ºÁUÀÆ C¨sÁå¸ÀzÀ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼Éà ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ZÀlĪÀnPÉAiÀiÁUÀ§ºÀÄzÀÄ. EªÀÅUÀ¼À°è
PÉ®ªÀÅ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ PÉêÀ® ªÀÄPÀ̼À ¨sÁUÀªÀ»¸ÀÄ«PÉ ºÁUÀÆ ¤ªÀðºÀuÉ ªÉÄïÉ
DzsÁjvÀªÁVzÀÄÝ ²PÀëPÀgÀÄ «ÃPÀëuÉ ºÁUÀÆ ¸ÀÆPÀÛ ªÀiÁ£ÀPÀ ªÀÄvÀÄÛ vÀAvÀæUÀ¼À ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ

52. 52
vÀAqÀ 1 ªÀÄvÀÄÛ vÀAqÀ 5
0/0=?
1) 0
2) 1
3) 00
4) ¸ÁzsÀå«®è
vÀAqÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ vÀAqÀ 6
0 ªÀÄvÀÄÛ 12gÀ ®.¸Á.C
1) 0
2) 1
3) 12
4) ¸ÁzsÀå«®è
vÀAqÀ 3 ªÀÄvÀÄÛ vÀAqÀ 7
0 ªÀÄvÀÄÛ 6 gÀ ªÀÄ.¸Á.C
1) 0
2) 1
3) 6
4) ¸ÁzsÀå«®è
vÀAqÀ 4 ªÀÄvÀÄÛ vÀAqÀ 5
¨sÁUÀ®§Ý ¸ÀASÉåAiÀÄ
¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À
1) p/q : p,q ∈ Z
2) p/q : p, q, ∈ N
3) p/q : p∈z, q ≠ o
4) p/q : p ∈ z, q ∈ N
«zÁåyðUÀ¼À ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß zÁR°¸À¨ÉÃPÀÄ. EzÀPÉÌ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà zÁR¯É
¤ÃqÀ¨ÉÃPÁzÀÄ¢®è.
GzÁ :
WÀlPÀ : ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
« ÀAiÀÄ : ««zsÀ UÀtUÀ¼ÀÄ QæAiÉÄUÀ¼ÀÆ, ºÁUÀÆ ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À zÀÈrüÃPÀgÀt
ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ «zsÀ : PÀ°PÉ, C¨sÁå¸À CxÀªÁ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À
ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ «zsÁ£À : vÀgÀUÀwAiÀÄ°è 8 vÀAqÀUÀ¼ÁV «AUÀr¹, ¥Àæw JgÀqÀÄ vÀAqÀ
UÀ½UÉ MAzÉà «zÀzÀ PÁqïð £ÀAvÉ £Á®ÄÌ PÁqïðUÀ¼À£ÀÄß
vÀAqÀUÀ½UÉ ¤Ãr.
vÀAqÀUÀ¼À°è ZÀZÉð £ÀqÉAiÀÄĪÀAvÉ UÀªÀÄ£ÀªÀ»¹, ZÀZÉð ªÀÄÄVzÀ £ÀAvÀgÀ vÀAqÀ
MAzÀÄ(1) GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ªÀÄAqÀ£É ªÀiÁqÀ°. F GvÀÛgÀ AiÀiÁPÉ §AvÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß
vÀAqÀzÀ ¸ÀzÀ¸ÀågÀÄ «ªÀj¸À¨ÉÃPÀÄ. EzÀPÀÌ ¥ÀÆgÀPÀ ªÀÄAqÀ£É CxÀªÁ RAqÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß vÀAqÀ
LzÀgÀªÀgÀÄ (5) ªÀiÁqÀ°. PÉÆ£ÉAiÀÄ°è G½zÀ vÀAqÀzÀ ¸ÀzÀ¸ÀågÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ ²PÀëPÀgÀÄ

