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créditos                                 Comenzar
contenidos

1. Potencias
1.1 potencias
1.2 propiedades de las potencias
1.3 ecuaciones exponenciales
2. Radicación
2.1 raíces
2.2 propiedades de las raíces
2.3 racionalización
2.4 ecuaciones irracionales



                                   Seguir
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Definición de potencia


                             Se llama potencia a la
                             mumtiplicación abreviada de un
                             mismo número




Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba
de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”

                                                   n
                                              a
de esta forma:
                                                          Al “n” se le llama exponente de la potencia

                                                          Al “a” se le llama base de la potencia
“a” es el número en cuestión,”n” es
la cantidad de veces que se          Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)
multiplica por si mismo.
                                  Las potencias sirven para expresar la
                                  multiplicación de un dato que se repite una cierta
                                  cantidad de veces


            Seguir
Ahora veamos si entendiste
            Calculemos el valor de (-2)3


Aplicando la definición tenemos:
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
Calculemos el valor de -34
Observamos que la base de la potencia es 3
 ( y no -3) expresándola en forma de
 producto nos queda:
-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81



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Ahora resuelve tú




                             Soluciones:
                             -16

−2 =     4                   16




( − 2)       4
                 =
                             Como conclusión se puede decir
                             que cuando un término que es
                             antecedido por un signo negativo
                             se eleva a un exponente impar el
                             término siempre será el mismo que
                             al inicio, en cambio elevado a un
                             número par se logrará el signo
                             contrario al inicial.

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Potencias con exponente 1
Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3
Ejercita:
• 7 1=    Soluciones:
          1)7
• 221=    2)22
          3)4
• 4 1=    4)6

• 6 1=    En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma
          si el exponente es 1.

    Seguir
Potencias con exponente -1
es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:
a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2
Ejercita:
     −1               Soluciones:
  2
1)  = ___           2) 2
  4
2)( 2,3) = ___
      −1
                      3) 10/23
3)8−1 = ___           4) 1/8
           −1
    2             5) 3/10
4) 5 ⋅    = ___
           
    3 


      Seguir
Multiplicación de potencias de igual base


Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y
  sumamos los exponentes, es decir:
an • am = an+m
al revés cuando tenemos una base con una suma en el
   exponente la podemos descomponer, es decir:
an+m = an • am




      Seguir
Ejercicio resuelto
  Expresemos en forma de potencias: aquí
  tenemos el producto del término (-1/2) cinco
  veces (el término se repite 5 veces).En este
  caso lo que se hace es sumar los
  exponentes de todos los términos, dejando
  solo un término.
                                                 5
 1  1  1  1  1   1 
 −  −  −  −  −  =  − 
 2  2  2  2  2   2 

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Resuelve estos ejercicios para ver
   como vas manejando esta
           propiedad
      1)a ⋅ a = ___
             3           5


          2)b ⋅ b ⋅ b = ___
                 2       3    6


          3)5 ⋅ 5 = ___
                     4

                 2 x+4 y          x−2 y
          4) a               ⋅a           = ___
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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
   espero que te haya ido bien.
1)a8
2)b11
3) 55
4)a3x+2y

  Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
  tienes las nociones de esta propiedad clara, si
  crees que costo, o tienes dudas, resuelve los
  ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta
  bibliografía de este módulo y encontrarás algunos
  links para reforzarte.



    Seguir
División de potencias de igual base
• En este caso, mantenemos la base y restamos
   los exponentes, es decir:
an : am = an-m
al revés cuando tenemos una base con una resta
   en el exponente la podemos descomponer, es
   decir:
an-m = an : am




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Ejercicio resuelto
En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base,
  se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.




                                       6− 2
 x :x = x
      6              2
                                                  =x           4


(a + b)         3
                   3− 2
          = (a + b) = (a + b)
(a + b) 2




      Seguir
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedad


                    16
                m
              1) 6 = ____
                m
                x ⋅x
                  6  5
              2) 5 4 = ____
                x ⋅x
                         −4         −5
                 2  2
              3)  :   = _____
                5 5
                  x +1 x −1
              4)m : m = _____
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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te
   haya ido bien.
1)m10
2)x2
3) 2/5
4)m2


   Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
   tienes las nociones de esta propiedad clara, si
   crees que costo, o tienes dudas, resuelve los
   ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta
   bibliografía de este módulo y encontrarás algunos
   links para reforzarte.


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Potencia con exponente 0
                      Ejercita:
Es igual a 1:
                      •     30=___       3)-20=___
a0=1, 00= no existe   •     (1/2)0=___   4) 10=___


                      Soluciones:
Ejemplos:
                      1)1 3)-1
 50=1                 2)1     4)1
-40=-1


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Potencia con exponente negativo

Es la misma propiedad que con exponente
  a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta
  al ser negativo el exponente, no queda en
  1, sino que en n.
a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9
Ejercitemos:                    Soluciones:

1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___        1)-1/4 3)9
                                2)1/4 4)16
2)(-2) =___ 4) (2 /2 ) =___
      -2          2 3 -4


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Potencia de una potencia
Aquí debemos elevar la base a la multiplicación
de los exponentes.
(am)n = an • m
En el caso contrario si tenemos una base con
exponentes multiplicándose se pueden
distribuir.
an • m = (am)n




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Ejercicio resuelto
  •   Desarrollemos     (a2 :a6)2
  Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando
      los exponentes, luego aplicando las propiedades ya
      conocidas deberíamos poder llegar a un término.



a   2
        a
           2
              a    ( )
                    2⋅2
                      1      4
                               1
 6  = 6⋅2 = 12 = ( 12− 4 ) = 8 = a −8
a 
      a    a    a( )        a

          Seguir
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando
                    esta propiedad

                  2
    a b   2 4
                 
  1) 6
     x           = ___
                 
                
    (
  2) 3a b c   ) ⋅ ( 2a b c )
           4 2 3 2         −2 5   3
                                      = ___

  3)( 9 x y z ) = ___
                     1
           6     4 2 2



  4)( a ) = ___
              3
       0 , 25 4




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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
   espero que te haya ido bien.
1) (a4b8)/x12
2) 72a2b19c9
3) 3x3y2z
4) a3/16
  Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
  tienes las nociones de esta propiedad clara, si
  crees que costo, o tienes dudas, resuelve los
  ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta
  bibliografía de este módulo y encontrarás algunos
  links para reforzarte.


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Potencia de un producto
Elevamos el producto de las bases al
exponente común.
an • bn = (ab)n
Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis
elevado a un numero, los componentes del
paréntesis se pueden separar.
(ab)n = an • bn



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Ejercicio resuelto
 Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar
 las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.




3 ⋅ 5 = ( 3 ⋅ 5) = 60
 4            4                             4




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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando
                    esta propiedad




      1) x ⋅ a ⋅ 8 = ___
           3      3


      2)( a + b ) ⋅ ( 2q ) = ___
                      2             2

            4 p −1        4 p −1
      3)a            ⋅b            = ___
      4)8 ⋅ 27 = ___
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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
   espero que te haya ido bien.
1) (2ax)3
2) [2q(a+b)]2
3) (ab)4p-1
4) 63
  Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
  tienes las nociones de esta propiedad clara, si
  crees que costo, o tienes dudas, resuelve los
  ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta
  bibliografía de este módulo y encontrarás algunos
  links para reforzarte.


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Potencias de 10
             •Se muestra cuando tenemos 10
             elevado a un número cualquiera:




100 = 1               104 = 10000
101 = 10              105 = 100000
102 = 100             106 = 1000000
103 = 1000            107 = 10000000

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Notación científica
• Se utiliza para expresar grandes cantidades en
  números mas pequeños.
• Para poder expresar un numero como notación
  científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y
  luego hacer el producto entre este y una potencia de
  10.
• Ej.:
- La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s
- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6
  metros


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Ejercitemos juntos, para aprender
          esta propiedad
Primero se tiene que dejar
   lo mas reducido el
   número que multiplica al
   10, no puede ser decimal,                     −4
   ni menos pasarse de 10      0,0003 = 3 ⋅ 10
   unidades, se cuentan los
                                                      8
   0, por cada cero será un
   digito más.                 800.000.000 = 8 ⋅ 10
Si es decimal, o sea un
   número minúsculo, el
   exponente es negativo y
   si el número es muy
   grande, es positivo el
   exponente.

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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando
                     esta propiedad


1) 0,0000000065 3)0,00000000000121
2) 123.000.000  4) 567.000.000.000



Soluciones:
1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12
2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011

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Potencia con exponente fraccionario
•   Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja
    de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la
    fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice
    corresponde a el denominador de la fracción.
           1                    m

         a = a
           n   n
                              a = n am
                                n

•   Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver
    una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el
    índice como denominador y el exponente que tenga el
    radicando como numerador en la potencia que se formaría
                                    5
                   3
                       a =a
                        5           3


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Resuelve estos ejercicios para ver
         como vas manejando esta propiedad


     1                                    Soluciones:

1)25 2    = _____
     1         2                          1)5

2)64 2    + 81 4   = _____                2)17
                                          3)-1
      1         1
                                          4)10
3)125 3   − 216 3     = _____
       1          1
4)1728 3     − 16 4   = ____


    Seguir
Ecuaciones exponenciales
• Aquí se trabaja con los exponentes como los
  elementos de la ecuación
• Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las
  bases
• Una ves igualada las bases se aplica la siguiente
  propiedades y se igualamos exponentes:


             a =a ⇒n=m
               n      m



    Seguir
En el ejemplo b, se igualo
• Ejemplos:
                   para poder hacer la ecuación,
a)
                    cuando ya se igualo esta, se
32x-5=3x-3
                   trabaja deforma normal como
2x-5=x-3
x=2
                      una ecuación de primer
b)4x+3=82x+9                   grado.

b)
(22)x+3=(23)2x+9
x+3=2x+9

-4x=21
x= -4/21



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Resuelve estos ejercicios para ver tu
                          aprendizaje, ya queda poco, para terminar
                                          potencias




1)9      2 x −5
                  = 81                3) 256 x = 4 ⋅ 4 2 x −3
                                            1
         2( x −4)
2)3                   =1              4)128 x =1

Soluciones:
1) x=7/2 3)x=-1
2) x=4    4) x=0/1= no solución en los reales


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Reforzamientos varios:

                         20 + 21 + 2 2 + 23 = ___
   2 = ___
     2

                         (12) −1 + (−12) −1 = ___
   3 = ___
     2
                         1 − 2 −1 + 2 − 2 − 2 −3 = ___
   ( −2) 3 = ___         (0,02) 2 + (0,02) − 2 = ___
                                                             −3
   10 = ___
         1
                            4    1 
                                   −1                 −2 0

                            3  +                            = ___
   ( −1,1) = ___
             3
                            5 
                                   2 
                                        
     −3 6                   3         
                                             −1   0

        ) = ___
                                    −2
   (                                                  = ___
      4                    11         
                            5 
                                        
                                         
        1 3
   ( −1 ) = ___               −1
                         2 5 2
                                         −2             3

        4                  ⋅   ⋅   = ___
                         5 2 5
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Problema de profundización:

Alfredo recibe una carta pidiéndole que
participe en una “cadena”, enviándole
copia de la misma carta a 3 otras
personas, cada una de las cuales debe
enviarle un cheque por $1000 a vuelta
del correo. Él, a su vez, debe enviar
$1000 al remitente de la carta que
recibió. Si cada persona que recibe una
carta de esta “cadena” procede como
indicado, todos harán beneficios.
¿dónde esta la trampa?
Descúbrelo a través de tus
conocimientos adquiridos.