53. 53
ZÀZÉðAiÀÄ£ÀÄß PÉÆ£ÉUÉƽ¸À¨ÉÃPÀÄ. EzÉà jÃw vÀAqÀ 6 ªÀÄAqÀ£É ªÀiÁrzÀgÉ vÀAqÀ 2
CzÀPÉÌ ¥ÀæwQæ¬Ä¸À¨ÉÃPÀÄ. PÉÆ£ÉAiÀÄ°è F PɼÀV£À wêÀiÁð£ÀUÀ½UÉ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ
§gÀ¨ÉÃPÀÄ.
1. AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 0 ¬ÄAzÀ ¨sÁV¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è.
2. 0 AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉåAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀ®è.
3. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è q ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ
4. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå MAzÉà aºÉßAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.
¸ÀÆZÀ£É :
²PÀëPÀgÀÄ ¤ªÀð»¸À§ºÀÄzÁzÀ zÁR¯ÉUÀ¼ÀÄ
UÀªÀĤ¹zÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄPÀæªÀÄ
¸ÀASÉå
«zÁåyðAiÀÄ
ºÉ¸ÀgÀÄ « ÀAiÀÄzÀ
§UÉV£À
eÁÕ£À
« ÀAiÀÄ
ªÀÄAqÀ£É
ZÀZÉðAiÀÄ°è
¨sÁUÀªÀ»¸ÀÄ«PÉ
wêÀiÁð£À
PÉÊUÉƼÀÄîªÀ
±ÀQÛ
MlÄÖ
¤ÃrzÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ 4 4 4 3 15
1
2
3
E£ÀÄß PÉ®ªÀÅ ZÀlĪÀnPÉUÀ¼ÀÄ ¥ÁæeÉPïÖ gÀÆ¥ÀzÀ°èzÀÄÝ E°è «zÁåyð zÁR¯É
gÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀgÀ¢ CxÀªÁ ªÀ¸ÀÄÛªÀ£ÀÄß ¸À°è¸À¨ÉÃPÁVzÉ. GzÁ : WÀ£ÁPÀwUÀ¼À ªÀiÁzÀj
vÀAiÀiÁj, ¸ÀܽÃAiÀÄ ¸À¤ßªÉñÀUÀ½UÉ ªÉ£ï £ÀPÉë ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ EvÁå¢. E°è «zÁåyð
ªÉÊAiÀÄQÛPÀªÁV CxÀªÁ vÀAqÀzÀ°è ZÀlĪÀnPÉ £Àqɹ ¤UÀ¢vÀ ¢£ÁAPÀzÉƼÀUÉ ªÀgÀ¢
¸À°è¸À¨ÉÃPÀÄ.

54. 54
ZÀlĪÀnPÉ – 2
WÀlPÀ : UÀtUÀ¼ÀÄ
« ÀAiÀÄ : UÀtUÀ¼À£ÀÄß ªÉ£ï £ÀPÉëAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæw¤¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ
ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ «zsÀ : ªÀiË®å ªÀiÁ¥À£À ZÀlĪÀnPÉ
«ªÀgÀuÉ : ¥ÀæwAiÉƧ⠫zÁåyðUÀ¼À°è CªÀgÀ ªÀÄ£ÉAiÀÄ ¸ÀÄvÀÛªÀÄÄvÀÛ°£À
¸ÀĪÀiÁgÀÄ 50 ªÀÄ£ÉUÀ½AzÀ ¤UÀ¢vÀ zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß
¸ÀAUÀ滹 F zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ««zsÀ ªÉ£ï£ÀPÉë ªÀÄÆ®PÀ
¸ÀÆa¸À®Ä w½¸ÀĪÀÅzÀÄ.
GzÁ : 1. n« EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ, ¦æeï EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ,
ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ, ªÀiÁ½UÉ EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ
Ev猢
GzÁ : 2 vÀgÀUÀwAiÀÄ°è ¹» wAr E ÀÖ¥ÀqÀĪÀgÀÄ, SÁgÀzÀ wAr
E ÀÖ ¥ÀqÀĪÀªÀgÀÄ, L¸ïQæÃA E ÀÖ¥ÀqÀĪÀªÀgÀÄ, vÀgÀPÁj
E ÀÖ¥ÀqÀĪÀªÀgÀÄ EvÁå¢
F £ÀPÉëAiÀÄ°è ««zsÀ ¸ÁzsÀåvÉUÀ¼À£ÀÄß awæ¸ÀĪÀÅzÀgÉÆA¢UÉ F zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß DzsÀj¹
¥Àæ±ÉßUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸ÀĪÀAvÉ «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÉæÃgÉæ¹zÀgÉ GvÀÛªÀÄ.
GzÁ : 40 d£ÀjgÀĪÀ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è 18 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¹»
wArAiÀÄ£ÀÆß 15, «zÁåyðUÀ¼ÀÄ PÁgÀªÀ£ÀÄß E ÀÖ¥ÀlÖgÉ
ºÁUÀÆ 13 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ F JgÀqÀ£ÀÄß, E ÀÖ¥ÀqÀ¢zÀÝgÉ
JgÀqÀ£ÀÆß E ÀÖ¥ÀqÀĪÀªÀgÉ ÀÄÖ? EzÀ£Éßà £ÁªÀÅ ¥ÁæeÉPïÖ DV
¥ÀjUÀt¸ÀĪÀÅzÁzÀgÉ ««zsÀ CA±ÀUÀ½UÉ ¥ÁæzsÁ£ÀåvÉ
¤ÃqÀ¨ÉÃPÀÄ.

55. 55
ªÀiÁ»w ¸ÀAUÀæºÀ vÀSÉÛ
PÀæ.¸ÀASÉå «ÃQë¹zÀ CA±À ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå
1 MlÄÖ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 35
2 n.«. EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 16
3 ¦üæeï EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 10
4 ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 13
5 n.« ªÀÄvÀÄÛ ¦üæeï EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 2
6 n.« ªÀÄvÀÄÛ ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 4
7 ¦üæeï ªÀÄvÀÄÛ ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 3
8 ¦üæeï, n« ªÀÄvÀÄÛ ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 4
9 ¦üæeï, n« ªÀÄvÀÄÛ ªÁºÀ£À E®èzÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ 11
zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À «±Éèà ÀuÉ :
n.«. EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = n (A) = 16
¦üæeï EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉAiÀÄ = n (B) = 10
ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = n (C) = 13
n« ªÀÄvÀÄÛ ¦üæeï EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = n (A ∩ B) = 2
n« ªÀÄvÀÄÛ ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = n (A ∩ C) = 4
¦üæeï ªÀÄvÀÄÛ ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = n (B ∩ C) = 3
¦üæeï, n« ªÀÄvÀÄÛ ªÁºÀ£À EgÀĪÀ ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = n (A ∩ B ∩ C) = 4
MlÄÖ ªÀÄ£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = n (U) = 35
UÀªÀĤ¹zÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄPÀæªÀĸÀASÉå «zÁåyðAiÀÄ
ºÉ¸ÀgÀÄ
zÀvÁÛA±À
¸ÀAUÀæºÀ
zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À
«±Éèà ÀuÉ
ªÉ£ï£ÀPÉëAiÀÄ°è
¥Àæw¤¢ü¸ÀÄ«PÉ
¸ÀÈd£À²Ã®vÉ MlÄÖ
ÀgÁ
¤ÃrzÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ 3 4 5 3 15
1
2
3
ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À£ÀÄß £ÀqɸÀĪÁUÀ UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ

56. 56
gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£ÀzÀ°è ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ
ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÄð£À ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼ÀÄ
C¨sÁå¸À : 1.2 ¯ÉPÀÌ : 8
MAzÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ PÉÆoÀr 18m 72 cm GzÀÝ ºÁUÀÆ 13m 20 cm
CUÀ®«zÉ. F PÉÆoÀrUÉ MAzÉà C¼ÀvÉAiÀÄ ZËPÁPÁgÀzÀ ºÁ¸ÀÄUÀ®ÄèUÀ¼À£ÀÄß
(mÉʯïìUÀ¼À£ÀÄß) ºÁPÀ¨ÉÃQzÉ. ¸ÁzsÀå«gÀĪÀ ºÁ¸ÀÄUÀ®ÄèUÀ¼À PÀ¤ À× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
²PÀëPÀ : «zÁåyðUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¸ÀA¨sÁ ÀuÉ gÀÆ¥ÀPÀ :
²PÀëPÀ : DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ CUÀ®UÀ¼À£ÀÄß MAzÉà ªÀiÁ£ÀzÀ°è «ÄÃlgï
CxÀªÁ ¸ÉA.«ÄÃUÀ¼À°è ºÉüÀ§°ègÁ?
«zÁåyðUÀ¼ÀÄ : ºËzÀÄ, «ÄÃUÀ¼À°è CxÀªÁ ¸ÉA.«ÄÃUÀ¼À°è ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.
(MPÉÆÌgÀ°¤AzÀ)
²PÀëPÀ : ¸ÉA.«ÄÃUÀ¼À°è §gɬÄj.
DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ PÉÆoÀrAiÀÄ GzÀÝ l = 18m 72 cm
CUÀ® b = 13m 20 cm
¸ÉA.«ÄÃUÀ¼À°è DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ PÉÆoÀrAiÀÄ -
GzÀÝ l = 18m 72cm (18 × 100+72)cm =1872 cm
(1 m = 100 cm)
CUÀ® b = 13m 20cm = (13x100+20)cm
= 1320 cm
²PÀëPÀ : FUÀ ¤ªÀÄä GvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß vÁ¼É £ÉÆÃrPÉƽî.
GzÀÝ = l = 18m 72 cm = (18 X 100 +72) cm
= (1800 + 72) cm
(1 «Äà = 100 ¸ÉA.«ÄÃ) = 1872 cm