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Raíces




Índice de la raíz                       Operante
                          n
                              a        Cantidad subradical o radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede
  hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:
                1
    n
        a =a    n

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Propiedades de las raíces
        Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las
        propiedades de las raíces, veamos la primera:


Raíz de una potencia con exponente igual al índice.
• Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el
  radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el
  radicando como potencia, una base elevado a una
  fracción de la siguiente forma:


                 1     n
                       /               Al elevar a n la raíz n-enesima
                                       de a estamos simplificando el
n
    a n = ( a ) = a = a1
               n n     n
                       /               proceso anterior por lo cual el
                                       numero quedaría el numero




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• Veamos unos ejemplos:


               2               Aplicando la propiedad,
    5 =5 =5 =5
     2         2   1           vemos que el índice y el
                               exponente del radicando
                               se deja en forma de
               3
                               potencia, por lo tanto igual
3
    7 3 = 7 = 71 = 7
               3               numerador y denominador
                               dan como resultado 1, así
               p               se dice que se simplifico o
                               elimino la raíz y se
p
    x p = x = x1 = x
               p               convierte en una simple
                               base elevado a 1 lo que da
                               como resultado la misma
                       5
           5               1   base, como vemos en los
    2 2 2 2    5       ejemplos.
5     =  =  = 
    5 5 5 5

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Ahora te toca a ti trabajar:


            1. 6 =    2


             2. 59 =
                 4        4


             3. 23 =
                 3        3


             4. 48 =
                 5        5




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Raíz de un producto:
        Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén
      multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales
      tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen,
                      como se muestra a continuación.


  n
        a ⋅b = a ⋅ b     n          n



  Así también podemos hacer el proceso inverso,
  donde el producto de dos raíces de igual índice
        que puede agrupar en una sola raíz


   n
        a ⋅ n b = n a ⋅b


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Resolvamos juntos estos ejercicios, separando
                    cada raíz en dos productos de raíces y
                    resolviéndolas por separado, luego se
                    multiplica y se obtiene el resultado
                    correspondiente:



4
    1296 = 4 16 ⋅ 81 = 4 16 ⋅ 4 81 = 2 ⋅ 3 = 6
3
    27000 = 3 125 ⋅ 216 = 3 125 ⋅ 3 216 = 5 ⋅ 6 = 30
    4 ⋅ 25 = 4 ⋅ 25 = 100 = 10
3
    8 ⋅ 3 27 = 3 8 ⋅ 27 = 3 216 = 6



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Trabaja tu:


1. 3 ⋅ 12 =
2. 3a ⋅ 2a ⋅ 6 =
3. 2 x ⋅ 4 x ⋅ 8 x =
  3            3       3


4. 5 p ⋅ 5 p ⋅ 25 p =
  4       3        4   7   4   6




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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
   espero que te haya ido bien.
1) 6
2) 6a
3) 4x
4) 5p4

  Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
  tienes las nociones de esta propiedad clara, si
  crees que costo, o tienes dudas, resuelve los
  ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta
  bibliografía de este módulo y encontrarás algunos
  links para reforzarte.



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* Pasemos a Raíz de un cuociente:

• De la raíz de una fracción o división se puede separar en
  2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior
  y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.
           a na            ** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a
      n      =n            raíz de un producto
           b    b
  * Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y
  el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se
  muestra a continuación:

       n
           a n a
             =
       n
           b   b

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Resolvamos algunos ejemplos para
                 aprender mejor:


         18
18 : 2 =    = 6                             Pero para poder
          2                                 resolver algunos
                                            ejercicios no solo
          125                               debemos dividir,
125 : 5 =     = 25 = 5                      sino también
           5                                aplicar
                                            propiedades de
           26a                              las potencias
26a : 2a =     = 13                         como es la resta
           2a                               de exponentes
                444a 3
444a 3 : 111a =        = 4 =2
                111a


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• Vamos te toca ahora

                           Si tienes alguna duda
           240             no vaciles en repasar la
               = ______    materia.!!!!
           60
      3
           216
          3
               = ______
            8
           4096
      4         = ______
            16
           600
               = ______
            6


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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios
  anteriores, espero que te haya ido bien.
1) 2
2) 3
3) 2
4) 10
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
  tienes las nociones de esta propiedad clara, si
  crees que costo, o tienes dudas, consulta
  bibliografíca de este módulo y encontrarás
  algunos links para reforzarte.

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¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?