57. 57
CUÀ® = b =13 M 20 c m = (13 x 100 + 20) cm
= (1300 +20) cm
= 1320 cm
DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtð (A) : l x b (UÀÄt¸À¨ÉÃPÁzÀ CUÀvÀå«zÉAiÉÄà AiÉÆÃa¹)
A = (1872 x 1320)ZÀ.¸ÉA.«ÄÃ
¸ÀÆZÀ£É : UÀÄt¸ÀĪÀ CUÀvÀå«®è. KPÉAzÀÄ ºÉüÀ§°ègÁ?
¯ÉPÀÌ ©r¸À®Ä ¥ÀÇgÀPÀ ZÀlĪÀnPÉ :
²PÀëPÀ :(¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ C¼ÀvÉAiÀÄ ¥ÀÅmÁt gÀnÖ£À ZÀÆgÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀĪÀgÀÄ)
GzÁºÀgÀuÉUÉ : 1 cm x 1 cm, 2 cm x 2 cm, 3 cm x 3 cm, EvÁå¢
C¼ÀvÉUÀ¼ÀļÀî ZËPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtðªÁV ªÀÄÄZÀÑ®Ä AiÀiÁªÀ C¼ÀvÉAiÀÄ J ÀÄÖ gÀnÖ£À
ZÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÁUÀĪÀÅzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß «zÁåyðUÀ¼Éà eÉÆÃr¹ PÀAqÀÄPÉƼÀÄîªÀgÀÄ.
«zÁåyð : A : 1cm x 1 cm C¼ÀvÉAiÀÄ 24 ¥ÀÅmÁt ZËPÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛªÉ.
«zÁåyð : B : 2cm x 2 cm C¼ÀvÉAiÀÄ 6 ¥ÀÅmÁt ZËPÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛªÉ.
(«zÁåyð C, D……..) ¨ÉÃgÉ AiÀiÁªÀ C¼ÀvÉ ZËPÀUÀ½AzÀ®Æ
4cm x 6 cm ZËPÀªÀ£ÀÄß ¸ÀA¥ÀÇtðªÁV ªÀÄÄZÀÑ®Ä
¸ÁzsÀåªÁUÀĪÀÅ¢®èªÉA§ÄzÀ£ÀÄß vÁªÉà PÀAqÀÄPÉƼÀÄîªÀgÀÄ.
²PÀëPÀ : FUÀ ºÉý PÀ¤ ÀÖ ¸ÀASÉå ¥ÀÅmÁt ZËPÀUÀ¼ÀÄ J ÀÄÖ?
«zÁåyð : A : 6 4, 6 gÀ ªÀÄ.¸Á.C 2 JAzÀgÉ ZËPÀzÀ CAa£À
GzÀÝ = 4,6 gÀ ªÀÄ.¸Á.C JAzÀgÉ 2
ºÁUÀÆ (4 x 6) ÷ 2 x 2 ¸ÀºÀ 6.
∴ eÉÆÃr¸ÀzÉAiÀÄÆ ¸ÀºÀ ¥ÀÅmÁt ZËPÀUÀ¼À PÀ¤ ÀÖ ¸ÀASÉå
PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ JAzÁ¬ÄvÀÄ.

58. 58
²PÀëPÀ : FUÀ 1872 cm x 1320 cm C¼ÀvÉ DAiÀÄPÁgÁzÀ PÉÆoÀrAiÀÄ£ÀÄß
MAzÉà C¼ÀvÉAiÀÄ PÀ¤ À× ¸ÁzsÀå. ZËPÁPÁgÁzÀ mÉʯïìUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ
»rAiÀÄ®Ä 1872, 1320 gÀ ªÀÄ.¸Á.C PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÀÄ.
ªÀÄ.¸Á.C (1872, 1320) = MAzÀÄ mÉʯïì£À CAa£À GzÀÝ.
∴ 1 mÉʯïì£À «¹ÛÃtð = ªÀÄ.¸Á.C x ªÀÄ.¸Á.C
ºÁUÀÆ mÉʯïìUÀ¼À PÀ¤ À× ¸ÀASÉå = (1872 x 1320) ÷ ªÀÄ.¸Á.C x ªÀÄ.¸Á.C
²PÀëPÀ : ªÀÄ.¸Á.C 1872, 1320 PÀAqÀÄ »r¬Äj.
ªÀÄ.¸Á.C (1872, 1320) = 52 JAzÀgÉ
ZËPÁPÁgÀzÀ 1 mÉʯïì£À MAzÀÄ CAa£À GzÀÝ = 52 cm
ºÁUÀÆ 1 mÉʯïì£À «¹ÛÃtð l2
= 52×52
¨ÉÃPÁzÀ mÉʯïìUÀ¼À PÀ¤ À× ¸ÀASÉå =
42
0231
42
2581
× = 78×55
= 4890
(ZÀlĪÀnPÉUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÁªÀÄVæ : gÀnÖ£À ¥ÉnÖUÉUÉ PÀvÀÛj, C¼ÀvÉ ¥ÀnÖ, ¨ÉèÃqï)

59. 59
WÀlPÀ : ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
ºÉƸÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è PÉ®ªÀÅ C¨sÁå¸À ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼ÀÄ «zÁåyðUÀ½UÉ ºÁUÀÆ
²PÀëPÀjUÉ MAzÀÄ DgÉÆÃUÀåPÀgÀ ¸ÀªÁ¯ÁVzÉ. CAvÀºÀ PÉ®ªÀÅ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ
«zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß F WÀlPÀzÀ°è ZÀað¸À¯ÁVzÉ.
ZÀlĪÀnPÉ : 2
C¨sÁå¸À 1 : 2 - ¯ÉPÀÌ 10
X, Y ªÀÄvÀÄÛ Z KPÀPÁ®zÀ°è MAzÉà £ÉÃgÀzÀ°è ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ QæÃqÁAUÀtzÀ
¸ÀÄvÀÛ NqÀÄvÁÛgÉ. X MAzÀÄ ¸ÀÄvÀÛ£ÀÄß 126 ¸ÉPÉAqï£À°è Y 154 ¸ÉPÉAqï£À°è ªÀÄvÀÄÛ Z
231 ¸ÉPÉAqï£À°è MAzÀÄ ¸ÀÄvÀÛ£ÀÄß MAzÉà DgÀA©üPÀ ¸ÁÜ£À¢AzÀ ¥ÀÇtðUÉƽ¸ÀÄvÁÛgÉ.
DgÀA©üPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è CªÀgÀÄ ¥ÀÅ£ÀB AiÀiÁªÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄzÀ°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÁÛgÉ? F
¸ÀªÀÄAiÀÄzÀ°è X, Y ªÀÄvÀÄÛ Z J ÀÄÖ ¸ÀÄvÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÇtðUÉƽ¸ÀÄvÁÛgÉ?
ZÀlĪÀnPÉ : (ªÀÄÆgÀÄ UÉÆA¨ÉUÀ¼À Dl)
A, B, C ¸ÀÆa¸À®Ä 3 ¥Áè¹ÖPï UÉÆA¨ÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî. ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ
QæÃqÁAUÀt vÉÆÃj¸ÀĪÀ PÀgÀqÀÄ avÀæ ©r¹.
3 UÉÆA¨ÉUÀ¼ÀÄ : A, B, C
DgÀA©üPÀ ¸ÁÜ£À
A 2 ¤«Ä ÀzÀ°è MAzÀÄ ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ°
B 3 ¤«Ä ÀzÀ°è MAzÀÄ ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ°
C 4 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è MAzÀÄ ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ°.

60. 60
A, B, C ¥ÀÅ£ÀB CzÉà ¸ÁÜ£ÀzÀ°è MnÖUÉ §gÀĪÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄ J ÀÄÖ?
A UÉÆA¨É 2 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 1 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ°.
4 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 2 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
6 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 3 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
8 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 4 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
10 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 5 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
12 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 6 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
B UÉÆA¨É 3 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 1 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ°.
6 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 2 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
9 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 3 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
12 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 4 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ
C UÉÆA¨É 4 ¤«Ä ÀzÀ°è 1 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ°
8 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 2 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
12 ¤«Ä ÀUÀ¼À°è 3 ¸ÀÄvÀÄÛ §gÀ§®èzÀÄ.
A, B, CUÀ¼ÀÄ ¥ÀÅ£ÀB 12 ¤«Ä ÀUÀ¼À £ÀAvÀgÀ ºÉÆgÀl ¸ÀܼÀzÀ°è MnÖUÉ ¸ÉÃgÀÄvÀÛªÉ.
E°è 12 JA§ÄzÀÄ 2, 3, 4 gÀ ®.¸Á.C. JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. FUÀ EzÉà jÃw
AiÉÆÃa¹. X,Y,ZUÀ¼ÀÄ ¥ÀÅ£ÀB AiÀiÁªÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄzÀ°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÁÛgÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ
»r¬Äj.
(«zÁåyðUÀ¼ÀÄ 126, 154, 213 gÀ ®.¸Á.C PÀAqÀÄ »rAiÀÄÄvÁÛgÉ)
PÉ®ªÀgÀÄ ¤gÀAvÀgÀ ¨sÁUÁPÁgÀ PÀæªÀÄ¢AzÀ®Æ ªÀÄvÉÛ PÉ®ªÀgÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À
PÀæªÀÄ¢AzÀ®Æ ®.¸Á.C PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÁÛgÉ.
∴ ®.¸Á.C (126, 154, 231) = 3 x 11 x 7 x 2 x 3 = 1386