*             Bueno aquí simplemente se multiplican los
              índices y se deja al final una sola raíz con
              índice igual al producto de los índices. Como
              se puede ver:




       n m
             a =     n ⋅m
                            a



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Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando,
¿o no?:




          2 = 2⋅2 2 = 4 2
    a b
          x = a⋅b x = ab x
    3 4
          531441 =        3⋅4
                                531441 = 531441 = 3
                                              12


    3 a
          1=   3⋅a
                     1 = 1 =1
                         3a




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Sigue multiplicando tu los
                  índices y resuelve los siguiente:




         1.       4
                      64 = ____

         2.   5 4 3
                       1 = ____
         3.           81 = ____
         4.   4
                      729 = ____


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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios
  anteriores, espero que te haya ido bien.
1) 2
2) 1
3) 3
4) 13
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
  tienes las nociones de esta propiedad clara, si
  crees que costo, o tienes dudas, consulta
  bibliografíca de este módulo y encontrarás
  algunos links para reforzarte.

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Pasemos a amplificación y
   simplificación del índice de una
   raíz:


Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice
  como el exponente de la cantidad subradical,
  por un termino o numero en particular, ejemplo:

                         n⋅ p       1⋅ p
              n
                  a=            a
                                           n: y
                     n
                          a =   x
                                                  a   x: y


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Resolvamos estos ejercicios:




10
     25 = 5     10:5
                       25   5:5
                                  = 25 = 5
                                         1⋅2
     3⋅ 4 =
         3         2 •3
                          3 ⋅
                          1•3     3• 2
                                         4     = 3 ⋅ 4 = 6 432
                                                6   3     2



     * • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver
     mas fácilmente, así queda como resultado 5
     • En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores,
     ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se
     puede resolver como cualquier otro problema.




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• Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la
  amplificación y simplificación de raíces.

              6
                   7 = _____
                    2


              2
                   5 = _____
                    3


              15
                   4 = _____
                    5


              3
                   p = _____
                    4




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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
  espero que te haya ido bien.
    1. 3 7
     2. 5 5
    3. 3 4
     4. p 3 p
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
   nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
   tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
   encontrarás algunos links para reforzarte.


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Factor de una raíz como factor:
* En palabras simples es pasar un número que
multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe
elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro
multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así
se pueden aplicar otras operaciones como la suma de
raíces de igual índice.
Se da de la siguiente forma:
                             a⋅ b = b⋅an        n        n


** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser
no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

                288 = 12 ⋅ 2 = 12 2
                               2



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Vamos resolvamos:



           20 = 2 ⋅ 5 = 2 5
                        2


       7 2 = 7 ⋅ 2 = 98 2
                                    * Se puede ver dos
                                    posibilidades:
                                    • simplificar una
       3
           250 = 5 ⋅ 2 = 5 2
                    3       3   3   raíz, dejándola mas
                                    simple
                                    • O realizar una raíz,
                                    juntando términos,
                                    pero de esta forma
                                    queda una raíz muy
                                    compleja.




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Racionalización de denominadores:
• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con
raíces para poder trabajar mas fácilmente.
• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

     3    3⋅ 2    3 2 3 2
        =       =     =
      2    2⋅ 2     4   2
      3   3⋅ 2     3
                     3 22
                               3 2 3    2
                                        3 2      3    2        3   2
        =          =         =        =
    3
       2 3 2 ⋅ 3 22 3 2 ⋅ 22    3
                                  2 3     2
En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el
radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder
eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

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• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica
la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se
eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o
negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.
• Se presentan los siguiente casos de expresiones:


 1                1⋅ 5 + 2                        5+ 2             5+ 2
     =                       =                                   =
5− 2         (          )(
                 5− 2 ⋅ 5+ 2           ) ( 5) − ( 2) 2       2
                                                                    3
 1                 1⋅ 5 − 2                       5− 2             5− 2
     =                       =                                   =
5+ 2         (          )(
                 5+ 2 ⋅ 5− 2            ) ( 5) − ( 2)2       2
                                                                    3




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Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe
    amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

                   (a   3
                                )              (
                            + b 3 = ( a + b ) ⋅ a 2 − ab + b 2         )
                   (a   3
                            − b ) = ( a − b) ⋅ ( a
                                3                     2
                                                          + ab + b 2   )
     2       2                      (   3
                                            32 − 6 + 3 2 2  ) = 2⋅(    3
                                                                           32 − 6 + 3 2 2   )
                                    (                     2 )
         =3      ⋅
3
    3+ 2
       3
            3+ 2
               3                        3
                                            32 − 6 + 3      2                  5

    Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero
    evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.




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• Cuando  tenemos una adición en trinomios se agrupan
        dos términos para dejarlos como suma por diferencia a
        la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una
        suma por diferencia simple:
    3                   (
                    3⋅ 5 + 2 + 3          )              (          )
                                                              5+ 2 + 3              (                  )
                                                                                   3⋅ 5 + 2 + 3 3⋅ 5 + 2 + 3(                )
 5+ 2− 3
         =
                [(      )      ] [(
                 5+ 2 − 3 ⋅ 5+ 2 + 3
                                     =
                                              )   ] [(       5+ 2)] − ( 3 )
                                                                    2      2
                                                                               =
                                                                                    5 + 2 − 3 + 2 10
                                                                                                     =
                                                                                                       4 + 2 10
                                                                                                                =

3⋅ ( 5 + 2 + 3) 3⋅ ( 5 +    2 + 3 ) ⋅ 2 ⋅ ( 2 − 10 )    − ( 5 + 2 + 3 ) ⋅ (2 −     10   )−      (               )(
                                                                                                    5 + 2 + 3 ⋅ 2 − 10   )
    (4 + 2 10 ) ⋅ (4 +      10 ) ⋅ ( 4 − 2 10 )
                                                     =
                                                       16 − 8 10 + 8 10 − ( 4 ⋅    100
                                                                                       =
                                                                                            )              4




                   Luego de resolver el trinomio, se
                   resolvemos el binomio resultante igual que
                   si fuera suma por diferencia, y así se
                   elimina términos con raíces en el
                   denominador, y en este caso nos queda
                   con denominador 4.