61. 61
∴ ¥ÀÅ£ÀB : X, Y, Z UÀ¼ÀÄ 1386 ¸ÉPÉAqÀÄUÀ¼À £ÀAvÀgÀ DgÀA©üPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è
¸ÀA¢ü¸ÀÄvÁÛgÉ.
X ¸ÀÄwÛzÀ ¸ÀÄvÀÄÛUÀ¼ÀÄ = 1386 / 126 = 11
Y ¸ÀÄwÛzÀ ¸ÀÄvÀÄÛUÀ¼ÀÄ = 1386 / 154 = 9
Z ¸ÀÄwÛzÀ ¸ÀÄvÀÄÛUÀ¼ÀÄ = 1386 / 231 = 6
WÀlPÀ
WÀlPÀ UÀtUÀ¼ÀÄ C¨sÁå¸À : 2.2 II
¸ÀªÀĸÉå – 4 : MAzÀÄ £ÀUÀgÀzÀ°è ªÁ¸ÀªÁVgÀĪÀ ±ÉÃ. 85 d£ÀgÀÄ ¸ÉÊPÀ®£ÀÄß, ±ÉÃ. 40
d£ÀgÀÄ ªÉÆÃmÁgÀÄ ¨ÉÊPïUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃ. 20 d£ÀgÀÄ PÁgÀ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃ.32gÀ ÀÄÖ d£À
¸ÉÊPÀ¯ï ºÁUÀÆ ªÉÆÃmÁgï ¨ÉÊPÀ£ÀÄß, ±Éà 13gÀ ÀÄÖ d£ÀgÀÄ ¨ÉʹPÀ¯ï ªÀÄvÀÄÛ PÁgÀ£ÀÄß
ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃ. 10gÀ ÀÄÖ d£ÀgÀÄ ªÉÆÃmÁgÀÄ ¨ÉÊPï ªÀÄvÀÄÛ PÁgÀ£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÁÛgÉ. ºÁUÁzÀgÉ
ªÀÄÆgÀÄ ªÁºÀ£ÀUÀ¼À£ÀÄß §¼ÀPÉ ªÀiÁqÀĪÀ ±ÉÃPÀqÀ d£À¸ÀASÉå J ÀÄÖ?
ANS; II 4) Step - 1 Step – 2
* 85 – (32 + 13) = 85 - 45 = 40
* 40 – (32 +10) = 40 – 42 = -2
* 20 – (13+10) = 20 – 23 =-3
85
32
40
40
10
20
40 32
-2
13
10
-3

62. 62
Step – 3
40 + 32 – 2 + 10 – 3 + 13 + x = 100
95 – 5 + x = 100
x = 100 - 90
∴ x = 10
Step – 4
80 - 35 = 50
40 – 32 = 8
20 – 13 = 7
ªÀÄÆgÀÄ ªÁºÀ£À §¼ÀPÉ ªÀiÁqÀĪÀ d£À¸ÀASÉå = 10%
¸ÀÆZÀ£É : F ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀAiÀiÁðAiÀĪÁV -
)n(AA)n(C-C)n(B-B)n(A-n(c)n(B)n(A)C)Bn(A CB ∩∩+∪∪∪++=∪∪
¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ, ªÉ£ï£ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
WÀlPÀ ±ÉæÃrüUÀ¼ÀÄ C¨sÁå¸À : 3.2
¸ÀªÀĸÉå 12 : MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ p£Éà ¥ÀzÀ q ªÀÄvÀÄÛ q£Éà ¥ÀzÀ p DzÀgÉ
n£Éà ¥ÀzÀªÀÅ (p+q-n) DVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
ANS; Tp = q , Tq = p
d=
qp
TqTp
−
−
50
22
83 10
7
40
32
-2
13 10
-3
x

63. 63
=
qp
pq
−
−
=
)(
)(
qp
qp
−
−−
d = -1
Tn = a + (n-1) d
Tp = a+(p-1) (-1)=q
a – p +1 = q
a = q + p – 1
∴Tn = a + (n-1) d
Tn = (q+p-1) + (n-1) x -1
= q + p -1 – n +1
n £Éà ¥ÀzÀ = Tn = p + q –n
C¨sÁå¸À : 3.3
¸ÀªÀĸÉå – 15 : ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀ a, JgÀqÀ£Éà ¥ÀzÀ b ªÀÄvÀÄÛ PÉÆ£ÉAiÀÄ ¥ÀzÀ c EgÀĪÀ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ªÉÆvÀÛªÀÅ
)(2
)2)((
ab
acbca
−
−++
PÉÌ ¸ÀªÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
Ans : T1 = a = a d = T2 – T1
T2 = b = b – a
Tn = c

64. 64
Now Tn = a+(n-1) d
c = a+(n-1) (b-a)
c-a = (n-1)(b-a)
1−=
−
−
n
ab
ac
n
ab
ac
=+
−
−
1
n
ab
abac
=
−
−+−
∴ n =
ab
acb
−
−+ 2
∴Sn = nTa
n
+[
2
]
=
)(2
])[2(
ab
caacb
−
+−+
Sn =
)(2
)2)((
ab
acbca
−
−++
ii) a, b,c,d UÀ¼ÀÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°èªÉ.
∴
3
4
2
3
1
2
T
T
T
T
T
T
==
c
d
b
c
a
b
==⇒
FUÀ
adbcbdcacb
c
d
a
b
c
d
b
c
b
c
a
b
=∴=∴=∴
===
22
,

65. 65
LHS -
(i) (b-c)2
+ (c-a)2
+ (d-b)2
= b2
+ c2
- 2bc + c2
+ a2
- 2ac + d2
+ b2
- 2bd
= 2b2
+ 2c2
+ a2
+ d2
-2bc -2ca - 2bd
= 2b2
+ 2c2
+ a2
+ d2
- 2ad - 2b2
- 2c2
= (a-d)2
= RHS
LHS,
(ii) (a-b+c)(b+c+d)
= a(b+c+d) - b(b+c+d) + c(b+c+d)
= ab+ac+ad-b2
-bc-bd+bc+c2
+cd
= ab+ac+ad-b2
-bd+c2
+cd
= ab+ac+bc-ac-bd+bd+cd
= ab+bc+cd=RHS
iii)
b
c
a
b
=
c
d
b
c
=
‘1’ £ÀÄß JgÀqÀÆ §¢UÀÆ PÀÆr¹zÁUÀ ‘1’£ÀÄß JgÀqÀÆ §¢UÀÆ PÀÆr¹zÁUÀ
11 +=+
b
c
a
b
11 +=+
c
d
b
c
b
bc
a
ab +
=
+
c
cd
b
bc +
=
+
b
a
cb
ba
=
+
+
c
b
cd
bc
=
+
+

66. 66
But
b
c
a
b
=
cb
cd
ba
cb
+
+
=
+
+
⇒
2
3
1
2
T
T
T
T
= gÀÆ¥À
⇒ (a+b), (b+c), (d+c) UÀ¼ÀÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°èªÉ.
WÀlPÀ
Ex : 4.6
5.
r
n
C
C
r
n
r
n
=
−
−
1
1
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹. 1 ≤ r ≤ n
)!1()!1(
)!1()!1(
)!1(
)!1(!)(
)!(
)!(
)!1()!(
!)1(
)!1()!(
!
1
1
−−
−−
=
−
−−
×
−
=
−−
−
÷
−−
=
−
−
nrr
rnn
n
rrn
rn
n
rrn
n
rrn
n
C
C
r
n
r
n
[ ]
)!1()!(
)!1(
)!1(1)!()!1(
)!1(
)!1(!)1()1(
)1(
)!()!(
)!(
1
1
−−
−
=
−+−
−
=
−−−−
−
=
−
=
−
−
rrn
n
rrn
n
rrn
n
C
rrn
n
C
r
n
r
n
= RHS
r
n =
11. MAzÀÄ ZÀÄ£ÁªÀuÉAiÀÄ°è, 7 C¨sÀåyðUÀ¼À°è 3 C¨sÀåyðUÀ¼À£ÀÄß Dj¸À¨ÉÃPÁVzÉ.
M§â ªÀÄvÀzÁgÀ£ÀÄ Dj¸À¨ÉÃPÁzÀ C¨sÀåyðUÀ¼À£ÀÄß «ÄÃgÀzÀAvÉ, J ÀÄÖ ¸ÀASÉåAiÀÄ
C¨sÀåyðUÀ¼À£ÀÄß ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ Dj¸À§ºÀÄzÀÄ. J ÀÄÖ «zsÀUÀ¼À°è ªÀÄvÀzÁgÀ£ÀÄ ªÀÄvÀ
ºÁPÀ§ºÀÄzÁVzÉ?
PÀæªÀÄ : ¸ÁzsÀåvÉ 7gÀ°è 3£ÀÄß «ÄÃgÀzÀAvÉ DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ
1 1
7
C = 7
JqÀ§¢