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Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:




         2
     1)      =_____
          2
             3
     2)          =_____
           2− 5
          1
     3) 3    =_____
           9




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soluciones
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
  espero que te haya ido bien.

      1. 2
       2. - 2 + 5
             3
          81
       3.
          9
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
   nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
   tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
   encontrarás algunos links para reforzarte.
    Seguir
Ecuaciones irracionales:
son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical,
para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de
la raíz, para eliminarla:

        Ejemplos:                             6 +3 3 x +3    =3       / () 2
                                              6 + 3 3x + 3   =9       / -6
                                                   3
                                                       3x + 3 =3      / ()3
 2 x − +2 =7
      1                           /     -2             3x + 3 = 27     / -3
    2x - 1        = 5             /    () 2                 3x = 24   / :3
(   2x - 1    )   2
                      = ( 5 )
                              2
                                                             x =8
    2x - 1            =   25      /     +1
         2x           = 26            / : 2
             x        =    13




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Practiquemos un poco

   1. x − 1 = x − 3

                2. x − 3 = 5
  3. x( x − 3) − x = 5

               4. x + 4 − 3 = x − 2
                   2



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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
  espero que te haya ido bien.
    1. x1 = 5   x2 = 2
    2. x = 28
           25
    3. x =
           13
           3
    4. x =
           2
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
   nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
   tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
   encontrarás algunos links para reforzarte.

    Seguir
Gratificaciones:
• Haz pasado todo el modulo, espero que te
  haya servido, consúltalo cada vez que
  quieras algún concepto o algún dato
  especifico.
• A continuación están los links y la
  bibliografía mas exhaustiva para tu
  comodidad, para poder profundizar mas
  aun los temas propuestos en este
  programa.

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Bibliografía:
• Libros:
- algebra arrayán.
 potencias páginas 295 a 307
 Raíces páginas 307 a 329
- Mare nostrum primero medio
 Potencias páginas 26 a 35
- Mare nostrum tercero medio
 Potencias y raíces páginas 14 a 41
- Mare nostrum cuarto medio
 potencias, exponenciales, funciones páginas 10 a 38
- Libro san mateo tercero medio matemático 2005
 potencias páginas 15 a 24
 Raíces páginas 24 a 31



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• Recurso “software e Internet”
- Encarta 2004 “software” definiciones.
-www.areamatematica.cl
 Apuntes y talleres.
-http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.html
Consultas habladas a:
Sr. Héctor Thompson (Licenciado en educaciòn)




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Modulo potencias raices

  • 1. Módulo de auto aprendizaje: créditos Comenzar
  • 2. contenidos 1. Potencias 1.1 potencias 1.2 propiedades de las potencias 1.3 ecuaciones exponenciales 2. Radicación 2.1 raíces 2.2 propiedades de las raíces 2.3 racionalización 2.4 ecuaciones irracionales Seguir
  • 4. Definición de potencia Se llama potencia a la mumtiplicación abreviada de un mismo número Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba de este se encuentra otro numero que llamaremos “n” n a de esta forma: Al “n” se le llama exponente de la potencia Al “a” se le llama base de la potencia “a” es el número en cuestión,”n” es la cantidad de veces que se Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces) multiplica por si mismo. Las potencias sirven para expresar la multiplicación de un dato que se repite una cierta cantidad de veces Seguir
  • 5. Ahora veamos si entendiste Calculemos el valor de (-2)3 Aplicando la definición tenemos: (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8 Calculemos el valor de -34 Observamos que la base de la potencia es 3 ( y no -3) expresándola en forma de producto nos queda: -34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81 Seguir
  • 6. Ahora resuelve tú Soluciones: -16 −2 = 4 16 ( − 2) 4 = Como conclusión se puede decir que cuando un término que es antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el término siempre será el mismo que al inicio, en cambio elevado a un número par se logrará el signo contrario al inicial. Seguir
  • 7. Potencias con exponente 1 Es igual a la base de la potencia, es decir: a1=a ejemplos: 101=10; 31=3 Ejercita: • 7 1= Soluciones: 1)7 • 221= 2)22 3)4 • 4 1= 4)6 • 6 1= En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma si el exponente es 1. Seguir
  • 8. Potencias con exponente -1 es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir: a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2 Ejercita: −1 Soluciones: 2 1)  = ___ 2) 2 4 2)( 2,3) = ___ −1 3) 10/23 3)8−1 = ___ 4) 1/8 −1   2  5) 3/10 4) 5 ⋅    = ___     3  Seguir
  • 9. Multiplicación de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir: an • am = an+m al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir: an+m = an • am Seguir
  • 10. Ejercicio resuelto Expresemos en forma de potencias: aquí tenemos el producto del término (-1/2) cinco veces (el término se repite 5 veces).En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los términos, dejando solo un término. 5  1  1  1  1  1   1   −  −  −  −  −  =  −   2  2  2  2  2   2  Seguir
  • 11. Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad 1)a ⋅ a = ___ 3 5 2)b ⋅ b ⋅ b = ___ 2 3 6 3)5 ⋅ 5 = ___ 4 2 x+4 y x−2 y 4) a ⋅a = ___ Seguir
  • 12. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1)a8 2)b11 3) 55 4)a3x+2y Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 13. División de potencias de igual base • En este caso, mantenemos la base y restamos los exponentes, es decir: an : am = an-m al revés cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir: an-m = an : am Seguir
  • 14. Ejercicio resuelto En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso. 6− 2 x :x = x 6 2 =x 4 (a + b) 3 3− 2 = (a + b) = (a + b) (a + b) 2 Seguir
  • 15. Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad 16 m 1) 6 = ____ m x ⋅x 6 5 2) 5 4 = ____ x ⋅x −4 −5  2  2 3)  :   = _____ 5 5 x +1 x −1 4)m : m = _____ Seguir
  • 16. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1)m10 2)x2 3) 2/5 4)m2 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 17. Potencia con exponente 0 Ejercita: Es igual a 1: • 30=___ 3)-20=___ a0=1, 00= no existe • (1/2)0=___ 4) 10=___ Soluciones: Ejemplos: 1)1 3)-1 50=1 2)1 4)1 -40=-1 Seguir
  • 18. Potencia con exponente negativo Es la misma propiedad que con exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n. a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9 Ejercitemos: Soluciones: 1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___ 1)-1/4 3)9 2)1/4 4)16 2)(-2) =___ 4) (2 /2 ) =___ -2 2 3 -4 Seguir
  • 19. Potencia de una potencia Aquí debemos elevar la base a la multiplicación de los exponentes. (am)n = an • m En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir. an • m = (am)n Seguir
  • 20. Ejercicio resuelto • Desarrollemos (a2 :a6)2 Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a un término. a  2 a 2 a ( ) 2⋅2 1 4 1  6  = 6⋅2 = 12 = ( 12− 4 ) = 8 = a −8 a    a a a( ) a Seguir
  • 21. Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad 2 a b 2 4  1) 6  x  = ___    ( 2) 3a b c ) ⋅ ( 2a b c ) 4 2 3 2 −2 5 3 = ___ 3)( 9 x y z ) = ___ 1 6 4 2 2 4)( a ) = ___ 3 0 , 25 4 Seguir
  • 22. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) (a4b8)/x12 2) 72a2b19c9 3) 3x3y2z 4) a3/16 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 23. Potencia de un producto Elevamos el producto de las bases al exponente común. an • bn = (ab)n Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis elevado a un numero, los componentes del paréntesis se pueden separar. (ab)n = an • bn Seguir
  • 24. Ejercicio resuelto Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante. 3 ⋅ 5 = ( 3 ⋅ 5) = 60 4 4 4 Seguir
  • 25. Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad 1) x ⋅ a ⋅ 8 = ___ 3 3 2)( a + b ) ⋅ ( 2q ) = ___ 2 2 4 p −1 4 p −1 3)a ⋅b = ___ 4)8 ⋅ 27 = ___ Seguir
  • 26. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) (2ax)3 2) [2q(a+b)]2 3) (ab)4p-1 4) 63 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 27. Potencias de 10 •Se muestra cuando tenemos 10 elevado a un número cualquiera: 100 = 1 104 = 10000 101 = 10 105 = 100000 102 = 100 106 = 1000000 103 = 1000 107 = 10000000 Seguir