67. 67
2 2
7
C = 21
12
367
=
x
x
3. 3
7
C = 35
123
567
=
xx
xx
∴MlÄÖ ªÀÄvÀ ºÁPÀ§ºÀÄzÁzÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ : = 7 + 21 + 35 = 63
¸ÀªÀÄgÀÆ¥À wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ :
Ex : 10.1 Find x and y
ii)
Answer :
Step : 1
KL
RQ
PK
PR
=
)3()64(
4
xy
x
++
=
+
KL = NQ=(3+y+x)
01
4
=
yx
x
++3
2 (3+x+y) = 5x
6 + 2x + 2y = 5x
3x – 2y = 6 ……(1)
P
K
L
R Q
4
6 X
K L
M
Q
6
(3+x+y)
S
5 x+y
N
S
M
P
y
K L
Q
R
6
5
3
6
4
x

68. 68
KL
Q
MK
MS
=
yx
yx
++
+
=
311
6
18 + 6x + 6y = 11n+ 11y
18 = 5x + 5y ……………..(2)
5x + 5y = 18 x 2
3x – 7y = 6 x 5
10 x + 10y = 36
15x – 10y = 30
25x - 0 = 66
x = cm64.2
25
66
=
∴5y = 18- 5x = 18 – 5 x 2.64 = 18 – 13.02
∴ 5y = 4.8
∴ y = cm96.0
5
8.4
=
WÀlPÀ : ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ
C¨sÁå¸À : 10.7
¸ÀªÀĸÉå : 1. ∆ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆BDC UÀ¼ÀÄ KPÀ¥ÁzÀ BC AiÀÄ ªÉÄðªÉ.
=
DO
AO
=
∆
∆
«¹ÛÃtðAiÀÄ
«¹ÛÃtðAiÀÄ
DBC
ABC
JAzÀĸÁ¢ü¹.

69. 69
PÀæªÀÄ : AM⊥ BC ªÀÄvÀÄÛ DN⊥ BC J¼É¬Äj.
∆AOM ªÀÄvÀÄÛ ∆DON UÀ¼À°è
0
90=∠=∠ DNOAMO (∴gÀZÀ£É)
DONAOM ∠=∠ (∴±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)
∴∆AOM ~ ∆DON
)1.........(..........
DN
AM
DO
AO
=
FUÀ
DO
AO
DN
AM
DNBC
AMBC
BDC
ABC
=
=
××
××=
∆
∆
2
1
2
1
«¹ÛÃtð
«¹ÛÃtð
(1 jAzÀ) ¸Á¢ü¹zÉ.
WÀlPÀ : ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄd
C¨sÁå¸À : 11.1
¸ÀªÀĸÉå 6 : MAzÀÄ ¨ÁV°£À CUÀ® 6«ÄÃ. CzÀgÀ ªÉÄÃ¯É EgÀĪÀ PÀªÀiÁ¤£À JvÀÛgÀ
2«Äà EzÀÝgÉ PÀªÀiÁ¤£À wædåªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.
¸ÀÆZÀ£É : L = AM DVgÀ°.
BC = 6 «ÄÃ.
DB
M
N
O
A
B
h = 2m
C
3cm
6cm
O
M
A C

70. 70
A, PÀA¸ÀzÀ ªÉÄð£À UÀj ÀÖ JvÀÛgÀzÀ°ègÀĪÀ ©AzÀĪÁzÁUÀ A ¢AzÀ BC UÉ J¼ÉzÀ
PÀA§ªÀÅ BC AiÀÄ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
∴BM= MC = 6/2 «ÄÃ = 3«ÄÃ
gÀZÀ£É : (eÁå J¼ÉzÀ ®A§ªÀÅ) ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ.
AM «¸ÀÛj¹zÁUÀ CzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀ°.
OM = x «ÄÃ DVgÀ°.
OB CxÀªÁ OC ¸ÉÃj¹
OBAiÀÄÄ ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÁUÀĪÀÅzÀÄ. OB=OA = (x+2) «ÄÃ
BOM ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è
BMO ˆ = 900
∴OB2
= OM2
+ BM2
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
(X + 2)2
= x2
+ 32
=) x2
+ 4x +4 = x2
+ 9
4x = 9 – 4 =5
x = 25.1
4
5
=
r = 1.25 «ÄÃ
PÀªÀiÁ¤£À wædå = 1.25 «ÄÃ