  • 28. Notación científica • Se utiliza para expresar grandes cantidades en números mas pequeños. • Para poder expresar un numero como notación científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10. • Ej.: - La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s - El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6 metros Seguir
  • 29. Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedad Primero se tiene que dejar lo mas reducido el número que multiplica al 10, no puede ser decimal, −4 ni menos pasarse de 10 0,0003 = 3 ⋅ 10 unidades, se cuentan los 8 0, por cada cero será un digito más. 800.000.000 = 8 ⋅ 10 Si es decimal, o sea un número minúsculo, el exponente es negativo y si el número es muy grande, es positivo el exponente. Seguir
  • 30. Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad 1) 0,0000000065 3)0,00000000000121 2) 123.000.000 4) 567.000.000.000 Soluciones: 1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12 2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011 Seguir
  • 31. Potencia con exponente fraccionario • Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción. 1 m a = a n n a = n am n • Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría 5 3 a =a 5 3 Seguir
  • 32. Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad 1 Soluciones: 1)25 2 = _____ 1 2 1)5 2)64 2 + 81 4 = _____ 2)17 3)-1 1 1 4)10 3)125 3 − 216 3 = _____ 1 1 4)1728 3 − 16 4 = ____ Seguir
  • 33. Ecuaciones exponenciales • Aquí se trabaja con los exponentes como los elementos de la ecuación • Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las bases • Una ves igualada las bases se aplica la siguiente propiedades y se igualamos exponentes: a =a ⇒n=m n m Seguir
  • 34. En el ejemplo b, se igualo • Ejemplos: para poder hacer la ecuación, a) cuando ya se igualo esta, se 32x-5=3x-3 trabaja deforma normal como 2x-5=x-3 x=2 una ecuación de primer b)4x+3=82x+9 grado. b) (22)x+3=(23)2x+9 x+3=2x+9 -4x=21 x= -4/21 Seguir
  • 35. Resuelve estos ejercicios para ver tu aprendizaje, ya queda poco, para terminar potencias 1)9 2 x −5 = 81 3) 256 x = 4 ⋅ 4 2 x −3 1 2( x −4) 2)3 =1 4)128 x =1 Soluciones: 1) x=7/2 3)x=-1 2) x=4 4) x=0/1= no solución en los reales Seguir
  • 36. Reforzamientos varios: 20 + 21 + 2 2 + 23 = ___ 2 = ___ 2 (12) −1 + (−12) −1 = ___ 3 = ___ 2 1 − 2 −1 + 2 − 2 − 2 −3 = ___ ( −2) 3 = ___ (0,02) 2 + (0,02) − 2 = ___ −3 10 = ___ 1  4  1  −1 −2 0  3  +    = ___ ( −1,1) = ___ 3  5   2   −3 6  3   −1 0 ) = ___ −2 ( = ___ 4 11    5     1 3 ( −1 ) = ___ −1 2 5 2 −2 3 4   ⋅   ⋅   = ___ 5 2 5 Seguir
  • 37. Problema de profundización: Alfredo recibe una carta pidiéndole que participe en una “cadena”, enviándole copia de la misma carta a 3 otras personas, cada una de las cuales debe enviarle un cheque por $1000 a vuelta del correo. Él, a su vez, debe enviar $1000 al remitente de la carta que recibió. Si cada persona que recibe una carta de esta “cadena” procede como indicado, todos harán beneficios. ¿dónde esta la trampa? Descúbrelo a través de tus conocimientos adquiridos. Seguir
  • 39. Raíces Índice de la raíz Operante n a Cantidad subradical o radicando Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto: 1 n a =a n Seguir
  • 40. Propiedades de las raíces Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera: Raíz de una potencia con exponente igual al índice. • Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma: 1 n / Al elevar a n la raíz n-enesima de a estamos simplificando el n a n = ( a ) = a = a1 n n n / proceso anterior por lo cual el numero quedaría el numero Seguir
  • 41. • Veamos unos ejemplos: 2 Aplicando la propiedad, 5 =5 =5 =5 2 2 1 vemos que el índice y el exponente del radicando se deja en forma de 3 potencia, por lo tanto igual 3 7 3 = 7 = 71 = 7 3 numerador y denominador dan como resultado 1, así p se dice que se simplifico o elimino la raíz y se p x p = x = x1 = x p convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma 5 5 1 base, como vemos en los 2 2 2 2 5 ejemplos. 5   =  =  =  5 5 5 5 Seguir
  • 42. Ahora te toca a ti trabajar: 1. 6 = 2 2. 59 = 4 4 3. 23 = 3 3 4. 48 = 5 5 Seguir
  • 43. Raíz de un producto: Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se muestra a continuación. n a ⋅b = a ⋅ b n n Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice que puede agrupar en una sola raíz n a ⋅ n b = n a ⋅b Seguir
  • 44. Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente: 4 1296 = 4 16 ⋅ 81 = 4 16 ⋅ 4 81 = 2 ⋅ 3 = 6 3 27000 = 3 125 ⋅ 216 = 3 125 ⋅ 3 216 = 5 ⋅ 6 = 30 4 ⋅ 25 = 4 ⋅ 25 = 100 = 10 3 8 ⋅ 3 27 = 3 8 ⋅ 27 = 3 216 = 6 Seguir
  • 45. Trabaja tu: 1. 3 ⋅ 12 = 2. 3a ⋅ 2a ⋅ 6 = 3. 2 x ⋅ 4 x ⋅ 8 x = 3 3 3 4. 5 p ⋅ 5 p ⋅ 25 p = 4 3 4 7 4 6 Seguir
  • 46. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) 6 2) 6a 3) 4x 4) 5p4 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 47. * Pasemos a Raíz de un cuociente: • De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora. a na ** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a n =n raíz de un producto b b * Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación: n a n a = n b b Seguir
  • 48. Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor: 18 18 : 2 = = 6 Pero para poder 2 resolver algunos ejercicios no solo 125 debemos dividir, 125 : 5 = = 25 = 5 sino también 5 aplicar propiedades de 26a las potencias 26a : 2a = = 13 como es la resta 2a de exponentes 444a 3 444a 3 : 111a = = 4 =2 111a Seguir
  • 49. • Vamos te toca ahora Si tienes alguna duda 240 no vaciles en repasar la = ______ materia.!!!! 60 3 216 3 = ______ 8 4096 4 = ______ 16 600 = ______ 6 Seguir
  • 50. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) 2 2) 3 3) 2 4) 10 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 51. ¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz? * Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver: n m a = n ⋅m a Seguir
  • 52. Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando, ¿o no?: 2 = 2⋅2 2 = 4 2 a b x = a⋅b x = ab x 3 4 531441 = 3⋅4 531441 = 531441 = 3 12 3 a 1= 3⋅a 1 = 1 =1 3a Seguir
  • 53. Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente: 1. 4 64 = ____ 2. 5 4 3 1 = ____ 3. 81 = ____ 4. 4 729 = ____ Seguir
  • 54. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) 2 2) 1 3) 3 4) 13 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 55. Pasemos a amplificación y simplificación del índice de una raíz: Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo: n⋅ p 1⋅ p n a= a n: y n a = x a x: y Seguir
  • 56. Resolvamos estos ejercicios: 10 25 = 5 10:5 25 5:5 = 25 = 5 1⋅2 3⋅ 4 = 3 2 •3 3 ⋅ 1•3 3• 2 4 = 3 ⋅ 4 = 6 432 6 3 2 * • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5 • En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema. Seguir
  • 57. • Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces. 6 7 = _____ 2 2 5 = _____ 3 15 4 = _____ 5 3 p = _____ 4 Seguir
  • 58. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1. 3 7 2. 5 5 3. 3 4 4. p 3 p Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 59. Factor de una raíz como factor: * En palabras simples es pasar un número que multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así se pueden aplicar otras operaciones como la suma de raíces de igual índice. Se da de la siguiente forma: a⋅ b = b⋅an n n ** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar: 288 = 12 ⋅ 2 = 12 2 2 Seguir
  • 60. Vamos resolvamos: 20 = 2 ⋅ 5 = 2 5 2 7 2 = 7 ⋅ 2 = 98 2 * Se puede ver dos posibilidades: • simplificar una 3 250 = 5 ⋅ 2 = 5 2 3 3 3 raíz, dejándola mas simple • O realizar una raíz, juntando términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja. Seguir
  • 61. Racionalización de denominadores: • La idea es dejar los denominadores sin expresiones con raíces para poder trabajar mas fácilmente. • Consiste en eliminar los radicales de los denominadores. 3 3⋅ 2 3 2 3 2 = = = 2 2⋅ 2 4 2 3 3⋅ 2 3 3 22 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 = = = = 3 2 3 2 ⋅ 3 22 3 2 ⋅ 22 3 2 3 2 En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces. Seguir
  • 62. • En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador. • Se presentan los siguiente casos de expresiones: 1 1⋅ 5 + 2 5+ 2 5+ 2 = = = 5− 2 ( )( 5− 2 ⋅ 5+ 2 ) ( 5) − ( 2) 2 2 3 1 1⋅ 5 − 2 5− 2 5− 2 = = = 5+ 2 ( )( 5+ 2 ⋅ 5− 2 ) ( 5) − ( 2)2 2 3 Seguir
  • 63. Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas: (a 3 ) ( + b 3 = ( a + b ) ⋅ a 2 − ab + b 2 ) (a 3 − b ) = ( a − b) ⋅ ( a 3 2 + ab + b 2 ) 2 2 ( 3 32 − 6 + 3 2 2 ) = 2⋅( 3 32 − 6 + 3 2 2 ) ( 2 ) =3 ⋅ 3 3+ 2 3 3+ 2 3 3 32 − 6 + 3 2 5 Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios. Seguir
  • 64. • Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple: 3 ( 3⋅ 5 + 2 + 3 ) ( ) 5+ 2 + 3 ( ) 3⋅ 5 + 2 + 3 3⋅ 5 + 2 + 3( ) 5+ 2− 3 = [( ) ] [( 5+ 2 − 3 ⋅ 5+ 2 + 3 = ) ] [( 5+ 2)] − ( 3 ) 2 2 = 5 + 2 − 3 + 2 10 = 4 + 2 10 = 3⋅ ( 5 + 2 + 3) 3⋅ ( 5 + 2 + 3 ) ⋅ 2 ⋅ ( 2 − 10 ) − ( 5 + 2 + 3 ) ⋅ (2 − 10 )− ( )( 5 + 2 + 3 ⋅ 2 − 10 ) (4 + 2 10 ) ⋅ (4 + 10 ) ⋅ ( 4 − 2 10 ) = 16 − 8 10 + 8 10 − ( 4 ⋅ 100 = ) 4 Luego de resolver el trinomio, se resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4. Seguir
  • 65. Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios: 2 1) =_____ 2 3 2) =_____ 2− 5 1 3) 3 =_____ 9 Seguir
  • 66. soluciones Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1. 2 2. - 2 + 5 3 81 3. 9 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 67. Ecuaciones irracionales: son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical, para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de la raíz, para eliminarla: Ejemplos: 6 +3 3 x +3 =3 / () 2 6 + 3 3x + 3 =9 / -6 3 3x + 3 =3 / ()3 2 x − +2 =7 1 / -2 3x + 3 = 27 / -3 2x - 1 = 5 / () 2 3x = 24 / :3 ( 2x - 1 ) 2 = ( 5 ) 2 x =8 2x - 1 = 25 / +1 2x = 26 / : 2 x = 13 Seguir
  • 68. Practiquemos un poco 1. x − 1 = x − 3 2. x − 3 = 5 3. x( x − 3) − x = 5 4. x + 4 − 3 = x − 2 2 Seguir
  • 69. Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1. x1 = 5 x2 = 2 2. x = 28 25 3. x = 13 3 4. x = 2 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir
  • 70. Gratificaciones: • Haz pasado todo el modulo, espero que te haya servido, consúltalo cada vez que quieras algún concepto o algún dato especifico. • A continuación están los links y la bibliografía mas exhaustiva para tu comodidad, para poder profundizar mas aun los temas propuestos en este programa. Seguir
  • 71. Bibliografía: • Libros: - algebra arrayán.  potencias páginas 295 a 307  Raíces páginas 307 a 329 - Mare nostrum primero medio  Potencias páginas 26 a 35 - Mare nostrum tercero medio  Potencias y raíces páginas 14 a 41 - Mare nostrum cuarto medio  potencias, exponenciales, funciones páginas 10 a 38 - Libro san mateo tercero medio matemático 2005  potencias páginas 15 a 24  Raíces páginas 24 a 31 Seguir
  • 72. • Recurso “software e Internet” - Encarta 2004 “software” definiciones. -www.areamatematica.cl  Apuntes y talleres. -http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.html Consultas habladas a: Sr. Héctor Thompson (Licenciado en educaciòn) Seguir